根据函数极限的定义证明

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。极限，是指无限趋近于一个固定的数值。在高等数学中，极限是一个重要的概念：极限可分为数列极限和函数极限。指最大的限度。郑义《迷雾》十一：“常委会真开成了‘长尾"会，唐可林觉得自己的耐心实在已经达到极限了。”祖慰《被礁石划破的水流》：“我不知道人类惊愕的感情极限是什么样，我确实惊愕得发傻了。”数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。极限可分为数列极限和函数极限学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以为了要利用代数处理代表无限的量，于是精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在Δ的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能。这个概念是成功的。

极限的定义： 1.数列的极限：设有数列{Xn},a是常数,若对于任意给定的r>0,总存在一个正整数N,使当一切n>N时都有|Xn-a| 2.函数的极限：设函数f（x）在x>=a时有定义,A是常数,若任意r>0,存在X>0,任意x>X,有|f（x）-A| 作业帮用户 2016-12-03 举报

极限的解释(1) [limit] (2) 最大的限度 一个人的忍耐的极限 (3) 自变量的值无限趋近但不等于某规定数值时,或向正向或负向增大到 一定 程度 时,与数学 函数 的数值差为无穷小的数 详细解释 最大的限度。 郑义 《迷雾》 十一：“常委会真开成了‘长尾"会， 唐可林 觉得自己的耐心实在 已经 达到极限了。” 祖慰 《被礁石划破的水流》 ：“我 不知 道人 类惊愕的感情极限是什么样，我确实惊愕得发傻了。” 词语分解 极的解释 极 （极） í 顶端，最高点， 尽头 ：登极（帝王即位）。 登峰造极 。 指地球的南北两端或电路、磁体的正负两端： 极地 （极圈以内的地区）。极圈。北极。阴极。 尽，达到顶点：极力。极目四望。物极必反。 最高的， 限的解释 限 à 指定的范围：期限。界限。权限。局限。限额。 指定范围： 限制 。限于。限期。限价（官方指定最高或最低价格，不得超越）。无限。 门槛：门限。 险阻：关限。 部首 ：阝。

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。由来与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代。例如，祖国刘徽的割圆术就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的“不断靠近”的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对"无限‘的恐惧”，他们避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

当x→0，且x≠0，则 x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx；x~ln(1+x)~(e^x-1); (1-cosx)~x*x/2；[(1+x)^n-1]~nx；loga(1+x)~x/lna；a的x次方~xlna；(1+x)的1/n次方~1/nx(n为正整数）极限数学分析的基础概念。它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用；所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。历史上是柯西(Cauchy，A.-L.)首先较为明确地给出了极限的一般定义。他说，“当为同一个变量所有的一系列值无限趋近于某个定值，并且最终与它的差要多小就有多小”(《分析教程》，1821)，这个定值就称为这个变量的极限。

极限 在高等数学中，极限是一个重要的概念。极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。数列极限：设为数列，A为定数。若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|An - A|<ε,则称数列收敛于A，定数A称为数列的极限，并记作lim An = A，或 An->A(n->∞),读作“当n趋于无穷大时，An的极限等于A或An趋于A”。函数极限：设f为定义在[a,+∞)上的函数，A为定数。若对任给的ε>0，存在正数M（>=a)，使得当x>M时有：|f(x)-A|<ε，则称函数f当x趋于+∞时以A为极限，记作lim f(x) = A 或 f(x)->A(x->+∞)

1.是指无限趋近于一个固定的数值。 　　2.数学名词。在高等数学中，极限是一个重要的概念。 　　极限可分为数列极限和函数极限. http://baike.baidu.com/view/17644.htm

函数的极限定义是合理运用。函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。问题的关键在于找到符合定义要求的 ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。1999年的研究生考试试题中，更是直接考察了考生对定义的掌握情况。相关信息：在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。

解析如下：lim(x->0)f(2x)/x=2 lim(2x->0)[f(2x)-f(0)/2x]= 2f"(0)=2“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中。逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。以上是属于“极限”内涵通俗的描述，“极限”的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。

极限就是不能到达但是可以无限接近的位置

函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。问题的关键在于找到符合定义要求的 ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。1999年的研究生考试试题中，更是直接考察了考生对定义的掌握情况。相关信息：当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。第三：以上我所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

微积分里的极限的定义和理论是什么在高等数学中，极限是一个重要的概念。　　极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。　　首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍，当n无限增大时，An无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2的9次方边形，利用不等式An+1<A<An+2[(An+1)-An](n=1，2，3....)得到圆周率=3927/1250约等于3.1416　　数列极限：　　定义：设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式　　|Xn - a|<ε　　都成立，那么就成常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。记为lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）　　数列极限的性质：　　1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的；　　2.改变数列的有限项，不改变数列的极限。　　几个常用数列的极限：　　an=c 常数列 极限为c　　an=1/n 极限为0　　an=x^n 绝对值x小于1 极限为0　　函数极限的专业定义:　　设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： 　　|f(x)-A|<ε 　　那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。　　函数极限的通俗定义：　　1、设函数y=f(x)在(a,+∞)内有定义，如果当x→+∽时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称A为当x趋于+∞时函数f(x)的极限。记作lim f(x)＝A ，x→+∞。　　2、设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义，当x无限趋近a时（记作x→a），函数值无限接近一个确定的常数A，则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限。记作lim f(x)=A ，x→a。　　函数的左右极限：　　1：如果当x从点x=x0的左侧（即x〈x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作x→x0-limf(x)=a.　　2:如果当x从点x=x0右侧（即x>x0)无限趋近于点x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作x→x0+limf(x)=a.　　注：若一个函数在x（0）上的左右极限不同则此函数在x（0）上不存在极限　　函数极限的性质：　　极限的运算法则（或称有关公式）： 　　lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x) 　　lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x) 　　lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x) 　　lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) ( limg(x)不等于0 )　　lim(f(x))^n=(limf(x))^n 　　以上limf(x) limg(x)都存在时才成立　　lim(1+1/x)^x =e　　x→∞ 　　无穷大与无穷小：　　一个数列（极限）无限趋近于0，它就是一个无穷小数列（极限）。　　无穷大数列和无穷小数列成倒数。

　　常考数列极限定义怎么去理解？正在学习这个知识点的考生可以看看，下面我为你准备了“数列极限的定义怎么理解”，仅供参考，祝大家阅读愉快！ 数列极限的定义怎么理解 　　极限就是当n无限增大时,an无限接近某个常数A； 　　也就是n足够大时,|an-A|可以任意小,小于我给定的正数E； 　　也就是当n大于某个正整数N时,|an-A|可以小于给定的正数E； 　　即:对于任意E>0,存在正整数N,当n>N时,|an-A|。 　　拓展阅读：数列极限定义与性质 　　数列极限定义 　　定义：设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|Xn - a|<ε都成立，那么就成常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。记为lim Xn = a 或Xn→a(n→∞)。 　　数列极限的性质 　　1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的; 　　2.改变数列的有限项，不改变数列的极限。 　　几个常用数列的极限： 　　an=c 常数列 极限为c； 　　an=1/n 极限为0； 　　an=x^n 绝对值x小于1 极限为0。

把后边的式子平方展开，然后一个一个代入就可以x->-1我就不写了lim(9-42/(x+2)+49/(x+2)平方)=9-42lim1/(-1+2)+49lim1/(-1+2)平方=9-42+49=16

在n趋于无穷大的时候，(1+1/n)^n就趋于一个无理数，而且这个数在初等数学中是没有出现的，就将其定义为e，而e约等于2.71828，是一个无限不循环小数，为超越数。lim n→0，(1 + 1/n)^n。=e^lim n→0，nln(1+1/n)。=e^lim n→0,1/n*ln(1+1/n)。=(洛)e^lim n→0,1/1+1/n。=e^0。=1。数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正数δ，使得当|x-xo|<δ时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在x0处的极限。

就是用极限的定义证明极限存在。函数极限定义：设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数a，对于任意ε>0，总存回在正数答δ，使得当|x-xo|<δ时，|f(x)-a|<ε成立，那么称a是函数f(x)在x0处的极限。极限的求法有很多种：1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。4、利用无穷小的性质求极限。5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

有这么多吗？我只知道一种(无奈脸)

函数极限定义证明如图所示：以下是函数极限的相关介绍：函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。在求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是趋于同一方向 ，从而证明或求得函数 的极限值。以上资料参考百度百科——函数极限

一、二者联系函数的极限和数列的极限都是高等数学的基础概念之一。函数极限的性质和数列极限的性质都包含唯一性。二、二者区别1、取值：数列的N取值是正整数，一般函数的X取值是连续的。函数极限f(X)与X的取值有关，而数列极限Xn则只是n趋向于无穷是Xn的值。2、性质：函数极限的性质是局部有界性，而数列极限为有界性。3、因变量趋近方式：数列趋近于常数的方式有三种：左趋近，右趋近，跳跃趋近；而函数没有跳跃趋近。4、数列具有离散性。而函数有连续型的，也有离散型的。扩展资料：数列极限和函数极限的性质1、常用的数列极限的性质：数列极限具有唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性。2、常用的函数极限的性质：函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等。参考资料来源：百度百科-函数极限百度百科-数列极限

（1）证明daolim(x->3)[(x^2+1)/(x-1)]=5 证明：首du先限定│zhix-3│<1，则10，解不等式dao │(x^2+1)/(x-1)-5│=│(x-2)(x-3)/(x-1)│<2│x-3│<ε版 得│x-3│2，取正数A≤min{1,ε/2} 于是，对任权意的ε>0，总存在正数A≤min{1,ε/2}，当0(x-1)]=5成立，证毕。（2）证明lim(n->∞)[(3n^2+2n)/(n^2-1)]=3 证明：首先限定n>2，则n-1>1。对任意的ε>0，解不等式 │(3n^2+2n)/(n^2-1)-3│=4/((n+1)(n-1))<4/n4/ε，取正整数N≥max[2,4/ε] 于是，对任意的ε>0，总存在正整数N≥max[2,4/ε]，当n>N时，有│(3n^2+2n)/(n^2-1)-3│∞)[(3n^2+2n)/(n^2-1)]=3成立，证毕。

就实数范围内而言，数列极限以距离概念为基础。从距离概念的角度看，数列极限概念采用ε-δ定义确实是抓住了本质。数列极限也可以采用其他的定义，这“其他的定义”应该与ε-δ定义是等价的。如果不等价，那就说明这两种定义所反映的本质不同。当然，概念的展开需要语境---数学概念也不例外，语境不同，概念所反映的本质也可能不同。

是指无限趋近于一个固定的数值。“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。性质1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。2、有界性：如果一个数列"收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列：“1，－1，1，－1，（-1)n+1”。3、保号性：若(或＜0)，则对任何(a<0时则是)，存在N>0，使n>N时有(相应的)。4、保不等式性：设数列｛xn}与｛yn}均收敛。若存在正数N，使得当n>N时有，则(若条件换为，结论不变）。

极限的定义是：“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。由来与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代，例如，祖国刘徽的割圆术就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的“不断靠近”的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对"无限‘的恐惧”，他们避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

我想知道为什么不能n<N？就像双曲线的左支，不应该是n无限小时，逼近0么？

极限的定义分为四个部分对任意的ε>0ε在定义中的作用就是刻画出在x→x0时，f(x)可以无限接近于常数A，也就是∣f(x)-A∣可以任意小。为了达到这一要求，所以ε必须可以足够小。存在δ>0δ就是这个邻域的半径，x→x0所能取到的所有点就是（x0-δ，x0）∪（x0，x0+δ），这里x取不到x0.但是这个邻域δ到底有多大、距离x0有多远，我们不知道，也没有必要知道，只要知道δ是很小的一个数就可以啦。0<∣x-x0∣<δ自变量x→x0时，再次强调一下，x取不到x0这个点，但是可以取到x0附近和两侧的所有点。这就涉及到邻域的概念，邻域通俗讲就是以点x0为中心的附近和两侧所有点，是一个局部概念。∣f(x)-A∣<ε既然ε可以足够小，则f(x)可以无限接近于常数A，也就是f(x)→A，这里需要注意一点，虽然自变量x不能取到x0这个点，但是因变量f(x)是可以取到A的。特别注意函数在一点的极限存不存在和函数在这个点有没有定义没有关系。

极限，是指无限趋近于一个固定的数值。在高等数学中，极限是一个重要的概念：极限可分为数列极限和函数极限。

lim x→0,[sin6x + xf(x)]/x³=0+α，其中lim x→0,α=0即f(x)/x² = -sin6x/x³ + α从而lim x→0,[6+f(x)]/x²=lim x→0,( 6/x² - sin6x/x³ + α )=lim x→0,(6x-sin6x)/x³，用洛必达法则=lim x→0,[6(1-cos6x)]/3x²，用等价无穷小lim x→0,(1-cosx)等价于lim x→0,x²/2=lim x→0,[ 6 × (6x)² × 1/2 ]/3x²=36极限从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用。所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。历史上是柯西(Cauchy，A.-L.)首先较为明确地给出了极限的一般定义。他说，“当为同一个变量所有的一系列值无限趋近于某个定值。

数列极限的含义是只要下标n充分大，An就充分接近A，即|An-A|充分小这样看来，(2)是正确的，当然应该将m改成n才行；至于(1)似乎没说清楚，数列B是什么东西，无法判断

极限存在的定义是：函数在某一点极限存在的充要条件是函数左极限和右极限在某点都存在且相等，即从左趋向于所求点时的极限值和从右趋向于所求点的极限值相等。如果左右极限不相同、或者不存在，则函数在该点极限不存在。极限的性质：和实数运算的相容性，譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。与子列的关系数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。

N就是根据e求出的一个数啊

　　求导：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。　　求极限：　　(1)、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入； (2)、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法； (3)、运用两个特别极限； (4)、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

在高等数学中，极限是一个重要的概念。　　极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。　　首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍，当n无限增大时，An无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2的9次方边形，利用不等式An+1<A<An+2[(An+1)-An](n=1，2，3....)得到圆周率=3927/1250约等于3.1416　　数列极限：　　定义：设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式　　|Xn - a|<ε　　都成立，那么就成常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。记为lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）　　数列极限的性质：　　1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的；　　2.改变数列的有限项，不改变数列的极限。　　几个常用数列的极限：　　an=c 常数列 极限为c　　an=1/n 极限为0　　an=x^n 绝对值x小于1 极限为0　　函数极限的专业定义:　　设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： 　　|f(x)-A|<ε 　　那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。　　函数极限的通俗定义：　　1、设函数y=f(x)在(a,+∞)内有定义，如果当x→+∽时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称A为当x趋于+∞时函数f(x)的极限。记作lim f(x)＝A ，x→+∞。　　2、设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义，当x无限趋近a时（记作x→a），函数值无限接近一个确定的常数A，则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限。记作lim f(x)=A ，x→a。　　函数的左右极限：　　1：如果当x从点x=x0的左侧（即x〈x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作x→x0-limf(x)=a.　　2:如果当x从点x=x0右侧（即x>x0)无限趋近于点x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作x→x0+limf(x)=a.　　注：若一个函数在x（0）上的左右极限不同则此函数在x（0）上不存在极限　　函数极限的性质：　　极限的运算法则（或称有关公式）： 　　lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x) 　　lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x) 　　lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x) 　　lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) ( limg(x)不等于0 )　　lim(f(x))^n=(limf(x))^n 　　以上limf(x) limg(x)都存在时才成立　　lim(1+1/x)^x =e　　x→∞ 　　无穷大与无穷小：　　一个数列（极限）无限趋近于0，它就是一个无穷小数列（极限）。　　无穷大数列和无穷小数列成倒数。参见 http://baike.baidu.com/view/17644.htm

在高等数学中，极限是一个重要的概念。 　　极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。 　　首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍，当n无限增大时，An无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2的9次方边形，利用不等式An 1<A<An 2[(An 1)-An](n=1，2，3....)得到圆周率=3927/1250约等于3.1416 　　数列极限： 　　定义：设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式 　　|Xn - a|<ε 　　都成立，那么就成常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。记为lim Xn = a 或Xn→a（n→∞） 　　数列极限的性质： 　　1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的； 　　2.改变数列的有限项，不改变数列的极限。 　　几个常用数列的极限： 　　an=c 常数列 极限为c 　　an=1/n 极限为0 　　an=x^n 绝对值x小于1 极限为0 　　函数极限的专业定义: 　　设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： 　　|f(x)-A|<ε 　　那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 　　函数极限的通俗定义： 　　1、设函数y=f(x)在(a, ∞)内有定义，如果当x→ ∽时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称A为当x趋于 ∞时函数f(x)的极限。记作lim f(x)＝A ，x→ ∞。 　　2、设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义，当x无限趋近a时（记作x→a），函数值无限接近一个确定的常数A，则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限。记作lim f(x)=A ，x→a。 　　函数的左右极限： 　　1：如果当x从点x=x0的左侧（即x〈x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作x→x0-limf(x)=a. 　　2:如果当x从点x=x0右侧（即x>x0)无限趋近于点x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作x→x0 limf(x)=a. 　　注：若一个函数在x（0）上的左右极限不同则此函数在x（0）上不存在极限 　　函数极限的性质： 　　极限的运算法则（或称有关公式）： 　　lim(f(x) g(x))=limf(x) limg(x) 　　lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x) 　　lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x) 　　lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) ( limg(x)不等于0 ) 　　lim(f(x))^n=(limf(x))^n 　　以上limf(x) limg(x)都存在时才成立 　　lim(1 1/x)^x =e 　　x→∞ 　　无穷大与无穷小： 　　一个数列（极限）无限趋近于0，它就是一个无穷小数列（极限）。 　　无穷大数列和无穷小数列成倒数。 参见 http://baike.baidu.com/view/17644.htm

极限属于微积分的基础概念，解法如下：解析：x/(x+sinx)=1/(1+sinx/x)∵ -1≤sinx≤1∴ sinx有界又∵ x->+∞时，lim(1/x)=0∴ lim[(sinx)(1/x)]=0∴ lim[x/(x+sinx)]=1/(1+0)=1扩展资料：性质1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。2、有界性：如果一个数列"收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”3、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。单调收敛定理单调有界数列必收敛函数极限设函数  在点  的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数  （无论它多么小），总存在正数 ，使得当x满足不等式  时，对应的函数值  都满足不等式：|f(x)-A|<ε，则称函数f当x趋于+∞时以A为极限，记作lim f(x) = A 或 f(x)->A(x->+∞)参考资料：百度百科——lim

极限的解释(1) [limit] (2) 最大的限度 一个人的忍耐的极限 (3) 自变量的值无限趋近但不等于某规定数值时,或向正向或负向增大到 一定 程度 时,与数学 函数 的数值差为无穷小的数 详细解释 最大的限度。 郑义 《迷雾》 十一：“常委会真开成了‘长尾"会， 唐可林 觉得自己的耐心实在 已经 达到极限了。” 祖慰 《被礁石划破的水流》 ：“我 不知 道人 类惊愕的感情极限是什么样，我确实惊愕得发傻了。” 词语分解 极的解释 极 （极） í 顶端，最高点， 尽头 ：登极（帝王即位）。 登峰造极 。 指地球的南北两端或电路、磁体的正负两端： 极地 （极圈以内的地区）。极圈。北极。阴极。 尽，达到顶点：极力。极目四望。物极必反。 最高的， 限的解释 限 à 指定的范围：期限。界限。权限。局限。限额。 指定范围： 限制 。限于。限期。限价（官方指定最高或最低价格，不得超越）。无限。 门槛：门限。 险阻：关限。 部首 ：阝。

X趋近于以下六种情况中的每一种时： x从右边趋近于0；x从左边趋近于0；x趋近于0；x趋近于无穷大；x趋近于正无穷大；x趋近于负无穷大。F（x）分别趋于以下四种情况： a；正无穷大；负无穷大；无穷大。因此共有6×4=24种极限。

函数极限定义：设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数a，对于任意ε>0，总存回在正数答δ，使得当|x-xo|<δ时，|f(x)-a|<ε成立，那么称a是函数f(x)在x0处的极限。解决问题的极限思想极限思想方法，是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是‘数学分析"与在‘初等数学"的基础上有承前启后连贯性的、进一步的思维的发展。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体的体积等问题），正是由于其采用了‘极限"的‘无限逼近"的思想方法，才能够得到无比精确的计算答案。人们通过考察某些函数的一连串数不清的越来越精密的近似值的趋向，趋势，可以科学地把那个量的极准确值确定下来，这需要运用极限的概念和以上的极限思想方法。要相信， 用极限的思想方法是有科学性的，因为可以通过极限的函数计算方法得到极为准确的结论。

定义：设{Xn}为一无穷数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时的一切Xn，均有不等式|Xn - a|<ε成立，那么就称常数a是数列{Xn}的极限，或称数列{Xn}收敛于a。记为lim Xn = a 或Xna（n∞）。

函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。

重要极限千篇一律取对数类似题库集锦大全。

您好！广义的讲，只要是不能超越的位置或者程度，都叫极限。举机个接近生活容易理解的例子吧：1、你爬一座山，不借助其他工具，到达山顶就是你上升高度的极限。2、你吃饭，吃到一口也吃不下去，就是饭量的极限了。相反，饿到死的时候就是饿的极限。你坚持不睡，到一定时间，你会失去知觉，就是你坚持不睡的极限。3、长跑中有个极限，这个是很多人都感受过的。狭义的讲，一些学科对极限都有其具体的定义，这个要分门别类。这样的例子有很多，可能我们听说过的没有那么全面。最简单的例子:绝对零度。

极限的解释(1) [limit] (2) 最大的限度 一个人的忍耐的极限 (3) 自变量的值无限趋近但不等于某规定数值时,或向正向或负向增大到 一定 程度 时,与数学 函数 的数值差为无穷小的数 详细解释 最大的限度。 郑义 《迷雾》 十一：“常委会真开成了‘长尾"会， 唐可林 觉得自己的耐心实在 已经 达到极限了。” 祖慰 《被礁石划破的水流》 ：“我 不知 道人 类惊愕的感情极限是什么样，我确实惊愕得发傻了。” 词语分解 极的解释 极 （极） í 顶端，最高点， 尽头 ：登极（帝王即位）。 登峰造极 。 指地球的南北两端或电路、磁体的正负两端： 极地 （极圈以内的地区）。极圈。北极。阴极。 尽，达到顶点：极力。极目四望。物极必反。 最高的， 限的解释 限 à 指定的范围：期限。界限。权限。局限。限额。 指定范围： 限制 。限于。限期。限价（官方指定最高或最低价格，不得超越）。无限。 门槛：门限。 险阻：关限。 部首 ：阝。

极限属于微积分的基础概念，解法如下：解析：x/(x+sinx)=1/(1+sinx/x)∵ -1≤sinx≤1∴ sinx有界又∵ x->+∞时，lim(1/x)=0∴ lim[(sinx)(1/x)]=0∴ lim[x/(x+sinx)]=1/(1+0)=1扩展资料：性质1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。2、有界性：如果一个数列"收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”3、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。单调收敛定理单调有界数列必收敛函数极限设函数  在点  的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数  （无论它多么小），总存在正数 ，使得当x满足不等式  时，对应的函数值  都满足不等式：|f(x)-A|<ε，则称函数f当x趋于+∞时以A为极限，记作lim f(x) = A 或 f(x)->A(x->+∞)参考资料：百度百科——lim

祖冲之，中国古代数学家

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。以上是属于“极限”内涵通俗的描述，“极限”的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。中文名极限外文名limit应用领域微积分代表人物柯西和魏尔斯特拉斯极限数学号lim

x趋近于以下六种情况中的每一种时：{①x0+0②x0-0③x0④∞⑤+∞⑥-∞}f（x）分别趋于以下四种情况：{①a②+∞③-∞④∞}因此共有6×4=24种极限（其中x0和a均不为∞）

将重要极限limx→∞（1＋1/x）^x=e为推广形式limx→∞（1＋u（x）^v（x）（u（x）→的0,v（x）→∞极限。lim x→∞,(1+x)^(1/x) =lim x→∞,e^[ln((1+x)^(1/x))] =lim x→∞,e^[(1/x)×ln(1+x)] 其中e的指数部分lim x→∞,(1/x)×ln(1+x)=lim x→∞,[ln(1+x)]/x ∞/∞型，使用洛必达法则，上下同时求导，得到 lim x→∞,[1/(1+x)]/1=0 所以e的指数部分极限是0。原式=limx->0(e^x/x - 1/x)=limx->0(e^x - 1)/x=1极限的求法：1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。4、利用无穷小的性质求极限。5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

极限没有啥”定义域“，定义域是函数才有的概念

首先我们要抓住极限的定义：数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得n>N时，不等式｜Xn-a｜<ε都成立，那么a就是数列{Xn}的极限，或者数列{Xn}收敛于a。从定义来看，A选项缺少n>N时｜Xn-a｜<ε都成立，反例（-1）^n也有无限项为1和-1。B选项，明显把N=0了，我们定义只要求找到有限个N就可以，所以要求更高了。C选项就对了，只有n <N时｜Xn-a｜>=ε都成立,反过来说就是n>N时，不等式｜Xn-a｜<ε都成立。D选项，就不说了。“可能”是什么东西，数学都是要精确的定义，不会出现模糊的概念。

定义：设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时， |Xn - a|<ε 都成立，那么就称常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。记为 lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）