设随机变量序列a1,a2,...an满足an弱收敛于0，证明an依概率收敛于0

简而言之，随机变量序列就是一列按某种规则排列的随机变量。这种规则可随意，但强调的是一个次序。例如若Xi表示第i次抛硬币的结果，那么{Xi}这个序列就是若干次抛硬币的结果序列，X1指第一次抛的结果，Xn指第n次抛的结果。若Yi表示前i次抛硬币正面向上的次数，（记第i次正面朝上为Xi=1，反面朝上为Xi=0）那么可以有Yi=X1+X2+…+Xi。这样{Yi}这个序列就是前i次抛硬币正面朝上的汇总序列，Y1指的是抛一次硬币正面朝上的次数，Yn指的是抛n次硬币中正面朝上的次数。。可见{Xi}中的随机变量相互独立，而{Yi}中的随机变量则有相互关系，其中前者的结果会影响后者。因此，随机变量序列就是一列按某种规则排列的随机变量。

随机序列，也称随机数列，全称随机变量序列，是由随机变量组成的数列。它在概率论和统计学中都十分重要。随机数列的概念在概率论和统计学中都十分重要。一般的，如果用若干个数代表随机变量，这些随机变量如果按照顺序出现，就形成了随机序列这种随机序列具备两种关键的特点：其一，序列中的每个变量都是随机的；其二，序列本身就是随机的。整个概念主要构建在由随机变量组成的数列的基础之上，美国数学家得瑞克·亨利·雷莫在1951年时说的那样：“随机数列是一个很模糊的概念，它每一项都是无法预测中的无法预测，但是这些数字却能够通过传统的统计学上的考验。”

摘要：极限定理的研究在概率论中占有十分重要的地位，其主要工作是随机变量序列的某种收敛性。主要研究了随机变量序列的五种收敛性：依概率收敛，依分布收敛，r阶收敛，以概率1收敛，柯西收敛的概念与性质，以及几种收敛相互间的关系。r阶收敛是随机变量列的数字特征的一种收敛性，与其它收敛关系最弱，而依概率1收敛是最强的一种收敛性；柯西收敛是用随机变量序列本身具有的某种特征判断其收敛性的，不需要知道其收敛的极限，这种准则可方便地判断其收敛性。（剩余0字）

在研究与分析问题中经常会遇到三种随机序列，下面分别进行介绍。1.2.8.1 正态（高斯）随机序列正态随机序列x（n）的N维联合高斯分布的概率密度函数为地球物理信息处理基础式中X=［x1，x2，x3，…，xN］T，μ=［μx1，μx2，μx3，…，μxN］T地球物理信息处理基础式（1-54）表明，正态（高斯）随机序列仅决定于其均值矢量μ以及方差阵∑。具有指数型自相关函数的平稳高斯过程称为高斯-马尔可夫（Gauss-Markov（Марков））过程。这种信号的自相关函数和功率谱密度函数分别为rxx（m）=σ2e-β｜m｜ （1-55）地球物理信息处理基础高斯——马尔可夫也是一种常见的随机信号，适合于大多数物理过程，具有较好的精确性，数学描述简单。因为当m→∞时，自相关函数趋近于0，所以均值为0，随机过程的自相关函数特性完全描述了过程的特性。1.2.8.2 白噪声序列如果随机序列x（n），其随机变量是两两不相关的，即地球物理信息处理基础式中地球物理信息处理基础则称该序列为白噪声序列；如果白噪声序列是平稳的，则cov（xn，xm）=σ2δnm （1-58）式中σ2是常数。设均值μxn=μ=0，其功率谱Pxx（ejω）=σ2，在整个频带上功率谱是一个常数。“白噪声”的名称由牛顿提出，他指出，白光包含了所有频率的光波，而在这里，功率谱Pxx（ejω）在整个频带上是一个常数，说明白噪声的功率谱是包含所有频率成分的序列。如果白噪声序列服从正态分布，序列中随机变量的两两不相关性就是相互独立性，称之为正态（高斯）白噪声序列。显然，白噪声是随机性最强的随机序列，实际中不存在，是一种理想白噪声，一般只要信号的带宽大于系统的带宽，且在系统的带宽中信号的频谱基本恒定，便可以把信号看作白噪声。注意：正态和白色是两种不同的概念，前者是指信号取值的规律服从正态分布，后者指信号不同时刻取值的关联性。1.2.8.3 谐波过程谐波过程的描述如下：地球物理信息处理基础式中Ai、ωi均为常数，θi是一独立随机变量，在（-π，π］内服从均匀分布，即地球物理信息处理基础可以证明，这种谐波信号模型是平稳的，设N=1时，有x（n）=A cos（ωn+θ）它的统计平均值和自相关函数地球物理信息处理基础rxx（n+m，n）=E［x［n+m］x（n）］地球物理信息处理基础由于谐波过程的统计平均值与时间n无关，自相关函数仅与时间差m有关，谐波过程是平稳的。当N大于1时，也有同样的结论，可以证明：地球物理信息处理基础

随机变量X本身是个变量，表面看来n个变量怎么能直接求和呢？实际上是这么回事，比如掷骰子，每次X有6个可能取值：1,2,3,4,5,6；但是每次投掷X取值都只能是6个值中的一个，进行n次投掷，Xi每次的取值都是一个值，所以可以对Xi进行求和{Xi}之所以是序列(其实可以算个数列)，是因为Xi在每次试验时是一个值，而不再是个变量

我的理解，随机序列是“有顺序，有标号”的一系列随机数，随机过程是研究它们统计学特性的学科（特别是“时相关”特性，这个是随机变量研究里没有的）。随机序列一般不是有标号（离散的标号，例如x1,x2,...)，就是有时间轴（连续的标号，比如s(t)其中t为时间），最重要的特点是“有顺序”！和一般的随机变量不同（你每次的观测量只是一个数而已），对于随机序列，你每次的观测量，就最起码是一大长串随机数了。举两个例子：（1）某支股票的每日收盘价（只看收盘价！），这是个典型的离散时间轴随机序列，间隔为1天，股票价格受很多因素影响因而呈现随机性，但是统计上仍然有规律可循。（2）电子仪器的噪声曲线，这是个典型的连续时间轴随机序列，你任何时候都能从仪器读到值，该值随机，但是这个值是有统计规律的，例如波动范围之类的参数。随机过程的重要性，就是研究随机序列的一些统计学特性，特别是“时相关”特性。比如金融学里，人们就建立了大量的模型，去研究股票走势里的统计特性，甚至拿来进行股价预测，成功的预测模型可以帮助人们获得大笔利润。例如，金融学里都会教的ARMA模型（你可以看下参考资料），就做了如下假设：今天的股票收盘价，会受到前面几天股票收益的影响（线性关系），在加上一个白噪声函数。这就是随机序列的“时相关”重要特性的体现。这只是个简单的例子。随机过程，在工程学，金融学，经济学等学科里，都有很重要的地位，努力学好它吧。

随机变量序列的依概率收敛不满足加减乘除四则运算性质。 A.正确B.错误正确答案：B

随机序列的产生为了形容随机变量形成的序列。一般的，如果用X1，X2……Xn（表示n下标于X）代表随机变量，这些随机变量如果按照顺序出现，就形成了随机序列，记做X^n（表示n上标于x）。这种随机序列具备两种关键的特点：其一，序列中的每个变量都是随机的；其二，序列本身就是随机的。

1-φ（x）因为小于等于号左边的大于0的时候为φ（x），这是个正态分布，所以用1减一下

书上这一节主要讲的是概率论的理论依据，我们高中甚至是初中就学了概率，但是却没有学为什么是这样的，为什么算术平均值可以代表一种结果出现的可能性，这一节就是从理论上证明了我们早已熟知的东西(比如你知道骰子出现1的概率是1/6，但是你知道为啥要这么做吗，虽然想起来很简单，但是数学是严谨的，所以数学家们做了无数次重复实验，证明了 在实验条件不变的情况下，重复实验很多次，随机实验的频率会接近它出现的概率，也就是我们这一节讲的大数定律，概率才有了坚实的理论基础。 我来举个栗子，比如掷骰子，每掷一次骰子都会有一个结果1～6中的任意一个数，我们按照古典概型可以知道每个数出现的概率都是1/6，于是我们可以计算出一次实验的期望(均值)。 在我不知道这些的情况下，我想通过做n多次实验来看看点数出现的规律到底是什么(或者到底有没有规律)，我把每次实验都取个名字(你会发现其实每一次实验都是一个随机事件，我都用一个随机变量来表示，这些随机变量我给他取名字叫x1，x2，他们分别代表了第一次掷骰子，第二次掷骰子，单从一次实验来看每次实验都可能出现1～6的任意一个数，1～6就是随机变量的取值，一般用小写字母表示)。 重点来了，我做了n次实验，得了n和结果，并且这些结果都是1～6中的数，我想研究他有没有规律可言("概率")，这n个数的算术平均值可以计算(这就是你问的Xn的平均，比如我掷骰子6次，出现的结果分别是3，3，2，4，5，1，那么他的算术平均值就是把他们加起来除以总数，算出来结果是3)，从概率论的角度我们可以算出掷骰子的期望(均值)＝1/6×1+1/6×2+1/6×3+1/6×4+1/6×5+1/6×6＝3.5，两者之间的值很接近，而且你会发现实验的次数越多，就越接近，这就是频率的稳定性。 你还问到随机变量序列的算术平均值和每个随机事件的期望的平均相减的意义，他们相减大于一个任意小的正数的概率趋近于1(在做实验的次数无限大的情况下)，就是说当我做实验的次数无限多的时候我们可以用期望来表示随机事件出现的可能性，就是我一开始提到的随机事件的频率近似于它的概率。 数学家们先有了概率的猜想，再从理论的角度去证明他。总的来说就是，X是一个随机变量，每做一次实验都有一个取值(实验结果)，做n次实验就有n个实验结果，而在做实验之前结果都是未知的，所以我们叫他随机变量，随机变量有随机取值，实验结果总是这些值中的一份子而已。我们用概率来判断未知，也就是未知出现的可能性。你的第二个问题我没有回答，我想看到这你应该知道答案了吧，如果不知道可以追问我哦，虽然已经过去很久了这个问题，可能你早就都懂了吧U0001f602。更2020.10时隔多年又一次想到这个问题有了一些新的认识，我发现把自己的想法写在这里也相当于自己的笔记，目前在学应用统计的课所以重新捡起了概率论，很多东西都已经忘记了，所以又翻到了这里。仔细看了一下题主的图片才发现原来我的理解是有偏差的，所以再来纠正一下自己。书中说的是 大量独立或弱相关的因素（比如一个人的身高是由各种因素影响的，父母的身高，营养获取，基因U0001f9ec控制等等，这些因素是互相无关的） 累积在一起的规律服从大数定律，而我当时理解为大量独立同分布的随机变量了（相同的实验做了好多次，每次实验的期望方差都相等）了。Yn 说的是随机变量的和（随机变量是用随机数字代表随机事件的东西，比如用1代表抛硬币出现正面结果，0代表抛硬币出现反面结果，因为数字更方便计算，总不能说抛硬币出现的平均结果是不正不反吧，这样也不好用数学表示）Yn/n表示的是随机事件的算数平均（统计了一群人的身高数据），EYn/n表示的是多个随机变量期望的平均（客观存在的影响人的身高的各个因素的期望，这个值一般是不知道的，可以通过统计数据来估计）。查了一下百度百科觉得有一句话可以表达这个定律：当大量重复某一相同实验的时候，最后的实验结果可能会稳定在某一数值（其实就是期望）附近。用在身高的例子就是，统计了10万人的身高，会发现大多数人的身高集中在一个数值附近（这里是正态分布的miu附近，这个miu应该是多个因素的期望的平均 ）

妹妹和 v 和 vv 一个骨灰盒。这种难以言语不想要不要买了好多事好多东西了……在这种情况下……在这种环境部长会议中心

服从参数为1/ξ的泊松分布

、切比雪夫不等式：设随机变量X有期望E(X)与方差D(X)，则对任意正数ε，有P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε^2,或P{|X-E(X)|＜ε}≥1-D(X)/ε^2.它表明，当D(X)很小时，X落入区间E(X)-ε，E(X)+ε是大概率事件，也即X的概率分布集中在期望E(X)附近。2、贝努利大数定律：设m是n次独立重复试验中A发生的次数，p是事件A的概率：p=P(A)，则对任意正数ε有：它表明：当n充分大时“频率m/n与概率p的绝对偏差小于任意给定的正数ε”。这正是“概率是频率稳定值”的确切含义。贝努利大数定律成立的条件是，独立重复试验。3、独立同分布序列的切比雪夫大数定律 设独立随机变量序列X1，X2，... ，Xn，...服从相同的分布，E(Xi)=μ,D(X)=σ^2(i=1,2...),则对于任意正数ε，有它表明：n充分大时，“试验值~X与期望μ的绝对偏差小于任意给定正数ε”几乎必然会发生，这正是“期望是试验平均值的稳定值”的确切含义。概率论中，大数定律是随机现象的统计稳定性的深刻描述：时也是数理统计的重理论基础。--------------------------------------------------------------------------------二、了解独立同分布序列的中心极限定理，知道棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。1、独立同分布序列的中心极限定理当n充分大时，独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布N(nμ,nσ^2)当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值的分布近似于正态分布N(μ,σ^2/n) 2、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理在贝努利试验中，若事件A发生的概率为p,又设m为n次独立重复试验中事件A发生的频数，则当n充分大时，m近似服从正态分布N(np,npq);在贝努利试验中，若事件A发生概率为p,又设m/n为n次独立重复试验中事件A发生的频率，则当n充分大时，m/n近似服从正态分布N(p,pq/n)

你也在为概率烦恼么？我也是。。。

中心极限定理是研究独立随机变量和的极限分布为正态分布的问题。它是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景。中心极限定理(central limit theorem)是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量积累分布函数逐点收敛到正态分布的积累分布函数的条件。意义：中心极限定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从正态分布的条件。设随机变量X1，X2，......Xn，......相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差:E(Xk)=μ，D(Xk)=σ^2>0(k=1,2....),则随机变量之和的标准化变量的分布函数Fn(x)对于任意x满足limFn(x)=Φ(x)，n→∞ 其中Φ(x)是标准正态分布的分布函数。例如：水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假设后勤集团经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1％的时间要占用一个水龙头，现有水龙头45个，现在总务处遇到的问题是：　　（1）未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？　　（2）至少要装多少个水龙头，才能以95％以上的概率保证不拥挤？　　解：（1）设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X，则　　X～B（5000，0.01）中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本的均值总是近似地服从正态分布。如果一个随机变量能够分解为独立同分布的随机变量序列之和，则可以直接利用中心极限定理进行解决。总之，恰当地使用中心极限定理解决实际问题有着极其重要意义。

不可以期望和方差相同的太多了。完全不是一回事 反之，同分布则期望方差相同成立

若要证明结论，先求b的极大似然估计：b的估计为max{X1,...Xn}，根据分布函数可以求得概率。F（max{X1,...Xn}）=p(x<=max{X1,...Xn})=P（X<=b)=1

所谓的“随机变量依概率有界”的说法自然是不完全严谨的说法，当为随机变量族（或随机变量序列）依概率有界。亦即题主 不应当理解为单个随机变量的说法。常见的随机变量序列 依概率有界的定义为 上述定义有时也被记作 本质上，它是对应随机变量序列的分布测度的tight概念（胎紧性）。题主的表述是极其含混不清的。单个随机变量在上述定义模式下总是具有依概率有界性质的。盲猜题主表述的结论是 亦即 一般而言这不能导致有关数学期望的结论，只意味着序列 会依概率收敛到零。举例说明如下：设 这是一个显然的反例。

蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）是一种通过随机变量的数字模拟和统计分析来求取数学物理、工程技术问题近似解的数值方法，利用这种方法求解问题的过程可以归纳为下列三个基本步骤：（1）随机变量的抽样试验。按基本随机变量（输入随机变量）的已知概率分布进行随机抽样（数字模拟）。（2）样本反应求解。对每个抽取的样本，按问题的性质采用确定性的控制数学、物理方程求取样本反应。（3）计算反应量的统计量估计。对所有样本反应，按所求解答的类型分别求取输出随机变量的均值、方差或概率分布。当求解确定性问题时，首先，要根据所提出的问题构造一个简单、适用的概率模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些数字特征（如概率、数学期望、方差等）；然后，在高速运行的计算机上生成随机数，并对随机数进行统计分析试验；最后，利用试验所获结果求出统计特征的估计值作为问题的近似解。总结以上思想，可以得出利用蒙特卡罗方法求解确定性问题的基本步骤为：（1）根据所要求解的实际问题来构造概型，并使概型的某些统计特征恰好相当于所要求的问题的解。（2）根据所建立的概率模型，设计、使用一些加速收敛的方法，以求加速收敛并提高计算精度。（3）给出在计算机上产生概型中各种不同分布随机变量的方法。（4）统计处理模拟结果，给出问题的近似解并做解的精度估计。蒙特卡罗方法虽然可以求解许多确定性工程技术问题，但其独到之处还应该在于求解随机性问题。用蒙特卡罗方法求解随机性问题时，一般首先，根据问题的物理性质建立随机模型；然后，再根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，进行大量的统计试验，以取得所求问题的大量试验值；最后，根据这些试验结果求它的统计特征量，从而获得所求问题的解。由此可见，用蒙特卡罗方法求解随机问题的步骤与求解确定性问题的步骤基本一致。总之，蒙特卡罗方法的理论基础是概率论中的大数定律。设在N次独立试验中，n为事件A出现的次数，而P（A）为事件A在每次试验中出现的概率，贝努利大数定律指出，对于任意ε＞0，当 N→∞时，事件 A 出现的频率的概率收敛于事件的概率。即地下水系统随机模拟与管理当随机变量满足独立分布时，若随机变量序列ξ1，ξ2，…，ξN的分布相同，ξi具有有限的数学期望E（ξi）=a，i=1，2，…，N，则根据柯欠莫哥洛夫大数定律，对于任意的ε＞0，当N→∞时，变量ξi 将以概率1收敛于期望值 a，即地下水系统随机模拟与管理在蒙特卡罗方法中，采用简单抽样方法进行随机变量的数字模拟，因此其所抽取的子样为具有同分布性质的独立随机变量，当抽取的样本个数足够大时，样本均值将以概率1收敛于分布均值，而事件 A 出现的频率则以概率收敛于事件A 出现的概率，这样就保证了蒙特卡罗方法的概率收敛性。2.1.1 均匀分布随机数的生成根据所求解问题性质的不同，其基本随机变量可能属于不同的概率分布，为了产生不同分布类型的随机变量的抽样值（随机数），一般需先产生一个在［0，1］上均匀分布的随机变量的抽样值，然后按照给定的概率分布类型将其转化为所需随机变量的抽样值。因此，均匀分布随机变量随机数的生成是蒙特卡罗方法实现的基础。利用数值法产生的均匀随机变量的抽样值称之为伪随机数，这是因为数值方法的基础是某一数学递推公式，按这类递推公式产生的抽样与［0，1］均匀分布中的抽样在统计性质上不可能完全相同。数学递推公式的一般形式是：地下水系统随机模拟与管理式中：f（xn，xn-1，…，xn-k）——某一给定的函数形式。根据这一函数式，当给定一组初值，x0，x-1，…，x-k后，便可依次求出x1，x2，…，xm…最常用的（0，1）均匀分布随机数生成的递推公式有：（1）乘同余法。用以产生（0，1）均匀分布随机数的递推公式为：地下水系统随机模拟与管理式中：λ，M和x0——预先给定的常数。式（2.4）的意义是指以 M 除以λxi-1后得到的余数记为 xi。由于是余数，所以，即有：地下水系统随机模拟与管理如此所得的随机数序列r1，r2，…，ri为具有（0，1）均匀分布的随机数。由式（2.4）不难看出，不同的xi最多只能有M个，相应地不同的随机数ri也最多只能有M个。所以当产生的随机数ri个数多于M个时，就会出现循环数，这样，便再不能看成是随机数。为了使所产生的随机数能经得住数理统计中的独立性和均匀性检验，需要合理选择随机数生成参数x0，λ及M。表2.1所列为几个经过检验的参数，以供参考。表2.1（2）混合同余法。混合同余法的递推公式为：地下水系统随机模拟与管理通过适当地选取参数，可以改变伪随机数的统计性质。其他有关伪随机数的生成技术读者可参阅文献［32，41］。2.1.2 任意分布随机数的生成任意分布随机数的生成是以（0，1）均匀分布随机数为基础，通过适当的数学变换来形成。可以证明有下列任意分布随机数生成公式。（1）（a，b）上均匀分布随机数的生成公式为：地下水系统随机模拟与管理（2）具有指数分布概率密度f（x）=λe-λx（x≥0）的随机数生成公式为：地下水系统随机模拟与管理（3）正态分布N（0，1）随机数生成公式为：地下水系统随机模拟与管理（4）正态分布N（μ，σ）随机数生成公式为：将式（2.8）的xi代入式：地下水系统随机模拟与管理即可得 N（μ，σ）分布随机数上述各式中的ri 为（0，1）均匀分布随机数。2.1.3 随机数的统计检验为了进一步了解所生成的随机数是否具有我们所需要的随机数特性，往往需要对所生成的随机数进行参数检验，均匀性检验和独立性检验。参数检验主要是为了检验随机数的子样均值和理论均值的差异是否显著，（0，1）上均匀分布的随机变量R的期望值和方差分别为：地下水系统随机模拟与管理地下水系统随机模拟与管理设随机变数R共有n个观测值r1，r2，…，rn，则由中心极限定理得知：式中：地下水系统随机模拟与管理渐近服从标准正态分布 N（0，1），可以进行 U 检验。当给定显著性水平后，即可根据正态分布表确定临界值，据此判断-r 与其期望值E（R）之差异是否显著，从而决定能否把 r1，r2，…，rn看做是（0，1）均匀分布随机变量 R 的n 个独立取值。均匀性检验又称频率检验，它检验随机数的经验频率与理论频率的差异是否显著。把（0，1）区间分成 k 等份，以（i=1，2，…，k）表示第 i 个小区间，如 rs 是（0，1）上均匀分布的随机变量 R 的一个取样值，则它落在任一小区间的概率 Pi均匀等于这些小区间的长度，故 n 个值落在任一个小区间的平均数为mi=nPi=n/k，设 n 个rs 值落入第i 个小区间有ni个，则统计量：地下水系统随机模拟与管理渐近地服从χ2（k-1）分布。据此可进行显著性检验。独立性检验主要是检验随机数r1，r2，…，中前后各数的统计相关性是否显著。两个随机变数的相关系数反映它们之间的线性相关程度，若两个随机变数相互独立，则它们的相关系数ρK=0，故可通过相关系数来检验随机数的独立性。设给定n个随机数r1，r2，…，rn，前后距离为k的样本相关系数的计算公式为：式中：地下水系统随机模拟与管理当独立性假设（ρ=0）成立时，则当 n 充分大（如 n＞50+k）时，统计量 U=渐近地服从标准正态分布N（0，1），故可进行 U 检验。

在概率论中，依概率收敛是随机变量收敛的方式之一。一个随机变量序列依概率收敛到某一个随机变量，指的是序列和变量之间存在一定差距的可能性将会随着量的增大而趋向于零。 依概率收敛是测度论中的依测度收敛概念在概率论中的特例。依概率收敛是一种常见的收敛性质。依概率收敛比依分布收敛更强，比平均收敛则要弱。 如果一个随机变量序列依概率收敛到某一个随机变量，则它们也一定依分布收敛到这个随机变量。反过来则不然：只有当一个随机变量序列依分布收敛到一个常数的时候，才能够推出它们也依概率收敛到这个常

设{Xn}为相互独立的随机变量序列，证明{Xn}服从大数定律。计算出X(n)的分布函数,从而分布密度.（有现成公式）计算P（|X(N)-a|>e)=P(a-ea如果U（0，a）的分布函数是F(x)，则Xn的分布函数就是[F(x)]^n。例如：大数定理， 要求i.i.d. ( independently, identically distributed)，也即期望相同E(X1) = E(X2) = ...方差相同Var(X1) = Var (X2) = ...题中情况是： E 相同，但是Var 不同，Var(X1) = 0, Var(X2) = ln2。扩展资料：在随机现象的大量重复中往往出现几乎必然的规律，即大数法则。此法则的意义是：风险单位数量愈多，实际损失的结果会愈接近从无限单位数量得出的预期损失可能的结果。据此，保险人就可以比较精确的预测危险，合理的厘定保险费率，使在保险期限内收取的保险费和损失赔偿及其它费用开支相平衡。大数法则是近代保险业赖以建立的数理基础。保险公司正是利用在个别情形下存在的不确定性将在大数中消失的这种规则性，来分析承保标的发生损失的相对稳定性。参考资料来源：百度百科-大数定律

为了说明什么是随机序列，我们来举两个例子。假设我们持续扔一个色子，我们把这个事件细分，那么这个事件应该包括扔第一次色子得到的点数，扔第二次得到的点数，直到扔第n次得到的点数。把每次扔的的点数按顺序分别记做X1，X2……，Xn。这里每个X的取值可能为{1 2 3 4 5 6}。那么我们可以写出随机序列：X^n = X1X2X3……Xn更实际的，我们可以用高速路收费站来说明。假设一个收费站有10个出口。那么，把收费站出口出去的车数记做随机变量Xn，这里Xn就是集合{X1，X2……，Xn}，集合中每个元素的取值为{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10}。那么如果按照时间顺序观察，不难得出一个随机序列，这个序列表示出口出去车数的一个变化情况，是一个序列，记做：X^n = X1X2X3……Xn

随机变量（random variable）表示随机现象（在一定条件下,并不总是出现相同结果的现象称为随机现象）各种结果的变量（一切可能的样本点）.例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数,电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数等等,都是随机变量的实例.一个随机试验的可能结果（称为基本事件）的全体组成一个基本空间Ω .随机变量X是定义在基本空间Ω上的取值为实数的函数,即基本空间Ω中每一个点,也就是每个基本事件都有实轴上的点与之对应.例如,随机投掷一枚硬币 ,可能的结果有正面朝上 ,反面朝上两种 ,若定义X为投掷一枚硬币时正面朝上的次数 ,则X为一随机变量,当正面朝上时,X取值1；当反面朝上时,X取值0.又如,掷一颗骰子 ,它的所有可能结果是出现1点、2点、3点、4点、5点和6点 ,若定义X为掷一颗骰子时出现的点数,则X为一随机变量,出现1,2,3,4,5,6点时X分别取值1,2,3,4,5,6.

我觉得是0啊

根据概率收敛于x :标记为(a.s.)根据概率1收敛于x :标记为(p )收敛于分布:分布函数列弱收敛于随机变量x的分布函数f(x )，标记为二阶矩空间：H空间上的范数：随机变量序列的均方极限：定义：设置，如果随机变量序列{}的均方收敛于随机变量x，将x表示为的均方极限ps :极限运算直接接触随机变量时，使用符号l.i.m柯西序列：当满足二阶矩空间h中随机变量序列时被称为柯西序列。柯西均方收敛准则：二阶矩空间h中随机变量序列均匀收敛的充分要求是它是一只感人的母鸡。均方极限：定义(x(t )，t ) t是二阶矩随机过程，x(h，如果这样，表示x(t )全部收敛于x即可洛易夫均方收敛准则：{x(t )，tT}是二阶矩的随机过程，{x(t )在那里收敛的充分必要条件是存在。均方连续：定义(如果满足二阶矩过程(x ) t )，则称为) x ) t )，t )以均方连续。均方连续准则：二阶矩过程(x(t )、t(t )在t ) t上均方连续，相关函数r(s，t )在那里连续是十分必要的条件。均方导数：定义(二次矩过程)称为x(t )，t(t )在点上微小，在均方极限的情况下，统称为{x(t )，表示为t(t )点的均方微分和均方微分。广义二阶导数：定义：存在，这个极限被称为f(s，t )的) s，t )中的广义二次导数。均方可微准则：实二次矩过程{x(t )、t (t )可以处处微，的充要条件是相关函数r(s，t )可以处处广义二次微。

其实就是收敛于他的数学期望E[X^2],根据公式D(X)=E(X^2)-E(X)^2,，得答案为σ^2+μ^2

随机变量序列依分布收敛于常数C，则它也依概率收敛于常数C。 A.正确B.错误正确答案：A

你好：这是个好问题。我的回答也是自己乱想的，以供参考。1：收敛，极限中的收敛是数值收敛，变量的取值（变量）和极限值（常量）的 数值差 = 距离=差的绝对值 “能” 小于任意给定的正数；课本上没有说清楚，两个变量X，Xn 不能按数值收敛考虑，他们的数值差不能计算，因为是随机的但是 “依概率” 暗含一个变量向数值量转化的过程，概率是可计算的。2:举例，就拿课本上，抛硬币 来说，频率 依概率收敛于 概率值，f→p (依靠概率)f 是可计算的，只要变量发生次数，和实验次数已知，频率已知；概率值往往是总体中已知的，是一个常数量，X分布已知，则事件发生概率已知； 当n 实验次数增多时，f 虽然是变量，但是，固定一个n ,就能有一个f 值，并且f 值和p值很接近；希望相互提高吧，加油。

随机变量序列。random variable sequence

、切比雪夫不等式：设随机变量X有期望E(X)与方差D(X)，则对任意正数ε，有P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε^2,或P{|X-E(X)|＜ε}≥1-D(X)/ε^2.它表明，当D(X)很小时，X落入区间E(X)-ε，E(X)+ε是大概率事件，也即X的概率分布集中在期望E(X)附近。2、贝努利大数定律：设m是n次独立重复试验中A发生的次数，p是事件A的概率：p=P(A)，则对任意正数ε有：它表明：当n充分大时“频率m/n与概率p的绝对偏差小于任意给定的正数ε”。这正是“概率是频率稳定值”的确切含义。贝努利大数定律成立的条件是，独立重复试验。3、独立同分布序列的切比雪夫大数定律 设独立随机变量序列X1，X2，... ，Xn，...服从相同的分布，E(Xi)=μ,D(X)=σ^2(i=1,2...),则对于任意正数ε，有它表明：n充分大时，“试验值~X与期望μ的绝对偏差小于任意给定正数ε”几乎必然会发生，这正是“期望是试验平均值的稳定值”的确切含义。概率论中，大数定律是随机现象的统计稳定性的深刻描述：时也是数理统计的重理论基础。--------------------------------------------------------------------------------二、了解独立同分布序列的中心极限定理，知道棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。1、独立同分布序列的中心极限定理当n充分大时，独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布N(nμ,nσ^2)当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值的分布近似于正态分布N(μ,σ^2/n) 2、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理在贝努利试验中，若事件A发生的概率为p,又设m为n次独立重复试验中事件A发生的频数，则当n充分大时，m近似服从正态分布N(np,npq);在贝努利试验中，若事件A发生概率为p,又设m/n为n次独立重复试验中事件A发生的频率，则当n充分大时，m/n近似服从正态分布N(p,pq/n)

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　　依概率收敛的意义：　　如果一个随机变量序列依概率收敛到某一个随机变量，则它们也一定依分布收敛到这个随机变量。反过来则不然：只有当一个随机变量序列依分布收敛到一个常数的时候，才能够推出它们也依概率收敛到这个常数。　　依概率收敛在概率论中，依概率收敛是随机变量收敛的方式之一。一个随机变量序列（Xn）n>=1 依概率收敛到某一个随机变量 X ，指的是 Xn 和 X 之间存在一定差距的可能性将会随着n 的增大而趋向于零。　　依概率收敛是一种常见的收敛性质。依概率收敛比依分布收敛更强，比平均收敛则要弱。

我们书上有，怎么给你？？

武纺的吧！

是。依概率1收敛，就是说当n趋向于无穷，Xn取a的概率接近于1。表示概率：一个事件的概率值通常以一个介于0到1的实数表示。一个不可能事件其概率值为0，而确定事件其概率值则为1。 但反推并不一定成立，也就是说概率值为0的事件不表示它就是一个不可能事件，同理，概率值为1的事件不表示它就一定发生。例如，在一个正方形内作一条线段，由于这条线段的面积是0，所以一个点落在这条线段上的概率就是0，但它并不是不可能事件。实际上大多数的概率值都是介于0与1之间的数，这个数示代表事件在"不可能发生"与"确定发生"之间的相对位置。事件的概率值越接近1，事件发生的机会就越高。举例来说，假设两个事件有相同的发生概率，就像被抛掷而落地的铜板不是正面向上就是反面向上一样，但是我们不能说：每2次抛掷会出现1次，只能说事件发生的概率是平均每2次出现一次，或说是 "50%" 或 "1/2"。

1-φ（x）因为小于等于号左边的大于0的时候为φ（x），这是个正态分布，所以用1减一下

定义：假设离散型随机变量 的分布律为： 如果 级数 绝对收敛 ，则称级数 的和为随机变量 的 数学期望 ，记为 。即， 设连续型随机变量 的概率密度为 ，如果积分 绝对收敛 ，则称积分 的值为随机变量 的 数学期望 ，，记为 。即， 数学期望简称 期望 ，又称为 均值 。 定义： 设 是随机变量，若 存在，则称 为 的 方差 ，记为 或 。即， 度量随机变量与其均值 的偏离程度。 记为 ，称为 标准差 或者 均方差 。 方差一个著名的表达形式， 定理： 设随机变量 具有数学期望 , 方差 ，则对于任意正数 ，不等式 成立。 该不等式被称为 切比雪夫不等式 。 证明： 根据概率的定义， 切比雪夫不等式也可以写成， 切比雪夫不等式给出了在随机变量分布未知，只知道 与 的情况下，估计概率 的界限。 设 是相互独立同分布的随机变量序列，且具有数学期望 。计算前 个变量的算术平均 ，则对于任意 ，有 证明： [1]中只给出了随机变量的方差 存在 这一条件下的证明。 考虑随机变量 ， 根据切比雪夫不等式 ， ， 根据概率的定义， ，有 ， 对不等式取 ，得到 弱大数定律表明：对于独立同分布且具有均值 的随机变量 ，当 很大时它们的算术平均 很可能 接近于 。 也称序列 依概率收敛 于 。 设 是 次独立重复试验中事件 发生的次数， 是事件 在每次试验中发生的概率，则对于任意正数 , 有 [1] 概率论与数理统计（浙大第四版），盛骤、谢式千、潘承毅。

中心极限定理，是指概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。随机变量是独立同分布中心极限定理。随机变量（randomvariable）表示随机试验各种结果的实值单值函数。随机事件不论与数量是否直接有关，都可以数量化，即都能用数量化的方式表达。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。最早的中心极限定理是讨论重点，伯努利试验中，事件A出现的次数渐近于正态分布的问题。中心极限定理应用介绍：中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法。而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。

Please put it in Math "ban" and send me a message.

依概率收敛在概率论中，依概率收敛是随机变量收敛的方式之一。一个随机变量序列（Xn）n>=1 依概率收敛到某一个随机变量 X ，指的是 Xn 和 X 之间存在一定差距的可能性将会随着n 的增大而趋向于零。依概率收敛是测度论中的依测度收敛概念在概率论中的特例。依概率收敛是一种常见的收敛性质。依概率收敛比依分布收敛更强，比平均收敛则要弱。如果一个随机变量序列依概率收敛到某一个随机变量，则它们也一定依分布收敛到这个随机变量。反过来则不然：只有当一个随机变量序列依分布收敛到一个常数的时候，才能够推出它们也依概率收敛到这个常数。

因为教书，所以，在讲解相关的概念和技术的时候，总是习惯首先 从大处着眼 ，然后 在小处入手 。所谓 从大处着眼 ，就是梳理下概念和技术的源流和历史； 在小处入手 就是总是使用具体的例子来讲解。这样，才能既有对相关专题的宏观把握，又能直观地领会背后的数学。 统计学，想来理工科的人都学习过。不过，可能也都有头疼的感觉：似乎学习统计学就必须先学习概率论，可概率论就向一座山，想要弄懂并不容易(我要承认，我是没有深入体会的)。 因为自己学习某一理论总是习惯了解其后的历史，所以，也了解到统计学早期的一些有趣的轶事。知道，最早使用 统计学 来认知社会现象的时候，并不是学会了概率论才行的。更像是， 先做了，然后才是夯实理论基础 - 这在数学发展的过程中是屡见不鲜的。 所以，了解统计学的思想，并不需要严格的概率论的知识。不过，现在的书籍大多秉承了 倒叙 的方式，总是将后来的 解释- 也就是理论基础 先说一大堆，然后才是 严谨地 将 鲜活的 统计学思想妥善地隐藏在纷繁复杂的各个章节中。很多时候，学习统计学的人在概率论就已经 死去了 :smile: 其实，统计学的很新内容是很简洁明了的，也就是 基于分布的小概率逻辑推断 而已。 我们都有这样的经历，当你习惯了每天某一时刻会发生某件事时(如日出日落)，突然有一天此事不再发生，你必然会觉得很奇怪，会推测是不是因为什么原因导致了此事在今天没有发生。 其实，将此种现象在数学(统计学)中提炼出来就是小概率事件(Small Probability Event)。为了量化这样的概念，统计学中做了严谨的理论构建，也就是概率论等的价值所在。 为此，统计学理论的基本任务就是： 常见统计学书籍的章节虽然很多，其实都是可以从上面衍生出来的。 下图即为标准正态分布(Standard Normal Distribution)的示意。横坐标上就是随机变量(与事件是绑定的)的取值；那个钟型曲线覆盖下的面积就是对应于相应取值范畴的可能程度(概率)。例如，变量取值在[0, 0.5]时，概率是19.1%。 对于像正态分布这类的对称形状，如果指定以0点所在的位置对称向左右等距扩展作为规则，得到的区间和概率是一一对应的。如，[-1,1]对应的概率就是2*(15+19.1) = 30+38.2 = 68.2%。此时，-1和1就是概率68.2%所对应的的关键值(Critical Value)。 而按照惯例，我们通常会指定比较大的概率(常用的多是大于或等于95% - 如95%， 96%， 98%等)作为事件可能取值的极大可能程度，在统计学中称为置信度(Confidence Level)。如下图所示：95.4%是很大的概率了，对应的关键值是-2和2，[-2,2]也就是统计学书籍中对应95.4%置信度的置信区间(Confidence Interval)。 对应的，排除在置信区间之外的可能取值范畴就是我们所感兴趣的小概率事件区间(SPE Interval)。如下图示。如果再一次抽样中得到的统计变量的值落入此小概率事件区间中，那么，按照 核心就是基于分布的小概率逻辑推荐 中的叙述，我们就有理由做两种推断了。 剩下的就是如何计算给定置信度下的置信区间。这也是统计学书籍的主要内容。感谢前人的艰苦付出，他们完成了很多分布的计算表格，如果你遇到 计算给定置信度下的置信区间 的问题，去查表即可。 下面给出一个求解置信度95%的双尾(2 Tails，也就是要求对称的置信区间。与之对应的是单尾，即对应置信度95%的单尾置信区间是从-∞到关键值)置信区间的例子。想要完成计算，就必须了解如何使用计算表(Table of Normal Distribution)。 想要准确使用计算表，就要注意与表格对应的示意图(Indicator)。上面图中左侧就是对应的示意图，表示对应[0,0.45]的概率是0.1736，即计算表格中深蓝色箭头所示意的。 如果想要求解置信度95%的双尾置信区间，也就是要求找到某个x值，[-x,x]区间上的概率恰好就是95%。想要使用上面的计算表格完成x的查找，就要做一点小小的转换。 因为正态分布是对称的，那么，[-x,x]区间上的高绿要保证是95%，也就意味着[0,x]区间上的概率必须是95%的二分之一，即47.5%=0.4750。查表得到x=1.96。即置信区间是[-1.96,1.96]。 Example: Your business – Quality Control ： Your company is majoring to produce some products, whose size is firmly required: μ=21 mm, and the variance should be smaller than σ≤0.1 5 mm. Today, you pick 9 products from that collection, and measure the average length of those 9 products is 21.4 mm. Are you confident (95%-2 tail) with the quality of your products? Solution ： 前面提到，统计学的基本内容是依赖于分布的，一般教科书中提到的主要就是四种分布 - 前面的正态分布，学生分布，卡方分布，以及费舍尔分布。 如下图所示，针对不同的统计变量，就会有已经证明了的统计分布与之相对应；而剩下的计算也仍然是前面介绍的套路：或者估计相应分部的参数；或者计算给定置信度的置信区间，然后进行推断。 其中比较有趣的是所谓的ANOVA - ANalysis Of VAriance (方差估计)。虽然名字里有方差一次，实际的应用跟方差没啥关系。有兴趣的请自行检索。 在有了前面的储备后，看看常见的统计学的书籍，也就没那么障碍了。 个人觉得，多元统计分析，很多内容已经跟后来的数据挖掘和机器学习相重合了。已经不是严重依赖分布的统计学传统套路了。不过，这类方法也仍然称之为统计学习(Statistical Learning) 目录 第一篇 监督学习 第二篇 无监督学习 第13章 无监督学习概论 13.1.1 无监督学习基本原理 13.1.2 基本问题 13.1.3 机器学习三要素 13.1.4 无监督学习方法 第14章 聚类方法 14.1 聚类的基本概念 14.1.1 相似度或距离 14.1.2 类或簇 14.1.3 类与类之间的距离 14.2 层次聚类 14.3 k均值聚类 14.3.1 模型 14.3.2 策略 14.3.3 算法 14.3.4 算法特点 本章概要 第15章 奇异值分解 15.1 奇异值分解的定义与性质 15.1.1 定义与定理 15.1.2 紧奇异值分解与截断奇异值分解 15.1.3 几何解释 15.1.4 主要性质 15.2 奇异值分解的计算 15.3 奇异值分解与矩阵近似 15.3.1 弗罗贝尼乌斯范数 15.3.2 矩阵的优近似 15.3.3 矩阵的外积展开式 本章概要 第16章 主成分分析 16.1 总体主成分分析 16.1.1 基本想法 16.1.2 定义和导出 16.1.3 主要性质 16.1.4 主成分的个数 16.1.5 规范化变量的总体主成分 16.2 样本主成分分析 16.2.1 样本主成分的定义和性质 16.2.2 相关矩阵的特征值分解算法 16.2.3 数据局正的奇异值分解算法 本章概要 继续阅读 习题 参考文献 第17章 潜在语义分析 17.1 单词向量空间与话题向量空间 17.1.1 单词向量空间 17.1.2 话题向量空间 17.2 潜在语义分析算法 17.2.1 矩阵奇异值分解算法 17.2.2 例子 17.3 非负矩阵分解算法 17.3.1 非负矩阵分解 17.3.2 潜在语义分析模型 17.3.3 非负矩阵分解的形式化 17.3.4 算法 本章概要 第18章 概率潜在语义分析 18.1 概率潜在语义分析模型 18.1.1 基本想法 18.1.2 生成模型 18.1.3 共现模型 18.1.4 模型性质 18.2 概率潜在语义分析的算法 本章概要 第19章 马尔可夫链蒙特卡罗法 19.1 蒙特卡罗法 19.1.1 随机抽样 19.1.2 数学期望估计 19.1.3 积分计算 19.2 马尔可夫链 19.2.1 基本定义 19.2.2 离散状态马尔可夫链 19.2.3 连续状态马尔可夫链 19.2.4 马尔可夫链的性质 19.3 马尔可夫链蒙特卡罗法 19.3.1 基本想法 19.3.2 基本步骤 19.3.3 马尔可夫链蒙特卡罗法与统计学习 19.4 Metropolis-Hastings算法 19.4.1 基本原理 19.4.2 Metropolis-Hastings算法 19.4.3 单分量Metropolis-Hastings算法 19.5 吉布斯抽样 19.5.1 基本原理 19.5.2 吉布斯抽样算法 19.5.3 抽样计算 本章概要 第20章 潜在狄利克雷分配 20.1 狄利克雷分布 20.1.1 分布定义 20.1.2 共轭先验 20.2 潜在狄利克雷分配模型 20.2.1 基本想法 20.2.2 模型定义 20.2.3 概率图模型 20.2.4 随机变量序列的可交换性 20.2.5 概率公式 20.3 LDA的吉布斯抽样算法 20.3.1 基本想法 20.3.2 算法的主要部分 20.3.3 算法的后处理 20.3.4 算法 20.4 LDA的变分EM算法 20.4.1 变分推理 20.4.2 变分EM算法 20.4.3 算法推导 20.4.4 算法总结 本章概要 第21章 PageRank算法 21.1 PageRank的定义 21.1.1 基本想法 21.1.2 有向图和随机游走模型 21.1.3 PageRank的基本定义 21.1.4 PageRank的一般定义 21.2 PageRank的计算 21.2.1 迭代算法 21.2.2 幂法 21.3.3 代数算法 本章概要 第22章 无监督学习方法总结 22.1 无监督学习方法的关系和特点 22.1.1 各种方法之间的关系 22.1.2 无监督学习方法 22.1.3 基础及其学习方法 22.2 话题模型之间的关系和特点 参考文献 附录A 梯度下降法 附录B 牛顿法和拟牛顿法 附录C 拉格朗日对偶性 附录D 矩阵的基本子空间 附录E KL散度的定义和狄利克雷分布的性质 索引 了解一下分布的由来也很有趣 CPI，GDP之类 还有股票市场的那些指数 BBC拍了几部有关数据分析的视频，值得看看

一、图示法 图示法是一种很直观的检验方法，它是通过对残差散点图的分析来判断随机误差项的序列相关性。把给定的回归模型直接用普通最小二乘法估计参数，求出残差项，并把作为随机误差项的估计值，画出的散点图。由于把残差项作为随机误差项的估计值，随机误差项的性质也应能在残差中反映出来。（一）按时间顺序绘制残差图 如果残差，，随着时间的变化而呈现有规律的变动，则存在相关性，进而可以推断随机误差项之间存在序列相关性。如果随着时间的变化，并不频繁地改变符号，而是取几个正值后又连续地取几个负值（或者，与之相反，几个连续的负值后面紧跟着几个正值），则表明随机误差项存在正的序列相关，（见图6-1）；如果随着时间的变化，不断地改变符号（见图6-2），那么随机误差项之间存在负的序列相关。 图6-2 负序列相关（二）绘制，的散点图 计算和，以为纵轴，为横轴，绘制（，），的散点图。如果大部分点落在第Ⅰ，Ⅲ象限，表明随机误差项存在正的序列相关（见图6-3）；如果大部分点落在第Ⅱ，Ⅳ象限，表明随机误差项存在负的序列相关（见图6-4）。 图6-3 正序列相关 图6-4 负序列相关二、杜宾——瓦特森（D-W）检验 1、适用条件杜宾——瓦特森检验，简称D—W检验，是J.Durbin(杜宾)和G.S.Watson(瓦特森)于1951年提出的一种适用于小样本的检验序列相关性的方法。D-W检验是目前检验序列相关性最为常用的方法，但它只适用于检验随机误差项具有一阶自回归形式的序列相关问题。在使用该方法时前，必须注意该方法的适用条件。回归模型含有截距项，即截距项不为零；解释变量是非随机的；随机误差项为一阶自相关，即；回归模型中不应含有滞后内生变量作为解释变量，即不应出现下列形式： 其中，为的滞后一期变量；无缺失数据。当上述条件得到满足时，我们可以利用D-W方法检验序列相关问题。2、具体过程（1）提出假设，即不存在序列相关，，即存在序列相关性（2）定义D-W检验统计量为了检验上述假设，构造D-W检验统计量首先要求出回归估计式的残差，定义D-W统计量为： （6-11）其中，。由（6-11）式有 （6-12）由于与只有一次观测之差，故可认为近似相等，则由（6-12）式得 （6-13）随机误差序列的自相关系数定义为： （6-14）在实际应用中，随机误差序列的真实值是未知的，需要用估计值代替，得到自相关系数的估计值为： （6-15）在认为与近似相等的假定下，则（6-15）式可化简为： （6-16）所以，（6-13）式可以写成 （6-17）（3）检验序列相关性因为自相关系数的值介于－1和1之间，所以：，而且有值与的对应关系如表6-1所示。表6-1 值与的对应关系表值DW值随机误差项的序列相关性-1（-1，0） 0（0，1）1 4（2，4） 2（0，2）0 完全负序列相关 负序列相关 无序列相关 正序列相关 完全正序列相关从表6-1中，我们可以知道当值显著地接近于0或者4时，则存在序列相关性；而接近于2时，则不存在序列相关性。这样只要知道统计量的概率分布，在给定的显著性水平下，根据临界值的位置就可以对原假设进行检验。但是统计量的概率分布很难确定，作为一种变通的处理方法，杜宾和瓦特森在5％和1％的显著水平下，找到了上限临界值和下限临界值，并编制了D－W检验的上、下限表。这两个上下限只与样本的大小和解释变量的个数有关，而与解释变量的取值无关。具体的判别规则为：（1） ，拒绝，表明随机误差项之间存在正的序列相关；（2） ，拒绝，表明随机误差项之间存在正的序列相关；（3） ，接受，即认为随机误差项之间不存在序列相关性；（4） 或，不能判定是否存在序列相关性。上述四条判别规则可用图6-5表示： 3.D-W检验特点D-W检验法的优点在于其计算简单、应用方便，目前已成为最常用的序列相关性检验的方法。EViews软件在输出回归分析结果中直接给出了DW值，并且人们也习惯将DW值作为常规的检验统计量，连同值等一起在报告回归分析的计算结果时表明。但D-W检验也存在很大的局限性，在应用时应予以重视。D-W检验不适应随机误差项具有高阶序列相关的检验； D-W检验有两个无法判别的区域，一旦DW值落入这两个区域，必须调整样本容量或采取其他的检验方法；这一方法不适用于对联立方程模型中各单一方程随机误差项序列相关性的检验；D-W检验不适用于模型中含有滞后的被解释变量的情况。二、回归检验法 1、定义回归检验法适用于任一随机变量序列相关性的检验，并能提供序列相关的具体形式及相关系数的估计值。2、应用步骤分三步进行：第一步，依据模型变量的样本观测数据，应用普通最小二乘法求出模型的样本估计式，并计算出随机误差项的估计值；第二步，建立与、的相互关系模型，由于它们相互关系的形式和类型是未知的，需要用多种函数形式进行试验，常用的函数形式主要有： 第三步，对于不同形式的与、的相互关系模型，用普通最小二乘法进行参数估计，得出回归估计式，再对估计式进行统计检验。如果检验的结果是每一种估计式都不显著的，就表明与、是不相关的，随机误差项之间不存在序列相关性。如果通过检验发现某一个估计式是显著的（若有多个估计式显著就选择最为显著的），就表明与、是相关的，随机误差项之间存在序列相关性，相关的形式就是统计检验显著的回归估计式，相关系数就是该估计式的参数估计值。回归检验法需要用多种形式的回归模型对与、的相关性进行试验分析，工作量大、计算复杂，显得极为繁琐。线性回归模型中随机误差项序列相关性的检验，在计量经济学的研究中是一个很重要的问题。但目前应用的检验方法都存在一些缺限和局限，还不能对这一问题进行完全有效的检验，更为完善的检验方法有待于进一步研究。有关于高阶序列相关性的检验，可以参考其它相关教科书。第三节 序列相关的处理 如果检验发现随机误差项之间存在序列相关性，应当首先分析序列相关产生的原因，引起序列相关的原因不同，修正序列相关的方法也不同。如果是回归模型变量选用不当，则应对模型中包含的解释变量进行调整，去掉无关的以及非重要的变量，引入重要的变量；如果是模型的形式选择不当，则应重新确定正确的模型形式；如果以上两种方法都不能消除序列相关性，则需要采用其他数学方法进行处理以消除序列相关性，然后再对模型中的未知参数进行估计。三、差分法 差分法将原模型变换为差分模型，用增量数据代替原来的样本数据。差分法分为一阶差分法和广义差分法。（一）一阶差分法 假设原模型为： （6-18）一阶差分法变换后的模型为： （6-19）其中， 如果，原模型存在完全一阶正相关，即 ，其中不存在序列相关性，那么差分模型满足应用普通最小二乘法的基本假设。用普通最小二乘法估计差分模型得到的参数估计值，即为原模型参数的无偏、有效估计值。（二）广义差分法 一阶差分法仅适用于随机误差项的自相关系数等于1的情形。但在一般情况下，完全一阶正相关的情况并不多见，在这种情况下，随机误差项的序列相关性就要用广义差分法进行修正。对于模型（6-18）如果随机误差项存在一阶自相关，即，其中，为随机误差项的自相关系数，且有，不存在序列相关性。将（6-18）式滞后一期，并左右两边同乘，可得 （6-20）将（6-18）式减去（6-20）式，得 （6-21）在为已知的情况下，我们可以对（6-21）式进行如下变换 （6-22）将变换后的新变量代入（6-21）式，便可得到一个新的模型表示式： （6-23） 我们把上述变换过程称为广义差分变换，把通过广义差分变换得到的模型称为广义差分模型。我们应该注意到这一变换过程所构建的新变量，，由于差分变换要损失一个观测值，样本个数由个减少到个。为了避免损失自由度，可以将第一个观测值作如下变换：，通过对原模型进行广义差分变换，我们可以得到广义差分模型，广义差分模型中的随机误差项满足线性回归的经典假设，对广义差分模型进行OLS估计，得到的参数估计值仍然是最佳估计量。四、杜宾两步法 进行广义差分变换的前提是已知的值。但是随机误差项的自相关系数，的值不可观测，使得的值也是未知的。所以利用广义差分法处理序列相关性时，首先需要估计出的值。这可以用杜宾（Durbin）两步估计法。我们以一元线性回归模型为例，对于模型 （6-24）如果随机误差项存在阶自回归形式的序列相关，即 （6-25）当、、时，便可利用杜宾两步法对的相关系数进行估计。第一步，对（6-24）式进行差分变换，可得 （6-26）整理（6-26）式，可得 （6-27）第二步：应用普通最小二乘法对包含被解释变量及解释变量的滞后变量在内的模型（6-27）式进行估计，求出随机误差项的自相关系数，，…， 的估计值，，…， 。再将，，…， 代入（6-26）式，可得 （6-28）（6-28）式的随机误差项具有零均值、方差齐性、不存在序列相关性的特点。在，，…， 已知的情况下，可以用普通最小乘法对（6-28）式进行估计，求出参数、的估计值、。此方法也适用于多元线性回归模型。杜宾两步法不但求出了自相关系数的估计值，而且也得出了模型参数的估计值。五、迭代法 迭代估计法或科克伦－奥克特（Cochrane－Orcutt）估计法，是用逐步逼近的办法求的估计值。仍以（6-24）式为例，假设随机误差项存在一阶自回归形式的序列相关，即，，其中满足零均值、方差齐性、无序列相关性。迭代估计的具体步骤为：第一步，利用OLS法估计模型，计算残差出；第二步，根据上一步计算出的残差计算的估计值： 第三步，利用上一步求得的值对（6-24）式进行广义差分变换： 并得到广义差分模型：；第四步，再利用OLS法估计，计算出残差，根据残差计算的第二次逼近值： 第五步，重复执行第三、四步，直到的前后两次估计值比较接近，即估计误差小于事先给定的精度：。此时，以 作为的估计值，并用广义差分法进行变换，得到回归系数

2006考研数学大纲变化（完全版） 数学一 高等数学 一、函数、极限、连续 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：将“简单应用问题函数关系的建立”调整为“函数关系的建立” 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求没有变化 二、一元函数微分学 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：将“基本初等函数的导数导数和微分的四则运算”调整为“导数和微分的四则运算基本初等函数的导数” 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．考试要求中将2005年的“4．会求分段函数的一阶、二阶导数”以及“5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数”调整并合并为“4．会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数”. 2．将原来的第9条提前至第6条,足见“洛必达法则求未定式极限”的重要性. 三、一元函数积分学 （一）考试内容的变化 新增知识点：增加了“用定积分表达和计算质心” 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求没有变化 四、向量代数和空间解析几何 无变化 五、多元函数微分学 无变化 六、多元函数积分学 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：将“二重积分、三重积分的概念及性质二重积分、三重积分的计算和应用”调整为“二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用” 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求没有变化 七、无穷级数 无变化 八、常微分方程 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求中将“了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念”调整为“了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念” 线性代数 一、行列式 无变化 二、矩阵 无变化 三、向量 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求中将“4.了解向量组等价的概念,了解矩阵的秩与其行（列）向量组的关系”调整为“理解向量组等价的概念,理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系” 四、线性方程组 无变化 五、矩阵的特征值和特征向量 无变化 六、二次型 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求中将“3.了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法”调整为“3.理解正定二次型、正定矩阵的概念,并掌握其判别法” 概率论与数理统计 一、随机事件和概率 无变化 二、随机变量及其分布 无变化 三、二维随机变量及其分布（改为“多维随机变量及其分布”） （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点： （1）将“二维随机变量及其概率分布”调整为“多维随机变量及其分布”； （2）将“二维连续性随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度”调整为“二维连续性随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度”； （3）将“两个随机变量简单函数的分布”调整为“两个及两个以上随机变量简单函数的分布” 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 （1）将“1.理解二维随机变量的概念,理解二维随机变量的分布的概念和性质”调整为“1.理解多维随机变量的概念,理解多维随机变量的分布的概念和性质”, （2）将“2.理解随机变量的独立性及不相关的概念,掌握离散型和连续性随机变量独立的条件”调整为“2.理解随机变量的独立性及不相关性的概念,掌握随机变量相互独立的条件”, （3）将“4.会求两个随机变量简单函数的分布”调整为“4.会求两个随机变量简单函数的分布,会求多个相互独立随机变量简单函数的分布” 四、随机变量的数字特征 无变化 五、大数定律和中心极限定理 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 （1）将“2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律）”调整为“2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）”； （2）将“3.了解棣莫弗－拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维－林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）”调整为“3.了解棣莫弗－拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维－林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）” 六、数理统计的基本概念 无变化 七、参数估计 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 将“4.了解区间估计的概念”调整为“4.理解区间估计的概念” 八、假设检验 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 将“2.了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验”调整为“2.掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验” 数学二 高等数学 一、函数、极限、连续 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：将“简单应用问题函数关系的建立”调整为“函数关系的建立” 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求没有变化 二、一元函数微分学 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：将“基本初等函数的导数导数和微分的四则运算”调整为“导数和微分的四则运算基本初等函数的导数” 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．考试要求中将2005年的“4．会求分段函数的一阶、二阶导数”以及“5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数”调整并合并为“4．会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数”. 2．将原来的第9条提前至第6条,足见“洛必达法则求未定式极限”的重要性. 三、一元函数积分学 （一）考试内容的变化 新增知识点：增加了“用定积分表达和计算质心” 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求没有变化 四、多元函数微积分学 无变化 五、常微分方程 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求中将“了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念”调整为“了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念” 线性代数 一、行列式 无变化 二、矩阵 无变化 三、向量 （一）考试内容的变化 新增知识点：向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求中增加“5.了解内积的概念,掌握线性无关向量组的正交规范化的施密特（Schmidt）方法” 四、线性方程组 无变化 五、矩阵的特征值和特征向量 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．将“2．了解相似矩阵地概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,会将矩阵化为相似对角矩阵”调整为“2．理解相似矩阵地概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,会将矩阵化为相似对角矩阵” 2．将“3．了解实对称矩阵地特征值和特征向量的性质”调整为“3．理解实对称矩阵地特征值和特征向量的性质” 数学三 微积分 一、函数、极限、连续 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：将“简单应用问题函数关系的建立”调整为“函数关系的建立” 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．考试要求中将“9.了解连续函数的性质合初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）及其简单应用”调整为“9.了解连续函数的性质合初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）,并会应用这些性质” 二、一元函数微分学 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：将导数的概念及运算法则与微分的概念及运算法则合并 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．考试要求中“2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；掌握反函数与隐函数求导法,了解对数求导法”调整并合并为“2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数”. 三、一元函数积分学 无变化 四、多元函数微积分学 无变化 五、无穷级数 无变化 六、常微分方程与差分方程 （一）考试内容的变化 新增知识点：线性微分方程解的性质及解的结构定理 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 无变化 线性代数 一、行列式 无变化 二、矩阵 无变化 三、向量 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求中将“4.了解向量组等价的概念,了解矩阵的秩与其行（列）向量组的关系”调整为“理解向量组等价的概念,理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系” 四、线性方程组 无变化 五、矩阵的特征值和特征向量 无变化 六、二次型 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求中将“3.了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法”调整为“3.理解正定二次型、正定矩阵的概念,并掌握其判别法” 概率论与数理统计 一、随机事件和概率 无变化 二、随机变量及其分布 无变化 三、多维随机变量及其分布 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：将“二维连续性随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度”调整为“二维连续性随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度” 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．考试要求中将“2.理解随机变量的独立性及不相关的概念,掌握离散型和连续性随机变量独立的条件”调整为“2.理解随机变量的独立性及不相关性的概念,掌握随机变量相互独立的条件” 四、随机变量的数字特征 无变化 五、大数定律和中心极限定理 无变化 六、数理统计的基本概念 无变化 七、参数估计 无变化 八、假设检验 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．将“2.了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验”调整为“2.掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验” 数学四 微积分 一、函数、极限、连续 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．考试要求中将“9.了解连续函数的性质合初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）及其简单应用”调整为“9.了解连续函数的性质合初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）,并会应用这些性质” 二、一元函数微分学 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：将导数的概念及运算法则与微分的概念及运算法则合并 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．考试要求中将原来的“2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；掌握反函数与隐函数求导法,了解对数求导法”调整并合并为“2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数”. 2．将“9.掌握函数作图的基本步骤和方法,会作简单函数的图形”调整为“9.会作简单函数的图形”. 三、一元函数积分学 无变化 四、多元函数微积分学 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：将“无界区域上简单二重积分的计算”调整为“无界区域上的广义二重积分” 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．考试要求中将“5.……会计算无界区域上的较简单的二重积分”调整为“5.……了解无界区域上的较简单的广义二重积分并会计算” 五、常微分方程 无变化 线性代数 一、行列式 无变化 二、矩阵 无变化 三、向量 无变化 四、线性方程组 无变化 五、矩阵的特征值和特征向量 无变化 概率论与数理统计 一、随机事件和概率 无变化 二、随机变量及其分布 无变化 三、多维随机变量及其分布 （一）考试内容的变化 1．新增知识点：无 2．调整知识点：将“二维连续性随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度”调整为“二维连续性随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度” 3．删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．考试要求中将将“2.理解随机变量的独立性及不相关的概念,掌握随机变量独立的条件”调整为“2.理解随机变量的独立性及不相关性的概念,掌握随机变量相互独立的条件” 四、随机变量的数字特征 无变化 五、中心极限定理 无变化

设X1,X2……Xn是相互独立的随机变量序列且他们服从参数λ的泊松分布,则由中心极限定理知lim n趋向无穷大P﹛ ﹜=Φ(x)

全概率公式 贝叶斯公式 排列组合（只能刷题了） 公式： 重复组合，又放回的抽r次： 随机变量分布及统计量 分布函数 性质：1）单调不减 2） ; 3) 右连续 期望： 方差： 协方差： 相关系数： 切比雪夫不等式 伯努利大数定律 ：随着n增大，频率与概率有较大偏差的可能性越来越小 中心极限定理 ：对独立同分布随机变量序列（这个共同分布可以是离散的、连续的、正态的、非正态的），只要其共同分布的 方差存在，且不为0 ，那么这n个独立同分布的随机变量之和的分布 渐进近似 于正态分布。 简单随机样本 ： iid 统计量 ：随机变量的函数（不含参数），也是随机变量 三大抽样分布 分布： 。其中 为自由度 分布： 。其中 为自由度 F 分布： 。其中 矩估计 u200b 多个参数需要多阶矩： 最大似然估计 评选标准 无偏性 u200b 其中 带回可得 有效性 相合性 ： 依概率收敛于 拟合优度检验 ：样本是否来自某个分布 ，主要思想是当X来自分布F(x)，那么事件的频率与概率的差值不会太大。因此构造统计量： 第一类错误与第二类错误 ：因为是控制第一类错误的概率 ，因此 是受到保护的，不轻易拒绝原假设。一般选两类错误中后果严重的错误为第一类错误。如果两类错误没有哪一类更严重，常常取 维持现状。 ANOVA（方差分析） ：可以用来比较多组总体的均值

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1、 时间序列 取自某一个随机过程，如果此随机过程的随机特征不随时间变化，则我们称过程是平稳的；假如该随机过程的随机特征随时间变化，则称过程是非平稳的。 2、 宽平稳时间序列的定义：设时间序列 ，对于任意的 , 和 ，满足： 则称 宽平稳。 3、Box-Jenkins方法是一种理论较为完善的统计预测方法。他们的工作为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测，以及对ARMA模型识别、估计和诊断的系统方法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正规、结构化的建模方法，并且具有统计上的完善性和牢固的理论基础。 4、ARMA模型三种基本形式：自回归模型（AR：Auto-regressive），移动平均模型（MA：Moving-Average）和混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。 （1） 自回归模型AR(p)：如果时间序列 满足 其中 是独立同分布的随机变量序列，且满足： ， 则称时间序列 服从p阶自回归模型。或者记为 。 平稳条件：滞后算子多项式 的根均在单位圆外，即 的根大于1。 （2） 移动平均模型MA(q)：如果时间序列 满足 则称时间序列 服从q阶移动平均模型。或者记为 。 平稳条件：任何条件下都平稳。 （3） ARMA(p,q)模型：如果时间序列 满足 则称时间序列 服从(p,q)阶自回归移动平均模型。或者记为 。 特殊情况：q=0,模型即为AR(p)，p=0, 模型即为MA(q)。 2、模型参数的估计 ①初估计 i、 AR(p)模型参数的Yule-Walker估计 特例：对于一阶自回归模型AR(1)， ，对于二阶自回归模型AR(2)， ， 。 ii、MA(q)模型参数估计 特例：对于一阶移动平均模型MA(1), ，对于二阶移动平均模型MA(2)， ， 。 iii、ARMA(p,q)模型的参数估计 模型很复杂，一般利用统计分析软件包完成。 ②精估计 ARMA(p,q)模型参数的精估计，一般采用极大似然估计，由于模型结构的复杂性，无法直接给出参数的极大似然估计，只能通过迭代方法来完成，这时，迭代初值常常利用初估计得到的值。 3、ARMA(p,q)序列预报 设平稳时间序列 是一个ARMA(p,q)过程，则其最小二乘预测： 。 i、AR(p)模型预测 ， ii、ARMA(p,q)模型预测 ，其中 。 iii、预测误差 预测误差为： 。l步线性最小方差预测的方差和预测步长l有关，而与预测的时间原点t无关。预测步长l越大，预测误差的方差也越大，因而预测的准确度就会降低。所以一般不能用ARMA(p,q)作为长期预测模型。 iv、预测的置信区间 预测的95%置信区间： 不知道对你有没帮助

从字面意思上看“以”是用，必须用。“依”是凭借，不一定必须