如何求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解

“线性”是指函数y及其n阶导数的幂都为1； “常系数”是指函数y及其n阶导数前的系数都为常数； “微分方程”即以自变量x,函数y及其n阶导数组成的方程； 组合一下就是线性常系数微分方程了.

常系数线性微分方程：y″′-2y″+y′-2y=0，①①对应的特征方程为：λ3-2λ2+λ-2=0，②将②化简得：（λ2+1）（λ-2）=0，求得方程②的特征根分别为：λ1=2，λ2=±i，于是方程①的基本解组为：e2x，cosx，sinx，从而方程①的通解为：y(x)＝C1e2x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常量。扩展资料：二阶常系数齐次线性微分方程解法：特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。(1+y)dx-(1-x)dy=0==>dx-dy+(ydx+xdy)=0==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0==>x-y+xy=C  (C是常数)此方程的通解是x-y+xy=C。参考资料来源：百度百科-通解 （微分方程术语）

较常用的几个：1、Ay""+By"+Cy=e^mx 特解    y=C(x)e^mx2、Ay""+By"+Cy=a sinx + bcosx    特解    y=msinx+nsinx3、Ay""+By"+Cy= mx+n                 特解    y=ax二阶常系数线性微分方程是形如y""+py"+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y""+py"+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。扩展资料：通解=非齐次方程特解+齐次方程通解对二阶常系数线性非齐次微分方程形式ay""+by"+cy=p(x) 的特解y*具有形式y*= 其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根（上文有提），依次取0,1或2.将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。多项式法：设常系数线性微分方程y""+py"+qy =pm (x)e^(λx)，其中p，q，λ是常数，pm(x)是x的m次多项式，令y=ze^(λz) ，则方程可化为：F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x) ，这里F(λ)=λ^2+pλ+q为方程对应齐次方程的特征多项式。升阶法：设y""+p(x)y"+q(x)y=f(x)，当f(x)为多项式时，设f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此时，方程两边同时对x求导n次，得y"""+p(x)y""+q(x)y"=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1)，依次升阶，一直推到方程y""+p(x)y"+q(x)y=f(x)，可得到方程的一个特解y(x)。

以二阶微分方程为例（高阶的以此类推）：经过化简，可以变形为这种形式的称为线性微分方程：P(x)y"+Q(x)y"+R(x)y=S(x)（其中，P(x)，Q(x)，R(x)，S(x)都是已知的x的函数式）无论如何怎么化简，方程中都带有y或者y的导数的非一次方的微分方程就是非线性微分方程。例如y"y=y²，虽然y不是一次方，但是我通过等价变形可以变成y(y"-y)=0，即y=0或者y"-y=0，因为y和y"都是一次方，因此他们是线性微分方程。而他们的系数都是常数，所以可以称之为常系数微分方程。再如(sinx)y"-y=0，因为y"和y的次数都是1（含有x的函数项不算），所以是线性微分方程。而y"的系数是sinx，因此是变系数线性常微分方程。再如y"y=1，无论如何化简（例如把y除过去），都不能变成y"和y次数都是1的形式，因此该方程为非线性微分方程。再加一句：线性微分方程都有解析解，就是可以写成函数解析式y=f(x)的形式。但是非线性微分方程就很难说了。一般来说，部分一阶非线性微分方程有解析解。但是二阶或二阶以上的非线性微分方程很难有解析解。

这是一类很特殊的方程，前缀有点多，是一类范围很小的方程，但在物理中经常见到，故单独拿出来进行讨论。我们先从二阶线性微分方程入手，y″+P(x)y′+Q(x)y+R(x)=0，若R(x)=0，则为二阶线性齐次微分方程。进一步地，若系数和x无关，都为常数，即为常系数二阶线性齐次微分方程y″+py′+qy=0.要求解这个方程，可以先求出它的两个线性无关的特解，再由解的叠加原理得到通解。设解的形式为y=erx代入方程即得到(r2+pr+q)erx=0⇒r2+pr+q=0.这个等式称为微分方程的特征方程，可见特征方程是一个一元二次代数方程，其解可由求根公式得到。需要分三种情况讨论：1）特征方程有两个不等实根r1≠r2则两个特解为y1=er1x,y2=er2x，而y1y2≠C，故通解为y=C1er1x+C2er2x.2）特征方程有一对共轭复根r1=a+bi,r2=a−bi,b≠0则两个特解为y1=eax+bxi,y2=eax−bxi，由欧拉公式有y1=eax[cos(bx)+isin(bx)],y2=eax[cos(bx)−isin(bx)].特解含有复数部分，我们希望解是实的，运用解的叠加原理，可以凑出新的两个特解y11=12(y1+y2)=eaxcos(bx),y12=12(y1−y2)=eaxsin(bx).它们也线性无关，因此通解为y=eax[C1cos(bx)+C2sin(bx)].3）特征方程具有两个相等实根r1=r2只能得到一个特解y1=er1x.设y2y1=u(x)⇒y2=y1u(x),代入原微分方程可得到u″=0.不放取u=x作为第二个特解。则通解为y=(C1+C2x)er1x.以上结论可以推广到常系数n阶线性齐次微分方程。

常系数齐次线性微分方程如下：一阶线性齐次微分方程的两个特解，求通解的方法：其导数项为多项式形式，系数为常数，其解空间是线性空间，线性空间的特点是满足可加性和齐次性，就是叠加原理。因此y1=e^(2x)，y2=2e^(-x)-3e^(2x)的任何线性组合a1y1+a2y2都是原方程的解，其中a1,a2是常数。注意事项：2021年10月8日，为防止未成年人沉迷网络游戏，维护未成年人合法权益，文化和旅游部印发通知，部署各地文化市场综合执法机构进一步加强网络游戏市场执法监管。据悉，文化和旅游部要求各地文化市场综合执法机构会同行业管理部门。重点针对时段时长限制、实名注册和登录等防止未成年人沉迷网络游戏管理措施落实情况，加大辖区内网络游戏企业的执法检查频次和力度；加强网络巡查，严查擅自上网出版的网络游戏；加强互联网上网服务营业场所、游艺娱乐场所等相关文化市场领域执法监管，防止未成年人违规进入营业场所。

常系数齐次线性微分方程的解是：(1)如果特征根ri为ki重实根，则微分方程有ki个特解：(2)如果特征根sk=αk+βki为mk重实根，则sk=αk-βki也为mk重实根，则微分方程有2mk个特解：主要思路：把求解问题转换为求特征方程的问题，然后再代公式即可。这一块把以e为低的指数函数看作方程解的基础，对它进行一系列的变化。微分算子法：微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，则有 y"=dy/dx=Dy，y""=d^2y/dx^2=D^2y。于是y""+p(x)y"+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)，令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式，F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为y=f(x)/F(D)。

求导后为0

y""-3y"+2y=5，这是二阶常系数微分方程其齐次方程为y""-3y"+2y=0齐次方程的特征方程为r^2-3y+2=0，有不同的两根r1=1,r2=2∴齐次方程通解为Y=C1e^x+C2e^(2x)易知，方程有特解y*=5/2∴原方程通解为y=Y+y*=C1e^x+C2e^(2x)+5/2y"=C1e^x+2C2e^(2x)代入初始值x=0,y=1,y"=2可得1=C1+C2+5/2,2=C1+2C2联立解得C1=-5，C2=7/2∴原方程的特解为y=-5e^x+7/2*e^(2x)+5/2

定义：形如y""+py"+qy=f(x)的微分方程称为二阶常系数线性微分方程，与其对应的二阶常系数齐次线性微分方程为y""+py"+qy=0，其中p，q是实常数。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ2+pλ+q=0；然后根据特征方程根的情况对方程求解。注意事项：求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。

这个微分方程是线性时不变系统。问题出在对于这个系统来说，时不变性是显然成立的；至于线性，判断系统是否线性应该分为零状态和零输入分开讨论，只要零状态和零输入都满足就可以确定线性，否则为非线性。从你红色的字来看你应该是对线性理解错了。对于系统，并不是说只有初始状态为零才线性，而是像上面所说的分开讨论零状态与零输入。光由微分方程是不能确定一个系统的，还需要初始条件，一个n阶微分方程需要n个初始条件才能确定一个系统。总结如下：需要一个初始条件，若初始条件不为0，设两个输入x1(t)和x2(t)。输出分别为y1(t)和y2(t)，由于初始条件不为0，α·y1(t)+β·y2(t)的初始条件就可能不为0，因此它并不是α·x1(t)+β·x2(t)的响应 ，而如果初始状态为0则没有这个问题。但你的证明我感觉问题出在，若两个函数同时满足某一线性常系数微分方程，并不能判断出，此二者相等，fx的原函数为fx+c，c为任意常量，由初始条件确定。

第一题貌似不用导数什么的来证明吧，用sinx=cos（π/2-x）就可以证明出来了第二题1. 对不等式的两边分别求导数，左边的导数为1/(1+x)^2,，右边导数为1/1+x，当x>0时，有1/1+x>1/(1+x)^22. x/1+x=0，ln(1+x)=0 (x=0时)3. f(x)-f(0)/g(x)-g(0)=f"(θ)/g"(θ)(x-0) (0<θ<x) 中值定理4. 令f(x)=x/1+x，g(x)=ln(1+x)带入上面的式子可得

解题过程如下图：扩展资料一阶线性微分方程可分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为y"+p(x)y=0，另一类就是非齐次形式的，它可以表示为y"+p(x)y=Q(x)。齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微分方程是有利的。对于非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。就是：非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次方程的特解。

二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y""+py"+qy=f(x)。

二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y""+py"+qy=f(x)，其特解y设法分为：1、如果f(x)=P(x） ，Pn (x）为n阶多项式。2、如果f(x)=P(x) e"a x，Pn (x）为n阶多项式。二阶常系数非齐次线性微分方程常用的几个：1、Ay""+By"+Cy=e^mx 特解    y=C(x)e^mx2、Ay""+By"+Cy=a sinx + bcosx    特解    y=msinx+nsinx3、Ay""+By"+Cy= mx+n                 特解    y=ax二阶常系数线性微分方程是形如y""+py"+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数，自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y""+py"+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的，特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y""+py"+qy=f(x)，其特解y设法分为: 1、如果f(x)=P(x） ，Pn (x）为n阶多项式。2、如果f(x)=P(x) e"a x，Pn (x）为n阶多项式。二阶常系数线性微分方程是形如y""+py"+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y""+py"+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

要啊，数三考纲上面说的是，会解二阶常系数齐次线性方程，会解自由项为多项式、指数函数、正余弦函数的二阶常系数非齐次线性方程考试要求：1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程.齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.3.理解线性微分方程解的性质及解的结构.4.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.5.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及他们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.6.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念.7.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.8.会用微分方程求解简单的经济应用问题。

二阶常系数非齐次线性微分方程特解如下：二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y""+py"+qy=f(x)，其特解y*设法分为：1、如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。2、如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。特解y*设法1、如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。若0不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=0，λ＝0；因为Qm(x)与Pn（x）为同次的多项式，所以Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定。比如如果Pn（x）＝a（a为常数），则设Qm(x)=A（A为另一个未知常数）；如果Pn（x）＝x，则设Qm(x)=ax+b；如果Pn（x）＝x^2，则设Qm(x)=ax^2+bx+c。若0是特征方程的单根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=1，λ＝0，即y*=x*Qm(x)。若0是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，λ＝0，即y*=x^2*Qm(x)。2、如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。若α不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^αx中，k=0，即y*=Qm(x)*e^αx，Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定。若α是特征方程的单根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^αx中，k=1，即y*=x*Qm(x)*e^αx。若α是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，即y*=x^2*Qm(x)*e^αx。3、如果f(x)=e^αx，Pl（x）为l阶多项式，Pn（x）为n阶多项式。若α±iβ不是特征值，在令特解y*=x^k*e^αx中，k=0，m=max{l,n}，Rm1(x)与Rm2(x)设法要根据Pl（x）或Pn（x）的情况而定（同Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定的原理一样）。即y*=e^αx若α±iβ不是特征值，在令特解y*=x^k*e^αx中，k=1，即y*=x*e^αx。

什么是二阶常系数线性微分方程？二阶常系数线性微分方程是形如y""+py"+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y""+py"+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：r²+pr+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。什么是特征方程？特征方程是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，它因数学对象不同而不同，包括数列特征方程、矩阵特征方程、微分方程特征方程、积分方程特征方程等等。例如y""+3y"+2y=0的特征方程就是r²+3r+2=0

对于n阶齐次线性微分方程，注意，不一定是常系数，也不一定是二阶，但一定是齐次。因为右边是0，所以如果y1，y2，……yn是方程的解，c1y1+c2y2+……cnyn也是方程的解。自己去证明。对于你说的二阶常系数齐次线性微分方程，delta<0时，有y1=(e^alphax)*(cosbetax+i*sinbetax)y2=(e^alphax)*(cosbetax-i*sinbetax),当然有y1=1/2*y1+1/2*y2是方程的解，y2=1/2i*y1+(-1/2i)y2也是方程解。y1和y2非线性相关，可得通解。打字不易，记得给分啊。

特解y=(x^k)(e^Lx)(R1(x)cosx+R2(x)sinx);其中k由L是齐次方程的几重根来决定，不是特征方程的根为k=0，1重k=1，2重k=2；R1(x)与R2(x)的次数为原来非齐次方程等式右边中多项式的最高次数。

如果方程特征根为p,则 x=C1e^pt+C2te^pt+C3t^2e^pt 可以这样理解 当方程有两个不同的特征根p,p"时,C1e^pt+C2e^p"t也是方程的解, 令C1=-C2=1/(p-p") 当p"趋于p时得te^pt也是方程的解.这是二重根的处理,三重根是同样的道理

解其对应的齐次常系数线性微分方程时,其解必定含有一个任意常数C,把常数C看作是个变量,并假定就是非齐次常系数线性微分方程的一个特解.将其代入非齐次常系数线性微分方程,再次确定C（x）..这种方法就叫常数变易法.

（1）y”+3y"+2y=xe^-x特解y*=ax+b（这是错的，最起码得有个e^-x吧？）（2）y”+3y"+2y=（x²+1）e^-x特解y*=x（ax²+bx+c）e^-x-------------------------------1、xe^-x前的多项式为x，所以设qm(x)是qm(x）=ax+b,由于-1是特征方程的单根，所以特解为y*=x(ax+b)e^(-x)2、(x²+1)e^-x前的多项式为二次，所以设qm(x)是qm(x）=ax²+bx+c,由于-1是特征方程的单根，所以特解为y*=x(ax²+bx+c)e^-x把特解带入原微分方程，待定系数法求出参数a、b、c。

常系数线性齐次微分方程y"+y=0的通解为：y=（C1+C2 x）ex故 r1=r2=1为其特征方程的重根，且其特征方程为 （r-1）2=r2-2r+1故 a=-2，b=1对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x设其特解为 y*=Ax+B代入y″-2y′+y=x 可得，0-2A+（Ax+B）=x整理可得（A-1）x+（B-2A）=0所以 A=1，B=2所以特解为 y*=x+2通解为 y=（C1+C2 x）ex +x+2将y（0）=2，y（0）=0 代入可得C1=0，C2=-1。故所求特解为 y=-xex+x+2故答案为-xex+x+2扩展资料：形如y"+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y"的指数为1。一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。

要啊，数三考纲上面说的是，会解二阶常系数齐次线性方程，会解自由项为多项式、指数函数、正余弦函数的二阶常系数非齐次线性方程考试要求：1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程.齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.3.理解线性微分方程解的性质及解的结构.4.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.5.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及他们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.6.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念.7.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.8.会用微分方程求解简单的经济应用问题。

常系数齐次线性微分方程当然也是y""=f(y,y")型的，但解,y""=f(y,y")型的微分方程需要积两次分，比较麻烦，而常系数齐次线性微分方程由于其方程的特殊性，可以通过特殊方法，不用积分，而转化成解一元二次的代数方程，这比作变量代换y"=P（y）再积分要简单的多。

特征方程为t^2-4t+3=0(t-1)(t-3)=0t=1,3因此齐次方程通解为c1e^x+c2e^3x设特解为y*=ax+b,代入原方程得：-4a+3ax+3b=x对比系数得：3a=1,3b-4a=0得a=1/3,b=4/9因此原方程的解为y=c1e^x+c2e^3x+x+x/3+4/9性非齐次微分方程的通解=对应齐次微分方程的通解+特解求解过程大致分以下两步进行：1、求对应齐次微分方程y""-y=0...（1）的通解，方程（1）的特征方程为r^2-1=0，则r=1，-1从而方程（1）的通解就是y=ce^x+de^(-x)，c、d为待求量，这里还需用到两个边界条件，不知有没有，就是f（0）=a，f‘（0）=b，a、b均为已知，用于带入通解以确定待求量c、d，否则就无法求了。2、假设第一步中所需条件已知，现在就可以求特解了，构造一个带参数的特解（待定系数法），带入原方程，根据同类项对比就能解出系数，这里就构造如下待定特解：y=a0+a1*x+a2*x^2，带入原方程，可解得a0，a1，a2，这样就求出了特解

右端形式为f(x)=P(x)e^(2x) Q(x)是与P(x)同次多项式。 如果右端是e^(2x),设Q(x)=A 如果右端是xe^(2x),设Q(x)=Ax+B

考虑一般的 阶线性微分方程 其中系数 都是常数. 如果引入微分算子 的记号，那么 从而方程（4.1）可以化简为算子形式 其中 是关于 的一个 次多项式. 算子 可以看作是连续函数空间 上函数到函数的映射. 这里 是函数的定义域. 算子 的定义域为连续可微的函数空间 ，这是 的一个子空间. 可以看出， 和 都是线性空间，而 是上面的一个线性算子. 由之前的结果知道，方程（4.1）的通解是由其一个确定的特解和相应的额齐次方程的通解两部分构成的，因此我们要求 的通解. 一旦这个齐次方程的通解被确定，非齐次方程（4.1）的特解原则上可以用常数变易法得到. 由前面的知识我们知道，高阶线性方程（4.1）可以通过一个简单的变换化为与其等价的线性方程组. 因此我们完全可以只考虑一般的齐次线性方程组的求解问题，然后把齐次线性方程（4.3）作为其特例. 但由于将齐次方程（4.3）化为于其等价的齐次线性方程组后，其系数矩阵巨有特别简单的形式，因而其求解过程也要简单得多. 关于齐次方程（4.3）的通解，我们采用经典的 Euler 待定指数函数法 ，也就是寻求形如 的解，其中 为待定指数. 将（4.4）代入方程（4.3）得到 从而化为多项式方程 的求根问题，该多项式称为 特征多项式 ，（4.6）称为 特征方程 ，他的根称为 特征根 ，相应于（4.4）形式得解称为 特征解 .我们的想法是，求出所有的特征解并设法用他们来表示齐次方程（4.3）的所有解. 设（4.6）有 个互异的根 ，则齐次方程（4.3）有基本解组 . 显然函数 都是方程（4.3）的解. 我们只要验证它们是线性无关的. 按照之前的知识，我们计算它们的 Wronski 行列式 其中我们用到了 Vandermonde 行列式的计算、多项式根与系数的关系以及 互异的事实. 因而我们得到了 个线性无关的解，他们构成了齐次方程（4.3）的解空间的一组基. 设（4.6）只有 个互异的根 ，它们分别有重数 （自然有 ），则 构成齐次方程（4.3）的基本解组. 分两步来证明该定理. 第一步 证明对任意的 , 为线性无关解. 为此，我们首先证明 其中 . 事实上，对（4.5）关于复变量 求 次导数，即对 的 求导，即可归纳地得到（4.7）. 另外，即使单纯从实函数的角度我们也可以证明（4.7），具体地说，我们利用乘积函数求导的 Leibniz 公式 . 这个公式形式上类似于 Newton 二项式定理，因此得到 . 根据 Toylor 展开式得到 从而（4.7）得证. 既然 为特征方程（4.6）的 重根，必有 故 . 因此，由（4.7）可见，齐次方程（4.3）除有特征解 外，还有解 显然，这个 个解还是线性无关的，因为如果有常数 满足 则 从而 . 第二步 证明将 分别取 后按第一步所得的各组函数合并在一起构成齐次方程（4.3）的解空间的一组基. 因为他们刚好是 个函数，故只需要证明他们是线性无关的. 如果它们线性相关，必有如下的恒等式： 其中 都是多项式而且不全恒为0. 不妨设这个 个多项式都不恒为0. 令 的次数 . 如下方法可将（4.8）化成只含一个不恒为0 的多项式情形. 我们的操作如下： 用 除（4.8）得 （4.9）两边再对 求导得 显然出了第一项次数降为 外，其余各项的多项式 的次数仍然是 . 由于 互异， ，因此可以利用指数函数求导的性质继续对第一项降次. 这样连续地对（4.9）共求 次导可以得到 其中 都是次数分别为 的不恒为0 的多项式而且原来的第一项已经被消去. 令 由于他们也互异，将同样的方法用于（4.11）可以再消去第二项. 如此下去，最后可化成仅有一项的情况，即 其中 为常数而 为不恒为 0 的多项式. 这个是矛盾的. 因为 ，故 ，这与（4.12）矛盾. 上述结论都是在复数域中讨论的. 如果方程是实系数的，我们可以由下面的推论获得实数解的相应结果 若实系数齐次线性方程（4.3）有 个互异的实特征根 及 对互异的复特征根 ，重数分别为 和 ，并且满足 则方程（4.3）有如下实解并组成基本解组： 一个实系数齐次线性方程如果具有复值解 ，那么 和 都是这个齐次线性方程的解. 因此可以肯定上述 个实函数都是方程得解. 由于定理 4.2 中的 个线性无关的解都可以表示为本推论中的 个实函数的常系数线性组合，因此，这 个实函数也必定是线性无关的. 求方程 的实通解. Sol: 该方程的特征多项式为 因此特征根为 . 按上述推论，得到实基本解组 . 这样就获得通解 其中 为任意实常数.

高数求解，常系数二阶线性齐次微分方程的求解过程 y""-c^2 y=0 特征方程 r^2-c^2=0 r1=c,r2=-c y=C1e^(cx)+C2e^(-cx) 谢谢qingshi0902 评论补充 二阶常系数线性齐次微分方程组的求解问题！ 常微分方程（第六版） 庞特里亚金 著 第71页开始 “标准的常系数现行齐次方程组 ” 会介绍如何求解 二阶线性常系数齐次微分方程的解法。 当然不是了，首先解齐议程对应的特征方程 r^2-r+1=0 r=(1±√3i)/2 所以齐次通解是y=e^(1/2x)(C1cos√3x+C2sin√3x) 特解可能观察得得y=a 因此非齐次通解为 y=e^(1/2x)(C1cos√3x+C2sin√3x)＋a 高数二阶常系数线性齐次常微分方程 这个是非齐次方程。 首先是dy/dx=y，利用分离变量法，dy/y=dx，两边积分，得到lny=x+C，带入初始条件，是y(0)=1,解得C=0，所以lny=x，y=e^x 那微分方程变成y``-3y`+2y=e^x 首先解齐次通解y``-3y`+2y=0 特征方程：r^2-3r+2=0，解得r1=1，r2=2 所以通解是y=(C1)e^x+(C2)e^(2x) 再求特解。因为非齐次项是e^x，e的次幂数是1，是特征方程r^2-3r+2=0的一重根，且非齐次项多项式为常数1，所以设特解y*=Axe^x。 将特解求导有(y*)``=A(x+2)e^x；(y*)`=A(x+1)e^x，带入有 A(x+2)e^x-3A(x+1)e^x+2Axe^x=e^x 整理有2A-3A=1，得A=-1 所以通解是y=(C1)e^x+(C2)e^(2x)-xe^x 如何简单求解二阶常系数线性非齐次微分方程？ 这个没有简单的，目前可解的微分方程很有限，尤其二阶还是非其次的。只有一些指数形式的，在复数域内可解，但没有固定的方法 一阶常系数齐次微分方程怎么求解 叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。 如果 ,则方程称为齐次的; 如果 不恒等于零,则方程称为非齐次的 二阶常系数线性微分方程求解！ 微分算方法应用于寻求非齐次微分方程的特解，相应的齐次微分方程的由特征方程的一般解（第二阶或二阶可被转化成）和变量方法（一阶的分离，则非齐次方程求解常数相对简单的常见变体）来解决。 2.公式转换：使......将改写微分方程形式，即特定的解决方案。 这样的结果：常系数 微分方程，直接以重写指数D的推导中，常系数不变，就可以了。 常微分方程（我只知道欧拉方程），做第一次转型，那么： ,, 可以带入公式。 3.F（D）属性： （1）D表示差分，1次/ d，说点; （2）F（D）克（x）的表达的差动运算的克（x）的是相应的F（D）中，[1 / F（D）〕克（x）的还表示表示克（x）是对应的差分运算，1 / F（D），其中1 / F（D）的通过分数多项式除法虚假书面形式; （3）,,,; （4）根据（3），使得所述分子式成零也就是说在此时，当k是方程的特征根，为了使特殊溶液和线性无关的通用的解决方案，只要如果分子也为零直到该分子不为零。 求助啊，二阶常系数非齐次微分方程？ 重根就是说 p²-4q=0， q=p²/4 所以 成了 λ²+pλ+q =λ²+pλ+p²/4 = (λ+p/2)²=0 得2λ+p=0 初中知识 二阶常系数非齐次微分方程求解的复值转换法 解：∵齐次方程y""+y=0 的特征方程为r^2+1=0，∴其通解yc=C1cosx+C2sinx。 又，非齐次方程中，f(x)=x+sinx是多项式函数P(x)=x和三角函数sinx的组合。 ∴设其特解为y=C1cosx+C2sinx+ax^2+bx+c+dsin2x，代入原方程，解得，a=c=0，b=1，d=-1/3。 ∴其特解为y=C1cosx+C2sinx+x-(1/3)sin2x。供参考。 解一个二阶常系数非齐次微分方程 特征方程 r^2 + r - 2 = 0 特征根 r1 = 1, r2 = -2 y"+y"-2y=0 的通解y= C1 e^x + C2 e^(-2x) 原方程特解设为 y* = x ( Ax+B) e^x y* " = ...... y * "" = ....... 代入原方程， 确定 A=1 B=-4/3 原方程通解为 y = C1 e^x + C2 e^(-2x) + (x²-4x/3) e^x

由(2),得：x = y " - 3y - e^(2t) (3) x " = y "" - 3 y " - 2 e^(2t) 代入(1)中，得：y "" + 2y " - 14y = e^t + 7e^(2t)解得： y = ...... 代入(3)中，得：x=……

方法这样子。。。。

由特征根方程可得r³+r²+r+1=0(r+1)(r²+1)=0故由特征根可得微分方程解为y=C1e^(－x)+C2sinx+C3cosx+C4

希望采纳。

你就想，假设y1已经求出来了，那么取y1的共轭再代入原方程，会发现等号右边变成原来的共轭了。

线性”是指函数y及其n阶导数的幂都为1；“常系数”是指函数y及其n阶导数前的系数都为常数；“微分方程”即以自变量x,函数y及其n阶导数组成的方程；组合一下就是线性常系数微分方程了.

常系数线性微分方程：y″′-2y″+y′-2y=0，①①对应的特征方程为：λ3-2λ2+λ-2=0，②将②化简得：（λ2+1）（λ-2）=0，求得方程②的特征根分别为：λ1=2，λ2=±i，于是方程①的基本解组为：e2x，cosx，sinx，从而方程①的通解为：y(x)＝C1e2x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常量。扩展资料：二阶常系数齐次线性微分方程解法：特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。(1+y)dx-(1-x)dy=0==>dx-dy+(ydx+xdy)=0==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0==>x-y+xy=C  (C是常数)此方程的通解是x-y+xy=C。参考资料来源：百度百科-通解 （微分方程术语）

线性”是指函数y及其n阶导数的幂都为1；“常系数”是指函数y及其n阶导数前的系数都为常数；“微分方程”即以自变量x,函数y及其n阶导数组成的方程；组合一下就是线性常系数微分方程了.

常系数线性微分方程：y″′-2y″+y′-2y=0，①①对应的特征方程为：λ3-2λ2+λ-2=0，②将②化简得：（λ2+1）（λ-2）=0，求得方程②的特征根分别为：λ1=2，λ2=±i，于是方程①的基本解组为：e2x，cosx，sinx，从而方程①的通解为：y(x)＝C1e2x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常量。扩展资料：二阶常系数齐次线性微分方程解法：特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。(1+y)dx-(1-x)dy=0==>dx-dy+(ydx+xdy)=0==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0==>x-y+xy=C  (C是常数)此方程的通解是x-y+xy=C。参考资料来源：百度百科-通解 （微分方程术语）

就是指函数y，以及y的各阶导数的系数都是常数，而不是函数，如4y""" - 5y"" + 2y" - 6y = 8

较常用的几个：1、Ay""+By"+Cy=e^mx特解    y=C(x)e^mx2、Ay""+By"+Cy=a sinx + bcosx特解    y=msinx+nsinx3、Ay""+By"+Cy= mx+n              特解    y=ax二阶常系数线性微分方程是形如y""+py"+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y""+py"+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。扩展资料F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x) ，这里F(λ)=λ^2+pλ+q为方程对应齐次方程的特征多项式。升阶法：设y""+p(x)y"+q(x)y=f(x)，当f(x)为多项式时，设f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此时，方程两边同时对x求导n次，得y"""+p(x)y""+q(x)y"=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1)，依次升阶，一直推到方程y""+p(x)y"+q(x)y=f(x)，可得到方程的一个特解y(x)。

简单地说吧：1）如果右边为多项式，则特解就设为次数一样的多项式；2）如果右边为多项项乘以e^（ax)的形式，那就要看这个a是不是特征根： 如果a不是特征根，那就将特解设为同次多项式乘以e^(ax); 如果a是一阶特征根，那这个特解就要在上面的基础上乘以一个x; 如果a是n重特征根，那这个特解就要在上面的基础上乘以x^n.

二阶常系数线性微分方程是形如y""+py"+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y""+py"+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。常微分方程在高等数学中已有悠久的历史，由于它扎根于各种各样的实际问题中，所以继续保持着前进的动力。二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用[1]。比较常用的求解方法是待定系数法[2]、多项式法、常数变易法和微分算子法等。

较常用的几个：1、Ay""+By"+Cy=e^mx 特解    y=C(x)e^mx2、Ay""+By"+Cy=a sinx + bcosx    特解    y=msinx+nsinx3、Ay""+By"+Cy= mx+n                 特解    y=ax二阶常系数线性微分方程是形如y""+py"+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y""+py"+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。扩展资料：通解=非齐次方程特解+齐次方程通解对二阶常系数线性非齐次微分方程形式ay""+by"+cy=p(x) 的特解y*具有形式y*= 其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根（上文有提），依次取0,1或2.将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。多项式法：设常系数线性微分方程y""+py"+qy =pm (x)e^(λx)，其中p，q，λ是常数，pm(x)是x的m次多项式，令y=ze^(λz) ，则方程可化为：F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x) ，这里F(λ)=λ^2+pλ+q为方程对应齐次方程的特征多项式。升阶法：设y""+p(x)y"+q(x)y=f(x)，当f(x)为多项式时，设f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此时，方程两边同时对x求导n次，得y"""+p(x)y""+q(x)y"=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1)，依次升阶，一直推到方程y""+p(x)y"+q(x)y=f(x)，可得到方程的一个特解y(x)。

常系数非齐次线性微分方程特解如下：二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y""+py"+qy=f(x)，其特解y*设法分为：1、如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。2、如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。简介求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。

较常用的几个：1、Ay""+By"+Cy=e^mx 特解    y=C(x)e^mx2、Ay""+By"+Cy=a sinx + bcosx    特解    y=msinx+nsinx3、Ay""+By"+Cy= mx+n                 特解    y=ax通解1、两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)2、两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)3、一对共轭复根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)扩展资料：标准形式   y""+p(x)y"+q(x)y=f(x)解法通解=非齐次方程特解+齐次方程通解对二阶常系数线性非齐次微分方程形式ay""+by"+cy=p(x)  的特解y*具有形式y*= 其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根（上文有提），依次取0,1或2.将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。多项式法：设常系数线性微分方程y""+py"+qy =pm  (x)e^(λx)，其中p，q，λ是常数，pm(x)是x的m次多项式，令y=ze^(λz) 。则方程可化为：F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x) ，这里F(λ)=λ^2+pλ+q为方程对应齐次方程的特征多项式。升阶法：设y""+p(x)y"+q(x)y=f(x)，当f(x)为多项式时，设f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此时，方程两边同时对x求导n次，得y"""+p(x)y""+q(x)y"=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。参考资料：百度百科——二阶常系数线性微分方程

简单计算一下即可，答案如图所示

二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y""+py"+qy=f(x)，其特解y设法分为: 1、如果f(x)=P(x） ，Pn (x）为n阶多项式；2、如果f(x)=P(x) e"a x，Pn (x）为n阶多项式。相关如下一阶线性微分方程可分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为y"+p(x)y=0，另一类就是非齐次形式的，它可以表示为y"+p(x)y=Q(x)。齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微分方程是有利的。对于非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。就是：非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次方程的特解。