多元函数的二阶全微分公式是什么？

多元函数的基本概念如下：多元函数的本质是一种关系。是两个集合间一种确定的对应关系。这两个集合的元素可以是数；也可以是点、线、面、体；还可以是向量、矩阵；等等。一个元素或多个元素对应的结果可以是唯一的元素，即单值的。也可以是多个元素，即多值的。人们最常见的函数，以及目前我国中学数学教科书所说的“函数”，除有特别注明者外，实际上（全称）是一元单值实变函数。设点（x1，x2，…，xn） ∈G，（u1，u2，…，un）∈U，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈G，由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U，u=f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。基本初等函数及其图像 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。①幂函数：y=xμ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，+∞），μ为负整数时是 （－∞，0）∪（0，+∞）；μ=α(为整数)，当α是奇数时为（ －∞，+∞），当α是偶数时为（0，+∞）；μ=p/q,p,q互素，作为的复合函数进行讨论。②指数函数：y=a^x（a>0 ，a≠1），定义域为（ －∞，+∞），值域为（0 ，+∞），a>0 时是严格单调增加的函数（ 即当x2>x1时，y2>y1） ，0<a<1 时是严格单减函数。对任何a，图像均过点（0，1），注意y=a^x和y=log(x)的图形关于y轴对称。

多元函数的性质比较多，常见的是可用来求解函数的极值。例如：已知2/x+1/y=1,求x+y的最大值。用多元函数求最值，则过程如下：设F(x,y)=x+y+λ(2/x+1/y-1),分别对参数求偏导数得：Fx=1-2λ/x^2,Fy=1-λ/y^2,Fλ=2/x+1/y-1。令Fx=Fy=Fλ=0,则：x^2=2λ, y^2=1λ,x=√2λ,y=√λ。代入得方程：√2/√λ+1/√λ=1,√λ=(√2+1),则：x+y的最大值=(√2+1)*√λ=(√2+1)^2=3+2√2。详细图解如下图所示：

多元函数的极限是：在某个点附近（就是邻域啦，一维是一维邻域，n维是n维邻域）的函数值无限逼近该点的函数值，一维和多维比价大一点的区别在于，1维趋于某点的方式只有两个（左和右），但多维可以以任何方式，趋于某点。多元函数的性质：在一元函数中，导数和微分是等价的，但是在多元函数中却不是这样。为了更好的理解多元函数微分学，建议复习一下解析几何有关直线和平面的方程，通过数形结合的方式理解多元函数微分学。推荐知乎马同学的系列文章，直观的理解多元函数微分学中的重要概念。

设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 ( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。记为y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。 变量x1,x2,…,xn称为自变量，y称为因变量。当n=1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D，当n=2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D。二元及以上的函数统称为多元函数。人们常常说的函数y=f(x)，是因变量与一个自变量之间的关系，即因变量的值只依赖于一个自变量，称为一元函数。  但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，即因变量的值依赖于几个自变量。例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个。要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念。

1、原则上来说，多元函数的求导方法，依然是运用链式求导法；      链式求导 = Chain Rule2、运用链式求导时，对一个变量求导，其余变量当成常数对待；3、下面的图片，给楼主提供几个具体示例。      每张图片均可点击放大。

一元函数是指函数方程式中只包含一个自变量。例如y=F(x)。与一元函数对应的为多元函数，顾名思义函数方程中包含多个自变量。在工科数学基础分析中：设A，B是两个非空的实数集，则称映射f：A→B为定义在A上的一元函数，简称函数。函数在数学上的定义：给定一个非空的数集A,对A施加对应法则f,记作f（A）,得到另一数集B,也就是B=f（A）.那么这个关系式就叫函数关系式,简称函数。简单来讲，对于两个变量x和y，如果每给定x的一个值，y都有唯一一个确定的值与其对应。那么我们就说y是x的函数。其中，x叫做自变量，y叫做因变量。设函数f(x)的定义域为D，数集X包含于D。如果存在数K1，使得f(x)≤K1对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有上界，而K1称为函数f(x)在X上的一个上界。如果存在数K2，使得f(x)≥K2对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个下界。如果存在正数M，使得|f(x)|≤M对任一x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界。

呵呵 多元函数可导啊~ 这么说吧 我们举一个最简单的例子 f(x,y)=X+Y 这个函数对于 x 和 y 的偏导（函）数 都是 1 对吧？ 但是对于 x 的偏导 是在将y视为 常数的情况下得出的 同理 y的也是一样 我们通过 逼近 来理解的话 就是这样： 假设 要求 此函数 在原点的 x的偏导数 就是将 纵坐标 当成0 横坐标 不断逼近 0 的结果 而y的偏导数 就是将 横坐标 当成0 纵坐标 不断逼近 0 的结果 即是 沿着一条直线 不断趋近 所得到的结果 而所谓的函数 可导 条件将会苛刻很多 那就是 不管 x y 沿何种方式 （沿曲线啦 抛物线啦 三角函数线啦等等 ） 趋近原点 所得结果尽皆相同 则此函数 在此点有 导数 这就是多元函数的真正意义！ 当然 这是理解的方法 不是确切的定义 您对着书 再看看吧……采纳哦

一、函数可微的判断1、函数可微的必要条件若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。2、函数可微的充分条件若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。二、多元函数可微的条件多元函数可微的充分必要条件是f(x，y)在点（x0，y0）的两个偏导数都存在。扩展资料：微分的推导设函数y = f(x)在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为Δy = AΔx + o(Δx)，其中A是不依赖于△x的常数， o(Δx)是△x的高阶无穷小，则称函数y = f(x)在点x0是可微的。 AΔx叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：dy=AΔx。微分dy是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。得出： 当△x→0时，△y≈dy。 导数的记号为：(dy)/(dx)=f′(X)，我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值（把△x看成dx，即：定义自变量的增量等于自变量的微分），还可表示为dy=f′(X)dX。参考资料来源：百度百科-可微性

各方向的偏导存在且连续

多元函数当然就是f(x,y,z…)即不止一个自变量参数对它的求导实际上就是求偏导数比如对x求偏导数的时候，就把y，z等等看作常数然后按照一元函数的求导法则进行以此类推即可

多元函数的极限求法有十种，分别为：1、利用极限四则运算性质或者函数连续性求极限2、利用恒等变形求极限，主要是消去分母中极限为零的因子（分子分母有理化）3、利用等价无穷小求极限4、利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量求极限5、利用夹逼准则6、利用两个重要极限7、利用极坐标法8、利用取对数法9、运用洛必达法则求二元函数的极限10、利用二元函数极限定义求二元函数极限扩展资料：夹逼准则夹逼定理是有关函数极限的定理。它指出若有两个函数在某点的极限相同，且有第三个函数的值在这两个函数之间，则第三个函数在该点的极限也相同。定义为如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件：当n＞N0时，其中N0∈N*，有Yn≤Xn≤Zn，{Yn}、{Zn}有相同的极限a，设-∞<a<+∞,则数列{Xn}的极限存在，且当 n→+∞，limXn =a。洛必达法则求多元函数极限的应用条件在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。参考资料来源：百度百科-多元函数

多元函数是a 未定常数，自变量为x多元函数也是如此f(x,y)= ax+by^2是二元函数。通常超过三个自变量的函数，统称为“多元函数【注意】f(x)=x^2+x+a 是一元函数，不是二元函数，

多元函数的泰勒公式是f(x，y)=f(a，b)+df(a，b)/dx[x-a]+df(a，b)/dy[y-b]+d^2f(a，b)/dx^2[x-a]^2/2+d^2f(a，b)/dy^2[y-b]^2/2+d^2f(a，b

一元函数是只有一个自变量的函数,多元就是有几个自变量的函数

(2)分子有理化，x→0，y→0时[2-√(xy+4)]/(xy)=[4-(xy+4)]/{xy[2+√(xy+4)]}=-1/[2+√(xy+4)]→-1/4.(3),(4)都作变换:x=rcosu,y=rsinu,r>0,x→0，y→0变为r→0，（3)原式=lim<r→0>rcosusinu=0.(4)原式=lim<r→0>(r-sinr)/r^3=lim<r→0>(1-cosr)/(3r^2)=lim<r→0>2[sin(r/2)]^2/(3r^2)=lim<r→0>2(r/2)^2/(3r^2)=1/6.

就是多元函数可微分的定义式。在去心邻域内，函数与中心的那个值的差值，是该去心邻域的点到中心距离的高阶无穷小。也就是f(x1,x2,......,xn)-f(y1,y2,......,yn)=ο{根号[(x1-y1)²+(x2-y2)²+......+(xn-yn)²]}

一般都会用对应法则加下标来写

可以求出驻点，并且判断极值点，然后封闭区间上的值域的最值点要么是在区间的边缘上，要么是在极值点处，所以就可以求出值域了。多元函数连续性证明如下：要知道多元函数，趋近于某个点，可以从四面八方不同的方向。连续性，要求从任何方向趋近于该点，都是连续的。y=kx，总是经过（0,0），不同的k，表示不同的方向。因此，假设y=kx，通过设k为任意值，就可以从任何方向趋近于（0,0）如果趋近于非原点，对于二元函数，应该用过该点的斜率为任意值k的直线代替。在日常生活中要学会举一反三。函数的学习技巧常年使用Excel的高手，也未必能准确地记住所有的函数及其语法和参数，能够记住的，都是那些和自己的工作息息相关、经常使用的部分。如果先输入一个“=”，再输入函数的第一个字母，系统马上就会列举出所有以该字母开头的函数，如果将鼠标指针移动到某个函数上，系统会显示该函数的功能。然后，继续输入函数，或者单击需要的函数，再输入一个“(”，函数的参数就会全都显示出来。

多元函数求偏导数的过程就是把没有求导的变量看成常数，按照正常求导就好了这个题里还要注意有f这个函数，变量也是个函数，是复合函数。复合函数求导满足链式法则df/dx=df/du *du/dx这么做是因为f只看成u的函数，u是x的函数回到题目，我们把z看成y和u的函数，u看成x和y的函数，但一定注意，u中包括y，所以对y求导时f(u)不能看做常数所以综合应用情况下，就可以计算如下了，偏导标记不好打我就还用d代替了：d(1/f)/du=-f"/f²，du/dx=2x，du/dy=-2ydz/dx比较简单，y看做常数就可以了dz/dx=yd(1/f)/du*du/dx=-2xyf"/f²dz/dy比较麻烦，分子分母都包括y，所以分开算，先看成z=y*1/f用乘法微分先算，到有u的时候再链式dz/dy=1/f+yd(1/f)/dy=1/f+yd(1/f)/du*du/dy=1/f+2y²f"/f²所以证明式子的左边(1/x)dz/dx+(1/y)dz/dy=-2yf"/f²+1/(yf)+2yf"/f²=1/(yf)=y/(y²f)=(1/y²)(y/f)=z/y²等于等式右边，证毕

若du=F(x)dx+G(y)dy的形式，你的做法会是对的，但是一般不能两边同时积分。因为：在du＝...dx+..dy的这种结果中，x,y同为变量，而两边同时积分时，所有的积分都是不定积分，所以x与y必有一个被看作常量。第一种做法是答案的做法，实际上就是“凑微分”，利用微分的运算法则和公式。第二种做法称为偏积分法（有的书上也称为不定积分法），根据du的表达式，得到偏导数αu/αx，αu/αy，然后对x或y进行不定积分。本题为例，αu/αx＝xy+yf(x)=y，两边对x积分，得u(x,u)=xy+φ(y)，φ(y)待定，它起的作用就是不定积分的任意常数。再根据αu/αy＝f(x)+y²=x-1+y²，代入u(x,u)=xy+φ(y)，得x+φ"(y)＝x-1+y²，所以φ"(y)＝-1+y²，积分得φ(y)＝-y+1/3*y^3+C。所以，u(x,y)=xy--y+1/3*y^3+C。第三种做法是曲线积分法，学到后就知道了。

对数中的真数大于0即1-x-y＞0x+y＜1所以函数定义域为：D={（x，y）|x+y＜1}

先要判断反函数的存在性问题。 对于一元的情况来说，若函数存在反函数，则此函数为一一映射函数。但对于多元函数（以二元为例）z=f(x,y)，存在一个值（x,y),必有一个z与之对应，反过来肯定不成立。因为函数z=f(x,y)在空间是一个曲面，对一个给定的z值(如z=k)就肯定有无穷多个点（x,y)与

二元函数的极限成一元函数的极限，即将二重极限化成累次极限，在很多情况下方便求极限（但是有个限制条件，必须是二重极限和累次极限都存在的情况下才能这么做）可是在某些情况下直接计算二重极限比较方便，例如lim(x→0,y→1)[(x^2+3x)/xy]=lim(x→0,y→0)[(x+3)/y]=3这个可以在最后一步时将x,y的极限值直接代入并且前面说了二重极限化累次极限是有限定条件的，不满足条件则不能化成累次极限

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链式法则~例如f(x)=g(2x)f"(x)=g"(2x)*(2x)"

1)证明多元函数极限不存在，一般都可以通过沿不同方向求极限得到不同的值而根据多元函数极限的定义确定其极限不存在。例如，第一小题，可以令x=ky(k不等于1)，沿x=ky趋于(0,0)时极限值等于(3k+1)/(k-1)，随k不同而不同。第二小题，可令x=ky^2，同样可以证明。2）对于多元的初等函数，已知在它们的定义域内都是连续的，所以只要求出它们的定义域，就是其连续的范围了。对于像第三小题这样的分段函数，除分段点外是初等多元函数，只要讨论分段点处的连续性，也即判断此处是否有(x,y)趋于(0,0)时，limf(x,y)=f(0,0)成立，综合讨论结果就可以得到它的连续范围。

采纳我拍照给你解答过程

可微的充分条件是一阶偏导数连续。

多元函数的极限通用方法有 迫敛性和化为一元函数极限，二元函数可以考虑极坐标法，去求，基本上就这些个方法了

二元的 具体证明暂时不太清楚 有个结论

1、二元函数可微的必要条件：若函数在某点可微，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。 2、二元函数可微的充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在且均在这点连续，则该函数在这点可微。 3、多元函数在点(x0,y0)偏导数都存在并不能推出来该多元函数在这个点可微。比如： (x,y) = (0,0) 时: f(x,y) = 0 (x,y) ≠（0,0）时:f(x,y) = xy/(x*x+y*y)

所有能解释的都写上面了

多元函数驻点的定义是所有一阶偏导数都为零的点。驻点又称为平稳点、稳定点或临界点，是函数的一阶导数为零，即在“这一点”，函数的输出值停止增加或减少。对于一维函数的图像，驻点的切线平行于x轴。对于二维函数的图像，驻点的切平面平行于xy平面。求多元函数的条件驻点的常用方法求多元函数的条件驻点的常用方法有：1、拉格朗日乘数法；2、代入消元法求无条件驻点。其中拉氏乘数法使用最多，影响最大。用矩阵法求条件驻点的方法，在没有增加额外的未知量的情况下求得其所有驻点，矩阵法求条件驻点的过程，就是搜索技术的应用，具有可探作性。

先求两个一阶偏导数，令它们为。解方程组得稳定点，再利用定理的推论确定极值。求多元函数极值的两种特殊方法摘要：在生产和日常生活中我们总是希望减少消耗、增加利用率，得到最佳效果，而这些实际问题都可以归结为函数极值问题。函数极值不仅是数学分析中的一个重要问题，也是我们中的一个难题。函数极值的应用也普遍存在.在这里，介绍用方向导数和实对称矩阵来求多元函数极值这两种方法。关键词：多元函数；方向导数；实对称矩阵；极值1. 利用方向导数求二元函数的极值定义1 设函数在点的某领域内有定义，，令，若存在，称此极限为函数在点沿方向的方向导数，记作。引理 设函数在平面区域上可微，是内的光滑曲线，当点在上移动时，函数沿的前进方向的方向导数满足：（1）,则函数在上单调增加；（2）,则函数在上单调减少；（3）,则函数在上为常数。证明 设曲线的方程为且没有垂直于轴的切线，在上任意两点,,(移动时先经过点),对于定义在上的一元函数应用微分中值定理， （在与之间）,及，（为的切线与轴的夹角）。于是当时，，；当时,  , ;故与同号，如果当时，，从而。所以在上沿前进方向是单调增加的。同理可证，成立。定理1 设函数在点的某领域内可微，且,如果函数在该领域任一点处，沿直线方向的方向导数满足：（1）, 则为的极大值；（2），则为的极小值。证明 设为领域内任意一点，为领域内过点和的直线段，由假设知，函数在点处沿的方向导数，且在上点与之间的任何点处，该方向的方向导数均为负。由引理知，在上单调减少，即。由的任意性，是极大值。情形同理可证。例1 讨论二元函数的极值。解 先求两个一阶偏导数，令它们为。解方程组得稳定点，再利用定理的推论确定极值。, 求得稳定点为。因为，由定理知在点处取得极小值。。 2. 利用实对称矩阵求多元函数的极值上面用方向导数方法对多元函数求其极值，下面介绍用实对称矩阵求多元函数极值。定义2 设函数在点有连续的二阶偏导数，称矩阵为函数在点的黑塞矩阵。定理2 设元函数在点的某个领域有连续的二阶偏导数，且为其稳定点，则（i）若是正定矩阵时，则为的极小值点；（ii）若是负定矩阵时，则为的极大值点；（iii）若是不定矩阵时，则在处不取极值。证明 设元函数在某区域上具有二阶连续偏导数，并且区域内一点是的稳定点（驻点)，即是  的一组解（极值存在的必要条件），那么如何判断是否是极值呢？如果是极值，是极大值还是极小值呢？这里介绍一种方法，是数学分析下册所学的用黑塞矩阵判定，即根据一个实对称矩阵的正定和负定来进行判断。在点处给自变量微小增量，相应地，函数有增量。按定义，当时，为极大值；反之，当时，为极小值。因此问题归结为如何判断的正负问题。根据泰勒（）公式有由于 满足方程组，所以上式右端第一项为零，而其余各项当时，每一项都是它前面的高阶无穷小，因此当很小时，和等式右端第二项有相同的符号。所以要判断的正负，只要判断的正负就可以了。是关于变量的二次齐次多项式，其系数为实数，所以此式也是关于变量的一个实二次型。由于，所以其中为实对称矩阵，其元素且不全为零,即。若A为正定矩阵，则，，为极小值；若为负定矩阵，则，，为极大值。若既不正定，又不负定，则不是极值。应当注意的是，若二次齐次多项式为零，则，此时不能用的正定或负定来判断是否为极值或判断是极大值或极小值，需根据二次齐次多项式后边的高次项去判断。用实对称矩阵求多元函数极值的步骤1.先求多元函数一阶偏导数，求取稳定点；2.然后将稳定点代入多元函数对应的矩阵中；3.判断该矩阵是正定矩阵还是负定矩阵。例2 研究二元函数的极值。解 解方程组得稳定点和。在点处有，，，，由于既不是正定矩阵，又不是负定矩阵，所以不是极值。在点处有，，由于的顺序主子式均大于零，即为正定矩阵，所以为极小值。例3 研究三元函数 的极值。解 解方程组得稳定点。相应地在点有，，，，由于的奇数阶主子式均小于零，而偶数阶主子式均大于零，即为负定矩阵，所以为极大值。参考文献 :[1]余兴民.利用方向导数判别函数极值[J].商洛师范专科学校学报， 2002,16（4）：20-21.[2]华东师范大学数学系.数学分析下册第三版.高等教育出版社.[3]王萼芳 ，石生明.北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数第三版.高等教育出版社.[4]叶耀军.n元函数极值的求法.第四届全国农业应用数学研讨会论文集，1993.[5]赵亚明，杨玉敏.多元函数极值的一种新方法[J].鞍山师范学院学报，2003,5（4）：7-9.[6]蔡生.多元函数极值的一个判别法[J].辽宁教育学院学报，1997,14（5）：11-13.[7]赵俊.多元函数极值的判别方法探讨[J].现代商贸工业，2009,13:194-195.[8]凌征球.二次型在求多元函数极值上的应用[J].广西民族学院学报（自然科学版），2002,8(2)￥5.9百度文库VIP限时优惠现在开通,立享6亿+VIP内容立即获取求多元函数极值的两种特殊方法求多元函数极值的两种特殊方法摘要：在生产和日常生活中我们总是希望减少消耗、增加利用率，得到最佳效果，而这些实际问题都可以归结为函数极值问题。函数极值不仅是数学分析中的一个重要问题，也是我们中的一个难题。函数极值的应用也普遍存在.在这里，介绍用方向导数和实对称矩阵来求多元函数极值这两种方法。关键词：多元函数；方向导数；实对称矩阵；极值第 1 页1. 利用方向导数求二元函数的极值定义1 设函数在点的某领域内有定义，，令，若存在，称此极限为函数在点沿方向的方向导数，记作。引理 设函数在平面区域上可微，是内的光滑曲线，当点在上移动时，函数沿的前进方向的方向导数满足：（1）,则函数在上单调增加；第 2 页（2）,则函数在上单调减少；（3）,则函数在上为常数。证明 设曲线的方程为且没有垂直于轴的切线，在上任意两点,,(移动时先经过点),对于定义在上的一元函数应用微分中值定理， （在与之间）,及，（为的切线与轴的夹角）。于是第 3 页当时，，；当时,  , ;故与同号，如果当时，，从而。所以在上沿前进方向是单调增加的。同理可证，成立。定理1 设函数在点的某领域内可微，且,第 4 页如果函数在该领域任一点处，沿直线方向的方向导数满足：（1）, 则为的极大值；（2），则为的极小值。证明 设为领域内任意一点，为领域内过点和的直线段，由假设知，函数在点处沿的方向导数，且在上点与之间的任何点处，该方向的方向导数均为负。由引理知，在上单调减少，即。第 5 页由的任意性，是极大值。情形同理可证。例1 讨论二元函数的极值。解 先求两个一阶偏导数，令它们为。解方程组得稳定点，再利用定理的推论确定极值。, 求得稳定点为。因为，由定理知在点处取得极小值。第 6 页

基础知识。

你这个问题是数学分析研究多元函数的基础.连续不一定可导,偏导数存在不一定可导,偏导数存在并且连续一定可导.这时只需计算偏导数即可. 具体的问题具体分析,证明可导实际上是计算极限,多元函数趋近某点的极限会计算,则其导数无忧也.

lnz=-x·ln(2x+y)(∂z/∂x)/z=-ln(2x+y)-2x/(2x+y)∴∂z/∂x=-z[ln(2x+y)+2x/(2x+y)]=-[ln(2x+y)+2x/(2x+y)]·(2x+y)^(-x)(∂z/∂y)/z=-x/(2x+y)∴∂z/∂x=-zx/(2x+y)=-[x/(2x+y)]·(2x+y)^(-x)

设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 ( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。记为y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。 变量x1,x2,…,xn称为自变量，y称为因变量。当n=1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D，当n=2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D。二元及以上的函数统称为多元函数。

多元函数的泰勒公式是f(x，y)=f(a，b)+df(a，b)/dx[x-a]+df(a，b)/dy[y-b]+d^2f(a，b)/dx^2[x-a]^2/2+d^2f(a，b)/dy^2[y-b]^2/2+d^2f(a，b)/[dxdy][x-a][y-b]+h。设D为一个非空的n元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 ( x1，x2…xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。记为y=f(x1，x2…xn)，其中( x1，x2…xn)∈D。 变量x1，x2…xn称为自变量，y称为因变量。当n=1时，为一元函数，记为y=f(x)，x∈D，当n=2时，为二元函数，记为z=f(x，y)，(x，y)∈D。二元及以上的函数统称为多元函数。

设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 ( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。记为y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。 变量x1,x2,…,xn称为自变量，y称为因变量。当n=1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D，当n=2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D。二元及以上的函数统称为多元函数。就是多个变量的函数，你可以结合图象可能稍微好理解点图象参见知乎网页链接

多元函数的本质是一种关系。是两个集合间一种确定的对应关系。这两个集合的元素可以是数；也可以是点、线、面、体；还可以是向量、矩阵；等等。一个元素或多个元素对应的结果可以是唯一的元素，即单值的。也可以是多个元素，即多值的。人们最常见的函数，以及目前我国中学数学教科书所说的“函数”，除有特别注明者外，实际上（全称）是一元单值实变函数。设点（x1，x2，…，xn） ∈G，（u1，u2，…，un）∈U，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈G，由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U，u=f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。基本初等函数及其图像 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。①幂函数：y=xμ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，+∞），μ为负整数时是 （－∞，0）∪（0，+∞）；μ=α(为整数)，当α是奇数时为（ －∞，+∞），当α是偶数时为（0，+∞）；μ=p/q,p,q互素，作为的复合函数进行讨论。略图如图2、图3。②指数函数：y=a^x（a>0 ，a≠1），定义域为（ －∞，+∞），值域为（0 ，+∞），a>0 时是严格单调增加的函数（ 即当x2>x1时，y2>y1） ，0<a<1 时是严格单减函数。对任何a，图像均过点（0，1），注意y=a^x和y=log(x)的图形关于y轴对称。如图4。③对数函数：y=logax（a>0）， 称a为底 ， 定义域为（0，+∞），值域为（－∞，+∞） 。a>1 时是严格单调增加的，0<a<1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数与指数函数互为反函数 。如图5。以10为底的对数称为常用对数 ，简记为lgx 。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即自然对数，记作lnx。④三角函数：见表2。正弦函数、余弦函数如图6，图7所示。⑤反三角函数：见表3。双曲正、余弦如图8。⑥双曲函数：双曲正弦（ex－e-x），双曲余弦?（ex+e-x），双曲正切（ex－e-x）/（ex+e-x） ，双曲余切（ ex+e-x）/（ex－e-x）。[编辑]补充在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数f（x）=y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。术语函数，映射，对应，变换通常都是同一个意思。

设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组（x1,x2,…,xn）∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。记为y=f（x1,x2,…,xn） ，（x1,x2,…,xn）∈D 。 变量x1,x2,…,xn称为自变量；y称为因变量。（xi,其中i是下标。下同）当n=1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D;当n=2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D.图象如图。二元及以上的函数统称为多元函数。 设D是n维空间的一个点集，f为某一确定的对应法则。如果对于每个点P(x1,x2,…,xn)∈D，变量z按照对应法则f总有唯一确定的值和它对应，则称z是变量x1,x2,…,xn的n元函数。记为z=f（x1,x2,…,xn），(x1,x2,…,xn) ∈D，或z=f（P），P∈D。　若函数f的定义域D是实数集R的一个子集，即只依赖于一个自变量，就说f是一元函数。若函数f的定义域D是n个R的笛卡尔（R. Descartes）积R×R×…×R=R^n的子集,即依赖于n个独立自变量，就说f是n元函数。当n≥2时，n元函数泛称为多元函数。二元函数的定义域通常是由平面上的一条或几条光滑曲线所围成的平面区域，围成区域的曲线称为区域的边界，包括边界在内的区域称为闭区域，否则称为开区域。

一元函数只含一个未知数，二元含两个……

多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系一般有：1、若多元函数f在其定义域内某点可微，则多元函数f在该点偏导数存在，反过来则不一定成立。2、若多元函数函数f在其定义域内的某点可微,则多元函数f在该点连续，反过来则不一定成立。3、多元函数f在其定义域内某点是否连续与偏导数是否存在无关。4、可微的充要条件：函数的偏导数在某点的某邻域内存在且连续，则多元函数f在该点可微。祝好。

具体回答如下：设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 ( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。记为y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。 变量x1,x2,…,xn称为自变量，y称为因变量。当n=1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D，当n=2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D。多元函数的本质：多元函数的本质是一种关系，是两个集合间一种确定的对应关系。这两个集合的元素可以是数；也可以是点、线、面、体；还可以是向量、矩阵等等。一个元素或多个元素对应的结果可以是唯一的元素，即单值的。也可以是多个元素，即多值得。人们最常见的函数，以及我国中学数学教科书所说的“函数”，除有特别注明者外，实际上（全称）是一元单值实变函数。由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U，则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。基本初等函数及其图像。幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。以上内容参考：百度百科--多元函数

图片发不过去

偏导存在！！

多元函数的极值及其求法如下：1、利用极限四则运算性质或者函数连续性求极限。2、利用恒等变形求极限，主要是消去分母中极限为零的因子（分子分母有理化）。3、利用等价无穷小求极限。4、利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量求极限。5、利用夹逼准则。6、利用两个重要极限。7、利用极坐标法。8、利用取对数法。9、运用洛必达法则求二元函数的极限。10、利用二元函数极限定义求二元函数极限。例如：已知2/x+1/y=1,求x+y的最大值。用多元函数求最值，则过程如下：设F(x,y)=x+y+λ(2/x+1/y-1),分别对参数求偏导数得：Fx=1-2λ/x^2,Fy=1-λ/y^2,Fλ=2/x+1/y-1。令Fx=Fy=Fλ=0,则：x^2=2λ, y^2=1λ,x=√2λ,y=√λ。代入得方程：√2/√λ+1/√λ=1,√λ=(√2+1),则：x+y的最大值=(√2+1)*√λ=(√2+1)^2=3+2√2。