智慧树知到《概率论与数理统计（天津大学）》2023见面课答案

如果你用的是上海交通大学出版社出版的<<概率论与数理统计>>它的指数分布的数学期望是λ,方差是λ的平方,但是它的指数分布的概率密度与高教出版社的不同,需要你注意,提醒一下.

指数分布的方差为1/λ^2所以E（s^2）=1/λ^2

解：因为随机变量X服从参数为1的指数分布，所以f(x)=e^(-x)(x>0时)而f(x)=0(x<=0时)E（X+e^(-2X))=E(X)+E（e^(-2X))[令g(x)=e^(-2x)]=1+∫f(x)g(x)dx(0到无穷大积分)=1+∫e^(-3x)dx=4/3

不管是什么分布,期望是mean(x),方差是std(x)

import numpy as npx = np.random.poisson(lam=12, size=30) #lam就是均值和方差λ啦，size是产生多少个随机数print(x)

利用方差计算公式D(x)=E(x^2)-（E(x)）^2，E(x^2)和E(x)利用指数分布的概率密度函数在概率空间上积分可以求出。

二项分布X~B(n,p) E（X）=np Var(X)=npq 泊松分布X~P(λ) E（X）= Var(X)= λ^(-1) 均匀分布X~U（a,b） E（X）=（b+a)/2 Var（X）=(b-a)^(2) /12 指数分布X~E（λ） E（X）= λ^(-1) Var（X）= λ^(-2) 正态分布X~N(μ,σ^2 ) E（X）= μ Var（X)=σ^2

X~E(r)f(x)=re^(-rx)，x>0；0，x<=0E(X)=∫xre^(-rx)dx=-∫xd(e^(-rx))=-xe^(-rx)+∫e^(-rx)dx=1/rE(X^2)=∫x^2re^(-rx)dx=-∫x^2de^(-rx)=-x^2e^(-rx)+2∫xe^(-rx)dx=0+(2/r)∫xre^(-rx)dx=2/r^2D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=1/r^2在这里求定积分太难表示了，总之是用分部积分，求期望时那个积分用了一次分部积分公式，求方差时用了两次

六个常见分布的期望和方差：1、均匀分布，期望是（a+b）/2，方差是（b-a）的平方/12。2、二项分布，期望是np，方差是npq。3、泊松分布，期望是p，方差是p。4、指数分布，期望是1/p,方差是1/(p的平方)。5、正态分布，期望是u，方差是&的平方。6、x服从参数为p的0-1分布，则e(x)=p，d(x)=p(1-p)。方差计算注意事项协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差，而不是不同样本之间的，结合下面的2理解，每个样本有很多特征，每个特征就是一个维度。根据公式，计算协方差需要计算均值，那是按行计算均值还是按列，协方差矩阵是计算不同维度间的协方差，要时刻牢记这一点。

E(x+y)=Ex+Ey=1/5+3/5=0.8D(x+y)=Dx+Dy+cov(x,y)=1/25+9/25+cov(x,y)需要知道x,y的协方差,若相互独立，则D(x+y)=Dx+Dy=1/25+9/25=0.4

个人拙见，如有错误请各位指出，互相讨论，共同进步

一．方差的概念与计算公式 例1 两人的5次测验成绩如下： X： 50，100，100，60，50 E(X )=72； Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。 平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。 方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。 单个偏离是 消除符号影响 方差即偏离平方的均值，记为D(X )： 直接计算公式分离散型和连续型，具体为： 这里 是一个数。推导另一种计算公式 得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即 ， 其中 分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差，方差描述波动程度。 二．方差的性质 1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）； 2． D(CX )=C2 D(X ) （常数平方提取）； 证： 特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值） 3．若X 、Y 相互独立，则 证：记 则 前面两项恰为 D(X )和D(Y )，第三项展开后为 当X、Y 相互独立时， ， 故第三项为零。 特别地 独立前提的逐项求和，可推广到有限项。 三．常用分布的方差 1．两点分布 2．二项分布 X ~ B ( n, p ) 引入随机变量 Xi （第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布） ， 3．泊松分布（推导略） 4．均匀分布 另一计算过程为 5．指数分布（推导略） 6．正态分布（推导略） ~ 正态分布的后一参数反映它与均值 的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。 例2 求上节例2的方差。 解 根据上节例2给出的分布律，计算得到 工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。

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EX=1/y DX=1/(y^2) 不需要算的

是这样，你这里，m就是，也就是均值，也就是你下面说的x拔，这三者是一个意思。EX=(x1+x2+...+xn)/n方差DX=【(x1-EX)平方+（x2-EX）平方+...（xn-EX）平方】/n望采纳，谢谢

如果单位时间发生的次数（如到达的人数）服从参数为r的泊松分布,则任连续发生的两次时间的间隔时间序列服从参数为r的指数分布

1、什么是方差呢？可以说是建立在数学期望基础上的概念，什么是数学期望呢？详见扩展：《关于数学期望由来？？》从方差的概念中：X-E(x),可以看出是随机变量X的取值偏离E(x)平均程度的值，可能是正，也可能是负，再取平方之后，都是正。可见方差是对数学期望的偏离程度的放大。如果说数学期望是对一条曲线整体波动性的描述（用值 X 概率，再相加或积分），那么方差则更深入到这个波动性的内部，提示了波动性产生的原因（也就是偏离程度，用随机变量X的平方的数学期望 减去 X的数学期望的平方）。也就是计算方差公式：公式很重要！！！！！！2、常见离散型随机变量方差：0-1分布: D(x)=p(数学期望） * （1-p)二项分布： D(x)=np * (1-p)泊松分布： D(x)=lambda(与数学期望一样）3、常见连续型随机变量的方差：均匀分布： D(x)=frac{(b-a)^{2}}{12},区间长度的平方除以12指数分布： D(x)=frac{1}{lambda ^{2}}正态分布： D(x)=sigma^24、方差的性质：扩展：关于数学期望由来？？整个随机变量的数学特征，数学期望描述的是随机变量取值的平均程度。方差描述的是随机变量的取值偏离其数学期望的偏离程度。相关系数描述的是两个随机变量之间的相互关系，是不是具有线性关系。可见，前两个都是随机变量的取值的特征，也是最先想到的，至于为什么用平均程度来衡量呢？书中提到个词“波动性”就很关键了，这也是其中的原因。离散型随机变量的数学期望：为什么离散型随机变量的数学期望是通过不同值乘其对应概率，相加得到的呢？可以从其离散型随机变量图形得到，每个具体的值（在x轴），分别对应一个不同的概率值，相加后自然会得到一个值，对于同一个事物研究这个和，仿佛没有什么意义，但当相同的事物大于2个的时候，和越大，说明这个事物的波动性越大，越不稳定，从而具有现实意义和价值。需要记忆的常见离散型随机变量的数学期望：0-1分布：P{X=1},P{X=0}=1-p,EX=1*p+0*(1-p)=p二项分布：Xsim(n,p) , EX=np泊松分布

根据指数分布的定义，其概率密度函数为：f(x) = λe^(-λx)，其中 λ = 3因此，X的期望值为：E(X) = ∫[0,∞] x * f(x) dx = ∫[0,∞] x * 3e^(-3x) dx通过分部积分法，可以得到：E(X) = [-x * e^(-3x) / 3] [0,∞] + ∫[0,∞] e^(-3x) / 3 dx由于当x趋近于无穷大时，e^(-3x)趋近于0，因此第一项为0，第二项可以通过积分计算得到：E(X) = [-e^(-3x) / 9] [0,∞] = 1/3因此，X的期望值为1/3。由于Y = 2X + 1，因此Y的期望值为：E(Y) = E(2X + 1) = 2E(X) + 1 = 2/3 + 1 = 5/3接下来计算Y的方差：Var(Y) = Var(2X + 1) = 4Var(X)因此，我们只需要计算X的方差即可。根据指数分布的性质，X的方差为：Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2其中，E(X^2)可以通过类似于计算E(X)的方法得到：E(X^2) = ∫[0,∞] x^2 * f(x) dx = ∫[0,∞] x^2 * 3e^(-3x) dx通过分部积分法，可以得到：E(X^2) = [-x^2 * e^(-3x) / 3] [0,∞] + ∫[0,∞] 2x * e^(-3x) / 3 dx由于当x趋近于无穷大时，x^2 * e^(-3x)和2x * e^(-3x) / 3都趋近于0，因此第一项为0，第二项可以通过积分计算得到：E(X^2) = [2 * e^(-3x) / 9] [0,∞] = 2/9因此，X的方差为：Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2/9 - (1/3)^2 = 1/9因此，Y的方差为：Var(Y) = 4Var(X) = 4/9

　　方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。以下是我整理的总结归纳方差的性质，一起来看看吧。 　　总结归纳方差的性质 篇1 　　一.方差的概念与计算公式 　　例1 两人的5次测验成绩如下： 　　X： 50，100，100，60，50 E(X )=72; 　　Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。 　　平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。 　　方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。 　　单个偏离是 　　消除符号影响 　　方差即偏离平方的均值，记为D(X )： 　　直接计算公式分离散型和连续型，具体为： 　　这里 是一个数。推导另一种计算公式 　　得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。 　　其中，分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差，方差描述波动 　　二.方差的性质 　　1.设C为常数，则D(C) = 0(常数无波动); 　　2. D(CX )=C2 D(X ) (常数平方提取); 　　证： 　　特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差无负值) 　　特别地 　　独立前提的逐项求和，可推广到有限项。 　　方差公式： 　　平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值) 　　方差公式：S=〈(M-x1)+(M-x2)+(M-x3)+…+(M-xn)〉╱n 　　三.常用分布的方差 　　1.两点分布 　　2.二项分布 　　X ~ B ( n, p ) 　　引入随机变量 Xi (第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布)， 　　3.泊松分布(推导略) 　　4.均匀分布 　　另一计算过程为 　　5.指数分布(推导略) 　　6.正态分布(推导略) 　　7.t分布 :其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2); 　　8.F分布：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2); 　　~ 　　正态分布的后一参数反映它与均值 的偏离程度，即波动程度(随机波动)，这与图形的特征是相符的 　　总结归纳方差的性质 篇2 　　第一章 实数 　　一、 重要概念 1.数的分类及概念 数系表： 　　说明："分类"的原则：1)相称(不重、不漏) 2)有标准 　　2.非负数：正实数与零的统称。(表为：x≥0) 　　性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 　　3.倒数： ①定义及表示法 　　②性质：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.01;a>1时，1/a<1;D.积为1。 　　4.相反数： ①定义及表示法 　　②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。 　　5.数轴：①定义("三要素") 　　②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。 　　6.奇数、偶数、质数、合数(正整数-自然数) 　　定义及表示： 　　奇数：2n-1 　　偶数：2n(n为自然数) 　　7.绝对值：①定义(两种)： 　　代数定义： 　　几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 　　②│a│≥0,符号"││"是"非负数"的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有"││"出现，其关键一步是去掉"││"符号。 　　二、 实数的运算 　　1. 运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方) 　　2. 运算定律(五个-加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 　　分配律) 　　3. 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从"左" 　　到"右"(如5÷ ×5);C.(有括号时)由"小"到"中"到"大"。 　　三、 应用举例(略) 　　附：典型例题 　　1. 已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│ │x-b│ 　　=b-a. 　　2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判断a、b的符号。 　　第二章 代数式 　　★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算 　　☆内容提要☆ 　　一、 重要概念 　　分类： 　　1.代数式与有理式 　　用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独 　　的一个数或字母也是代数式。 　　整式和分式统称为有理式。 　　2.整式和分式 　　含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。 　　没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。 　　有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。 　　3.单项式与多项式 　　没有加减运算的整式叫做单项式。(数字与字母的积-包括单独的一个数或字母) 　　几个单项式的和，叫做多项式。 　　说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如， 　　=x, =│x│等。 　　4.系数与指数 　　区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看 　　5.同类项及其合并 　　条件：①字母相同;②相同字母的指数相同 　　合并依据：乘法分配律 　　6.根式 　　表示方根的代数式叫做根式。 　　含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。 　　注意：①从外形上判断;②区别： 、 是根式，但不是无理式(是无理数)。 　　7.算术平方根 　　⑴正数a的正的平方根( [a≥0-与"平方根"的区别]); 　　⑵算术平方根与绝对值 　　① 联系：都是非负数， =│a│ 　　②区别：│a│中，a为一切实数; 中，a为非负数。 　　8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化 　　化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 　　满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。 　　把分母中的根号划去叫做分母有理化。 　　9.指数 　　⑴ ( -幂幂，乘方运算) 　　① a>0时， >0;②a<0时，>0(n是偶数)，<0(n是奇数) 　　⑵零指数： =1(a≠0) 　　负整指数： =1/ (a≠0,p是正整数) 　　二、 运算定律、性质、法则 　　1.分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则 　　2.分式的性质 　　⑴基本性质： = (m≠0) 　　⑵符号法则： 　　⑶繁分式：①定义;②化简方法(两种) 　　3.整式运算法则(去括号、添括号法则) 　　4.幂的运算性质：① o = ;② ÷ = ;③ = ;④ = ;⑤ 　　技巧： 　　5.乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。 　　6.乘法公式：(正、逆用) 　　(a b)(a-b)= 　　(a±b) = 　　7.除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。 　　8.因式分解：⑴定义;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。 　　9.算术根的性质： = ; ; (a≥0,b≥0); (a≥0,b>0)(正用、逆用) 　　10.根式运算法则：⑴加法法则(合并同类二次根式);⑵乘、除法法则;⑶分母有理化：A. ;B. ;C. . 　　11.科学记数法： (1≤a<10,n是整数= 　　三、 应用举例(略) 　　四、 数式综合运算(略) 　　第三章 统计初步 　　★重点★ 　　☆ 内容提要☆ 　　一、 重要概念 　　1.总体：考察对象的全体。 　　2.个体：总体中每一个考察对象。 　　3.样本：从总体中抽出的一部分个体。 　　4.样本容量：样本中个体的数目。 　　5.众数：一组数据中，出现次数最多的数据。 　　6.中位数：将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数(或最中间位置的两个数据的平均数) 　　二、 计算方法 　　1.样本平均数：⑴ ;⑵若 ， ，…， ,则 (a-常数， ， ，…， 接近较整的常数a);⑶加权平均数： ;⑷平均数是刻划数据的集中趋势(集中位置)的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。 　　2.样本方差：⑴ ;⑵若 , ,…, ,则 (a-接近 、 、…、 的平均数的较"整"的常数);若 、 、…、 较"小"较"整"，则 ;⑶样本方差是刻划数据的离散程度(波动大小)的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。 　　3.样本标准差： 　　三、 应用举例(略) 　　第四章 直线形 　　★重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。 　　☆ 内容提要☆ 　　一、 直线、相交线、平行线 　　1.线段、射线、直线三者的区别与联系 　　从"图形"、"表示法"、"界限"、"端点个数"、"基本性质"等方面加以分析。 　　2.线段的中点及表示 　　3.直线、线段的基本性质(用"线段的基本性质"论证"三角形两边之和大于第三边") 　　4.两点间的距离(三个距离：点-点;点-线;线-线) 　　5.角(平角、周角、直角、锐角、钝角) 　　6.互为余角、互为补角及表示方法 　　7.角的平分线及其表示 　　8.垂线及基本性质(利用它证明"直角三角形中斜边大于直角边") 　　9.对顶角及性质 　　10.平行线及判定与性质(互逆)(二者的区别与联系) 　　11.常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行(传递性);②同垂直于一条直线的两条直线平行。 　　12.定义、命题、命题的组成 　　13.公理、定理 　　14.逆命题 　　二、 三角形 　　分类：⑴按边分; 　　⑵按角分 　　1.定义(包括内、外角) 　　2.三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中， 　　3.三角形的主要线段 　　讨论：①定义②××线的交点-三角形的×心③性质 　　① 高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线 　　⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形 　　4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)的判定与性质 　　5.全等三角形 　　⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS) 　　⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法 　　6.三角形的面积 　　⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。 　　7.重要辅助线 　　⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线 　　8.证明方法 　　⑴直接证法：综合法、分析法 　　⑵间接证法-反证法：①反设②归谬③结论 　　⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等 　　⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法 　　⑸证线段和差关系：延结法、截余法 　　⑹证面积关系：将面积表示出来 　　三、 四边形 　　分类表： 　　1.一般性质(角) 　　⑴内角和：360° 　　⑵顺次连结各边中点得平行四边形。 　　推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。 　　推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。 　　⑶外角和：360° 　　2.特殊四边形 　　⑴研究它们的一般方法: 　　⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定 　　⑶判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形 　　┗→菱形--↑ 　　⑷对角线的纽带作用： 　　3.对称图形 　　⑴轴对称(定义及性质);⑵中心对称(定义及性质) 　　4.有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2 　　②三角形、梯形的中位线定理 　　③平行线间的距离处处相等。(如，找下图中面积相等的三角形) 　　5.重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常"平移一腰"、"平移对角线"、"作高"、"连结顶点和对腰中点并延长与底边相交"转化为三角形。 　　6.作图：任意等分线段。 　　初三年级上册数学知识点归纳总结： 　　第五章 方程(组) 　　★重点★一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题(特别是行程、工程问题) 　　☆ 内容提要☆ 　　一、 基本概念 　　1.方程、方程的解(根)、方程组的解、解方程(组) 　　2. 分类： 　　二、 解方程的依据-等式性质 　　1.a=b←→a c=b c 　　2.a=b←→ac=bc (c≠0) 　　三、 解法 　　1.一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→ 　　系数化成1→解。 　　2. 元一次方程组的解法：⑴基本思想："消元"⑵方法：①代入法 　　②加减法 　　四、 一元二次方程 　　1.定义及一般形式： 　　2.解法：⑴直接开平方法(注意特征) 　　⑵配方法(注意步骤-推倒求根公式) 　　⑶公式法： 　　⑷因式分解法(特征：左边=0) 　　3.根的判别式： 　　4.根与系数顶的关系： 　　逆定理：若 ，则以 为根的一元二次方程是： 。 　　5.常用等式： 　　五、 可化为一元二次方程的方程 　　1.分式方程 　　⑴定义 　　⑵基本思想： 　　⑶基本解法：①去分母法②换元法(如， ) 　　⑷验根及方法 　　2.无理方程 　　⑴定义 　　⑵基本思想： 　　⑶基本解法：①乘方法(注意技巧!!)②换元法(例， )⑷验根及方法 　　3.简单的二元二次方程组 　　由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。 　　六、 列方程(组)解应用题 　　一概述 　　列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是： 　　⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什 　　么。 　　⑵设元(未知数)。①直接未知数②间接未知数(往往二者兼用)。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。 　　⑶用含未知数的代数式表示相关的量。 　　⑷寻找相等关系(有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出)，列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。 　　⑸解方程及检验。 　　⑹答案。 　　综上所述，列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程)，在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。 　　二常用的相等关系 　　1. 行程问题(匀速运动) 　　基本关系：s=vt 　　⑴相遇问题(同时出发)： 　　⑵追及问题(同时出发)： 　　若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则 　　⑶水中航行： ; 　　2. 配料问题：溶质=溶液×浓度 　　溶液=溶质 溶剂 　　3.增长率问题： 　　4.工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间(常把工作量看着单位"1")。 　　5.几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。 　　三注意语言与解析式的"互化 　　如，"多"、"少"、"增加了"、"增加为(到)"、"同时"、"扩大为(到)"、"扩大了"、…… 　　又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a 10b c，而不是abc。 　　四注意从语言叙述中写出相等关系。 　　如，x比y大3，则x-y=3或x=y 3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。五注意单位换算 　　如，"小时""分钟"的换算;s、v、t单位的一致等。 　　七、应用举例(略) 　　第六章 一元一次不等式(组) 　　★重点★一元一次不等式的性质、解法 　　☆ 内容提要☆ 　　1. 定义：a>b、a 　　2. 一元一次不等式：ax>b、ax 　　3. 一元一次不等式组： 　　4. 不等式的性质：⑴a>b←→a c>b c 　　⑵a>b←→ac>bc(c>0) 　　⑶a>b←→ac 　　⑷(传递性)a>b,b>c→a>c 　　⑸a>b,c>d→a c>b d. 　　5.一元一次不等式的解、解一元一次不等式 　　6.一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组(在数轴上表示解集) 　　7.应用举例(略) 　　第七章 相似形 　　★重点★相似三角形的判定和性质 　　☆内容提要☆ 　　一、本章的两套定理 　　第一套(比例的有关性质)： 　　涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。 　　第二套： 　　注意：①定理中"对应"二字的含义; 　　②平行→相似(比例线段)→平行。 　　二、相似三角形性质 　　1.对应线段…;2.对应周长…;3.对应面积…。 　　三、相关作图 　　①作第四比例项;②作比例中项。 　　四、证(解)题规律、辅助线 　　1."等积"变"比例"，"比例"找"相似"。 　　2.找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来 　　3.添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。 　　4.对比例问题，常用处理方法是将"一份"看着k;对于等比问题，常用处理办法是设"公比"为k。 　　5.对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)"抽"出来的办法处理。 　　五、 应用举例(略) 　　第八章 函数及其图象 　　★重点★正、反比例函数，一次、二次函数的图象和性质。 　　☆ 内容提要☆ 　　一、平面直角坐标系 　　1.各象限内点的坐标的特点 　　2.坐标轴上点的坐标的特点 　　3.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点 　　4.坐标平面内点与有序实数对的对应关系 　　二、函数 　　1.表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。 　　2.确定自变量取值范围的原则：⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有 　　意义。 　　3.画函数图象：⑴列表;⑵描点;⑶连线。 　　三、几种特殊函数 　　(定义→图象→性质) 　　1. 正比例函数 　　⑴定义：y=kx(k≠0) 或y/x=k。 　　⑵图象：直线(过原点) 　　⑶性质：①k>0，…②k<0，… 　　2. 一次函数 　　⑴定义：y=kx b(k≠0) 　　⑵图象：直线过点(0,b)-与y轴的交点和(-b/k,0)-与x轴的交点。 　　⑶性质：①k>0,…②k<0,… 　　⑷图象的四种情况： 　　3. 二次函数 　　⑴定义： 特殊地， 都是二次函数。 　　⑵图象：抛物线(用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点)。 用配方法变为，则顶点为(h,k);对称轴为直线x=h;a>0时，开口向上;a<0时，开口向下。 　　⑶性质：a>0时，在对称轴左侧…，右侧…;a<0时，在对称轴左侧…，右侧…。 　　4.反比例函数 　　⑴定义： 或xy=k(k≠0)。 　　⑵图象：双曲线(两支)-用描点法画出。 　　⑶性质：①k>0时，图象位于…，y随x…;②k<0时，图象位于…，y随x…;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。 　　四、重要解题方法 　　1.用待定系数法求解析式(列方程[组]求解)。对求二次函数的解析式，要合理选用一般式或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点的坐标。如下图： 　　2.利用图象一次(正比例)函数、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。 　　六、应用举例(略) 　　第九章 解直角三角形 　　★重点★解直角三角形 　　☆ 内容提要☆ 　　一、三角函数 　　1.定义：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= . 　　2. 特殊角的三角函数值： 　　0° 30° 45° 60° 90° 　　sinα 　　cosα 　　tgα / 　　ctgα / 　　3. 互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;… 　　4. 三角函数值随角度变化的关系 　　5.查三角函数表 　　二、解直角三角形 　　1. 定义：已知边和角(两个，其中必有一边)→所有未知的边和角。 　　2. 依据：①边的关系： 　　②角的关系：A B=90° 　　③边角关系：三角函数的定义。 　　注意：尽量避免使用中间数据和除法。 　　三、对实际问题的处理 　　1. 俯、仰角： 2.方位角、象限角： 3.坡度： 　　4.在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。 　　四、应用举例(略) 　　第十章 圆 　　★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。 　　☆ 内容提要☆ 　　一、圆的基本性质 　　1.圆的定义(两种) 　　2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 　　3."三点定圆"定理 　　4.垂径定理及其推论 　　5."等对等"定理及其推论 　　5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理) 　　⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系) 　　⑶弦切角定义(弦切角定理) 　　二、直线和圆的位置关系 　　1.三种位置及判定与性质： 　　2.切线的性质(重点) 　　3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵… 　　4.切线长定理 　　三、圆换圆的位置关系 　　1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) 　　2.相切(交)两圆连心线的性质定理 　　3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质 　　四、与圆有关的比例线段 　　1.相交弦定理 　　2.切割线定理 　　五、与和正多边形 　　1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 　　2.三角形的外接圆、内切圆及性质 　　3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 　　4.正多边形及计算 　　中心角： 　　内角的一半： (右图) 　　(解Rt△OAM可求出相关元素, 、 等) 　　六、 一组计算公式 　　1.圆周长公式 　　2.圆面积公式 　　3.扇形面积公式 　　4.弧长公式 　　5.弓形面积的计算方法 　　6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 　　七、 点的轨迹 　　六条基本轨迹 　　八、 有关作图 　　1.作三角形的外接圆、内切圆 　　2.平分已知弧 　　3.作已知两线段的比例中项 　　4.等分圆周：4、8;6、3等分 　　九、 基本图形 　　十、 重要辅助线 　　1.作半径 　　2.见弦往往作弦心距 　　3.见直径往往作直径上的圆周角 　　4.切点圆心莫忘连 　　5.两圆相切公切线(连心线) 　　6.两圆相交公共弦

样本均值的抽样分布是所有的样本均值形成的分布，即μ的概率分布。样本均值的抽样分布在形状上却是对称的。随着样本量n的增大，不论原来的总体是否服从正态分布，样本均值的抽样分布都将趋于正态分布，其分布的数学期望为总体均值μ，方差为总体方...

　　例1两人的5次测验成绩如下：　　X：50，100，100，60，50E(X)=72；　　Y：73，70，75，72，70E(Y)=72。　　平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。　　方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。　　单个偏离是　　消除符号影响　　方差即偏离平方的均值，记为D(X)：　　直接计算公式分离散型和连续型，具体为：　　这里是一个数。推导另一种计算公式　　得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即　　，　　其中　　分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动程度。　　二．方差的性质　　1．设C为常数，则D(C)=0（常数无波动）；　　2．D(CX)=C2D(X)（常数平方提取）；　　证：　　特别地D(-X)=D(X),D(-2X)=4D(X)（方差无负值）　　3．若X、Y相互独立，则　　证：记　　则　　前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为　　当X、Y相互独立时，　　，　　故第三项为零。　　特别地　　独立前提的逐项求和，可推广到有限项。　　三．常用分布的方差　　1．两点分布　　2．二项分布　　X~B(n,p)　　引入随机变量Xi（第i次试验中A出现的次数，服从两点分布）　　，　　3．泊松分布（推导略）　　4．均匀分布　　另一计算过程为　　5．指数分布（推导略）　　6．正态分布（推导略）　　~　　正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。　　例2求上节例2的方差。　　解根据上节例2给出的分布律，计算得到　　工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。　　方差的定义：　　设一组数据x1,x2,x3······xn中，各组数据与它们的平均数x（拔）的差的平方分别是（x1-x拔）2，（x2-x拔）2······（xn-x拔）2，那么我们用他们的平均数s2=1/n【（x1-x拔）2+(x2-x拔)2+·····(xn-x拔)2】来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差

由已知得：N1～B（n，1-θ），N2～B（n，θ-θ2），N3～B（n，θ2），因为：E（T）=E(3i＝1aiNi)=a1E（N1）+a2E（N2）+a3E（N3）=a1n（1-θ）+a2n（θ-θ2）+a3nθ2 =na1+n（a2-a1）θ+n(a3?a2)θ2，由：E（T）=θ，得：a1＝0，a2＝1n，a3＝1n

样本均值的期望是n，方差是2/n

对于这种min形式的随机变量，计算Z>t的概率。易知Z是期望为1/n的指数分布，方差是1/n^2

EX=DX =u03bb

首先知道ex=1/adx=1/a^2指数函数概率密度函数：f(x)=a*e^(ax)，x>0，其中a>0为常数。f(x)=0，其他有连续行随机变量的期望有e(x)==∫|x|*f(x)dx，(积分区间为负无穷到正无穷)则e(x)==∫|x|*f(x)dx，(积分区间为0到正无穷)，因为负无穷到0时函数值为0.ex)==∫x*f(x)dx==∫ax*e^(-ax)dx=-(xe^(-ax)+1/a*e^(-ax))|(正无穷到0)=1/a而e(x^2)==∫x^2*f(x)dx=∫x^2*a*e^(ax)dx=-(2/a^2*e^(-ax)+2x*e^(-ax)+ax^2*e^(-ax))|(正无穷到0)=2/a^2，dx=e(x^2)-(ex)^2=2/a^2-(1/a)^2=1/a^2即证！！主要是求积分的问题，证明只要按照连续型随机变量的期望与方差的求法公式就行啦！

【答案】：指数函数概率密度函数：f(x)=a*e^(ax),x>0,其中a>0为常数.f(x)=0,其他有连续行随机变量的期望有E(X)==∫|x|*f(x)dx,(积分区间为负无穷到正无穷)则E(X)==∫|x|*f(x)dx,(积分区间为0到正无穷),因为负无穷到0时函数值为0.EX)==∫x*f(x)dx==∫ax*e^(-ax)dx=-(xe^(-ax)+1/a*e^(-ax))|(正无穷到0)=1/a而E(X^2)==∫x^2*f(x)dx=∫x^2*a*e^(ax)dx=-(2/a^2*e^(-ax)+2x*e^(-ax)+ax^2*e^(-ax))|(正无穷到0)=2/a^2,DX=E(X^2)-(EX)^2=2/a^2-(1/a)^2=1/a^2

1、首先知道EX=1/a DX=1/a^2 2、指数函数概率密度函数：f(x)=a*e^(ax),x>0,其中a>0为常数。 f(x)=0,其他 3、有连续行随机变量的期望有E(X)==∫|x|*f(x)dx,(积分区间为负无穷到正无穷) 则E(X)==∫|x|*f(x)dx,(积分区间为0到正无穷),因为负无穷到0时函数值为0. EX)==∫x*f(x)dx==∫ax*e^(-ax)dx=-(xe^(-ax)+1/a*e^(-ax))|(正无穷到0)=1/a 而E(X^2)==∫x^2*f(x)dx=∫x^2*a*e^(ax)dx=-(2/a^2*e^(-ax)+2x*e^(-ax)+ax^2*e^(-ax))|(正无穷到0)=2/a^2, DX=E(X^2)-(EX)^2=2/a^2-(1/a)^2=1/a^2 即证!

等于D X

f(x)=λe^(-λx) E(X),对xf(x)积分,从0到正无穷. 积出的结果就是1/λ. 方差,对x^2f(x)积分.

E(x)=1/a;D(X)=1/(a^2).

数学期望是入方差是入http://baike.baidu.com/view/743082.htm?fr=ala0_1

通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。

指数分布，可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔。 指数分布的参数为λ，则指数分布的期望为1/λ，方差为(1/λ)的平方。 Y~E(入) f(y)=入e^(-入y) 期望值1/入，方差1/入2 或 Y~E(a) f(y)=e^(-y/a)/a 只不过期望值是a,方差a2 扩展资料： 设某一事件A（也是S中的某一区域），S包含A，它的量度大小为μ(A)，若以P(A)表示事件A发生的概率，考虑到“均匀分布”性，事件A发生的概率取为：P(A)=μ(A)/μ(S)，这样计算的概率称为几何概型。若Φ是不可能事件，即Φ为Ω中的空的区域，其量度大小为0，故其概率P(Φ)=0。

由于X～E（λ），所以密度函数为f(x)＝λe?λx，x＞00，x≤0，分布函数为F(x)＝1?e?λx，x＞00，x≤0?EX＝1λ，DX＝1λ2，所以A，B，C都不对．因为E(X+Y)＝2λ，E(X?Y)＝0，而max（X，Y）的分布函数不是F2(x)＝1?e?2λx，x＞00，x≤0，所以D对．事实上，min。

来晚了.....外文教材与中文教材大部分一致，但其均匀分布是1＞I≥0即可，另外还有镶嵌分布（聚集分布中有均匀或随机分布），有兴趣可以自己查相关教材。所以随机分布即I=1时是自然界中最少见的分布。最常见的每本书上有歧义，个人认为是聚集分布。

咱们分两个步骤来证明,第一步是找出指数分布的参数λ的极大似然估计是什么;第二步是证明该估计值是λ的相合估计

嗯，是指数

指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t≥0时有P(T>s+t|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。不过，这对于你也许没什么用，要掌握的是：概率密度函数：累积分布函数：期望值：方差：

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正态分布的可加性是X+Y-N(3，8)。相互立的正态变量之线性组合服从正态分布，即X~N（u1，（q1）^2），Y~N(u2，（q2）^）则Z=aX+bY~N（a*u1+b*u2，（a^2）*（q1）^2+（b^2）*（q2）^2）。正态分布的曲线特点：正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ=0，σ=1时的正态分布是标准正态分布。正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

由于X～E（λ），所以密度函数为f(x)＝λe?λx，x＞0 0，x≤0 ，分布函数为F(x)＝1?e?λx，x＞0 0，x≤0 ?EX＝1 λ ，DX＝1 λ2 ，所以A，B，C都不对．因为E(X+Y)＝2 λ ，E(X?Y)＝0，而max（X，Y）的分布函数不是F2(x)＝1?e?2λx，x＞0 0，x≤0 ，所以D对．事实上，min（X，Y）的分布函数为 P{min（X，Y）}≤x}=1-P{min（X，Y）}＞x}=1?P{X＞x，Y＞x}＝1?P{X＞x}P{Y＞x}＝1?[1?F(x)]2＝1?e?2λx，x＞0 0，x≤0 ．故选择：D．

连续型随机变量，如何定义，如何表示？分布函数： 1）均匀分布、平均分布 2）指数分布这个分布的形式很重要，它是一般线性回归的分布的主要形式。对于可靠性分析，排队论中有广泛应用。 3）高斯分布、正态分布也可以说是指数分布的一种特殊表现形式。拥有对称性，极大值等特性。 噪声的分布经常都是正态分布，在应用中，基本上都假设是这种分布，在大部分的统计中，也确实符合这种分布。其方差与置信区间的关系，3sigma法则 99.74% 正态分布的线性变换，仍然是正态分布，且性质保持不变。所以，任何随机变量正态分布，都可以转换为标准正态分布，进行求值，查询。分位点的概念，就是随机变量转换为标准正态后的对应的值。已知随机变量X的分布，Y与X的关系，推导Y的分布。很重要。 F(Y) = P(Y

指数分布派（＆）的期望＝1/＆方差＝1/＆＆DX=E(XX)-(EX)(EX) ＄>0＄=1

随机变量是对试验结果的数值化处理，即以数值型数据来表示试验的结果。之所以采用这种处理方式是希望可以将取值及其概率用一个函数的形式来表示，以方便的使用数学工具定量的对概率分布进行研究，在实际应用中可以按照一定的规则将类别型数据转化成数值型数据。基于试验结果的不同，可以将随机变量分为离散型随机变量和连续性随机变量： 概率分布 Probability distribution 则是对于随机变量取得各个值的概率的一个描述，对于离散型随机变量可以定义一个概率分布函数 Probability mass fuction u0192(x) 来描绘随机变量取得某个值时的概率，其要求： 当已获得的样本的数据量较大时，可以通过对于各个随机变量的取值的相对频率来近似其概率，这种方法获得的概率分布称为经验分布。 如果随机变量的可能取值有 n 个，且取得每一个值的概率均等，那么这种概率分布称为均匀概率分布： 离散型随机变量的期望值： 离散型随机变量的方差： 由公式可知，随机变量的方差值计算公式是一个对于随机变量与均值的偏差的平方的加权平均，相应的权重系数是各个取值的概率。 当研究对象为两个随机变量时，相应的概率分布称为 Bivariate probability distribution，也称为 Joint probability distribution，可以通过历史数据并采用表格的形式来统计概率分布情况： 除概率分布外，一般也会通过计算协方差和相关系数了解这两个随机变量的关系，且对于两个离散型随机变量 x，y 来说，如果已知 x，y 的各自取值及概率分布，可以有两种方法来计算随机变量的协方差： 更一般地，有： 前述离散型随机变量可以通过采用列表的形式进行统计频数来获得相应的概率，最终获取取值的概率分布，还有一类离散型随机变量的概率分布可以通过一定的数学公式来描述。 二项分布最早的研究出自数学史上的一个著名的家族——伯努利家族，因此也叫伯努利概型，其主要特点为： 我们感兴趣的是在这 n 次实验中成功的次数 x 是多少，很明显这里 x 是一个离散型随机变量，对应的成功次数 x 的概率分布称为二项概率分布。 可以认为二项分布的多次试验是一个分步进行的过程，因此可以采用树状图来可视化多次试验的结果的组合： 由于 n 次试验产生的所有可能的试验结果的数量为 2 n ，当我们考虑这所有的结果中成功的次数 x 时，是将结果中出现 x 次成功的试验从 2 n 个结果中进行抽取，且 x 内部对于次序没有要求，因此所有结果中出现成功次数为 x 的结果的次数可以采用组合的知识进行计算： 每一个连续 n 次试验的结果组合中有 x 次成功的概率为： 将上述两个公式组合起来就是所有 n 次试验中出现 x 次成功的概率，也即二项分布的概率分布函数： 由于二项分布非常常用，且其计算中包含了大量的常数项，所以为了方便使用，已经针对不同的 n，x 及 p 建立了二项分布表，可以从表格中查取。 当 n = 1 时，由于 x = 1 表示成功，x = 0 表示失败，所以二项分布是对 0 - 1 分布的一个多次试验。对于 0 - 1 分布来说，可以按照定义计算其期望值为 p，方差为 p(1 - p)，由于在二项分布中 n 次试验彼此独立，因此有 n 次实验的期望及方差为： 泊松分布的命名也来自于其最早的研究者 Simeon Poisson，这个分布是对某个具有一定发生频率的事件在某个时间和空间跨度内发生的次数的一个描述，例如一小时内前来某个洗车场的客户的数量，飞机每 100000 公里所需要的维修的次数，符合泊松分布的随机变量的特点为： 这一分布研究是基于日常生活中大量现象的发生是有一定频数 Frequency 可循的，通过对于历史数据的统计，我们可以得到这个频数。这个频数是对事件发生的频繁程度的一个总体水平的衡量，实际上某一个时间间隔内发生的次数 x 是不确定的，因而是个随机变量。 如果我们用 λ 表示单位时间内出现的频数，t 表示需要考察的时间，难么这个时间间隔内发生 x 次的概率为： 从上式中可以看出这个概率尽管从理论上 x 可以取得任何值，但当 x 非常大的时候，可以通过计算得知其概率趋近于 0，即基本不可能发生。 泊松分布的期望和方差均为 λ，其可以认为是 n 很大而 p 很小的二项分布的一个极限形式，对于泊松分布和下一节 指数分布 的理解我参考了 阮一峰的博客 和 QUETAL 的博客 ，在此表示感谢！ 我写这个笔记是为了系统的复习概率论中的一些概念，阅读的是 Statistics for Business and Economics, 12th Edition 英文原版，这是一本非常经典的参考书，毫无保留的满分推荐。尽管书名暗示了是在商业和经济学中的统计学，但根本的统计学知识是不变量，并且和很多优秀的原版书一样，作者时刻注意用实例来讲解统计学概念，基本上每一个新的概念的定义都建立在日常生活的实例的基础上，在此基础上还保留了精美的排版和精心设计的插图，十分便于理解。

放射性数据处理中，研究变量的概率分布具有重要意义。例如，某地区正常花岗岩的γ射线照射量率的概率分布为正态分布，实践表明，若出现单峰正偏斜分布时，其偏斜部分是由矿化引起的，而且偏度系数越大，矿化越好。因此利用偏度系数的大小可以指示铀矿化的存在与富集程度。概括起来，研究变量的概率分布有如下意义：1)变量的分布函数是研究地质体的最重要的数学手段之一，它具有重要的鉴别和研究地质体及其成因的意义：2)根据所研究问题的性质和观测对象的特点，选择恰当的概率分布模型可进行各种必要的概率估计；3)查明分布规律是进一步统计分析工作的基础，如选择恰当的统计分析方法，确定原始数据是否需要进行变换及其数值的取舍，评价统计分析的效果和放射性测量的质量等；4)评价和发现影响观测值的因素，提供新的找矿线索和改进工作方式。放射性数据变量的概率分布主要有正态分布、对数正态分布、泊松分布、二项分布、指数分布以及各种混合分布。(一)一元正态分布一元正态分布的密度函数是放射性勘探方法记作x～N(a，σ2)。式中a为连续型随机变量的数学期望；σ为均方差。参数a及σ的直观意义如下：从f(x)的表达式可知：参数a和σ确定之后，则f(x)的具体形式即确定。如果σ不变，a改变，f(x)的曲线只改变位置，不改变形状。例如某三种岩石的γ射线照射量率的均方差相同，平均数不同的频率分布曲线如图6-4所示。如果a相等，σ改变，f(x)的位置不变，但f(x)的曲线形状发生了改变。例如三种岩石的γ射线照射量率的平均数相同，它们的差别仅表现在均方差σ这个参数上，如图6-5所示。所以应用这两个参数不仅可以进行必要的概率估计，而且能够鉴别不同的地质体。图6-4 a的直观意义图6-5 σ的直观意义平均数为0、方差为1的正态分布称为标准正态分布。记为N～(0，1)，其表达式为服从这种分布的随机变量称标准正态随机变量。(二)多元正态分布多元正态分布的密度函数式为放射性勘探方法式中：X=[x1，x2，…，xm]"为多元正态变量；μ=[a1，a2，…，am]为X的均值向量；∑=[cij]m×n，(i，j=1，2，…，m)为X的协方差矩阵；|∑-1|为∑的逆矩阵行列式；m为变量个数。把X的上述分布记作X～N(μ，∑)。两个独立的正态变量的联合分布如图6-6所示。图6-6 两个(独)变量的联合概率分布(X、Y为正态变量)多元正态分布有如下一些重要性质(不作证明)：(1)多元正态变量X的任意线性交换仍然是正态变量，即若X=[x1，x2，…，xm]"服从正态分布N(μ，∑)，则任意线性变换仍服从正态分布N(Cμ+D，C∑C")。这里：放射性勘探方法(2)多元正态变量各分量的线性组合服从一元正态分布，即X～ ；i=1，2，…，m，C=[c1，c2，…，cm]为任一常向量，则线性组合CX=c1x1+c2x2+…+cmxm服从一元正态分布放射性勘探方法由此性质推出如下推论：①多元正态变量的每一个分量服从正态分布；②多元正态变量的任何部分分量之和服从正态分布；③多元正态变量X的任何一个分量子集的分布(称为边缘分布)仍服从正态分布；④多元正态变量X的一阶原点矩μ和二阶中心∑都是存在的。(3)若X=[x1，x2，…，xm]"和Y=[y1，y2，…，ym]"有联合正态分布：放射性勘探方法则X与Y各自独立的主要条件是X中的任一分量和Y中的任一分量的协方差为0，即c12=c21=0。在地质领域里有许多变量服从正态分布，例如同种正常岩石中γ射线照射量率、某些常量元素的含量、地磁场强度、重力值、地层厚度、矿体厚度以及某些比值数据(如铀镭平衡系数)都服从或接近正态分布。那么正态分布产生的原因是什么呢?用概率论中的中心极限定理可以回答这个问题。中心极限定理给出：只要某个随机变量x是由大量的相互独立的随机因素的总和所构成(x=α+β+…+ε…)，而且每一个因素对总和x的影响都是均匀的、微小的(即没有一个是突出的，显著起作用的)，那么就可以断定X是服从正态分布的。如果有一个因素或几个因素起显著作用就有可能服从对数正态分布或其他分布。(三)一元对数正态分布若随机变量x经过对数变换后lnx服从正态分布，则称x服从一元对数正态分布。如果用f(x)表示x的分布密度函数，则随机变量x的对数正态分布的密度函数为放射性勘探方法曲线f(lnx)具有正态分布曲线的全部性质。它在lnx=aL处达到极大值，并以aL的纵轴为对称轴。曲线f(x)具有单峰不对称特征，即对数正态变量x的概率密度的极大值所对应的x小于x的平均数。x的平均数为 ，而f(x)的极大值在 处，因 是大于零的数，故在x轴上极大值在平均数的左侧(图6-7)。对数正态分布的两个基本参数，即总体对数值的平均数aL和均方差σL是放射性勘探方法实际应用中，除了用变量x的对数值的平均数aL和均方差σL之外，还经常需要知道x的数学期望E(x)和方差D(x)或均方差 。图6-7 对数正态密度函数曲线为了得到E(x)和D(x)的有效无偏估计量，应首先估计aL及σL再估计E(x)和D(x)。上式计算较复杂，而且如果观测值不精确地符合对数正态分布，用上述方法估计也可能是有偏的。芬尼(1941)证明，只要变异系数小于1.2，相应x的对数方差 ，用通常的平均数 作E(x)的估计量是有效的。经验证明,岩层中的射气浓度、α径迹密度、铀矿化等引起的γ偏高场 (大于均值加一倍均方差的值)内的γ射线照射量率,岩石中铀、钍、钾 (40K)、水中铀含量以及岩石、矿物中的许多其他微量元素含量,其概率分布都可能服从对数正态分布。一般来说,当某种地球化学元素主要集中于某些矿物中或受某些地质因素的控制时,该元素的含量就可能遵循对数正态分布。如氡射气常受构造裂隙的控制,裂隙的分布又常常不均匀,因此氡射气浓度、α径迹密度、210Po 的观测值常呈现对数正态分布或重对数正态分布 (即对变量x作二次对数变换的分布)。目前对一些地质变量服从对数正态分布的原因提出了一些看法，这些看法认为，对数正态分布可能代表一种混合体。换言之，对数正态总体不一定是一次地质作用过程中形成的，而是多次叠加的结果。(四)二项分布一般用于计数型数据，是一种常见的离散型分布。当试验结果统计独立且每次试验中成功的概率相同时，在固定试验次数的条件下，成功次数的分布就服从二项分布。即放射性勘探方法式中：pn(k)是在n次试验中事件A出现k次的概率；p是一次试验中事件A出现的概率；q是在一次试验中事件A不出现的概率， 为二项式系数。(五)泊松分布它是另一种离散型分布。大家知道，任何一种事物无论是有形的实体还是抽象的事件，在一组对象中出现的次数总是可以计数的。这些对象可以是单元面积、单位体积或相同时间间隔。例如在相同时间间隔内放射性物质衰变产生的并被计数器记录的α粒子数；单元面积内的异常个数或矿床个数等，都是服从泊松分布的离散型随机变量。相反，一旦发现它们不服从泊松分布(例如单元面积内的异常分布)，则说明它们不单是随机因素造成的，可能是地理空间上有一个或几个因素控制了异常的分布(例如区域构造因素控制的异常分布)。其概率密度函数为放射性勘探方法泊松分布中只有一个参数λ，它既是平均数又是方差。当λ值较小时其概率分布曲线是正偏斜的，当λ≥10时泊松分布就近似于正态分布了。因此泊松分布常用来研究“稀有事件”的概率。不同λ值的泊松分布如图(6-8)所示。图6-8 对于不同λ值的泊松分布多角形图对于随机事件，只要具有下列三个条件就可以认为它服从泊松分布。现以单元面积为例说明如下：①事件A(例如异常的出现)在某一单元内出现k个的概率，只与单元面积大小有关而与单元的序次无关；②对于相互间不重叠的单元，A出现的个数相互独立；③当单元面积很小时，A出现的个数≥2(即多于2个)的情况几乎没有。这时，事件A就服从泊松分布。由于概率P(x=k)的计算工作量大，为了使用方便，有专门的泊松分布表供查阅，也可用下列递推公式计算：放射性勘探方法只要知道了p(k=0)的值，则p(1)，p(2)，…，p(k)就可递推出来。泊松分布是二项分布的特例，当这p很小且n很大时，用泊松分布可以很好地近似二项分布。一般情况下，当p≤0.1，n≥20时，泊松分布可以用来近似描述二项分布，而且不至于引起显著误差。例如，有n=1023个放射性原子核，在时间间隔t内，一个原子核衰变的概率p=10-23，如果用二项分布计算在时间间隔t中，n个原子核衰变个数为k的概率，由式(6-47)得放射性勘探方法显然，按上式计算是很费事的，这时若取均值λ为np=10，则用泊松分布计算就非常简便了。即放射性勘探方法(六)指数分布自然界中，有色、稀有及贵金属矿床的品位、厚度以及某些铀矿床的品位、壤中氡浓度、α径迹密度等变化性很大的随机变量都可能遵循指数分布。它的概率密度函数放射性勘探方法指数分布的均值 ，方差 。图6-9 是指数分布的概率密度函数f(x)的图形。随机分布的平稳泊松质点流中，质点间隔长度L是服从指数分布的。图6-10反映了某铀矿床地表氡射气浓度近似服从指数分布。图6-11反映了某铀矿床，地表α径迹密度也近似服从指数分布。这说明氡射气浓度及α径迹密度在这两个铀矿床的地表分布是平稳泊松质点流的一种表现。图6-9 指数分布密度曲线图6-10 某铀矿床地表氡浓度频率曲线图6-11 325某铀矿床地表径迹变密度频度曲线以上列举了数据处理中常见的几种概率分布及应用，值得注意的是，研究方法的不同可能会改变数据分布的特征。例如统计时分组间隔的长度和单个样品体积大小的变化等，都会影响分布的特征。但是当组距适当和样品体积足够大，且某种观测值的频率分布仍不呈现正态分布时，则可断言，在空间上必然存在着非均质的总体，即混合总体。这一点在实践中是有重要意义的。(七)混合分布实际中由单一总体构成的分布不多，多数是混合分布，即由多个统计总体构成的分布。从地质成因分析，混合分布产生的原因是二次或多次地质作用的叠加，或多个地质体混合形成的，因此对混合分布的解释有重要的地质意义。混合分布类型有多峰型和单峰型分布。在单峰型分布中有正偏斜和负偏斜分布。常见有下列三种情况的混合分布：①两个或两个以上正态总体的混合分布；②两个或两个以上对数正态总体的混合分布；③正态总体和对数正态总体的混合分布。应当指出，单峰型的对数正态分布在一定条件下可能是多个正态总体形成的。从地质成因上分析，它可能是多阶段地质作用发展演化的结果。因此，在这种情况下对数据进行变换(对数变换或其他变换)是不妥当的，应进行分解。下面以3110铀矿床钻孔内伽马射线照射量率的频率分布为例，说明混合分布的特点和研究意义。图6-12是寒武系中三个含铀矿体层位的γ射线照射量率概率分布曲线。经比较和实际验证：曲线AⅠ和AⅡ同属于 层，并分别呈指数分布和多峰负偏斜分布， 层是该铀矿床最好的含矿层位；曲线BⅠ和BⅡ同属于 层。BⅠ呈多峰正偏斜分布，反映大型铀矿体，BⅡ接近于对数正态分布，反映无矿体存在；曲线CⅠ和CⅡ同属于 层。CⅠ呈单峰强正偏斜分布，有较大型铀矿体；CⅡ接近简单正态分布，无矿体存在。图6-12 某铀矿床Ⅰ、Ⅱ区段三个矿层伽马射线照射量率分布曲线AⅠ—接近b<0的指数分布；BⅠ—多峰正偏斜分布；CⅠ—单峰正偏斜分布；AⅡ—多峰负偏斜分布；BⅡ—接近对数正态分布；CⅡ—接近对称分布；Ⅰ、Ⅱ—为勘探区中段号；Δ=2.58×10-10(C/kg·h)从上述例子可以看出，图6-12中频率曲线AⅠ、BⅠ、CⅠ、AⅡ具有混合分布的特点，它反映了在长期多次成矿作用下，含矿层位中铀元素在空间上分布的不均匀性。由于这种作用，使原始状态的简单对数正态或正态分布的总体(BⅡ、CⅡ)变成了混合总体(如BⅠ、CⅠ)，因而使得不含矿层位 在第Ⅰ区段变成了蕴藏大矿体的层位。工作中，如果需要求得组成混合分布的各单个总体分布的均值和方差，必须对它进行分解。分离混合分布曲线的方法主要有三种：解析法、图解法及数学法。这里只介绍图解法。众所周知，在正态概率纸上，一元正态分布表现为一条确定的直线(一元对数正态分布为一条凹面向上的曲线)。在对数概率纸上，一元对数正态分布表现为一条直线(一元正态分布是一条凹面向下的曲线)，而且不同的直线斜率是不同正态或对数正态总体的表现。利用这些特征可以进行混合总体的分离，并检验它所服从的分布规律。正确估计各总体的平均数和均方差。通常，在概率纸上，若频率分布出现两个或两个以上直线段，表明为混合总体。每一个直线段对应一个正态总体(在对数概率纸上对应的是对数正态总体)。为了对混合总体分解，首先根据频率分布曲线判断概率分布可能所属的分布类型，以便决定分组方式和是否进行变量转换等。下面举一个混合总体分解的实例。用滑动窗口法计算某地区γ详测数据的偏度系数，得到频率分布曲线，示于图6-13。从图上曲线可以看出，它显然是两个正态总体的混合分布。实践表明，B峰对应细粒黑云母花岗岩，不含铀矿床。A峰对应中黑云母花岗岩，含大型铀矿床。分解这两个正态总体的方法如下：首先找出拐点，即图6-14中*处，拐点纵坐标为26%，这说明A、B总体各占混合总体的74%和26%。图6-13 某地区实测γ详测滑动窗口内偏度系数的频率分布曲线和频数分布直方图从图6-14中知，1号点占混合总体的10.1%，即占B总体的10.1/26=38.8%。同理，2号点占89.3%，点出并连接(0.50，38.3%)和(1.50，89.3%)两点，其连接线即是B总体的展直线T1，由此求出均值为0.69，均方差为0.78。3号点占混合总体的38.7%，故对于A总体来说.从-∞积分到3.0的累积频率为(38.7-26)÷74%=17.2%。同理：4、5、6号点分别求得相应于A总体的累积频率为54.1%、80.95%、90%。在概率纸上点出(2.75，17.2%)、(3.75，54.1%)、(4.75，80.95%)、(5.25，90%)即3"、4"、5"、6"点。连接这四点即得A总体的展直线T2。由此求出偏度系数的均值为3.8，均方差为1.48。对数正态混合总体的分解，可采用：①在正态概率纸上用对数值作图；②在对数概率纸上用原始值作图。上面讨论了两个正态总体形成的混合分布的图解分离方法，实际工作中并不那么简单，一般要想有效地分离混合总体，必须具备下列条件中的一个或几个：①知道总体分布的函数关系式，最好是知道它们的参数表达式；②补充测定其他标志，例如岩性或地理位置；③各总体的分布参数差异明显；④形成混合分布的总体不太多。混合分布分解后要估计出各总体的参数值，考查不同总体的地理分布，以便圈定各种图件，例如相对等值图(数值不同但级别相同的点连接成圆滑线所构成的图)。图6-14 两个正态总体的混合总体分布的分解图

指数分布，E(λ1)+E(λ2)=E(λ1+λ2)

x/n服从卡方分布：N个服从正态分布均值为0，方差为1，的独立随机变量的平方和X服从自由度为N的卡方分布。Xn为来自总体X的样本，总体X服从参数为λ的指数分布。

如果X~P（a）那么E（x）=D(x)=a；证明过程实在不好写（很多符号）先证明E（x）=a；然后按定义展开E（x^2）=a^2+a;因为D（x）=E（x^2）-[E(x)]^2;得证。典型的有：0-1分布二项分布泊松分布几何分布超几何分布均匀分布指数分布正态分布T（tao）分布等~