圆的标准方程？

焦点在x轴上：（a的平方分之X的平方加上b的平方分之y的平方等于1.）

焦点在y轴上就是x和y反一下！！！！

有木有！！！！！啊！！！

x^2+y^2=r^2

圆心若为（a,b）,半径为r

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

圆的方程

X^2+Y^2=1 被称为1单位圆

x^2+y^2=r^2，圆心O（0，0），半径r；

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。

确定圆方程的条件

圆的标准方程中(x－a)^2+(y－b)^2=r^2中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r，或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：

根据题意，设所求的圆的标准方程(x－a)^2+(y－b)^2=r^2；

根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；

解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程。

编辑本段方程推导

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

在平面直角坐标系中，设有圆O，圆心O(a,b) 点P(x,y)是圆上任意一点。

圆是平面到定点距离等于定长的所有点的集合。[1]

所以√[(x-a)^2+(y-b)^2]=r

两边平方，得到

即(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

编辑本段一般式

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

此方程可用于解决两圆的位置关系

配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4

其圆心坐标：（-D/2,-E/2）

半径为r=[√（D^2+E^2-4F）]/2

此方程满足为圆的方程的条件是:

D^2+E^2-4F>0

若不满足,则不可表示为圆的方程

已知直径的两个端点坐标A（m，n）B(p，q）设圆上任意一点C（x，

Y）。则有：向量AC*BC=0 可推出方程：（X-m）*（X-p）+（Y-n）*（Y-q）=0 再整理即可得出一般方程。

点与圆

点P（X1,Y1) 与圆 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：

⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。

⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。

⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。

圆与直线

平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：

如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：

当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；

当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；

半径r，直径d

在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4

=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)

其实只要保证X方Y方前系数都是1

就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)

这可以作为一个结论运用的

且r=根号（圆心坐标的平方和-F）

练习

同步达纲练习A级

一、选择题

1.若直线4x-3y-2=0与圆x^2+y^2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是( )A.-3<a<7 B.-6<a<4C.-7<a<3 D.-21<a<19

2.圆(x-3)^2+(y-3)^2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.使圆(x-2)^2+(y+3)^2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( )A.(5，1) B.(3，-2)C.(4，1) D.( +2， -3)

4.若直线x+y=r与圆x^2+y^2=r(r>0)相切，则实数r的值等于( )A. B.1 C. D.2

5.直线x-y+4=0被圆x^2+y^2+4x-4y+6=0截得的弦长等于( )A.8 B.4 C.2 D.4

二、填空题

6.过点P(2，1)且与圆x^2+y^2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 .

7.设集合m={(x,y)|x^2+y^2≤25},N={(x,y)|(x-a)^2+y^2≤9}，若M∪N=M，则实数a的取值范围是 .

8.已知P(3，0)是圆x^2+y^2-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是( )，过点P的最长弦所在直线方程是 .

三、解答题

9.已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，若OP⊥OQ(O是原点)，求m的值.

10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C：y=1+ 有两个不同的交点，求实数k的取值范围.

参考答案同步达纲练习A级

1.B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.x=2或3x-4y-2=0 7.-2≤a≤2 8.x+y-3=0，x-y-3=0 9.m=3 10.( , )

总结

定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

（2)平面上一条线段，一个端点绕它的另一个端点旋转一周，所留下的轨迹叫圆。

圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心

（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。

（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。

（4） 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注：圆心一般用字母O表示

直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。

圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2，用字母S表示。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

直线与圆

位置关系

⑴直线与圆相交（d<r），有两个公共点。

⑵直线与圆相切（d=r），只有一个公共点。

⑶直线与圆相离（d>r），没有公共点。

代数法

如果直线方程y=kx+m，圆的方程为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2,将直线方程代入圆的方程，消去y，得关于x的一元二次方程Px^2+Qx+R=0(P≠0),那么：

a.当△<0时，直线与圆没有公共点；

b.当△=0时，直线与圆相切；

c.当△>0时，直线与圆相交。

几何法

求出圆心到直线的距离d，半径为r

　　d>r，则直线与圆相离

　　d=r，则直线与圆相切

　　d<r，则直线与圆相交

判断步骤

①计算两圆的半径，r1，r2；

②计算两圆的圆心距d；

③根据d与r1，r2之间的关系，判断两圆的位置关系.

判断公式

若两圆的方程分别为C1：(x－x1)^2+(y－y1)^2=r1^2，C2：(x－x2)^2+(y－y2)^2=r2^2：

则两圆外离r1+r2<d；

两圆外切r1+r2=d；

两圆相交|r1－r2|<d<r1+r2；

两圆内切|r1－r2|=d；

两圆内含|r1－r2|>d.

代数

将两个圆方程联立，消去其中的一个未知数y或x，得关于x或y的一元二次方程.

若方程中△>0，则两圆相交；

若方程中△=0，则两圆相切；

若方程中△<0，两圆外离或内含.（此方法仅用于判断两个圆的位置关系，不适用于其他的二次曲线的位置关系的判断问题）

圆系方程

经过两圆x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0与x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0的交点圆系方程为：

x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)

例题：求过两圆x2+y2=25和(x-1)2+(y-1)2=16的交点且面积最小的圆的方程。

分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。

解：圆x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的公共弦方程为

x^2+y^2-25-[(x-1)^2+(y-1)^2-16]=0，即2x+2y-11=0

过直线2x+2y-11=0与圆x^2+y^2=25的交点的圆系方程为

x^2+y^2-25+λ(2x+2y-11)=0，即x^2+y^2+2λy+2λx-(11λ+25)=0

依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(-λ,-λ)必在公共弦所在直线2x+2y-11=0上。即-2λ-2λ+11=0，则λ=-11/4

代回圆系方程得所求圆方程(x-11/4)^2+(y-11/4)^2=79/8