高一数学 求函数的解析式、值域的方法

求值域的方法有：直接法：从自变量的范围出发，推出值域；配方法，求出最大值还有最小值；观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域，等。 求值域的方法及例题 1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。 2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。 3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。 例题：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】 先配方，得y=(x+1)^2+1 ∴ymin=(-1+1)^2+2=2 ymax=(2+1)^2+2=11 4.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。 5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。 6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。 8.换元法：适用于有根号的函数 例题：y=x-√（1-2x) 设√（1-2x)=t(t≥0) ∴x=(1-t^2)/2 ∴y=(1-t^2)/2-t =-t^2/2-t+1/2 =-1/2(t+1)^2+1 ∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2） 9：图像法，直接画图看值域 这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。 10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。 例题：y=(3x-1)/(3x-2) 先求反函数y=(2x-1)/(3x-3) 明显定义域为x≠1 所以原函数的值域为y≠1

求值域的4个步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）分析解析式的特点；（3）将端点值与极值比较，求出最大值与最小值；（4）计算出函数的值域。函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。常用的求函数值域的方法有：1、配方法。将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。（画一个简易的图能更便捷直观的求出值域。）常数分离。这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。2、逆求法。对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。3、图像法：根据函数图象，观察最高点和最低点的纵坐标。4、单调性法：利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。5、反函数法：若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。

求值域的方法：1、观察法用于简单的解析式。y=1-√x≤1,值域(-∞,1]y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞)。2、配方法、多用于二次(型)函数。y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,+∞）y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞）3、换元法多用于复合型函数。通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域。特别注意中间变量（新量）的变化范围。y=-x+2√(x-1)+2令t=√(x-1),则t≥0,x=t^2+1。y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤2,值域(-∞,2]。

函数的值域是函数的重要性质之一，它的求法很多，下面结合实例进行例析。一、反函数法利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域。例如求函数的值域，这种类型的题目也可采用分离常数法。例1. 求函数的值域。解：由解得，因为，所以，则，故函数的值域为。二、换元法换元法主要是把题目中出现多次的一个复杂的部分看作一个整体，通过简单的换元把复杂函数变为简单函数，我们使用换元法时，要特别注意换元后新元的范围（即定义域）。换元法是几种常用的数学方法之一，在求函数的值域中发挥很大作用。例2. 若，求函数的值域。解：，因为，则，于是，故的值域是。三、分离常数法求一次分式函数值域可用分离常数法，此类问题有时也可以利用反函数法。例3. 求函数的值域。解：，因为，则，故函数的值域为。四、判别式法把函数转化成关于x的二次方程，通过方程有实数根，根据判别式，从而求得原函数的值域，形如求函数（、不同时为0）的值域，常用此方法求解。注意这类函数的定义域一般是实数集时用这种方法一般不会出错，否则不宜用这种方法。例4. 求函数的值域。解：原式变形为。①当时，方程无解；②当时，因为，所以，解得。综合①②得，函数的值域为。五、函数的单调性法确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，借助单调性求出函数的值域。例5. 求函数的值域。解：因为当x增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，所以函数在定义域上是增函数。故，所以函数的值域为。六、利用有界性利用函数解析式中局部式子的有界性来求整个函数的值域也是常用的求值域的方法。例6. 求函数的值域。解：由函数的解析式可以知道函数的定义域为R，对函数进行变形可得，因为，所以，则，故，所以函数的值域为。

（1）化归法；（2）图象法（数形结合），（3）函数单调性法，（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法，（10）基本不等式法等

一般求函数的值域常有如下方法：（1）利用函数性质求解析式也就是根据题目条件的定义域和值域的范围，确定解析式的形式，这种方法常用于解决分段函数的问题。（2）配方法、换元法对于形如y=ax+b+√(cx+d)的函数，可以用换元法；对于含√(a^2-x^2)结构的函数，可利用三角代换，转化为三角函数求值域。（3）反函数法、判别式法对于形如y=(cx+d)/(ax+b)的函数值域可用反函数法，也可用配凑法；对于形如y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f)的函数值域常用判别式法，把函数转化成关于x的二次方程f(x,y)=0，通过方程有实根，判别式△≥0,从而得到原函数的值域。但注意要讨论二次项系数为零和非零的两种情况。（4）不等式法、单调性法利用基本不等式a+b≥2√ab求值域，注意“一正、二定、三取等”。即：a>0,b>0；a+b(或ab)为定值；取等号的条件。对于形如y=ax+b+√(cx+d)的函数，看a与d是否同号，若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域。（5）数形结合法这个就不用我多说了吧，把已知问题转化为图像求最值或者范围的问题，灵活利用平面或空间几何学的性质，帮助求解。（6）导数法这个是最保险的，但是往往运算起来会比较麻烦。（7）抽象函数问题根据题目所给条件对问题进行转化，化繁为简。

求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数 可以化成一个系数含有 的关于 的二次方程 ，则在 时，由于 为实数，故必须有 ，从而确定函数的值域或最值． ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．

求函数值域的几种常见方法1直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；反比例函数 的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}；二次函数的定义域为R当a>0时，值域为{y|y≥(4ac-b??)/4a}；当a<0时，值域为{y|y≤(4ac-b??)/4a}例1．求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x≤1)解：①∵-1≤x≤1，∴-3≤3x≤ 3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y≤5，∴值域是y∈[-1，5]②y=x??-2x+3∵1>0∴(4ac-b??)/4a=[4×1×3-（-2）??]/4×1=1即函数的值域是{y|y≥2}2．二次函数在定区间上的值域(最值)：①f(x)=x??-6x+12 x∈[4,6]因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3二次项系数1>0所以f(x)=x??-6x+12 在x∈[4,6]是增函数所以f(x)min=f(4)=4 f(x)max=f(6)=12f(x)的值域是[4,12]②f(x)=x??-6x+12 x∈[0,5]因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3二次项系数1>0所以f(x)=x??-6x+12 在x∈[0,3]是减函数，在x∈(3,5]是增函数所以f(x)min=f(3)=3而f(0)=12 f(5)=7，所以f(x)max=f(0)=12 f(x)的值域是[3,12]3观察法求y=(√x)+1的值域∵√x≥0 ∴√x+1≥1∴y=(√x)+1的值域是[1,+∞)4配方法求y=√(x??-6x-5)的值域∵-x??-6x-5≥0可知函数的定义域是[-5,-1]∵-x??-6x-5=-(x+3)??+4因为-5≤x≤-1所以-2≤x+3≤2 所以0≤(x+3)??≤4所以-4≤-(x+3)??≤0终于得到0≤-(x+3)??+4≤4所以0≤√(x??-6x-5)≤2所以y=√(x??-6x-5)的值域是[0,2]5.图像法求y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域解：因为y=-2x+2(x<-3) y=8 (-3≤x<5) y=2x-2(x≥5)自己画图像由图可知y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域是[8,＋∞)6.利用有界性求y=3^x/（1+3^x）的值域解y=3^x/（1+3^x）两边同乘以1+3^x所以 3^x=y（1+3^x)3^x=y+y3^x3^x-y3^x=y(1-y)3^x=y3^x=y/(1-y)因为3^x>0 所以 y/(1-y)>0 解得 0<y<1值域为（0，1）7判别式法求y=1/(2x??-3x+1)解 ∵2x??-3x+1≠0∴函数的定义域是{x｜x∈R,且x≠1, x≠1/2}将函数变形可得2yx??-3yx+y-1=0当y≠0时,上述关于x的二次方程有实数解Δ=9y??-8y(y-1)≥0所以y≤-8或y≥0当y=0时，方程无解，身体y=0不是原函数的值所以y=1/(2x??-3x+1)的值域是(-∞,-8]∪(0,+∞)8换元法求y=2x－√（x-1)的值域解令t=√（x-1)显然t≥0以x=t??+1所以y=2(t??+1)-t=2t??-t+2=2(t-1/4)??+15/8因为t≥0所以y=2x－√（x-1)的值域是[15/8,+∞)值域三角函数法、基本不等式法、导数法分别是高一下册，高二上册，高三的内容，在这里就不例举了

值域问题是高中函数的一个精华问题。有很多问题都是围绕着他展开的。比如说恒成立问题，值域反求定义与问题（即反函数求定义域）……等等。下面就说一下最基本的集中求值域问题的类型。首先要着重说的是：求值域，必先看定义域。所有函数都是如此。1.单调性法利用函数的单调性。当一个函数单调性很容易判断时，可用定义域来求解。e.g.1y=x-√（1-2x).求值域。解：1-2x≥0,得x≤1/2.观察得，函数在指定区间内为增函数，所以y有最大值，即1/2-√（1-1）=1/2.所以值域为（-∞，1/2]。2.判别式法。适用于y是x的2次函数的情况。且x∈r.y=(x^2-x)/(x^2-x+1).求值域。解：将原式变形得y*(x^2-x+1)=x^2-x.整理得（y-1）x^2+(1-y)x+y=0.因为y=1时，推出y=0.即x∈φ所以y≠1.x∈r，即此式恒有根，所以δ=（1-y)^2-4(y-1)*y≥0,解得-1/3≤y≤1.又因为y≠1,所以y∈[-1/3,1).注：此法可用的原因：化成x的式子后发现，x∈r对该式都成立，也就是说有这样的x,一定可以为根，要y来配合。此式由无穷个根，即如果你给了合适的y后，在式子中总能找到x解。那么这个y就是为了保证让式子一定有解才会满足x∈r成立，即判别式大于等于0.3.分离常数法。适用于分母分子有相同的形式的部分，然后用观察法（单调性法）y=(2-sinx)/(2+sinx).求值域。变形为y=(-2-sinx+4)/(2+sinx)=-1+4/(2+sinx)因为sinx∈[-1,1],所以2+sinx∈[1,3].所以4/（2+sinx)∈[4/3,4].所以y∈[1/3,3]4.反表示法。把未知项（含x项）用y来表示，要知道未知项的范围。y=3^x/(3^x+1).求值域。解：变形得3^x(1-y)=y.讨论当y=1,即3^x/(3^x+1)=1.不成立（因为此式小于1）所以y≠1,则有3^x=y/(1-y).这就是说3^x与y/(1-y）是等同的。那么他们的范围也就等同。也就是说y/(1-y)＞0.解得y∈(0,1).5.几何意义法。题干的形式会让我们产生联想。如想到斜率、两点间距离公式等。①。y=√(x^2+1)+√[(2-x)^2+4].求值域。先看定义域，全体实数。那么不用管了。变形得y=√[(x-0)^2+(0-1)^2]+√[(x-2)^2+(0-2)^2].y的几何意义是（x,0)点到点（0，1）的距离与（x.0)点到点（2，2）的距离的和。画出图像，观察知，当（x,0)点在直线y-2=3/2(x-2)上时，有最小值。解直线与x轴交点，得x=2/3.对应的原函数值y=√(4+9)=√13.(勾股定理）②。求y=sinx/(2-x)的值域。解：变形得y=-(0-sinx)/(2-cosx).y的几何意义是（2，0）到（cosx,sinx)的斜率的相反数。画图，观察计算得k的范围是[-√3/3,√3/3].所以y的范围是-k,为[-√3/3,√3/3].如果你是新生的话，可能有些东西你还没接触到，理解的会差一些。没关系，不出几个月，你就都能学到了。除了上面我介绍的几种方法外，还有什么换元法，上下同除法，平方去根号法，导数法等等。但最常用的还是上面那几个。

图象法、判别式法、分离常数法、直接法、复合函数法。

一、配方法。将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。（画一个简易的图能更便捷直观的求出值域。）请点击输入图片描述二、常数分离这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。请点击输入图片描述三、逆求法对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。请点击输入图片描述四、换元法对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解请点击输入图片描述五、单调性可先求出函数的单调性（注意先求定义域），根据单调性在定义域上求出函数的值域。六、基本不等式根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。请点击输入图片描述七、数形结合可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域请点击输入图片描述八、求导法求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可的到值域了。请点击输入图片描述九、判别式法将函数转变成 ****=0 的形式，再用解方程的方法求出要满足的条件，求解即可。请点击输入图片描述END注意事项不知道是否有表述清楚，可图片里的例子进行理解。方法很多，重在理解，才能掌握。平时也可以多找题目进行练手。

求函数的值域的常用方法如下：1、图像法：根据函数图象，观察最高点和最低点的纵坐标。2、配方法：利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。3、单调性法：利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。4、反函数法：若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。5、换元法：包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围。6、判别式法：判别式法即利用二次函数的判别式求值域。7、不等式法：利用a+b≥2√ab（其中a，b∈R+）求函数值域时，要时刻注意不等式成立的条件，即“一正，二定，三相等”。8、折叠三角代换法：利用基本的三角关系式，进行简化求值。例如：a的平方+b的平方=1，c的平方+d的平方=1，求证：ac+bd小于或等于1。直接计算麻烦，用三角代换法比较简单。做法：设a=sinx ，b=cosx，c=siny ，d=cosy，则ac+bd=sinx*siny+cosx*cosy =cos（y-x），因为我们知道cos（y-x）小于等于1，所以不等式成立。

　　求函数值域的常用方法有：化归法、复合函数法、判别式法、图像法、分离常数法、反函数法、换元法、不等式法、单调性法。在函数中，因变量的变化而变化的取值范围叫做这个函数的值域。 　　求值域的方法 　　化归法： 把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法。 　　图像法：根据函数图像，观察最高点和最低点的纵坐标。 　　配方法：利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。 　　单调性法：利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。 　　反函数法：若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。 　　换元法：包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围。

解函数的值域问题及解法值域的概念：函数y=f(x)的值域是函数值的取值范围,用集合表示为{y│y=f(x),x∈A}.这里集合A是函数的定义域,由此可见,它与定义域密切相关.值域的几何意义是函数图象上点的纵坐标的集合,也可以说成是函数图象纵向的分布范围.一般来说,求值域比求定义域困难得多.求值域要根据解析式的结构特征选择适当的方法,具有较强的灵活性和一定的技巧性.1．观察法用于简单的解析式.y=1-√x≤1,值域(-∞,1]y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞).2．配方法多用于二次(型)函数.y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,+∞）y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞）3．换元法多用于复合型函数.通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域.特别注意中间变量（新量）的变化范围.y=-x+2√( x-1)+2令t=√(x-1),则t≥0,x=t^2+1.y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤2,值域(-∞,2].4．不等式法用不等式的基本性质,也是求值域的普遍解法

1.导数法利用导数求出其单调性和极值点的极值，最常规，最不易高错，但往往计算很烦杂2.分离常数如x^2/(x^2+1)将其分离成1－1/(x^2+1)再判断值域3.分子分母同除以某个变量如x/(x^2+1)同时除以x得1/（x+1/x）分母的值域很好求，再带进整个函数即可4.换元法可以说是3的拓展如(x+1)/(x^2+1)一类分子分母同时除以x仍无法判断的。令t＝x＋1，再把x^2表示成(t-1)^2，再分子分母同时除以t就成了3中的情形5.基本换元法型如1/(x+1)+1/(x+1)^2等，直接令t＝1/(x＋1)，求出t的定义域,可以很快将函数换成型如t^2+t的形式，从而可求值域。当然，要注意t的定义域6.倒数法和2基本相同。如x/(x^2+1)先求其倒数x＋1/x,再倒回去，2，6基本类似。以上是几条比较基本和常用的方法，当然要注意他们的综合应用。

函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

这个要具体问题具体分析的。首先，f（x）是对应一条式子的，观察式的特点：如果是二次函数，则可以配方，或者直接从图像得出结果。再结合定义域就可以了。当然，二次函数是比较简单的。对于一些特别的函数，比如三角函数，就要考虑定义域多点了。先变形成一般的形式，画出图像，结合定义域也能得出结果。如果是一些图像比较难画的图像，比如y=ax+b/x(a>0,b>0）的一类，就要看它的结构，可以用均值定理来求出最大（最小）值【均值定理：a+b≥2√ab，(a>0,b>0）】。然后看取得最值的条件，如果是上面的式子，即ax=b/x时。这是定义域为R时常用的手法，可以直接看出值域。如果是复合函数，分段函数的话，就从单调区间入手，求单调区间可以用导数来求。不会导数的话，就要讨论一下。复合函数，同增异减，即复合的两个函数的单调性相同的话，原函数就是增的，如果单调性不同的话，原函数就是减的。例如f（x）=（sinx）^2（定义域：[0,д/2])这是个三角函数和二次函数的复合函数在定义域内，sinx是增的，在sinx≥0时（sinx）^2，也是增的。且在定义域内两者的单调性相同，所以原函数就是增函数。知道单调性和定义域，就很好求值域了。当然，用反函数求值域这种方法也可以用。大概就是这些比较常用的办法。对一些有最值或有取不到的值的常用函数的值域和图像要清楚。比如二次函数，对数函数，三角函数。希望对您有所帮助。

二次函数求值域的最根本方法就是结合图象利用函数的单调性确定值域将函数配方后确定对称轴分析函数的开口方向及区间与对称轴的关系或在对称轴两侧函数一定单调若对称轴在区间内若开口方向向上取对称轴最小最大值在两个端点取到距对称轴最远的最大开口方向向下正好相反含有字母的函数或区间内含有字母的二次函数最值的求解常按如上方法分类讨论!

-2<x<2所以：-3<x-1<1所以：-1<-(x-1)<3所以：0<=|x-1|<3所以，f(x-1)=|x-1|的值域为：[0,3)

函数定义域的三类求法一、给出函数解析式求其定义域，一般是先列出限制条件的不等式（组），再进行求解。二.给出函数的定义域，求函数的定义域，其解法步骤是：若已知函数的定义域为，则其复合函数的定义域应由不等式解得。三.给出的定义域，求的定义域，其解法步骤是：若已知的定义域为，则的定义域是在时的取值范围。函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；②逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

参考答案：函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值,如y=ax^2+bx+c(a≠0)常化为y=a(x+b/2a)+c-b^2/4a的形式；②逆求法（反求法）：通过反解，用x=f-(y)来表示，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常用来解型如y=e^x+e^(-x)/e^x-e^(-x)(或者e可以为任意常数)；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：转化成型如a^2+b^2>=2ab，利用平均值不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

1)直接法——从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围2)配方法——配方是求“二次函数类”值域的基本方法,形如f(x)=af(x)方bf(x)方+c的函数的值域问题,均可使用配方法3)反函数法——利用函数与他的范函数的定义域与值域的互逆关系,通过求范函数的定义域,得到原函数的值域。一次分数式型均可使用反函数,此外,此种类型也可使用“分离常数法”求得4)判别式法——把函数转化成关于x的二次方程f(x,y)=0,通过方程有实根,判别式“的塔”>=0,从而求得原函数的值域。通常用于球二次分式型5)换元法运用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求的函数的值域形如:y=ax+b-根号cx+d(a,b,c,d均为常数,且a不为0)的函数常用此方法求解6)不等式法利用均值不等式求函数的值域,“一正、二定、三相等”7)单调性法确定函数在定义域(或某个定义域上的子集)上的单调性求出函数的值域分母中含根号的分式的值域均可使用此方法求解8)求导法当一个函数在定义域上可导时,可据其导数求最值9)数形结合当一个函数图像可作时,通过图像可求其值域和最值;或利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法求出函数的值域

在分母上当然有点不可取了。

错y=(5x+4)/(x-1)yx-y=5x+4(y-5)x=4+yy-5≠0y≠5时，方程有解∴值域为{y|y≠5，y∈R}

求值域的方法分别有：配方法、常数分离法、逆求法、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合法、求导法和判别式法共九种方法。由于求值域的方法非常多，所以在求值域前必须充分理解解析式的结构特和特征，从而选择适当、正确的方法。下面我们就一起来分别了解下这些求值域的方法： 1、配方法，将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。 2、常数分离法，这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。 3、逆求法，对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。 4、换元法，对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。 5、单调性法，可先求出函数的单调性(注意先求定义域)，根据单调性在定义域上求出函数的值域。 6、基本不等式法，根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。7、数形结合法，可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域。 8、求导法，求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可的到值域了。 9、判别式法，将原函数变形成关于x的一元二次方程，该方程一定有解，利用方程有解的条件求得y的取值范围，即为原函数的值域。

一般求函数的值域常有如下方法：（1）利用函数性质求解析式也就是根据题目条件的定义域和值域的范围，确定解析式的形式，这种方法常用于解决分段函数的问题。（2）配方法、换元法对于形如y=ax+b+√(cx+d)的函数，可以用换元法；对于含√(a^2-x^2)结构的函数，可利用三角代换，转化为三角函数求值域。（3）反函数法、判别式法对于形如y=(cx+d)/(ax+b)的函数值域可用反函数法，也可用配凑法；对于形如y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f)的函数值域常用判别式法，把函数转化成关于x的二次方程f(x,y)=0，通过方程有实根，判别式△≥0,从而得到原函数的值域。但注意要讨论二次项系数为零和非零的两种情况。（4）不等式法、单调性法利用基本不等式a+b≥2√ab求值域，注意“一正、二定、三取等”。即：a>0,b>0；a+b(或ab)为定值；取等号的条件。对于形如y=ax+b+√(cx+d)的函数，看a与d是否同号，若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域。（5）数形结合法这个就不用我多说了吧，把已知问题转化为图像求最值或者范围的问题，灵活利用平面或空间几何学的性质，帮助求解。（6）导数法这个是最保险的，但是往往运算起来会比较麻烦。（7）抽象函数问题根据题目所给条件对问题进行转化，化繁为简。

求函数值域的常用方法有：配方法，分离常数法，判别式法，反解法，换元法，不等式法，单调性法，函数有界性法，数形结合法，导数法。 一、配方法二、反解法三、分离常数法四、判别式法五、换元法六、不等式法七、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。八、函数单调性法 先确定函数在其定义域（或定义域的某个子集上）的单调性，再求出函数值域的方法。考虑这一方法的是某些由指数形式的函数或对数形式的函数构成的一些简单的初等函数，可直接利用指数或对数的单调性求得答案；还有一些形如，看a,d是否同号，若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域；还有的在利用重要不等式求值域失败的情况下，可采用单调性求值域。九、数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。十、导数法 利用导数求闭区间上函数的值域的一般步骤：(1)求导，令导数为0；(2)确定极值点，求极值；(3)比较端点与极值的大小，确定最大值与最小值即可确定值域。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

值域是y的取值范围，根据自变量x的取值确定。。。。

求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上,如果在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数 可以化成一个系数含有 的关于 的二次方程 ,则在 时,由于 为实数,故必须有 ,从而确定函数的值域或最值． ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．

1、配方法。将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。（画一个简易的图能更便捷直观的求出值域。） 2、常数分离。这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。 3、逆求法。对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。 4、换元法。对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。

1、观察法 用于简单的解析式，y=1-√x≤1,值域(-∞, 1]y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞)。 2、不等式法 用不等式的基本性质,也是求值域的常用方法.y=(e^x+1)/(e^x-1), (0<x<1)； p=""> </x<1)；> 由0<x<1得1<e^x<e,0 1+2/(e-1),值域(1+2/(e-1),+∞)。</x<1得1<e^x<e,0 3、配方法 多用于二次(型)函数.y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,+∞）y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞）。 3、换元法 多用于复合型函数.通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域，注意中间变量（新量）的变化范围。 y=-x+2√( x-1)+2令t=√(x-1),则t≥0,x=t^2+1 y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤2,值域(-∞, 2]

求函数值域方法有：1,配方法(二次函数或二次形式的函数求值域的典型方法)2,换元法(比如三角换元,整体代换)3,判别式法4,利用函数单调性(闭区间上连续函数有最大,最小值)5,数形结合的方法(利用问题的几何意义,将代数问题转化为几何问题)6,求导数的方法(似乎所有的给定解析式求最值都可以用求导数的方法,但有些初等问题用导数求解相当啰嗦)7,反解法(利用函数和它的反函数的定义域和值域的互逆关系,通过恒等变形,求原函数的值域)8,其它特殊方法求函数值域的常用方法有：化归法、复合函数法、判别式法、图像法、分离常数法、反函数法、换元法、不等式法、单调性法。在函数中，因变量的变化而变化的取值范围叫做这个函数的值域。求值域的方法化归法：把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法。图像法：根据函数图像，观察最高点和最低点的纵坐标。配方法：利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。单调性法：利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。反函数法：若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。换元法：包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围。

求函数定义域可以设两个变量或者设两个非空数集，求函数的值域可以用图像法，配方法，单调性法，换元法等方法。 求函数定义域的方法 设x、y是两个变量，变量x的变化范围为D，如果对于每一个数x∈D，变量y遵照一定的法则总有确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，x∈D，x称为自变量，y称为因变量，数集D称为这个函数的定义域。 设A，B是两个非空数集，从集合A到集合B的一个映射，叫做从集合A到集合B的一个函数。记作y=f（x），x∈A，或y=g（t），t∈A，其中A就叫做定义域。通常，用字母D表示。通常定义域是F(X)中x的取值范围。 其主要根据为： 1、分式的分母不能为零。 2、偶次方根的被开方数不小于零。 3、对数函数的真数必须大于零。 4、指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1。 求函数值域的方法 1.图像法 根据函数图象，观察最高点和最低点的纵坐标。 2.配方法 利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。 3.单调性法 利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。 4.反函数法 若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。 5.换元法 包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围。 6.判别式法 判别式法即利用二次函数的判别式求值域。 7.复合函数法 设复合函数为f[g(x)，]g(x)为内层函数,为了求出f的值域，先求出g(x)的值域,然后把g(x)看成一个整体，相当于f(x)的自变量x，所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定义域，然后根据f(x)函数的性质求出其值域； 8.不等式法 基本不等式法：利用a+b≥2√ab(其中a,b∈R+)求函数值域时，要时刻注意不等式成立的条件，即“一正，二定，三相等”。 9.化归法 用函数和他的反函数定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。 10.分离常数法 把分子分母中都有的未知数变成只有分子或者只有分母的情况，由于分子分母中都有未知数与常数的和，所以一般来说我们分拆分子，这样把分子中的未知数变成分母的倍数，然后就只剩下常数除以一个含有未知数的式子。

函数值域的几种常见方法1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax b(a 0)的定义域为R，值域为R；反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；二次函数 的定义域为R，当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }.例1．求下列函数的值域① y=3x 2(-1 x 1) ② ③ ④ 解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，∴-1 3x 2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5]②∵ ∴ 即函数 的值域是 { y| y 2} ③ ④当x>0，∴ = ，当x<0时， =－ ∴值域是 [2， ).（此法也称为配方法）函数 的图像为：2．二次函数比区间上的值域(最值)：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：① ； 解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }.②∵顶点横坐标2 [3,4]，当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6].注：对于二次函数 ,⑴若定义域为R时，①当a>0时，则当 时，其最小值 ；②当a<0时，则当 时，其最大值 .⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较 的大小决定函数的最大（小）值.②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3．求函数 的值域方法一：去分母得 (y-1) (y 5)x-6y-6=0 ①当 y11时 ∵x?R ∴△=(y 5) 4(y-1)×6(y 1) 0由此得 (5y 1) 0 检验 时 （代入①求根）∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴ 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11综上所述，函数 的值域为 { y| y11且 y1 }方法二：把已知函数化为函数 (x12)∵ x=2时 即 说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4．换元法例4．求函数 的值域解：设 则 t 0 x=1- 代入得 5．分段函数例5．求函数y=|x 1| |x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}.解法2：∵函数y=|x 1| |x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3， ]. 如图两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.

1：直接法：从自变量的范围出发,推出值域,也就是直接看咯.这个不用例题了吧?2：分离常数法例题：y=(1-x^2)/(1+x^2)解,y=(1-x^2)/(1+x^2)=2/(1+x^2)-1∵1+x^2≥1,∴0＜2/（1+x^2)≤2∴-1＜y≤1即y∈（-1,1】3：配方法（或者说是最值法）求出最大值还有最小值,那么值域不就出来了吗.例题：y=x^2+2x+3x∈【-1,2】先配方,得y=(x+1)^2+1∴ymin=(-1+1)^2+2=2ymax=(2+1)^2+2=114:判别式法,运用方程思想,根据二次方程有实根求值域不好意思,当初做笔记的时候忘记抄例题了,不过这种方法不是很常用.5：换元法：适用于有根号的函数例题：y=x-√（1-2x)设√（1-2x)=t(t≥0)∴x=(1-t^2)/2∴y=(1-t^2)/2-t=-t^2/2-t+1/2=-1/2(t+1)^2+1∵t≥0,∴y∈（-∝,1/2）6：图像法,直接画图看值域例题：y=|x+1|+√（x-2)^2这是一个分段函数,你画出图后就可以一眼看出值域.

函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； ⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

1.导数法利用导数求出其单调性和极值点的极值，最常规，最不易高错，但往往计算很烦杂2.分离常数如x^2/(x^2+1)将其分离成1－1/(x^2+1)再判断值域3.分子分母同除以某个变量如x/(x^2+1)同时除以x得1/（x+1/x）分母的值域很好求，再带进整个函数即可4.换元法可以说是3的拓展如(x+1)/(x^2+1)一类分子分母同时除以x仍无法判断的。令t＝x＋1，再把x^2表示成(t-1)^2，再分子分母同时除以t就成了3中的情形5.基本换元法型如1/(x+1)+1/(x+1)^2等，直接令t＝1/(x＋1)，求出t的定义域,可以很快将函数换成型如t^2+t的形式，从而可求值域。当然，要注意t的定义域6.倒数法和2基本相同。如x/(x^2+1)先求其倒数x＋1/x,再倒回去，2，6基本类似。以上是几条比较基本和常用的方法，当然要注意他们的综合应用。

1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。例题：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】先配方，得y=(x+1)^2+1∴ymin=(-1+1)^2+2=2ymax=(2+1)^2+2=114.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。8.换元法：适用于有根号的函数例题：y=x-√（1-2x)设√（1-2x)=t(t≥0)∴x=(1-t^2)/2∴y=(1-t^2)/2-t=-t^2/2-t+1/2=-1/2(t+1)^2+1∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）9：图像法，直接画图看值域这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。例题：y=(3x-1)/(3x-2)先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)明显定义域为x≠1所以原函数的值域为y≠1扩展资料：常见函数值域：y=kx+b （k≠0）的值域为Ry=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)y=√x的值域为x≥0y=ax^2+bx+c 当a>0时，值域为 [4ac-b^2/4a,+∞) ；当a<0时，值域为（-∞，4ac-b^2/4a]y=a^x 的值域为 (0,+∞)y=lgx的值域为R

对定义域中每一个元素按f(x)计算结果的集合即值域

令 t=x+2 ，则由 x > -2 得 t>0 ，y=(x+2)/(x^2+x+1)=t/[(t-2)^2+(t-2)+1]=t/(t^2-3t+3)=1/(t+3/t-3) ，由于 t>0 ，所以 t+3/t>=2√3 ，因此 y<=1/(2√3-3)=(2√3+3)/3 ，同时 y=(x+2)/(x^2+x+1)>0 ，所以函数值域为（0，(2√3+3)/3] 。

1．观察法用于简单的解析式。y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).2.配方法多用于二次(型)函数。y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）3. 换元法多用于复合型函数。通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。特别注意中间变量（新量）的变化范围。y=-x+2√( x-1)+2令t=√(x-1),则t≤0, x=t^2+1.y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤1,值域(－∞, 1].4. 不等式法用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。y=（e^x+1）/(e^x-1), (0<x<1).0<x<1,1<e^x<e, 0<e^x-1<e-1,1/(e^x-1)>1/(e-1),y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).5. 最值法如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.6. 反函数法有的又叫反解法.函数和它的反函数的定义域与值域互换.如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.7. 单调性法若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为[f(b), f(a)].

图像法，换元法

数学如茫茫宇宙一样，需要一颗去探索的心。多去钻研，这才是正道

问题太大了啊，你应该具体点

求值域要先知道方程式的图像，这个是对勾函数，右半轴最低点是根号4即2，定义域是2到5，由图像可知单调递增，所以可以直接把2入方程式得4,把5带入方程式得29/5,因此定义域是[4,29/5]对勾函数虽然书上没有说，但是这个是基本的要记住的特殊方程

值域：R定义域：x≠3/5

函数的值域问题及解法 值域的概念： 函数y=f(x)的值域是函数值的取值范围,用集合表示为{y│y=f(x),x∈A}.这里集合A是函数的定义域,由此可见,它与定义域密切相关. 值域的几何意义是函数图象上点的纵坐标的集合,也可以说成是函数图象纵向的分布范围. 一般来说,求值域比求定义域困难得多.求值域要根据解析式的结构特征选择适当的方法,具有较强的灵活性和一定的技巧性. 1．观察法 用于简单的解析式. y=1-√x≤1,值域(-∞, 1] y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞). 2．配方法 多用于二次(型)函数. y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,+∞） y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞） 3．换元法 多用于复合型函数. 通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域. 特别注意中间变量（新量）的变化范围. y=-x+2√( x-1)+2 令t=√(x-1),则t≥0,x=t^2+1. y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤2,值域(-∞, 2]. 4．不等式法 用不等式的基本性质,也是求值域的常用方法. y=(e^x+1)/(e^x-1), (0

1 小于等于1大于等于-3

一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域. 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域. 点拨：根据算术平方根的性质,先求出√(2－3x) 的值域. 由算术平方根的性质,知√(2－3x)≥0, 故3+√(2－3x)≥3. ∴函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性,即：（1）被开方数的非负性,（2）值的非负性. 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法. 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域.（答案：值域为：｛0,1,2,3,4,5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域. 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域. 点拨：先求出原函数的反函数,再求出其定义域. 显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝. 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数.这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一. 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域.（答案：函数的值域为｛y∣y1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域. 点拨：将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求. 由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1,2].此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0,9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用.配方法是数学的一种重要的思想方法. 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域. 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域. 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域. 将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0,解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解.∴函数的值域为2＜y≤10/3. 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域.常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数. 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域.（答案：值域为y≤－8或y>0）. 五．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域. 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域. 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域. ∵3x2+x+1＞0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得－1≤x≤3/2,又x+y=1,将y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小. 当x=-1时,z=－5；当x=3/2时,z=15/4. ∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝. 点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值.对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域. 练习：若√x为实数,则函数y=x2+3x-5的值域为 （ ） A．（－∞,＋∞） B．[－7,＋∞] C．[0,＋∞） D．[－5,＋∞） （答案：D）. 六．图象法 通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域. 例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域. 点拨：根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象. 原函数化为 －2x+1 (x≤1) y= 3 (-12) 它的图象如图所示. 显然函数值y≥3,所以,函数值域[3,＋∞]. 点评：分段函数应注意函数的端点.利用函数的图象 求函数的值域,体现数形结合的思想.是解决问题的重要方法. 求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域. 七．单调法 利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域. 例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域. 点拨：由已知的函数是复合函数,即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x),其定义域为x≤1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域. 设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x 在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝. 点评：利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域. 练习：求函数y=3+√4-x 的值域.(答案：｛y|y≥3｝) 八．换元法 以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域. 例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域. 点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域. 设t=√2x+1 （t≥0）,则 x=1/2(t2-1). 于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2. 所以,原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝. 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域.这种解题的方法体现换元、化归的思想方法.它的应用十分广泛. 练习：求函数y=√x-1 –x的值域.（答案：｛y|y≤－3/4｝ 九．构造法 根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合. 例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域. 点拨：将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域. 原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位 正方形.设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 , KC=√(x+2)2+1 . 由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5.当A、K、C三点共 线时取等号. ∴原函数的知域为｛y|y≥5｝. 点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷.这是数形结合思想的体现. 练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域.（答案：｛y|y≥5√2｝） 十．比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域. 例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域. 点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数. 由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1. 当k=－3/5时,x=3/5,y=－4/5时,zmin=1. 函数的值域为｛z|z≥1｝. 点评：本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识. 练习：已知x,y∈R,且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域.（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝） 十一．利用多项式的除法 例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域. 点拨：将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和. y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1). ∵1/(x+1)≠0,故y≠3. ∴函数y的值域为y≠3的一切实数. 点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法. 练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域.（答案：y≠2） 十二．不等式法 例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域. 点拨：先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式. 易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知 x/(1-x)＞0 1-x≠0 解得,0＜x1或y

那两个顶点对应的y值应该就是值域了，所以答案应该就只有两个了，因为x∈{0,2}