如何求函数的取值范围

函数值域的几种常见方法

1．直接法：利用常见函数的值域来求

一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；

反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；

二次函数 的定义域为R，

当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }.

例1．求下列函数的值域

① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④

解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，

∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5]

②∵ ∴

即函数 的值域是 { y| y 2}

③

④当x>0，∴ = ，

当x<0时， =－

∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法）

函数 的图像为：

2．二次函数比区间上的值域(最值)：

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：

① ；

解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.

①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，

∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }.

②∵顶点横坐标2 [3,4]，

当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；

∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1].

③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,

∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1].

④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,

∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6].

注：对于二次函数 ,

⑴若定义域为R时，

①当a>0时，则当 时，其最小值 ；

②当a<0时，则当 时，其最大值 .

⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].

①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较 的大小决定函数的最大（小）值.

②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值.

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

3．判别式法（△法）：

判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论

例3．求函数 的值域

方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ①

当 y11时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0

由此得 (5y+1) 0

检验 时 （代入①求根）

∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴

再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11

综上所述，函数 的值域为 { y| y11且 y1 }

方法二：把已知函数化为函数 (x12)

∵ x=2时 即

说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.

4．换元法

例4．求函数 的值域

解：设 则 t 0 x=1-

代入得

5．分段函数

例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}.

解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ]. 如图

两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.

说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.

小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.