张丘建算经

《张丘建算经》现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等。“百鸡问题”是《张邱建算经》中的一个世界著名的不定方程问题，它给出了由三个未知量的两个方程组成的不定方程组的解。百鸡问题是： ．“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得．” 这个解法怎么来的呢？用代数方法来说明这一点：设公鸡为x只，母鸡y只，小鸡z只，则有：解得：为了得到正整数解，令：则得知：当1，2，3时，即得到前面所说的三组解：自张邱建以后，中国数学家对百鸡问题的研究不断深入，百鸡问题 也几乎成了不定方程的代名词，从宋代到清代围绕百鸡问题的数学研究取得了很好的成就。

自张邱建以後，汉族数学家对百鸡问题的研究不断深入，百鸡问题也几乎成了不定方程的代名词，从宋代到清代围绕百鸡问题的数学研究取得了很好的成就。

「百鸡问题」是《张丘建算经》中的一个著名数学问题，它给出了由三个未知量的两个方程组成的不定方程组的解。百鸡问题是：「今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁母雏各几何。」依题意即解

C 试题分析：由题可知,是等差数列,首项是5,公差为 ,前30项和为390.根据等差数列前 项和公式,有 ,解得 . 项和公式.

设鸡翁个数为x，鸡母个数为y，鸡雏个数为3z，x,y,z均为正整数；由条件可得方程：5x+3y+z=100……① x+y+3z=100……②①×3-②，14x+8y=200；则有x=4/7*（25-y）由此易得整数解：x=12y=4;x=8y=11;x=4y=18再代入方程求z，舍去非整数解，得：x=12y=4z=84;或x=8y=11z=81

设母鸡X只，公鸡Y只，小鸡100-X-Y只， 所以5Y+3X+（100-X-Y）/3=100 且X，Y为整数，所以可以得出正确答案， 有三种情况 1.公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只 2.公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只 3.公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只

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设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据题意，得 5x+3y+ 1 3 z=100 x+y+z=100 ，整理得：7x+4y=100．x= 100-4y 7 ∵x≥0，y≥0，且都是自然数，∴ 100-4y 7 ≥0，∴y≤25，100-4y是7的倍数，∴100-4y=0，7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98经讨论可以得出，共有4种情况：①公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只；②公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；③公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；④公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只．

本问题记载于中国古代约5－6世纪成书的<张邱建算经>中，是原书卷下第38题，也是全书的最后一题：「今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。」该问题导致三元不定方程组，其重要之处在于开创「一问多答」的先例，这是过去中国古算书中所没有的。原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇（约1870）推广了百鸡问题，作<百鸡术衍>,从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱 买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布 卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同设母鸡X只，公鸡Y只，小鸡100-X-Y只， 所以5Y+3X+（100-X-Y）/3=100 且X，Y为整数，所以可以得出正确答案， 有三种情况 1.公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只 2.公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只 3.公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只

设该女织布每天增加d尺，由题意知S30=30×5+30×292d=390，解得d=1629．故该女子织布每天增加1629尺．故选：C．

main(){int i,j,k;<br/> for(i=0;i<=33;i++)<br/> for(j=0;j<=20;j++)<br/> for(k=0;k<=100;k++)<br/> if((i+j+k==100)&&(3*i+5*j+1.0/3*k==100))<br/> printf("i=%d j=%d k=%d",i,j,k);<br/> printf(" ");<br/> } 有事可以找我 QQ:530843735

设该妇子织布每天增加d尺，由题意知S30＝30×5+30×292d＝390，解得d=1629．故该女子织布每天增加1629尺．故选：B．

B 试题分析：由题可知女子每天织布尺数呈等差数列，设为 ，首项为 ， ，可得 ，解之得 .

写任何程序之前先分析问题。这道题根据题意可列出以下方程：a + b + c = 1005a + 3b + c/3 = 100两方程联立消去c可得到：14a + 8b = 200也就是说这道题求的是满足 14a + 8b = 200 这个方程的整数解，即 (200 - 14 * a) % 8 == 0demo(仅供参考)：public static void main(String[] args) {    // a,b,c分别是公鸡、母鸡、小鸡的数量    int a, b, c;    String format = "公鸡%d只，母鸡%d只，小鸡%d只%n";    for (int i = 0, max = 200 / 14 + 1; i < max; i++) {        if ((200 - 14 * i) % 8 == 0) {            a = i;            b = (200 - 14 * a) / 8;            c = 100 - a - b;            System.out.format(format, a, b, c);        }    }}输出结果：公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只

有三组解：A.鸡翁4、鸡母18、鸡雏78， B.鸡翁8、鸡母11、鸡雏81， C.鸡翁12、鸡母4、鸡雏84。解法如下：设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为x、y、z 只，由题意得：①x+y+z =100②5x+3y+(1/3)z =100令②×3－①得：7x+4y=100；所以y=(100-7x)/4=25-(2x-x/4)=25-2x+x/4令x/4=t, （t为整数）所以x=4t把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t同理得z=75+3t所以：x=4ty=25-7tz=75+3t因为x,y,z为正整数所以4t大于025-7t大于075+3t大于0解得t大于0小于等于25/7 又因为t为整数所以t=1,2,3当t=1时x =4；y =18；z =78当t=2时 x =8；y =11；z =81当t=3时x =12；y =4；z =84

设该妇子织布每天增加d尺，由题意知S30=30×5+30×292d=390，解得d=1629．故该女子织布每天增加1629尺．故答案为：1629

假设公鸡母鸡小鸡数量分别为xyz所以5x+3y+1/3z=100,x+y+z=100消去z，解出7x+4y=100。由于必须是整数所以答案为公鸡x 4 —————— 8——————12母鸡y 18 ——————11 ——————4小鸡z 78 ——————81 ——————84

我国古典数学理论体系的建立，除了刘徽及其《九章算术注》不世之功和《孙子算经》的贡献外，魏晋南北朝时期的《张丘建算经》、《缀术》也丰富了这一时期的理论创建。南北朝时期数学家张丘建著的《张丘建算经》3卷，成书于北魏时期。此书补充了等差级数的若干公式，其百鸡问题导致三元不定方程组，其重要之处在于开创“一问多答”的先例，这是过去我国古算书中所没有的。百鸡问题的意思是：公鸡每只值5文钱，母鸡每只值3文钱，而3只小鸡值1文钱。用100文钱买100只鸡，问：这100只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各有多少只？这个问题流传很广，解法很多，但从现代数学观点来看，实际上是一个求不定方程整数解的问题。百鸡问题还有多种表达形式，如“百僧吃百馒”和“百钱买百禽”等。宋代数学家杨辉算书内有类似问题。此外，中古时近东各国也有相仿问题流传，而且与《张丘建算经》的题目几乎全同。可见其对后世的影响。

《张丘建算经》约成书于公元466—485年间，共三卷93题，包括测量、纺织、交换、纳税、冶炼、土木工程、利息等各方面的计算问题。其体例为问答式，条理精密，文词古雅，是中国古代数学史上的杰作，也是世界数学资料库中的一份宝贵的遗产。后世学者北周甄鸾、唐李淳风相继为该书做了注释。特别是唐代，经太史令李淳风注释整理，收入《算经十书》，成为当时算学馆先生的必读书目。《张丘建算经》现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等。「百鸡问题」是《张邱建算经》中的一个世界著名的不定方程问题，它给出了由三个未知量的两个方程组成的不定方程组的解。百鸡问题是：「今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁母雏各几何。」依题意即解自张邱建以後，中国数学家对百鸡问题的研究不断深入，百鸡问题也几乎成了不定方程的代名词，从宋代到清代围绕百鸡问题的数学研究取得了很好的成就。

甲-10=乙+10 甲+10=（乙-10）×5 甲= 40 乙= 20