怎样求二次函数解析式?

就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式．

巧取交点式法

知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2

分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标．已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便．

典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式．

例1已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式．

析解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x－1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2－1)．解得a=2，∴抛物线的解析式为y＝2(x+2)(x－1)，

即y＝2x2+2x－4. 典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交

点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解. 例2已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x轴两交点间的距离为4

．求二次函数的解析式. 思路启迪在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，－2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）．此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式．

顶点式的妙处

顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点．当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a．在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题．在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．

典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数

顶点式. 例3已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（

1，10），求此二次函数的解析式. 析解∵顶点坐标为（-1，-2），

故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）．把点（1，10）代入上式，得10=a(1+1)2-2．∴a=3．∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1．典型例题二：如果a>0，那么当x= -b2a时，y有最小

值且y最小=4ac-b24a；如果a<0，那么，当x=-b2a时，y有最大值，且y最大=4ac-b24a．告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标

，同样也可以求出顶点式. 例4 已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析

式. 析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，

－3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上. 由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）．

∴抛物线的顶点为（4，－3）且过点（1，0）．故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3．将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．

∴y＝13(x－4)2－3，即y＝13x2－83x＋73. 典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出．

例如（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．（此cc四dd题ee同ff学gg们hh自ii己jj尝kk试ll解[[出mm）

典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便.

例5把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______.

析解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114．∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.

须掌握二次函数的三种表达形式：一般式y=ax2+bx+c，交点式y=a(x-x1)(x-x2)，顶点式y=a(x-h)2+k．能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题.

就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式．

巧取交点式法

知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2

分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标．已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便．

典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式．

例1已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式．

析解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x－1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2－1)．解得a=2，∴抛物线的解析式为y＝2(x+2)(x－1)，

即y＝2x2+2x－4. 典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交

点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解. 例2已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x轴两交点间的距离为4

．求二次函数的解析式. 思路启迪在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，－2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）．此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式．

顶点式的妙处

顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点．当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a．在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题．在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．

典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数

顶点式. 例3已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（

1，10），求此二次函数的解析式. 析解∵顶点坐标为（-1，-2），

故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）．把点（1，10）代入上式，得10=a(1+1)2-2．∴a=3．∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1．典型例题二：如果a>0，那么当x= -b2a时，y有最小

值且y最小=4ac-b24a；如果a<0，那么，当x=-b2a时，y有最大值，且y最大=4ac-b24a．告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标

，同样也可以求出顶点式. 例4 已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析

式. 析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，

－3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上. 由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）．

∴抛物线的顶点为（4，－3）且过点（1，0）．故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3．将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．

∴y＝13(x－4)2－3，即y＝13x2－83x＋73. 典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出．

例如（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．（此cc四dd题ee同ff学gg们hh自ii己jj尝kk试ll解[[出mm）

典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便.

例5把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______.

析解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114．∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.

须掌握二次函数的三种表达形式：一般式y=ax2+bx+c，交点式y=a(x-x1)(x-x2)，顶点式y=a(x-h)2+k．能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题.

就一般式y=ax2+bx+c(其中a，b，c为常数，且a≠0)而言，其中含有三个待定的系数a

，b

，c.求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a

，b

，c

的方程，联立求解，再把求出的a

，b

，c

的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式.

巧取交点式法

知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2)

(a≠0)x1，x2

分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标.已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便.

典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式.

例1已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1

，且通过点(2，8)，求二次函数的解析式.

析解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1)，∵过点(2，8)，∴8=a(2+2)(2-1).解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x+2)(x-1)，

即y=2x2+2x-4.

典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交

点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解.

例2已知二次函数的顶点坐标为(3，-2)，并且图象与x轴两交点间的距离为4

.求二次函数的解析式.

思路启迪在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决.由顶点坐标为(3，-2)的条件，易知其对称轴为x=3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1，0)和(5，0).此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式.

顶点式的妙处

顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点.当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a.在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题.在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便.

典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数

顶点式.

例3已知抛物线的顶点坐标为(-1，-2)，且通过点(

1，10)，求此二次函数的解析式.

析解∵顶点坐标为(-1，-2)，

故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2

(a≠0).把点(1，10)代入上式，得10=a(1+1)2-2.∴a=3.∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1.典型例题二:如果a>0，那么当x=

-b2a时，y有最小

值且y最小=4ac-b24a;如果a<0，那么，当x=-b2a时，y有最大值，且y最大=4ac-b24a.告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标

，同样也可以求出顶点式.

例4

已知二次函数当x=4时有最小值-3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析

式.

析解∵二次函数当x=4时有最小值-3，∴顶点坐标为(4，

-3)，对称轴为直线x=4，抛物线开口向上.

由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1，0)和(7，0).

∴抛物线的顶点为(4，-3)且过点(1，0).故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3.将(1，0)代入得0=a(1-4)2-3,

解得a=13.

∴y=13(x-4)2-3，即y=13x2-83x+73.

典型例题三:告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出.

例如(1)已知二次函数的图象经过点A(3，-2)和B(1，0)，且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.

(2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点(0，2)，且过点(-1，0)，求这个二次函数的解析式.

(3)已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线的解析式.

(4)二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式.(此cc四dd题ee同ff学gg们hh自ii己jj尝kk试ll解[[出mm)

典型例题四:利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便.

例5把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3

个单位,

再向下平移2

个单位,

所得图像的解析式是y=x2-3x+5,

则函数的解析式为_______.

析解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94,

即y=(x-32)2+114.∵它是由抛物线的图像向右平移3

个单位,

再向下平移2

个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.

须掌握二次函数的三种表达形式:一般式y=ax2+bx+c，交点式y=a(x-x1)(x-x2)，顶点式y=a(x-h)2+k.能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;能熟练地运用二次函数解决实际问题.

就一般式y=ax2+bx+c(其中a，b，c为常数，且a≠0)而言，其中含有三个待定的系数a

，b

，c.求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a

，b

，c

的方程，联立求解，再把求出的a

，b

，c

的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式.

巧取交点式法

知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2)

(a≠0)x1，x2

分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标.已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便.

典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式.

例1已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1

，且通过点(2，8)，求二次函数的解析式.

析解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1)，∵过点(2，8)，∴8=a(2+2)(2-1).解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x+2)(x-1)，

即y=2x2+2x-4.

典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交

点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解.

例2已知二次函数的顶点坐标为(3，-2)，并且图象与x轴两交点间的距离为4

.求二次函数的解析式.

思路启迪在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决.由顶点坐标为(3，-2)的条件，易知其对称轴为x=3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1，0)和(5，0).此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式.

顶点式的妙处

顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点.当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a.在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题.在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便.

典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数

顶点式.

例3已知抛物线的顶点坐标为(-1，-2)，且通过点(

1，10)，求此二次函数的解析式.

析解∵顶点坐标为(-1，-2)，

故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2

(a≠0).把点(1，10)代入上式，得10=a(1+1)2-2.∴a=3.∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1.典型例题二:如果a>0，那么当x=

-b2a时，y有最小

值且y最小=4ac-b24a;如果a<0，那么，当x=-b2a时，y有最大值，且y最大=4ac-b24a.告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标

，同样也可以求出顶点式.

例4

已知二次函数当x=4时有最小值-3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析

式.

析解∵二次函数当x=4时有最小值-3，∴顶点坐标为(4，

-3)，对称轴为直线x=4，抛物线开口向上.

由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1，0)和(7，0).

∴抛物线的顶点为(4，-3)且过点(1，0).故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3.将(1，0)代入得0=a(1-4)2-3,

解得a=13.

∴y=13(x-4)2-3，即y=13x2-83x+73.

典型例题三:告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出.

例如(1)已知二次函数的图象经过点A(3，-2)和B(1，0)，且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.

(2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点(0，2)，且过点(-1，0)，求这个二次函数的解析式.

(3)已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线的解析式.

(4)二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式.(此cc四dd题ee同ff学gg们hh自ii己jj尝kk试ll解[[出mm)

典型例题四:利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便.

例5把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3

个单位,

再向下平移2

个单位,

所得图像的解析式是y=x2-3x+5,

则函数的解析式为_______.

析解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94,

即y=(x-32)2+114.∵它是由抛物线的图像向右平移3

个单位,

再向下平移2

个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.

须掌握二次函数的三种表达形式:一般式y=ax2+bx+c，交点式y=a(x-x1)(x-x2)，顶点式y=a(x-h)2+k.能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;能熟练地运用二次函数解决实际问题.

就一般式y=ax2+bx+c(其中a，b，c为常数，且a≠0)而言，其中含有三个待定的系数a

，b

，c.求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a

，b

，c

的方程，联立求解，再把求出的a

，b

，c

的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式.

巧取交点式法

知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2)

(a≠0)x1，x2

分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标.已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便.

典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式.

例1已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1

，且通过点(2，8)，求二次函数的解析式.

析解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1)，∵过点(2，8)，∴8=a(2+2)(2-1).解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x+2)(x-1)，

即y=2x2+2x-4.

典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交

点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解.

例2已知二次函数的顶点坐标为(3，-2)，并且图象与x轴两交点间的距离为4

.求二次函数的解析式.

思路启迪在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决.由顶点坐标为(3，-2)的条件，易知其对称轴为x=3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1，0)和(5，0).此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式.

顶点式的妙处

顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点.当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a.在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题.在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便.

典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数

顶点式.

例3已知抛物线的顶点坐标为(-1，-2)，且通过点(

1，10)，求此二次函数的解析式.

析解∵顶点坐标为(-1，-2)，

故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2

(a≠0).把点(1，10)代入上式，得10=a(1+1)2-2.∴a=3.∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1.典型例题二:如果a>0，那么当x=

-b2a时，y有最小

值且y最小=4ac-b24a;如果a<0，那么，当x=-b2a时，y有最大值，且y最大=4ac-b24a.告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标

，同样也可以求出顶点式.

例4

已知二次函数当x=4时有最小值-3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析

式.

析解∵二次函数当x=4时有最小值-3，∴顶点坐标为(4，

-3)，对称轴为直线x=4，抛物线开口向上.

由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1，0)和(7，0).

∴抛物线的顶点为(4，-3)且过点(1，0).故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3.将(1，0)代入得0=a(1-4)2-3,

解得a=13.

∴y=13(x-4)2-3，即y=13x2-83x+73.

典型例题三:告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出.

例如(1)已知二次函数的图象经过点A(3，-2)和B(1，0)，且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.

(2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点(0，2)，且过点(-1，0)，求这个二次函数的解析式.

(3)已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线的解析式.

(4)二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式.(此cc四dd题ee同ff学gg们hh自ii己jj尝kk试ll解[[出mm)

典型例题四:利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便.

例5把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3

个单位,

再向下平移2

个单位,

所得图像的解析式是y=x2-3x+5,

则函数的解析式为_______.

析解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94,

即y=(x-32)2+114.∵它是由抛物线的图像向右平移3

个单位,

再向下平移2

个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.

须掌握二次函数的三种表达形式:一般式y=ax2+bx+c，交点式y=a(x-x1)(x-x2)，顶点式y=a(x-h)2+k.能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;能熟练地运用二次函数解决实际问题.

就一般式y=ax2+bx+c(其中a，b，c为常数，且a≠0)而言，其中含有三个待定的系数a

，b

，c.求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a

，b

，c

的方程，联立求解，再把求出的a

，b

，c

的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式.

巧取交点式法

知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2)

(a≠0)x1，x2

分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标.已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便.

典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式.

例1已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1

，且通过点(2，8)，求二次函数的解析式.

析解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1)，∵过点(2，8)，∴8=a(2+2)(2-1).解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x+2)(x-1)，

即y=2x2+2x-4.

典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交

点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解.

例2已知二次函数的顶点坐标为(3，-2)，并且图象与x轴两交点间的距离为4

.求二次函数的解析式.

思路启迪在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决.由顶点坐标为(3，-2)的条件，易知其对称轴为x=3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1，0)和(5，0).此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式.

顶点式的妙处

顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点.当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a.在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题.在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便.

典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数

顶点式.

例3已知抛物线的顶点坐标为(-1，-2)，且通过点(

1，10)，求此二次函数的解析式.

析解∵顶点坐标为(-1，-2)，

故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2

(a≠0).把点(1，10)代入上式，得10=a(1+1)2-2.∴a=3.∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1.典型例题二:如果a>0，那么当x=

-b2a时，y有最小

值且y最小=4ac-b24a;如果a<0，那么，当x=-b2a时，y有最大值，且y最大=4ac-b24a.告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标

，同样也可以求出顶点式.

例4

已知二次函数当x=4时有最小值-3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析

式.

析解∵二次函数当x=4时有最小值-3，∴顶点坐标为(4，

-3)，对称轴为直线x=4，抛物线开口向上.

由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1，0)和(7，0).

∴抛物线的顶点为(4，-3)且过点(1，0).故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3.将(1，0)代入得0=a(1-4)2-3,

解得a=13.

∴y=13(x-4)2-3，即y=13x2-83x+73.

典型例题三:告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出.

例如(1)已知二次函数的图象经过点A(3，-2)和B(1，0)，且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.

(2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点(0，2)，且过点(-1，0)，求这个二次函数的解析式.

(3)已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线的解析式.

(4)二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式.(此cc四dd题ee同ff学gg们hh自ii己jj尝kk试ll解[[出mm)

典型例题四:利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便.

例5把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3

个单位,

再向下平移2

个单位,

所得图像的解析式是y=x2-3x+5,

则函数的解析式为_______.

析解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94,

即y=(x-32)2+114.∵它是由抛物线的图像向右平移3

个单位,

再向下平移2

个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.

须掌握二次函数的三种表达形式:一般式y=ax2+bx+c，交点式y=a(x-x1)(x-x2)，顶点式y=a(x-h)2+k.能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;能熟练地运用二次函数解决实际问题.

就一般式y=ax2+bx+c(其中a，b，c为常数，且a≠0)而言，其中含有三个待定的系数a

，b

，c.求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a

，b

，c

的方程，联立求解，再把求出的a

，b

，c

的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式.

巧取交点式法

知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2)

(a≠0)x1，x2

分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标.已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便.

典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式.

例1已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1

，且通过点(2，8)，求二次函数的解析式.

析解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1)，∵过点(2，8)，∴8=a(2+2)(2-1).解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x+2)(x-1)，

即y=2x2+2x-4.

典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交

点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解.

例2已知二次函数的顶点坐标为(3，-2)，并且图象与x轴两交点间的距离为4

.求二次函数的解析式.

思路启迪在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决.由顶点坐标为(3，-2)的条件，易知其对称轴为x=3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1，0)和(5，0).此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式.

顶点式的妙处

顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点.当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a.在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题.在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便.

典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数

顶点式.

例3已知抛物线的顶点坐标为(-1，-2)，且通过点(

1，10)，求此二次函数的解析式.

析解∵顶点坐标为(-1，-2)，

故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2

(a≠0).把点(1，10)代入上式，得10=a(1+1)2-2.∴a=3.∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1.典型例题二:如果a>0，那么当x=

-b2a时，y有最小

值且y最小=4ac-b24a;如果a<0，那么，当x=-b2a时，y有最大值，且y最大=4ac-b24a.告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标

，同样也可以求出顶点式.

例4

已知二次函数当x=4时有最小值-3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析

式.

析解∵二次函数当x=4时有最小值-3，∴顶点坐标为(4，

-3)，对称轴为直线x=4，抛物线开口向上.

由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1，0)和(7，0).

∴抛物线的顶点为(4，-3)且过点(1，0).故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3.将(1，0)代入得0=a(1-4)2-3,

解得a=13.

∴y=13(x-4)2-3，即y=13x2-83x+73.

典型例题三:告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出.

例如(1)已知二次函数的图象经过点A(3，-2)和B(1，0)，且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.

(2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点(0，2)，且过点(-1，0)，求这个二次函数的解析式.

(3)已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线的解析式.

(4)二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式.(此cc四dd题ee同ff学gg们hh自ii己jj尝kk试ll解[[出mm)

典型例题四:利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便.

例5把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3

个单位,

再向下平移2

个单位,

所得图像的解析式是y=x2-3x+5,

则函数的解析式为_______.

析解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94,

即y=(x-32)2+114.∵它是由抛物线的图像向右平移3

个单位,

再向下平移2

个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.

须掌握二次函数的三种表达形式:一般式y=ax2+bx+c，交点式y=a(x-x1)(x-x2)，顶点式y=a(x-h)2+k.能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;能熟练地运用二次函数解决实际问题.

二次函数一般形式:y=ax2+bx+c

(已知任意三点)

顶点式:y=a(x+d)2+h

(已知顶点和任意除顶点以外的点)

有的版本教材也注

原理相同

例:已知某二次函数图像顶点(-2，1)且经过(1,0)，求二次函数解析式

解:设y=a(x+2)2+1

注意:y=a(x-d)2+h中d是顶点横坐标，h是顶点纵坐标

由于

二次函数图像过点(1，0)

因此

a*3的平方+1=0

解得a=-1/9

所以所求作二次函数解析式为

y=-1/9(x+2)2+1

(此题是样题，所以就不进一步化简成一般形式)

两根式:已知函数图像与x轴两交点与另外一点

首先必须有交点(b2-4ac>0)

y=a(x-x1)(x-x2)

其中x1,x2是图像与x轴两交点

并且是ax2+bx+c=0的两根

如果已知二次函数一般形式和与x轴的一个交点，则可以求出另一个交点

利用根与系数的关系

例:y=x2+4x+3与x轴的一个交点是(-1,0)，求其与x轴的另一交点坐标

解:由根与系数的关系得:

x1+x2=-b/a=-4

则x2=-4-x1=-4-(-1)=-3

所以与x轴的另一交点坐标为(-3,0)

另外将y=ax2+bx+c向右平移2个单位可得

y=a(x-2)2+b(x-2)+c

再向下平移2个单位得:y=a(x-2)2+b(x-2)+c-2

记住:“左加右减

上加下减”

一般式

就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a

，b

，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a

，b

，c

的方程，联立求解，再把求出的a

，b

，c

的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式．

顶点式

顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点．当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简

洁，因为其中只有一个未知数a．在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题．在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用

顶点式方便．

交点式法

知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)

（a≠0）x1，x2

分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标．已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便．

用的多就会了

新年快乐

1可以设解析式，然后根据相关数据算出

2对称法，先根据对称轴，然后在运用其他的例如：最大值公式；与坐标轴交点等

交点式解析式为y=a(x-x1)(x-x2)

，x1和x2分别为抛物线与x轴交点的横坐标

比如图像过（-2，0）（4，0）(0，8)

则解析式变为y=a(x+2)(x-4)，因为图像过(0，8)，所以带入解析式变为

a（0+2）（0-4）=8，可以求出a=-1

解析式为y=-(x+2)(x-4)（最好转化成一般式）

①如果知道二次函数上的三个点，可采用一般式即y=ax^2+bx+c(a≠0)

②如果知道二次函数上的三个点中若包括两个与x轴的交点可采用y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0);

③若包含顶点可采用y=a(x-k)^2+h.

基本就这么几种！！

1.用三点式，将已知的三个点坐标代入方程，解方程组。abc三个未知数就能求出来

2.若题目给出函数的一些图像信息，也可根据对称轴，顶点坐标的条件来求。

答题思想就是上面。这个要具体问题具体分析了。

已知二次函数的图像经过原点及点（-1/2，-1/4），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为——————————