高中数学竞赛要学哪些知识

以下是一些被认为堪称绝妙的数学证明：1. 费马大定理：由于篇幅原因，我不能给出完整的证明，但是费马大定理的证明历经了数学界几个世纪的努力，最终由英国数学家安德鲁·怀尔斯在1994年完成。2. 唯一分解定理：唯一分解定理是数学中非常重要的定理之一，其证明利用了数学中的抽象代数学理论，被认为是一种非常优美和简洁的证明。3. 矩阵乘法的Strassen算法：Strassen算法是一种非常高效的矩阵乘法算法，其证明运用了分治和代数学等数学理论，被认为是一种非常巧妙和精妙的证明。总之，数学中有许多非常优美和精妙的证明，这些证明运用了各种各样的数学理论和技巧，为人们展示了数学之美和深度。

个人觉得会有一定的帮助，但是没有必要参加太多，因为作用不是太大

现在我们就开始为剩余系建立“ 坐标 ”，完全剩余系是连续的，剩余类本身就是很好的坐标，所以这里我们只需讨论既约剩余系。前面已经知道 时，总存 d 在使得 ，满足条件的最小的 称为a对模m的阶或指数，也可简记为 ，我们可以看出来当模 m 确定时， 由 a 唯一的确定，d 是 a 的函数。为了得到更进一步的结论，我们先整理一下指数的一些简单性质如下： （1）若 ，则 。从而有若 ，则 ； （2） ； 。 我们来继续研究指数的性质，首先考虑 ，由 知 ，故可容易有公式（1），你可以简单停留思考下，有了（1）式后我们就可以从 求 了。其次由定义显然有：若 ，则 。所以对互质分解 (分解模数)，总有 ，再根据模的性质就有公式（2）。再进一步，对任意的a1,a2,⋯,an，考虑方程组 的 唯一解 a （ 剩余定理 ），显然有 ，再根据公式（2）可得 a 满足公式（3）。 　 　 再来研究 （分解底数），令 ，则显然有 （提示：可以结合(1)式进行思考）。先看各个 互素 的情况，这时 ，令 。因为 ，又因为 互素。故 ，从而有公式（4）。如果 不互素，一般并没有 。但反过来，对任意的 ，利用公式（1）和（4）构造满足公式（5）的 a 还是很容易的。 　 　 　 指数在研究 循环小数 时有个有趣的结论。对既约分数 ，如果有 ，则 是循环小数的充要条件是 。如果 ，则最小循环周期为 c，并且小数点后的非循环数长度为 。特别地，如果 ，则 是纯循环小数。证明过程不是难，可以作为练习，提示：使用关系式 由指数的性质（2）可知 是 个不同的数，特别地当 时，它们遍历 m 的既约剩余系。这种关系使得既约剩余系变得特别简单，我们也由此找到了合适的 坐标 。为此，当 时称 g称为模 m的 原根 ，它便是既约剩余系的 单位元 ，负责将剩余系串成一个线性空间。先来思考如下几个问题： 　 • 如果 ，则 遍历m的既约剩余系时， 也遍历既约剩余系; • 若 ，或 ，都有 2 是 的原根； • 的素因子有形式 或 。 我们自然会有问题：什么样的 模数 有原根？有多少个原根？如何判定？前面已经知道 ，而除了 这5种情况外（p为 奇素数 ），容易证明其它都有 ，它们肯定没有原根，因为当模数 m 不属于上面这五种情况时，必有 m 为 或 或 ，而这里的 由 给出。这里的 由下列式子给出： 　 又因为我们有式子， 故可以得到 ，可自行验证。 下面就需要论证那5种情况是否有原根，直接验算可知1,2,4有原根。对于模p的情况，由公式（5）知存在g使得 ，首先当然有 。另外因为 有全解，则 。从而 ，所以p有原根 g。 由 和 的等价性，并且 ，可知 和 有相同的原根，这样一来我们就只需要讨论模 是否有原根了。当g是 原根时，因为 ，故 为 或 。要想g也是 的原根，必须 ，即满足式子（6）。而如果该条件满足，用归纳法可以验算得它对一切 都满足，即g是所有 的原根。 　 　现在只要能证明以上条件对 成立（即 ），我们就找到了所有模 的原根，研究证明了 原根的存在性。对模 p 的原根 g，考察 和式子（7）中的变形。 中有且仅一个是 p 的倍数，取其它任何一个值都能得到了满足条件的原根，条件得证。 至此我们已经证明了原根存在的充要条件是模为 之一，但如果想要找出原根，目前还没有很简单的方法。一般只能逐个尝试每个数，然而利用公式（5）的构造法是可以加快计算的，比如如果已经知道 和 ，因为 ，故素因子 2,3 必定也是模 41 的原根的素因子，经过尝试后得 是 41 的原根。 如果原根存在，选定一个原根 g 后，它的幂次遍历整个既约剩余系。如果 ，称 k 为a 的 指标 ，记作 ，或简记为 和 。指标将既约剩余系变成了一个完全剩余系，使其结构由分散的变为线性的，由此可以更好地研究它的性质。以下为原根的一些性质，其中性质（3）中蕴含了指数为 的数有 φ(d)个，它们是 。特别地共有 个原根，它们是 。 (1) (2) ,特别地有 (3) 我们一直想把指数当做即约剩余系的“ 坐标 ”，现在就来着手做这件事。一般的，将模m进行素数分解 ，其既约剩余系的每个数 a 在各个维度都有一个值 。对 g_k gamma_k=gamma_{p_k^{e_k},g_k}(a_k)$就可以看做a 在第 k 维的坐标。 但对于 ，除 外是没有原根的， 时怎么建立坐标？通过 归纳法 你可以证明 ，并且容易知道 是它的一个既约剩余系。这样任何既约数都有唯一表达式（8）， 就可以看做它的坐标。完整的就得到任何既约数的指标表达式（9）和（10）（（10）中 的是（9）中的 取1、其它取0得来），使用（10）来证明威尔逊定理就简单多了。 最后再来看同余方程（11）它一般称为 二项同余方程 。如果方程有解，称a为m的n 次剩余 ，否则称为n次 非剩余 。对m进行素数分解 后，方程可以化为一个方程组，我们只需分别讨论这些方程即可。 　　 　　模 （p为奇素数）有原根 g，用它来分析二项方程会很简单（下面的讨论针对有原根的模m都成立）。将原根带入原方程，得到式子（12）的左侧，它显然对应于右侧的一元一次同余方程。可以先回顾一下一次方程 的特点，令 ，则 ，且方程解的周期为 ，请先在脑子想象一下它们的布局。回到原方程，令 ，则方程有解的充要条件是 ，且共有 个n次剩余。方程的解有d个，它们的周期是 。 　　 　　现在来把条件 转化为与a直接相关的。因为 ，使用公式（1）直接有式子（13）。结合条件d|γ(a)，显然有 ，它又等价于公式（14）。这就是方程有解的充要条件，明显二次剩余的判定条件只是它的特例。 对模 的情景需要单独考虑，前面的讨论中说明了它的既约剩余系有两个独立的维度，故只需分别讨论两个维度就行了。令 ，可知方程有解的充要条件是 且 ，方程解的个数为 。展开说就是，当 时有且仅有1解，既约剩余系的每个值都是n次剩余。当 时有解的充要条件是 且 ，并且有2d个解，共有 个数是n次剩余。 下面把 有解的充要条件转化为与 a 相关的，首先易知必有形式 。因为 ，我们的条件 其实等价于 ，这就得到充要条件为公式（15）。当然你也可以得到与 类似的式子，但因为不如上式简洁，这里就不赘述了。 经过前面关于初等数论的基础知识的学习和理解，这里我们就可以开始不定方程的简单论述。不定方程是初等数论向前发展直接的驱动力之一。不定方程又叫丢潘图方程，它们以整数（或有理数）为变量和参数，而且有两个以上的未知数，多以多项式形式出现。不定方程既是数论的应用，也是数论理论形成的来源，对不定方程的思考可以将前面学习过的知识和内容串起来。 最简单的不定方程就是一次方程（1），它表现为一个 多元线性方程 。如果你还记得前面最大公约数的线性组合定义，就容易得到方程有整数解的充要条件是 。多元方程的第一步往往是降元，令 ，则方程等价于一次方程组（2）（想想为什么？以及为什么要先抽出最大公约数？）。如果对（2）式一直做类似处理，就会得到多个二元一次方程，这样就把问题集中到了简单的情景。 而对于二元一次方程 ，它有明显的几何意义，方程的解就是直线方程上的整数点，所有对其讨论都可以从图形中找出。容易看出，如果已知一个解 ，则方程的全部解为公式（3）。至于如何求得一个特解，一般还是用辗转相除法，对于一些简单的情况，也可以直接尝试各种值。 勾股定理 大家都熟悉，有一个自然的问题是：如何求它的所有解？这个问题一般叫商高方程或毕达哥拉斯方程。容易证明当 时方程的解两两互素，如果再限定解为正数，这样的解叫 本原解 。方程的解要么是平凡解 (0,0,0)，要么是本原解的倍数，因此我们只需专注于找到所有本原解。 另外，因为素数的平方只能是 的形式，可推得 x,y 必定是一奇一偶，下面就假设 y 为偶数，原方程整理为式子（4）。容易证明 （这个性质以后会经常用），故可设 和 ，其中 。用 表示 就得到了方程的解（5），但要注意要使得它们两两互素，还需要限定 （自行证明）。 做一个简单的推广，形如（6）式的方程这么解？这就是著名的 费马大定理 （Fermat Last Theorem），当然它在1994年被彻底证明前叫费马猜想。费马发现它们并无非平凡解，并声称找到了一个绝妙的证明方法，但由于书的空白太小写不下。后来人经过了三百多年的努力，才用现代数学的方法将它攻破，大家多数倾向于认为费马的证明并不存在或并不成立。 使用类似的方法和 无穷递降法 ，你可以证明 无非平凡解，进而 无非平凡解，它就是费马大定理在 时的情况。下面可以思考一下如下几个问题： • 求解 和 ； • 求解 ；（提示： 无互质解 ） • 证明 都有无穷多组解。（提示： 构造 ） 再来看费马大定理在 的情景，欧拉证明了它没有非平凡解，采用的是 无穷递降法 。假设 是使得 最小的一组非零解，我们的目的是构造一组值更小的解。首先当然有 ，并且其中仅有一个偶数，经过调整后可以使 为偶数。这时可以令 ，则有 （总结成式（7）），这个变换的重要意义在于 降次 。 现在来研究 ，其中 ，它里面有我们熟悉的二次表达式。考察 的每个素因子 p，因为 ，故总有 （可参考下面将要介绍的平方数分解的最后一段）。使用公式（8）（使用复数证明这类等式更容易，并且体现了范数的思想），可知总有 。下面证明总能找到合适的 ，使得关系式（9）成立。 使用归纳法证明，当 时，公式（9）显然成立。若结论对 成立，则考虑 ，我们的目的是找到表达式（9）。由前面的结论可有 ，且有 和 满足类似（9）的关系式。与刚才的式子相乘并除以 得到（10），然后证明（10）式右侧的两项可以都是整数。若记 ，则由假设知存在 和 满足类似（9）的关系式。综合以上结论，可得到的相关结论（11），它们满足公式（9），定理得证。 现在回过头来看式子（7）中的 。当 时，由 必为一奇一偶且互素（想想为什么）和 为偶数，容易有 ，可以假设式子（12）左侧。而由上面的结论可知（12）的右侧成立，其中最右边三项互质，故有式子（13）。而 。当 时可以得到同样的结论，由此我们得到了一组积单调递减的解，这是不可能的，所以原方程没有非平凡解。 将商高方程在系数上进行扩展，得到一般性的 （ 且无平方因子），当然我们只需研究其本原解 。首先容易有 ，则存在 ，变换 得到式子（14），从而 是 的二次剩余。这样我们就得到了方程有解的一个必要条件： 分别是 的二次剩余。 下面来看它们是否是方程有解的充分条件，使用的是 降次法 和 构造法 。另外，利用同余方程研究不定方程也是常见方法，这里我们可以先考虑同余方程（15）。先来看降次，首先容易判断 ，则可以有式（16）。对模 也可以有类似的表达式，它们将原式表示成了两个线性表达式之积，问题也就容易转化到一次方程了。使用剩余定理

罗尔定理是用费马引理推导出来的

费马定理中值定理是利用连续函数在闭区间的介值定理可解决的一类中值问题，即证明存在ξ∈[a，b]，使得某个命题成立。费马定理可解决的一类中值定理。这类题目难点有两点：一是如何构造辅助函数，二是如何验证两端点值相等。证明一阶导数为0。也就是使用一次罗尔定理的问题，但有些题目涉及到二阶导数为0。相关内容说明泰勒公式再使用证明中值定理时，把握好展开点X0与被展开点X是最关键的，展开点一般选取已知导数信息最多的点，包含隐含导数信息的点如极值点等，被展开点一般试着把式子有利于待证结论化简而选取，往往可以取端点或者中间点等。利用拉格朗日、柯西中值定理可解决的一类双中值且不要求中值不同的问题，即证明存在ξ，η∈(a，b)使得某个命题成立。

1637年，费尔马在阅读丢番图《算术》时研究了不定方程x2+y2=z2，在那页书的空白处作了批注：“将一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次幂，这是不可能的。关于此，我发现了一种绝妙的证明，可是这里空白太小写不下。”费尔马没有想到，因为他的随意，留下了几百年来数学界一道难题，成为费尔马大定理。

托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 在直线上，托勒密定理同样成立，这时也称为欧拉定理。 托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。 琴生不等式是丹麦数学家琴生于1905年到1906年间建立的。利用琴生不等式我们可以得到一系列不等式，比如“幂平均不等式”，“加权的琴生不等式”等等。迪沙格定理：一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶. 一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶合.　费马大定理：　　当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程　　x^n + y^n = z^n. 　　的整数解都是平凡解，即 　　当n是偶数时：(0,±m,±m)或(±m,0,±m) 　　当n是奇数时：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0) 　　这个定理，本来又称费马猜想，由17世纪法国数学家费马提出。

费马定理中值定理。拉格朗日中值定理，是罗尔中值定理的推广，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特例，即函数在定义域内两端点函数值相等的特例。柯西中值定理，是拉格朗日中值定理的一个特例，即，g(x)=x，结论就变成了拉格朗日中值定理。费马中值定理公式:利用连续函数在闭区间的介值定理可解决的一类中值问题，即证明存在ξ∈[a，b]，使得某个命题成立。利用罗尔定理、费马定理可解决的一类中值定理，即证明存在ξ∈[a，b]，使得H(ξ，f(ξ)，f"(ξ))=0。

费马最后定理：xn + yn =zn 的正整数解的问题,当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理：x2 + y2 =z2,此处z表一直角形之斜边而x、y为其之两股,也就是一个直角三角形之斜边的平方等于它的两股的平方和.

因为在x0的领域内所有x恒有f(x)≤f(x0),即f(x0)为最大值。当△x>0时f(x0+△x)-f(x0)≤0,除以△x也≤0；当△x<0时f(x0+△x)-f(x0)≤0，除以负数△x，变为≥0。因为是在x0的领域内即[x0-△x,x0+△x],讨论△x的正负就把x0的左右领域都考虑了。

费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，常见的表述为当整数n>2时，关于x^n + y^n = z^n 的方程没有正整数解。公元17世纪，法国数学家皮耶·德·费马提出费马猜想，但没有给出证明。此后三百多年，费马猜想一直无人可以证明。德国人沃尔夫斯凯尔曾宣布以10万马克作为奖金奖给第一个证明该定理的人。由于定理表述易于理解，许多数学爱好者尝试去证明，但最终都被否定。历史：1995年，安德鲁·怀尔斯等人将费马猜想证明过程发表在《数学年刊》，成功证明了这一定理。费马大定理表述虽简单，但它的证明耗费了数代人的努力，许多数学家在证明过程中发现了许多新的数学理论，拓展了新的数学方法，证明费马大定理的过程可以算得上是一部数学史。

费马定理很多,比较有名的有费马小定理,费马最后定理,费马平方和定理,费马最小原理 如果费马小定理的证明还是比较简单的,由于1,2,p-1构成p的完全剩余系,那么a,2a,3a,.(p-1)a也构成一个p的完全剩余系,所以它们的乘积模p相等 所以1*2*3*...(p-1) = a*2a*3a*...(p-1)a (mod p) 约掉1*2*3*...(p-1)得a^(p-1) = 1 (mod p) 费马平方和定理的证明比较困难,不过百科里面有证明. 费马原理是涉及到变分方面的知识. 而费马最后定理的证明超级困难,网上有外尔斯的全部证明电子版,有130多页,涉及到的东西都非常高深,基本上很少有人能完全看懂的.

费马点，就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。由数学家费马提出，据说由托里拆利很快找到。在三角形随意找一点D,连接DA、DB、DC,费马点D到三个顶点距离之和最小呢？我们通过旋转来等价转化距离之和，以C点为旋转中心，将三角形CDB逆时针旋转60度到三角形CEF位置。易知DB=EF,DC=CE=DE,DA+DB+DC=DA+DE+EF,显然当A、D、E、F四点共线时，距离之和最短。当A、D、E共线时，∠CDA=120°，当D、E、F共线时，∠FEC=∠BDC=120°，所以D点应该对三个顶点的张角都为120°，这就是费马点的位置。请点击输入图片描述

费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由法国数学家费马提出。它断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。

当整数n > 2时,关于x,y,z的不定方程 x^n + y^n = z^n. 的整数解都是平凡解,即 当n是偶数时：(0,±m,±m)或(±m,0,±m) 当n是奇数时：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0) 这个定理,本来又称费马猜想,由17世纪法国数学家费马提出.费马宣称他已找到一个绝妙证明.但经过三个半世纪的努力,这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明.证明利用了很多新的数学,包括代数几何中的椭圆曲线和模形式,以及伽罗华理论和Hecke代数等,令人怀疑费马是否真的找到了正确证明.而安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理,获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖.

费马中值定理：利用连续函数在闭区间的介值定理可解决的一类中值问题，即证明存在ξ∈[a，b]，使得某个命题成立。利用罗尔定理、费马定理可解决的一类中值定理，即证明存在ξ∈[a，b]，使得H(ξ，f(ξ)，f"(ξ))=0。历史：1995年，安德鲁·怀尔斯等人将费马猜想证明过程发表在《数学年刊》，成功证明了这一定理。费马大定理表述虽简单，但它的证明耗费了数代人的努力，许多数学家在证明过程中发现了许多新的数学理论，拓展了新的数学方法，证明费马大定理的过程可以算得上是一部数学史。

至今把分和题拿出来我帮你证啊

费马中值定理公式：利用连续函数在闭区间的介值定理可解决的一类中值问题，即证明存在ξ∈[a，b]，使得某个命题成立。利用罗尔定理、费马定理可解决的一类中值定理，即证明存在ξ∈[a，b]，使得H(ξ，f(ξ)，f"(ξ))=0。费马定理通俗解释费马大定理，也即费马方程，其中的N如果等于或大于3，就将不可能有完全的整数解，也即就将进入某种创造性“三”的混沌域。只有进入了混沌域才可能产生和创造新的事物。费马大定理，简单理解就是费马提出的一个定理，具体定理的内容就是x的N次方+y的N次方=z的N次方,当n大于2时，这个方程没有任何整数解。这个等式看起来和我们初中学过的勾股定理很像，而费马大定理就是费马在勾股定理的基础上进行的一个研究。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。即勾股定理。大约在公元1637年前后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这个结论的同时又写下一个附加的评注：“对此，我确信已发现一个美妙的证法，这里的空白太小，写不下。”这就是数学史上著名的费马大定理或称费马最后的定理。

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这里写不下

任意两个费马数都互质。证明如下：设m>n, ，而 = = =……= ，所以 整除 。根据辗转相除的原理， ，所以任意两个费马数都互质。费马数满足以下的递回关系： 其中n ≥ 2。这些等式都可以用数学归纳法推出。从最后一个等式中，我们可以推出哥德巴赫定理：任何两个费马数都没有大于1的公因子。要推出这个，我们需要假设 0 ≤ i < j 且 Fi 和 Fj 有一个公因子 a > 1。那么 a 能把和Fj都整除；则a能整除它们相减的差。因为a > 1，这使得a = 2。造成矛盾。因为所有的费马数显然是奇数。作为一个推论，我们得到素数个数无穷的又一个证明。其他性质： Fn的位数D(n,b)可以表示成以b 为基数就是 (参见高斯函数). 除了F1 = 2 + 3以外没有费马数可以表示成两个素数的和。 当p是奇素数的时候，没有费马数可以表示成两个数的p次方相减的形式。 除了F0和F1，费马数的最后一位是7。 所有费马数（OEIS中的数列A051158）的倒数之和是无理数。

http://baike.baidu.com/view/124599.htm

fermat定理是实分析中的一个定理，以皮埃尔·德·费马命名。通过证明可导函数的每一个可导的极值点都是驻点（函数的导数在该点为零），该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题。 需要注意的是，费马引理仅仅给出了函数在某个点为极值的必要条件。也就是说，有些驻点可以不是极值点，它们是拐点。要想知道一个驻点是不是极值点，并进一步区分极大值点和极小值点，我们需要分析二阶导数（如果它存在）。当该点的二阶导数大于零时，该点为极小值点；当该点的二阶导数小于零时，该点为极大值点。若二阶导数为零，则无法用该法判断，需列表判断。

费马大定理： 当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. 无正整数解

费马点的证明如图，在△ABC中，P为其中任意一点。连接AP，BP，得到△ABP。合并图册合并图册(2张)以 点B为旋转中心，将 △ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD∵旋转60°，且BD=BP，∴△DBP 为一个等边三角形∴PB=PD因此， PA+PB+PC=DE+PD+PC由此可知当E、D、P、C 四点共线时， 为PA+PB+PC最小若E、D、P共线时，∵等边△DBP∴∠EDB=120°同理，若D、P、C共线时，则 ∠CPB=120°∴P点为满足∠APB=∠BPC=∠APC=120° 的点。历史背景皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“。贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。

费马原理有点变分的意思了，需要先给定首位的约束。你要先任意取两个点A、B在不同介质中，假设光线从A出发穿过水平的界面到B，可以证明满足费马原理的路径（光程之和最小）是满足斯奈尔定律（入射角反射角关系）证明：假设折射点为C，入射角反射角可以假设i，r。C是满足费马原理的，在C左右变化位置△x，增加的光程是变化位置的函数（只保留同阶小量），同阶小量系数为0（费马原理要求的极值），得到i，r的关系即可。

费马定理证明就是运用费马定理去证明等式，费马大定理，别称费马猜想、费马最后的定理，是指当整数n>2时，关于x,y,z的方程x^n+y^n=z^n没有正整数解。费马大定理被提出后，经历多人猜想辩证。最终英国数学家安德鲁怀尔斯于1995年宣布自己证明了费马大定理，该定理与黎曼猜想已成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学怎么学好学好数学兴趣是前提和基础，学数学提前做预习是个好习惯，在预习过程中尽量把问题解决掉，再做一些相关练习巩固。遇到不理解的地方标注出来等老师上课讲解，反思自己看书为什么没看懂。做课后练习题时，围绕公式去举一反三，读每一个已知条件都要给出数学思维反馈，用画图、试值等多种方法去求解，不要拘泥于唯一解法。数学成绩好的学生都不是光听课就能学会的，只有自己多琢磨、多反思，才能学好数学。学好数学还要善于总结错题，因为我们做错的很多题目都属于同一类型，把这些题目归纳一下，其实只要掌握几个数学知识点就够了，就能解决掉大部分错题。因此做数学题目要学会融会贯通、突破难点、各个击破。

不一样。费马定理又被称为“费马最后的定理”，由法国数学家费马提出，其和费马引理不一样。费马引理是实分析中的一个定理，以皮埃尔德费马命名。

当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n. 无正整数解。

费马大定理证明过程：设：a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)；则a^2+b^2=c^2就可以写成d^n+h^n=p^n，n=1.2.3……当n=1时，d+h=p，d、h与p可以是任意整数。 证明过程（部分） 1.若a,b,c都是大于0的不同整数,m是大于1的整数,如有a^m+b^m=c^m+d^m+e^m同方幂关系成立,则a,b,c,d,e增比后,同方幂关系仍成立. 证：在定理原式a^m+b^m=c^m+d^m+e^m中,取增比为n,n＞1, 得到：（na）^m+（nb）^m=（nc）^m+（nd）^m+（ne）^m 原式化为：n^m（a^m+b^m）=n^m（c^m+d^m+e^m） 两边消掉n^m后得到原式. 所以,同方幂数和差式之间存在增比计算法则,增比后仍是同方幂数. 2.若a,b,c是不同整数且有a^m+b=c^m关系成立,其中b＞1,b不是a,c的同方幂数,当a,b,c同比增大后,b仍然不是a,c的同方幂数. 证：取定理原式a^m+b=c^m 取增比为n,n＞1,得到：（na）^m+n^mb=（nc）^m 原式化为：n^m（a^m+b）=n^mc^m 两边消掉n^m后得到原式. 由于b不能化为a,c的同方幂数,所以n^mb也不能化为a,c的同方幂数. 所以,同方幂数和差式间含有的不是同方幂数的数项在共同增比后,等式关系仍然成立. 其中的同方幂数数项在增比后仍然是同方幂数,不是同方幂数的数项在增比后仍然是非同方幂数.

你习惯于用起因和结果来思考折射：光照到水面上是起因，方向的变化是结果。但费马定理听上去很古怪，因为它以目的的形式来描述光的行为。它就像是光线的指挥官，‘你应该将抵达目的的时间最小化或最大化。"假若按人类行为学来说，光得检验每条可能的路线并计算每条得花多少时间，光线得知道目的在哪儿。假如目的地在某某其他地方，最快的路线就会不同，计算沿着一条假想的路线需多长时间也需要关于在这条路线上有什么东西的信息，比如水面在哪？在光开始移动前，它得事先知道所有这一切，光线不能沿着老路前进，然后再在后来返回。因为引起这样行为的路线不是最快的。在一开始光就已经做好了全部的计算在光线能够选择它移动的方向前，它已经知道它最终会在那里结束。

分三步证明费马点，正好费马点的三个性质。

不知道你要的是那种解释, 数学严格定义是：函数在每一点处都可导,并且 左导数=右导数,则称该函数为连续函数 一般通俗的说法是函数的图像连续没有间断并且没有拐点（如：y=|x|在x=0处为拐点）的函数为连续函数

有限个连续函数的和、差、积、商（分母不为零）是连续函数。证明：只需要利用极限的运算法则求得△f（x）*g（x）＝0 或者 当x趋于x。时，K（x）=f（x。）*g（x。）即可。连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）；连续函数的复合函数是连续的。扩展资料：连续函数闭区间上的连续函数具有一些重要的性质，是数学分析的基础，也是实数理论在函数中的直接体现；闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。严格单调函数必定有严格单调反函数，并且单调性相同（证法参考反函数词条），因此只要证明反函数也在其定义域上连续即可。参考资料来源：百度百科-连续函数

证明函数连续的条件：在开区间，左区间右连续，右区间左连续，在整个定义区间函数是连续的。函数连续：函数y=f(x)当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，说因变量关于 自变量是连续变化的，连续函数在 直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

函数连续性的定义:设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若lim(x→x0)f(x)=f(x0),则称f(x)在点x0处连续。若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。判定函数连续求导就可以，如果可导就肯定连续。拓展资料：函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。例如，气温随时间变化，只要时间变化很小，气温的变化也是很小的；又如，自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也是很小的。对于这种现象，我们说因变量关于自变量是连续变化的，连续函数在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。设函数  在点  的某个邻域内有定义，如果有  ，则称函数在点  处连续，且称  为函数的的连续点。设函数在区间  内有定义，如果  在  的左极限存在且等于  ，即  ，那么就称函数在点 左连续。设函数在区间  内有定义，如果  在  处右极限存在且等于  ，即： ，那么就称函数  在点  右连续。参考资料：百度百科-连续函数

lim(x→x0)f(x)=f(x0)则连续，否则不连续

连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。1、分母不可为0，所以x=1或x=2为断点，分为x<1，1<x<2，x>2共3段连续区间。2、对数指数大于零，x<2就是连续区间。3、根号内必须大于等于0，4≤x≤6就是连续区间。4、arcsinx>0，再由arcsinx的定义域[-π/2，π/2]得连续区间是(0，π/2]。扩展资料：连续函数：1、连续性定义：若函数f(x)在x0有定义，且极限与函数值相等，则函数在x0连续 2、充分条件：若函数f(x)在x0可导或可微（或者更强的条件），则函数在x0连续  3、必要条件：若函数f(x)在x0无定义、或无极限、或极限不等于函数值，则在x0不连续 4、观察图像（这个不严谨，只适用直观判断） 5、记住一些基本初等函数的性质，大部分初等函数在定义域内都是连续的 6、连续函数的性质：连续函数的加减乘，复合函数等都是连续的参考资料来源：百度百科-连续 （数学名词）

就是函数不会断，认真回答希望可以帮到你。

在定义域内处处函数值等于极限值。就是了

函数连续性“有定义”，“有定义”是在某点或者某区间有意义，举例说明：函数y=2x+3在定义域R上是连续的，假设定义域是（-∞，0）U（0，+∞）在R上不连续，因为在0处无定义。对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。扩展资料：在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。

如下：简介Γ(x)称为伽马函数，它是用一个积分式定义的，不是初等函数。伽马函数有性质：Γ(x+1)=xΓ(x)，Γ(0)=1，Γ(1/2)=√π，对正整数n，有Γ(n+1)=n！ 11。表达式：Γ(a)=∫{0积到无穷大}。[x^(a-1)]*[e^(-x)]dx。

考研伽马函数公式为Γ(x)=∫0∞tx1etdt.(x>0)。当方程的变量是正整数时，方程的值就是正整数的阶乘。在考研数学中，我们经常会利用伽马函数解一些常见的积分，尤其是在概率的题目中应用广泛。由来：1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1，4，9，16，可以用通项公式n自然的表达，即便n为实数的。时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x通过所有的整数点(n，n)，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。

Γ(x)称为伽马函数，它是用一个积分式定义的，不是初等函数。伽马函数有性质：Γ(x+1)=xΓ(x)，Γ(0)=1，Γ(1/2)=√π，对正整数n，有Γ(n+1)=n！ 11。表达式：Γ(a)=∫{0积到无穷大}[x^(a-1)]*[e^(-x)]dx历史背景1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16.....可以用通项公式n²自然的表达，即便 n 为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x²通过所有的整数点(n,n²),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。

伽马函数对 x= k/2, k=0,1...N 有解析结果，一般情形不能给出积分解析结果，但可以进行数值计算。对正实数x，伽马函数的函数值存在且连续。

这个函数似乎并不可导吧？

如下：简介Γ(x)称为伽马函数，它是用一个积分式定义的，不是初等函数。伽马函数有性质：Γ(x+1)=xΓ(x)，Γ(0)=1，Γ(1/2)=√π，对正整数n，有Γ(n+1)=n！ 11。表达式：Γ(a)=∫{0积到无穷大}。[x^(a-1)]*[e^(-x)]dx。

Γ(x)称为伽马函数，它是用一个积分式定义的，不是初等函数。伽马函数有性质：Γ(x+1)=xΓ(x)，Γ(0)=1，Γ(1/2)=√π，对正整数n，有Γ(n+1)=n！ 11表达式：Γ(a)=∫{0积到无穷大}[x^(a-1)]*[e^(-x)]dx在Matlab中的应用其表示N在N-1到0范围内的整数阶乘。公式为：gamma(N)=(N-1)*(N-2)*...*2*1例如：gamma(6)=5*4*3*2*1ans=120以上内容参考：百度百科-伽玛函数

是(1/2)+n，还是1/(2+n)

伽马函数(1/2)的值可以根据余元公式算出，余元公式的定义是对0-1之间的数，有将1/2代入得到伽玛函数（1/2）的值是Π^(1/2)。扩展资料余元公式是求解伽玛函数的重要公式，对于数值在0-1之间的实数，可以方便简单地求解函数的值，对于研究伽玛函数的性质有重要的作用。由此可以推出以下重要的概率公式：伽玛函数也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数，也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。伽马函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，对于正整数n，具有如下性质：参考资料百度百科-伽玛函数