一元一次方程的标准形式的概念以及解法

一）知识要点：

　　1．一元一次方程的概念：

　　只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0的方程叫做一元一次方程。

　　一元一次方程的标准形式是：ax+b=0 (其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)，它的解是x=- 。

　　我们判断一个方程是不是一元一次方程要看它化简后的最简形式是不是标准形式ax+b=0 (a≠0)。例如方程3x2+5=8x+3x2，化简成8x-5=0是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有一个未知数x，且x的次数是一次，但化简后为0x=0，不是一元一次方程。

　　2．解一元一次方程的一般步骤：

　　（1）方程含有分母时要先去分母，使过程简便，具体做法为：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。要注意不要漏掉不含分母的项，如方程 x+ =3，去分母得10x+3=3就错了，因为方程右边忘记乘以6，造成错误。

　　（2）去括号：按照去括号法则先去小括号，再去中括号，最后去大括号。特别注意括号前是负号时，去掉负号和括号，括号里的各项都要变号。括号前有数字因数时要注意使用分配律。

　　（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边。注意移项要变号。

　　（4）合并项：把方程化成最简形式ax=b (a≠0)。

　　（5）把未知数的系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= 。

　　解方程时上述步骤有些可能用不到，并且也不一定按照上述顺序，要根据方程的具体形式灵活安排求解步骤。

　　（二）例题：

　　例1．解方程 (x-5)=3- (x-5)

　　分析：按常规此方程应先去分母，去括号，但发现方程左右两边都含有x-5项，所以可以把它们看作一个整体，移项，合并，使运算简便。

　　解：移项得： (x-5)+ (x-5)=3

　　合并得：x-5=3

　　∴ x=8。

　　例2．解方程2x- = -

　　解：因为方程含有分母，应先去分母。

　　去分母：12x-3(x+1)=8-2(x+2)　 （注意每一项都要乘以6）

　　去括号：12x-3x-3=8-2x-4　 (注意分配律及去括号法则)

　　移项：12x-3x+2x=8-4+3

　　合并：11x=7

　　系数化成1：x= 。

　　例3． { [ ( +4)+6]+8}=1

　　解法1：从外向里逐渐去括号，展开求解：

　　去大括号得： [ ( +4)+6]+8=9

　　去中括号得： ( +4)+6+56=63

　　整理得： ( +4)=1

　　去小括号得： +4=5

　　去分母得：x+2+12=15

　　移项，合并得：x=1。

　　解法2：从内向外逐渐去括号，展开求解：

　　去小括号得： { [ ( + +6]+8}=1

　　去中括号得： { + + +8}=1

　　去大括号得： + + + =1

　　去分母得：x+2+3×4+2×45+8×105=945

　　　　　即：x+2+12+90+840=945

　　移项合并得：∴x=1。

　　注意：从上面的两种解法可以看到，解一元一次方程并不一定要严格按照前面说的步骤一步一步来，可以按照具体的题目灵活运用方法。

　　例4．解方程 [ ( -1)-2]-2x=3

　　分析：此方程含括号，因为 × =1，所以先去中括号简便。

　　解：去中括号：( -1)- -2x=3

　　去小括号： -1- -2x=3

　　去分母：5x-20-24-40x=60

　　移项：5x-40x=60+44

　　合并项：-35x=104

　　系数化成1得：x=- 。

　　例5．解方程 - - =0

　　分析：本方程分子、分母中都含有小数，如果直接去分母，会使运算繁琐。但如果利用分数的性质，即分子分母同乘以不等于零的数分数的值不变的性质，使方程左边前两项分子、分母中的小数都化成整数，就能使运算简便。

　　解：利用分数的性质（即左边第一项分子、分母同乘以10，第二项分子、分母同乘以100），原方程可化为：

　　 - - =0

　　去分母：6(4x+9)-10(3-2x)-15(x-5)=0

　　去括号：24x+54-30+20x-15x+75=0

　　移项得：24x+20x-15x=-54+30-75

　　合并得：29x=-99

　　系数化成1：x=- 。

　　例6．在公式S= (a+b)h中，已知：a=5, S=44, h=8，求b的值。

　　分析：这是梯形面积公式，四个量S，a, b, h中知道任意3个量的值，都可以求出第四个量的值。

　　解法1：把a=5, S=44, h=8代入公式得

　　44= (5+b)×8　这是关于b的一元一次方程

　　化简得：b+5=11

　　移项，合并得：b=6。

　　解法2：先把b看作未知数，把其它量都看作已知数，将公式变形，用其它三个量来表示b，然后再代入已知数的值求出b。

　　S= (a+b)h

　　去分母：2S=(a+b)h

　　去括号：2S=ah+bh

　　移项：2S-ah=bh　 即bh=2S-ah

　　系数化成1：∵ h≠0，∴ b= -a (一定不要忘记条件h≠0)

　　当a=5, S=44，h=8时，

　　b= -5=11-5=6

　　∴ b=6。

　　例7．当x=2时，式子x2+bx+4的值为0，求当x=3时，x2+bx+4的值。

　　分析：这仍是一元一次方程的应用的例子，要求x2+bx+4的值，先求出b的值，最后求当x=3时，x2+bx+4的值。

　　解：∵ 当x=2时，x2+bx+4的值为0，

　　∴ 4+2b+4=0 (得到关于b的一元一次方程)

　　解这个方程得2b=-8，∴ b=-4，

　　∴ x2+bx+4为x2-4x+4，

　　当x=3时，x2-4x+4=32-4×3+4=9-12+4=1,

　　∴ 当x=3时，这个式子值为1。

　　例8．解绝对值方程：

　　(1) |2x-1|=8　　　(2) =4　　(3) =4

　　(4) |3x-1|+9=5　　(5) |1-|x||=2

　　说明：解绝对值方程也是一元一次方程的应用，它的解法主要是：①先把|ax+b|看作一个整体，把绝对值方程看作是以|ax+b|为未知数的一元一次方程，变形成|ax+b|=c的形式；②对|ax+b|=c进行讨论，当c>0时，正确去掉绝对值，得到ax+b=c或ax+b=-c两个一元一次方程，从而求出x的值；当c=0时，得到ax+b=0一个一元一次方程，从而求出x；当c<0时，由于绝对值是非负数，所以此方程无解。

　　(1)解：∵ |2x-1|=8

　　∴ 2x-1=8或2x-1=-8

　　∴ 2x=9或2x=-7

　　∴ x= 或x=-

　　∴ 原方程的解是x= 或x=- 。

　(2)解：∵ =4

　　去分母得：|3x+2|=12

　　∴ 3x+2=12或3x+2=-12

　　∴ 3x=10或3x=-14

　　∴ x= 或x=-

　　∴ 原方程的解是x= 或x=- 。

　　(3)解：∵ =4

　　去分母：2|x|+5=12

　　移项，合并同类项：2|x|=7

　　系数化为1：|x|=

　　∴ x=±

　　∴ 原方程的解为x= 或x=- 。

　　(4)解：∵ |3x-1|+9=5

　　∴ |3x-1|=-4

　　∵ 任何有理数的绝对值均为非负数，

　　∴ 此方程无解。

　　(5)解：∵ |1-|x||=2，

　　∴ 1-|x|=2 或 1-|x|=-2，

　　∴ |x|=-1 或 |x|=3，∴ x=±3，

　　由绝对值概念知，此方程无解；

　　∴ x=±3是原方程的解。

　　在第（5）个方程中，要处理两次绝对值，只要严格按规律办事就能顺利求出x的值。

　　（三）练习：

　　一、填空：

　　1．方程3(x-2)-5(2x-1)=4(1-2x)的解为___________。

　　2．若|3x-2|=2，则x为____________。

　　3．当x=________时，代数式3x-2和3- x的值互为相反数。

　　4．关于x的方程2(x3m-2+3x)=3x3m-2+6x-2是一元一次方程，则m=_______。

　　5．若代数式 +5的值是代数式 的值的倒数，则x=__________。

　　6．若|2x+3|+(x-3y+4)2=0，则x=_______, y=______。

　　二、解方程：

　　1．1- + =

　　2． { [ ( +1)-1]+x}=1

　　3． - =

　　练习参考答案：

　　一、填空：

　　1. x=5　　2. x= 或x=0　　3. x=-

　　4. m=1　　5. x=92　　　　 6. x=- , y=

　　二、解方程：

　　1. x= 　　2. x= 　　3. y=

　　选择题

　　1．方程 中，如果x=1，那么a的值等于（　　 ）

　　A、-1　　B、0　　C、1　　D、2

　　2．下列方程中，解为2的是（　 ）

　　A、4y+2＝6　　　　　 B、

　　C、 y－1＝3+ y　　 D、 x＝0.25x+100

　　3．方程2x-3=3与方程 =0是同解方程，则a的值等于（　　 ）

　　A、 　　B、2　　C、1　　D、0

　　4．如果x=1是方程 的解，那么关于y的方程m(y-3)-2=m(2y-5)的解是(　 )

　　A、-10　　B、0　　C、 　　D、以上都不对

　　5．解方程 时，去分母后，正确的结果是（　）

　　A、 　　 B、

　　C、 　　D、

（一）知识要点：

　　1．一元一次方程的概念：

　　只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0的方程叫做一元一次方程。

　　一元一次方程的标准形式是：ax+b=0 (其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)，它的解是x=- 。

　　我们判断一个方程是不是一元一次方程要看它化简后的最简形式是不是标准形式ax+b=0 (a≠0)。例如方程3x2+5=8x+3x2，化简成8x-5=0是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有一个未知数x，且x的次数是一次，但化简后为0x=0，不是一元一次方程。

　　2．解一元一次方程的一般步骤：

　　（1）方程含有分母时要先去分母，使过程简便，具体做法为：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。要注意不要漏掉不含分母的项，如方程 x+ =3，去分母得10x+3=3就错了，因为方程右边忘记乘以6，造成错误。

　　（2）去括号：按照去括号法则先去小括号，再去中括号，最后去大括号。特别注意括号前是负号时，去掉负号和括号，括号里的各项都要变号。括号前有数字因数时要注意使用分配律。

　　（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边。注意移项要变号。

　　（4）合并项：把方程化成最简形式ax=b (a≠0)。

　　（5）把未知数的系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= 。

　　解方程时上述步骤有些可能用不到，并且也不一定按照上述顺序，要根据方程的具体形式灵活安排求解步骤。

前辈和你讲

一元一次方程比较简单 你看看书本就会明白的

千万不要死记硬背 这样是学不好的

　　（二）例题：

　　例1．解方程 (x-5)=3- (x-5)

　　分析：按常规此方程应先去分母，去括号，但发现方程左右两边都含有x-5项，所以可以把它们看作一个整体，移项，合并，使运算简便。

　　解：移项得： (x-5)+ (x-5)=3

　　合并得：x-5=3

　　∴ x=8。

　　例2．解方程2x- = -

　　解：因为方程含有分母，应先去分母。

　　去分母：12x-3(x+1)=8-2(x+2)　 （注意每一项都要乘以6）

　　去括号：12x-3x-3=8-2x-4　 (注意分配律及去括号法则)

　　移项：12x-3x+2x=8-4+3

　　合并：11x=7

　　系数化成1：x= 。

　　例3． { [ ( +4)+6]+8}=1

　　解法1：从外向里逐渐去括号，展开求解：

　　去大括号得： [ ( +4)+6]+8=9

　　去中括号得： ( +4)+6+56=63

　　整理得： ( +4)=1

　　去小括号得： +4=5

　　去分母得：x+2+12=15

　　移项，合并得：x=1。

　　解法2：从内向外逐渐去括号，展开求解：

　　去小括号得： { [ ( + +6]+8}=1

　　去中括号得： { + + +8}=1

　　去大括号得： + + + =1

　　去分母得：x+2+3×4+2×45+8×105=945

　　　　　即：x+2+12+90+840=945

　　移项合并得：∴x=1。

　　注意：从上面的两种解法可以看到，解一元一次方程并不一定要严格按照前面说的步骤一步一步来，可以按照具体的题目灵活运用方法。

　　例4．解方程 [ ( -1)-2]-2x=3

　　分析：此方程含括号，因为 × =1，所以先去中括号简便。

　　解：去中括号：( -1)- -2x=3

　　去小括号： -1- -2x=3

　　去分母：5x-20-24-40x=60

　　移项：5x-40x=60+44

　　合并项：-35x=104

　　系数化成1得：x=- 。

　　例5．解方程 - - =0

　　分析：本方程分子、分母中都含有小数，如果直接去分母，会使运算繁琐。但如果利用分数的性质，即分子分母同乘以不等于零的数分数的值不变的性质，使方程左边前两项分子、分母中的小数都化成整数，就能使运算简便。

　　解：利用分数的性质（即左边第一项分子、分母同乘以10，第二项分子、分母同乘以100），原方程可化为：

　　 - - =0

　　去分母：6(4x+9)-10(3-2x)-15(x-5)=0

　　去括号：24x+54-30+20x-15x+75=0

　　移项得：24x+20x-15x=-54+30-75

　　合并得：29x=-99

　　系数化成1：x=- 。

　　例6．在公式S= (a+b)h中，已知：a=5, S=44, h=8，求b的值。

　　分析：这是梯形面积公式，四个量S，a, b, h中知道任意3个量的值，都可以求出第四个量的值。

　　解法1：把a=5, S=44, h=8代入公式得

　　44= (5+b)×8　这是关于b的一元一次方程

　　化简得：b+5=11

　　移项，合并得：b=6。

　　解法2：先把b看作未知数，把其它量都看作已知数，将公式变形，用其它三个量来表示b，然后再代入已知数的值求出b。

　　S= (a+b)h

　　去分母：2S=(a+b)h

　　去括号：2S=ah+bh

　　移项：2S-ah=bh　 即bh=2S-ah

　　系数化成1：∵ h≠0，∴ b= -a (一定不要忘记条件h≠0)

　　当a=5, S=44，h=8时，

　　b= -5=11-5=6

　　∴ b=6。

　　例7．当x=2时，式子x2+bx+4的值为0，求当x=3时，x2+bx+4的值。

　　分析：这仍是一元一次方程的应用的例子，要求x2+bx+4的值，先求出b的值，最后求当x=3时，x2+bx+4的值。

　　解：∵ 当x=2时，x2+bx+4的值为0，

　　∴ 4+2b+4=0 (得到关于b的一元一次方程)

　　解这个方程得2b=-8，∴ b=-4，

　　∴ x2+bx+4为x2-4x+4，

　　当x=3时，x2-4x+4=32-4×3+4=9-12+4=1,

　　∴ 当x=3时，这个式子值为1。

　　例8．解绝对值方程：

　　(1) |2x-1|=8　　　(2) =4　　(3) =4

　　(4) |3x-1|+9=5　　(5) |1-|x||=2

　　说明：解绝对值方程也是一元一次方程的应用，它的解法主要是：①先把|ax+b|看作一个整体，把绝对值方程看作是以|ax+b|为未知数的一元一次方程，变形成|ax+b|=c的形式；②对|ax+b|=c进行讨论，当c>0时，正确去掉绝对值，得到ax+b=c或ax+b=-c两个一元一次方程，从而求出x的值；当c=0时，得到ax+b=0一个一元一次方程，从而求出x；当c<0时，由于绝对值是非负数，所以此方程无解。

　　(1)解：∵ |2x-1|=8

　　∴ 2x-1=8或2x-1=-8

　　∴ 2x=9或2x=-7

　　∴ x= 或x=-

　　∴ 原方程的解是x= 或x=- 。

　(2)解：∵ =4

　　去分母得：|3x+2|=12

　　∴ 3x+2=12或3x+2=-12

　　∴ 3x=10或3x=-14

　　∴ x= 或x=-

　　∴ 原方程的解是x= 或x=- 。

　　(3)解：∵ =4

　　去分母：2|x|+5=12

　　移项，合并同类项：2|x|=7

　　系数化为1：|x|=

　　∴ x=±

　　∴ 原方程的解为x= 或x=- 。

　　(4)解：∵ |3x-1|+9=5

　　∴ |3x-1|=-4

　　∵ 任何有理数的绝对值均为非负数，

　　∴ 此方程无解。

　　(5)解：∵ |1-|x||=2，

　　∴ 1-|x|=2 或 1-|x|=-2，

　　∴ |x|=-1 或 |x|=3，∴ x=±3，

　　由绝对值概念知，此方程无解；

　　∴ x=±3是原方程的解。

　　在第（5）个方程中，要处理两次绝对值，只要严格按规律办事就能顺利求出x的值。

　　（三）练习：

　　一、填空：

　　1．方程3(x-2)-5(2x-1)=4(1-2x)的解为___________。

　　2．若|3x-2|=2，则x为____________。

　　3．当x=________时，代数式3x-2和3- x的值互为相反数。

　　4．关于x的方程2(x3m-2+3x)=3x3m-2+6x-2是一元一次方程，则m=_______。

　　5．若代数式 +5的值是代数式 的值的倒数，则x=__________。

　　6．若|2x+3|+(x-3y+4)2=0，则x=_______, y=______。

　　二、解方程：

　　1．1- + =

　　2． { [ ( +1)-1]+x}=1

　　3． - =

　　练习参考答案：

　　一、填空：

　　1. x=5　　2. x= 或x=0　　3. x=-

　　4. m=1　　5. x=92　　　　 6. x=- , y=

　　二、解方程：

　　1. x= 　　2. x= 　　3. y=

　　选择题

　　1．方程 中，如果x=1，那么a的值等于（　　 ）

　　A、-1　　B、0　　C、1　　D、2

　　2．下列方程中，解为2的是（　 ）

　　A、4y+2＝6　　　　　 B、

　　C、 y－1＝3+ y　　 D、 x＝0.25x+100

　　3．方程2x-3=3与方程 =0是同解方程，则a的值等于（　　 ）

　　A、 　　B、2　　C、1　　D、0

　　4．如果x=1是方程 的解，那么关于y的方程m(y-3)-2=m(2y-5)的解是(　 )

　　A、-10　　B、0　　C、 　　D、以上都不对

　　5．解方程 时，去分母后，正确的结果是（　）

　　A、 　　 B、

　　C、 　　D、

答案与解析

　　答案：1、C　 2、B　 3、B　 4、B　 5、C

　　解析：

　　1、分析：因为x=1满足方程，故把它代入方程就得到关于a的一元一次方程，解这个关于a的一元一次方程时可以采用先去外面的大括号，然后是中括号，最后是小括号的顺序来求解。

　　2、分析：根据一元一次方程的解的定义，把2分别代入各个方程中检验方程左右两边是否相等。

　　3、分析：根据同解方程的定义，第一个方程的解应该满足第二个方程，第一个方程的解为3，将它代入第二个方程得到a的值是2。

　　4、分析：因为x=1是方程 的解，故将x=1代入方程就可以解出m=1，然后把它代入后一个方程，就可以解出y=0。

　　5、分析：方程两边都乘以6，去分母，得

　　去括号，得 ，故选C。

一元一次方程和它的解法

　　考点扫描：了解一元一次方程的概念；灵活运用等式的基本性质解一元一次方程，会对方程的解进行检验。

　　名师精讲：

　　1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程．一元一次方程的特点是：它们或者不含分母，或者含有分母但分母中不含有未知数，将它们经过去分母、去括号，移项，合并等变形后，都能化为最简形式ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）。

　　2．移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，叫做移项。这个法则是根据等式的性质1推出来的，是解方程的根据。要明白移项，就是根据解方程变形的需要，把某一项从方程的左边移到右边，或从右边移到左边，移动的项一定要改变性质符号，这是经常容易忽略的。

　　3．解一元一次方程的步骤：

　　（1）去分母：方程的两边都乘以各分母的最简公分母。

　　（2）去括号：括号前是“-”号时，切记括号内的各项都要变号。有多层括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。

　　（3）移项：把含有未知数的项移到同一边，其他的项移到另一边。要注意，移动的项一定要变号。

　　（4）合并：将方程化为ax=b(a≠0)的形式。

　　（5）系数化为1：方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解。

　　注意：（1）去分母时，不要漏项，分子是多项式时要加括号；

　　（2）化系数为1时，要弄清分子、分母，不要犯x= 的错误。

　　中考典例：

　　1．（江苏南京）关于x的方程3x+2a=0的根是2，则a等于______。

　　考点：一元一次方程的解法

　　评析：因为2是方程3x+2a=0的根，所以根据方程的根的意义将2代入方程，两边一定相等，即6+2a=0，是关于a的方程，解这个方程，即可求得a=-3。

　　2．（云南昆明）已知a是整数，且0<A<10< SPAN>，请找出一个a=________使方程1- ax=-5的解是偶数。

　　考点：一元一次方程的解法

　　评析：该题考查学生灵活运用解一元一次方程知识的能力。因方程中含有两个字母，而a是整数，且0<A<10< SPAN>，显然x是未知数。当x是偶数时，在0<A<10< SPAN>中，求a值。先解方程得x= ，而x是整数，所以a是12的约数，且0<A<10< SPAN>。于是a的可取值分别是1，2，3，4，6，12，但4，12不能使x值是偶数，所以a的值为1，2，3，6。该题可拓展为方程的解是奇数时求a值。

　　真题专练：

　　1．（荆州市）如果x=0是方程3x-2m=4的根，则m的值是（　 ）

　　A、 　　B、- 　　C、2　　D、-2

　　2．（无锡市）若x=2是关于x的方程2x+3k-1=0的解，则k的值是______。

　　答案：1、D（提示：当x=0时，方程3x-2m=4变为-2m=4，解关于m的方程得m=-2）　2、-1

含字母系数的一元一次方程

教学目标

1.使学生理解和掌握含有字母系数的一元一次方程及其解法；

2.理解公式变形的意义并掌握公式变形的方法；

3.提高学生的运算和推理能力.

教育重点和难点

重点：含有字母系数的一元一次方程和解法.

难点：字母系数的条件的运用和公式变形.

教学过程设计

一、导入新课

问：什么叫方程?什么叫一元一次方程?

答：含有未知数的等式叫做方程，含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程.

例 解方程2x－1 3－10x+1 6=2x+1 4－1

解 去分母，方程两边都乘以12，得

4(2x－1)－2(10x+1)=3(2x+1)－12,

去括号，得

8x－4－20x－2=6x+3-12

移项，得

8x－20x－6x=3-12+4+2，

合并同类项，得

－18x=－3，

方程两边都除以－18，得

x=3 18 ,即 x=1 6.

二、新课

1.含字母系数的一元一次方程的解法.

我们把一元一次方程用一般的形式表示为

ax=b (a≠0),

其中x表示未知数，a和b是用字母表示的已知数，对未知数x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项.

如果一元一次方程中的系数用字母来表示，那么这个方程就叫做含有字母系数的一元一

次方程.

以后如果没有特别说明，在含有字母系数的方程中，一般用a，b，c等表示已知数，用x，y，z等表示未知数.

含字母系数的一元一次方程的解法与只含有数字系数的一元一次方程的解法相同.按照解

一元一次方程的步骤，最后转化为ax=b(a≠0)的形式.这里应注意的是，用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零.如(m－2)x=3,必须当m－2≠0时，即m≠2时，才有x=3 m－2 .这是含有字母系数的方程和只含有数字系数的方程的重要区别.

例1 解方程ax+b2=bx+a2(a≠b).

分析：这个方程中的字母a，b都是已知数，x是未知数，是一个含有字母系数的一元一次方程.这里给出的条件a≠b，是使方程有解的关键，在解方程的过程中要运用这个条件.

解 移项，得

ax－bx=a2－b2,

合并同类项，得

(a－b)x=a2－b2.

因为a≠b，所以a－b≠0.方程两边都除以a－b，得

x=a2－b2 a－b=(a+b)(a－b) a－b,

所以 x=a+b.

指出：

(1)题中给出a≠b，在解方程过程中，保证了用不等于零的式子a－b去除方程的两边后所得的方程的解是原方程的解；

(2)如果方程的解是分式形式时，一般要化成最简分式或整式.

例2 x－b a=2－x－a b(a+b≠0).

观察方程结构的特点，请说出解方程的思路.

答：这个方程中含有分式，可先去分母，把方程转化成含有字母系数的一元一次方程

的一般形式.在方程变形中，要应用已知条件a+b≠0.

解 去分母，方程两边都乘以ab得

b(x－b)=2ab－a(x－a),

去括号，得

bx－b2=2ab－ax+a2,

移项，得

ax+bx=a2+2ab+b2

合并同类项，得

(a+b)x=(a+b)2.

因为a+b≠0，所以x=a+b.

指出：ab≠0是一个隐含条件，这是因为字母a，b分别是方程中的两个分式的分母，因此a≠0,b≠0,所以ab≠0.

例3 解关于x的方程

a2+(x－1)ax+3a=6x+2(a≠2,a≠－3).

解 把方程变形为，得

a2x－a2+ax+3a=6x+2,

移项，合并同类项，得

a2x+ax－6x=a2－3a+2,

(a2+a－6)x=a2－3a+2,

(a+3)(a－2)x=(a－1)(a－2).

因为a≠2,a=－3，所以a+3≠0，a－2≠0.方程两边都除以(a+3)(a－2)，得

x=a－1 a+3.

2.公式变形.

在物理课中我们学习了很多物理公式，如果q表示燃烧值，m表示燃料的质量，那么完全燃烧这些燃料产生的热量W，三者之间的关系为W=qm，又如，用Q表示通过异体横截面的电量，用t表示时间，用I表示通过导体电流的大小，三者之间的关系为I=Qt.在这个公式中，如果用I和t来表示Q，也就是已知I和t，求Q，就得到Q=It；如果用I和Q来表示t，也就是已知I和Q，，求t，就得到t=QI.

像上面这样，把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形.

把公式中的某一个字母作为未知量，其它的字母作为已知量，求未知量，就是解含字母

系数数的方程.也就是说，公式变形实际就是解含有字母系数的方程.公式变形不但在数学，而且在物理和化学等学科中非常重要，我们要熟练掌握公式变形的技能.

例4 在公式υ=υo+at中，已知υ,υo,a，且a≠0，求t.

分析：已知υ，υo和a，求t，也就是把υ，υo和a作为已知量，解关于未知量t的字母系数的方程.

解 移项，得

υ－υ0=at.

因为a≠0，方程两边都除以a,得

t=υ－υo a.

例5 在梯形面积公式s=12(a+b)h中，已知a，b，h为正数.

(1)用s，a，b表示h；(2)用S,b,h表示a.

问：(1)和(2)中哪些是已知量?哪些是未知量；

答：（1）中S，a，b是已知量，h是未知量;(2)中s，b，h都是知已量，a是未知量.

解 (1)方程两边都乘以2，得

2s=(a+b)h.

因为a与b都是正数，所以a≠0，b≠0，即a+b≠0，方程两边都除以a+b，得

h=2sa+b.

(2)方程两边都乘以2，得

2s=(a+b)h,

整理，得

ah=2s－bh.

因为h为正数，所以h≠0，方程两边都除以h,得

a=2s－bh h.

指出：题是解关于h的方程，(a+b)可看作是未知量h的系数，在运算中(a+b)h不要展开.

三、课堂练习

1.解下列关于x的方程：

(1)3a+4x=7x－5b; (2)xa－b=xb－a(a≠b)；

(3)m2(x－n)=n2(x－m)(m2≠n2);

(4)ab+xa=xb－ba(a≠b);

(5)a2x+2=a(x+2)(a≠0,a≠1).

2.填空：

(1)已知y=rx+b r≠0,则x=_______;

(2)已知F=ma,a≠0，则m=_________;

(3)已知ax+by=c，a≠0，则x=_______.

3.以下公式中的字母都不等于零.

(1)求出公式m=pn+2中的n;

(2)已知xa+1b=1m，求x；

(3)在公式S=a+b2h中，求a;

(4)在公式S=υot+12t2x中，求x.

答案：

1.(1)x=3a+5b 3； (2)x=ab; (3)x=mn m+n; (4)x=a2+b2 a－b (5)x=2a.

2.(1)x=y－b r； (2)m=Fa; (3)x=c－by a.

3.(1)n=p－2m m; (2)x=ab－am bm; (3)a=2s－bh h;

(4)x=2s－2υott2.

四、小结

1.含字母系数的一元一次方程与只含有数字系数的一元一次方程的解法相同，但应特别注意，用含有字母的式子去乘或除方程的两边时，这个式子的值不能为零.我们所举的例题及课堂练习的题目中所给出的条件，都保证了这一点.

2.对于公式变形，首先要弄清公式中哪些是已知量，哪个是未知量.把已知量作为字

母系数，求未知量的过程就是解关于字母系数的方程的过程.

五、作业

1．解下列关于x的方程

(1)(m2+n2)x=m2－n2+2mnx(m－n≠0)；

(2)(x－a)2－(x－b)2=2a2－2b2 (a－b≠0);

(3)x+xm=m(m≠－1);

(4)xb+b=xa+a(a≠b);

(5)m+nx m+n=a+bx a+b(mb≠na).

2.在公式M=D－d 2l中，所有的字母都不等于零.

(1)已知M,l ,d求D； (2)已知M,l D,求d.

3.在公式S=12n[a1+(n－1)d]中，所有的字母都是正数，而且n为大于1的整数，求d.

答案：

1.(1)x=m+n m－n; (2)x=－a+b 2; (3)x=m2 m+1; (4)x=ab; (5)x=1.

2.(1)D=2lM+d; (2)d=D－2lM.

3.d=2S－na1 n(n－1).

课堂数学设计说明

1.学生对含有字母系数的方程的认识和解法以及公式变形，接受起来有一定困难.含字

母系数的方程与只含数字系数的方程的关系，是一般与特殊的关系，当含有字母系数的方程

中的字母给出特定的数字时，就是只含数字系数的方程.所以在教学设计中是从复习解只含

数字系数的一元一次方程入手，过渡到讨论含字母系数的一元一次方程的解法和公式变形，

体现了遵循学生从具体到抽象，从特殊到一般的思维方式和认识事物的规律.

2.在代数教学中应注意渗透推理因素.在解含有字母系数的一元一次方程和公式变形的过程中，引导学生注意所给题中的已知条件是什么，在方程变形中要正确运用题中的已知条件.如在解方程中，常用含有字母的式子乘(或除)方程的两边，并要论述如何根据已知条件，保证这个式子的值不等于零，从中有意识地训练和提高学生的逻辑推理能力，把代数运算和推理蜜切结合.0|评论

2008-07-15 12:02闪之红黑白|二级1.经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步．

2.通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法．

3.了解解方程的基本目标(使方程逐步转化为x＝a的形式)，熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想．

4.能够“找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的关系，设未知数，列出方程表示问题中的等量关系”，体会建立数学模型的思想．

5.通过探究实际问题与一元一次方程的关系，进一步体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力．

合并同类项　　⒈依据：乘法分配律

　　⒉把未知数相同且其次数也相同的项合并成一项；常数计算后合并成一项

　　⒊合并时次数不变，只是系数相加减。

移项

　　⒈依据：等式的性质一

　　⒉含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到右边。

　　⒊把方程一边某项移到另一边时，一定要变号{例如：移项时将+改为-}。

性质

　　等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。

　　等式的性质二：等式两边同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），等式仍然成立。

　　等式的性质三：等式两边同时乘方（或开方），等式仍然成立。

　　解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减同一个数，等式仍然成立

编辑本段解法步骤

　　使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

一般解法：

　　⒈去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）；

　　依据：等式的性质2

　　⒉去括号：一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，可根据乘法分配律（记住如括号外有减号或除号的话一定要变号）

　　依据：乘法分配律

　　⒊移项：把方程中含有未知数的项都移到方程的一边（一般是含有未知数的项移到方程左边，而把常数项移到右边）

　　依据：等式的性质1

　　⒋合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0）的形式；

　　依据：乘法分配律（逆用乘法分配律）

　　⒌系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a.

　　依据：等式的性质1

　　同解方程

　　如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。

方程的同解原理：

　　⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。　

　　⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。　

　　做一元一次方程应用题的重要方法：

　　⒈认真审题（审题）　

　　⒉分析已知和未知量　

　　⒊找一个合适的等量关系　

　　⒋设一个恰当的未知数

　　⒌列出合理的方程 （列式）　

　　⒍解出方程（解题）

　　⒎检验　

　　⒏写出答案（作答）

　　ax=b

　　解：当a≠0，b=0时，

　　ax=0

　　x=0(此种情况与下一种一样)

　　当a≠0时，x=b/a。

　　当a=0，b=0时，方程有无数个解（注意：这种情况不属于一元一次方程，而属于恒等方程）

　　当a=0，b≠0时，方程无解（此种情况也不属于一元一次方程）

　　例：

　　（3x+1)/2-2=(3x-2)/10-(2x+3)/5

　　去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）得：

　　5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3)

　　去括号得：

　　15x+5-20=3x-2-4x-6

　　移项得：

　　15x-3x+4x=-2-6-5+20

　　合并同类项得：

　　16x=7

　　系数化为1得：

　　x=7/16。

　　字母公式

　　a=b a+c=b+c a-c=b-c

　　a=b ac=bc

　　a=bc(c≠0)= a÷c=b÷c

　　检验 算出后需检验的

　　求根公式

　　由于一元一次方程是基本方程，故教科书上的解法只有上述的方法。

　　但对于标准形式下的一元一次方程 aX+b=0

　　可得出求根公式 X=-(b/a)

编辑本段学习实践

　　在小学会学习较浅的一元一次方程，到了初中开始深入的了解一元一次方程的解法和利用一元一次方程解较难的应用题。一元一次方程牵涉到许多的实际问题，例如工程问题、植树问题、比赛比分问题、行程问题、行船问题、相向问题分段收费问题、盈亏、利润问题。

　　列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式——方程（equation）。

　　⒈4x=24

　　⒉1700+150x=2450

　　⒊0.52x-(1-0.52)x=80

　　分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.

编辑本段教学设计示例教学目标

　　1．使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤，并会列出一元一次方程解简单的应用题；

　　2．培养学生观察能力，提高他们分析问题和解决问题的能力；

　　3．使学生初步养成正确思考问题的良好习惯．

重点和难点

　　一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤．

教学过程设计

　　一、从学生原有的认知结构提出问题：在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢？若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢？

　　为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题．

　　例1 某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数．

　　（首先，用算术方法解，由学生回答，教师板书）

　　解法1：（4+2）÷（3-1)=3． 答：某数为3． （其次，用代数方法来解，教师引导，学生口述完成） 解法2：设某数为x，则有3x-2=x+4． 解之，得x=3． 答：某数为3．

　　纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一．

　　我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程．

　　本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤． 二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤　

　　例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15%后，还剩余42 500千克，这个仓库原来有多少面粉？

　　师生共同分析：

　　1．本题中给出的已知量和未知量各是什么？

　　2．已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？（原来重量-运出重量=剩余重量）

　　3．若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克？利用上述相等关系，如何布列方程？

　　上述分析过程可列表如下：　

　　解：设原来有x千克面粉，那么运出了15%x千克，由题意，得x-15%x=42 500，所以 x=50 000．

　　答：原来有 50 000千克面粉．

　　此时，让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式？若有，是什么？ （还有，原来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量）

　　教师应指出：

　　⑴这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程

　　⑵例2的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿．

　　依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后，采取提问的方式，进行反馈。

　　最后，根据学生总结的情况，教师总结如下：

　　⑴仔细审题，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系，并用字母（如x）表示题中的一个合理未知数

　　⑵根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系．（这是关键一步）；

　　⑶根据相等关系，正确列出方程．即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等；

　　⑷求出所列方程的解；

　　⑸检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义。

　　⑹最好能用计算器再进行一次验算。