圆的面积的推导过程

圆面积s=7(d/3)²

人们都清楚的认识到：正6边形1次倍边成的是正12边形、2次倍边成的是正24边形、3次倍边成的是正48边形、……n次倍边成的就给它叫正6×2ⁿ边形(简称正n边形)。“正n边形的周长与过中心点的对角线之比(是3.1415926……比1)叫做正n边率”。(n是一个不可丢失或忽略的0、1、2、3…无限无穷大的无极限的自然数)。

由于n是表示无限无穷大的无极限的自然数，所以正n边率(3.1415926……所谓π值)也是一个无限无穷大无极限的数。

当圆的直径与正n边形过中心点的对角线重叠时，虽然直径和对角线的长短相等。但是二者的周长并没有重叠，只是近似、接近、趋近或相当于就是不等于。原因是任一条线上的点都是无限的，内接正n边形周长上的点也就永久都不会与圆上的点完全重叠，                   

若内接正n边形与圆分开，那么求正n边率还依然是正n边率、求圆周率也依然是圆周率。

正n边率不等于圆周率；圆周率也不等于正n边率。

因为圆周率是指：“圆周长与直径的比”，它们的比是6+2√3比3；而正n边率是指：“正n边形的周长与过中心点的对角线的比”，它们的比是3.1415926……比1。

为此，正n边形的周长公式2πR只是代替圆周长公式，并非等于圆周长；正n边形的面积公式πR²只是代替圆面积公式，并非等于圆面积。

从客观上讲：圆是圆，正n边形是正n边形。当正n边形套上外接圆时，用圆内接正n边形的周长公式2πR来计算周长、周长必然小于圆周长；当圆套上外切正n边形时，用圆外切正n边形的面积公式πR²来计算面积、面积必然大于圆面积(注意：其实πR²是圆的外切正n边形面积与长方形面积的相互等积转化，并非圆面积与长方形面积的相互等积转化)。

为此π取正n边率的同一个值时，会给公式2πR和πR²存在着：π要想满足公式2πR,就会背离公式πR²；π要想满足公式πR²,就会背离公式2πR的自相矛盾的问题。

根据爱因斯坦的“相对论”原理推出：“物质与物质聚集结合成一个(固、液、汽)整体叫物体；一个被空间包围着的物体的大小所含单位立方的多少叫做体积。非物质与非物质聚集结合成一个完整的真空叫空间；一个被物体包围着的空间的大小所含单位立方的多少叫做容积。”

由于物体与空间的区别是物质与非物质的区别，所以宇宙是由物质和非物质构建的、是物体和空间共同占据了大自然。

因此, 世上所有物体和所有空间都是与生俱有相对共存的。二者静止状态下，根本就不存在“物体占据空间或空间占据物体”的问题。只有物体与空间以等量的一个物体体积与一个空间容积对换位置、产生物体与空间互动，才会出现“物体占据空间的同时、空间又占据了物体”。因为物体体积和空间容积是相对的，所以体积与容积也是相对的。二者缺一不可，否则物体就无法运动或搬运。

由于体积与容积相对的最小极限是零(也就是几何点是指：零体积或零容积、零面积或零空积、零长度或零距离的零点)；而物体的体积与空间的容积都大小无限不为零，(也就是：体积或容积、面积或空积、长度或距离都大于零)不存在最大或最小，大小无极限。

所以无限等份几何中的体、面、线的每个无穷小依然是一个无限无穷小，无极限。无限无穷小就是无限无穷小，无限无穷小不等于最小的极限零点。

以上是“相对论”当中《正负几何论》与“极限”的冰山一角。

因此，过去人们等份圆面、来等积转化拼成长方形面的起点就是一个误解。也就是圆面积s不等于长方形面积πR²，确切的讲：“圆面积s=7(d/3)² ”(d表示直径)。π取3.1415926……也不是圆的周长与直径的比，准确的说：“它是正n边形的周长与过中心点的对角线的比”。

那么，为什么说：“圆面积等于直径三分之一平方的七倍”呢?

这得要从软化等积变形说起。

例如：一块长7米、宽1米、高1米的长方体橡皮泥，它的上面或下面的长方形面积分别都是7平方米。当7立方米的长方体橡皮泥等积变成高1米的一个圆柱体时，它的上底或下底圆面积会依然是7平方米。也就是一个7平方米的长方形面积软化等积变成了一个7平方米的圆面积。如果把1个单位长用a表示，那么一个7平方米的圆面积就是7a² 。为此任一个圆面积S都可以看做为7a²。

向左转|向右转

下面由棋盘上的每个方格为一个a²来分析：七个a² 软化等积变成一个(图-1)圆面积是7a²；圆面积7a²再软化等积变成一个(图-2)H形面积也是7a²；在(图-2)H形上，另外增加两个a²就拼成了一个(图-3)大正方形面积9a²；把这三个图形称为(上三图)。它们各自面积的大小都是一同随着a的大小变化着的。

一个棋子为一个圆点,七个棋子就是七个圆点,圆点的直径Q叫点径。中间一个圆点,外围六个圆点，围绕一周排列相切构成一个(图-4)圆形轮廓,轮廓的外切圆面积是s、直径是3Q；再由七个圆点排列相切构成一个(图-5）H形轮廓,轮廓的外切H形面积是7Q²；最后用九个圆点排列相切构成一个(图-6)正方形轮廓,轮廓的外切正方形面积是9Q²。把这三个图形称为(下三图),它们各自外切形面积的大小都是一同随着点径Q的大小变化着的。

以上六个图形不难看出：                                                    

(图-1)圆面积7a²和(图-2)H形面积7a²分别都是(图-3)大正方形面积9a²的九分之七，(图-4)外切圆是(图-6)外切正方形的内切圆。

从六个图形的上下对着看：由于，第一组、（图-1）圆与(图-4）外切圆相似；第二组、(图-2)H形与(图-5)外切H形相似；第三组、(图-3)大正方形与（图-6）外切正方形相似。所以它们每一组相似形的面积和面积是否相等,都与a和Q有关；或a和Q是否相等,都与每一组相似形的面积和面积有关。                                                  

当a=Q时，很明显：第二组和第三组的相似形都是：a和Q相等，相似形的面积与面积就相等(7a²=7Q²、9a²=9Q²)；或相似形的面积与面积相等(7a²=7Q²、9a²=9Q²)，a和Q就相等。

但第一组相似形是否a和Q相等、面积与面积就相等呢？

这得需要通过数据来推理证实：

已知：(图-4)外切圆面积s是63平方厘米、a和Q又相等。此时(图-4)这个63平方厘米的圆面积，它既锁定了(下三图)各自对应的面积也锁定了(上三图)各自对应的面积。

因为a等于Q，所以(图-4) 63平方厘米的一个圆既是（图-6）正方形的内切圆也是(图-3)大正方形的内切圆。为此（图-6）和(图-3)的内切圆面积也分别都是63平方厘米。

由于(图-3)大正方形能做为63平方厘米的圆的外切正方形，是根据大正方形的边长3a等于内切圆的直径3Q(内切圆的直径3Q又是根据63平方厘米的圆面积产生的)。

所以(图-3)内切圆面积的任意大小，都会改变(图-3)大正方形的边长3a的大小，使边长3a不等于63平方厘米的圆的直径3Q，(图-3)大正方形也就不能做为63平方厘米的圆的外切正方形。

如果(图-3)内切圆面积大于63平方厘米，那么(图-2) 7a²的H形和(图-3)9a²的大正方形就会同时对应变大(7a²>7Q²、9a²>9Q²)。显示出9a²的大正方形向外扩展，脱离了已知63平方厘米的内切圆)，产生边长3a大于直径3Q，违背了a等于Q。

如果(图-3)内切圆面积小于63平方厘米，那么(图-2) 7a²的H形和(图-3)9a²的大正方形就会同时对应变小(7a²<7Q²、9a²<9Q²)。显示出9a²的大正方形向内收缩，也会脱离了已知63平方厘米的内切圆，产生边长3a小于直径3Q，也违背了a等于Q。

因此，只有(图-3)内切圆面积等于(图-4)外切圆面积63平方厘米，才能7a²=7Q²、9a²=9Q²，使9a²的大正方形作为63平方厘米的圆的外切正方形。同时大正方形的边长3a也等于内切圆的直径3Q，保持a与Q相等。所以(图-3)大正方形的大小是根据已知63平方厘米的内切圆确定的。

由此可见：对任一个圆面积的大小都是如此。当(图-1)圆与(图-3) 63平方厘米的内切圆重叠时。

如果(图-1)圆面积7a²大于63平方厘米，那么(图-2) 7a²的H形和(图-3)9a²的大正方形就会同时对应变大(7a²>7Q²、9a²>9Q²)。显示出9a²的大正方形向外扩展，脱离了已知63平方厘米的内切圆，产生边长3a大于直径3Q，出现a也大于Q。

如果(图-1)圆面积7a²小于63平方厘米，那么(图-2) 7a²的H形和(图-3)9a²的大正方形就会同时对应变小(7a²<7Q²、9a²<9Q²)。显示出9a²的大正方形向内收缩,也会脱离了已知63平方厘米的内切圆,产生边长3a小于直径3Q，出现a也小于Q。

因此，只有(图-1)圆面积7a²等于(图-3)内切圆面积63平方厘米，才能7a²=7Q²、9a²=9Q²，使9a²的大正方形作为63平方厘米的圆的外切正方形。同时正方形的边长3a也与63平方厘米的圆的直径3Q相等，保持a等于Q。所以(图-1)圆面积7a²的大小是根据(图-3)内切圆面积确定的。

证实了：(图-1)圆面积7a²等于(图-4)外切圆面积s。也说明了：“圆面积是它外切正方形面积的9分之7”。

因为圆面积S=7a²，所以a=√s/7. 也就是说：如果(图-3)正方形的内切圆面积是7平方厘米，那么a=√7/7=1厘米。如果(图-3)正方形的内切圆面积是28平方厘米，那么a=√28/7=2厘米。如果(图-3)正方形的内切圆面积是63平方厘米，那么a=√63/7=3厘米。

上述证明了：第一组相似形同样是：a和Q相等、相似形的面积与面积就相等。

为此，推出它们三组相似形：每一组相似形的面积和面积相等,a和Q就相等；或a和Q相等,每一组相似形的面积和面积就相等。

同时也发现了这样一部公理：“如果圆面积是7a²，那么它的外切正方形面积就是9a²”。

根据公理推出定理：“圆面积等于直径三分之一平方的七倍”。

圆的面积公式：∵s=7a². d=3a.

∴s=7(d/3)².                        向国庆“70”周年献礼！

HPFYKG  一位不识字的数学发现  dongjingui二〇一四年六月二十七日

S=派R^2

设圆的方程：x^2+y^2=R^2 (x,y是圆在平面直角坐标系中的坐标，R为半径。)

取第一象限的四分之一圆，积分 得出1/4个圆面积*4=派R^2

教学内容:九年义务教育六年制小学数学第十一册第115页至116页。

教学目的:

1.通过操作,引导学生推导出圆面积的计算公式,并能运用公式解答一些简单的实际问题。

2.激发学生参与整个课堂教学活动的学习兴趣,培养学生的分析、观察和概括能力,发展学生的空间观念。

3.渗透转化的数学思想和极限思想。

教学重点:圆面积公式的推导。

教学关键:弄清圆与转化后的近似图形之间的关系。

教具:多媒体计算机、幻灯片。

学具:16等份和32等份的圆形、剪刀、刻度尺、一张圆形纸片。

教学过程:

一、设疑导入

1.启发学生回忆平行四边形、三角形和梯形面积计算公式的推导过程。(微机演示)

2.微机显示一个圆,再把圆涂成红色。提问:这是什么图形?看到圆想到什么?圆所围平面部分的大小叫什么?(圆的面积)出示课题。怎样计算圆的面积呢?请同学们思考。

[评:通过对旧知的回忆,激起学生从旧知识探索新知识的兴趣,并决定思想方向,有利于学生想象能力的培养。]

二、新课教学

1.通过度量,猜想圆面积的大小。

用边长等于半径的小正方形透明塑料片,直接度量圆面积,

(如图)观察后得出圆面积比4个小正方形小,好象又比3

个小正方形大一些。初步猜想:圆的面积相当于r2的3倍多

由此看出,要求圆的精确面积通过度量是无法得出的。我们在学习推导几何图形的面积公式时,总是把新的图形经过分割、拼合等办法,将它们转化成我们熟悉的图形,今天我们能不能也用这样的方法推导出圆面积的计算公式呢?

[评:这一探索性地设问,使学生产生悬念,引入深思。它与得出圆面积计算公式后的验证,前后呼应,融为一体。使学生对圆面积与r2的倍数关系,获得十分鲜明的表象,而且有助于避免与圆周长的计算公式(C=2πr)产生混淆。]

2.学生操作。

(1)学生分别把16等份和32等份的圆形剪开,拼成两个近似的长方形。(微机显示)老师提问:

①拼成的图形是长方形吗?(是近似的长方形,因为它的上下两条边不是线段。)

②圆和近似的长方形有什么关系?(形状变了,但面积相等)

③把圆16等份和32等份后,拼成的图形有什么区别?(32等份后拼成的图形更接近于长方形)

如果把一个圆等分成64份、128份……拼成的长方形会怎样呢?(微机显示)(圆等分的份数越多,拼成的图形越接近于长方形。)

④近似长方形的长相当于圆的哪一部分?怎样用字母表示?(圆周长的一半，C/2=πr),它的宽是圆的哪一部分?(半径r)

⑤你能推导出圆面积计算公式吗?

[评:指导学生自己动手,并通过微机演示,把一个圆剪拼成近似的长方形,从长方形面积公式,推出圆面积计算公式。这样,可以培养学生初步的空间想象力,也可以渗透以直代曲的辩证唯物主义观点。]

(2)把圆16等份分割后拼插成近似的平行四边形,平行四边形的底相当于圆周长的四分之一（C/4=πr/2）,高等于圆半径的2倍(2r),所以S=πr/2·2r=πr2 (见图一)

(3)把圆16等份分割后可拼插成近似的等腰三角形。三角形的底

相当于圆周长的1/4,高相当于圆半径的4倍,所以S=1/2·2πr/4r=πr2

(见图二)。

(4)把圆分割后,可拼成近似的等腰梯形。梯形上底与下底的和就是圆周长的一半,高等于圆半径的2倍,所以S=1/2·πr·2r=πr2 (见图三)。

3.小结:无论我们把圆拼成什么样的近似图形,都能推导出圆的面积公式S=πr2,验证了原来猜想的正确。说明在求圆的面积时,都要知道半径。

4.比较圆周长和圆面积的计算公式,找出联系和区别,加强记忆。两个公式都与π有关,但圆周长等于直径长度的π倍,而圆面积等于以半径为边长的正方形面积的π,即r2等的π倍。

5.自学例1。注意书写格书和运算顺序。

[评:引导学生通过多次不同的实验,采用转化的方法,利用等积变形把圆面积转化成近似的长方形、等腰三角形和等腰梯形,从而推导出圆面积计算公式。同时,利用计算机的演示,化静为动,化虚为实,帮助学生把抽象的内容具体化,进一步加深对圆面积公式推导过程的理解。

三、看书质疑

四、巩固练习

1.看图计算圆的面积。

2.根据下面的条件,求圆的面积。

r=6厘米 d =0.8厘米 r=1.5分米

3.一块圆形铁板的半径是3分米,它的面积是多少平方分米?

4.要求一张圆形纸片的面积,需测量哪些有关数据?比比看谁先做完,谁想的办法多?

(1)可测圆的半径,根据S=πr2求出面积。

(2)可测圆的直径,根据S=π(d/2)2求出面积。

(3)可测圆的周长,根据S=π·(c/2π)2求出面积。

[总评:这节课有两大特色:

一、始终把学生放在学习的主体地位,有目的地培养学生获取知识的能力。

学习是学生的内部活动,因此,在课堂教学中既重视其学习结果,更要重视学习过程,培养学生自己探索获取知识的能力。这节课的教学,紧紧抓住"圆面积公式的推导"这一教学重点,敢于放手让学生自己动手操作,归纳推理。通过学生多次不同的剪拼,采用假设、转化、想象等方法,利用等积变形把圆面积转化成其他的平面图形,逐步归纳概括出圆面积的计算方法。这样多层次的操作,多角度的思考,既沟通了新旧知识的联系,又最大限度地激发了学生的求知欲,学生学习兴趣盎然,课堂气氛十分活跃,使学生不仅知其然,更知其所以然。

(二)运用现代教学手段辅助课堂教学,提高了教学效率。

计算机辅助课堂教学,有其直观、形象而又生动的特点,它能使静态的画面动态化,抽象的内容形象化,同时还不受时间和空间的限制,这节课恰当地运用了微机演示,充分调动了学生的学习兴趣,提高了课堂教学的效率,是其它教学手段无法比拟的。]

利用求条件极值的拉格朗日乘数法给出了空间中点P(x0,y0,z0)到直线{A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0 距离的一个公式:d=|(A1x0+B1y0+C1z0+D1)n→2-(A2x0+B2y0+C2z0+D2)n→1||n→1×n→2|其中n→i={Ai,Bi,Ci},(i=1,2)

很简单： 把一个圆沿半径剪成若干等份，再让一系列圆心角互相咬合，便拼成了一个近似的长方形；而且，平分的份数越多，拼成的与长方形越近似；可以想象，若能无限分割，则就拼成了一个长方形，长相当于圆周长的一半，宽就是圆的半径，所以 S长=a*b=πr*r=πr²

求采纳！~

可以想象把一个圆展开

他就成里一个底=圆周长 高=半径 的"三角形"

(扇形本身就象个三角形嘛 想象一下)

因为 三角形面积=底*高/2

所以圆面积= 圆周长 * 半径 /2

= 2лr * r /2

= л×r×r

把圆分成若干小扇形，拼成一个近似的长方形（正方形），求出长或正方形的面积就ok了

我说一下大概过程，你自己推吧。

做圆的无数条直线，把它分成无数分，每分的面积很小。

这样，类似分成无数个小三角行。因为当分成无数份时，

弧长几乎等于三角形的底边长。则此时圆的面积就等于无数个三角形的面积之和。无数个三角形的面积=n*1/2*高*底边长

n*底边长=圆周长=2pai*r 高几乎等于r

圆的面积=1/2*r*2pai*r=pai*r*r

圆周长推导

找几个圆形的物体，分别量出它们的周长和直径，并计算出周长和直径的比值。通过试验和统计，我们可以知道，圆的周长总是直径的三倍多一些。那么，任何圆的周长和直径的比值都是一个固定的数（圆周率）。因为圆的周长总是直径的∏倍，当我们知道圆的直径或者半径时，就可以算出它的周长。即

c=

∏

d

c=2

∏

r.

圆面积的推导：

在硬纸板上画一个圆，把圆分成若干等分，剪开后用这些近似的等腰三角形的小纸片拼一拼，就可以拼成一个近似的平行四边形。如果分的分数越多，每一份会越细。拼成的图形就会越接近长方形。长方形的长等于圆周长的一半，即

r

,

宽等于圆的半径

r

，因为长方形的面积

=

长×宽，所以园的面积

=r

×

r

=

r²

即

s=

∏

r²