导数里的e=?

e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰•纳皮尔引进对数。它就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一。

它的数值约是（小数点后100位）：e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274

第一次提到常数e，是约翰•纳皮尔于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉•奥特雷德(William Oughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各•伯努利(Jacob Bernoulli).

已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。

用e表示的确实原因不明，但可能因为e是“指数”(exponential)一字的首字母。另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，而e是第一个可用字母。不过，欧拉选这个字母的原因，不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母，因为他是个很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。

很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。指数函数的重要方面在于它是唯一的函数与其导数相等（乘以常数）。e是无理数和超越数（见林德曼—魏尔施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）。这是第一个获证为超越数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔•埃尔米特(Charles Hermite)于1873年证明。

当x趋于正无穷大或负无穷大时，“1加x分之一的x次方”这个函数表达式（1+1/x）^x的极限就等于e，用公式表示，即：

lim（1+1/x）^x＝e （x趋于±∞）

实际上e就是欧拉通过这个极限而发现的，它是个无限不循环小数，其值等于2.71828……。以e为底的对数叫做自然对数，用符号“ln”表示。

以e为底的对数（自然对数）和指数，从数学角度揭示了自然界的许多客观规律，比如指数函数“e的x次方”对x的微分和积分都仍然是函数本身。后人把这个规律叫做“自然律”，其中e是自然律的精髓。因此，上述求极限e的公式被英国科学期刊《物理世界》2004年10月号公布为读者选出的科学界历来“最伟大的公式”之一，并且名列第二。

欧拉（Leonhard Euler 公元1707－1783年） 1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰•伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748年）的精心指导。

欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文。到如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清。他对数学分析的贡献更独具匠心，《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为“分析学的化身”。

欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，称为数学界的莎士比亚。据统计他那不倦的一生，共写下了886部书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%。彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了47年！数学史上称18世纪为“欧拉时代”。

欧拉还创设了许多数学符号，例如函数f（x）（1734年），π（1736年），log和 e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），∑（1755年），虚数i（1777年）等等。

欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾13个孩子在旁边喧哗。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在59岁双目失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文。

19世纪伟大数学家高斯（Gauss，1777-1855年）曾说：“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法。”欧拉的父亲保罗•欧拉（Paul Euler）也是一个数学家，原希望小欧拉学神学，同时教他一点教学。由于小欧拉的才华和异常勤奋的精神，又受到约翰•伯努利的赏识和特殊指导，当他在19岁时写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了。

1725年约翰•伯努利的儿子丹尼尔•伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉，这样，在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡。1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授。

1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了。然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁。

1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力急剧衰退，最后也完全失明。

不幸的事情接踵而来。1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病且双目失明的64岁的欧拉，被围困在大火中。虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了。

沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来。欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久。欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成。欧拉在失明的17年中，还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题。

欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，从19岁起和欧拉通信，讨论等周问题的一般解法，这引起变分法的诞生．等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就，并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传，并赢得巨大的声誉。他晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师，著名数学家拉普拉斯（Laplace）曾说过：“欧拉是我们的导师。”

欧拉充沛的精力保持到最后一刻，1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚发现不久，欧拉写出了计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说：“我死了”，欧拉终于“停止了生命和计算”。

欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的。

欧拉一生谦逊，从没有用自己的名字给他发现的东西命名。只有那个大约等于2.71828的自然对数的底，被他命名为e。但因他对数学广泛的贡献，因此在许多数学分支中，反而经常见到后人以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

相对于π是希腊文字中圆周第一个字母，e的由来较不为人熟知。有人甚至认为：欧拉取自己名字的第一个字母e作为自然对数的底。

其实欧拉选择e的理由，较为多数人所接受的说法有二：一为在a，b，c，d等四个常被使用的字母后面，第一个尚未被经常使用的字母就是e，所以，他很自然地选了这个符号，代表自然对数的底数；另一说法为e是“指数”一词英文的第一个字母，虽然你或许会怀疑瑞士人欧拉的母语不是英文，可事实上法文、德文的“指数”都是它。究竟e的来历是什么？至今仍然是个谜。

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