虚数循环吗?

虚数单位。i的平方=-1

虚数单位i＝√-1，表示二维平面的一个维度，这个维度垂直于实轴且被称为虚轴。

i为虚数单位的意思是这道题目的答案需要用虚数来表示，结果不在实数范围之内。一、虚数的含义（1）虚假不实的数字。（2）复数中a+bi，b为虚部，a为实部。（3）汉语中不表明具体数量的词。如果一个数的平方是负数的话，这个数就是虚数了；所有的虚数都是复数。“虚数”这个名词由17世纪著名数学家笛卡尔创制，但是当时的观念认为虚数是不真实存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应着平面上横轴的实数同样真实。虚数轴和实数轴构成的平面称复数平面，复数平面上每一点对应着一个复数。二、虚数单位的含义1、虚数的单位i，正如实数中的单位是1一样。2、虚数单位“i”第一为瑞士数学家欧拉所创用，到德国数学家高斯提倡才普遍使用。3、高斯第一个引进术语“复数”并记作a+bi。4、虚数单位i就像实数中的1一样，认为1和-1不同，是因为日常生活中用1作为计数的单位，假设老祖宗用-1作为计数单位，现在就会认为-1作为计数单位是天经地义的事情。

1、虚数的单位i，正如实数中的单位是1一样。虚数单位“i”首先为瑞士数学家欧拉所创用，到德国数学家高斯提倡才普遍使用。高斯第一个引进术语“复数”并记作a+bi。2、虚数单位i就像实数中的1一样，认为1和-1不同，是因为日常生活中用1作为计数的单位，假设老祖宗用-1作为计数单位，现在就会认为-1作为计数单位是天经地义的事情。

高中虚数i的知识点如下：1、虚数单位i，它的平方等于-1，即i2=-1。2、纯虚数当a=0且b0时的复数a+bi，即bi。3、复数a+bi的实部与虚部a叫做复数的实部，b叫做虚部(注意a，b都是实数)4、两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。5、实数空间与虚数空间数学上的转换方式叫作傅立叶变换，它在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。

高中数学中，虚数指一个不能被实数表示的数，常常用符号i表示。i被称为虚数单位，并满足i^2=-1。虚数与实数一样具有加、减、乘、除等运算，但需要使用特殊的虚数运算公式。（1）虚数加减法：若a+bi和c+di为两个虚数，则它们的和差分别为：a+bi±c+di = (a±c)+(b±d)i。例如：(3+5i)+(1-2i)=4+3i，(2-3i)-(1+4i)=1-i。（2）虚数乘法：若a+bi和c+di为两个虚数，则它们的积为：+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。例如：(2+3i)(1-2i)=8-i。（3）虚数除法：若a+bi和c+di为两个虚数且c+di≠0，则它们的商为：(a+bi)/(c+di)= [(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d2)。例如：(2+3i)/(1-2i)=-4/5+1/5 i。（4）共轭虚数：对于任意一个复数z=a+bi，其共轭虚数表示为z*即a-bi。共轭虚数的性质有：z+z*=2a， z-z*=2bi ，z×z*=|z|^2(a^2+b^2)。例如：若z=3+4i，则z*=3-4i，zz*=25，|z|=5。总而言之，虚数的运算可以通过上述公式进行计算，运用些公式可以很方便地求解各种虚数的运算问题。

虚数的概念虚数的单位I最早是由欧拉引出的，他取imaginary（想像的、假想的）一词的词头作为虚数单位，I＝√-1，于是一切虚数都具有bi的形式.实数是与虚数相对应的，它包括有理数和无理数，也就是说它是实实在在存在的数。虚数，人们开始称之为“实数的鬼魂”，1637年笛卡儿称为“想像中的数”，于是一切虚数都具有BI，而复数则具有a=bi,这里a和b都是实数。虚数也常称为纯虚数。从卡尔达诺的＜大衍术＞开始，在200年的时间里，虚数一直披着一层神秘莫测、不可思议的面纱，到了1797年，威赛尔给出了虚线的图像表示，才确立了虚数的合理地位。他和阿尔干一起借助于17世纪法国数学家笛卡儿建立的平面坐标系，给复数做了一是到数学界认要的几何解释。后来，高斯使直角坐标平面上的点和复数建立了一一对应的关系，虚数才广为人知。

i是虚数的单位，准确的说的虚轴的单位长度。坐标轴中不是用百i和j表示x和y的单位向量吗？i是为了解决方程无实度数解而提出的。规定-1的开方是正负i。i的一知次方,二次方,三次方各等于i，-1，-i把i看成虚数的一个基本单位就是了，就像1是实数的一个基本单位一样，2=2*1,2i=2*i也是一样。道虚数在分母是要在分子和分母同时乘以一个共轭虚数，就是实部相同，虚部互为相反数的虚回数。所以乘以（1+i）后，分母为答（1+i）（1-i）=1-i*i=2，所以结果是（1-i），再加上z，最后得到2.

不可以，复数包括实数和虚数，虚数i前面的数值表示的是虚部，不能省略，复数一般用于处理三角函数的计算，常见用于电子电路的计算。

与实数正交的数称为虚数，实数单位以(+1)表示，虚数单位用(＋i )表示，则有i丄1。在线性运算方面复数与二维向量有等价性。但单位虚数可施行很抽象运算，例如i^i^i^i^i，单位向量不可施行这些运算；复数还可除法运算，向量不可做除法。从数学逻辑上接受虚数，需要重温一元三次代数方程求解探索过程。

虚数i的平方等于负1。解析：在数学中，虚数就是形如a+b*i的数，其中a,b是实数，且b≠0,i = - 1。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数a+b*i的实部a可对应平面上的横轴，虚部b与对应平面上的纵轴，这样虚数a+b*i可与平面内的点(a,b)对应。虚数符号：1777年瑞士数学家欧拉(Euler，或译为欧勒)开始使用符号i表示虚数的单位。而后人将虚数和实数有机地结合起来,写成a+bi形式 (a、b为实数，a等于0时叫纯虚数，ab都不等于0时叫复数，b等于0时就是实数)。而在工程运算中，为了不与其他符号（如电流的符号）相混淆，有时也用j或k等字母来表示虚数的单位。通常，我们用符号C来表示复数集，用符号R来表示实数集。

在数学里，将平方是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。定义为i^2=-1。但是虚数是没有算术根这一说的，所以±√(-1)=±i。对于z=a+bi,也可以表示为e的iA次方的形式，其中e是常数，i为虚数单位，A为虚数的幅角，即可表示为z=cosA+isinA。实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。虚数没有正负可言。不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。 这种数有一个专门的符号“i”(imaginary)，它称为虚数单位。不过在电子等行业中，因为i通常用来表示电流，所以虚数单位用j来表示。

可以理解为常数,因为其本身就是√-1 但用的时候注意,尽量将其理解为物理上的m(米）,N（牛）,g(克）,这类单位,很多时候不能像常数那样可以任意代用,你就把它当成一个物理单位就行! 望理解了点采纳

如果有数平方是负数的话，那个数就是虚数了；所有的虚数都是复数~在数学里，将平方是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。定义为i^2=-1。

负一

(a^m)^n=a^(mn)，（m，n都是正整数）指数-1不是正整数，所以不能换（-1）^[(-1)*(1/2)] ≠ （-1）^(-1)^(1/2)

虚数不表示实际的物理意义，它只是为计算过程方便而引进的

数学中的虚数在数学里，将平方是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是负数。定义为i^2=-1。但是虚数是没有算术根这一说的，所以±√(-1)=±i。对于z=a+bi,也可以表示为e的iA次方的形式，其中e是常数，i为虚数单位，A为虚数的幅角，即可表示为z=cosA+isinA。实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。虚数没有正负可言。不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。这种数有一个专门的符号“i”(imaginary)，它称为虚数单位。不过在电子等行业中，因为i通常用来表示电流，所以虚数单位用i来表示。望采纳

不是是实数0

有理数和无理数都是实数。i是虚数，它不是实数，当然也就不可能是无理数了。

【虚数规定√-1=±i则 i^2=-1【高中课程可以遇到

包括.形式为a+bi（a、b为实数,且b非0）的数,都叫虚数.

直接按英文字母发音来读就行了

虚数的解释(1) [unreliable figure]∶虚假 不实 的数字 (2) [imaginary number]∶实数与虚数单位之积,亦即实部为零的 复数 (如3i) 详细解释 (1).不表示 实际 数量的数词。 宋 司马 光 《言山陵择地札子》 ：“伏望朝廷特赐指挥按行山陵使等，只於 永安县 界旧陵侧近选择善地，旬日之内，早定夺闻奏……不得 大约 虚数及妄立近限，必使号令明信，则事无不济而民力不困矣。” 清 汪中 《述学·释三九上》 ：“因而生人之措辞，凡一二之所不能尽者，则约之三以见其多；三之所不能尽者，则约之九以见其极多，此 言语 之虚数也。实数可稽也，虚数不可执也。” (2).虚假的数额。 宋 苏轼 《应诏论四事状》 ：“ 元丰 八年登极大赦以前，人户积欠共计五万三百馀贯，若谓非贫乏有可送纳，即自 元祐 元年 至今，并不曾纳到分文，显见 有司 空留帐籍虚数，以害朝廷实惠。” 宋 陆游 《陆郎中墓 志铭 》 ：“尝为 丹徒 丞，朝廷用言者，遣使籍江上沙田，立税额，使指甚厉，吏莫敢违，亦或从而张虚数以为功。” 《宋史·食货志下五》 ：“十三场茶岁课缗钱五十万……岁纔得息钱三万馀缗，而官吏廪给杂费不预，是则虚数多而 实利 寡。” 《金史·陈规传》 ：“ 唐 魏徵 曰：‘兵在以道御之而已。御壮健 足以 无敌于 天下 ，何取细弱以增虚数。"” (3).虚伪的礼节。数， 礼数 。 清 侯方域 《陈 将军 二鹤记》 ：“世之战士，皆骁雄劲悍之徒……养以有馀之财而作其感恩之气， 然后 报其主而不叛。吾未见其可以虚数致也。” (4).数学 名词 。负数的平方根。 词语分解 虚的解释 虚 ū 空：虚无。虚实。虚度。虚名。虚左（ 尊敬 地空出左边的座位，古代以左为尊）。空虚。乘虚而入。 不真实的：虚伪。虚假（?）。虚妄。虚惊。虚夸。虚构。虚传。虚张声势。 内心怯懦：做贼 心虚 。 不 自满 ：虚 数的解释 数 （数） ù 表示、划分或 计算 出来的量：数目。数量。数词。数论（数学的一支，主要 研究 正整数的 性质 以及和它有关的 规律 ）。数控。 几，几个：数人。数日。 技艺 ，学术：“今夫弈之为数，小数也”。 命运 ，天

请注意i的平方是负1所以说i是虚数,而2+i中2是实数,i是虚数相加后理解为在坐标系的(2,1)点的向量,自然不能比大小,只是它的模可以比大小!回答完.毕有困惑欢迎继续问

i的倒数等于1/i 分子分母同时乘以i 得到(i*1)/(i*i) 等于i/(-1) 等于-i

1.虚数的单位i，正如实数中的单位是1一样。 2.虚数单位“i”第一为瑞士数学家欧拉所创用，到德国数学家高斯提倡才普遍使用。 3.高斯第一个引进术语“复数”并记作a+bi。 4. 虚数单位i就像实数中的1一样，认为1和-1不同，是因为日常生活中用1作为计数的单位，假设老祖宗用-1作为计数单位，现在就会认为-1作为计数单位是天经地义的事情。

虚数单位i具有周期性：i的四次方＝1,i的4n＋1次方＝‐i,i的4n＋2次方＝‐1,i的4n＋3次方＝‐i虚单位每4次方一循环.

虚数类就不属于实数，比如凡是含有虚数符号i的数就不是实数范畴，如：i，2i等等当你考虑非实数范畴时，就需要将数的分类拓展到复数上，否则就没有太多意义了

i=-1。可以将虚数bi添加到实数a以形成形式a + bi的复数，其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。一些作者使用术语纯虚数来表示所谓的虚数，虚数表示具有非零虚部的任何复数。i和-i就像1和-1一样，是有区别的，在复变函数中，i复数的研究和复平面是分不开的，任意一个复数z=x+iy，其中x叫做实部，y叫做虚部，x和y都是实数，x+iy就是一个复数。复平面和实平面相仿，x轴表示复数的实部，y轴表示复数的虚部，例如在复平面上的点(2,2)表示复数2+2i，如果以-i为单位，复平面的纵轴就要向下指了。这个复数还可以用指数的形式表示，写作2e^(π/4)虚数单位i就像实数中的1一样，我们认为1和-1不同，是因为我们日常生活中用1作为计数的单位，假设我们的老祖宗用-1作为计数单位，我们现在就会认为-1作为计数单位是天经地义的事情。-1比1多个负号，当然不方便，同样，研究复数中谁也不会多此一举用-i作为单位。规定了i为单位展开对复数的研究，是简便的也是合理的。虚数的实际应用如下:电工学中利用复数表示交流电，虚数代表虚功，使得电工学计算大为简化。交流电路中的阻抗Z，在电工学的计算中是个虚数，即Z=R+jX。其中的实部就是电阻R，虚部就是电抗X，由电感的感抗jXl和电容器的容抗-jXc的和。可以在平面直角坐标系中画出虚数系统。如果利用横轴表示全体实数，那么纵轴即可表示虚数。整个平面上每一点对应着一个复数，称为复平面。横轴和纵轴也改称为实轴和虚轴。在此时，一点P坐标为P （a，bi），将坐标乘上i即点绕圆心逆时针旋转90度。

代表1.

对的啊

虚数i的运算公式：（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i。在数学中，虚数就是形如a+b*i的数，其中a，b是实数，且b≠0，i=-1。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数a+b*i的实部a可对应平面上的横轴，虚部b与对应平面上的纵轴，这样虚数a+b*i可与平面内的点（a，b）对应。可以将虚数bi添加到实数a以形成形式a+bi的复数，其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。虚数i的三角函数公式sin(a+bi)=sin(a)cos(bi)+sin(bi)cos(a)=sin(a)cosh(b)+isinh(b)cos(a)cos(a-bi)=cos(a)cos(bi)+sin(bi)sin(a)=cos(a)cosh(b)+isinh(b)sin(a)tan(a+bi)=sin(a+bi)/cos(a+bi)cot(a+bi)=cos(a+bi)/sin(a+bi)sec(a+bi)=1/cos(a+bi)csc(a+bi)=1/sin(a+bi)起源要追溯虚数出现的轨迹，就要联系与它相对实数的出现过程。我们知道，实数是与虚数相对应的，它包括有理数和无理数，也就是说它是实实在在存在的数。有理数出现的非常早，它是伴随人们的生产实践而产生的。无理数的发现，应该归功于古希腊毕达哥拉斯学派。无理数的出现，与德谟克利特的“原子论”发生矛盾。根据这一理论，任何两个线段的比，不过是它们所含原子数目的经。而勾股定理却说明了存在着不可通约的线段。

虚数i的意义如下：虚数i的运算公式：（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i。在数学中，虚数就是形如a+b*i的数，其中a，b是实数，且b≠0，i=-1。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数a+b*i的实部a可对应平面上的横轴，虚部b与对应平面上的纵轴，这样虚数a+b*i可与平面内的点（a，b）对应。可以将虚数bi添加到实数a以形成形式a+bi的复数，其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。虚数i的三角函数公式sin(a+bi)=sin(a)cos(bi)+sin(bi)cos(a)=sin(a)cosh(b)+isinh(b)cos(a)cos(a-bi)=cos(a)cos(bi)+sin(bi)sin(a)=cos(a)cosh(b)+isinh(b)sin(a)tan(a+bi)=sin(a+bi)/cos(a+bi)cot(a+bi)=cos(a+bi)/sin(a+bi)sec(a+bi)=1/cos(a+bi)csc(a+bi)=1/sin(a+bi)起源要追溯虚数出现的轨迹，就要联系与它相对实数的出现过程。我们知道，实数是与虚数相对应的，它包括有理数和无理数，也就是说它是实实在在存在的数。有理数出现的非常早，它是伴随人们的生产实践而产生的。无理数的发现，应该归功于古希腊毕达哥拉斯学派。无理数的出现，与德谟克利特的“原子论”发生矛盾。根据这一理论，任何两个线段的比，不过是它们所含原子数目的经。而勾股定理却说明了存在着不可通约的线段。

i=-1。可以将虚数bi添加到实数a以形成形式a + bi的复数，其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。一些作者使用术语纯虚数来表示所谓的虚数，虚数表示具有非零虚部的任何复数。i和-i就像1和-1一样，是有区别的，在复变函数中，i复数的研究和复平面是分不开的，任意一个复数z=x+iy，其中x叫做实部，y叫做虚部，x和y都是实数，x+iy就是一个复数。复平面和实平面相仿，x轴表示复数的实部，y轴表示复数的虚部，例如在复平面上的点(2,2)表示复数2+2i，如果以-i为单位，复平面的纵轴就要向下指了。这个复数还可以用指数的形式表示，写作2e^(π/4)虚数单位i就像实数中的1一样，我们认为1和-1不同，是因为我们日常生活中用1作为计数的单位，假设我们的老祖宗用-1作为计数单位，我们现在就会认为-1作为计数单位是天经地义的事情。-1比1多个负号，当然不方便，同样，研究复数中谁也不会多此一举用-i作为单位。规定了i为单位展开对复数的研究，是简便的也是合理的。虚数的实际应用如下:电工学中利用复数表示交流电，虚数代表虚功，使得电工学计算大为简化。交流电路中的阻抗Z，在电工学的计算中是个虚数，即Z=R+jX。其中的实部就是电阻R，虚部就是电抗X，由电感的感抗jXl和电容器的容抗-jXc的和。可以在平面直角坐标系中画出虚数系统。如果利用横轴表示全体实数，那么纵轴即可表示虚数。整个平面上每一点对应着一个复数，称为复平面。横轴和纵轴也改称为实轴和虚轴。在此时，一点P坐标为P （a，bi），将坐标乘上i即点绕圆心逆时针旋转90度。

i是虚数的单位向量,数学上规定i^2=-1, i^3=-i, i^4=1 i只是数学上的一个规定,无实际意义

(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i在数学中，虚数就是形如a+b*i的数，其中a,b是实数，且b≠0,i = - 1。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数a+b*i的实部a可对应平面上的横轴，虚部b与对应平面上的纵轴，这样虚数a+b*i可与平面内的点(a,b)对应。可以将虚数bi添加到实数a以形成形式a + bi的复数，其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。一些作者使用术语纯虚数来表示所谓的虚数，虚数表示具有非零虚部的任何复数。要追溯虚数出现的轨迹，就要联系与它相对实数的出现过程。我们知道，实数是与虚数相对应的，它包括有理数和无理数，也就是说它是实实在在存在的数。

表示虚数的语法：real+imagej复数是由一个实数和一个虚数组合构成，表示为：x+yj一个复数时一对有序浮点数 (x,y)，其中 x 是实数部分，y 是虚数部分。Python 语言中有关复数的概念：1、虚数不能单独存在，它们总是和一个值为 0.0 的实数部分一起构成一个复数2、复数由实数部分和虚数部分构成3、表示虚数的语法：real+imagej4、实数部分和虚数部分都是浮点数5、虚数部分必须有后缀j或J

一般的：i^4k=1其中k为任何整数。当k=0时，也就是i^0=1任何非零复数的0次方都等于1

因为不能输入公式。。所以只好用word打好截图。。

不用按shift 按mode 2 进入cmplx模式按eng就是i

-i1i

答案需要用虚数来表示，结果不在实数范围之内。i为虚数单位的意思是这道题目的答案需要用虚数来表示，结果不在实数范围之内，i可以与实数在一起按照同样的运算律进行四则运算。虚数单位i的幂具有周期性，虚数单位用i表示，是欧拉在1748年在其《无穷小分析理论》中提出，1801年经高斯系统使用后，才被普遍采用。

i^（4n）=i的（4n）次方=1这样就转化成实数了（n为自然数）朋友,请及时采纳正确答案,下次还可能帮您,您采纳正确答案,您也可以得到财富值,谢谢。

一般的：i^4k=1其中k为任何整数。当k=0时，也就是i^0=1任何非零复数的0次方都等于1

虚数单位是i。在计算中常用到的是：i^2 = -1 ，即虚数单位的平方为负一。在复数a+bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部a如果等于零，且虚部b不等于零，则称为纯虚数。由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。基本性质：实数运算可以延伸至虚数与复数。当计算一个表达式时，我们只需要假设i是一个未知数，然后依照i的定义，替代任何的出现为-1。的更高整数幂数也可以替代为-i，1或i。一般地，有以下的公式：其中mod 4表示被4除的余数。

不是，无理数和有理数统称实数，实数和虚数也就是i才是一个级别的

i乃是虚数单位

“虚数i”的发现在数学史上有着举足轻重的作用。 “虚数i”到底是什么？为何如此神奇？到底有哪些重要作用？ 这还得从看似平常却作用巨大的“数轴”说起！ 在初中的数学学习中，“数轴”是学习数学的重要工具。 一定要将“数轴概念”深深地扎根于脑海才能敲开初等数学的大门而登堂入室。 自然数、整数、负数、无理数等“一切数的问题”只有放在“数轴”中去讨论，才不会显得亳无头绪。 在虚数还没发现之前，单条数轴，足以描述所有的实数。但到了17世纪时，数学家笛卡尔发现了虚数，这时一条数轴己显得不够用了，于是创立了著名的“笛卡尔直角坐标系”。 “直角坐标系”是我们进入初中就“必须要求”掌握的重要工具。 “笛卡尔直角坐标系”可以描述为 两条相互垂直于“原点”的两条数轴。当我们讨论“数的关系”时，“笛卡儿坐标系”就成了非常有用的工具，一切数都能在“直角坐标系”中找到对应的点。 “直角坐标系”第一次建立起了“数形结合”的思想，第一次使用数学公式描述几何图形中的“距离”和“角度”，在代数与几何之间架起了桥梁，笛卡尔建立了一门划时代的数学分支“解析几何”。 解析几何第一次引入了“变量”的概念，牛顿和莱布尼茨以此为基础创建了“微积分”。 “微积分学”进一步发展为“实变函数论”。 笛卡尔发现虚数出现后，在“直角坐标系”上建立了“复平面”，用公式可表示为：z=a+bi。 在人们没有发现复平面时，人们常常感觉“数不够用。 而现在，数学家们现己经严格证明，“一切数”都能在复平面中找到，“数的范围”不会再超过复数的范围。 由于虚数被发现，在十八世纪时，一门新的数学分支“复变函数”发展了起来，用于研究“复平面”上的函数。 复变函数以“复数为变量”，用于分析函数的规律与变化，其内容丰富，实用性极强，被用于“流体力学”和“航空动力学”，解决了飞机机翼的结构问题。 著名的欧拉公式以“虚i和π的积”做为“自然底数e”的指数，将“复变函数”与“三角函数”联系在了一起，这使得“复变函数”也笼罩上了一层神秘的色彩。 数学家称赞“复变函数”是一种非常和谐的理论，研究它简直是一种享受。 虚数的发现在自然学科中发挥出了重要的作用。20世纪初，“量子力学”诞生，具有传奇色彩的薛定谔方程问世，令人着迷的是，这个著名方程里也含有“虚数i”， 为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了“波函数”作为“薛定谔方程的解”，这个神奇的波函数用“复数”的形式能清晰地描述微观粒子的状态，著名的“波动力学”诞生。 “量子力学”和“相对论”一起成为了现代物理的两大支柱。 现代科技蓬勃发展的今天，虚数所发挥出来的作用越来越显著。那些含有虚数的公式，仿佛是神的语言，人们总是能不断地从中领域出一些新的理论。 1966年苏士侃在200年前的“欧拉公式”中发现了弦理论的存在，而灵感正是来源于公式中的“虚数i” 1990年，维顿提出了“11度空间”的“M理论”(矩阵理论)，统一了之前各种“极限状态”下的弦理论结果。 弦理论的出现，科学家们认为这将是一个终极理论。 2007年4月，美国的“费米国家加速器实验室”在“一定程度”上证明了“弦理论”在“十维空间”的正确性。 但是在己有的条件下，用物理实验彻底的证明“弦理论”的道路还非常遥远。 在这种情况下，只有依靠数学的“严密逻辑”来证明其正确性。而虚数将再次发挥出出它的优势，为人们提供新的视角。 在现代化的今天，“超弦理论”已站在了“现代物理”研究的最前沿，最有希望找到被称为物理学圣杯的“四种基本力的统一理论”，以解释“经典物理学”、“量子力学”等无法解释的神秘现象。 如果没有虚数的发现，就没有量子力学，21世纪的一切自然学科都无法进行下去。 随着新的理论不断涌现，虚数也会发挥出它越来越大的作用，未来的世界一定会更加精彩。 小伙伴们，你们对此有什么看法呢？欢迎留言讨论。

　三国和两晋南北朝时期，封建国家大分裂，民族融合迅速发展，江南地区迅速开发为本单元的突出特点，也是本单元学习的重点。士族的形成与发展，宗教盛行也是本单元的突出特点。　　三国和两晋。东汉末年，各军事集团割据混战，社会动荡，国家分裂，这种局面实质上是东汉以来豪强地主势力发展的必然结果。曹操势力逐渐强大，一度统一北方，但赤壁战败，统一中国的企图未能实现，孙、刘势力发展，形成三国鼎立的局面，三国时期，各国都注意发展经济。西晋曾一度统一，但因各种矛盾尖锐复杂，又迅速灭亡。东晋偏安江南，与内迁各族建立的政权对峙。前秦曾一度统一北方，并想进而统一中国，但淝水战败，统一愿望再度落空。　　南北朝，东晋之后，南方四朝相互更替，史称南朝。南朝时，由于南北人民的共同开发，江南经济有了较大发展，开始赶上北方。但政治上，则在地主阶级中形成了士族制度，它们在政治上、经济上都享有特权，极端腐朽。而此时的北方，继前秦统一失败后，北魏又曾一度统一北方。此后北方出现了民族大融合的趋势，北魏孝文帝的改革适应了这一趋势，并使北方经济得以恢复和发展。后来北魏分裂为东魏、西魏，不久，东魏、西魏又分别为北齐和北周所取代。北周又一度统一北方，为以后隋的统一奠定了基础。　　三国两晋南北朝的文化。三国两晋南北朝时期，由于民族大融合，北方经济的恢复和发展，江南的开发，我国的科技文化得到进一步发展，在不少领域取得领先世界的成就，出现了祖冲之、贾思勰等著名科学家和杰出的文学艺术家。与此同时，佛教盛行，对当时的社会生活、思想文化及以后都产生了重大影响，正是在这种情况下，产生了杰出的无神论者范缜。　　1．怎样认识三国鼎立的局面　　三国鼎立的社会根源。首先是东汉以来世家豪族势力的膨胀，使政治分裂倾向日益加剧，其次是南方得到开发，孙刘两集团的经济实力日趋雄厚，而北方生产遭到破坏，曹魏时虽有恢复，也未超过两方的水平，因而在全国形成三个经济实力相对平衡的区域，为分立提供了物质基础。再次是魏、蜀、吴之间也形成军事实力的某种均衡，彼此都无力消灭对方。因而导致三国鼎立。　　这种局面虽然仍属于政治上的分裂，但与东汉末年相比，却是一个历史的进步。三国是在各自统治范围内的统一，这种局部统一较之东汉末年众多军阀割据混战是一进步，它给社会生产和人民生活提供了相对安全的环境，各国统治者又都重视发展生产，为全国的再次统一奠定了基础。　　2．西晋短期灭亡的原因　　西晋统治短暂的原因主要有：①统治阶级内部争夺皇权的斗争，使生产遭受严重破坏，也削弱了自身的统治力量。②内迁的各族受西晋统治阶级残酷的剥削和压迫，民族矛盾尖锐，流民起义打击了西晋统治。③匈奴贵族借机反晋，攻占西晋都城洛阳，又攻占长安，俘虏西晋皇帝，直接导致西晋灭亡。所以，统治阶级内部矛盾、阶级矛盾、民族矛盾是造成西晋短命而亡的三大矛盾，其中，统治阶级内部矛盾激化了其他两个矛盾。　　3．士族制度　　士族制度是魏晋南朝时期的一种特殊的历史现象。对这种现象要从三个方面来把握：①士族的兴衰：魏晋以来，形成士族制度；东晋时得到充分发展；东晋南朝时士族势力很大；南朝末年，南方士族的势力逐渐衰落。②士族的特殊地位：经济上占有很多的土地和劳动力；政治上按门第高低分享特权，世代担任重要的官职；文化上崇尚清谈，占据高级文官职位。③士族的腐朽性：注重门第和身份的高低；不学无术，生活腐化。　　士族制度经历了以下四个演变过程：①魏晋以来形成。②东晋时期得到充分发展，东晋南朝时势力很大。③南朝末年，南方士族的势力逐渐衰落。④隋唐科举制度的冲击，到唐末农民起义时消亡。　　4．关于北魏孝文帝改革问题　　①改革的背景：北魏统一黄河流域后，各族人民共同生活，相互影响，出现了民族大融合的趋势。面对这种情况，为了加强对各族人民的统治，北魏孝文帝接受汉族地主的建议，实行改革。　　②改革的主要内容：可分为经济、政治、文化三个方面。经济上，实行均田制是封建土地所有制的一种形式，政府把一些荒地分配给无地或少地的农民，这对社会秩序安定，生产的恢复和发展是有积极意义的。政治上，迁都洛阳和采用汉族统治阶级的政治制度，这两项措施均有利于北魏对黄河流域的控制。文化上，接受汉族先进文化。孝文帝下令鲜卑族采用汉姓，改穿汉服，学说汉话，提倡同汉族通婚，这就从姓氏、服装、语言、婚姻等方面清除了鲜卑族和汉族的隔阂，达到鲜卑族和汉族进一步融合的目的。　　③改革的历史作用。历史作用主要有两方面。一方面加速了北方各族封建化的进程；另一方面促进了北方民族的大融合。　　5．南北朝时佛教的盛行　　佛教盛行是三国两晋南北朝时期的一种特殊的文化现象。对这一现象，应注重从以下方面分析：　　①佛教盛行的原因：佛教自西汉末传入我国，三国两晋南北朝时期兴盛起来，其原因有：第一、社会动荡不安，长期的战乱给人民带来无穷灾难，为佛教流行提供了土壤，人民容易接受宗教。第二，佛教本身有很大的欺骗性，佛教所宣传的“生死轮回”、“因果报应”的思想，把人们的眼光从痛苦的现实转移到无法验证的来世幸福上，很容易欺骗和麻痹广大劳动人民。第三，统治阶级的提倡支持。　　②佛教兴盛的表现：信奉佛教的人很多，上至皇帝、王公、贵族和大臣，下至普通百姓，都信奉佛教；佛寺遍布各地，僧尼众多；佛教寺院在政治、经济上有很大势力。　　③佛教的影响：同佛教有关的建筑和石窟艺术得到迅速发展；佛教没有解脱人民的灾难，反而大大加重了人民的负担；出现了反佛教的斗争，以范缜最为突出。范缜的《神灭论》揭穿了统治阶级利用佛教进行的欺骗。　　6．如何理解和认识三国两晋南北朝时期的民族大融合　　民族融合是魏晋南北朝历史的突出特点之一。民族融合是指民族间的自然融合，民族差异和民族隔阂的消除，是民族间经济、文化以及生活习惯密切联系的结果。民族融合的过程，从社会发展的角度看，就是少数民族封建化的过程，是历史的进步。这一时期民族融合的形式途径为：①民族迁徙：魏晋以来，匈奴、鲜卑、羯、氐、羌等族大批内迁，他们在北方各地和汉族人民杂居相处。②联合斗争：西晋末年统治者对各族人民的残酷剥削和压迫，十六国时期的连年战乱，北方经济破坏，人民生活困苦，迫使各族人民联合起来，共同斗争，从而使民族之间联系更加密切。③友好往来：魏晋以来，我国北方出现过几次统一局面，在和平的环境中，各民族人民频繁交往，使民族大融合进程进一步加快；在战乱期间，这种交往也始终未断。④各族间的征战，在当时的历史条件下，打破了各族原有的部落组织，有利于民族融合。⑤少数民族统治者的改革：北魏孝文帝改革，实行汉化政策，促进了民族的大融合。