向量点积

比如说一个向量ai+bj+ck,另一个向量di+ej+fk,则它们的点乘积为ad+be+cf

参考的是《游戏和图形学的3D数学入门教程》，非常不错的书，推荐阅读，老外很喜欢把一个东西解释的很详细。 向量点积的结果有什么意义？事实上，向量的点积结果跟两个向量之间的角度有关。 两个向量a,b,它们的叉积表示为axb，这个很容易跟数学中两个数字之间的相乘，但是这里是完全不同的。 两个向量叉积在图形坐标中就很直观了，axb同时垂直与a和b。 我们很容易验证axb是否同时垂直a和b向量。根据向量乘积的知识，我们只需要计算下axb分别和a，b向量的乘积是否等于0。根据下面的计算确实等于0，这也可以用来验证我们平时向量叉积是否正确的方法。 文章源地址： http://www.waitingfy.com/?p=320

向量点积为0，说明向量互相垂直。

点积没什么神秘。就是数量积得意思。先看他的定义，两个向量的数量积等于他们的模之积在乘以他们夹角的余弦值。你的书上也一定有这样的说法。 其实数学是科学的语言，他和语文有同样的功能。这样就不难理解为什么会冒出这么个东西，数量积得提出是为了浅显的说明世间存在的符合向量的那些东西。比如说力，他是向量，他的做功符合向量的数量积。其他还有好多好多。 很简单，也很有用，不过可能你现在用不到，用到的时候就知道为什么会有点积让大家学习。

这两向量的夹角为锐角

向量a点向量b=实数，物理意义就是a向量的模和b向量在a向量方向上投影的积，a.b=│a│*投影=│a│*(│b│*cos＜a,b＞.

向量点乘：（内积） 点乘（Dot Product） 的结果是 点积 ，又称 数量积 或 标量积 （Scalar Product）。 在空间中有两个向量：   ，  ，   与  之间夹角为  。 从代数角度看，点积是对两个向量对应位置上的值相乘再相加的操作，其结果即为点积。 从几何角度看，点积是两个向量的长度与它们夹角余弦的积。 几何意义： 点乘的结果表示   在   方向上的 投影 与   的乘积，反映了两个向量的相似度，结果越大越相似。基于结果可以判断这两个向量是否是同一方向，是否正交垂直，具体对应关系为： 则方向基本相同，夹角在0°到90°之间 则正交，相互垂直 则方向基本相反，夹角在90°到180°之间 点乘代数定义推导几何定义：（常用来求向量夹角） 设   终点为   ，   的终点为  ,原点为   ，则  在   中，由 余弦定理 得： 使用距离公式进行处理，可得： 去括号后合并，可得： 根据上面的工式可计算   与   之间的夹角：  向量叉乘：（外积） 叉乘（Cross Product） 又称 向量积 （Vector Product）。 在空间中有两个向量：   ，  ，   与  之间夹角为  。 从代数角度计算： 从几何角度计算：(   为   与   所构成平面的单位向量) 其运算结果是一个向量，并且与这两个向量都 垂直 ，是这两个向量所在平面的 法线向量 。使用右手定则确定其方向。 几何意义： 如果以向量  和 为边构成一个平行四边形，那么这两个向量外积的模长与这个平行四边形的面积相等。

如下：a向量点积b向量，结果是个数，等于abcos<a，b>，<a，b>是a向量与b向量的夹角。a向量叉积b向量，结果是个向量，模等于absin<a，b>，方向与a向量和b向量所在平面垂直，并且遵守右手法则，a握向b，拇指方向就是叉积向量方向。点积的值：u的大小、v的大小、u,v夹角的余弦。在u,v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度；如果为零，那么u,v垂直；如果为正，那么u,v形成的角为锐角。两个单位向量的点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性，利用点积可判断一个多边形是面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物体离光照的轴线越近，光照越强。

向量乘积分为点乘和叉乘点乘的物理意义表示已知向量a和向量b，它们的点积a•b=︱a︱︱b︱cosθ，其中θ是a，b的夹角。在物理里，点积用来表示力所作的功。当力F与质点的位移S有夹角θ时，力F所作的功W=︱F︱︱S︱cosθ=F•S，功是数量，故点积又称数量积，无向积等（无几何意义）

原题确实是这样吗？

向量叉乘不符合交换律（b×a方向朝下），符合结合律，分配律。向量点乘符合交换律，结合律，分配律。点乘经常用在：计算两向量的夹角；计算一个向量在另一个向量上的投影；通过夹角大小，判断两向量朝向的相似度（方向相近／相反／垂直等）。向量的叉乘会得到一个新的向量，该向量垂直于ab所在平面，符合右手螺旋定则，四根手指从a到b，a×b和大拇指同向。应用在生产生活中，点积应用广泛。利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。物理中，点积可以用来计算合力和功。若b为单位矢量，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学常用来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一，此方法还被用于动画渲染。