线性相关

定义设S是一个n维向量组,α1,α2,...αr 是S的一个部分组，如果(1) α1,α2,...αr 线性无关；(2) 向量组S中每一个向量均可由此部分组线性表示，那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组,或极大无关组。基本性质只含零向量的向量组没有极大无关组；一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一，但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量；齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。相关定理定理一设a1,a2,…,ar与b1,b2,…,bs是两个向量组，如果（1）向量组 a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出，（2）r>s,那么 向量组a1,a2,…,ar必 线性相关。推论1如果 向量组a1,a2,…,ar可以经b1,b2,…,bs线性表出，且a1,a2,…,ar线性无关，那么r≤s。推论2任意n+1个n维 向量必 线性相关。推论3两个线性无关的 等价向量组，必含有相同个数的向量。定理二一 向量组的极大线性无关组都含有向量的个数相同。定理三一 向量组线性无关的 充分必要条件是，它的秩与它所含向量的个数相同。推论4等价的向量组必有相同的秩。

1 2 3 1 2 32 4 6 = D=0 0 02 5 6 2 5 6∵第二行45 6与第一行的2倍，所以，D=0或：因为 |A| = 0所以 A 的行(列)向量组线性相关所以 A中至少有一行(列) 可由其余行(列)线性表示那么 这一行(列)即可被化为全0扩展资料：对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。包含零向量的任何向量组是线性相关的。含有相同向量的向量组必线性相关。增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)【局部相关，整体相关】参考资料来源：百度百科-线性相关

向量组的行列式等于0，那就说明通过线性变换可以得到向量组之间的关系为：k1*a1+ k2*a2+ ··· + km*am=0，k1, k2, ···,km为不全为零的数所以此向量组就是线性相关的向左转|向右转拓展资料：注意：对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。

定义法令向量组的线性组合为零，研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。线性相关定理在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立，反之称为线性相关。例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1，0，0)，(0，1，0)和(0，0，1)线性无关；但(2，−1，1)，(1，0，1)和(3，−1，2)线性相关，因为第三个是前两个的和。线性无关和线性相关1、对于任一向量组而言，不是线性无关的就是线性相关的。2、向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。4、含有相同向量的向量组必线性相关。

无关。条件不够我们推断出其相关性。题目条件中a1，a2??am可以线性表示b而a1，a2??am-1不可以线性表示b。说明，在b中有一维肯定不能用a1，a2??am-1表示，而可以用am表示。所以不能断定a1，a2??am-1和a1，a2??am的线性相关性。线性表示是一种重要的表达形式，指线性空间中的一个元素可通过另一组元素的线性运算来表示。零向量可由任一组向量线性表示。在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立，反之称为线性相关。扩展资料：线性重要性质1、向量组B=(β1，β2，??，βm)能由向量组A=(α1，α2，??，αm)线性表示的充要条件是矩阵A=(α1，α2，??，αm)的秩等于矩阵(α1，α2，??，αm，B)的秩。2、向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量A的秩。反之不一定成立。3、零向量可由任一组向量线性表示。4、向量组α1，α2，??，αm中每个向量都可由向量组本身线性表示。5、设α1，α2，??，αm线性无关，而α1，α2，??，αm，ß线性相关，则β可由α1，α2，??，αm线性表示，且表示是唯一的。线性的表示线性表示是一种重要的表达形式，指线性空间中的一个元素可通过另一组元素的线性运算来表示。零向量可由任一组向量线性表示。参考资料：百度百科-线性相关百度百科-线性表示

向量组线性相关的定义来源于对向量组线性无关的取反，而向量组线性无关的定义是向量组中没有向量可以用其它有限个向量线性组合表示，则成为无关。因此在向量组中并不要求任何两个向量之间都线性相关。比如向量组：（1，1，1），（1，0，1），（2，1，2），三个向量并不是线性两两线性相关，但是该组向量，线性相关。扩展资料：在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立  (linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。

关于向量组线性相关的性质如下：对于任一向量组而言,不是线性无关的就是线性相关的。 向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。 包含零向量的任何向量组是线性相关的。 含有相同向量的向量组必线性相关。在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立[1](linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。在向量空间V的一组向量A: ，如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km , 使则称向量组A是线性相关的 ，否则数 k1, k2, ···,km全为0时，称它是线性无关。由此定义看出 是否线性相关，就看是否存在一组不全为零的数 k1, k2, ···,km使得上式成立。即看这个齐次线性方程组是否存在非零解，将其系数矩阵化为最简形矩阵，即可求解。此外，当这个齐次线性方程组的系数矩阵是一个方阵时，这个系数矩阵存在行列式为0，即有非零解，从而 线性相关。注意对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。包含零向量的任何向量组是线性相关的。含有相同向量的向量组必线性相关。增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)【局部相关，整体相关】减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的）【整体无关，局部无关】一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。【无关组的加长组仍无关】一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。【相关组的缩短组仍相关】若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。

向量组线性相关的定义来源于对向量组线性无关的取反，而向量组线性无关的定义是向量组中没有向量可以用其它有限个向量线性组合表示，则成为无关。因此在向量组中并不要求任何两个向量之间都线性相关。比如向量组：（1，1，1），（1，0，1），（2，1，2），三个向量并不是线性两两线性相关，但是该组向量，线性相关。扩展资料：在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立  (linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。

判断向量组线性相关性的方法:写成矩阵形式,然后通过行变换,化为行最简形,得到矩阵的秩；得出矩阵的秩,用来和向量个数比较；因为向量组组成的矩阵的秩小于向量个数,所以得出。在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立(linearlyindependent)，反之称为线性相关(linearlydependent)。例如在三维欧几里得空间R3的三个矢量(1,0,0)，(0,1,0)和(0,0,1)线性无关。但(2,_1,1)，(1,0,1)和(3,_1,2)线性相关，因为第三个是前两个的和。向量a1,a2,···,an(n_2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。空间中任意四个向量总是线性相关。

判断向量组线性相关性的方法:写成矩阵形式,然后通过行变换,化为行最简形,得到矩阵的秩；得出矩阵的秩,用来和向量个数比较；因为向量组组成的矩阵的秩小于向量个数,所以得出。在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立(linearlyindependent)，反之称为线性相关(linearlydependent)。例如在三维欧几里得空间R3的三个矢量(1,0,0)，(0,1,0)和(0,0,1)线性无关。但(2,_1,1)，(1,0,1)和(3,_1,2)线性相关，因为第三个是前两个的和。向量a1,a2,···,an(n_2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。空间中任意四个向量总是线性相关。

1、在线性代数里，向量空间的一组元素如果其中没有向量可表示成有限个其他向量的线性组合称为线性无关，反之称为线性相关。2、例如在三维欧几里得空间R3的三个向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关。但(2, 1, 1)，(1, 0, 1)和(3, 1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。3、在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立[1]  (linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。如何理解矩阵的线性相关和无关？1、线性相关性与向量的线性表示有关，刻画线性相关的定理: 向量组线性相关的充要条件是至少有一个向量可由其余向量线性表示。2、 线性相关的向量组中有"多余"的向量, "多余"是指它可由其余向量表示，而向量组的极大无关组(线性无关)就可理解为向量组精减后的代表。

向量组线性相关的定义来源于对向量组线性无关的取反，而向量组线性无关的定义是向量组中没有向量可以用其它有限个向量线性组合表示，则成为无关。因此在向量组中并不要求任何两个向量之间都线性相关。比如向量组：（1，1，1），（1，0，1），（2，1，2），三个向量并不是线性两两线性相关，但是该组向量，线性相关。扩展资料：在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立  (linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。

1、在线性代数里，向量空间的一组元素如果其中没有向量可表示成有限个其他向量的线性组合称为线性无关，反之称为线性相关。2、例如在三维欧几里得空间R3的三个向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关。但(2, 1, 1)，(1, 0, 1)和(3, 1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。3、在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立[1]  (linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。如何理解矩阵的线性相关和无关？1、线性相关性与向量的线性表示有关，刻画线性相关的定理: 向量组线性相关的充要条件是至少有一个向量可由其余向量线性表示。2、 线性相关的向量组中有"多余"的向量, "多余"是指它可由其余向量表示，而向量组的极大无关组(线性无关)就可理解为向量组精减后的代表。

具体如下：以n+1个n维向量作为列向量构成的矩阵的秩不超过n。(矩阵的秩不超过其行数和列数中小的那个)。所以 r(A)<=n。所以 A 的列向量组的秩 <= n。即 n+1个n维向量 的秩 <=n。故线性相关。在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立 [1]  (linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。定理1、向量a1,a2, ···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。5、n+1个n维向量总是线性相关。【个数大于维数必相关】。

1、在线性代数里，向量空间的一组元素如果其中没有向量可表示成有限个其他向量的线性组合称为线性无关，反之称为线性相关。2、例如在三维欧几里得空间R3的三个向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关。但(2, 1, 1)，(1, 0, 1)和(3, 1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。3、在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立[1]  (linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。如何理解矩阵的线性相关和无关？1、线性相关性与向量的线性表示有关，刻画线性相关的定理: 向量组线性相关的充要条件是至少有一个向量可由其余向量线性表示。2、 线性相关的向量组中有"多余"的向量, "多余"是指它可由其余向量表示，而向量组的极大无关组(线性无关)就可理解为向量组精减后的代表。

如图，欢迎追问

1、定义法令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。2、向量组的相关性质（1）当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关；（2）当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关；（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性；（4）通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。（5）通过向量组的秩研究向量组的相关性。若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的

没有这个东西。线性相关是对单个向量组来说的。两个向量组之间只有是否（行或列）等价的关系。谢谢。

线性相关. 向量的个数大于向量的维数,则向量组线性相关. 行向量列向量一回事.

1、相关系数：，当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关；|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小。2、残差：相关指数R2用来刻画回归的效果，其计算公式是，在含有一个解释变量的线性模型中，R2恰好等于相关系数r的平方。显然，R2取值越大，意味着残差平方和越小，也就是模型的拟合效果越好。

常见的相关系数为简单相关系数，简单相关系数又称皮尔逊相关系数或者线性相关系数。线性相关系数计算公式如图所示：r值的绝对值介于0～1之间。通常来说，r越接近1，表示x与y两个量之间的相关程度就越强，反之，r越接近于0，x与y两个量之间的相关程度就越弱。线性相关系数性质：(1)定理: | ρXY | = 1的充要条件是，存在常数a，b，使得P{Y=a+bX}=1。相关系数ρXY取值在-1到1之间，ρXY = 0时。称X,Y不相关; | ρXY | = 1时，称X,Y完全相关，此时，X,Y之间具有线性函数关系; | ρXY | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，ρXY的绝对值越大，X的变动引起Y的变动就越大， | ρXY | > 0.8时称为高度相关，当 | ρXY | < 0.3时称为低度相关，其它时候为中度相关。(2)推论:若Y=a+bX，则有。证明: 令E(X) = μ，D(X) = σ。则E(Y) = bμ + a，D(Y) = bσ。E(XY) = E(aX + bX) = aμ + b(σ + μ)。Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y) = bσ。若b≠0，则ρXY ≠ 0。若b=0，则ρXY = 0。

相关系数是指与某一关系式或是公式等的常系数，相关系数是变量之间相关程度的指标。样本相关系数用r表示，总体相关系数用ρ表示，相关系数的取值范围为[-1，1]。|r|值越大，误差Q越小，变量之间的线性相关程度越高；|r|值越接近0，Q越大，变量之间的线性相关程度越低。样本相关系数的推导过程相关系数用于判断样本参数的相关关系，很小，表明样本范围内，两个参数相关关系很弱；显著性水平用于判断总体和样本的一致性，显著性水平很高，表明总体与样本一致性程度较高，总体范围内，两个参数的相关关系也很弱。相关系数是介于-1和1之间的一个数，描述了各个数据点与直线的偏离程度。通过它可以量度回归线与数据线的拟合度，通常用字幕r表示。

常见的相关系数为简单相关系数，简单相关系数又称皮尔逊相关系数或者线性相关系数。线性相关系数计算公式如图所示：r值的绝对值介于0～1之间。通常来说，r越接近1，表示x与y两个量之间的相关程度就越强，反之，r越接近于0，x与y两个量之间的相关程度就越弱。线性相关系数性质：(1)定理: | ρXY | = 1的充要条件是，存在常数a，b，使得P{Y=a+bX}=1。相关系数ρXY取值在-1到1之间，ρXY = 0时。称X,Y不相关; | ρXY | = 1时，称X,Y完全相关，此时，X,Y之间具有线性函数关系; | ρXY | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，ρXY的绝对值越大，X的变动引起Y的变动就越大， | ρXY | > 0.8时称为高度相关，当 | ρXY | < 0.3时称为低度相关，其它时候为中度相关。(2)推论:若Y=a+bX，则有。证明: 令E(X) = μ，D(X) = σ。则E(Y) = bμ + a，D(Y) = bσ。E(XY) = E(aX + bX) = aμ + b(σ + μ)。Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y) = bσ。若b≠0，则ρXY ≠ 0。若b=0，则ρXY = 0。