在[0,1]中任取一个实数，为有理数/无理数的概率各是多少？

康托尔在1874年和1891年分别用两种不同的方法，证明了实数集是不可数集。其中1891年所用的方法更加为人所熟知，又被称为对角线法。证明发表之后，这种方法在数理逻辑中获得广泛应用。对角线法证明实数集不可数的大致思路如下：显然实数集不是有限集。反设实数集和自然数集之间存在一个双射，设自然数0对应的实数是a0，1对应实数a1，2对应a2，……i对应ai。注意任意实数可以唯一地表示为不以无限多个9结尾的十进制小数（），我们可设aij为ai小数点后的第j+1位。我们现在确定一个实数x，并说明它不能和任何自然数对应。x的整数部分是0；设xj为x小数点后的第j+1位，令xj=0，当aij≠0；xj=1，当aij=0。x的表示形式是一个不以无限多个9结尾的十进制小数，但是它不等于任何一个ai，因为由定义，x小数点后的第i+1位xi不等于aii。因此“实数集和自然数集之间存在一个双射”的假设不成立，所以实数集是不可数集。 无理数集也是不可数集。事实上，反设无理数集至多是可数集，因为有理数集是可数集，实数集就是有限个至多可数集的并集，为至多可数集，与已得的结果矛盾。所以无理数集是不可数集。

无法与自然数集一一对应的集合

可用反证法证明：若R可数，则[0，1)是可数的。将【0,1）={x1，x2，x3}中的每个元素写成二进制小数：x1=0.x11x12x13x14。x2=0.x21x22x23x24。x3=0.x31x32x33x34。然后考虑【0，1）中的实数a=0.a1a2a3a4；其中ak=0，若xkk=1；ak=0，若xkk=1。于是a不等于x1，不等于x2，不等于x3。即a不是【0，1）中的数，矛盾。相关内容解释有限集和可数无限集统称为可数集。(注意：无限集可能是可数集，也可能是不可数集）。显然，凡有限集皆是可数集，但可数集可为无限集。例如，正整数集Z+本身便是一个可数集，但它不是有限集。任何可数集的任何一个子集都是一个可数集。设X和Y是两个集合，f:X→Y是一个映射。如果X是可数集，则f（X）也是一个可数集。集合X是一个可数集当且仅当存在从正整数集Z+到集合X的一个满射。如果集合X和集合Y都是可数集，则笛卡儿积X×Y也是一个可数集。特别，集合Z+ × Z+是一个可数集。

因为代数数集是可数集，所以超越数集是不可数集。

因为若没有聚点,则在任意有限区间上只能有有限个点. 对任意正整数n,在[-n,n]中只有有限个点. 对全体正整数n取并集,就得到原集合. 作为可数个有限集之并,至多是可数集. 因此没有聚点的集合至多可数. 反过来说,不可数集必有聚点.

不可以。不可数集是对无穷集合而言的，有限集既不称作不可数集，也不称作可数集，有限集合可以和不可数集是不可以比较的。有限集合是由有限个元素组成的集合，也称有穷集合，由所有小于10000的质数所组成的集合都是有限集合。

1基数（cardinal number)也叫势(cardinality)，指集合论中刻画任意集合所含元素数量多少的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。2可数集（countable set），是能与自然数集N建立一一对应的集合，又称可列集。如果将可数集的每个元素标上与它对应的那个自然数记号，那么可数集的元素就可以按自然数的顺序排成一个无穷序列a1，a2，a3，…an，…。比如全体正偶数的集合是一个可数集，全体正奇数的集合也是可数集，它们与自然数集可以建立如下的一一对应。3不可数集是既不是有限集合，也不是（无限）可数集的集合。

定义f（n)=二进制的纯小数的第n位,则f(n)是从自然数集合N 到 集合{0,1} 的 函数.二进制的纯小数取值范围是[0,1),是不可数的,所以包含了所有 从自然数集合N 到 集合{0,1} 的 函数的集合 是不可数的.

必须是错的，由于没有最大基数，所以必然存在两个不可数集合基数不同。比如不可数集A和它的幂集P（A）。

n维欧氏空间中的有理点集不是不可数集。因为n维欧氏空间中的有理点集你能给他们的所有元素排个序，标上序号，不可数集是无法给元素排序的，所以不是不可数集。不可数集是既不是有限集合，也不是（无限）可数集的集合，我们称不是可数集的集合为不可数集。

不可数的无限集合的基数是c。根据查询相关公开信息显示，不可数集合是不可描述的，通过直积组成的空间坐标顺序是可描述的，无限个不可数的直积是无限集，基数是c。

书上不是有个经典证明吗假设可数，0.a11a12a13a14...0.a21a22a23a24......0.an1an2an3an4...作0.ax1ax2ax3...，ax1不等于a11，ax2不等于a22，ax3不等于a33。。。则0.ax1ax2ax3。。。不可数，即(0,1)间实数不可数又实数=有理数+无理数可知无理数不可数

加个条件就好证点：任取一个无限集H，其幂集记为2H，则在H和2H之间不存在其他基数。。。。（即假设连续统假设是不成立的）下证楼主的问题。。 取无限集B满足：B的基数小于A的基数，且不存在其他基数介于A,B之间。。即有2B的基数等于A的基数，做集合T(B)={f：B→A},易证：T(B)与2B的基数相等，即T(B)的基数等于A的基数。。。。又容易证：A*A的基数小于等于T(B)的基数。。。。从而结论显然

若集合A的元素可以用全体自然数来标记：元1，元2，...，元n，...（所有标记数n组成自然数集N——黄小宁注）那么就说A 是可数无限集（记为A～N）可数，即是可列举的意思。即这些元素是离散的。那跟不可数的区别不就很清楚了。例如，{x|x>2}，就是不可数无限集。而{2,4,6,8,10,...,2n,...}就是可数无限集。

一样大，个数都是阿莱夫一。比范围则是复数集大。

是的。在所学的数学知识中，可数集，是能与自然数集N建立一一对应的集合，又称可列集，如果为中不可数子集，则其任何一个邻域的补集均可数的。

这是一次的偶然，

设 可数集为A,不可数集为B 则 B=（B交A） 并 （B交（A补集）） 因为|B| 不可数,|(B交A)| < |A| 可数,===》 |（B交（A补集））|必不可数.自然大于一个公共点.

任取E的孤立点x，则存在区间(ax，bx)，使得ax<x<bx，且（ax，bx）中不含有除了x之外的E中的点。区间（ax，bx）中必有有理数，因此孤立点与有理数的一个子集对等，故孤立点集为至多可数集。

包含

楼下那个阿列夫零×阿列夫零不是可数个可数集的直积，是可数个可数集的并。可数个可数集的并可数不用选择公理也行。把它横竖两排，分别标A1A2……集合也标A1A2……于是A1A1,A1A2,A2A1,A3A1,A2A2,A1A3,A1A4,A2A3,A3A2,A4A1,A5A1,A4A2,A3A3……这样的顺序便就能把可数个可数集的并数完。类似有理数可数的证法。当然，可数个可数集的直积，这实际上不是可数集，而是不可数的。可数个可数集的直积不是将它对应到唯一分解。而是把可数个可数集乘起来。将它对应到唯一分解只是对应到它的有限支撑，不是对应到可数个可数集的直积，肯定可数。事实上，可数个可数集的直积是不可数的。A=｛自然数集｝=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,……｝B=A×A×A×A×A×……(可数个A乘起来)然后得到集合B=(｛0，0，0，0，0，……｝，｛0，0，0，0，0，……｝……)集合B里面的元素就是可数个可数集的笛卡尔积。假设可数个可数集的直积可数，则该集合B里面所有集合能与自然数全体一一对应。0 ｛0，0，0，0，0，0，0，……｝1 ｛0，0，0，1，0，1，1，……｝2 ｛1，2，3，4，5，6，7，……｝3 ｛2，5，2，1，3，4，5，……｝4 ｛5，1，0，11，2，5，4，……｝5 ｛3，0，0，5，7，5，5，……｝……于是我们能创造一个集合，里面第一个数与0的不同，第二个数与1的不同……于是有集合x=｛1，1，2，3，8，6，……｝，该集合与0不同，与1不同，与2也不同……，但是属于集合B里面的一个元素。矛盾，所以可数个可数集的直积是不可数的。(注:证明类似证实数集是不可数集，因为实数的小数部分位数是可数的，而且每位上有不同的选择，可数个可数集的直积跟这一点很相似。)

整数集当然是可数集0,-1,1,-2,2,-3,3......-n,n......

可数集都是对等的，正整数集的势就是可数集不可数集合不对等，不可数集合的势也有大小

应该是不可数集 同心圆为例 圆1的半径范围是（r1属于0~无穷） 圆2的半径是（r2

R是集合,空集也是集合,只有包含或不包含的关系.不是属于或不属于关系

有限集是指自然数集(1，2，3，……，n)中，能找到一个n与该集合对应就是有限集。可数集就是指能与自然数集全体一一对应的集合。是无限集中的一种。不可数集就是指不能与自然数集一一对应的无限集。可数集是最小的无限集。比如1到10中的：自然数，整数和偶数，素数等都是有限集。有理数和代数数等都是可数集，实数和无理数等都是不可数集。

集合（0,1）它是一个范围用不等式表示出来就是0＜x＜1这个范围间的所有数，你说这里面的数数不数得清，当然数不清，所以它不是可数集合。

无穷多个可数集的笛氏积的一定不可数. 实际上,可列个个数不小于2的有限集的笛氏积已经是连续统的势了. 提示：{0,1}的可列乘积就是0-1序列,与二进制实小数等势.

假定 A=B并C，C是可列集，B是不可列集，B交C为空。首先，B具有可列子集P，把 B划分成 B=P并S，P交S为空，那么A = (C并P)并S注意 |C并P|=|C|=|P|，取C到C并P的双射f，再将f和S上的恒等映射合并就得到B到A的双射，所以|B并C|=|B|。反过来，如果已知A是不可列集，去掉C之后得到B，那么B仍然是不可列集，用上面的结论得到|A|=|B|。

不是，有限集是有限集，可数集是无限集，不一样的。有限集是元素个数有限，能拿张纸一个一个写完的。比如1到100之间的偶数，以及1到1亿之间的平方数等就是有限集。可数集是指元素个数无限，但是能和自然数集一一对应的集合，拿张纸是写不完的，但是总能一个个的数完。比如1到2之间的有理数以及奇数集等都是可数集。另外还有一类是不可数集，是指元素个数无限，但不能和自然数一一对应的集合，数也数不完。比如实数集等。不可数集和可数集都是无穷集。不可数集的元素比可数集的多的多。

可数集是无限集，任一无限集都存在一个可数子集，因此可数集可以理解为最小的无限集。任意有限个或可数个可数集的和集是可数集；有限个可数集的直积也是可数集。可数集的一个定义是“能与自然数集的某个子集一一对应的集合”。在这个意义下不是可数集的集合称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素，正如其名，是“可以计数”的：尽管计数可能永远无法终止，集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。不可数集设 A 和 B 是两个集合，讨论集合中元素的多少问题，如果 A 和 B 都是有限集，则只需分别数出它们的元素个数，再加以比较即可。但是当 A 和 B都是无限集时，无法数出它们的元素个数，此时可通过“映射”的概念建立集合间的等势关系，并拓广集合中元素个数的概念，引进集合基数的概念，最后将集合分为可数集和不可数集。不可数集是既不是有限集合，也不是（无限）可数集的集合，我们称不是可数集的集合为不可数集。

反正,如果可数,那么与自然数对等,两个可数集的和自然能与整数对等同样是可数的.

开区间，闭区间都是不可数集

不一定。集合至少有一个内点，不一定是可数集合，可数集合的子集有限，不可数集合的子集除了空集都为无限的，可根据其子集判断可数集合与不可数集合。可数集，是指每个元素都能与自然数集N的每个元素之间能建立一一对应的集合。

因为如有0.5=0.4999……，必有反例0.4999……=0.5，所以康托尔的对角线法证明是伪证，他的实数集不可数定理是不成立的。

“可数无限集”这个术语代表能和自然数集本身一一对应的集合。可数集无限的元素，正如其名，是“可以计数”的：尽管计数可能永远无法终止，集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。例子：非负偶数0，2，4，6，8，10，12，……，2n，……非负偶数组成的集合是一个无限可数集，由上面列举的顺序即可看出对应关系：非负偶数2n对应自然数n。非负奇数1，3，5，7，9，11，13，……，2n+1，……同理，非负奇数2n+1对应自然数n。

书上不是有个经典证明吗假设可数，0.A11 A12 A13 A14...0.A21 A22 A23 A24......0.An1 An2 An3 An4...作0.Ax1 Ax2 Ax3...，Ax1不等于A11，Ax2不等于A22，Ax3不等于A33。。。则0.Ax1 Ax2 Ax3。。。不可数，即(0,1)间实数不可数又 实数=有理数+无理数可知无理数不可数

反证法：若R可数，则[0,1)是可数的。将【0,1）={x1，x2，x3，....}中的每个元素写成二进制小数：x1=0.x11x12x13x14.....，x2=0.x21x22x23x24....，x3=0.x31x32x33x34....，。。。。然后考虑【0,1）中的实数a=0.a1a2a3a4....，其中ak=0，若xkk=1；ak=0，若xkk=1。于是a不等于x1，不等于x2，不等于x3，。。。。，即a不是【0,1）中的数，矛盾。

不可数集是无穷集合中的一种。一个无穷集合和自然数集合之间要是不存在一个双射（不存在一一对应关系/法则），那么它就是一个不可数集。

可用反证法证明：若R可数，则[0，1)是可数的。将【0,1）={x1，x2，x3}中的每个元素写成二进制小数：x1=0.x11x12x13x14；x2=0.x21x22x23x24；x3=0.x31x32x33x34；然后考虑【0，1）中的实数a=0.a1a2a3a4；其中ak=0，若xkk=1；ak=0，若xkk=1。于是a不等于x1，不等于x2，不等于x3。即a不是【0，1）中的数，矛盾。扩展资料有限集和可数无限集统称为可数集。(注意：无限集可能是可数集，也可能是不可数集）显然，凡有限集皆是可数集，但可数集可为无限集。例如，正整数集Z+本身便是一个可数集，但它不是有限集。任何可数集的任何一个子集都是一个可数集。设X和Y是两个集合，f:X→Y是一个映射。如果X是可数集，则f（X）也是一个可数集。集合X是一个可数集当且仅当存在从正整数集Z+到集合X的一个满射。如果集合X和集合Y都是可数集，则笛卡儿积X×Y也是一个可数集。特别，集合Z+×Z+是一个可数集。

证明(0,1)不是可数集的方法：设数列An中的数均在0到1之间，A1=0.x21x12x13……，A2=0.x11x22x13……，A3=0.x11x12x23……以此类推。其中各位均在0到9之间，且 x11≠x21，x12≠x22，x13≠x23，……再设B=0.x11x12x13……，因为x11≠x21，所以B≠A1；因为x12≠x22，所以B≠A2，因为x13≠x23，所以B≠A3……，所以B和数列An中的任何一个数都不相等。而B≠0.000……=0，B≠0.999……=1，排除全为0和全为9的情况，而数列An是无限的，又不能包含B，所以（0，1）不可数。可数集定义可数集，是指每个元素都能与自然数集N的每个元素之间能建立一一对应的集合。如果将可数集的每个元素标上与它对应的那个自然数记号，那么可数集的元素就可以按自然数的顺序排成一个无穷序列a1，a2，a3，…an。比如全体正偶数的集合是一个可数集，全体正奇数的集合也是可数集，它们与自然数集可以建立如下的一一对应。

是的。若一个集合不是有限集合，也不是可数集，则叫做不可数集; ( 详解) 不可数集是无穷集合中的一种。一个无穷集合和整数集合之间要是不存在一个双射（不存在一一对应关系/法则），那么它就是一个不可数集。 (譬如)无理数集就是不可数集。

不是可数集。将0到1之间的实数用三进制表示，可以知道去掉的是数位含有1的三进制数，剩下的位数只有0和2的三进制数就是康托集，和0到1中的实数的二进制数存在一一对应。又因为0到1的实数不可数，所以康托集不可数～豆瓣上的相关讨论：Cantor set为什么是不可数的？来自: [已注销] 2011-09-30 22:15:54从Cantor set的构造来看，由闭区间套定理，他就是孤立点集啊。。。而且是有理数的一个子集。。。所以应该是可数的吧，为什么会是不可数呢？ 我的想法哪里出了问题呢，求指教，谢谢。3人 喜欢 喜欢回应 推荐 喜欢只看楼主阿狄 (晴川历历，芳草萋萋) 2011-09-30 22:21:11怎么有理数了？其实你可以把Cantor Set的数表示成3进制，则小数点后只有“0”“2”没有“1”。“0”“2”和二进制的“0”“1”是可以一一对应的。赞 回应xdotzzzzzzzzzz (El Psy Congroo) 2011-09-30 22:21:21cantor set is perfect，and nonempty perfect set is uncountable...//刚在rudin的书上看到...赞 回应余妙哉 2011-09-30 22:21:40从三元数列的角度考虑赞 回应[已注销] 2011-09-30 22:24:39三进制那个我也知道，可就是我这样想哪里错了？它的分点都是有理数啊。赞 回应[已注销] 2011-09-30 22:25:30我也对这个很纠结赞 回应[已注销] 2011-09-30 22:26:18按照构造的话，感觉就是区间端点，而区间是可数的，所以端点也应该可数呀赞 回应lethe 2011-09-30 22:31:01康托集是有理数的子集？？你怎么看出来的？分点是有理数，但是分点附近还有没被挖走的点啊赞 回应阿狄 (晴川历历，芳草萋萋) 2011-09-30 22:35:31康托尔集并不是只有分点啊比如0.20220222022220...在康托尔集中但不是有理数赞 回应[已注销] 2011-09-30 22:36:19我知道我又意淫了，仔细思考一下赞 回应[已注销] 2011-09-30 22:40:08可是cantor集构造的时候留下的都是端点呀，不是吗赞 回应余妙哉 2011-09-30 22:45:39留下的都是端点？你验证1/4是否在康托集中？如果不在，你能说清是哪一步把这个点删去了吗？赞 回应always waiting (always waiting) 2011-09-30 23:05:29额，实变函数完全忘了啊。。。。赞 回应[已注销] 2011-10-01 09:33:05很形象的解释是：每次操作后选取的那些小区间的中点显然在集合中。因此第n次操作导致有[;2^n;]个点被放入集合中，操作是可数次的，也就是aleph 0，因此这些操作导致的点具有基数aleph 1，因此根据这种基数的推导我们知道Cantor set中的元素的基数是aleph 1，因此不可数。赞 回应J.-J. Jiang 2011-10-02 19:12:01沿LZ的思路：根据区间套定理，每个区间套唯一确定了一个点，而区间套的长度全为 aleph_0，故不同的区间套数目为 2^aleph_0，因此 Cantor set 与连续统等势。赞 回应钱塘新泥 (当回忆重来,相信天仍会很晴.) 2011-10-02 19:38:20Cantor集不是孤立点集,恰恰相反,它的每个点都是它的聚点.而且,它的聚点也都在本身中,也就是说,Cantor集=Cantor集的导集等于自身的导集的集合称为完全集.Cantor集就是一个完全集的例子.赞 回应[已注销] 2011-10-09 19:31:46闭区间套定理用的怎么不对了？赞 回应[已注销] 2011-10-09 19:32:502011-10-02 19:12:01 Triple.J沿LZ的思路：根据区间套定理，每个区间套唯一确定了一个点，而区间套的长度全为 aleph_0，故不同的区间套数目为 2^aleph_0，因此 Cantor set 与连续统等势。==这个？赞 回应[已注销] 2011-10-10 00:05:20对，就是Triple.J 那个。赞 回应[已注销] 2011-10-10 21:49:01嗯嗯嗯，明白了，谢谢大家

是的，可以把复数集看成r^2，这样r^2和r是等势的，都是不可数集

B=(B-A)∪A如B-A可数，由于A可数，则B=(B-A)∪A可数，矛盾，故B-A不可数|B-A|=|B|

可数集的子集中有有限集，而可数集是无限集

不是等价的，可数集包含可列集与有限集。可数集（Countable set），是每个元素能与自然数集N的每个元素之间能建立一一对应的集合。如果将可数集的每个元素标上与它对应的那个自然数记号，那么可数集的元素就可以按自然数的顺序排成一个无穷序列a1，a2，a3，…an。比如全体正偶数的集合是一个可数集，全体正奇数的集合也是可数集，它们与自然数集可以建立如下的一一对应。可数集的一个定义是“能与自然数集的某个子集一一对应的集合”。在这个意义下不是可数集的集合称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素，正如其名，是“可以计数”的：尽管计数可能永远无法终止，集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。 “可数集”这个术语也可以代表能和自然数集本身一一对应的集合。两个定义的差别在于有限集合是否被视为可数集。为了避免歧义，前一种意义上的“可数”有时称为“至多可数”，后一种“可数集”则又称为“无限可数集”。

不可数啥意思？元素无限么？那他们的差集可能是无限元素，也可能是有限的：｛自然数｝－｛偶数｝＝｛奇数｝（无限的）｛自然数｝－｛＞10 的自然数｝＝｛1,2,3,4,5,6,7,8,9,10｝有限的

可数集（countable set），是能与自然数集N建立一一对应的集合，又称可列集。如果将可数集的每个元素标上与它对应的那个自然数记号，那么可数集的元素就可以按自然数的顺序排成一个无穷序列a1，a2，a3，…an，…。比如全体正偶数的集合是一个可数集，全体正奇数的集合也是可数集，它们与自然数集可以建立如下的一一对应。

加个条件就好证点：任取一个无限集H，其幂集记为2H，则在H和2H之间不存在其他基数。（即假设连续统假设是不成立的）下证楼主的问题。 取无限集B满足：B的基数小于A的基数，且不存在其他基数介于A,B之间。