初一数学《教与学》一元一次方程的解法（三）

含字母系数的一元一次方程

教学目标

1.使学生理解和掌握含有字母系数的一元一次方程及其解法；

2.理解公式变形的意义并掌握公式变形的方法；

3.提高学生的运算和推理能力.

教育重点和难点

重点：含有字母系数的一元一次方程和解法.

难点：字母系数的条件的运用和公式变形.

教学过程设计

一、导入新课

问：什么叫方程?什么叫一元一次方程?

答：含有未知数的等式叫做方程，含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程.

例 解方程2x－1 3－10x+1 6=2x+1 4－1

解 去分母，方程两边都乘以12，得

4(2x－1)－2(10x+1)=3(2x+1)－12,

去括号，得

8x－4－20x－2=6x+3-12

移项，得

8x－20x－6x=3-12+4+2，

合并同类项，得

－18x=－3，

方程两边都除以－18，得

x=3 18 ,即 x=1 6.

二、新课

1.含字母系数的一元一次方程的解法.

我们把一元一次方程用一般的形式表示为

ax=b (a≠0),

其中x表示未知数，a和b是用字母表示的已知数，对未知数x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项.

如果一元一次方程中的系数用字母来表示，那么这个方程就叫做含有字母系数的一元一

次方程.

以后如果没有特别说明，在含有字母系数的方程中，一般用a，b，c等表示已知数，用x，y，z等表示未知数.

含字母系数的一元一次方程的解法与只含有数字系数的一元一次方程的解法相同.按照解

一元一次方程的步骤，最后转化为ax=b(a≠0)的形式.这里应注意的是，用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零.如(m－2)x=3,必须当m－2≠0时，即m≠2时，才有x=3 m－2 .这是含有字母系数的方程和只含有数字系数的方程的重要区别.

例1 解方程ax+b2=bx+a2(a≠b).

分析：这个方程中的字母a，b都是已知数，x是未知数，是一个含有字母系数的一元一次方程.这里给出的条件a≠b，是使方程有解的关键，在解方程的过程中要运用这个条件.

解 移项，得

ax－bx=a2－b2,

合并同类项，得

(a－b)x=a2－b2.

因为a≠b，所以a－b≠0.方程两边都除以a－b，得

x=a2－b2 a－b=(a+b)(a－b) a－b,

所以 x=a+b.

指出：

(1)题中给出a≠b，在解方程过程中，保证了用不等于零的式子a－b去除方程的两边后所得的方程的解是原方程的解；

(2)如果方程的解是分式形式时，一般要化成最简分式或整式.

例2 x－b a=2－x－a b(a+b≠0).

观察方程结构的特点，请说出解方程的思路.

答：这个方程中含有分式，可先去分母，把方程转化成含有字母系数的一元一次方程

的一般形式.在方程变形中，要应用已知条件a+b≠0.

解 去分母，方程两边都乘以ab得

b(x－b)=2ab－a(x－a),

去括号，得

bx－b2=2ab－ax+a2,

移项，得

ax+bx=a2+2ab+b2

合并同类项，得

(a+b)x=(a+b)2.

因为a+b≠0，所以x=a+b.

指出：ab≠0是一个隐含条件，这是因为字母a，b分别是方程中的两个分式的分母，因此a≠0,b≠0,所以ab≠0.

例3 解关于x的方程

a2+(x－1)ax+3a=6x+2(a≠2,a≠－3).

解 把方程变形为，得

a2x－a2+ax+3a=6x+2,

移项，合并同类项，得

a2x+ax－6x=a2－3a+2,

(a2+a－6)x=a2－3a+2,

(a+3)(a－2)x=(a－1)(a－2).

因为a≠2,a=－3，所以a+3≠0，a－2≠0.方程两边都除以(a+3)(a－2)，得

x=a－1 a+3.

2.公式变形.

在物理课中我们学习了很多物理公式，如果q表示燃烧值，m表示燃料的质量，那么完全燃烧这些燃料产生的热量W，三者之间的关系为W=qm，又如，用Q表示通过异体横截面的电量，用t表示时间，用I表示通过导体电流的大小，三者之间的关系为I=Qt.在这个公式中，如果用I和t来表示Q，也就是已知I和t，求Q，就得到Q=It；如果用I和Q来表示t，也就是已知I和Q，，求t，就得到t=QI.

像上面这样，把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形.

把公式中的某一个字母作为未知量，其它的字母作为已知量，求未知量，就是解含字母

系数数的方程.也就是说，公式变形实际就是解含有字母系数的方程.公式变形不但在数学，而且在物理和化学等学科中非常重要，我们要熟练掌握公式变形的技能.

例4 在公式υ=υo+at中，已知υ,υo,a，且a≠0，求t.

分析：已知υ，υo和a，求t，也就是把υ，υo和a作为已知量，解关于未知量t的字母系数的方程.

解 移项，得

υ－υ0=at.

因为a≠0，方程两边都除以a,得

t=υ－υo a.

例5 在梯形面积公式s=12(a+b)h中，已知a，b，h为正数.

(1)用s，a，b表示h；(2)用S,b,h表示a.

问：(1)和(2)中哪些是已知量?哪些是未知量；

答：（1）中S，a，b是已知量，h是未知量;(2)中s，b，h都是知已量，a是未知量.

解 (1)方程两边都乘以2，得

2s=(a+b)h.

因为a与b都是正数，所以a≠0，b≠0，即a+b≠0，方程两边都除以a+b，得

h=2sa+b.

(2)方程两边都乘以2，得

2s=(a+b)h,

整理，得

ah=2s－bh.

因为h为正数，所以h≠0，方程两边都除以h,得

a=2s－bh h.

指出：题是解关于h的方程，(a+b)可看作是未知量h的系数，在运算中(a+b)h不要展开.

三、课堂练习

1.解下列关于x的方程：

(1)3a+4x=7x－5b; (2)xa－b=xb－a(a≠b)；

(3)m2(x－n)=n2(x－m)(m2≠n2);

(4)ab+xa=xb－ba(a≠b);

(5)a2x+2=a(x+2)(a≠0,a≠1).

2.填空：

(1)已知y=rx+b r≠0,则x=_______;

(2)已知F=ma,a≠0，则m=_________;

(3)已知ax+by=c，a≠0，则x=_______.

3.以下公式中的字母都不等于零.

(1)求出公式m=pn+2中的n;

(2)已知xa+1b=1m，求x；

(3)在公式S=a+b2h中，求a;

(4)在公式S=υot+12t2x中，求x.

答案：

1.(1)x=3a+5b 3； (2)x=ab; (3)x=mn m+n; (4)x=a2+b2 a－b (5)x=2a.

2.(1)x=y－b r； (2)m=Fa; (3)x=c－by a.

3.(1)n=p－2m m; (2)x=ab－am bm; (3)a=2s－bh h;

(4)x=2s－2υott2.

四、小结

1.含字母系数的一元一次方程与只含有数字系数的一元一次方程的解法相同，但应特别注意，用含有字母的式子去乘或除方程的两边时，这个式子的值不能为零.我们所举的例题及课堂练习的题目中所给出的条件，都保证了这一点.

2.对于公式变形，首先要弄清公式中哪些是已知量，哪个是未知量.把已知量作为字

母系数，求未知量的过程就是解关于字母系数的方程的过程.

五、作业

1．解下列关于x的方程

(1)(m2+n2)x=m2－n2+2mnx(m－n≠0)；

(2)(x－a)2－(x－b)2=2a2－2b2 (a－b≠0);

(3)x+xm=m(m≠－1);

(4)xb+b=xa+a(a≠b);

(5)m+nx m+n=a+bx a+b(mb≠na).

2.在公式M=D－d 2l中，所有的字母都不等于零.

(1)已知M,l ,d求D； (2)已知M,l D,求d.

3.在公式S=12n[a1+(n－1)d]中，所有的字母都是正数，而且n为大于1的整数，求d.

答案：

1.(1)x=m+n m－n; (2)x=－a+b 2; (3)x=m2 m+1; (4)x=ab; (5)x=1.

2.(1)D=2lM+d; (2)d=D－2lM.

3.d=2S－na1 n(n－1).

课堂数学设计说明

1.学生对含有字母系数的方程的认识和解法以及公式变形，接受起来有一定困难.含字

母系数的方程与只含数字系数的方程的关系，是一般与特殊的关系，当含有字母系数的方程

中的字母给出特定的数字时，就是只含数字系数的方程.所以在教学设计中是从复习解只含

数字系数的一元一次方程入手，过渡到讨论含字母系数的一元一次方程的解法和公式变形，

体现了遵循学生从具体到抽象，从特殊到一般的思维方式和认识事物的规律.

2.在代数教学中应注意渗透推理因素.在解含有字母系数的一元一次方程和公式变形的过程中，引导学生注意所给题中的已知条件是什么，在方程变形中要正确运用题中的已知条件.如在解方程中，常用含有字母的式子乘(或除)方程的两边，并要论述如何根据已知条件，保证这个式子的值不等于零，从中有意识地训练和提高学生的逻辑推理能力，把代数运算和推理蜜切结合.

含字母系数的一元一次方程

问：什么叫方程?什么叫一元一次方程?

答：含有未知数的等式叫做方程，含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程.

例 解方程2x－1 3－10x+1 6=2x+1 4－1

解 去分母，方程两边都乘以12，得

4(2x－1)－2(10x+1)=3(2x+1)－12,

去括号，得

8x－4－20x－2=6x+3-12

移项，得

8x－20x－6x=3-12+4+2，

合并同类项，得

－18x=－3，

方程两边都除以－18，得

x=3 18 ,即 x=1 6.

二、新课

1.含字母系数的一元一次方程的解法.

我们把一元一次方程用一般的形式表示为

ax=b (a≠0),

其中x表示未知数，a和b是用字母表示的已知数，对未知数x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项.

如果一元一次方程中的系数用字母来表示，那么这个方程就叫做含有字母系数的一元一

次方程.

以后如果没有特别说明，在含有字母系数的方程中，一般用a，b，c等表示已知数，用x，y，z等表示未知数.

含字母系数的一元一次方程的解法与只含有数字系数的一元一次方程的解法相同.按照解

一元一次方程的步骤，最后转化为ax=b(a≠0)的形式.这里应注意的是，用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零.如(m－2)x=3,必须当m－2≠0时，即m≠2时，才有x=3 m－2 .这是含有字母系数的方程和只含有数字系数的方程的重要区别.

例1 解方程ax+b2=bx+a2(a≠b).

分析：这个方程中的字母a，b都是已知数，x是未知数，是一个含有字母系数的一元一次方程.这里给出的条件a≠b，是使方程有解的关键，在解方程的过程中要运用这个条件.

解 移项，得

ax－bx=a2－b2,

合并同类项，得

(a－b)x=a2－b2.

因为a≠b，所以a－b≠0.方程两边都除以a－b，得

x=a2－b2 a－b=(a+b)(a－b) a－b,

所以 x=a+b.

指出：

(1)题中给出a≠b，在解方程过程中，保证了用不等于零的式子a－b去除方程的两边后所得的方程的解是原方程的解；

(2)如果方程的解是分式形式时，一般要化成最简分式或整式.

例2 x－b a=2－x－a b(a+b≠0).

观察方程结构的特点，请说出解方程的思路.

答：这个方程中含有分式，可先去分母，把方程转化成含有字母系数的一元一次方程

的一般形式.在方程变形中，要应用已知条件a+b≠0.

解 去分母，方程两边都乘以ab得

b(x－b)=2ab－a(x－a),

去括号，得

bx－b2=2ab－ax+a2,

移项，得

ax+bx=a2+2ab+b2

合并同类项，得

(a+b)x=(a+b)2.

因为a+b≠0，所以x=a+b.

指出：ab≠0是一个隐含条件，这是因为字母a，b分别是方程中的两个分式的分母，因此a≠0,b≠0,所以ab≠0.

例3 解关于x的方程

a2+(x－1)ax+3a=6x+2(a≠2,a≠－3).

解 把方程变形为，得

a2x－a2+ax+3a=6x+2,

移项，合并同类项，得

a2x+ax－6x=a2－3a+2,

(a2+a－6)x=a2－3a+2,

(a+3)(a－2)x=(a－1)(a－2).

因为a≠2,a=－3，所以a+3≠0，a－2≠0.方程两边都除以(a+3)(a－2)，得

x=a－1 a+3.

2.公式变形.

在物理课中我们学习了很多物理公式，如果q表示燃烧值，m表示燃料的质量，那么完全燃烧这些燃料产生的热量W，三者之间的关系为W=qm，又如，用Q表示通过异体横截面的电量，用t表示时间，用I表示通过导体电流的大小，三者之间的关系为I=Qt.在这个公式中，如果用I和t来表示Q，也就是已知I和t，求Q，就得到Q=It；如果用I和Q来表示t，也就是已知I和Q，，求t，就得到t=QI.

像上面这样，把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形.

把公式中的某一个字母作为未知量，其它的字母作为已知量，求未知量，就是解含字母

系数数的方程.也就是说，公式变形实际就是解含有字母系数的方程.公式变形不但在数学，而且在物理和化学等学科中非常重要，我们要熟练掌握公式变形的技能.

例4 在公式υ=υo+at中，已知υ,υo,a，且a≠0，求t.

分析：已知υ，υo和a，求t，也就是把υ，υo和a作为已知量，解关于未知量t的字母系数的方程.

解 移项，得

υ－υ0=at.

因为a≠0，方程两边都除以a,得

t=υ－υo a.

例5 在梯形面积公式s=12(a+b)h中，已知a，b，h为正数.

(1)用s，a，b表示h；(2)用S,b,h表示a.

问：(1)和(2)中哪些是已知量?哪些是未知量；

答：（1）中S，a，b是已知量，h是未知量;(2)中s，b，h都是知已量，a是未知量.

解 (1)方程两边都乘以2，得

2s=(a+b)h.

因为a与b都是正数，所以a≠0，b≠0，即a+b≠0，方程两边都除以a+b，得

h=2sa+b.

(2)方程两边都乘以2，得

2s=(a+b)h,

整理，得

ah=2s－bh.

因为h为正数，所以h≠0，方程两边都除以h,得

a=2s－bh h.

指出：题是解关于h的方程，(a+b)可看作是未知量h的系数，在运算中(a+b)h不要展开.

三、课堂练习

1.解下列关于x的方程：

(1)3a+4x=7x－5b; (2)xa－b=xb－a(a≠b)；

(3)m2(x－n)=n2(x－m)(m2≠n2);

(4)ab+xa=xb－ba(a≠b);

(5)a2x+2=a(x+2)(a≠0,a≠1).

1.含字母系数的一元一次方程与只含有数字系数的一元一次方程的解法相同，但应特别注意，用含有字母的式子去乘或除方程的两边时，这个式子的值不能为零.我们所举的例题及课堂练习的题目中所给出的条件，都保证了这一点.

2.对于公式变形，首先要弄清公式中哪些是已知量，哪个是未知量.把已知量作为字

母系数，求未知量的过程就是解关于字母系数的方程的过程.