有关等差数列等比数列的公式及特性

要好好学哦，这可是高中的重点哦！！！

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

等差数列的通项公式为：

an=a1+(n-1)d (1)

前n项和公式为：

Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2)

以上n均属于正整数

从(1)式可以看出，an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。

在等差数列中，等差中项：一般设为Ar，Am+An=2Ar,所以Ar为Am，An的等差中项。

且任意两项am，an的关系为：

an=am+(n-m)d

它可以看作等差数列广义的通项公式。

从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有

am+an=ap+aq

Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。

和＝（首项＋末项）×项数÷2

项数＝（末项-首项）÷公差＋1

首项=2和÷项数-末项

末项=2和÷项数-首项

末项=首项+（项数-1）×公差

等差数列的应用：

日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别

时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。

若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0。

3．等差数列的基本性质

⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d．

⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd．

⑶若、为等差数列，则{ a ±b }与{ka ＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．

⑷对任何m、n ，在等差数列中有：a = a + (n－m)d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性．

⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等），那么当为等差数列时，有：a + a + a + … = a + a + a + … ．

⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd( k为取出项数之差)．

⑺如果是等差数列，公差为d，那么，a ，a ，…，a 、a 也是等差数列，其公差为－d；在等差数列中，a －a = a －a = md ．(其中m、k、 )

⑻在等差数列中，从第一项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．

⑼当公差d＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时，等差数列中的数等于一个常数．

⑽设a ，a ，a 为等差数列中的三项，且a 与a ，a 与a 的项距差之比 = （ ≠－1），则a = ．

5．等差数列前n项和公式S 的基本性质

⑴数列为等差数列的充要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an + bn的形式(其中a、b为常数)．

⑵在等差数列中，当项数为2n (n N )时，S －S = nd， = ；当项数为(2n－1) (n )时，S －S = a ， = ．

⑶若数列为等差数列，则S ，S －S ，S －S ，…仍然成等差数列，公差为 ．

⑷若两个等差数列、的前n项和分别是S 、T (n为奇数)，则 = ．

⑸在等差数列中，S = a，S = b (n＞m)，则S = (a－b)．

⑹等差数列中， 是n的一次函数，且点（n， ）均在直线y = x + (a － )上．

⑺记等差数列的前n项和为S ．①若a ＞0，公差d＜0，则当a ≥0且a ≤0时，S 最大；②若a ＜0 ，公差d＞0，则当a ≤0且a ≥0时，S 最小．

3．等比数列的基本性质

⑴公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q ( m为等距离的项数之差)．

⑵对任何m、n ，在等比数列中有：a = a · q ，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．

⑶一般地，如果t ，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且t + k，p，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当为等比数列时，有：a ．a ．a ．… = a ．a ．a ．… ．．

⑷若是公比为q的等比数列，则{| a |}、、、{ }也是等比数列，其公比分别为| q |}、、、{ }．

⑸如果是等比数列，公比为q，那么，a ，a ，a ，…，a ，…是以q 为公比的等比数列．

⑹如果是等比数列，那么对任意在n ，都有a ·a = a ·q ＞0．

⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积．

⑻当q＞1且a ＞0或0＜q＜1且a ＜0时，等比数列为递增数列；当a ＞0且0＜q＜1或a ＜0且q＞1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q＜0时，等比数列为摆动数列．

4．等比数列前n项和公式S 的基本性质

⑴如果数列是公比为q 的等比数列，那么，它的前n项和公式是S =

也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q = 1处．因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q = 1和q≠1进行讨论．

⑵当已知a ，q，n时，用公式S = ；当已知a ，q，a 时，用公式S = ．

⑶若S 是以q为公比的等比数列，则有S = S ＋qS ．⑵

⑷若数列为等比数列，则S ，S －S ，S －S ，…仍然成等比数列．

⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S 与T ，次n项和与次n项积分别为S 与T ，最后n项和与n项积分别为S 与T ，则S ，S ，S 成等比数列，T ，T ，T 亦成等比数列

等差数列就是一个数列的任意相邻前后两项的差为定值

比如：a a+s a+2s a+3s ... a+ns(s为定值)

等比数列就是一个数列的任意相邻前后两项的比值为定值

比如：a a*s a*s*s a*s*s*s ... a*p（p=s*s*...s共n个s）

这里用公式很不好表示。。

等差定义 后项减前项为定值 等比是后比前为定 公式有脚标不好打