欧几里得距离的三角不等式怎么证啊. 我说的是n维空间里。

可以啊

什么是空间，空间的本质是一个集合，集合里面包含元素。这个空间的含义与我们生活中描述的空间含义是一致的，如我们说"宇宙空间"就是因为宇宙是一个大的集合，里面包括有恒星，行星等等。 线性代数中接触的有如二维空间，三维空间， 维空间等空间的本质也是一个集合，我们管这种空间叫做 。在基础的几何学里，就是在欧几里得空间处理诸如 点，线，面 这样的几何元素之间的关系。 从有序实数元组集合来看，欧几里得空间可以理解为一个点集，每个点的实质就是一个有序的实数元组。 从向量视角来看，欧几里得空间就是一个起点为原点的向量集合； 在欧几里得空间，一个点其实可以看成一个向量。 在线性代数领域，我们不讨论其它空间(如宇宙空间，一个房子所形成的空间)，而是研究一种特殊的空间，就是欧几里得空间(有序实数元组集合 )，更进一步欧几里得空间不仅仅是一个 空间 (空间作为一个集合，它可能是杂乱无章的，也可以是有序的，这不方便进行研究)，同时还是一个 向量空间 (一种具有特殊性质的空间)。 向量空间: 空间中的元素是“向量”。其中“向量”这个名词的定义是很广泛的，不仅仅指之前学习的“起点在原点，并且有方向”这种概念的向量(这种向量是定义在欧几里得空间里的描述)。 “向量”的具体定义，或者说一个元素具体满足哪些性质可以称之为“向量”？数学家给出的定义是对于向量来说必须定义两种运算：①加法运算 ，②数量乘法 。 是向量空间，在欧几里得空间的这些向量(元素)是有序实数元组，对这些向量定义的加法和数量乘法两种基础运算也都满足“向量的十条性质”。 在这个世界上 向量空间 不仅仅只有欧几里得空间，而是存在有无数的向量空间，不同的向量空间对应的元素是不一样的，其中零向量是谁，负的向量是谁，包括向量的加法，数量乘法的定义都有可能不一样。 对于我们接触到的很多具体的实际问题的处理上近乎都是在欧几里得空间中进行处理的。

四维空间不同于三维空间，四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维；四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。人类作为三维物体可以理解四维时空（三个空间维度和一个时间维度）但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。然而四维时空并不是标准欧几里得空间，时间的本质是描述运动的快慢。 通过一维、二维、三维空间的演变，人们提出了关于四维空间的一些猜想。尽管这些猜想现在并不能证明是正确的，但科学理论有很多是由猜想开始的。现今科学理论一般是基于现象总结规律，而关于四维空间的现象没有足够准确清晰的认识，或者看到了这种现象却并没有想到是四维空间引起的。 可以定义可以度量的都可以有维度。比如时间、温度。点、线、面、时间、温度，构成五维空间也能说的通。 当然也可以定义点线面的拓扑空间为第四维、第五维、第六维以至第N维。这在数学公式推理推导中很容易实现，但现实很难对应和想像。 基本介绍 中文名 ：四维空间 外文名 ：four-dimensional space 别称 ：四度空间 表达式 ：ax+by+cz+du+e=0 套用学科 ：数学，物理学 适用领域范围 ：量子、宇宙学 定义,概念,四维研究,发展历程,研究,轴对称性, 定义 在物理学中描述物质变化时所需的参数，这个参数就叫做维。几个参数就是几个维。比如描述“门”的位置就只需要角度，所以是一维的而不是二维。 简单地说：零维是点，没有长度、宽度及高度。一维是由无数的点组成的一条线，只有长度，没有其中的宽度、高度。二维是由无数的线组成的面，有长度、宽度没有高度。三维是由无数的面组成的体，有长度、宽度、高度。 因为人的眼睛只能看到二维，二维生物看对方只有一条线。人的双眼看到的是两个二维投影，经过大脑处理形成一个整体的视觉。 一个简单的说法：N维就是两个以上的N-1维物体垂直所形成的空间。 1维的线，由1-1=0维的点均分；2维的面，由2-1=1维的线相互垂直均分；3维的空间，由3-1-2维的平面相互垂直均分。 因为，人类只能理解3维，所以后面的维度可以通过数学理论构建，但要仔细理解就很难。在量子力学，仍在建立的弦理论，认为世界是11维的。（十维空间+一维时间） 首先，错误的说法是把”四维空间定义为三维空间+时间轴”，而”三维空间+时间维”是另一种说法。前者也并非是什么四维时空，而且本身四维时空是个伪概念。很简单“时间只是因为粒子运动、宇宙膨胀而出现的概念，为什么它就能成为第四维” 另外，时空和四维空间的概念是有区别的 将四维空间定义为三维空间+时间轴的说法是对于闵可夫斯基空间（ Minkowski space）这个概念的误解，而为什么这个误解这么广泛呢？很简单，无数科幻小说甚至于科普读物刻意去硬生生地套用了这么一个东西，造成广泛的读者影响。其中这个里面涉及到了一组四维矢量场，也就是： 四维矢量依据它们（闵可夫斯基）内积的正负号来区分。可分类如下： 是 类时 ( timelike )， 是 类空 ( spacelike )， 是 零 ( null )或称 类光 ( lightlike )， 然而， 关于零矢量一个有用的结果：“若两个零矢量、正交（即：零内积值），则它们必定是呈比例关系（为常数）。” 以上的零基底部的时间方向选定，以及类时向量的概念，让很多人误以为“空间和时间组成了另一个空间”，而实际上上面只是描述了时间和空间的协同作用罢了。这便是前面那个说法的来源。 而实际上时间维是一种替代说法，并不是说第四个维度是时间，和前面那种说法并非一回事，第四维在主流的说法中具有连续性，著名的数学模型克莱因瓶，第四维穿过三维这个本质多面体，但四维空间的本质还是空间。而为什么这一维会定义为时间维度呢，是因为某一派观点认为广延的“时间”具有空间性，故而出现的一种替代说法，你要将它叫什么其实都可以，它是一个统一，确定的定义概念下产生的依据不同学派自主概念的命名法。 有些同学有点纠结于“时空”这个说法，我先说，没有四维时空这种说法还有另一个理由，也就是时空在近代物理学中的概念本来就是四维的，所以不会冒出五维时空，也不存在时空前面特别说明为四维。近代物理学某一派认为，时间空间相互且可变，且其变数互相存于其中，而他们在特定条件下所对应的这一个广域叫做时空（最早的人确实将时空等同于空间加时间轴，现在更多在避开这种本初定义），时空可能受到物质和能量的影响发生扭曲或者凹陷，且其最小单位是普朗克时间和普朗克长度。这是这个概念的由来，但是很多人把时空和四维空间混用，这两者有相关性，但不能混用。 从广义上讲：维度是事物“有联系”的抽象概念的数量，“有联系”的抽象概念指的是由两个抽象概念联系而成的抽象概念，如面积。所以四维就是四个有联系的抽象概念组成的，第四个抽象概念是 实时间， 第四联系值为速度。 高维度时空和高维度空间是不同的。举例来说，在三维空间中只有一个时间维度，但它是一个伪维度，即它的单位和其他三个维度不同。四维空间的第四维仍然和三维空间的维度具有相同性质，时间仍是伪维度。因此，不可把时空和空间混为一谈。 概念 从广义上讲：维度是事物“有联系”的抽象概念的数量，“有联系”的抽象概念指的是由两个抽象概念联系而成的抽象概念，如面积。[1]所以四维就是四个有联系的抽象概念组成的，第四个抽象概念是实时间，第四联系值为速度。 四维研究 摘要 几何不一定是真实现象的描述，几何空间和自然空间并不能完全等同看待，纯概念的研究几何的发展是数学界的一个里程碑。从零维空间到三维空间，尤其是从三维空间到四维空间的发展更是几何学的的一次革命。 关键字 零维；一维；二维；三维；四维；n维；几何元素；点；直线；平面。 发展历程 n维空间概念，在18世纪随着分析力学的发展而有所前进。在达朗贝尔.欧拉和拉格朗日的著作中无关紧要的出现第四维的概念，达朗贝尔在《百科全书》关于维数的条目中提议把时间想像为第四维。在19世纪高于三维的几何学还是被拒绝的。麦比乌斯（karl august mobius 1790-1868）在其《重心的计算》中指出，在三维空间中两个互为镜像的图形是不能重叠的，而在四维空间中却能叠合起来。但后来他又说：这样的四维空间难于想像，所以叠合是不可能的。这种情况的出现是由于人们把几何空间与自然空间完全等同看待的结果。以至直到1860年，库摩尔（ernst eduard kummer 1810-1893）还嘲笑四维几何学。但是，随着数学家逐渐引进一些没有或很少有直接物理意义的概念，例如虚数，数学家们才学会了摆脱“数学是真实现象的描述”的观念，逐渐走上纯观念的研究方式。虚数曾经是很令人费解的，因为它在自然界中没有实在性。把虚数作为直线上的一个定向距离，把复数当作平面上的一个点或向量，这种解释为后来的四元数，非欧几里得几何学，几何学中的复元素，n维几何学以及各种稀奇古怪的函式，超限数等的引进开了先河，摆脱直接为物理学服务这一观念迎来了n维几何学。 1844年格拉斯曼在四元数的启发下，作了更大的推广，发表《线性扩张》，1862年又将其修订为《扩张论》。他第一次涉及一般的n维几何的概念，他在1848年的一篇文章中说： 我的扩张的演算建立了空间理论的抽象基础，即它脱离了一切空间的直观，成为一个纯粹的数学的科学，只是在对（物理）空间作特殊套用时才构成几何学。 然而扩张演算中的定理并不单单是把几何结果翻译成抽象的语言，它们有非常一般的重要性，因为普通几何受（物理）空间的限制。格拉斯曼强调，几何学可以物理套用发展纯智力的研究。几何学从此开始割断了与物理学的联系而独自向前发展。 经过众多的学者的研究，遂于1850年以后，n维几何学逐渐被数学界接受。 研究 四维空间的概念也可以通过解析几何的手段来研究。在那里我们可以利用代数方程来表示几何概念。为了利用这个手段进行观察以导致对四维空间的理解，我们来研究三维空间体系中的三个几何元素——点、直线和平面的方程。利用笛卡尔系统表示，我们可以写出： 点的方程：ax + b = 0 （坐标系：直线上的一个点）。 直线的方程：ax + by + c = 0 （坐标系：平面上的两条正交直线）。 平面的方程：ax + by + cz + d = 0 (坐标系：三维空间的三个互相垂直的平面)。 从上面的研究我们可以看出： 所表示的每一个几何元素（或空间）的方程中的变数数目，等于这个空间的维数加1。 坐标系中的几何元素与被表示的几何空间的几何元素的维数相同。 在这个坐标系中，几何元素的数目等于被表示的空间的维数加1。在坐标系中，几何元素的这个数目是最低要求。 用来表示几何元素的坐标系，位于比它所含有的几何元素高一维的空间里。 根据上述观察，我们可以写出三维空间的下述方程。应当注意：这个方程有四个变数（x、y、z、u）。 ax + by + cz + du + e = 0 根据这公式我们可以断定： 1. 这个坐标系的几何元素有三维，即它们是三维空间。 2. 在这个坐标系中有四个三维空间。 3. 这个坐标系位于一个四维空间里。 我们对于四维空间乃至更高空间的研究，不是通过实验总结的方式，在现实中我们很难发现并推导出它们的一般规律，对于这些问题，我们可以采取一种新的研究方式。即：纯概念的研究。通过这种方式，我们可以容易的推导出这些很重要但在现实中不易想像的新内容。 如果一个三维空间的东西，当他的密度为负值时，是否会变成四维空间的事物呢？ 轴对称性 对于四维空间，人们普遍认为空间有轴对称性，或是中心对称。譬如，倘若一个三维空间的人进入四维空间，并且按照适当的方式“旋转”一下再回到三维空间，那么他会被‘轴对称"一下（这在三维空间中当然是不可能实现的，除非运用三维版本的麦比乌斯带）。当然，由于没有人进入四维空间，所以这只是一个从二维空间类比而得的假设，无法进行验证。但是关于时间轴的观点以及时空错乱瞬间的现象与这是相符的。 从二维空间的一个图形是不能在二维空间进行对称的，但进入三维空间，就可以通过进行翻转回到二维空间时，就可以实现对称，因为在二维空间是不能进行翻转的，只能旋转或平移。因此我们可以推测三维物体进入了四维空间，再回到三维空间可能物体会被“轴对称”一下。

四维空间，也叫做“欧几里得四维空间”，是标准欧几里德空间，它是一个数学概念，可以拓展到n维；四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。在物理学和数学中，可将n个数的序列理解为一个n 维空间中的位置。当n=4时，所有这样的位置的集合就叫做四维空间。四维空间和人居住的三维空间不同，因为多了一个维度。四维空间中的四维物体三维空间中可以存在二维、一维物体，四维空间中也可以存在三维物体，而四维空间中的具有4个维度的物体被称之为超体。至于如何理解超体。以地图制作为例，地球差不多是一个球形，我们要想将不可展的球面表现在二维平面中，就只能采用投影法。如果要想将三维物体表现在平面中，也只能采用投影的方法。以三维的球为例，当它穿过一个二维平面时，与平面相交的那部分是一个圆，随着球的运动，那个圆的面积便会发生大小变化。这些大小不同的圆，便是球体在平面上的投影。那么要想在三维空间中展现超体的形态，通常也只能通过投影法展现出来。投影通常是指用一组光线将物体的形状投射到一个平面上去，可以将它推广应用于四维物体。若是存在一个四维的球体——超球体，当它穿过立体空间时，它在立体空间中的投影便是体积不断变化的球。当我们用眼睛看三维世界时，看到的其实是一幅幅二维画面。我们之所以感觉到自己看到的是立体的，是大脑对两个眼睛各自看到的不同画面处理叠加后的效果。同理，当身处四维世界的我们，看四维世界中的四维物体时，我们所看到的应该都是立体图形。以立方体为例，在三维空间中，我们只能同时看到一个面。而对于四维空间中的超立方体，我们可以同时看到该立方体的6个面。其实，物理学家早就已经从理论上推测，宇宙空间可能不只是三维的，而是存在更高的维度。在数学中，那些在三维空间中不可能存在的几何体有可能在四维乃至更高维度的空间中存在。以上内容参考：百度百科-四维空间

最下面的公式中的k应该是0，上面写错了，这是夏道行的《实变函数论与泛函分析》下册P72的内容

四维空间中要用伪殴几米，由于把时间加了上去，时间与空间所对的符号是相反的，若只是空间则用欧几里得。欧几里得空间斜边的平方等于直角边的平方和，但是伪欧几里得空间是斜边的平方等于直角变得平方差，因而在解释双生子佯谬时会考虑伪欧几里得空间

首先你得理解基的作用。一般的向量是比较抽象和绝对的概念，引入了基之后向量就可以用相对于这组基的坐标来表示，这样就把抽象的向量转化到具体的坐标（也就是一组数）。在有了基之后抽象的线性变换也就可以用具体的矩阵来描述了。这里的道理是一样的，用Gram矩阵可以把抽象的内积转化到一组具体的数。比如说e_1,e_2,...,e_n是V的一组基，若向量a和b在这组基下的向量分别是x和y，记E=(e_1,e_2,...,e_n)，那么形式上就有a=Ex，b=Ey，而它们的内积恰好就是<a,b>=(Ey)^H*(Ex)=y^H*G*x这里G=E^H*E就是Gram矩阵，跳过中间的形式推导，内积运算就转化到了矩阵乘法。当然，形式推导也可以严格化，一种方式是直接按分量来写，另一种方式是对向量直接定义诸如转置共轭和乘法运算。

一、从定义区分：1、二维空间的定义：二维空间是指仅由长度和宽度（在几何学中为X轴和Y轴）两个要素所组成的平面空间，只向所在平面延伸扩展。2、三维空间的定义：三维空间，日常生活中可指由长、宽、高三个维度所构成的空间。3、四维空间的定义：四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维。4、五维空间的定义：五维空间即时间、空间层次的统一。二、从属性区分：1、二维空间的属性：既有长度又有宽度。2、三维空间的属性：有长度、宽度和高度。3、四维空间的属性：三个空间维度和一个时间维度。4、五维空间的属性：空间和时间各为横轴和纵轴，再加上速度为竖轴。空间相关资料：1、空间基本信息空间是与时间相对的一种物质客观存在形式，由长度、宽度、高度、大小表现出来。通常指四方上下。空间有宇宙空间、网络空间、思想空间、数字空间、物理空间等等，都属空间的范畴。地理学与天文学中指地球表面的一部分，有绝对空间与相对空间之分。空间由不同的线组成，线组成不同形状，线内便是空间。空间是一个相对概念，构成了事物的抽象概念，事物的抽象概念是参照于空间存在的。2、维空间基本信息一维空间是指只有一条线内的点所组成的空间，它只有长度，没有宽度和高度，只能向两边无限延展。一维实际是指的是一条线，也可理解为点动成线，指没有面积与体积的物体。3、二维空间基本信息二维空间是指仅由长度和宽度（在几何学中为X轴和Y轴）两个要素所组成的平面空间，只向所在平面延伸扩展。二维空间同时也是美术上的一个术语，例如绘画便是要将三维空间（三度空间）的事物，用二度空间来展现。4、三维空间基本信息三维空间，也称为三次元、3D，日常生活中可指由长、宽、高三个维度所构成的空间。而且日常生活中使用的“三维空间”一词，常常是指三维的欧几里德空间。5、四维空间基本信息四维空间不同于三维空间，四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维；四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。人类作为三维物体可以理解四维时空（三个空间维度和一个时间维度）但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。然而四维时空并不是标准欧几里得空间，时间的本质是描述运动的快慢。6、五维空间基本信息时间层次和传统三维空间统一的空间。与传统物理学三维空间观、爱因斯坦相对论四维空间观相对而言的新的空间观，是空间观发展的最新成果，也是前者发展的必然结果。四维就是四个有联系的抽象概念组成的，第四个抽象概念是实时间，第四联系值为速度，而五维是由五个有联系的抽象概念组成的，第五个抽象概念是曲率。

什么是四维空间标准欧几里德空间四维空间不同于三维空间，四维空间指的是标准欧几里德空间，人类作为三维物体可以理解四维时空，但无法认识及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物，通常时间是第四维即四维时空下的时间维度，四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。通过一维、二维、三维空间的演变，人们提出了关于四维空间的一些猜想。尽管这些猜想现在并不能证明是正确的，但科学理论有很多是由猜想开始的。现今科学理论一般是基于现象总结规律，而关于四维空间的现象没有足够准确清晰的认识，或者看到了这种现象却并没有想到是四维空间引起的。当然也可以定义点线面的拓扑空间为第四维、第五维、第六维以至第N维。这在数学公式推理推导中很容易实现，但现实很难对应和想像。

在数学中，欧几里得距离或欧几里得度量是欧几里得空间中两点间“普通”（即直线）距离。使用这个距离，欧氏空间成为度量空间。相关联的范数称为欧几里得范数。较早的文献称之为毕达哥拉斯度量。欧几里得度量（euclidean metric）（也称欧氏距离）是一个通常采用的距离定义，指在m维空间中两个点之间的真实距离，或者向量的自然长度（即该点到原点的距离）。在二维和三维空间中的欧氏距离就是两点之间的实际距离。扩展资料：欧氏距离变换所谓欧氏距离变换，是指对于一张二值图像（在此我们假定白色为前景色，黑色为背景色），将前景中的像素的值转化为该点到达最近的背景点的距离。欧氏距离变换在数字图像处理中的应用范围很广泛，尤其对于图像的骨架提取，是一个很好的参照。欧几里得度量是一个通常采用的距离定义，指在m维空间中两个点之间的真实距离，或者向量的自然长度（即该点到原点的距离）。在二维和三维空间中的欧氏距离就是两点之间的实际距离。参考资料来源：百度百科-欧几里得度量

一、从四者的定义区分：1、一维空间的定义：一维空间是指只由一条线内的点所组成的空间，它只有长度，没有宽度和高度，只能向两边无限延展。2、二维空间的定义：二维空间是指仅由长度和宽度（在几何学中为X轴和Y轴）两个要素所组成的平面空间，只向所在平面延伸扩展。3、三维空间的定义：三维空间，日常生活中可指由长、宽、高三个维度所构成的空间。4、四维空间的定义：四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维。二、从四者的属性区分：1、一维空间的属性：只有长度，没有宽度和高度。2、二维空间的属性：既有长度又有宽度。3、三维空间的属性：有长度、宽度和高度。4、四维空间的属性：三个空间维度和一个时间维度。三、从四者的适用范围区分：1、一维空间的适用范围：空间物理、高等数学。2、二维空间的适用范围：数学、计算机。3、三维空间的适用范围：数学、物理。4、四维空间的适用范围：量子、宇宙学。参考资料来源：百度百科-一维空间参考资料来源：百度百科-二维空间参考资料来源：百度百科-三维空间参考资料来源：百度百科-四维空间（标准欧几里得空间）

一、欧式几何和非欧几何的主要区别如下：1、欧氏几何的几何结构是平坦的空间结构背景下考察，而非欧几何关注弯曲空间下的几何结构。2、欧式几何起源于公元前，而非欧几何是几何学发展到新的时代的产物，产生于19世纪20年代。3、非欧几何产生于非欧空间，而非欧空间可以理解成扭曲了的欧式空间，它的坐标轴不再是直线，或者坐标轴之间并不正交（即不成90度）。而欧式几何的坐标轴是直线，坐标轴之间成90度。        4、非欧几何与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行定理。欧式几何提出平行公理又称“第五公设”，非欧几何认为第五公设是不可证明的，并由否定第五公设的其他公理代替第五公设。二、欧式几何与非欧几何的适用范围欧氏几何主要研究平面结构的几何及立体几何，非欧几何是在一个不规则曲面上进行研究。欧式几何可以用于研究平面上的几何，即平面几何；研究三维空间的欧几里得几何，通常叫做立体几何。非欧几何适用于抽象空间的研究，即更一般的空间形式，使几何的发展进入了一个以抽象为特征的崭新阶段。非欧几何学还应用在爱因斯坦发展的广义相对论。扩展资料非欧几何是对传统欧式几何的补充和完善，具有非常重大的意义。其一，随着非欧几何的产生，引起了数学家们对几何基础的研究，从而从根本上改变了人们的几何观念，扩大了几何学的研究对象，使几何学的研究对象由图形的性质进入到抽象空间，即更一般的空间形式，使几何的发展进入了一个以抽象为特征的崭新阶段。可以说，非欧几何的产生是数学以直观为基础的时代进入以理性为基础的时代的重要标志。其二，非欧几何的产生，引起了一些重要数学分支的产生。数学家们围绕着几何的基础问题、几何的真实性问题或者说几何的应用可靠性问题等的讨论，在完善数学基础的过程中，相继出现了一些新的数学分支，如数的概念、分析基础、数学基础、数理逻辑等，公理化方法也获得了进一步的完善。其三，非欧几何学的创立为爱因斯坦发展广义相对论提供了思想基础和有力工具，而相对论给物理学带来了一场深刻的革命，动摇了牛顿力学在物理学中的统治地位，使人们对客观世界的认识产生了质的飞跃。其四，非欧几何学使数学哲学的研究进入了一个崭新的历史时期。18世纪和19世纪前半期最具影响的康德哲学，它的自然科学基础支柱之一是欧几里得空间。康德曾经说过：“欧几里得几何是人类心灵内在固有的，因而对于‘现实"空间客观上是合理的。”非欧几何的创立，冲破了传统观念并破除了千百年来的思想习惯，给康德的唯心主义哲学以有力一击，使数学从传统的形而上学的束缚下解放出来。用康托尔的话说“数学的本质在于其自由”。

这种存在是人类难以理解的，进入之后也不会有感觉。

非欧几里得空间如下：一、基础解释欧几里得几何是在约公元前300年，由古希腊数学家欧几里得建立的角和空间中距离之间联系的法则。欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理被编排到几何原本。这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n维欧几里得空间（甚至简称  维空间）或有限维实内积空间。二、详细解释这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间（不一定完备），希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须非常仔细的表达并被扩展到任意维度。尽管结果的数学非常抽象，它却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，根本性质是它的平面性。另存在其他种类的空间，例如球面非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。三、直觉概述有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是子集）应被认为是等价的（全等）。

欧式距离一般指欧几里得度量。在数学中，欧几里得距离或欧几里得度量是欧几里得空间中两点间“普通”（即直线）距离。使用这个距离，欧氏空间成为度量空间。相关联的范数称为欧几里得范数。较早的文献称之为毕达哥拉斯度量。度量空间亦称距离空间。一种拓扑空间，其上的拓扑由距离决定。设R是一个非空集合，ρ（x，y）是R上的二元函数，满足如下条件：1。ρ（x，y）≥0且ρ（x，y）=0⇔x=y。2。ρ（x，y）=ρ（y，x）。3。（三角不等式）ρ（x，y）≤ρ（x，z）+ρ（y，z）。则称ρ（x，y）为两点x，y之间的距离，R按距离ρ成为度量空间或距离空间，记为（R，ρ）。设A是R的子集，则A按R中的距离ρ也成为度量空间，称为R的（度量）子空间。如果把上述距离的条件1改为ρ（x，y）≥0且ρ（x，x）=0，则称ρ为R上的拟距离。当ρ（x，y）=0时，记x～y。～是R上的一个等价关系，记商集（即等价类全体）为D=R/～，在D上作二元函数ρ～：ρ～（x～，y～）=ρ（x，y）（x∈x～，y∈y～），则ρ～是D上的距离，而（D，ρ～）称为R按拟距离ρ导出的商（度量）空间。度量空间（R，ρ）中的子集A称为有界的，如果对x0∈R，存在常数M，使ρ（x0，x）≤M对A中的一切x成立。设x0∈R，r〉0，则称集合｛x|x∈R，ρ（x，x0）〈r｝为以x0为中心，r为半径的开球，或x0的r邻域，记为O（x0，r）。又设AR，若对任何x∈A，存在x的某个邻域O（x，r）A，则A称为开集；而称开集的补集为闭集。R中包含子集A的最小闭集就称为A的闭包。度量空间是弗雷歇（Fréchet，M。-R。）于1906年引进的，它是现代数学中的一种基本而重要并且非常接近于欧几里得空间的抽象空间，也是泛函分析的基础之一。

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欧几里得空间，希尔伯特空间，巴拿赫空间或者是拓扑空间都属于函数空间。函数空间 = 元素 + 规则 ，即一个函数空间由 元素 与 元素所满足的规则 定义，而要明白这些函数空间的定义首先得从 距离 ， 范数 ， 内积 ， 完备性 等基本概念说起。 一.距离 说到距离，我们首先想到的是点与点之间的距离，除此之外还有向量之间的距离，曲线之间的距离，函数之间的距离…。这儿谈到 距离 的定义是一种泛指的概念。 点与点之间的距离 与 距离 就类似于苹果与水果之间的关系。 距离 这个概念的作用主要用于衡量同一空间不同元素之间的差异情况，从这个出发点我们可以得到关于距离的一些属性： 满足以上三条属性即可称作元素之间的距离，其正式定义如下 设X是一个非空集合，任给一对这一集合的元素X,YX,Y X , Y 。都给定一个实数 d(X,Y)d(X,Y) d ( X , Y ) 与之对应，并且满足 则称d(X,Y)d(X,Y) d ( X , Y )是元素X,Y之间的距离 二.范数 范数 是比 距离 限制条件更多的一个概念。为了形象地解释范数的概念，这儿在二维平面进行说明。 在定义了 距离 这个概念之后，我们便可以描述二维平面上两个点之间的 距离 ，此时这个空间称作 度量空间 。但目前的条件没有办法描述一个点的“长度” ，因为缺少了 零点 。而范数定义之后此空间便多了一个零点，可以联想我们熟悉的平面直角坐标系，二维平面中范数可以看做是平面中的点到 零点 的距离。拥有范数的空间称作 赋范空间 ，用符号∣∣X∣∣||X||∣∣ X ∣∣表示元素XX X 的范数。因为 范数 的概念是在 距离 的概念上加了新的限制，则 赋范空间 一定是 度量空间 。我们可以用范数定义距离：d(X,Y)=∣∣X−Y∣∣d(X,Y)=||X-Y|| d ( X , Y )=∣∣ X − Y ∣∣ 总结：元素XX X 的范数∣∣X∣∣||X||∣∣ X ∣∣可简单看做XX X 到零点的近距离。 三.线性 线性这个概念可以说是很熟悉了，即为加法与乘法的结合。若一个空间为线性空间，只要我们知道了此空间的所有基，便可以用加法与数乘表示这一空间所有的元素，如二维平面中能用X轴的单位向量与Y轴的单位向量表示此平面的任意向量。 四.内积 内积又称点积或者数量积，在高中学习向量的点乘运算时便接触到这一概念。在有了前面的定义之后的空间总觉得与我们最熟悉的空间还差点什么，没错，就是角度。在引入内积之后的空间便有了角度的概念。XX X 与YY Y 的内积用符号(X,Y)(X,Y)( X , Y )表示，内积的结果同样是为实数。内积是在范数的概念上加了更多限制条件，即 内积空间 一定为 赋范空间 ，同样的，可以用内积定义范数如下：∣∣X∣∣2=(X,X)||X||^2 = (X,X)∣∣ X ∣∣2=( X , X ) 目前为止便完成了本文的大部分内容，有限维内积空间便是我们最熟悉的欧几里得空间。 五.完备性 完备性这个概念的历史渊源比较深厚，作为非数学专业的工科生我也不太明白完备性的具体含义，简单来说对集合中的元素取极限不超出此空间便称其具有完备性。 2018-10-22****更正： 最近学了一点泛函，对完备性有了新的理解。完备性是在极限的基础上衍生的概念。例如在有理数集上的一个序列{1，1.4，1.41，1.414，1.4142…}，可知此序列极限为2–√sqrt{2}2​，而2–√sqrt{2}2​为无理数，不属于有理数集，即有理数集不具备完备性。 有了以上的概念理解众多迷糊人的空间便容易得多了

对应坐标乘积之和。（α，β）=α1β1+α2β2+......+αnβn

这个经过查询可以知道，这个应该这样计算，首先你得理解基的作用。一般的向量是比较抽象和绝对的概念，引入了基之后向量就可以用相对于这组基的坐标来表示，这样就把抽象的向量转化到具体的坐标（也就是一组数）。在有了基之后抽象的线性变换 也就可以用具体的矩阵来描述了。这里的道理是一样的，用Gram矩阵可以把抽象的内积 转化到一组具体的数。比如说e_1,e_2,...,e_n是V的一组基，若向量a和b在这组基下的向量分别是x和y，记E=(e_1,e_2,...,e_n)，那么形式上就有a=Ex，b=Ey，而它们的内积恰好就是<a,b>=(Ey)^H*(Ex)=y^H*G*x这里G=E^H*E就是Gram矩阵，跳过中间的形式推导，内积运算就转化到了矩阵乘法当然，形式推导也可以严格化，一种方式是直接按分量来写，另一种方式是对向量直接定义诸如转置共轭和乘法运算。

一、从定义区分：1、二维空间的定义：二维空间是指仅由长度和宽度（在几何学中为X轴和Y轴）两个要素所组成的平面空间，只向所在平面延伸扩展。2、三维空间的定义：三维空间，日常生活中可指由长、宽、高三个维度所构成的空间。3、四维空间的定义：四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维。4、五维空间的定义：五维空间即时间、空间层次的统一。二、从属性区分：1、二维空间的属性：既有长度又有宽度。2、三维空间的属性：有长度、宽度和高度。3、四维空间的属性：三个空间维度和一个时间维度。4、五维空间的属性：空间和时间各为横轴和纵轴，再加上速度为竖轴。空间相关资料：1、空间基本信息空间是与时间相对的一种物质客观存在形式，由长度、宽度、高度、大小表现出来。通常指四方上下。空间有宇宙空间、网络空间、思想空间、数字空间、物理空间等等，都属空间的范畴。地理学与天文学中指地球表面的一部分，有绝对空间与相对空间之分。空间由不同的线组成，线组成不同形状，线内便是空间。空间是一个相对概念，构成了事物的抽象概念，事物的抽象概念是参照于空间存在的。2、维空间基本信息一维空间是指只有一条线内的点所组成的空间，它只有长度，没有宽度和高度，只能向两边无限延展。一维实际是指的是一条线，也可理解为点动成线，指没有面积与体积的物体。3、二维空间基本信息二维空间是指仅由长度和宽度（在几何学中为X轴和Y轴）两个要素所组成的平面空间，只向所在平面延伸扩展。二维空间同时也是美术上的一个术语，例如绘画便是要将三维空间（三度空间）的事物，用二度空间来展现。4、三维空间基本信息三维空间，也称为三次元、3D，日常生活中可指由长、宽、高三个维度所构成的空间。而且日常生活中使用的“三维空间”一词，常常是指三维的欧几里德空间。5、四维空间基本信息四维空间不同于三维空间，四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维；四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。人类作为三维物体可以理解四维时空（三个空间维度和一个时间维度）但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。然而四维时空并不是标准欧几里得空间，时间的本质是描述运动的快慢。6、五维空间基本信息时间层次和传统三维空间统一的空间。与传统物理学三维空间观、爱因斯坦相对论四维空间观相对而言的新的空间观，是空间观发展的最新成果，也是前者发展的必然结果。四维就是四个有联系的抽象概念组成的，第四个抽象概念是实时间，第四联系值为速度，而五维是由五个有联系的抽象概念组成的，第五个抽象概念是曲率。

四维空间不同于三维空间，四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维；四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。人类作为三维物体可以理解四维时空（三个空间维度和一个时间维度）但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。然而四维时空并不是标准欧几里得空间，时间的本质是描述运动的快慢。一、四维空间定义：在物理学中描述物质变化时所需的参数，这个参数就叫做维。几个参数就是几个维。比如描述“门”的位置就只需要角度，所以是一维的而不是二维。简单地说：零维是点，没有长度、宽度及高度。一维是由无数的点组成的一条线，只有长度，没有其中的宽度、高度。二维是由无数的线组成的面，有长度、宽度没有高度。三维是由无数的面组成的体，有长度、宽度、高度。因为人的眼睛只能看到二维，二维生物看对方只有一条线。人的双眼看到的是两个二维投影，经过大脑处理形成一个整体的视觉。二、四维空间概念从广义上讲：维度是事物“有联系”的抽象概念的数量，“有联系”的抽象概念指的是由两个抽象概念联系而成的抽象概念，如面积。所以四维就是四个有联系的抽象概念组成的，第四个抽象概念是实时间，第四联系值为速度。扩展资料其他维度1、前三维是位置，存在于空间中；2、第四维是速率，存在于时间中；3、第五六维是速率指向，存在于（速度）时间方向中；4、第七八维是状态指向，存在于自身形状对应的空间方向中；5、第九维是状态转角，存在于自身形状对应的滚动中；6、第十维是自旋速率，存在于滚动时间中；7、第十一二维是自旋赤道轴指向，存在于滚动（速度）时间方向中；8、第十三维是自旋赤道轴指向漂移速率，存在于滚动变化（加速率）时间方向中；9、第十四五维是自旋赤道轴指向漂移速度赤道平面映射方向，存在于滚动变化（加速度）时间方向中；10、第十六维是加速率（或受力强度）；11、第十七八维是加速度（或受力）方向。参考资料来源：百度百科-四维空间

欧式距离一般指欧几里得度量。 在数学中，欧几里得距离或欧几里得度量是欧几里得空间中两点间“普通”（即直线）距离。使用这个距离，欧氏空间成为度量空间。相关联的范数称为欧几里得范数。较早的文献称之为毕达哥拉斯度量。相关信息：所谓欧氏距离变换，是指对于一张二值图像（在此我们假定白色为前景色，黑色为背景色），将前景中的像素的值转化为该点到达最近的背景点的距离。欧氏距离变换在数字图像处理中的应用范围很广泛，尤其对于图像的骨架提取，是一个很好的参照。

1、二维空间是指仅由长度和宽度(在几何学中为X轴和Y轴)两个要素所组成的平面空间，只向所在平面延伸扩展。二维空间同时也是美术上的一个术语，例如绘画便是要将三维空间(三度空间)的事物，用二度空间来展现。 2、三维空间，也称为三次元、3D，日常生活中可指由长、宽、高三个维度所构成的空间。而且日常生活中使用的“三维空间”一词，常常是指三维的欧几里德空间。 3、四维空间不同于三维空间，四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维;四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。人类作为三维物体可以理解四维时空(三个空间维度和一个时间维度)但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。然而四维时空并不是标准欧几里得空间，时间的本质是描述运动的快慢。

物理空间概念的延伸和抽象。如欧几里得空间、双曲空间、黎曼空间、各种函数空间和拓扑空间等等。它们反映了人们对空间结构各种属性认识的发展。 最早的数学空间概念是欧几里得空间。它来源于对空间的直观，反映了空间的平直性、均匀性、各向同性、包容性、位置关系（距离）、三维性，乃至无穷延伸性、无限可分性、连续性等方面的初步认识。但在很长时期里，人们对空间的理解只局限于欧几里得几何学的范围，认为它与时间无关。19世纪20年代，非欧几何的出现突破了欧几里得空间是唯一数学空间的传统观念。非欧几里得几何的空间概念具有更高的抽象性，它与欧几里得空间统一成常曲率空间，而常曲率空间又是黎曼空间的特殊形式。19世纪中叶，G.F.B.黎曼还引进流形概念。这些概念不仅对物理空间的认识起了很大作用，而且也大大丰富了数学中的空间概念。 平面定义： 平面是一个只描述而不定义的最基本概念，是由显示生活中（例如镜面、平静的水面等）的实物抽象出来的数学概念，但又与这些实物有根本的区别，既具有无限延展性（也就是说平面没有边界），又没有大小、宽窄、薄厚之分。平面的这种性质与直线的无限延展性又是相通的。 19世纪末20世纪初，人们给出了维数的拓扑定义，并对函数空间的度量性质进行深入研究，从而产生了一系列重要的数学空间概念，特别是一般的拓扑空间概念。20世纪30年代后，数学中的各种空间在数学结构的基础上得到统一处理，人们对各种数学空间获得较完善的认识，并随着对物理空间认识的深入以及数学研究的发展，从代数、几何、拓扑方面推广各种数学上的空间观念。在代数方面对空间概念的推广主要来源于解析几何的产生和发展。几何对象（点、线等）与数组结成对应关系，使人们可以对空间进行精确的定量描述。这样便容易把坐标三数组推广到坐标 n数组（向量），其所对应的空间即为 n维线性空间或向量空间。这种空间从维数上对欧几里得空间做了推广，但抽去了欧几里得空间中的距离概念。实数域上的线性空间通常可以推广到一般域上，特别是有限域上的线性空间成了只有有限多个点的空间，其空间的连续性也被舍弃了。从代数和几何方面，可以把空间推广成仿射空间和射影空间。射影空间可通过几何方法或坐标方法把无穷远点和无穷远线包括在内。另外，也可以通过数组、相空间、状态空间等等使各种空间成为物理学乃至其他科学处理运动的直观模型。 空间的更抽象形式是拓扑空间。由于拓扑结构反映点与点之间的亲疏远近关系，因而在拓扑空间中欧几里得空间的距离和向量空间的向量长度这些概念都被舍弃了。 人们对各种数学空间的研究，反映了人们从局部、粗浅的直观到更深刻地认识空间的各种属性的过程。例如，拓扑学的发展，使人们对空间的维数、连续性、开闭性、空间的有边和无边以及空间的定向都有了更深入、更本质的理解。流形的研究对于空间的有限与无限、局部与整体的认识也产生了飞跃。流形概念是空间概念的重要发展。它从局部上看是欧几里得空间，但从整体上看可以有各种形式。它可开可闭，可有边可无边。这种深刻的认识对于物理空间的研究有着推动作用。例如，闵可夫斯基空间是狭义相对论的数学模型，黎曼空间则成为广义相对论的数学模型（见相对论）。

一、从四者的定义区分：1、一维空间的定义：一维空间是指只由一条线内的点所组成的空间，它只有长度，没有宽度和高度，只能向两边无限延展。2、二维空间的定义：二维空间是指仅由长度和宽度（在几何学中为X轴和Y轴）两个要素所组成的平面空间，只向所在平面延伸扩展。3、三维空间的定义：三维空间，日常生活中可指由长、宽、高三个维度所构成的空间。4、四维空间的定义：四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维。二、从四者的属性区分：1、一维空间的属性：只有长度，没有宽度和高度。2、二维空间的属性：既有长度又有宽度。3、三维空间的属性：有长度、宽度和高度。4、四维空间的属性：三个空间维度和一个时间维度。三、从四者的适用范围区分：1、一维空间的适用范围：空间物理、高等数学。2、二维空间的适用范围：数学、计算机。3、三维空间的适用范围：数学、物理。4、四维空间的适用范围：量子、宇宙学。参考资料来源：百度百科-一维空间参考资料来源：百度百科-二维空间参考资料来源：百度百科-三维空间参考资料来源：百度百科-四维空间（标准欧几里得空间）

一、从定义区分：1、二维空间的定义：二维空间是指仅由长度和宽度（在几何学中为X轴和Y轴）两个要素所组成的平面空间，只向所在平面延伸扩展。2、三维空间的定义：三维空间，日常生活中可指由长、宽、高三个维度所构成的空间。3、四维空间的定义：四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维。4、五维空间的定义：五维空间即时间、空间层次的统一。二、从属性区分：1、二维空间的属性：既有长度又有宽度。2、三维空间的属性：有长度、宽度和高度。3、四维空间的属性：三个空间维度和一个时间维度。4、五维空间的属性：空间和时间各为横轴和纵轴，再加上速度为竖轴。空间相关资料：1、空间基本信息空间是与时间相对的一种物质客观存在形式，由长度、宽度、高度、大小表现出来。通常指四方上下。空间有宇宙空间、网络空间、思想空间、数字空间、物理空间等等，都属空间的范畴。地理学与天文学中指地球表面的一部分，有绝对空间与相对空间之分。空间由不同的线组成，线组成不同形状，线内便是空间。空间是一个相对概念，构成了事物的抽象概念，事物的抽象概念是参照于空间存在的。2、维空间基本信息一维空间是指只有一条线内的点所组成的空间，它只有长度，没有宽度和高度，只能向两边无限延展。一维实际是指的是一条线，也可理解为点动成线，指没有面积与体积的物体。3、二维空间基本信息二维空间是指仅由长度和宽度（在几何学中为X轴和Y轴）两个要素所组成的平面空间，只向所在平面延伸扩展。二维空间同时也是美术上的一个术语，例如绘画便是要将三维空间（三度空间）的事物，用二度空间来展现。4、三维空间基本信息三维空间，也称为三次元、3D，日常生活中可指由长、宽、高三个维度所构成的空间。而且日常生活中使用的“三维空间”一词，常常是指三维的欧几里德空间。5、四维空间基本信息四维空间不同于三维空间，四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维；四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。人类作为三维物体可以理解四维时空（三个空间维度和一个时间维度）但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。然而四维时空并不是标准欧几里得空间，时间的本质是描述运动的快慢。6、五维空间基本信息时间层次和传统三维空间统一的空间。与传统物理学三维空间观、爱因斯坦相对论四维空间观相对而言的新的空间观，是空间观发展的最新成果，也是前者发展的必然结果。四维就是四个有联系的抽象概念组成的，第四个抽象概念是实时间，第四联系值为速度，而五维是由五个有联系的抽象概念组成的，第五个抽象概念是曲率。

探索人类本身可以知道一切

什么是四维空间标准欧几里德空间四维空间不同于三维空间，四维空间指的是标准欧几里德空间，人类作为三维物体可以理解四维时空，但无法认识及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物，通常时间是第四维即四维时空下的时间维度，四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。通过一维、二维、三维空间的演变，人们提出了关于四维空间的一些猜想。尽管这些猜想现在并不能证明是正确的，但科学理论有很多是由猜想开始的。现今科学理论一般是基于现象总结规律，而关于四维空间的现象没有足够准确清晰的认识，或者看到了这种现象却并没有想到是四维空间引起的。当然也可以定义点线面的拓扑空间为第四维、第五维、第六维以至第N维。这在数学公式推理推导中很容易实现，但现实很难对应和想像。

一、从定义区分：1、二维空间的定义：二维空间是指仅由长度和宽度（在几何学中为X轴和Y轴）两个要素所组成的平面空间，只向所在平面延伸扩展。2、三维空间的定义：三维空间，日常生活中可指由长、宽、高三个维度所构成的空间。3、四维空间的定义：四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维。4、五维空间的定义：五维空间即时间、空间层次的统一。二、从属性区分：1、二维空间的属性：既有长度又有宽度。2、三维空间的属性：有长度、宽度和高度。3、四维空间的属性：三个空间维度和一个时间维度。4、五维空间的属性：空间和时间各为横轴和纵轴，再加上速度为竖轴。空间相关资料：1、空间基本信息空间是与时间相对的一种物质客观存在形式，由长度、宽度、高度、大小表现出来。通常指四方上下。空间有宇宙空间、网络空间、思想空间、数字空间、物理空间等等，都属空间的范畴。地理学与天文学中指地球表面的一部分，有绝对空间与相对空间之分。空间由不同的线组成，线组成不同形状，线内便是空间。空间是一个相对概念，构成了事物的抽象概念，事物的抽象概念是参照于空间存在的。2、维空间基本信息一维空间是指只有一条线内的点所组成的空间，它只有长度，没有宽度和高度，只能向两边无限延展。一维实际是指的是一条线，也可理解为点动成线，指没有面积与体积的物体。3、二维空间基本信息二维空间是指仅由长度和宽度（在几何学中为X轴和Y轴）两个要素所组成的平面空间，只向所在平面延伸扩展。二维空间同时也是美术上的一个术语，例如绘画便是要将三维空间（三度空间）的事物，用二度空间来展现。4、三维空间基本信息三维空间，也称为三次元、3D，日常生活中可指由长、宽、高三个维度所构成的空间。而且日常生活中使用的“三维空间”一词，常常是指三维的欧几里德空间。5、四维空间基本信息四维空间不同于三维空间，四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维；四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。人类作为三维物体可以理解四维时空（三个空间维度和一个时间维度）但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。然而四维时空并不是标准欧几里得空间，时间的本质是描述运动的快慢。6、五维空间基本信息时间层次和传统三维空间统一的空间。与传统物理学三维空间观、爱因斯坦相对论四维空间观相对而言的新的空间观，是空间观发展的最新成果，也是前者发展的必然结果。四维就是四个有联系的抽象概念组成的，第四个抽象概念是实时间，第四联系值为速度，而五维是由五个有联系的抽象概念组成的，第五个抽象概念是曲率。

三维空间。三维空间，日常生活中可指由长、宽、高三个维度所构成的空间。而且日常生活中使用的“三维空间” 一词，常常是指三维的欧几里德空间。点的位置由三个坐标决定的空间。客观存在的现实空间就是三维空间，具有长、宽、高三种度量。数学、物理等学科中引进的多维空间的概念，是在三维空间的基础上所做的科学抽象。也叫三度空间。四维空间不同于三维空间，四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维；四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。人类作为三维物体可以理解四维时空（三个空间维度和一个时间维度）但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。然而四维时空并不是标准欧几里得空间，时间的本质是描述运动的快慢。空间划分按照爱因斯坦提出的四维空间划分，点是零维；两点之间的线是一维；无数条线组成的面是二维；在二维基础上加上高，则是三维；三维加上时间就是四维。而在此之上，爱因斯坦等科学家都猜测，宇宙还存在着更高的维度。这种猜测在不少的科幻小说里有更加形象的描述，比如我国科幻作者刘慈欣的《三体》里，就曾描述出一种高维度生命体的独有攻击方式。它的原理是通过向目标文明所处的空间投放一种叫“二向箔”的武器，让被攻击的文明从高维空间迅速向低维空间跌落。虽然只是科幻小说家的一种猜想和艺术创作，但也让我们对多维空间的概念有了更深刻的了解。

一、从定义区分：1、二维空间的定义：二维空间是指仅由长度和宽度（在几何学中为X轴和Y轴）两个要素所组成的平面空间，只向所在平面延伸扩展。2、三维空间的定义：三维空间，日常生活中可指由长、宽、高三个维度所构成的空间。3、四维空间的定义：四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维。4、五维空间的定义：五维空间即时间、空间层次的统一。二、从属性区分：1、二维空间的属性：既有长度又有宽度。2、三维空间的属性：有长度、宽度和高度。3、四维空间的属性：三个空间维度和一个时间维度。4、五维空间的属性：空间和时间各为横轴和纵轴，再加上速度为竖轴。空间相关资料：1、空间基本信息空间是与时间相对的一种物质客观存在形式，由长度、宽度、高度、大小表现出来。通常指四方上下。空间有宇宙空间、网络空间、思想空间、数字空间、物理空间等等，都属空间的范畴。地理学与天文学中指地球表面的一部分，有绝对空间与相对空间之分。空间由不同的线组成，线组成不同形状，线内便是空间。空间是一个相对概念，构成了事物的抽象概念，事物的抽象概念是参照于空间存在的。2、维空间基本信息一维空间是指只有一条线内的点所组成的空间，它只有长度，没有宽度和高度，只能向两边无限延展。一维实际是指的是一条线，也可理解为点动成线，指没有面积与体积的物体。3、二维空间基本信息二维空间是指仅由长度和宽度（在几何学中为X轴和Y轴）两个要素所组成的平面空间，只向所在平面延伸扩展。二维空间同时也是美术上的一个术语，例如绘画便是要将三维空间（三度空间）的事物，用二度空间来展现。4、三维空间基本信息三维空间，也称为三次元、3D，日常生活中可指由长、宽、高三个维度所构成的空间。而且日常生活中使用的“三维空间”一词，常常是指三维的欧几里德空间。5、四维空间基本信息四维空间不同于三维空间，四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维；四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。人类作为三维物体可以理解四维时空（三个空间维度和一个时间维度）但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。然而四维时空并不是标准欧几里得空间，时间的本质是描述运动的快慢。6、五维空间基本信息时间层次和传统三维空间统一的空间。与传统物理学三维空间观、爱因斯坦相对论四维空间观相对而言的新的空间观，是空间观发展的最新成果，也是前者发展的必然结果。四维就是四个有联系的抽象概念组成的，第四个抽象概念是实时间，第四联系值为速度，而五维是由五个有联系的抽象概念组成的，第五个抽象概念是曲率。

欧式距离一般指欧几里得度量。 在数学中，欧几里得距离或欧几里得度量是欧几里得空间中两点间“普通”（即直线）距离。使用这个距离，欧氏空间成为度量空间。相关联的范数称为欧几里得范数。较早的文献称之为毕达哥拉斯度量。相关信息：所谓欧氏距离变换，是指对于一张二值图像（在此我们假定白色为前景色，黑色为背景色），将前景中的像素的值转化为该点到达最近的背景点的距离。欧氏距离变换在数字图像处理中的应用范围很广泛，尤其对于图像的骨架提取，是一个很好的参照。

四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维。人类作为三维物体可以理解四维时空（三个空间维度和一个时间维度），但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。然而四维时空并不是标准欧几里得空间，时间的本质是描述运动的快慢。其他维度1、前三维是位置，存在于空间中；2、第四维是速率，存在于时间中；3、第五六维是速率指向，存在于（速度）时间方向中；4、第七八维是状态指向，存在于自身形状对应的空间方向中；5、第九维是状态转角，存在于自身形状对应的滚动中；6、第十维是自旋速率，存在于滚动时间中；7、第十一二维是自旋赤道轴指向，存在于滚动（速度）时间方向中；8、第十三维是自旋赤道轴指向漂移速率，存在于滚动变化（加速率）时间方向中；9、第十四五维是自旋赤道轴指向漂移速度赤道平面映射方向，存在于滚动变化（加速度）时间方向中；10、第十六维是加速率（或受力强度）；11、第十七八维是加速度（或受力）方向。

1、四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维；四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。人类作为三维物体可以理解四维时空但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。然而四维时空并不是标准欧几里得空间，时间的本质是描述运动的快慢。2、五维空间是一个包含五个维度的空间，宇宙任何事物存在的基本属性。以物理学的角度来说，五维空间的维度比日常生活中所提到的三维空间以及相对论中的四维空间还要多。五维空间是一种经常在数学中出现的抽象概念。在物理学和数学中，N数字的序列可以理解为表示N维欧几里得空间中的位置。宇宙的维度是否为五维同时也是个辩论的话题。

1、四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维；四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。人类作为三维物体可以理解四维时空（三个空间维度和一个时间维度）但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。然而四维时空并不是标准欧几里得空间，时间的本质是描述运动的快慢。 2、通过一维、二维、三维空间的演变，人们提出了关于四维空间的一些猜想。尽管这些猜想现在并不能证明是正确的，但科学理论有很多是由猜想开始的。现今科学理论一般是基于现象总结规律，而关于四维空间的现象没有足够准确清晰的认识，或者看到了这种现象却并没有想到是四维空间引起的。 3、可以定义可以度量的都可以有维度。比如时间、温度。点、线、面、时间、温度，构成五维空间也能说的通。 4、当然也可以定义点线面的拓扑空间为第四维、第五维、第六维以至第N维。这在数学公式推理推导中很容易实现，但现实很难对应和想像。

四维空间不同于三维空间，四维空间指标准欧几里得空间，可以拓展到n维；四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。人类作为三维物体可以理解四维时空（三个空间维度和一个时间维度）但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。通常所说时间为第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。然而四维时空并不是标准欧几里得空间，时间的本质是描述运动的快慢。五维空间为一个包含五个维度的空间，宇宙任何事物存在的基本属性。以物理学的角度来说，五维空间的维度比日常生活中所提到的三维空间以及相对论中的四维空间还要多。五维空间为一种经常在数学中出现的抽象概念。在物理学和数学中，N数字的序列可以理解为表示N维欧几里得空间中的位置。宇宙的维度是否为五维同时也是个辩论的话题。六维空间指任何拥有六个维度的空间，六自由度，并且需要六个数据或坐标来指定该空间中的位置。扩展资料对于四维空间，人们普遍认为空间有轴对称性，或是中心对称。譬如，倘若一个三维空间的人进入四维空间，并且按照适当的方式“旋转”一下再回到三维空间，那么他会被‘轴对称"一下（这在三维空间中当然是不可能实现的，除非运用三维版本的麦比乌斯带）。当然，由于没有人进入四维空间，所以这只是一个从二维空间类比而得的假设，无法进行验证。但是关于时间轴的观点以及时空错乱瞬间的现象与这是相符的。从二维空间的一个图形是不能在二维空间进行对称的，但进入三维空间，就可以通过进行翻转回到二维空间时，就可以实现对称，因为在二维空间是不能进行翻转的，只能旋转或平移。因此我们可以推测三维物体进入了四维空间，再回到三维空间可能物体会被“轴对称”一下。参考资料来源：百度百科-六维空间参考资料来源：百度百科-五维空间参考资料来源：百度百科-四维空间

一、从四者的定义区分：1、一维空间的定义：一维空间是指只由一条线内的点所组成的空间，它只有长度，没有宽度和高度，只能向两边无限延展。2、二维空间的定义：二维空间是指仅由长度和宽度（在几何学中为X轴和Y轴）两个要素所组成的平面空间，只向所在平面延伸扩展。3、三维空间的定义：三维空间，日常生活中可指由长、宽、高三个维度所构成的空间。4、四维空间的定义：四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维。二、从四者的属性区分：1、一维空间的属性：只有长度，没有宽度和高度。2、二维空间的属性：既有长度又有宽度。3、三维空间的属性：有长度、宽度和高度。4、四维空间的属性：三个空间维度和一个时间维度。三、从四者的适用范围区分：1、一维空间的适用范围：空间物理、高等数学。2、二维空间的适用范围：数学、计算机。3、三维空间的适用范围：数学、物理。4、四维空间的适用范围：量子、宇宙学。参考资料来源：百度百科-一维空间参考资料来源：百度百科-二维空间参考资料来源：百度百科-三维空间参考资料来源：百度百科-四维空间（标准欧几里得空间）

进入四维空间需要物体在地球达到第三宇宙速度，其理论方法如下：根据爱因斯坦的广义相对论，当物体绕地球不停加速度，这速度到达第三宇宙速度时，就会引起时间静止甚至倒退，在地球某一点空间会产生缝隙，人体进入从亚元空间越到异次元即四维空间。四维空间，指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维；四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。通过一维、二维、三维空间的演变，人们提出了关于四维空间的一些猜想。尽管这些猜想现在并不能证明是正确的，但科学理论有很多是由猜想开始的。现今科学理论一般是基于现象总结规律，而关于四维空间的现象没有足够准确清晰的认识，或者看到了这种现象却并没有想到是四维空间引起的。

四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维；四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。人类作为三维物体可以理解四维时空（三个空间维度和一个时间维度）但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。然而四维时空并不是标准欧几里得空间，时间的本质是描述运动的快慢。通过一维、二维、三维空间的演变，人们提出了关于四维空间的一些猜想。尽管这些猜想现在并不能证明是正确的，但科学理论有很多是由猜想开始的。现今科学理论一般是基于现象总结规律，而关于四维空间的现象没有足够准确清晰的认识，或者看到了这种现象却并没有想到是四维空间引起的。可以定义可以度量的都可以有维度。比如时间、温度。点、线、面、时间、温度，构成五维空间也能说的通。当然也可以定义点线面的拓扑空间为第四维、第五维、第六维以至第N维。这在数学公式推理推导中很容易实现，但现实很难对应和想像。扩展资料：四维时空不仅限于此，由质能关系知，质量和能量实际是一回事，质量（或能量）并不是独立的，而是与运动状态相关的，比如速度越大，质量越大。在四维时空里，质量（或能量）实际是四维动量的第四维分量，动量是描述物质运动的量，因此质量与运动状态有关就是理所当然的了。在四维时空里，动量和能量实现了统一，称为能量动量四矢。另外在四维时空里还定义了四维速度，四维加速度，四维力，电磁场方程组的四维形式等。值得一提的是，电磁场方程组的四维形式更加完美，完全统一了电和磁，电场和磁场用一个统一的电磁场张量来描述。四维时空的物理定律比三维定律要完美的多，这说明我们的世界的确是四维的。可以说至少它比牛顿力学要完美的多。至少由它的完美性，我们不能对它妄加怀疑。在狭义相对论中，时间与空间构成了一个不可分割的整体——四维时空，能量与动量也构成了一个不可分割的整体——四维动量。这说明自然界一些看似毫不相干的量之间可能存在深刻的联系。在今后论及广义相对论时我们还会看到，时空与能量动量四矢之间也存在着深刻的联系。参考资料来源：百度百科-四维空间

1、四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维；四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。人类作为三维物体可以理解四维时空但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。然而四维时空并不是标准欧几里得空间，时间的本质是描述运动的快慢。 2、五维空间是一个包含五个维度的空间，宇宙任何事物存在的基本属性。以物理学的角度来说，五维空间的维度比日常生活中所提到的三维空间以及相对论中的四维空间还要多。五维空间是一种经常在数学中出现的抽象概念。在物理学和数学中，N数字的序列可以理解为表示N维欧几里得空间中的位置。 宇宙的维度是否为五维同时也是个辩论的话题。

1、四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维；四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。人类作为三维物体可以理解四维时空（三个空间维度和一个时间维度）但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。然而四维时空并不是标准欧几里得空间，时间的本质是描述运动的快慢。 2、通过一维、二维、三维空间的演变，人们提出了关于四维空间的一些猜想。尽管这些猜想现在并不能证明是正确的，但科学理论有很多是由猜想开始的。现今科学理论一般是基于现象总结规律，而关于四维空间的现象没有足够准确清晰的认识，或者看到了这种现象却并没有想到是四维空间引起的。 3、可以定义可以度量的都可以有维度。比如时间、温度。点、线、面、时间、温度，构成五维空间也能说的通。 4、当然也可以定义点线面的拓扑空间为第四维、第五维、第六维以至第N维。这在数学公式推理推导中很容易实现，但现实很难对应和想像。

空间是一个3D平面是2D空间＝长宽高平面＝长宽

五维空间即时间、空间、层次的统一。在五维空间宇宙观中，时间、空间、层次是对称的。对称空间观是五维空间观的本质，五维空间观是对称空间观的展开。所以对称空间观就是五维空间观。

跟着他一起上来进行接种的时候，所以就应该说送话费吗？

？不太明白你的问题。。数学里的三个坐标系为：x,y,z， 好像不讨论时空相结合的。。而物理中相对论说：除了平常说的3维的空间（经度，纬度，高度），第4维是时间. 宇宙是一个网状物，由这4个因素确定。 空间与时间是相对的。

1、四维空间：四维空间不同于三维空间，四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维；四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。人类作为三维物体可以理解四维时空但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。然而四维时空并不是标准欧几里得空间，时间的本质是描述运动的快慢。2、五维空间：五维空间是一个包含五个维度的空间，宇宙任何事物存在的基本属性。 以物理学的角度来说，五维空间的维度比日常生活中所提到的三维空间以及相对论中的四维空间还要多。 五维空间是一种经常在数学中出现的抽象概念。在物理学和数学中，N数字的序列可以理解为表示N维欧几里得空间中的位置。 宇宙的维度是否为五维同时也是个辩论的话题。扩展资料：五维空间架构中时间、空间、层次相互对称相互转化的方法。时间、空间、层次统一的五维空间关系是宇宙事物存在的基本属性，世界上的任何事物都是以五维空间结构存在。五维空间的结构不是静态的，而是动态的，时间、空间、层次维度不是孤立的而是相互转化的，事物就是通过这五维空间的相互转化来实现发展的。五维空间结构的对称分析方法是认识事物必备的基本方法。参考资料来源：百度百科—四维空间参考资料来源：百度百科—五维空间

四维或N维空间也许就在我们身边，只是人类的认知，智商有限感知不到，就象蚂蚁看不到人类一样

四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维；四维时空指的是闵可夫斯基空间概念的一种误解。人类作为三维物体可以理解四维时空但无法认识以及存在于四维空间，因为人类属于第三个空间维度生物。通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。然而四维时空并不是标准欧几里得空间，时间的本质是描述运动的快慢。五维空间是一个包含五个维度的空间，宇宙任何事物存在的基本属性。以物理学的角度来说，五维空间的维度比日常生活中所提到的三维空间以及相对论中的四维空间还要多。五维空间是一种经常在数学中出现的抽象概念。在物理学和数学中，N数字的序列可以理解为表示N维欧几里得空间中的位置。宇宙的维度是否为五维同时也是个辩论的话题。

四维空间不同于三维空间，四维空间指的是标准欧几里得空间，可以拓展到n维；通常所说时间是第四维即四维时空下的时间维度。四维空间的第四维指与x，y，z同一性质的空间维度。然而四维时空并不是标准欧几里得空间，时间的本质是描述运动的快慢。通过一维、二维、三维空间的演变，人们提出了关于四维空间的一些猜想。尽管这些猜想现在并不能证明是正确的，但科学理论有很多是由猜想开始的。现今科学理论一般是基于现象总结规律，而关于四维空间的现象没有足够准确清晰的认识，或者看到了这种现象却并没有想到是四维空间引起的。扩展资料：轴对称性1、对于四维空间，人们普遍认为空间有轴对称性，或是中心对称。譬如，倘若一个三维空间的人进入四维空间，并且按照适当的方式“旋转”一下再回到三维空间，那么他会被‘轴对称"一下。当然，由于没有人进入四维空间，所以这只是一个从二维空间类比而得的假设，无法进行验证。但是关于时间轴的观点以及时空错乱瞬间的现象与这是相符的。2、从二维空间的一个图形是不能在二维空间进行对称的，但进入三维空间，就可以通过进行翻转回到二维空间时，就可以实现对称，因为在二维空间是不能进行翻转的，只能旋转或平移。因此我们可以推测三维物体进入了四维空间，再回到三维空间可能物体会被“轴对称”一下。参考资料来源：百度百科-四维空间

我们人类是三维空间的生物，无法在直觉上理解四维空间（four-dimensional space）存在的样子。数学中，四维空间是标准欧几里得空间（Euclidean space），理论上可以拓展到N维度。根据题意，除特别说明外，下文讨论的四维空间是指欧几里得空间，以区别于闽可夫斯基空间（Minkowski space）。科学家通过一维、二维、三维空间的演变，提出了关于四维空间的猜想。零维是一个点，任何方向上都没有长度。一维是由无数的点组成的一条线，只有长度没有宽度和高度。二维是由无数线条组成面，有长短和宽度，但无高度。三维是无数的面组成的体，有长、宽和高度。那么四维呢？四维是想象以四个相互垂直的维度所构成的空间（真让人头疼）。一、四维空间有何特点？从低维度现实世界的体验中，我们可以想像，假设一个生活在二维世界的人，他的经验中世界只有前后和左右两个维度。如果一个三维的球体正好穿过这个二维世界。二维人会在他的世界里看到一个圆。他可以围着圆走一圈，测量这个圆的周长，但他不能直观感知球体的体积。在球体穿过二维平面的整个过程中，二维人会看到一个圆出现、变大、再变小，最后消失。通过类比，我们可以想像一个四维的球体穿过三维空间的一幕：我们同样会看见一个三维的球体出现、变大、再变小直到消失。显然，低维度空间是高维度空间的一个投影，或者是一个截面。而我们人类很可能就是四维空间在三维空间的全息投影。在谈到四维空间概念时，中科院国家天文台研究员李然博士认为，当我们说“看到”时，实际上并不严谨。我们所在的世界膜（理论物理学家将我们的三维空间加一维时间称为世界膜，它镶嵌在一个更高维度的超体bulk中）中的核力、弱力和电磁力都不能够离开三维空间进入高维。在三维空间，我们用一束光（电磁波）照射物体时，可以通过反射的电磁波看到这个物体。但在四维空间的物体既不能反射电磁波，也不能发射电磁波，我们根本无法看见它。唯一被认为能够和四维（或更高维）度空间的物体相互作用的就是引力。当一个四维物体穿过我们的三维世界时，我们只能通过它的引力效应感知它。电影《星际穿越》（Interstellar）中NASA团队成员都注意到了各种引力异常情况，这就是高维度文明在帮助地球人过程中引起的引力效应。比如，我们的三维世界里，引力与距离的平方成反比例。距离太阳是地球两倍远的行星，感受到的太阳引力只有地球的1/4。然而如果我们的空间有第四个平直的维度，那么引力场强度就会随距离的三次方下降，木星、土星都不能被太阳的引力束缚而逸出太阳系。但科学家仍然相信四维（或更高维）度空间确实存在，只不过它们在微观尺度上卷曲，这种卷曲可以避免引力场发散的问题。二、四维空间在哪里？物理学家霍金（Stephen W. Hawking）曾在剑桥大学作关于“万物论”（Theory of everything）的演讲时设问，如果我们这个三维世界以外的所有额外的维度确实存在，那我们为什么毫无察觉呢？为什么我们所看到的只是三维空间？对此的解释是，四维（或更高维）度均弯曲在范围极小的空间内，其尺度大约只有100万亿亿亿分之一英寸。这样的尺度实在太小，以至于无法被我们所察觉。我们所看到的只是三维空间，按照宇宙学原理，宇宙的三维空间在大尺度上是各向同性和几乎平直的。这好比橙子的表皮：如果近距离观察，整个表皮是有弯曲的，而且布满皱纹；然而从远处看，就看不到那些隆起的结构，显得很平滑。对于空间而言情况也是一样，在微小的尺度上它是四维（或更高维）度的，而且高度弯曲。但在较大尺度上，我们看不到弯曲，或者说看不到额外的维度。四维和更高维度空间可以通过数学理论构建。量子力学中，空间是多维度的，N维就是两个以上N-1维物体垂直所形成的空间。因此我们可以说，四维空间只能存在于当今最前沿的弦理论的数学方程之中。而弦理论又预测了更多种维度模式的存在，据说至少存在第11维。三、一个四维空间的超体——克莱因瓶说到四维空间，不得不提及德国数学家克莱因（Felix Klein），他曾在理论上构思出了一个特殊的四维空间的物体，被称为克莱因瓶（Klein bottle）。这是拓扑学研究的典型空间之一，它展现为一个在四维空间中才能正真表现出来的曲面。这个像球面那样的封闭空间没有“边”，且只有一个“面”。它的截面是一个莫比乌斯带（Mobius band）。如果在四维空间里，把两条莫比乌斯带沿着它们唯一的边粘合起来，就可以得到一个克莱因瓶。根据拓扑学理论，莫比乌斯带可以嵌入我们的三维空间，而克莱因瓶只能嵌入四维（或更高维）空间。从维基上了解到，数学家们宣称已经解出了克莱因瓶曲面的数学表达式。理论物理学家认为，克莱因瓶在我们的三维空间中无法制作出来，它是一个没有“边界”、没有“内部”、没有“外部”且只有一个“面”的连续曲面，被喻为永远装不满水的瓶子。至于四维空间不能进入我们所在的三维空间，所以凡是可以画出或制作出来的克莱因瓶都是其四维空间在三维空间的投影。换言之，四维的克莱因瓶不能存在于三维中。四、为什么四维空间既小又卷曲呢？上述讨论又引出了另一个问题。为什么四维（或更高维）度空间应该卷曲成一个个小球状，而不是所有的维度都是如此呢？霍金认为，极早期宇宙中所有维度都应当是高度弯曲的，那为什么三维空间展平了，而其它维度仍维持紧紧卷曲状态呢？迄今，科学并无答案，或者说一个可能的答案是人择原理（Anthropic principle）。为了发展出像人类这样复杂生命，二维空间显得不够用，而大于三维的空间则星系处于不稳定状态而面临分崩离析。因此，至少我们所知的生命，显然只能存在于稳定的时空区域之中，即有三维空间加上一维时间，而且都不会因卷曲而变得太小。弦理论确实能够导出并容许我们区域的存在。宇宙中很可能还存在其它的区域，其维度都卷曲得很小很小，但此类区域中不会有智慧生命存在。现在虽然还不能证明存在四维（或更高维）空间的猜想是准确的，但科学理论有很多是由猜想开始的。