丢番图方程x+y+2z＝n有多少个非负整数解？（初等数论）

丢番图方程又名不定方程、整系数多项式方程，是变量仅容许是整数的多项式等式；即形式如右上角图的方程，其中所有的aj、bj和c均是整数，若其中能找到一组整数解m1,m2...mn者则称之有整数解。丢番图问题有数条等式，其数目比未知数的数目少；丢番图问题要求找出对所有等式都成立的整数组合。对丢番图问题的数学研究称为丢番图分析。3世纪希腊数学家亚历山大城的丢番图曾对这些方程进行研究。丢番图方程的例子有贝祖等式、勾股定理的整数解、四平方和定理和费马最后定理等

丢番图方程（Diophantine Equation）：有一个或者几个变量的整系数方程，它们的求解仅仅在整数范围内进行。最后这个限制使得丢番图方程求解与实数范围方程求解有根本的不同。

丢番图方程是数论中最古老的分支之一。 古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。 Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组 (变量的个数大于方程的个数)或不定方程式 (两个变数以上)。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。研究不定方程要解决三个问题：（1.判断何时有解。2.有解时决定解的个数。3.求出所有的解。)中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《 张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。丢番图生平代数之父─丢番图（Diophantine）是一位古希腊的大数学家，为第一位懂得使用符号代表数来研究问题的人。 其中丢番图最著名的可能就是他的墓志铭了：「坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。 」我们可以从中知道：“丢番图的一生，幼年占1/6，青少年占1/12，又过了1/7才结婚，5年后生子，子先父4年而卒，寿为其父之半。”计算丢番图的方程为X/6 + X/12 + X/7 + 5 + X/2 + 4 = X，X = 84，由此知道丢番图享年84岁。

人名。古代有一著名希腊数学家就叫丢番图(或翻译成丢拉图)。你在百度搜一下就知了

设D为无平方因子且不被6k+1形素数整除的正整数，获得了方程x^2+y^2=Dz^2的全部整数解的简洁表达式及其深刻性质，证明了方程x^3+y^3＝Dz^4仅有有限组整数解。

丢番图方程一瞥丢番图是古希腊亚历山大里亚时期的数学家,对他的生平人们知之甚少.传说公元4世纪的一部诗集中有一首短诗,以谜语体裁叙述了他的经历;又传说在一本问题集里有一道解方程问题,反映了他的生平;还传说在他的墓志铭中讲述了他的一生.所有这些传说,无非是如下一段文字:此人一生中,幼年占,青少年占,又过岁月结婚,婚后5年喜得子,但先父4年而卒,寿为其父之半.这段文字可以列成方程++=5++4=x,解之得x=84.丢番图活了84岁.附：丢番图对数学有两大贡献,其一是采用缩写方式简化数学表达,人称缩写代数,推进了数学符号的采用;其一是求解不定方程,人称丢番图方程,开辟了数论研究的一个重要领域,这个领域后来被称为丢番图分析.丢番图曾写过三部书,其中13卷本的《算术》最为出色,后失传.大约在1463年雷琼蒙塔努力发现了这部书的6卷,1560年,帕茨发现了这部书原稿抄本,1621年出版了《算术》的拉丁文,希腊文版本.《算术》中大部分问题是求解不定方程的,其解法非常巧妙,很少给出一般法则,即使性质相近的题,其解法也会大不相同.著名数学家汉克尔说:"研究丢番图100道题后,去解第101道,仍然感到困难重重."

* 有解答吗？* 除了一些显然易见的解答外，还有哪些解答？* 解答的数目是有限还是无限？* 理论上，所有解答是否都能找到？* 实际上能否计算出所有解答？ * 丢番图集是递归可枚举集。* 常用的方法有无穷递降法和哈赛原理。* 丢番图逼近研究了变量为整数，但系数可为无理数的不等式。 丢番图是一个人，他的生命是一个整体1他的生命一共经历了以下一些关键点：1/6、1/12、1/7、5年、1/2、4年，然后他死了1/2是怎么得来的呢？因为他的孩子出生后，到他的孩子死了的这段时间，占丢番图生命的一半，所以这段时间记为1/2，综上所述，他的生命一共由1/6+1/12+1/7+1/2和9年组成，那么问题很简单了，就是你要知道这9年占据他一生的几分之几呢？当然是1-(1/6+1/12+1/7+1/2)因为从一开始就说了，丢番图的生命是一个整体1所以他的年龄有多大呢？反过来，就是9除以（1-(1/6+1/12+1/7+1/2)）对括号里面的分式进行通分，很简单就解出来了明白了吗？ 9除以（1-(1/6+1/12+1/7+1/2)）=9除以（9/84），当然是84岁了。

　　不定方程(丢番图方程)是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等)的方程或方程组。以下是我为你精心整理的不定方程的发明介绍，希望你喜欢。 　　不定方程简介 　　不定方程(indeterminate equation)是数论的一个分支，它有着悠久的 历史 与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。 　　古希腊 数学 家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支 学科 ，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。 　　不定方程历史 　　不定方程是数论中最古老的分支之一。 　　古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平 事迹 并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组(变量的个数大于方程的个数)或不定方程式(两个变数以上)。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。 　　研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时 决定 解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何?”。设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。 　　不定方程常见类型 　　⑴求不定方程的整数解; 　　⑵判定不定方程是否有解; 　　⑶判定不定方程的解的个数(有限个还是无限个)。 　　一次不定方程 　　二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。其中 a，b，c 是整数，ab ≠ 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c。设、是该方程的一组整数解，那么该方程的所有整数解可表示为. 　　S(≥2)元一次不定方程的一般形式为a1x1+a2x2+…+asxs=n0a1，…，as，n为整数，且a1…as≠0。此方程有整数解的充分必要条件是a1，…，as的最大公约数整除n。 　　埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程　公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法： 　　一“要得到不大于某个 自然 数N的所有素数，只要在2---N不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。 　　二后来人们将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1上海 科技 出版社).. 　　三再将二的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除，则N是一个素数”。见(代数学辞典[上海 教育 出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页)。 　　四上面这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式： 　　N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak。⑴ 　　其中p1，p2，.....，pk表示顺序素数2，3，5，，，，，。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0形。若N 　　字母后面的数字或者i与k都是脚标] ，则N是一个素数。 　　五可以把(1)等价转换成为用同余式组表示： 　　N≡a1(modp1)， N≡a2(modp2)，.....，N≡ak(modpk)。⑵ 　　例如，29，29不能够被根号29以下的任何素数2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。29≡1(mod2)，29≡2(mod3)， 29≡4(mod5)。29小于7的平方49，所以29是一个素数。 　　以后平方用“*”表示，即：㎡=m*。 　　由于⑵的模p1，p2，....，pk 两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理)知，⑵在p1p2.....pk范围内有唯一解。 　　例如k=1时，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了(3，3*)区间的全部素数。 　　k=2时，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19; N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。求得了(5，5*)区间的全部素数。 　　k=3时， 　　---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.| 　　---------------------|---------|----------|--------|---------| 　　n=2m+1=3m+1= |--31----|--7,37-|-13,43|--19----| 　　n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---| 　　------------------------------------------------------------ 　　求得了(7，7*)区间的全部素数。仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。 　　多元一次 　　关于整数多元一次不定方程，可以有矩阵解法、程序设计等相关方法辅助求解。 　　二次 　　二元二次不定方程本质上可以归结为求二次曲线(即圆锥曲线)的有理点或整点问题。 　　一类特殊的二次不定方程是x^2+y^2=z^2，其正整数解称商高数或勾股数或毕达哥拉斯数，中国《周髀算经》中有“勾广三，股修四，经隅五”之说，已经知道 (3，4，5)是一个解。刘徽在注《九章算术》中又给出了(5，12，13)，(8，15，17)， (7，24，25)，(20，21，29)几组勾股数。它的全部正整数解已在16世纪前得到。这类方程本质上就是求椭圆上的有理点。 　　另一类特殊的二次不定方程是所谓佩尔方程x2-Dy2=1，D是非平方的正整数。利用连分数理论知此方程永远有解。这类方程就是求双曲线上的有理点。 　　最后一类就是平方剩余问题， 即求x^2-py=q的整数解， 用高斯的同余理论来描述，就是求x^2≡q(mod p)的剩余类解。高斯发现的著名二次互反律给出了次方程是否有解的判定方法。这类方程就相当于求抛物线上的整点。 　　圆锥曲线对应的不定方程求解可以看做椭圆曲线算术性质的一种特例。 　　高次 　　对高于二次的不定方程，相当复杂。当n>2时，x^n+y^n=z^n没有非平凡的整数解 ，即著名的费马大定理，历经3个世纪 ，已由英国数学家安德鲁 ·维尔斯证明完全可以成立。 　　有一些高次方程同样无解： 　　多元高次不定方程 　　多元高次不定方程没有一般的解法，任何一种解法都只能解决一些特殊的不定方程，如利用二次 　　域来讨论一些特殊的不定方程的整数解.常用的解法 　　⑴代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等; 　　⑵不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解; 　　⑶同余法：对等式两边取特殊的模(如奇偶分析)，缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解; 　　⑷构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解;

Why?设他活了x年，（1/6+1/12+1/7+1/2）x+4+5=x 解得：x=84

家居物品摆放合理、方便取用这里主要说跟小孩相关的：玩具、衣物、书的摆放。我自己不喜欢乱，而且听说分类是个很重要的能力，所以小刘的玩具一直是分类收纳的。经过很多次收纳方式迭代，我从中收获了一些实实在在的好处。1、小刘的乐高很多，全部集中放在一个大抽屉里，每次小刘玩乐高，就是胡乱拿几个出来，随便拼一拼，也搭不出个样子。直到有一天，我受不了乱糟糟一堆，在抽屉里放上定制的亚克力隔板，将乐高按照形状进行了分类。分好类的第二天，小刘就用方块砖搭出了一个小飞机。我猜想：孩子还小时，大脑处理不了那么多信息，所以当一大堆形状各异的乐高放在一起时，他就懵了，无从下手。分好类，一格里只有一种（比如都是方块砖），小脑袋就更好构思了。再长大一些，分类也是很有好处的。且不谈分类能带来秩序感，也不讲分类本身就是数学启蒙，只说：分好类，小孩自己找东西方便，就不会总是：“妈妈，我的零件找不到了，你来帮我一下。”，就这一点，我认为花在规划收纳上的精力就值了。2、小孩总是很容易被光电类的玩具吸引，但这类玩具本身没什么营养，我还是希望他能多玩玩积木、拼拼图、读读书。但硬跟孩子犟也不好，这时收纳就能帮忙：把最希望他玩的玩具放在他最容易拿到的地方，不喜欢的玩具放远一点。很多时候，小孩选择玩具是无意识的，看到哪个就是哪个，玩一会又去拖另一个。所以，别放太多玩具在外面，不然：太乱影响注意力；增加收玩具难度，导致收玩具规则执行受阻。一段时间换一拨玩具，保持新鲜感，还能通过更换玩具类型促进不同能力发展。现在小刘的玩耍区设在书架帮边，书架下两层放着我希望他看的书，当他坐在地毯上没事干时，一转头，刚好就看到书，一伸手，刚好拿到我选的书。离玩耍区最近的，除了书架，就是乐高收纳盒，其他玩具要特意从地毯上站起来穿上鞋走过去才能拿到。当然，这是因为小刘本来就爱搭乐高，对于孩子很不喜欢的玩具，估计很近也不会拿吧。3、良好的收纳助力自理能力的发展。说说穿衣服的例子。小刘学会穿衣服后，我就希望他能“起床-选衣服-穿衣服”，一条龙自理，别老喊我。一开始他的衣服在衣柜里，柜子把手高他够不着，所以我买了抽屉给他用。 一个抽屉放所有的上衣，一个抽屉放所有的裤子。但有时他会搭配出短袖?棉裤的组合，不让他穿还不干。后来就进行了整理：只放当季的衣服；任意上衣和裤子都能基本搭上，以免穿的太难看（偶尔也会出现黄衣配黄裤的组合，随他去。）；衣物只放一层，以免拿乱。这之后，所有跟衣服相关的事就交给他自己了，不再为这些劳神。 再到后来，我又简化了他的操作步骤：出门的上衣和裤子放在一个抽屉里，睡衣和内衣放在另一个抽屉。每个抽屉里，前排是上衣，后排是裤子。无论是早上出门，还是晚上洗澡后，都只需打开一次抽屉，前后排各拿一件，就完成了。 尽量不给他生活自理带来麻烦，也不给家长添麻烦。除了穿衣服，还有很多例子：设置一个矮矮的淋浴头支架，这样调好水温孩子就能自己洗澡；马桶旁边挂上小坐便垫，用马桶脚凳，方便孩子自助大小便，大人也不用另外收拾了；电饭煲放在孩子够的着的地方，方便自己盛饭。等等。

数论：丢番图方程：x^3+1=Dy^2 当D=1时的整数解 x^3 + 1 = y^22^3 + 1 = 3^2, ...

x/6+x/12+x/17+5+x/2+4=x

x=2mny=m^2-n^2z=m^2+n^2其中m>n,均为正整数.

定义 不定方程浅说indeterminate equation 不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。 古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。

A*a^4-B*N*a^2+C*N^2=0 方程两边同除以A(A不等于0) a^4-BNa^2/A+CN^2/A=0 a^4-(BN/A)a^2+(BN/2A)^2-(BN/2A)^2+CN^2/A=0 (a^2-BN/2A)^2-(B^2N^2/4A^2-CN^2/A)=0 (a^2-BN/2A)^2-N^2*(B^2/4A^2-C/A)=0 (a^2-BN/2A)^2-N^2(B^2-4AC)/4A^2=0 因为(B^2-4AC)=1 所以(a^2-BN/2A)^2-N^2/4A^2=0 即(a^2-BN/2A)^2=N^2/4A^2 a^2-BN/2A=+,-N/2A a^2=+,-N/2A+BN/2A

设丢番图在世的年龄为x岁．根据题意列方程：16x+112x+17x+5+12x+4＝x，                     2528x+9=x，                       328x=9，                         x=84；答：丢番图在世的年龄是84岁．

1、连续统假设（1963年由美国数学家科亨解决）1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--弗伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。2、算术公理的相容性（未解决，最好成绩是1936年德国人根茨创造的）欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。3、两个等底等高四面体的体积相等问题（1900年美国数学家马克思·德恩已解决）问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。4、两点间以直线为距离最短线问题（未解决，最好成绩1973年前苏联数学家波格列洛夫）此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。注：《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，数学界在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。5、连续群的解析性（1952年美国数学家格利森、蒙哥马利、齐宾已解决）一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的 这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、庞德里亚金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。6、在任意数域中证明最一般的互反律（1921年日本数学家高木贞治和1927年德国数学家阿廷已解决）该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。7、丢番图方程的可解性（1970年前苏联数学家IO.B.马季亚谢维奇证明该问题错误）能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。8、证明某类完备函数系的有限性（1958年日本数学家永田雅宜证明错误）这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。9、半正定形式的平方和表示（1927年德国数学家阿廷已解决）一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。10、给定单值群微分方程解的存在性证明（1905年德国人希尔伯特和1957年美国人罗尔已解决）具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。11、某些数的无理性与超越性（解决一半，1934年A.O.盖尔方德和T.施奈德解决后半部分）1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0 ，1，和任意代数无理数β证明了α^β 的超越性。12、素数问题（未完全解决，2018年9月美国人迈克尔·阿蒂亚宣布证明黎曼猜想，实际并未证明。哥德巴赫猜想最好成绩属于1966年的中国数学家陈景润，孪生素数猜想的最好成绩属于2013年的中国数学家张益唐）包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。2018年9月，美国人迈克尔·阿蒂亚宣布他证明了黎曼猜想。哥德巴赫猜想的最佳结果属于中国数学家陈景润（1966），但离最终解决尚有距离。孪生素数问题的最佳结果属于另一位中国数学家张益唐。2013年5月，他证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，发现存在无穷多差小于7000万的素数对，从而在孪生素数猜想这个此前没有数学家能实质推动的著名问题的道路上迈出了革命性的一大步。这一差值已被缩小至246。13、系数为任意代数数的二次型（未解决，最好成绩属于1929年H.哈塞和1936、1951年C.L.西格尔）H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。14、用只有两个变数的函数解一般的七次方程（未解决，最好成绩属于1964年的维士斯金）七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x （a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。15、用全等多面体构造空间（未解决，最好成绩属于1928年莱因哈特）由德国数学家比勃马赫（1910）、莱因哈特（1928）作出部分解决。16、正则变分问题的解是否一定解析（未解决）对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。17、代数曲线和代数曲线面的拓扑问题（未解决）这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论 的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。18、物理学的公理化（未解决）希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。19、将克罗克定理推广到任意的代数有理域上去（未解决）将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去 这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。20、舒伯特计数演算的严格基础（未解决）一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。21、一般边值问题（未解决）这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。还在继续研究。22、由自守函数构成的解析函数的单值化（未解决，最好成绩属于1907年克伯）它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。23、变分法的进一步发展出（未解决）这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。人物评价希尔伯特（Hilbert D,1862.1.23~1943.2.14）是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。 希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点：现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整个数学版图上，留下了他那显赫的名字。

在《算术》一文中，数学家丢番图研究了代数方程，其解必须是整数。这里是“算术”的一个片段丢番图 在数学中，没有一个研究人员是在真正的孤立中工作的。即使是那些独自工作的人也会利用他们的同事和前人的定理和方法来发展新思想。 ，但是当一种已知的技术很难在实践中使用时，数学家可能会忽略一些重要的问题，或者可以解决的问题。 最近，我和几位数学家一起参与了一个项目，以使这种技术更易于使用。我们制作了一个计算机软件包来解决一个叫做“S单位方程”的问题，希望各行各业的数字理论家能够更容易地攻击数学中各种各样的未解决的问题。 丢番图方程 在他的文章“算术”中，数学家丢番图研究了其解是必须是整数。碰巧，这些问题与数论和几何学都有很大关系，数学家们从那时起就一直在研究它们。 为什么只加上整数解的这个限制？有时候，理由是实际的；养13.7只羊或买-1.66辆车都没有意义。此外，数学家也被这些问题所吸引，现在称为丢番图方程。它们的魅力来自于它们令人惊讶的困难，以及揭示数学本质基本真理的能力。 事实上，数学家通常对任何特定丢番图问题的具体解决方案都不感兴趣。但当数学家发展新技术时，他们的能力可以通过解决以前未解决的丢番图方程来证明， 安德鲁·威尔斯对费马最后定理的证明就是一个著名的例子。皮埃尔·德·费尔马在1637年——在《算术》一书的空白处——声称已经解出了丢番图方程xⁿ+yⁿ=zⁿ，但没有提出任何理由。300多年后，当威尔斯证明了这一点时，数学家们立刻注意到了这一点。如果威尔斯提出了一个可以解决费马问题的新想法，那么这个想法还能做什么呢？数论者争先恐后地理解Wies的方法，推广它们，发现新的结果。KDSPE“KDSPs”没有一种方法可以解决所有丢番图方程。相反，数学家培养了各种各样的技巧，每一种都适合于某些类型的丢番图问题，而不是其他问题。因此，数学家将这些问题按其特征或复杂性分类，就像生物学家可能通过分类学对物种进行分类。“KDSPE”更精细的分类“KDSPs”这个分类产生专家，因为不同数量的理论家专门研究与不定问题的不同家族相关的技术，如椭圆曲线，二进制形式或Thue-Mahler方程。 在每个族中，更精细的分类得到定制。数学家发展出不变量——方程中出现的系数的某些组合——来区分同一族中的不同方程。为一个特定的方程计算这些不变量是很容易的。然而，与其他数学领域的更深层次的联系涉及到更为雄心勃勃的问题，例如：“是否有任何具有不变量13的椭圆曲线？”或者“有多少二进制形式具有不变量27？” S单元方程可以用来解决许多更大的问题。S表示与特定问题相关的素数列表，如{2，3，7}。S单位是一个分数，其分子和分母仅由列表中的数字相乘而成。因此，在这种情况下，3/7和14/9是S单位，而6/5不是。 S单位方程的表述似乎很简单：找到加1的所有S单位对。找到一些解决方案，比如（3/7，4/7），可以用笔和纸来完成。但关键词是“全部”，这就是问题在理论和计算上都很难解决的原因。你怎么能确定每一个解决方案找到了吗？” 在原理上，数学家们已经知道如何求解S单位方程好几年了。然而，这个过程是如此的复杂，以至于没有人能够真正地用手解这个方程，而且很少有情况得到解决。这是令人沮丧的，因为许多有趣的问题已经被简化为“仅仅”解决一些特殊的S单位方程， 解算器的工作方式 的情况正在改变。自2017年以来，包括我在内的北美六位数字理论家一直在为开源数学软件SageMath构建S单元方程求解器。3月3日，我们宣布工程竣工。为了说明它的应用，我们使用该软件求解几个不定常问题，“KdSPE”“KdSPS”是S单位方程的主要困难在于，当只有少数解存在时，存在无穷多的S单位，它可以是解的一部分。通过将著名的Alan Baker定理和Benne de Weger的精细算法技术相结合，求解器从考虑中消除了大多数S单元。即使在这一点上，可能还有几十亿个S单位——或者更多——需要检查；程序现在试图使最后的搜索尽可能有效。 这种S单位方程的方法已经有20多年的历史了，但只被少量使用，因为所涉及的计算是复杂和耗时的。以前，如果数学家遇到了她想解的S单位方程，就没有自动的方法来解它。她必须仔细地完成贝克、德韦格和其他人的工作，然后编写自己的计算机程序来进行计算。运行该程序可能需要数小时、数天甚至数周的时间来完成计算。 我们希望该软件能帮助数学家解决数论中的重要问题，增强他们对数学的本质、美和有效性的理解。 克里斯托弗·拉斯穆森，卫斯理大学数学副教授 这篇文章是在知识共享许可下从对话中重新发布的。阅读原文，关注所有专家的声音问题和争论，并成为讨论的一部分，在Facebook、Twitter和Google+上。所表达的观点是作者的，并不一定反映出版商的观点。此版本的文章最初发表在《生命科学》杂志上。 p.p1{margin:0.0px 0.0px 0.0px 0.0px；font:12.0px"Helvetica Neue"}span.s1{color:#dca10d}

1，把水倒入5升瓶和6升瓶，10升瓶留空。2，把水都倒入10升瓶，10升瓶满，5升瓶空，6升瓶剩1升。3，6升瓶中1升倒入5升瓶，6升瓶空，5升瓶剩1升，10升瓶满。4，用10升瓶把6升瓶倒满，5升瓶剩1升，6升瓶满，10升瓶剩4升。5，用6升瓶把5升瓶倒满，5升瓶满，6升瓶剩2升，10升瓶剩4升。6，5升瓶倒入10升瓶，5升瓶空，6升瓶剩2升，10升瓶剩9升。7，6升瓶倒入5升瓶，5升瓶剩2升，6升瓶剩0升，10升瓶剩9升。8，10升瓶倒满6升瓶，5升瓶剩2升，6升瓶剩6升，10升瓶剩3升。9，6升瓶倒满5升瓶，5升瓶剩5升，6升瓶剩3升，10升瓶剩3升。10，5升瓶倒入10升瓶，10升瓶中剩余水量8升。扩展资料：倒水问题是一个比较经典的问题，解题方式就是通过提供的不同容量水杯来回倒满倒空，求得所需的容量。因为数据变化复杂，操作过程中最好记录每一次操作后每个被子剩余的水量。可以建立数学模型，列出丢番图方程，即ax+by+cz=d。过程就是求方程的整数解。解中正数为倒满，负数为倒空。

　1．连续统假设1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛–弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛–伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛–弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。　2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。3．两个等底等高四面体的体积相等问题。问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。4．两点间以直线为距离最短线问题。此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。5．一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、庞德里亚金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。6．物理学的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。7.某些数的无理性与超越性1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0，1，和任意代数无理数β证明了αβ的超越性。8．素数问题。包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。　哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。　　9．在任意数域中证明最一般的互反律。该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。　10．丢番图方程的可解性。能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。11．系数为任意代数数的二次型。H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。12．将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。13．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程。七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x（a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。14．证明某类完备函数系的有限性。这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。15．舒伯特计数演算的严格基础一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。16．代数曲线和代数曲线面的拓扑问题这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。17．半正定形式的平方和表示。一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,…,xn)都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。　18．用全等多面体构造空间。由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决。19．正则变分问题的解是否一定解析。对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。20．一般边值问题这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。21．具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明。已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。22．由自守函数构成的解析函数的单值化。它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。　23．变分法的进一步发展出。这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。

正常的课本是初一，数学奥林匹克五年级就学 1.根据题意，得知他的年龄是12和7的公倍数，12*7=84，检验后，会知道84就是他的年龄。 2.解：设他的年龄是x岁 1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4=x 25/28x+9=x 3/28x=9 x=84

不定方程: 指有两个或两个以上未知数的方程，通常有许多甚至无数的解(不限于小学整数，可能是负数，无理数等)。(1)求丢番图方程的整数解; (2)确定丢番图方程是否有解; (3)确定丢番图方程的解数。强

活了x年（1/6+1/12+1/7+1/2)x+5+4=x所以x=84 (1/6+1/12+1/7)x=33所以33岁结婚

坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,他忠实地记录了所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一,又过了十二分之一,两颊长胡,再过七分之一,点燃结婚的蜡烛，五年之后天赐贵子,可怜迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半,便进入坟墓,悲伤只有用数论研究去弥补,又过四年,他也走完了人生的旅途 解: 算术解 题中只有一个四年和五年是具体数量,所以要考虑这九年占的分率,相除即可得出单位“1”即丢番图活的岁数。 (4+5)/(1-1/6-1/12-1/7-1/2)=9/(3/28)=84岁 答:丢番图活了84岁. 方程解 设丢番图活了x岁. x=1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4 x=25/28x+9 3/28x=9 x=84 所以丢番图活了84岁。

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80

丢番图的寿命84岁；（2）丢番图开始当爸爸时的年龄38岁；（3）儿子死时丢番图的年龄80岁．设丢番图的寿命x岁；则x/6+x/12+x/7+5+x/2+4=x,解得x=84,所以丢番图开始当爸爸时的年龄=x/6+x/12+x/7+5=84/6+84/12+84/7+5=14+7+12+5=38儿子死时丢番图的年龄=84-4=80

1.丢番图的寿命： 　　解：x=1÷6x+1÷12x+1÷7x+5+1÷2x+4 　　x=25÷28x+9 　　x-25÷28x=9 　　3÷28x=9 　　x=9÷3*28 　　x=84 　　答：由此可知丢番图活了84岁。

广义预测控制需要实现四个功能：1、参数估计，可以用递推最小二乘法实现；2、使用丢番图方程对模型分解，分解为当前状态和历史输入对模型未来输出值的作用公式，未来输入对模型未来输出值的作用公式；推导过程过于繁琐，可以直接套用公式计算。3、参考轨迹生成，可以使用下面公式递推得到:r(n)=（1-k）*y(n-1)+k*(s-y(n-1))，其中k为时间常量，决定系统的调节速度，s为设定值。4、最优值计算，可以直接套用公式。实现过程：首先辨识系统模型，然后使用丢番图方程对辨识得到的模型进行分解，计算参考轨迹，最后把参考估计和分解后的系统模型带入公式得到最优输出值（其实是次优解），如此反复即可实现预测控制。经典PID计算：可以使用增量式的公式：y(n)=y(n-1)+Kp*[e(n)-e(n-1)]+Ki*e(n)+Kd*[e(n)+e(n-2)-2*e(n-1)]需要说明广义预测控制和PID控制输出都需要设置输出值限幅。工业实现：可以用c语言编写程序作为控制软件的控制代码，硬件平台可以是一台工控机或者PLC，另外也有这方面的软件包，不过很贵。

设丢番图活了X岁,所以幼年为x/6岁,青少年为x/12岁,到结婚时又长了x/7岁,他儿子的寿命为x/2. 由题目可得下列方程： x/6+x/12+x/7+5+x/2+4=x 解得 x=84 所以 丢番图活了84岁.

简介古希腊的大数学家丢番图，大约生活于公元246年到公元330年之间，距现在有二千年左右了。他对代数学的发展做出过巨大贡献。他唯一的简历是从《希腊诗文集》中找到的。这是由麦特罗尔写的丢番图的“墓志铭”。“墓志铭”是用诗歌形式写成的：“过路的人！这儿埋葬着丢番图。请计算下列数目，便可知他一生经过了多少寒暑。他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年。请你算一算，丢番图活到多大，才和死神见面？”请你算一算，丢番图到底活到多少岁？算法编辑解：设丢番图x岁。1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4=x25/28x+9=x3/28x=9x=84答：丢番图的寿命为84岁。

1、几个带参数的二阶边界值问题的正解的存在性研究2、关于丢番图方程1+x+y=z的一类特殊情况的研究3、变限积分函数的性质及应用4、有限集上函数的迭代及其应用希望以上回答对你有帮助！————————————————————世界上没有任何东西是完美的，文章也是一样，我不敢保证我们团写出来的文章一定会让你捧上奖杯，获得名次。但这里面承载的心血和汗水不比任何写作团来的少，因为责任就是肩膀上的大山。不是我们写不出华丽清晰的文章，而是不可预定的因素太多，轻易地给您承诺说我是最好的恰恰说明了我的不成熟和轻浮。我想我简单的介绍并不能让你感觉眼前一亮，但你细细的品读定会感觉我们团靠谱务实的作风。

“过路的人！ 这儿埋葬着丢番图。 请计算下列数目， 便可知他一生经过了多少寒暑。 他一生的六分之一是幸福的童年， 十二分之一是无忧无虑的少年。 再过去七分之一的年程， 他建立了幸福的家庭。 五年后儿子出生， 不料儿子竟先其父四年而终， 只活到父亲岁数的一半。 晚年丧子老人真可怜， 悲痛之中度过了风烛残年。 请你算一算，丢番图活到多大， 才和死神见面？” 请你算一算，丢番图到底活到多少岁？

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丢番图活了多少岁解题方程是属于【普通的一元一次方程】那一类的！

“他生命的六分之一是童年；再过了一生的十二分之一后，他开始长胡须；又过了一生的七分之一后他结了婚；婚后五年他有了儿子，但可惜儿子的寿命只有父亲的一半；儿子死后，老人再活了四年就结束了余生。”1－1/6－1/12－1/7－1/2＝3/28（5＋4）÷ 3/28 ＝84（岁）

古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话假设这个人的年龄是X。那么可得到以下方程： 1/6*X+1/12*X+1/7*X+5+1/2*X+4=X 可求X=84。。这个人活了84岁。

不定方程赋0法适用条件：必要性容易证。记d=（a，b）则方程两边除以d，化为：ax/d+by/d=c/d左边为整数，因此右边须为整数，故d|c通解：x=（c+ab）/a-bty=-a+at容易看出x=3，y=0是方程一组特解通解：x=3-3ty=2tt取一切整数丢番图方程有一个或者几个变量的整系数方程，它们的求解仅仅在整数范围内进行。最后这个限制使得丢番图方程求解与实数范围方程求解有根本的不同。丢番图方程又名不定方程、整系数多项式方程，是变量仅容许是整数的多项式等式。

不定方程赋0法适用条件：必要性容易证。记d=（a，b）则方程两边除以d，化为：ax/d+by/d=c/d左边为整数，因此右边须为整数，故d|c通解：x=（c+ab）/a-bty=-a+at容易看出x=3，y=0是方程一组特解通解：x=3-3ty=2tt取一切整数丢番图方程有一个或者几个变量的整系数方程，它们的求解仅仅在整数范围内进行。最后这个限制使得丢番图方程求解与实数范围方程求解有根本的不同。丢番图方程又名不定方程、整系数多项式方程，是变量仅容许是整数的多项式等式。

不定方程赋0法适用条件：必要性容易证。记d=（a，b）则方程两边除以d，化为：ax/d+by/d=c/d左边为整数，因此右边须为整数，故d|c通解：x=（c+ab）/a-bty=-a+at容易看出x=3，y=0是方程一组特解通解：x=3-3ty=2tt取一切整数丢番图方程有一个或者几个变量的整系数方程，它们的求解仅仅在整数范围内进行。最后这个限制使得丢番图方程求解与实数范围方程求解有根本的不同。丢番图方程又名不定方程、整系数多项式方程，是变量仅容许是整数的多项式等式。

不定方程赋0法适用条件：必要性容易证。记d=（a，b）则方程两边除以d，化为：ax/d+by/d=c/d左边为整数，因此右边须为整数，故d|c通解：x=（c+ab）/a-bty=-a+at容易看出x=3，y=0是方程一组特解通解：x=3-3ty=2tt取一切整数丢番图方程有一个或者几个变量的整系数方程，它们的求解仅仅在整数范围内进行。最后这个限制使得丢番图方程求解与实数范围方程求解有根本的不同。丢番图方程又名不定方程、整系数多项式方程，是变量仅容许是整数的多项式等式。

不定方程的通解公式为：ax+by=c，其中a、b、c是非零常数。如果c=am+bn，那么ax+by=am+bn，a(x-m)+b(y-n)=0。设x-m=bk，abk+b(y-n)=0，y-n=-ak。所以(x,y)=(bk+m,-ak+n)。以上方法求出方程参数解。如果a、b、c是整数，选择整数m、n，求出x、y的整数解。不定方程，即丢番图方程：有一个或者几个变量的整系数方程，它们的求解仅仅在整数范围内进行。最后这个限制使得丢番图方程求解与实数范围方程求解有根本的不同。丢番图方程又名不定方程、整系数多项式方程，是变量仅容许是整数的多项式等式。

厉害！

可以。一个代数式中，不同的字母可以取相同的数，只要在字母允许的取值范围内。丢番图方程（Diophantine Equation）：有一个或者几个变量的整系数方程，它们的求解仅仅在整数范围内进行。最后这个限制使得丢番图方程求解与实数范围方程求解有根本的不同。丢番图方程又名不定方程、整系数多项式方程，是变量仅容许是整数的多项式等式

设丢番图的年龄为X岁 (x-4)-(x/6+x/12+x/7+5)=x/2 解得x=84 所以丢番图的年龄为84岁

1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4=x14/84x+7/84x+12/84x+42/84x+9=x75/84x+9=x9/84x=9x=84

请你把题目打出来,虽然我对这题目有一点影响,但我包括其他网友都不可能记题目.所以麻烦你把题目打出来,我记得答案好像是84岁.

答案是84没错啦，但是你的分子跟分母都打反了 应该是这样子啦设寿命为x岁 1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4=x 解得x=84

换一个角度来处理一元二次方程整数解问题问题：一元二次方程（其中a、b、c至少有一个含有参数），求当参数为何整数时，关于x的方程有整数解。此类问题，常规思路是：求出满足△=b2－4ac是一个完全平方数时参数的值，再代入求根公式，使x满足整数；或者利用韦达定理来解。这种解法有时带来很麻烦的计算，甚至有时陷入困境。本文试图从另一个角度来谈这一类问题的解法。其思想方法是转化为不定方程的整数解，这样能体现出抓住问题的本质，使其更快、更简便、更准确地解决问题。下面将介绍几种常用的处理这一类问题的具体方法。一、变量分离法——将其中的一个变量与其它的变量分离开来，再确定整数解。例1 已知方程x2＋px－p＋30=0，当p为何整数时方程两根均为正整数，且求出两根。分析：由x2＋px－p＋30=0得，p(x－1)=－x2－30，显然x≠1，则，因p为整数，x为正整数，所以x=2，32。此时，p= －34，故当p=－34时，方程有两个正整数解，且x1=2，x2=32。例2 当m是什么整数时，关于x的方程的两根都是整数。分析：由得，m(x+1)=－x2+x－1，显然x≠－1，则，因m，x均为整数，所以x=－4，－2，0，2；代入求得相应的m=7，－1。故当m=7或m=－1时，方程的两根均为整数。例3 求出所有这样的正整数a，使得关于x的二次方程至少有一个整数根。（第三届“祖冲之杯”初中数学竞赛题）分析：由得a(x+2)2=2x+12，显然x≠－2，则a=，因为a为正整数，所以≥1，于是解得－4≤x≤2且x≠－2。这样x的可能值为－4，―3，―1，0，1，2；代入检验得a=1,3,6,10。故当a=1,3,6,10时，方程至少有一个整数根。二、分解因式法——通过分解因式，将方程转化两个不定方程或几个不定方程组来解。例4 已知关于x的方程a2x2－(3a2－8a)x+2a2－13a+15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，那末a= （1998年全国初中数学竞赛题）分析：由原方程化为(ax－2a+3)(ax－a+5)=0，于是原方程转化为两个不定方程ax－2a+3=0或者ax－a+5=0，显然a≠0，则 ① 或 ②因a是非负整数，所以由①得a=1,3；由②得a=1,5。故a=1,3,5时，关于x的方程至少有一个整数解。例5 当k为何整数时，关于x的二次方程x2－3kx+2k2－6=0两根都为整数。分析：由x2－3kx+2k2－6=0得(x-2k)(x-k)=6，因x、k为整数，所以原方程化为 x－2k=±2 或 x－2k=±3 或 x－2k=±6 或 x－2k=±1 x－k=±3 x－k=±2 x－k=±1 x－k=±6且x－2k与x－k同号，故得八个不定方程组，解得k=－1，1，－5，5。三、配方估值法——将原方程通过配方，使一边成为一个平方式或几个平方式的和，另一边是一个简单的代数式或数，然后通过估测等方法，缩小某些变量的取值范围，再确定其整数解。 例6 设m为整数，且4<m<40，方程x2－2(2m－3)x+4m2－14m+8=0有两个整数根，求m的值及方程的根。分析：由原方程得x2－2(2m－3)x＋(2m－3)2＝2m＋1，即(x－2m+3)2=2m＋1，因4<m<40，且m、x为整数，所以9<2m+1<81且2m+1是一个完全平方数，同时又是一个奇数，从而得2m+1=25，49，故m=12，24，将m的值代入即可得方程的根。例7 已知m为正整数，求当m取什么值时，关于x的方程3x2－4mx＋3m2－35=0至少有一个整数解。分析：由原方程得9x2－12mx＋9m2=105，则(3x－2m)2+5m2=105，因(3x－2m)2≥0 ，所以5m2≤105，即m2≤21，由m为正整数得m可能取值为1，2，3，4；分别代入检验知，当m=2，3时，无整数解，当m=1，4时方程至少有一个整数解。例8 a、b、c取怎样的整数满足不等式a2+b2+c2+3<ab+3b+2c(1972年匈牙利奥林匹克数学竞赛题)分析：若存在整数a、b、c，使得a2+b2+c2+3<ab+3b+2c成立，则必存在一个正整数m，使得a2+b2+c2+3+m=ab+3b+2c成立，于是将它转化成求一组整数解，且m≥1，将上式配方得=1－m≥0，又由m≥1知m=1，于是得＝0，从而得a=1，b=2，c=1。四、综合分析法——有时我们将上面几种方法同时运用，才能求得其整数解。例9 已知方程，求当a取什么整数时，关于x的方程至少有一个整数解。分析：由原方程配方得，令x+a=p，ax=t，则上式化为3p2-7p-9t=0 ① 且p2≥4t ②由原方程易知，若a=0，则方程有一个整数解0，若a≠0，则，由①得，因a、x为整数，所以p为正整数，t为整数，且3p+2与9互质，从而得p必能被9整除，即p=9，18，27……，又由①、②得4t－p2=，解得，故p=9，代入①得t=20，解得a=4时，x=5或a=5时，x=4。因此当a=0，4，5时，方程有整数解。 以上我们看到关于一元二次方程的整数解问题，实质就是求不定方程的整数解问题中的一类情况。当然有些特殊情形，利用常规思路也是容易求解的，但一般情形转化为不定方程整数解来处理显得自然、简洁，这是本人的一些看法。