随机变量的概率分布

概率分布的解释是概率论的基本概念之一，用以表述随机变量取值的概率规律。事件的概率表示了一次试验中某一个结果发生的可能性大小。 若要全面了解试验,则必须知道试验的全部可能结果。事件的概率表示了一次试验中某一个结果发生的可能性大小。若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即随机试验的概率分布。如果试验结果用变量X的取值来表示，则随机试验的概率分布就是随机变量的概率分布，即随机变量的可能取值及取得对应值的概率。根据随机变量所属类型的不同，概率分布取不同的表现形式。概率分布也称概率分布律，上面的话意思就是，概率分布律可以表示出某一随机变量所有可能结果中的概率。那么一般有两种，一种是连续型变量，一种是离散型变量，当然这两种变量研究的问题也不一样，我们求得概率分布的目的是为了得到该随机变量得到某一离散值的概率，而连续型概率分布则为了得到该变量在某一区域的概率。

概率，又称或然率、机率或可能性，它是概率论的基本概念。概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。第一个系统地推算概率的人是16世纪的卡尔达诺。记载在他的著作《Liber de Ludo Aleae》中。书中关于概率的内容是由Gould从拉丁文翻译出来的。卡尔达诺的数学著作中有很多给赌徒的建议。这些建议都写成短文。然而，首次提出系统研究概率的是在帕斯卡和费马来往的一系列信件中。这些通信最初是由帕斯卡提出的，他想找费马请教几个关于由Chevvalier de Mere提出的问题。Chevvalier de Mere是一知名作家，路易十四宫廷的显要，也是一名狂热的赌徒。问题主要是两个：掷骰子问题和比赛奖金分配问题。概率是度量偶然事件发生可能性的数值。假如经过多次重复试验(用X代表)，偶然事件(用A代表)出现了若干次(用Y代表)。以X作分母，Y作分子，形成了数值(用P代表)。在多次试验中，P相对稳定在某一数值上，P就成为A出现的概率。如偶然事件的概率是通过长期观察或大量重复试验来确定，则这种概率为统计概率或经验概率。研究支配偶然事件的内在规律的学科叫概率论。属于数学上的一个分支。概率论揭示了偶然现象所包含的内部规律的表现形式。所以，概率，对人们认识自然现象和社会现象有重要的作用。比如，社会产品在分配给个人消费以前要进行扣除，需扣除多少，积累应在国民收入中占多大比重等，就需要运用概率论来确定。

概率分布，是指用于表述随机变量取值的概率规律。事件的概率表示了一次试验中某一个结果发生的可能性大小。若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即随机试验的概率分布。如果试验结果用变量X的取值来表示，则随机试验的概率分布就是随机变量的概率分布，即随机变量的可能取值及取得对应值的概率。根据随机变量所属类型的不同，概率分布取不同的表现形式

一、基本概念 1. 随机变量     设随机试验的样本空间为S={e}。X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X=X(e)为随机变量。 2. 古典概率     又称事前概率，是指当随机事件中各种可能发生的结果和次数都可由演绎或外推法得知，而无需经过任何统计试验即可计算各种可能发生结果的概率。 3. 条件概率     指事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。 4. 离散变量     取值是有限个或者可列无限多个的变量。 5. 连续变量     取值是连续的，相邻两个值之间可以无限分割。 6. 期望值     设离散型随机变量X的分布律为： 。 若级数 绝对收敛，则称 为随机变量X的数学期望，记为  。 即 。     设连续性随机变量X的概率密度为f(x)，若积分 绝对收敛，则称积分 为随机变量X的数学期望，记为 。即 。 二、离散变量概率分布 1. 二项分布     以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，每次伯努利实验事件A发生的概率为p，X的分布律为： ，称随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记为X～(n,p)。 2. 伯努利分布    又称（0-1）分布或两点分布，设随机变量X只能取0和1两个值，其分布律为 ,则称X服从以p为参数的(0-1)分布。 3. 泊松分布     设随机变量X的所有可能取得值为 0，1，2，...而取各个值的概率为 ，其中 是常数。则称X是服从参数为 的泊松分布，记为X～ 。 三、 连续变量概率分布 1. 均匀分布     若连续型随机变量X具有概率密度 ，则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记X～U(a,b)。 2. 正态分布     若连续型随机变量X具有概率密度 ，其中 为常数，则称X服从参数为 的正态分布或高斯分布，记为X~N( )。     当 时，称随机变量X服从标准正态分布。 3. 指数分布     若连续型随机变量X具有概率密度 ，其中  为常数，则称X服从参数为 的指数分布。  4. 伽玛分布     假设随机变量X为到第 件事情都发生所需的等候时间，密度函数为  ；当 时，伽玛分布就是指数分布。 5. 偏态分布     与正态分布相对，指分布曲线左右不对称；正偏态曲线右侧偏长，副偏态曲线左侧偏长。 6. 贝塔分布 7. 威布尔分布     韦伯分布，概率密度函数为 8. 卡方分布     若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布。 9. F分布     参考：     https://blog.csdn.net/baishuiniyaonulia/article/details/84262272

概率分布表示方法如下：简述概率分布的三种表示方法。概率分布的三种表示方法是列表法、图示法、函数法。(1)列表法即列出对应数据表的办法，通常把随机变量的定义域严格划分为若干个互不重叠但又首尾衔接的区间，同时按序给出每一区间上取值的概率。(2)图示法。若随机变量是连续的，且可在从-∞到+∞整个无限宽的区间上取值的话，其“次数分布”图顶端就会形成一条平滑曲线，而在一个区间(X1，X2)上取值的可能性即概率。(3)函数法即用一个函数表示随机变量与概率之间的关系的方法。概率分布，是指用于表述随机变量取值的概率规律。事件的概率表示了一次试验中某一个结果发生的可能性大小。若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即随机试验的概率分布。如果试验结果用变量X的取值来表示，则随机试验的概率分布就是随机变量的概率分布，即随机变量的可能取值及取得对应值的概率。根据随机变量所属类型的不同，概率分布取不同的表现形式。

概率分布（probabilitydistribution）或简称分布（distribution），是概率论的一个概念。 具有相同分布函数的随机变量一定是同分布的，因此可以用分布函数来描述一个分布，但更常用的描述手段是概率密度函数（probability density function,pdf）。 随机变量（random variable）表示随机试验各种结果的实值单值函数。随机事件不论与数量是否直接有关，都可以数量化，即都能用数量化的方式表达。 随机事件数量化的好处是可以用数学分析的方法来研究随机现象。例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数，灯泡的寿命等等，都是随机变量的实例。 随机变量是随机试验样本空间上的单值实数函数，分为离散型随机变量 与 连续型随机变量。 离散型随机变量：取值可以一一列举，有限个或者可列举的无限多个。 连续型随机变量：取值不能一一列举，可能取值连续的充满了某一区间。 表示一个事件发生的可能性的大小的数。 如果试验中可能出现的基本事件数有n个，而事件A包含的基本事件数为m个，A的概率。 条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为：P（A|B），读作“在B的条件下A的概率”。 若只有两个事件A，B，则条件概率公式 离散型（discrete）随机变量即在一定区间内变量取值为有限个或可数个。例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。离散型随机变量通常依据概率质量函数分类，主要分为：伯努利随机变量、二项随机变量、几何随机变量和泊松随机变量。 连续型（continuous）随机变量即在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一一列举出来。例如某地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。有几个重要的连续随机变量常常出现在概率论中，如：均匀随机变量、指数随机变量、伽马随机变量和正态随机变量。 在概率论和统计学中，期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望，物理学中称为期待值）是指在一个离散性随机变量试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。 换句话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。 离散变量的分布函数的值域是离散的，比如只取整数值的随机变量就是属于离散分布的。 又称 0-1分布 ,如果随机变量X只取0和1两个值，并且相应的概率为： 则称随机变量X服从参数为p的伯努利分布，若令q=1一p，则X的概率函数可写 为： 例子 假设某个试验是伯努利试验，其成功概率用p表示，那么失败的概率为q=1-p。进行n次这样的试验，成功了x次，则失败次数为n-x，发生这种情况的概率可用下面公式来计算： 我们称上面的公式为 二项分布 (Binomial distribution)的概率质量函数。其中 二项分布的应用 例子 在掷3次骰子中，不出现6点的概率是：f(3,0,1/6)=(1/6)^0 * (5/6)^3=0.579。 泊松近似是二项分布的一种极限形式。其强调如下的试验前提：一次抽样的概率值p相对很小，而抽取次数n值又相对很大。因此泊松分布又被称之为罕有事件分布。泊松分布指出，如果随机一次试验出现的概率为p，那么在n次试验中出现k次的概率按照泊松分布应该为： 其中数学常数e = 2.71828…(自然对数的底数) 在实践中如果遇到n值很大导致二项分布难于计算时，可以考虑使用泊松分布，但前提是n*p必须趋于一个有限极限。采用泊松分布的一个不太严格的规则是： 应用 一本书一页中的印刷错误数； 某地区在一天内邮递遗失的信件数； 某一医院在一天内的急诊病人数； 某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数。 例子 某工厂在生产零件时，每200个成品中会有1个次品，那么在100个零件中最多出现2个次品的概率按照泊松分布应该是： f(100,0,1/200) + f(100,1,1/200) + f(100,2,1/200) = 0.986 定义 正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution）。 公式 若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是 标准正态分布 。 曲线 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。 正态分布曲线 正态分布中一些值得注意的量： 定义 在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。 均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U（a，b）。 均匀分布的特征是数据在一个区间中均匀地分布，最小值为 a，最大值为 b。概率密度函数是： 分布函数： 定义 在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。 这是伽马分布的一个特殊情况。 它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆（Memoryless Property，又称遗失记忆性）的关键性质。 除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。 公式 其中λ > 0是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter）。即每单位时间内发生某事件的次数。指数分布的区间是[0,∞)。 如果一个随机变量X呈指数分布，则可以写作：X~ E（λ）。 曲线 定义 贝塔分布（Beta Distribution) 是一个作为伯努利分布和二项式分布的共轭先验分布的密度函数，在机器学习和数理统计学中有重要应用。在概率论中，贝塔分布，也称Β分布，是指一组定义在(0,1) 区间的连续概率分布。 公式 在概率论中，贝塔分布，也称B分布，是指一组定义在 区间的连续概率分布，有两个参数 。 使用要点 定义 若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和 卡方分布是指样本方差和总体方差之间的比值关系。 如果样本量为n的样本集取自方差为σ 的正态分布总体，对每一个样本都计算他的卡方值(χ2)，那么卡方值将构成样本方差和总体方差的卡方分布。 卡方分布是右偏的，但是当样本量，即自由度增加时，会逐渐趋向于正态分布。 定义

概率分布是概率论的基本概念之一，用以表述随机变量取值的概率规律。为了使用的方便，根据随机变量所属类型的不同，概率分布取不同的表现形式。研究随机试验，仅知道可能发生哪些随机事件是不够的，还需了解各种随机事件发生的可能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规律性，从而指导实践。这就要求有一个能够刻划事件发生可能性大小的数量指标，这指标应该是事件本身所固有的，且不随人的主观意志而改变，人们称之为概率（probability）。事件A的概率记为P（A）。下面我们先介绍概率的统计定义。在相同条件下进行n次重复试验，如果随机事件A发生的次数为m，那么m/n称为随机事件A的频率（frequency）；当试验重复数n逐渐增大时，随机事件A的频率越来越稳定地接近某一数值p，那么就把p称为随机事件A的概率。这样定义的概率称为统计概率（statistics probability），或者称后验概率（posterior probability）。

1.连续性随机变量 如果随机变量 X 的所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任一点的随机变量 2.离散型随机变量 设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散型随机变量 古典概率通常又叫事前概率，是指当随机事件中各种可能发生的结果及其出现的次数都可以由演绎或外推法得知，而无需经过任何统计试验即可计算各种可能发生结果的概率。 条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为：P（A|B），读作“在B的条件下A的概率”。 在概率论和统计学中，期望值（或 数学期望 、或 均值 ，亦简称 期望 ，物理学中称为 期待值 ）是指在一个离散性随机变量试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和 在概率论和统计学中， 二项分布 是 n 个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为 p 。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当 n  = 1时，二项分布就是伯努利分布。二项分布是显著性差异的二项实验的基础 伯努利分布亦称“零一分布”、“两点分布”。称随机变量X有伯努利分布, 参数为p(0<p<1),如果它分别以概率p和1-p取1和0为值。均值EX = p , 方差DX = p(1-p)。伯努利试验成功的次数服从伯努利分布,参数p是试验成功的概率。伯努利分布是一个离散型机率分布，是N=1时二项分布的特殊情况 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 若随机变量X取0和一切正整数值，在n次独立试验中出现的次数x恰为k次的概率P（X=k）=（k=0,1,...,n），式中λ是一个大于0的参数，此概率分布称为泊松分布。它的期望值为E(x)=λ，方差为 D ( x ) = λ。当n很大，且在一次试验中出现的概率P很小时，泊松分布近似二项分布 在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。 均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U（a，b） 正态分布 又名 高斯分布 ，是一个非常常见的连续概率分布。正态分布在统计学上十分重要，经常用在自然和社会科学来代表一个不明的随机变量。 若随机变量X服从一个位置参数为 、尺度参数为 的正态分布，记为： 则其概率密度函数为 正态分布的数学期望值或期望值 等于位置参数，决定了分布的位置；其方差 的开平方或标准差 等于尺度参数，决定了分布的幅度 标准正态分布是位置参数  = 0，尺度参数  = 1的正太分布 在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。 概率密度函数： 其中λ > 0是分布的一个参数，常被称为率参数。即每单位时间发生该事件的次数。指数分布的区间是[0,∞)。 如果一个随机变量 X  呈指数分布，则可以写作： X  ~ Exponential（λ） 概率密度函数： 偏态分布指频数分布的高峰位于一侧，尾部向另一侧延伸的分布。它分为正偏态和负偏态。偏态分布的资料有时取对数后可以转化为正态分布，反映偏态分布的集中趋势往往用中位数。 在 概率论 中， 贝塔分布 ，也称 B分布 ，是指一组定义在（0，1）区间的连续概率分布，有两个参数 ，  >0 。 概率密度函数： 威布尔分布 是可靠性分析和寿命检验的理论基础 概率密度函数： 卡方分布 是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。卡方分布是一种特殊的伽马分布，是统计推断中应用最为广泛的概率分布之一，例如假设检验和置信区间的计算。 数学定义： 概率密度函数：

概率分布是指事件的不同结果对应发生的概率所构成的分布，体现在坐标轴上，能直观的看出事件全部可能的结果及其发生的概率大小。根据数据连续型，数据集可以分为连续型和离散型，对应事件的结果，其概率分布也可以分为连续型概率分布和离散型规律分布。常见的概率分布有二项分布、泊松分布、几何何分布、正态分布四种。二项分布（离散概率分布）：假设试验只有两种结果：成功的概率为θ，失败的概率为1-θ。则二项分布描述了：独立重复地进行n次试验中，成功x次的概率。泊松分布（离散概率分布）：假设已知事件在单位时间（或者单位面积）内发生的平均次数为λ，则泊松分布描述了：事件在单位时间（或者单位面积）内发生的具体次数为k的概率。几何何分布（离散概率分布）：假定有一系列伯努利试验，其中p为成功概率，q=1-p为失败概率。几何分布描述了：为了在第r次试验时取得成功，首先要失败r-1次。正态分布（连续概率分布）：我们可以画出正态分布的概率分布曲线，可以看到该曲线是一个钟型的曲线。如果变量的均值，模和中值相等，那么该变量就呈现正态分布。

总体分布：所有元素出现概率的分布。是简单意义上的随机变量对应的频次分布。总体分布往往是未知的，很多场合不可能获取得对所有个体元素的观察值。当然有些时候可以通过理论计算进行假定。样本分布：样本分布有区别于总体分布，它是从总体中按一定的分组标志选出来的部分样本容量。选择的样本在随机变量上的对应的频次分布，样本分布实际上也在趋向总体分布。个人感觉样本分布和总体分布的本质是一样，区别就在于选取的数据不一样，一个是总体（N个），一个是样本（n个）抽样分布：是对样本统计量概率分布的一种描述方式。这个和上面两个是截然不同的概念。抽样分布是一种概率分布，随机变量是样本统计量。虽然统计量也是随机变量，但是本身来说，是经过处理的变量。在使用时需要计算任意n个样本的统计量，然后将数据进行分布查看。由样本n个观察值计算的统计量的概率分布就是抽样分布。就比如说调查一所中学的所有学生的身高，这就构成了总体，从中随机抽取300个人，这300个人就组成一个样本分布。之后再抽取若干个300人组成的样本，从所有样本中得到的平均数就是抽样分布的变量了

概率分布是概率论的基本概念之一，用以表述随机变量取值的概率规律。举个最简单的例子：抛一枚硬币，产生的结果的概率分布为：p（正面）=0.5，p（背面）=0.5

概率是隶属于一个随机事件的实数，其值介于0和1之间。概率是某一随机事件在试验中出现的可能性大小的量。概率用符号P表示。概率分布是概率论的基本概念之一，用以表述随机变量取值的概率规律。为了使用的方便，根据随机变量所属类型的不同，概率分布取不同的表现形式。

！！！！！！！！！！概率论非常重要！！！！！！！！！！ 世界万物的不确定性如何衡量和表示呢？在统计学里用概率表示。 比如有这么几句话： 对事件发生的可能性的度量就是概率。概率介于0-1之间，用百分比的方式度量可能性大小。在古典概率的定义中，因为一个事件发生的可能性事先无法知道，所以我们可以通过多次试验获得某个观测结果发生的频率p，p就是代表了发生的概率的大小。 比如我们想知道通过试验后A发生的概率，那么我们可以做n次试验，看n次实验中记录发生A事件的次数，于是会有下面的结论： P(A) =A发生的次数÷重复试验的总次数 =m÷n =p 随着试验次数的增多，m、n会围绕一个稳定的频率上下波动 另一个例子，如何理解“硬币出现正面的概率P(A)=1/2”： 错误——抛掷多次硬币，其中有一半的硬币出现了正面结果 正确——在对硬币连续多次的抛掷中，硬币出现正面结果的概率接近或几乎稳定于一半儿（50%） 以上例子都是基于可以进行重复实验做的例子。但现实生活中很多例子没有办法进行多次重复，也正是因为这样，我们可以使用生活中已经发生的信息索求发生概率。所以概率其实是主观的，他是根据我们生活中的经验，掌握的信息进行统计意义上的求解，至于概率高低的好与坏，全凭分析者对源于生活中的判断。 实际生活中很多概率结果事先不知道，可以通过一种分布模型去确认这个时间发生的概率。 生活中要进行观测时，取值无法事先了解，比如出租房屋的价格，小学生的身高，这就是随机变量。换句话说，随机变量指的是实现不知道取值的那些变量，而性别变量事先知道取值有男、女，所以不是随机变量。随机变量表达了某特定实验可能出现的结果，由于结果未知，取值有随机性。比如抛掷硬币前，你知道你抛掷出来的结果是正面还是反面嘛？（通常意义是不会的） 取有限个值的变量为离散型随机变量。比如喜欢某个品牌的人数是一个有限固定的变量值。 可以取一个或多个区间中的值为连续型随机变量。比如机器产能数量理论上是无限个（也就是X≥0），任何一个结果都有可能。 对随机变量来说也有统计量来表述其水平和离散程度。水平的统计量成为期望值，离散的统计量成为方差，都是随机变量的概括性度量。 X所有可能的xi(i=1,2…)取值与其相应的概率pi(i=1,2…)的乘积之和，记为μ或者E(X)。 （xi-μ）的平方与其相应的概率pi乘积之和，用σ^2（西格玛二次方）或者D(X)表示。他的标准差就是σ。 如果已知某厂家每100个产品中不合格率，并测试了4次，得到4个不合格概率p，如下表：随机变量取哪些值，这些值的概率有多大，描述这个特征的就是概率分布。 常用的离散型概率分布有：二项分布、泊松分布、超几何分布； 常用的连续型概率分布有：正态分布、均匀愤怒、指数分布等 离散型概率分布的性质有两个：每个随机变量的概率≥0、随机变量概率相加后概率之和等于1. 二项分布有几种条件： 在n次试验中，成功的次数对应了一个离散随机变量X，所以出现称公司数的概率愤怒就是二项分布，记作X~B(n,p)。 当p=0.5时，概率分布对称，当p=0.1时，概率分布右偏，当p=0.9时，概率分布左偏 如果我们把实验做到极限大，几乎世间万物都服从正态分布。所以很多连续总体未知时，我们也可以假设该总体服从正态分布进行分析。从正态分布推到的其他常用的分布有：卡方分布、t分布、F分布等。 在正态分布下，不同的均值和方差对应了不同的正态分布。如果方差相同均值不同，分布图hi在X轴上以同等面积和离散程度进行水平移动；如果均值相同方差不同，则分布图会在同一个水平位置上，有不同面积的大小。 所以我们说： 再次说明一个需要熟记的数字： n个独立标准正态随机变量平方和的分布，成为有n个自由度的卡方分布，卡方就是x的平方（x2）。设标准正态随机变量X=Z,则X服从自由度为1的卡方分布。 卡方分布的形状取决于自由度n的大小。通常情况卡方分布不对称的右偏分布，但是随着自由度变大，会逐渐趋于对称。 t表示样本均值经过标准化后成为新的随机变量，服从自由度为n的t分布。同样也是类似于正态分布的对称分布，通常形状会比正态分布更平坦和分散，自由度越大，t分布越趋近于正态分布。 F分布是两个卡方分布变量的比。比如两个随机变量U、V，平方后为卡方变量n1、n2，F=n1/n2。F分布与卡方分布类似，形状取决于两个自由度。通常用于比较不同总体的方差是否有显著差异，F分布的概率即曲线下的面积的计算，可以给定自由度df1、df2时计算累计概率，或者给定累计概率与自由度df1、df2时的F值。 生活中经常要做一些推断，比如北京市的平均男性身高是多少。你不可能把这个地区所有男性都普查一遍的。所以你需要从这个地区抽出一部分样本进行推断，用于做抽取数据推断的统计量我们常用的有：样本均值（x拔）、样本比例（p）、样本方差（s^2）. 如上文所说，北京市的平均男性身高就是总体参数，他是对总体特征的概括性度量。不过参数一般都是不知道的，我们依然可以定义总体的统计量：总体均值（μ）、总体方差（σ^2）、总体比例（π）。 虽然总体参数未知，但是样本信息可以推断总体，我们从总体以抽取的数据量就是一个统计量，这个统计量就是样本的函数，可见，随着抽样取值的不同，统计量也会因此变化，换句话说统计量是一个随机变量，只要收取一个特定的样本后，统计量的值就会被计算出来。 样本统计量既然是随机变量，那么也会有概率分布，这里我们称为抽样分布，它由样本统计量的所有可能取值形成一个频数分布。但我们知道抽样是不可能把总体全部抽到的，所以，统计量的概率分布实际上是理论意义的分布。因为用它来推断总体会有不确定性，但我们依然可以度量这种不确定性的可靠程度，同时还能知道这些不确定的分布特征。 直接上结论。在有放回抽样中，样本均值=总体均值，样本均值的方差=总体方差的1/n。这就是很著名的中心极限定理。 样本均值的分布与抽样所依据的总体的分布和样本量n的大小有关系。如果总体是正态分布，无论样本量大和小，样本均值都近似服从正态分布。如果总体不是正态分布，随着样本量n的增大（通常n需要≥30），样本均值近似服从期望值为μ、方差为总体方差的1/n，这就是很著名的中心极限定理。 注意，如果总体不是正态分布，n为小样本（n小于30），样本均值则不服从正态分布。 总结： 指的总体或样本具有某种属性的个体与全部个体之和的比值。比如中国国籍的人中，男性占全部中国国际人数的比例。 从一个总体中重复选取样本量n的样本，有样本比例的所有可能取值形成的分布就是样本比例的概率分布。 样本方差的分布与卡方类似，随着样本量的增大，逐渐趋近于对称。 对两个总体的参数进行估计： 统计量的标准误指的是统计量的标准差，也叫做标准误差。用于衡量样本统计量的离散程度，在参数估计和假设检验中，它是用于衡量样本统计量与总体参数之间差距的重要尺度。样本均值的标准误差记作SE或者σ x拔，计算公式为SE=σ x拔=σ/开方n。 当总体标准差σ未知的时候，可以用样本标准差s代替计算，这时候计算的标准误也成为估计标准误。实际生活中，总体方差通常未知，所以计算的标准误基本上都是估计标准误，这么一来我们经常就把估计标准误简称为标准误。 注意：标准误和标准差是两个不同的概念。

六种常见分布的概率分布如下：1、离散型分布：0-1分布。只先进行一次事件试验，该事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p2、离散型分布：几何分布。在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的概率。详也就是说前k-1次皆失败，第k次成功的概率。3、离散型分布：二项分布在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中A发生的概率为p。用X表示n重伯努利试验中A发生的次数，n次试验中事件A恰好发生k次的概率即为二项分布。4、离散型分布：泊松分布单位时间内，某事发生x次的概率5、连续型分布：均匀分布在区间（a，b）上服从均匀分布的随机变量 X，落在区间（a，b）中任意等长度的子区间内的可能性是相同的.6、连续型分布：指数分布描述两次随机事件发生时间间隔的概率分布7、连续型分布：正态分布态分布是具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ^2 )。

求出概率分布函数然后在整个区间上积分。概率分布，是指用于表述随机变量取值的概率规律。事件的概率表示了一次试验中某一个结果发生的可能性大小。若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即随机试验的概率分布。 正态分布 正态分布是一种很重要的连续型随机变量的概率分布。生物现象中有许多变量是服从或近似服从正态分布的，如家畜的体长、体重、产奶量、产毛量、血红蛋白含量、血糖含量等。许多统计分析方法都是以正态分布为基础的。此外，还有不少随机变量的概率分布在一定条件下以正态分布为其极限分布。因此在统计学中，正态分布无论在理论研究上还是实际应用中，均占有重要的地位。 关于正态分布的概率计算，我们先从标准正态分布着手。这是因为，一方面标准正态分布在正态分布中形式最简单，而且任意正态分布都可化为标准正态分布来计算；另一方面，人们已经根据标准正态分布的分布函数编制成正态分布表以供直接查用。

Bernoulli分布 是单个二值随机变量分布, 单参数 ∈[0,1]控制, 给出随机变量等于1的概率. 基本形式为: 其期望为： 其方差为： Multinoulli分布 也叫 范畴分布 , 是单个 k 值随机分布,经常用来表示 对象分类的分布 . 其中 是有限值.Multinoulli分布由向量 参数化,每个分量 表示第 个状态的概率, 且 . 适用范围 : 伯努利分布 适合对 离散型 随机变量建模. 高斯也叫正态分布(Normal Distribution), 概率度函数如下: 其中, 和 分别是均值和方差, 中心峰值x坐标由 给出, 峰的宽度受 控制, 最大点在 处取得, 拐点为 正态分布中，±1 、±2 、±3 下的概率分别是68.3%、95.5%、99.73%，这3个数最好记住。 此外, 令 高斯分布即简化为标准正态分布: 对概率密度函数高效求值: 其中， 通过参数 来控制分布精度。 问: 何时采用正态分布? 答: 缺乏实数上分布的先验知识, 不知选择何种形式时, 默认选择正态分布总是不会错的, 理由如下: 正态分布的推广: 正态分布可以推广到 空间, 此时称为 多位正态分布 , 其参数是一个正定对称矩阵 : 对多为正态分布概率密度高效求值: 此处， 是一个精度矩阵。 深度学习中, 指数分布用来描述在 点处取得边界点的分布, 指数分布定义如下: 指数分布用指示函数 来使 取负值时的概率为零。 一个联系紧密的概率分布是 Laplace 分布（Laplace distribution），它允许我们在任意一点 处设置概率质量的峰值 Dirac分布可保证概率分布中所有质量都集中在一个点上. Diract分布的狄拉克 函数(也称为 单位脉冲函数 )定义如下: Dirac 分布经常作为 经验分布（empirical distribution）的一个组成部分出现 , 其中, m个点 是给定的数据集, 经验分布 将概率密度 赋给了这些点. 当我们在训练集上训练模型时, 可以认为从这个训练集上得到的经验分布指明了 采样来源 . 适用范围 : 狄拉克δ函数适合对 连续型 随机变量的经验分布. 在概率论和统计学中，数学期望（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。它反映随机变量平均取值的大小。 概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。方差是一种特殊的期望。定义为： 协方差是衡量两个变量线性相关性强度及变量尺度。 两个随机变量的协方差定义为： 方差是一种特殊的协方差。当 时， 。 相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。两个随机变量的相关系数定义为：

本文主要是基于下面优秀博客文的总结和梳理： 概率论中常见分布总结以及python的scipy库使用：两点分布、二项分布、几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布 （侵删。） 概率分布有两种型别：离散（discrete）概率分布和连续（continuous）概率分布。 离散概率分布也称为概率质量函式（probability mass function）。离散概率分布的例子有伯努利分布（Bernoulli distribution）、二项分布（binomial distribution）、泊松分布（Poisson distribution）和几何分布（geometric distribution）等。 连续概率分布也称为概率密度函式（probability density function），它们是具有连续取值（例如一条实线上的值）的函式。正态分布（normal distribution）、指数分布（exponential distribution）和β分布（beta distribution）等都属于连续概率分布。 一些分析结论和注意点： 1）PDF是连续变量特有的，PMF是离散随机变量特有的； 2）PDF的取值本身不是概率，它是一种趋势（密度）只有对连续随机变量的取值进行积分后才是概率，也就是说对于连续值确定它在某一点的概率是没有意义的； 3）PMF的取值本身代表该值的概率。 PDF -(积分)-> CDF PDF描述了CDF的变化趋势，即曲线的斜率。 PMF [离散随机变量 概率] 伯努利试验： 伯努利试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。 即只先进行一次伯努利试验，该事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p。这是一个最简单的分布，任何一个只有两种结果的随机现象都服从0-1分布。 最常见的例子为抛硬币 其中: 即做n个两点分布的实验 其中: 对于二项分布，可以参考 https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.binom.html 二项分布的应用场景主要是，对于已知次数n，关心发生k次成功。 ，即为二项分布公式可求。 对于抛硬币的问题，做100次实验，观察其概率分布函式： [图片上传失败...(image-dbd774-1517353918840)] 观察概率分布图，可以看到，对于n = 100次实验中，有50次成功的概率（正面向上）的概率最大。

概率 ：用数值来描述事件发生的可能性，等于要测定的事件数目与全部可能发生的偶然事件总数之间的比率。 概率分布 用来描述这一系列数值的规律。 概率论中对实验的定义是：能够产生明确结果的过程，投硬币、抛骰子、明天下不下雨、公交车上有几个人，这些都是实验。而所谓随机变量，是对实验结果的数值性描述。例： 通常用大写英文字母表示随机变量，这是约定。 随机变量根据其取值特征，分为离散型和连续型。 实验结果是由可逐一列举的结果组成的，那这个结果就是离散型随机变量。满足 比如上面列举的投骰子事件，一个均匀的骰子，结果必然是在1,2,3,4,5,6之中的一个，而且每个的概率相等，投一次骰子必然出现上述结果中的一个。那么每个结果的概率就是1/6。 离散型随机变量的方差： 连续随机变量中有一种特殊事件，只会产生两种结果，并且重复这一实验每次的结果不会影响其他实验（独立实验）,称为伯努利实验。 期望E(x) = p 方差D(x) = p(1-p) 进行一次伯努利实验叫做1重伯努利实验，进行两次伯努利实验叫做2重伯努利实验，以此类推。统计学中管N次伯努利实验的结果分布称为二项分布。 以投硬币来说，（投硬币是很标准的伯努利实验，结果只有正反两面，每次投硬币不影响其他次）重复10次，即10重伯努利实验，查看正面朝上的次数，把10重伯努利实验看做一个试验，随机变量X的取值是正面朝上的次数，则X=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 每种结果的概率不尽相等。 其分布服从: 二项概率的期望： 泊松分布的作用是描述一段时间内（或者一段空间中）某一事件发生的次数：比如医院每天接收到的病人数，呼叫台收到的求助电话，或者一段高速公路上道路的损坏量。 比如说，医院每天接诊的病人数量是不固定的，单是理论上讲，最少是0人，最多可以无限多，但是总有一个平均值，不妨设为100人。那么医院接诊人数的概率分布大概是这样的： 最左侧为零概率很小，最大可能100人在峰顶，随着人数增多，概率降低。其概率分布服从： μ表示均值。 如果实验结果取值是无限的，比如明天降雨量可能是10~50mm之间任意小数，可以用离散随机变量来表示这一事件。 正态分布是一种特殊的分布类型，自然界中非常常见：同龄人中体重分布、商品价格、家电使用寿命等。 正态分布的图形和函数： 正态分布具有如下特性： 为了便于计算，统计学家又创造了一个特殊的工具——标准正态分布。 规定均值μ=0，标准差σ=1的正态分布为标准正态分布，因为在标准正态分布中，根据标准正态分布表可以方便查找某一数值内的概率值。将非标准正态分布转换为标准正态分布的公式是： 得到的Z其实就是，当前X距离均值μ有多少个标准差，然后在标准正态分布表中查找概率即可。 之前讲到的泊松分布，用于描述 单位时间内某一独立事件发生的次数 ，如果说1小时之内有10个人被送往医院，那么我们有没有理由得出一个结论：在进入医院的这些人中，平均每两个人间隔的时间是6分钟呢？ 指数概率分布就是用来描述这样的现实情况的， 两个独立事件发生的间隔时间是遵循一定规律的。 下一个病人进入医院的时间遵循下图： 用公式表示： 那么指数概率函数的概率值怎么计算呢？ 我们知道，对于连续型随机变量，函数曲线下方的面积表示某一范围内实验成功的概率。 如果医院平均每小时接诊10个病人，等价于平均每隔6分钟就有一个病人入院，如何计算接下来10分钟都没有病人来的概率？ 对f(x)进行积分，得到指数概率函数的积分函数 R是为统计而生的语言，而概率又是统计的左右手，那么R中必然涵盖了最丰富最实用的概率函数。 生成一个取值为(1,2,3,4,5)的离散型随机变量 sample函数是取样函数，语句表示在总体S中取样本容量为1 的样本。 连续型随机变量： 生成一个连续随机变量的结果集，最大值为1，最小值为0，总共产生10个结果。 求总体的描述统计量： 在排列组合中有一计数法则，公式为 binom是R中的二项分布函数族，包含密度函数（dbinom），累积分布函数（pbinom），分为函数（qbinom），以及随机数函数（rbinom） 投10次硬币，结果为5次正面的概率 这跟手动计算的结果是一样的，可互相验证。 累计分布函数，正面大于5（包含6,7,8,9,10）的概率 这是正面数0~5的累计概率，大于5的概率为 手动验证： 正确！ rbinom可生成二项实验结果集 rbinom(100,10,.5)表示每轮进行10次实验，共进行100轮，每次实验的概率是1/2 ，返回结果成功次数的结果集。 这是进行100次每次10个实验的结果，如果数值设置大一点，结果就很接近正态分布了。

若概率密度函数为f（x），且F"（x）=f（x），则概率分布函数为F（x）+C，C为常数，可以根据x趋于无穷时概率分布函数等于1求得。扩展资料：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F(x)=P{X≤x} 物质的双体分布函数示意图称为X的分布函数。对于任意实数x1，x2(x1＜x2)，有 P{x1＜X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1)。因此，若已知X的分布函数，就可以知道X落在任一区间(x1，x2]上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。分布函数是一个普遍的函数，正是通过它，我们将能用数学分析的方法来研究随机变量·。如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间（-∞，x]上的概率·。参考资料来源：百度百科-分布函数

一是所有事件的概率都不能小于零。二是全体事件概率加起来等于一。

正态分布是一种很重要的连续型随机变量的概率分布。生物现象中有许多变量是服从或近似服从正态分布的，如家畜的体长、体重、产奶量、产毛量、血红蛋白含量、血糖含量等。许多统计分析方法都是以正态分布为基础的。此外，还有不少随机变量的概率分布在一定条件下以正态分布为其极限分布。因此在统计学中，正态分布无论在理论研究上还是实际应用中，均占有重要的地位。 标准正态分布概率计算设u服从标准正态分布，则u在[u1,u2]内取值的概率为：而Φ(u1)与Φ(u2)可由附表1查得。附表1只对于-4.99≤u<4.99给出了Φ(u)的数值。表中，u值列在第一列和第一行，第一列列出u的整数部分及小数点后第一位，第一行为u的小数点后第二位数值。例如，u=1.75，1.7放在第一列，0.05放在第一行。在附表1中，1.7所在行与0.05 所在列相交处的数值为0.95994，即Φ(1.75)=0.95994。有时会遇到给定Φ(u)值，例如Φ(u)=0.284，反过来查u值。这只要在附表1中找到与0.284最接近的值0.2843，对应行的第一列数-0.5， 对应列的第一行数值0.07，即相应的u值为u=-0.57，亦即Φ(-0.57)=0.284。如果要求更精确的u值，可用线性插值法计算。表中用了象。02336，.97674这种写法，分别是0.0002326和0.9997674的缩写，0表示连续3个0，9表示连续3个9。由(4-11) 式及正态分布的对称性可推出下列关系式，再借助附表1，便能很方便地计算有关概率：P(0≤u<u1)=Φ(u1)-0.5P(u≥u1) =Φ(-u1)P(|u|≥u1)=2Φ(-u1) (4-12)P(|u|<u1)=1-2Φ(-u1)P(u1≤u<u2)=Φ(u2)-Φ(u1)【例4.6】已知u～N(0，1)，试求：(1)P(u<-1.64)=? (2)P(u≥2.58)=? (3)P(|u|≥2.56)=?(4)P(0.34≤u<1.53) =?利用(4-12)式，查附表1得：(1)P(u<-1.64)=0.05050(2)P(u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940(3)P(|u|≥2.56)=2Φ(-2.56)=2×0.005234=0.010468(4)P(0.34≤u<1.53)=Φ(1.53)-Φ(0.34)=0.93669-0.6331=0.30389关于标准正态分布，以下几种概率应当熟记：P（-1≤u<1）=0.6826P（-2≤u<2）=0.9545P（-3≤u<3）=0.9973P（-1.96≤u<1.96）=0.95P(-2.58≤u<2.58)=0.99u变量在上述区间以外取值的概率分别为：P(|u|≥1)=2Φ(-1)=1-P(-1≤u<1)=1-0.6826=0.3174P(|u|≥2)=2Φ(-2)=1-P（-2≤u<2）=1-0.9545=0.0455P(|u|≥3)=1-0.9973=0.0027P(|u|≥1.96)=1-0.95=0.05P(|u|≥2.58)=1-0.99=0.01

分布函数

概率分布是针对任何随机变量所求的分布函数或分布律,而后者一般针对离散型的随机变量.

楼上正解。正态分布仅仅是连续概率分布的一种。概率分布，表述随机变量取值的概率规律。描述不同类型随机变量有不同概率分布形式。随机变量分为离散型与连续型。1.离散型随机变量分布列只取有限个或可列个实数值的随机变量。例如，100件产品中有10件次品，从中随意抽取5件，则其中的次品数X就是一个只取0，1，2，3，4，5离散型随机变量。描述离散型随机变量概率分布使用分布列2.连续型随机变量的密度函数如果存在一非负实函数P(x),使随机变量x的分布函数F(x)可以表成F(x),在－∞到x上的积分，则称X为连续型随机变量,P(x)称为X的密度函数。连续型随机变量取任何一个实数值的概率等于0常见的连续型随机变量分布：均匀，正态、柯西、对数正态分布、指数、伽玛（Γ）、贝塔（Β）、x2分布、学生分布、F分布等等。把分布函数的概念推广到随机向量的情形，得到联合分布函数、边缘分布函数、联合分布列、边缘分布列、联合密度函数和边缘密度函数等概念。

常见的离散型随机变量的分布有单点分布、两点分布、二项分布、几何分布、负二项分布、超几何分布、泊松分布等.常见的连续型随机变量的分布有：均匀分布,正态分布、柯西分布、对数正态分布、指数分布、伽玛（Γ）分布、贝塔（Β）分布、x2分布、学生分布、F分布等等

分享一种解法。∵Xi为来自总体X~N(μ,δ²)的样本，样本的均值为X"、方差为S²，则(X"-μ)/(S/√n)~t(n-1)。本题中，μ=0，n=4。∴(X"-μ)/(S/√n)=X"/(S/√4)=2X"/S~t(3)。按抽样分布中三大分布之t分布，T分布的概率密度f(t)={Γ(2)/[√(3π)Γ(3/2)]}/(1+t²/3)²=[2/(π√3)]/(1+t²/3)²，t∈R。供参考。

概率分布有两种型别:离散(discrete)概率分布和连续(continuous)概率分布。离散概率分布也称为概率质量函式。概率分布，是指用于表述随机变量取值的概率规律。事件的概率表示了一次试验中某一个结果发生的可能性大小。若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即随机试验的概率分布。如果试验结果用变量X的取值来表示，则随机试验的概率分布就是随机变量的概率分布，即随机变量的可能取值及取得对应值的概率。根据随机变量所属类型的不同，概率分布取不同的表现形式。八大概率分布律：0-1分布、二项分布、泊松分布、超几何分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布。

概率分布：（英语：probability distribution）或简称分布，是概率论的一个概念。为了使用的方便，根据随机变量所属类型的不同，概率分布取不同的表现形式。有时，主要是为了理论研究的方便，还需要有一种表述随机变量与随机向量取值的概率规律的更一般的形式。表列举了概率论与数理统计学中常用的概率分布(包括取整数值的离散型分布及连续型分布)，它们的名称与标准记号，分布列或密度函数表达式及部分密度函数的图形，相应的数学期望与方差(如果存在)，以及相应的特征函数。附表1只对于-4.99≤u在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起来，大体上分为两大类：一类是可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定的，必然发生（或必然不发生）。例如，在标准大气压下，水加热到100℃必然沸腾；步行条件下必然不可能到达月球等。这类现象称为必然现象（inevitablephenomena）或确定性现象（definitephenomena）。另一类是事前不可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果未必相同。例如，掷一枚质地均匀对称的硬币，其结果可能是出现正面，也可能出现反面；孵化6枚种蛋，可能“孵化出0只雏鸟”，也可能“孵化出1只雏鸟”，……，也可能“孵化出6只雏鸟”，事前不可能断言其孵化结果。这类在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定性现象，称为随机现象（random phenomena）或不确定性现象（indefinite phenomena）。

概率分布的三种表示方法是列表法、图示法、函数法。(1)列表法即列出对应数据表的办法，通常把随机变量的定义域严格划分为若干个互不重叠但又首尾衔接的区间，同时按序给出每一区间上取值的概率。(2)图示法。若随机变量是连续的，且可在从-∞到+∞整个无限宽的区间上取值的话，其“次数分布”图顶端就会形成一条平滑曲线，而在一个区间(X1，X2)上取值的可能性即概率。(3)函数法即用一个函数表示随机变量与概率之间的关系的方法。概率分布（德语：Wahrscheinlichkeitsverteilung，英语：probability distribution）或简称分布，是概率论的一个概念。使用时可以有以下两种含义：广义地，它指称随机变量的概率性质－－当我们说概率空间中的两个随机变量X和Y具有同样的分布（或同分布）时，我们是无法用概率来区别他们的。狭义地，它是指随机变量的概率分布函数。设X是样本空间上的随机变量，为概率测度，则称如下定义的函数是X的分布函数，或称累积分布函数

统计学基石——概率和概率分布如果觉得文章对你有用，欢迎关注、转发、点赞、收藏。概率与概率分布是统计学中的基础概念，在我们的高中的课本中就接触过了，如果有遗忘，一起来回顾一下吧！知识点：概率概率分布一、概率说到概率，需要先了解一个概念，叫做随机试验。随机试验 是指在相同条件下对某随机现象进行的大量重复观测的试验，需满足以下三个条件：（1）在相同的条件下重复进行；（2）事先知道可能发生的所有结果，而且结果不止一个；（3）每一次试验都不能知道会是结果中的哪一个。随机事件是在随机试验中产生的，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。而概率是对随机事件发生的结果可能性大小的客观度量。取值在0到1之间，也可以表示为百分数0%到100%之间。如果一个事件发生的概率为0，则称这个事件为不可能事件；如果一个事件发生的概率为1，则称这个事件为必然事件；如果一个事件发生的概率在0-1之间，那么这个事件则不一定发生，概率越靠近1，发生的可能性越大。示例：多次抛掷均匀的硬币，记录正反面。在试验次数越大的情况下，结果为正面的概率越接近50%。二、概率分布概率分布是指事件的不同结果对应发生的概率所构成的分布，体现在坐标轴上，能直观的看出事件全部可能的结果及其发生的概率大小。根据数据连续型，数据集可以分为连续型和离散型，对应事件的结果，其概率分布也可以分为连续型概率分布和离散型规律分布。如上图中离散型概率分布图所示，离散型概率分布是由若干垂直于x轴的柱形组成。柱形与x轴的交点表示可能发生的结果，顶端对应y轴的值表示该结果发生的概率。常见的离散型概率分布包括几何分布 、二项分布和泊松分布等。如上图中连续型概率分布图所示，因为事件的结果可以在x轴上的任意一点取值，所以连续型概率分布是一条连续的曲线。与离散型概率分布不同，表示连续型概率分布的概率为概率密度，只有取x轴的一段区间，才能得到对应事件发生的概率。即对x1-x2的区间，对应的概率为该区间曲线下方面积的积分。常见的连续型概率分布包括 正态分布 、均匀分布等。

正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个方便模型。各种各样的心理学测试分数和物理现象比如光子计数都被发现近似地服从正态分布。使用概率分布有两种含义：广义上讲，概率分布是指随机变量的概率性质：当我们说概率空间时，当两个随机变量X和Y具有相同的分布(或相同的分布)时，我们无法用概率来区分。换句话说，确实，x和y是随机变量，具有相同的分布，当且仅适用于任何事件。狭义上是指随机变量的概率分布函数。设x为样本空间。是概率测度，那么定义如下的函数就是X的分布函数，或者说是累积分布函数(CDF):它定义了任何实数a。具有相同分布函数的随机变量必须是同分布的，所以分布函数可以用来描述一个分布，但是概率密度函数(pdf)是一种比较常用的描述方法。一些分析结论和注意点：1）PDF是连续变量特有的，PMF是离散随机变量特有的。2）PDF的取值本身不是概率，它是一种趋势（密度）只有对连续随机变量的取值进行积分后才是概率，也就是说对于连续值确定它在某一点的概率是没有意义的。3）PMF的取值本身代表该值的概率。PDF-(积分)->CDFPDF描述了CDF的变化趋势，即曲线的斜率。

概率分布是概率论的基本概念之一，用以表述随机变量取值的概率规律。举个最简单的例子：抛一枚硬币，产生的结果的概率分布为：P（正面）=0.5，P（背面）=0.5分布律就是具体分布在某范围内的概率更多关于概率中什么叫分布律，进入：https://m.abcgonglue.com/ask/29195a1615811929.html?zd查看更多内容

若概率密度函数为f（x），且F"（x）=f（x），则概率分布函数为F（x）+C，C为常数，可以根据x趋于无穷时概率分布函数等于1求得。扩展资料：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F(x)=P{X≤x} 物质的双体分布函数示意图称为X的分布函数。对于任意实数x1，x2(x1＜x2)，有 P{x1＜X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1)。因此，若已知X的分布函数，就可以知道X落在任一区间(x1，x2]上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。分布函数是一个普遍的函数，正是通过它，我们将能用数学分析的方法来研究随机变量·。如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间（-∞，x]上的概率·。参考资料来源：百度百科-分布函数

求概率分布是要算这一次试验中某一个结果发生的可能性大小。概率分布，是指用于表述随机变量取值的概率规律。 若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即随机试验的概率分布。如果试验结果用变量X的取值来表示，则随机试验的概率分布就是随机变量的概率分布，即随机变量的可能取值及取得对应值的概率。根据随机变量所属类型的不同，概率分布会有不同的表现形式。

概率分布是概率论的基本概念之一，用以表述随机变量取值的概率规律。举个最简单的例子：抛一枚硬币，产生的结果的概率分布为：P（正面）=0.5，P（背面）=0.5分布律就是具体分布在某范围内的概率更多关于概率中什么叫分布律，进入：https://m.abcgonglue.com/ask/29195a1615811929.html?zd查看更多内容

望采纳！！ 首先，因为分布函数严格单调，Y=F(X)取值属于（0,1）， 又因为FY(y)=F(Y概率论分布函数,f(x)望采纳！！ 首先，因为分布函数严格单调，Y=F(X)取值属于（0,1）， 又因为FY(y)=F(Y

若概率密度函数为f（x），且F"（x）=f（x），则概率分布函数为F（x）+C，C为常数，可以根据x趋于无穷时概率分布函数等于1求得。扩展资料：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F(x)=P{X≤x} 物质的双体分布函数示意图称为X的分布函数。对于任意实数x1，x2(x1＜x2)，有 P{x1＜X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1)。因此，若已知X的分布函数，就可以知道X落在任一区间(x1，x2]上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。分布函数是一个普遍的函数，正是通过它，我们将能用数学分析的方法来研究随机变量·。如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间（-∞，x]上的概率·。参考资料来源：百度百科-分布函数

总体分布：所有元素出现概率的分布。是简单意义上的随机变量对应的频次分布。总体分布往往是未知的，很多场合不可能获取得对所有个体元素的观察值。当然有些时候可以通过理论计算进行假定。样本分布：选择的样本在随机变量上的对应的频次分布，样本分布实际上也在趋向总体分布。个人感觉样本分布和总体分布的本质是一样，区别就在于选取的数据不一样，一个是总体（n个），一个是样本（n个）抽样分布是对样本统计量概率分布的一种描述方式。这个和上面两个是截然不同的概念。虽然统计量也是随机变量，但是本身来说，是经过处理的变量。在使用时需要计算任意n个样本的统计量，然后将数据进行分布查看。由样本n个观察值计算的统计量的概率分布就是抽样分布。

概率分布是概率论的基本概念之一，用以表述随机变量取值的概率规律。举个最简单的例子：抛一枚硬币，产生的结果的概率分布为：P（正面）=0.5，P（背面）=0.5分布律就是具体分布在某范围内的概率更多关于概率中什么叫分布律，进入：https://m.abcgonglue.com/ask/29195a1615811929.html?zd查看更多内容

频率分布：出现次数的比例概率分布是函数：密度函数积分

二项分布概率公式P（X=k)=C(n,k)（p^k）*(1-p)^(n-k)n是试验次数，k是指定事件发生的次数，p是指定事件在一次试验中发生的概率。二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。扩展资料：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n)在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的；每次实验是独立的，与其它各次试验结果无关。在这试验中，事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布。二项分布可以用于可靠性试验。可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时，而只允许k个式样失败，应用二项分布可以得到通过试验的概率。若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率为：P=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)。C(n,k)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数。参考资料来源：百度百科——二项分布

基础概念 1.概率 概率直观上是指一个事件发生可能性大小的数量指标 概率的统计定义： 在不变的条件下，重复进行nn次试验，事件AA发生的频率稳定在某一个常数pp附近摆动，且一般来说，nn越大，摆动幅度越小，则称常数pp为事件AA的概率，记作P(A)=pP(A)=p . 2.古典概型 当试验结果为有限nn个样本点，且每个样本点的发生具有相等的可能性，如果事件A由nAnA个样本点组成，则事件AA的概率 P(A)=nAnP(A)=nAn 称有限等可能实验中事件AA的概率P(A)P(A)为 古典概率. 4.随机变量 定义：在样本空间ΩΩ上的实值函数X=X(ω),ω∈ΩX=X(ω),ω∈Ω，称X(ω)X(ω)为随机变量，简记XX. 4.1 离散型随机变量 离散型（discrete）随机变量即在一定区间内变量取值为有限个或可数个。 4.2 连续型随机变量 连续型（continuous）随机变量即在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一一列举出来。 定义：如果对随机变量XX的分布函数F(x)F(x)，存在一个非负可积函数f(x)f(x)，使得对任意实数xx，都有 F(X)=∫x−∞f(t)dt,−∞<x<+∞F(X)=∫−∞xf(t)dt,−∞ 称XX为连续型随机变量，函数f(x)f(x)称为XX的概率密度。 4.3 期望 离散型 如果XX是离散随机变量，具有概率质量函数p(x)p(x)，那么X的期望值定义为E(X)=∑x:p(x)>0xp(x)E(X)=∑x:p(x)>0xp(x)。换句话说，XX的期望是XX可能取的值的加权平均，每个值被XX取此值的概率所加权。 连续型 我们也可以定义连续随机变量的期望值。如果XX是具有概率密度函数f(x)f(x)的连续随机变量，那么XX的期望就定义为E(X)=∫βαxβ−αdx=β2−α22(β−α)=β+α2E(X)=∫αβxβ−αdx=β2−α22(β−α)=β+α2。换句话说，在(α,β)(α,β)上均匀分布的随机变量的期望值正是区间的中点。常用概率分布 1.二项分布 nn重伯努利试验 定义： 把一随机试验独立重复作若干，即各次试验所联系的事件之间相互独立，且同一事件在各个实验中出现的概率相同，称为独立重复试验。 如果每次试验只有两个结果AA和A¯¯¯¯A¯，则称这种试验为伯努利试验。将伯努利试验独立重复nn次，称为nn重伯努利试验。 设在每次试验中，概率P(A)=p(0<p<1)P(A)=p(0 二项分布 如果随机变量XX有分布律 P{X=k}=Cknpk(1−p)n−k,k=0,1,2,⋯,nP{X=k}=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,2,⋯,n 其中0<p<1，q=1−p0 二项分布就是重复nn次独立的伯努利试验。在nn次伯努利试验中，若每次试验成功率p(0<p<1)p(0 当n=1n=1时，二项分布为0−10−1分布，记B(1,p)B(1,p) 期望：E(gX)=npE(gX)=np，方差：D(X)=np(1−p)D(X)=np(1−p) 2.泊松分布 泊松分布的概率函数为： P(X=k)=λkk!e−λ,k=0,1,⋯P(X=k)=λkk!e−λ,k=0,1,⋯ 泊松分布的参数λλ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 泊松分布的期望和方差均为λλ特征函数为ψ(t)=exp{λ(eit−1)}ψ(t)=exp⁡{λ(eit−1)}泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等 3.均匀分布 在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。 均匀分布由两个参数aa和bb定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U(a，b)U(a，b). 概率密度函数： f(x)={1b−a,0a<x<b其他]f(x)={1b−a,a 在两个边界aa和bb处的f(x)f(x)的值通常是不重要的，因为它们不改变任何f(x)dxf(x)dx的积分值。 概率密度函数有时为0，有时为1b−a1b−a。 在傅里叶分析的概念中，可以将f(a)f(a)或f(b)f(b)的值取为12(b−a)12(b−a)，因为这种均匀函数的许多积分变换的逆变换都是函数本身。 分布函数： F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪0,1b−a,1,x<aa≤x<bb≤xF(x)={0,x 令X1,…,XnX1,…,Xn是服从于U(0,1)U(0,1)的样本。 令X(k)X(k)为该样本的第kk次统计量。 那么X(k)X(k)的概率分布是参数为kk和n−k+1n−k+1的β分布。期望值是： E(X(k))=kn+1E(X(k))=kn+1 方差是： V(X(k))=k(n−k+1)(n+1)2(n+2)V(X(k))=k(n−k+1)(n+1)2(n+2) 4.指数分布 在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。 这是伽马分布的一个特殊情况。 它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。 随机变量XX概率密度函数： f(x)={λe−λx,0,x>0x≤0λ>0f(x)={λe−λx,x>00,x≤0λ>0 设X∼E(λ)X∼E(λ)，则XX的分布函数： F(x)={1−e−λx,0,x>0,x≤0,λ>0F(x)={1−e−λx,x>0,0,x≤0,λ>0 期望值： E(X)=1λE(X)=1λ 方差： D(X)=Var(X)=1λ2D(X)=Var⁡(X)=1λ2 指数分布是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等 5.正态分布 若随机变量XX服从一个位置参数为μμ、尺度参数为σσ的概率分布，且其概率密度函数为 f(x)=12π√σexp(−(x−μ)22σ2)f(x)=12πσexp⁡(−(x−μ)22σ2) 则这个随机变量就称为 正态随机变量 ，正态随机变量服从的分布就称为 正态分布， 记作X∼N(μ,σ2)X∼N(μ,σ2)，读作服从N(μ,σ2)N(μ,σ2)，或XX服从正态分布。 参数含义 正态分布有两个参数，即期望（均数）μμ和标准差σσ，σ2σ2为方差。 f(x)=12π√σe−(x−μ)22σ2f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2 正态分布具有两个参数μμ和σ2σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μμ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ,σ2)N(μ,σ2). μμ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。概率规律为取与μμ邻近的值的概率大，而取离μμ越远的值的概率越小。正态分布以X=μX=μ为对称轴，左右完全对称。正态分布的期望、均数、中位数、众数相同，均等于μμ。 当μ=0,σ=1μ=0,σ=1时，正态分布就成为 标准正态分布 f(x)=12π√e(−x22)f(x)=12πe(−x22) 概率论中最重要的分布 正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质 ，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等 6.χ2χ2分布 若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这nn个服从标准正态分布的随机变量的平方和Q=∑ni=1ξ2iQ=∑i=1nξi2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2χ2分布（chi-square distribution），其中参数称为自由度，正如正态分布中均数或方差不同就是另一个正态分布一样，自由度不同就是另一个χ2χ2分布。记为Q∼χ2(v)Q∼χ2(v)或者Q∼χ2vQ∼χv2（其中v=n−k，kv=n−k，k为限制条件数）。 卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度很大时，χ2χ2分布近似为正态分布。 7.Beta分布 在概率论中， 贝塔分布 ，也称 B分布 ，是指一组定义在(0,1)(0,1)区间的连续概率分布，有两个参数α,β>0α,β>0。 B分布的概率分布函数为： f(x;α,β)=xα−1(1−x)β−1∫10uα−1(1−u)β−1du=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)xα−1(1−x)β−1=1B(α,β)xα−1(1−x)β−1f(x;α,β)=xα−1(1−x)β−1∫01uα−1(1−u)β−1du=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β)xα−1(1−x)β−1=1B(α,β)xα−1(1−x)β−1 其中Γ(z)Γ(z)是ΓΓ函数。随机变量XX服从参数为α,βα,β的Β分布通常写作X∼Be(α,β)X∼Be⁡(α,β) 性质： 1. 参数为α,βα,β贝塔分布的 众数 是： α−1α+β−2α−1α+β−2 2. 期望值 和 方差 分别是： μ=E(X)=αα+βμ=E(X)=αα+β Var(X)=E(X−μ)2=αβ(α+β)2(α+β+1)Var⁡(X)=E(X−μ)2=αβ(α+β)2(α+β+1) 3 .偏度 是： E(X−μ)3[E(X−μ)2]3/2=2(β−α)α+β+1√(α+β+2)αβ√E(X−μ)3[E(X−μ)2]3/2=2(β−α)α+β+1(α+β+2)αβ 4. 峰度 是： E(X−μ)4[E(X−μ)2]2−3=6[α3−α2(2β−1)+β2(β+1)−2αβ(β+2)]αβ(α+β+2)(α+β+3)E(X−μ)4[E(X−μ)2]2−3=6[α3−α2(2β−1)+β2(β+1)−2αβ(β+2)]αβ(α+β+2)(α+β+3) 或： 6[(α−β)2(α+β+1)−αβ(α+β+2)]αβ(α+β+2)(α+β+3)

想要了解它你就要深入的剖析它。比如你是一个数学老师，你要了解你的学生学习情况，假如通过考试成绩就能完全掌握学生的学习情况，那么你就要对所有学生的学习成绩了如指掌。比如80分以上有多少，60分以下有多少，最高分是多少，最低分是多少，平均分是多少，平均分周边5分学生的比例是多少？等等...对于一个班级来说你可以把这些成绩记在脑中，但是如果是整个市学生的成绩呢？你还能记在脑中吗？不能吧，所以你要把整个市的学生成绩数据抽象出一个概率分布，这样你才能迅速知道我第一段文字问题的答案。这就是概率分布其中的一个作用。那么概率分布到底是什么，其实很简单“有什么值，这些值的概率是什么”。所以概率分布的表达形式一般有3种，图形，函数或者表格。对于只有几个取值的概率分布，我们可以制作一个表格就可以，复杂的用函数来表达，是函数就可以画出图形。概率分布（德语：Wahrscheinlichkeitsverteilung，英语：probability distribution）或简称分布，是概率论的一个概念。使用时可以有以下两种含义： 广义地，它指称随机变量的概率性质－－当我们说概率空间中的两个随机变量X和Y具有同样的分布（或同分布）时，我们是无法用概率来区别他们的。换言之： 称X和Y为同分布的随机变量，当且仅当对任意事件，有成立。 但是，不能认为同分布的随机变量是相同的随机变量。 狭义地，它是指随机变量的概率分布函数。设X是样本空间上的随机变量，为概率测度，则称如下定义的函数是X的分布函数，或称累积分布函数（简称CDF）：，对任意实数定义。 具有相同分布函数的随机变量一定是同分布的，因此可以用分布函数来描述一个分布，但更常用的描述手段是概率密度函数（pdf）。 在常用的文献中，“分布”一词可指其广义和狭义，而“累计分布函数”或“分布函数”一词只能指称后者。为了不致混淆，下文中谈及上述的广义时使用“分布”一词；狭义时使用“分布函数”一词。

分布函数的充要条件: F(x)为随机变量X的分布函数,其充分必要条件为: 1.非降性 (1)F(x)是一个不减函数 对于任意实数 2.有界性 (2) 从几何上说明,将区间端点x沿数轴无限向左移动(即 ),则“随机点X落在点x左边”这一事件趋于不可能事件,从而其概率趋于0。

如下图，可以转化为标准正态分布计算，需要查表。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。拓展资料：正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质 ，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。参考资料：百度百科-正态分布

题很简单,描述很麻烦.直接给结果自己看看. 概率分布:p{x=3}=1/20,p{x=4}=3/20,p{x=5}=6/20,p{x=6}=10/20 EX=3x1/20+4x3/20+5x6/20+6x10/20=21/4 DX=(3-ex)^2+(4-ex)^2...=嘿嘿,自己算了哈! 哥也要考概率了,加油哈!

　概率论的基本概念之一。用以表述随机变量取值的概率规律。

概率分布是概率论的基本概念之一，用以表述随机变量取值的概率规律。举个最简单的例子：抛一枚硬币，产生的结果的概率分布为：P（正面）=0.5，P（背面）=0.5分布律就是具体分布在某范围内的概率更多关于概率中什么叫分布律，进入：https://m.abcgonglue.com/ask/29195a1615811929.html?zd查看更多内容

看到机器学习中，要求训练集和测试集来自同一分布，然后学习了一下概率论中分布的类型，说明如下：概率论中的六种常用分布，即（0－1）分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布。.0—1分布就是n=1情况下的二项分布。即只先进行一次事件试验，该事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p。这是一个最简单的分布，任何一个只有两种结果的随机现象都服从0-1分布。在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p。用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，…，n,且对每一个k（0≤k≤n）,事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布（Binomial Distribution）。在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。 这是伽马分布的一个特殊情况。 它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。 除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。指数分布与分布指数族的分类不同，后者是包含指数分布作为其成员之一的大类概率分布，也包括正态分布，二项分布，伽马分布，泊松分布等等。正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个方便模型。各种各样的心理学测试分数和物理现象比如光子计数都被发现近似地服从正态分布。尽管这些现象的根本原因经常是未知的，理论上可以证明如果把许多小作用加起来看做一个变量，那么这个变量服从正态分布。正态分布出现在许多区域统计：例如，采样分布均值是近似地正态的，即使被采样的样本的原始群体分布并不服从正态分布。另外，正态分布信息熵在所有的已知均值及方差的分布中最大，这使得它作为一种均值以及方差已知的分布的自然选择。正态分布是在统计以及许多统计测试中最广泛应用的一类分布。在概率论，正态分布是几种连续以及离散分布的极限分布。帕松分布、普阿松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配、泊松小数法则（Poisson law of small numbers），是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松在1838年时发表。泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等。在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。 均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U（a，b）