圆的标准方程。

解：设圆的标准方程为（x-a）^2+（y+3a/2）^2=r^2

由题得：

（-2-a）^2+（9/4）*a^2=r^2

（6-a）^2+（9/4）*a^2=r^2

联立解得：a=2，r=5

所以，圆的标准方程为：

（x-2）^2+（y+3）^2=25

圆上一点的切线方程：

如果在平面直角坐标系中还可以直接将直线方程与圆的方程联立得出：

若△>0 则该方程有两个根，即直线与圆有两个交点，相交；

若△=0 则该方程有一个根，即直线与圆有一个交点，相切；

若△<0 则该方程有零个根，即直线与圆有零个交点，相离。

 圆的标准方程:(x-a)²+(y-b)²=R²。

圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。如果已知：(1)圆半径长R；(2)中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定(如下图)。根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程。结论如下：（x-a）²+（y-b）²=R²。

圆的一般方程：

圆的标准方程是一个关于x和y的二次方程，将它展开并按x、y的降幂排列，得：

x²+y²-2ax-2by+a²+b²-R²=0

设D=-2a，E=-2b，F=a²+b²-R²；则方程变成：

x²+y²+Dx+Ey+F=0

任意一个圆的方程都可写成上述形式。把它和下述的一般形式的二元二次方程比较，可以看出它有这样的特点：

1、x2项和y2项的系数相等且不为0(在这里为1)；

2、没有xy的乘积项。

圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r，或直接求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为：

根据题意，设所求的圆的标准方程

(x-a)²+(y-b)²=r²中；

根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；

解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程。

圆的性质

⑴圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理

① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。

圆的标准方程：（x-a）²+（y-b）²=R²。

圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）。

圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。如果已知：圆半径长R；中心A的坐标，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定。

根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程，结论如下：（x-a）²+（y-b）²=R²。

圆的端点式：

若已知两点A（a1，b1），B（a2，b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0

圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆 x²+y²=r²上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0·x+b0·y=r²

在圆（x²+y²=r²）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A，B，则A，B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r²。

圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

一般式为：

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

标准式为：

(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=[(根号下D^2+E^2-4F)/2]^2

既

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

圆的相关定理

1、切线定理

垂直于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：

（1）经过切点垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。

（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

2、切线长定理

从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

以下简述切线长定理的证明。

欲证AC = AB，只需证△ABO≌ △ACO。

设OC、OB为圆的两条半径，又∠ABO = ∠ACO=90°

在Rt△ABO和Rt△ACO中

∴Rt△ABO ≌ Rt△ACO（H.L）

∴AB=AC，且∠AOB=∠AOC，且∠OAB=∠OAC。

圆的标准方程：（x-a）²+（y-b）²=R²

圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。如果已知：圆半径长R；中心A的坐标（a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定。根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程。结论如下：（x-a）²+（y-b）²=R²

当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x²+y²=R²

圆与圆的位置关系的判断方法

设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。则有以下五种关系：

1、d>R+r两圆外离；两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。

2、d=R+r两圆外切；两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。

3、d=R-r两圆内切；两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。

4、d＜R-r两圆内含；两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之差。

5、d＜R+r两园相交；两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之和。

圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

一般式为：

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

标准式为：

(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=[(根号下D^2+E^2-4F)/2]^2

既

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

推论：

可以证明，形如

一般表示一个圆。为此，将一般方程配方，得：

为此与标准方程比较，可断定：

(1)当D2+E2-4F>0时，一般方程表示一个以

为圆心，为半径的圆。(2)当D2+E2-4F=0时，一般方程仅表示一个点，叫做点圆(半径为零的圆)。

(3)当D2+E2-4F<0肘，没有一个点的坐标满足圆的一般方程，即一般方程不表示任何图形，叫做虚圆。

圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程式上的特点，便于区分曲线的形状。

圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定；

因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

几何法

求出圆心到直线的距离d，半径为r：

d>r，则直线与圆相离；

d=r，则直线与圆相切；

d<r，则直线与圆相交。

圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

一般式为：

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

标准式为：

(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=[(根号下D^2+E^2-4F)/2]^2

既

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

圆的性质：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

x^2＋y^2＝r^2，圆心O（0，0），半径r；(x－a)^2＋(y－b)^2＝r^2，圆心O（a，b），半径r。

有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

与圆相关的公式：

1、圆面积：S=πr²，S=π(d/2)²。（d为直径，r为半径）。

2、半圆的面积：S半圆=(πr^2)/2。（r为半径）。

3、圆环面积：S大圆-S小圆=π(R^2-r^2)(R为大圆半径，r为小圆半径)。

4、圆的周长：C=2πr或c=πd。（d为直径，r为半径）。

5、半圆的周长：d+(πd)/2或者d+πr。（d为直径，r为半径）。

6、扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n，如下：

S=n/360×πr²

S=πr²×L/2πr=Lr/2（L为弧长，r为扇形半径）

x^2＋y^2＝r^2，圆心O（0，0），半径r；(x－a)^2＋(y－b)^2＝r^2，圆心O（a，b），半径r。

有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

与圆相关的公式：

1、圆面积：S=πr²，S=π(d/2)²。（d为直径，r为半径）。

2、半圆的面积：S半圆=(πr^2)/2。（r为半径）。

3、圆环面积：S大圆-S小圆=π(R^2-r^2)(R为大圆半径，r为小圆半径)。

4、圆的周长：C=2πr或c=πd。（d为直径，r为半径）。

5、半圆的周长：d+(πd)/2或者d+πr。（d为直径，r为半径）。

6、扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n，如下：

S=n/360×πr²

S=πr²×L/2πr=Lr/2（L为弧长，r为扇形半径）