怎么把矩阵的转置运算公式推导一下呢？

矩阵转置公式：（A^T)^T=A，（A+B)^T = A^T + B^T，（AB)^T = B^T*A^T。矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。最重要的一个公式，其余的每个都可以用这个来推导已知Y = AXB Y = A*X*BY=AXB那么有对X求导，公式（1)d Y d X = A TB T frac{dY}{dX} = A^T*B^TdXdY=ATBT和对X T X^TXT求导，公式（2)d Y d X T = BA frac{dY}{dX^T} = B*AdXTdY=BA下面我们来举例：如果要计算Y = XB Y = X*BY=XB中，d Y d X frac{dY}{dX}dXdY的值，我们可以令A = E A =EA=E代入公式（1),有d Y d X = B T frac{dY}{dX} = B^TdXdY=BT其他计算同理。有一个小窍门，平时在推导的时候，可以根据矩阵的行列数来判断。具体的规律可以自己私下尝试。

AA^T| = |A| |A^T| = |A||A| = |A|^2即矩阵A乘以A的转置等于A的行列式的平方。矩阵转置的主要性质：1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的（网易笔试题曾考过）。2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。4、若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。扩展资料：线性变换及其所对应的对称，在现代物理学中有着重要的角色。例如，在量子场论中，基本粒子是由狭义相对论的洛伦兹群所表示，具体来说，即它们在旋量群下的表现。内含泡利矩阵及更通用的狄拉克矩阵的具体表示，在费米子的物理描述中，是一项不可或缺的构成部分，而费米子的表现可以用旋量来表述。

矩阵的转置也就是转置矩阵，将矩阵的行列互换得到的新矩阵称为转置矩阵，转置矩阵的行列式不变。在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出，矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数，通常表示为r（A），在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。方阵（行数、列数相等的矩阵）的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。以上内容参考 百度百科——矩阵的秩

方法1：使用伴随矩阵的定义，先求出各元素，对应的代数余子式，再转置方法2：利用伴随矩阵（仅限可逆矩阵情况下），与行列式及逆矩阵的关系：先求出行列式|A|再使用初等行变换，求出逆矩阵根据公式

Option ExplicitOption Base 1Dim a(4, 4) As IntegerPrivate Sub Command1_Click()Dim i As Integer, j As IntegerPicture1.ClsRandomizeFor i = 1 To 4 For j = 1 To 4 a(i, j) = Int(Rnd * 9) + 1 Picture1.Print a(i, j); Next j Picture1.PrintNext iEnd SubPrivate Sub Command2_Click()Dim i As Integer, j As IntegerDim b(4, 4) As IntegerPicture2.ClsFor i = 1 To 4 For j = 1 To 4 b(i, j) = a(j, i) Picture2.Print b(i, j); Next j Picture2.PrintNext iEnd SubPrivate Sub Command3_Click()Dim i As Integer, j As Integer, temp As IntegerPicture2.ClsFor i = 1 To 4 For j = i To 4 temp = a(i, j) a(i, j) = a(j, i) a(j, i) = temp Next jNext iFor i = 1 To 4 For j = 1 To 4 Picture2.Print a(i, j); Next j Picture2.PrintNext iEnd Sub

矩阵的转置也就是转置矩阵，将矩阵的行列互换得到的新矩阵称为转置矩阵，转置矩阵的行列式不变。矩阵的转置可能在实际生活中感受不到，但是在专业的工具中，尤其是图像处理的工具中可以经常用到的旋转功能，其实就是应用的矩阵转置，只是平时联想不到。矩阵分解将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵，相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P。

等于A^2。AA^T=AA^T=AA=A^2即矩阵A乘以A的转置等于A的行列式的平方。矩阵转置的主要性质实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。若入0具有k重特征值必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(入OE-A)=n-k，其中E为单位矩阵。a×a的转置介绍：a*a的转置可以表示为：AA^T= AA^T= AA|= A^2即矩阵A乘以A的转置等于A的行列式的平方。2、转置是一个数学名词。直观来看，将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到A的转置。一个矩阵M,把它的第一行变成第一列，第二行变成第二列，等等。直到最末一行变为最末一列，从而得到一个新的矩阵N。这一过程称为矩阵的转置。即矩阵A的行和列对应互换。3、矩阵转置的主要性质：实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

1.矩阵的转置是矩阵的一种运算，在矩阵的所有运算法则中占有重要地位。 2. 设A为m×n阶矩阵（即m行n列），第i 行j 列的元素是a(i,j)，即：把m×n矩阵A的行换成同序数的列得到一个n×m矩阵，此矩阵叫做A的转置矩阵。

设矩阵a经过初等行变换之后，化为上三角矩阵b，则a等价于b。矩阵a"经过初等列变换之后，可化为下三角矩阵c，则a"等价于c。显然，b的转置矩阵b"=c。所以，矩阵a与矩阵a的转置矩阵的特征值相同。化成三角形行列式法：先把行列式的某一行（列）全部化为 1 。再利用该行（列）把行列式化为三角形行列式，从而求出它的值。这是因为所求行列式有如下特点：各行元素之和相等； 各列元素除一个以外也相等。

方法1/3矩阵转置其实就是行列互换，根据字面意思，就是把行的内容换到列的内容，下面给大家举例介绍请点击输入图片描述2/3如图所示，将矩阵第一行的内容转换到第一列的位置请点击输入图片描述3/3以此类推，第二行内容转至第二列，第三行内容转至第三列，就完成矩阵转置了请点击输入图片描述

在求矩阵的转置的时候实际上就把每个第m行n列的元素都转移到第n行m列去得到的新矩阵就是矩阵的转置记为转置矩阵A^T

解: |A-λE|=|2-λ 2 -2||2 5-λ -4||-2 -4 5-λ|r3+r2 (消0的同时, 还能提出公因子, 这是最好的结果)|2-λ 2 -2||2 5-λ -4||0 1-λ 1-λ|c2-c3|2-λ 4 -2||2 9-λ -4||0 0 1-λ|= (1-λ)[(2-λ)(9-λ)-8] (按第3行展开, 再用十字相乘法)= (1-λ)(λ^2-11λ+10)= (10-λ)(1-λ)^2.如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）(i,j为元素的脚标)，而且该矩阵对应的特征值全部为实数，则称A为实对称矩阵。主要性质：1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。3.n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。4.若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。扩展资料：把一个m×n矩阵的行，列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A"或AT。矩阵转置的运算律(即性质)：1.(A")"=A2.(A+B)"=A"+B"3.(kA)"=kA"(k为实数)4.(AB)"=B"A"若矩阵A满足条件A=A"，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i,j都成立。（1）对称矩阵 在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质：则称A为对称矩阵。（2）对称矩阵的压缩存储 对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。①按行优先顺序存储主对角线（包括对角线）以下的元素即按 次序存放在一个向量sa[0...n(n+1)/2-1]中（下三角矩阵中，元素总数为n(n+1)/2）。其中：sa[0]=a0,0sa[1]=a1,0……sa[n(n+1)/2-1]=an-1,n-1②元素aij的存放位置aij元素前有i行（从第0行到第i-1行），一共有：1+2+…+i=i×(i+1)/2个元素。在第i行上， 之前恰有j个元素，即ai0,ai1,…,ai,j-1 ，因此有：sa[i×(i+1)/2+j]=aij③aij和sa[k]之间的对应关系：若i≥j，k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2若i<j，k=j×(j+1)/2+i0≤k<n(n+1)/2令I=max(i，j)，J=min(i，j)，则k和i，j的对应关系可统一为：k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2（3）对称矩阵的地址计算公式LOC(aij)=LOC(sa[k])=LOC(sa[0])+k×d=LOC(sa[0])+[I×(I+1)/2+J]×d通过下标变换公式，能立即找到矩阵元素aij在其压缩存储表示sa中的对应位置k。因此是随机存取结构。参考资料：百度百科---实对称矩阵

.现有两个矩阵,这两个矩阵的行数和列数都一样,将它们设为矩阵A与B,他们的行数与列...2.矩阵C既然为矩阵A与B的和矩阵,那么就等于矩阵A与B中的元素各自相加之后的结果。3.现我们找两个矩阵,而且这两个矩阵的行数和列数必须一样,否则就不能进行加减运算。4.按照矩阵加法的运算法则,我们先写出这两个矩阵相加时所对应的加法算式矩阵,...

将矩阵的行列互换得到的新矩阵就称为转置矩阵即原来的m行n列的元素更换到n行m列去而转置方阵的行列式是不变的

转置矩阵的性质如下：1、（A^T）^T=A2、（A+）B^T=A^T+B^T3、（kA）^T=kA^T4、（AB）^T=B^TA^T一个矩阵的转置与本身相乘得到对称矩阵一个矩阵的逆矩阵与本身相乘得到单位矩阵行列式不等于零，矩阵可逆，反之不可逆满秩矩阵一定是可逆的。矩阵的性质1、乘法结合律： (AB)C=A(BC)2、乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC3、乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB4、对数乘的结合性k(AB）=(kA)B=A(kB）5、AA*=A*A，A和伴随矩阵相乘满足交换律。6、AE=EA，A和单位矩阵或数量矩阵满足交换律。以上内容参考 百度百科—转置矩阵

A^T=A^{-1} <=> AA^T=I，也就是A是正交阵

是的。矩阵的转置是行列互换，主对角线上的元素转置后仍在主对角线上。如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但是存在一种复正交矩阵，复正交矩阵不是酉矩阵。正交矩阵的一个重要性质就是它的转置矩阵就是它的逆矩阵。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

a×a的转置等于AA^T| = |A| |A^T| = |A||A| = |A|^2即矩阵A乘以A的转置等于A的行列式的平方。|A|=|A"|。转置矩阵的行列式等于原矩阵的行列式。而乘积矩阵的行列式等于行列式的乘积。|AA"|=|A||A"|。所以。|AA"|=|A||A"|=|A||A|=|A|²。性质：1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的（网易笔试题曾考过）。2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。4、若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

就是将原矩阵转置就行吧，和分块没有关系？

矩阵的行列式和其转置矩阵的行列式一定相等。证明要用到：1、交换排列中两个元素的位置，改变排列的奇偶性；2、行列式的定义可改为按列标的自然序，正负号由行标排列的奇偶性决定。扩展资料初等行变换1、以P中一个非零的数乘矩阵的某一行。2、把矩阵的某一行的c倍加到另一行，这里c是P中的任意一个数。3、互换矩阵中两行的位置。一般来说，一个矩阵经过初等行变换后就变成了另一个矩阵，当矩阵A经过初等行变换变成矩阵B时，一般写作A-B。可以证明：任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯型矩阵。初等列变换同样地，定义初等列变换，即：1、以P中一个非零的数乘矩阵的某一列。2、把矩阵的某一列的c倍加到另一列，这里c是P中的任意一个数。3、互换矩阵中两列的位置。

a的转置乘以a等于a行列式的平方。设A为m×n阶矩阵（即m行n列），第i行j列的元素是aij，即A=(aij)m×n定义A的转置为这样一个n×m阶矩阵B，满足B=(aji)，即bij=aji（B的第i行第j列元素是A的第j行第i列元素）。记AT=B，直观来看将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到A的转置。一个矩阵M,把它的第一行变成第一列，第二行变成第二列，最末一行变为最末一列，从而得到一个新的矩阵N，这一过程称为矩阵的转置。历史：矩阵的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究，阿瑟·凯利，矩阵论奠基人在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出，作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变数，但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。

只有对称矩阵，反对称矩阵和正交矩阵满足矩阵的转置乘以矩阵，等于矩阵乘以矩阵的转置。如果矩阵不是方阵：转置矩阵与原矩阵的乘积是一个方阵，阶数为原矩阵Amxn的列数n；原矩阵与转置矩阵的乘积是一个方阵，阶数为原矩阵的行数m。这两个矩阵不是同型矩阵，不相等。如果矩阵是方阵：（1）对称矩阵（转置矩阵＝原矩阵）的转置矩阵与原矩阵的乘法满足交换律。（2）反对称矩阵（转置矩阵＝原矩阵的负矩阵）的转置矩阵与原矩阵的乘法满足交换律。（3）正交矩阵（逆矩阵＝转置矩阵）的转置矩阵与原矩阵的乘法满足交换律。将矩阵的行列互换得到的新矩阵称为转置矩阵，转置矩阵的行列式不变。对称矩阵（Symmetric Matrices）是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。1、对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。2、A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。3、对角矩阵都是对称矩阵。4、两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

有没有一种可能，矩阵＝矩阵的转置的转置

这是两个完全不同的概念转置是行变成列列变成行，没有本质的变换逆矩阵是和这个矩阵相乘以后成为单位矩阵的矩阵这个是一个本质的变换，逆矩阵除了一些显然的性质以外还有一些很特殊的性质，例如无论左乘还是右乘原矩阵，都是单位矩阵。

转置是把矩阵的行变为列、列变为行，无论是不是方阵，都可以转置。逆矩阵是与原矩阵的积等于单位矩阵的矩阵。仅方阵才可能存在逆矩阵。

既然求二者相乘得到的矩阵转置那么就先把两个向量写成可以相乘的矩阵形式只有 1*n和n*1向量相乘得到数值而n*1 和1*n向量相乘，得到n*n方阵

对的

转置矩阵就是把原矩阵第m行n列位置的数换到第n行m列。比如1 2 3 4 56 7 8 9 0的转置矩阵就是1 62 73 84 95 0就是这样的求行列式的值 行列式的计算一 化成三角形行列式法 先把行列式的某一行（列）全部化为 1 ，再利用该行（列）把行列式化为三角形行列式，从而求出它的值，这是因为所求行列式有如下特点： 1 各行元素之和相等； 2 各列元素除一个以外也相等。 充分利用行列式的特点化简行列式是很重要的。 二 降阶法 根据行列式的特点，利用行列式性质把某行（列）化成只含一个非零元素，然后按该行（列）展开。展开一次，行列式降低一阶，对于阶数不高的数字行列式本法有效。 三 拆成行列式之和（积） 把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的。 四 利用范德蒙行列式 根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去； ...) 把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。 五 加边法 要求：1 保持原行列式的值不变； 2 新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第 列（行）的元素分别为 n-1 个元素的倍数的情况。 六 综合法 计算行列式的方法很多，也比较灵活，总的原则是：充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行列式的值。 七 行列式的定义 一般情况下不用。

若矩阵为方阵且其逆矩阵存在时，矩阵的逆bai的转置 等于 矩阵的转置的逆。 注意;只有方形矩阵才有矩阵的逆，而非方形的叫做“矩阵的伪逆”，此处只论方阵。其次只有当方阵的行列式不为0时，其逆矩阵才存在，故这里只讨论其行列式不为0的方阵（只要有任意一行或一列全文0的方阵，其行列式值为0，但不仅限于此）. 扩展资料 　　逆矩阵的性质： 　　性质定理：可逆矩阵一定是方阵。 　　如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。可逆矩阵A的`转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置） 　　若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。两个可逆矩阵的乘积依然可逆。矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

注意到行列式的性质|A^T|=|A|且单位阵E是对称阵，则有|E-A^T|=|E^T-A^T|=|(E-A)^T|=|E-A|。

设矩阵A经过初等行变换之后，化为上三角矩阵B，则A等价于B。矩阵A"经过初等列变换之后，可化为下三角矩阵C，则A"等价于C。相关介绍：矩阵的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则。

ATA=4E则等式两边取行列式，得到|A|^2=4^3|E|即|A|^2=64因此|A|=8或-8

矩阵转置是矩阵运算中非常基础的操作之一，它可以将矩阵的列变为行，行变为列，生成一个新的矩阵。在矩阵分析和线性代数等领域，矩阵转置具有很多重要的性质和应用。下面我将从几个方面介绍矩阵转置的性质。一、基本性质：矩阵转置的基本性质包括：(A^T)^T=A，即矩阵转置的转置等于原矩阵；(AB)^T=B^TA^T，即矩阵乘积的转置等于因子的转置逆序相乘。二、转置运算的运算规律：矩阵转置的运算规律包括：对于任意的实矩阵A和B以及标量c，有(A+B)^T=A^T+B^T和(cA)^T=cA^T；若A是一个对称矩阵，则A^T=A；若A是一个反对称矩阵，则A^T=-A。三、转置运算的性质：矩阵转置的性质包括：矩阵的秩不变：若A为m×n矩阵，则r(A)=r(A^T)；矩阵的行列式不变：若A为n×n矩阵，则|A|=|A^T|；矩阵的特征值不变：若A为n×n矩阵，则它的特征值和特征向量不变，即矩阵的谱不变。四、转置运算的应用：矩阵转置在很多领域中都有广泛的应用，如：矩阵求逆：由于(A^-1)^T=(A^T)^-1，所以转置比求逆更容易计算；矩阵相似性：如果存在可逆矩阵P，使得A=PBP^-1，则A^T=PB^TP^-1，即A与B相似；矩阵的正交性：正交矩阵Q满足 Q^TQ=I，即它的转置等于它的逆，因此矩阵转置在正交矩阵的证明中也有着重要的应用。综上所述，矩阵转置是矩阵运算中非常基础的操作，并具有很多重要的性质和应用。在学习和应用矩阵分析和线性代数的过程中，深入理解矩阵转置的性质和规律，可以更好地处理矩阵的相关问题，提高数学分析的能力和水平。

矩阵的秩定义为它的非零子式的最大阶。注意行列式转置值不变。矩阵的子式在转置之后成为转置矩阵的子式(原子式的转置。）。它的值不变。所以非零子式的最大阶也不会变。即矩阵的转置矩阵与它自身具有相同的秩。

行列式转置的运算法则：|A|＋|B|和|A+B|一般不相等。|A|×|B|和|A×B|相等。还有个规则是：|A"|=|A|。取行列式后就是一个数，就把它当作一个数就行了。设矩阵a经过初等行变换之后，化为上三角矩阵b，则a等价于b。矩阵a"经过初等列变换之后，可化为下三角矩阵c，则a"等价于c。显然，b的转置矩阵b"=c。所以，矩阵a与矩阵a的转置矩阵的特征值相同。简介矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考《矩阵理论》。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

转置是矩阵的一种常规运算。例如对于正交矩阵 A，其逆矩阵等于转置矩阵，即A^(-1) = A^T。求逆矩阵很繁，但求转置矩阵较容易。

|a^t|=|a|这是行列式的性质|ab|=|a||b|这是个方阵行列式的性质,称为行列式乘法公式

矩阵的转置也就是转置矩阵，将矩阵的行列互换得到的新矩阵称为转置矩阵，转置矩阵的行列式不变。将矩阵的行列互换得到的新矩阵称为转置矩阵，转置矩阵的行列式不变。矩阵的转置可能在实际生活中感受不到，但是在专业的工具中，尤其是图像处理的工具中可以经常用到的旋转功能，其实就是应用的矩阵转置，只是平时联想不到。性质：简单地说如果A是两个向量空间之间的线性映射在给定基下面的矩阵，那么A的转置矩阵就是向量空间的对偶空间上的线性映射关于这两组基对应的对偶基（坐标函数）的矩阵，出于方便起见我们假设以下所有向量空间都是n维的。对于每个两个向量空间空间之间线性映射，存在一个反向的在其对应的对偶空间上的线性映射，我们称之为它的转置映射。

AA^T| = |A| |A^T| = |A||A| = |A|^2即矩阵A乘以A的转置等于A的行列式的平方。矩阵转置的主要性质：1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的（网易笔试题曾考过）。2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。4、若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。扩展资料：线性变换及其所对应的对称，在现代物理学中有着重要的角色。例如，在量子场论中，基本粒子是由狭义相对论的洛伦兹群所表示，具体来说，即它们在旋量群下的表现。内含泡利矩阵及更通用的狄拉克矩阵的具体表示，在费米子的物理描述中，是一项不可或缺的构成部分，而费米子的表现可以用旋量来表述。

矩阵转置公式:(A^T)^T=A,(A+B)^T = A^T + B^T,(AB)^T = B^T*A^T。1、设A为m×n阶矩阵（即m行n列），第i 行j 列的元素是a(i,j)，即：A=a(i,j)。2、A的转置为这样一个n×m阶矩阵B，满足B=b(j,i)，即 a(i,j)=b (j,i)（B的第i行第j列元素是A的第j行第i列元素），记A"=B。3、直观来看，将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到A的转置。

矩阵转置公式：（A^T)^T=A，（A+B)^T = A^T + B^T，（AB)^T = B^T*A^T。矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。最重要的一个公式，其余的每个都可以用这个来推导已知Y = AXB Y = A*X*BY=AXB那么有对X求导，公式（1)d Y d X = A TB T frac{dY}{dX} = A^T*B^TdXdY=ATBT和对X T X^TXT求导，公式（2)d Y d X T = BA frac{dY}{dX^T} = B*AdXTdY=BA下面我们来举例：如果要计算Y = XB Y = X*BY=XB中，d Y d X frac{dY}{dX}dXdY的值，我们可以令A = E A =EA=E代入公式（1),有d Y d X = B T frac{dY}{dX} = B^TdXdY=BT其他计算同理。有一个小窍门，平时在推导的时候，可以根据矩阵的行列数来判断。具体的规律可以自己私下尝试。

矩阵转置公式：（A^T)^T=A，（A+B)^T = A^T + B^T，（AB)^T = B^T*A^T。矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。最重要的一个公式，其余的每个都可以用这个来推导已知Y = AXB Y = A*X*BY=AXB那么有对X求导，公式（1)d Y d X = A TB T frac{dY}{dX} = A^T*B^TdXdY=ATBT和对X T X^TXT求导，公式（2)d Y d X T = BA frac{dY}{dX^T} = B*AdXTdY=BA下面我们来举例：如果要计算Y = XB Y = X*BY=XB中，d Y d X frac{dY}{dX}dXdY的值，我们可以令A = E A =EA=E代入公式（1),有d Y d X = B T frac{dY}{dX} = B^TdXdY=BT其他计算同理。有一个小窍门，平时在推导的时候，可以根据矩阵的行列数来判断。具体的规律可以自己私下尝试。

设矩阵a经过初等行变换之后，化为上三角矩阵b，则a等价于b矩阵a"经过初等列变换之后，可化为下三角矩阵c，则a"等价于c显然，b的转置矩阵b"=c因为，转置之后对角线上的元素不变，所以，b和c的对角线元素相等。因为，三角形行列式的值等于对角线上元素的乘积又因为，|λi-a|=|λi-b|=对角线上元素的乘积，|λi-a"|=|λi-c|=对角线上元素的乘积所以，|λi-a|=|λi-a"|所以，矩阵a与矩阵a的转置矩阵的特征值相同化成三角形行列式法：先把行列式的某一行（列）全部化为 1 ，再利用该行（列）把行列式化为三角形行列式，从而求出它的值，这是因为所求行列式有如下特点：1、各行元素之和相等； 2 各列元素除一个以外也相等。充分利用行列式的特点化简行列式是很重要的。根据行列式的特点，利用行列式性质把某行（列）化成只含一个非零元素，然后按该行（列）展开。展开一次，行列式降低一阶，对于阶数不高的数字行列式本法有效。

解: |A-λE|=|2-λ 2 -2||2 5-λ -4||-2 -4 5-λ|r3+r2 (消0的同时, 还能提出公因子, 这是最好的结果)|2-λ 2 -2||2 5-λ -4||0 1-λ 1-λ|c2-c3|2-λ 4 -2||2 9-λ -4||0 0 1-λ|= (1-λ)[(2-λ)(9-λ)-8] (按第3行展开, 再用十字相乘法)= (1-λ)(λ^2-11λ+10)= (10-λ)(1-λ)^2.如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）(i,j为元素的脚标)，而且该矩阵对应的特征值全部为实数，则称A为实对称矩阵。主要性质：1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。3.n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。4.若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。扩展资料：把一个m×n矩阵的行，列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A"或AT。矩阵转置的运算律(即性质)：1.(A")"=A2.(A+B)"=A"+B"3.(kA)"=kA"(k为实数)4.(AB)"=B"A"若矩阵A满足条件A=A"，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i,j都成立。（1）对称矩阵 在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质：则称A为对称矩阵。（2）对称矩阵的压缩存储 对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。①按行优先顺序存储主对角线（包括对角线）以下的元素即按 次序存放在一个向量sa[0...n(n+1)/2-1]中（下三角矩阵中，元素总数为n(n+1)/2）。其中：sa[0]=a0,0sa[1]=a1,0……sa[n(n+1)/2-1]=an-1,n-1②元素aij的存放位置aij元素前有i行（从第0行到第i-1行），一共有：1+2+…+i=i×(i+1)/2个元素。在第i行上， 之前恰有j个元素，即ai0,ai1,…,ai,j-1 ，因此有：sa[i×(i+1)/2+j]=aij③aij和sa[k]之间的对应关系：若i≥j，k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2若i<j，k=j×(j+1)/2+i0≤k<n(n+1)/2令I=max(i，j)，J=min(i，j)，则k和i，j的对应关系可统一为：k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2（3）对称矩阵的地址计算公式LOC(aij)=LOC(sa[k])=LOC(sa[0])+k×d=LOC(sa[0])+[I×(I+1)/2+J]×d通过下标变换公式，能立即找到矩阵元素aij在其压缩存储表示sa中的对应位置k。因此是随机存取结构。参考资料：百度百科---实对称矩阵

行列式和它的转置相等，行列式的行列对称了，行的性质对列也成立。 你自己先写个行列式，然后转置一下;再写出和它的转置相等的行列式; 马上就清楚了。 告诉你思路自己练习，比直接告诉你结果好一些。

你好！求转置矩阵就是把原矩阵的第一行写为第一列，把原矩阵的第二行写为第二列，...，把原矩阵的最后一行写为最后一列。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

AA^T| = |A| |A^T| = |A||A| = |A|^2即矩阵A乘以A的转置等于A的行列式的平方。矩阵转置的主要性质：1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的（网易笔试题曾考过）。2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。4、若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。扩展资料：线性变换及其所对应的对称，在现代物理学中有着重要的角色。例如，在量子场论中，基本粒子是由狭义相对论的洛伦兹群所表示，具体来说，即它们在旋量群下的表现。内含泡利矩阵及更通用的狄拉克矩阵的具体表示，在费米子的物理描述中，是一项不可或缺的构成部分，而费米子的表现可以用旋量来表述。

转置矩阵的性质如下：1、（A^T）^T=A2、（A+）B^T=A^T+B^T3、（kA）^T=kA^T4、（AB）^T=B^TA^T一个矩阵的转置与本身相乘得到对称矩阵一个矩阵的逆矩阵与本身相乘得到单位矩阵行列式不等于零，矩阵可逆，反之不可逆满秩矩阵一定是可逆的。矩阵的性质1、乘法结合律： (AB)C=A(BC)2、乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC3、乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB4、对数乘的结合性k(AB）=(kA)B=A(kB）5、AA*=A*A，A和伴随矩阵相乘满足交换律。6、AE=EA，A和单位矩阵或数量矩阵满足交换律。以上内容参考 百度百科—转置矩阵

矩阵转置公式：（A^T)^T=A，（A+B)^T = A^T + B^T，（AB)^T = B^T*A^T。矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。最重要的一个公式，其余的每个都可以用这个来推导已知Y = AXB Y = A*X*BY=AXB那么有对X求导，公式（1)d Y d X = A TB T frac{dY}{dX} = A^T*B^TdXdY=ATBT和对X T X^TXT求导，公式（2)d Y d X T = BA frac{dY}{dX^T} = B*AdXTdY=BA下面我们来举例：如果要计算Y = XB Y = X*BY=XB中，d Y d X frac{dY}{dX}dXdY的值，我们可以令A = E A =EA=E代入公式（1),有d Y d X = B T frac{dY}{dX} = B^TdXdY=BT其他计算同理。有一个小窍门，平时在推导的时候，可以根据矩阵的行列数来判断。具体的规律可以自己私下尝试。

转置矩阵与原矩阵的关系：1、如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。2、一阶矩阵的转置不变。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但是存在一种复正交矩阵，复正交矩阵不是酉矩阵。正交矩阵的一个重要性质就是它的转置矩阵就是它的逆矩阵。简介简单地说如果A是两个向量空间之间的线性映射在给定基下面的矩阵，那么A的转置矩阵就是向量空间的对偶空间上的线性映射关于这两组基对应的对偶基（坐标函数）的矩阵，出于方便起见我们假设以下所有向量空间都是n维的。对于每个两个向量空间空间之间线性映射，存在一个反向的在其对应的对偶空间上的线性映射，我们称之为它的转置映射。