面面垂直的向量方法：证明这两个平面的法向量是______；面面垂直的判定定理：文字语言：______，符号语言

1.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。2.如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。3.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。4.如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。"/>

面面垂直判定定理是初中时期学习几何学的一项基础定理，也称为“垂线定理”。它表明，如果两条直线相交，且其中一条直线上有一条垂线与另一条直线相交，那么这两条直线就互相垂直。这个定理在解决几何问题的过程中非常常用，它可以帮助我们确定各种角度和方向之间的关系。下面我会对相关扩展内容和解释进行更详细的阐述。1. 垂线的性质除了表明两条直线相互垂直之外，垂线还具有其他特殊的性质。例如，一条直线与一个平面垂直，如果该直线上有一个定点，则该定点到平面的距离是该点到直线的距离中最短的。这个性质在解决三角形问题时经常被用到。2. 垂线的作用垂线可以帮助我们计算出某些图形的大小或位置关系。例如，在解决三角形问题时，如果能够找到三角形某个角的垂线，那么就可以利用面面垂直判定定理求出该角的大小。此外，在测量直线之间的距离时，垂线也能起到重要的作用。3. 垂线的应用垂线不仅在几何学中有广泛的应用，而且还涉及到许多其他领域。例如，在物理学中，垂线可以帮助我们计算出物体所受的重力以及各种角度和方向之间的关系；在工程学中，垂线也经常被用来测量和定位建筑、道路和其他结构物等等。总之，面面垂直判定定理是初中阶段学习几何学的一项基础知识，具有广泛的应用价值。掌握这个定理对于理解几何学的其他概念和解决实际问题非常有帮助。

以二面交线上任意一点为垂足向二面各引一条与交线垂直的直线,如果两直垂直则二面也垂直

平面β内的一条直线b垂直与平面α的话，平面β和平面α必然垂直。不可能不垂直。但是如果直线b只是垂直于平面α中的一条线（如垂直于平面β和平面α的交线），那么直线b不一定垂直于平面α中，那么平面β也就不一定是垂直于平面α了。

定义：若两个平面的二面角为直二面角,则面面垂直 判定定理：一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直 性质定理： 1.若两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 2.若两个平面垂直,则过第一个平面内任意一点,向另一平面作这条垂线必在第一个平面内 3.若两个平面垂直,则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直

面面垂直:有一线垂直于一个平面,而这个直线属于一个平面 面面平行：两组相交直线,两两平行,且因为相交直线确定以个平面. 线面垂直：一直线垂直于面内两个相交直线. 线面平行：一直线平行于平面内一组平行线. 就这么多了.

1、任选两个面中的一个，在其中做一条直线垂直于两面相交的直线。因为是同一个面内，所以一定能做出来。然后，因为线线垂直，相交线也在另一个面内，做的线在另一面外，所以线面垂直。 2、定理：直线与平面垂直的判定定理(线面垂直定理):一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 3、如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。 4、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。 5、线面垂直：一条直线与平面内两条相交直线垂直。 6、线线垂直：一条直线垂直于另一条直线所在的平面。 7、面面垂直：一条直线垂直于一个平面，则过该直线的平面垂直于那个平面。

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线面垂直判定定理证明如下：1、利用定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。2、利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。3、利用面面垂直的性质：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，则这条直线与另一个平面垂直。4、空间向量法：即证明直线的向量与平面的法向量平行，就可以说明该直线与平面垂直。扩展资料：空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。（该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上，在空间几何上也成立。）过空间内一点（无论是否在已知平面上），有且只有一条直线与平面垂直。下面就讨论如何作出这条唯一的直线。任选两个面中的一个，在其中做一条直线垂直于两面相交的直线。因为是同一个面内，所以一定能做出来。然后，因为线线垂直，相交线也在另一个面内，做的线在另一面外，所以线面垂直。直线与平面垂直的判定定理(线面垂直定理):一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

面面垂直性质定理：1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。2、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。4、如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。判定定理：直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

用字母表示直线和平面把,简单点.A=直线,B=平面 线线平行：A1平行于A2；线线垂直：A1垂直于A2 线面平行：A平行于B内的一条直线,且A不在B内；线面垂直：A垂直于B内的两条相交直线； 面面平行：B1内的两条相交直线平行于B2；面面垂直：一直线垂直于B1,且这条直线在B2内

线线垂直：（1）线面垂直的性质：直线垂直平面，则直线与平面内的所有直线垂直线面垂直（1）线面垂直的判定：如果直线与平面内的两条相交直线垂直，就和平面垂直（2）面面平行的性质：如果两个平面平行，一条直线和一个平面垂直，也和另一个平面垂直（3）面面垂直的性质；如果两个平面垂直，在一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面面面垂直（1）定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直（2）面面垂直的判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，就和这个平面垂直

定义：若两个平面的二面角为直二面角,则面面垂直 判定定理：一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直 性质定理： 1.若两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 2.若两个平面垂直,则过第一个平面内任意一点,向另一平面作这条垂线必在第一个平面内 3.若两个平面垂直,则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直

线线平行→线面平行 ：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。线面平行→线线平行 ：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。线面平行→面面平行 ：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。面面平行→线线平行：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。线线垂直→线面垂直 ：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。线面垂直→线线平行 ：如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。线面垂直→面面垂直 ：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。扩展资料：如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行。（可理解为法向量平行的平面平行）证明：由线面垂直的性质可知两条平行线与两个平面都垂直，运用定理1可知面面平行。定理1及其推论是向量法证明面面平行的基础，如果两个平面的法向量平行或相等，那么这两个平面平行。两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面。（判定定理1的逆定理）已知：α∥β，l⊥α。求证：l⊥β证明：先证明l与β有交点。若l∥β∵l⊥α∴α⊥β（面面垂直的判定），与α∥β矛盾，因此l与β一定有交点。设l∩α=A，l∩β=B在α内，过A任意作一条直线a，那么a∩l=A因此a与l确定一个平面。明显，由于l与β是相交的，因此这个被a和l确定的平面也与β是相交的。设与β的交线为b，由定理2可知a∥b∵l⊥α，au2282α∴l⊥a∴l⊥b再经过A在α内任意作与a不重合的直线c，过l和c的平面与β相交于d，则同理可证l⊥d明显b和d是相交的，这是因为假设b∥d，由于a∥b，c∥d，可推出a∥c，但a和c都是经过点A作出来的，这样就产生了矛盾∵l与β内相交直线b、d都垂直∴l⊥β经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。已知：P是平面α外一点求证：过P有且只有一个平面β∥α证明：先证明存在性。在α内任意作两条相交直线a、b，过P分别作a"∥a，b‘∥b，则a"和b‘确定一个平面β。由判定定理3可知β∥α再证明唯一性。假设过P有两个平面β1、β2都与α平行，则过P作l⊥α，根据性质定理3，l⊥β1且l⊥β2。再根据判定定理1，β1∥β2，这就和β1和β2同时经过点P矛盾。两个以上的情况证明类似，所以过P有且只有一个平面β∥α。参考资料：百度百科——面面平行

用字母表示直线和平面把，简单点。A=直线，B=平面线线平行：A1平行于A2；线线垂直：A1垂直于A2线面平行：A平行于B内的一条直线，且A不在B内；线面垂直：A垂直于B内的两条相交直线；面面平行：B1内的两条相交直线平行于B2；面面垂直：一直线垂直于B1，且这条直线在B2内

证明面面垂直的基本方法有：（1）利用定义证明，即利用两平面相交成直二面角来证明；（2）利用面面垂直的判定定理证明，即若a⊥ ，a ，则 ⊥ 在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直

1：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。 　4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

判定定理：一个面如果过另外一个面的垂线,那么这两个面相互垂直.即一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直. 面面垂直的性质定理 在一个面中做一条垂直于两面交线的直线,则这条直线垂直于另一个面.

一、线线平行1、同位角相等两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：2、内错角相等两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：3、同旁内角互补两直线平行。二、线面平行1、利用定义：证明直线与平面无公共点；2、利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；3、利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。三、面面平行1、如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。2、如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。3、如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。扩展资料：平行平面间的距离处处相等。已知：α∥β，AB⊥α，DC⊥α，且A、D∈α，B、C∈β求证：AB=CD证明：连接AD、BC由线面垂直的性质定理可知AB∥CD，那么AB和CD构成了平面ABCD∵平面ABCD∩α=AD，平面ABCD∩β=BC，且α∥β∴AD∥BC（定理2）∴四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD参考资料来源：百度百科-面面平行参考资料来源：百度百科-线面平行参考资料来源：百度百科-平行线的判定

一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直（可理解为法向量垂直的平面互相垂直）。1.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 2.如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。 3.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。 推论：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。 4.如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理） 推论：如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）

定义：若两个平面的二面角为直二面角，则面面垂直判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直性质定理：性质1：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。性质2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。性质3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。性质4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。这个东西你没事的时候多做做题，无聊的时候看这墙角好好想想，回顾一下。

平面与平面垂直的判定：先证线面垂直，如果一直线和平面内两相交直线垂直，那么直线垂直于这个平面；再证面面垂直，如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。两平面垂直，两平面间的一种位置关系。两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。平面与平面垂直的判定方法：1、定义法：如果两个平面所成的二面角为90°，那么这两个平面垂。2、判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。3、如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。4、如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面那么其余平面均垂直这个平面。5、设两平面的方程分别为A1 x+B1y+C1z+D1=0，A2x+B2y+C2z+D2=0，则A1A2+B1B2+C1C2=0，为两平面垂直的充要条件。

线面垂直，根据定理以及推论可以得出来：直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。你从定理入手，找到对应的条件就可以判定出来了

几何与向量都有： 线面垂直：证线与面上一条线垂直. 线面平行：证线与面上一条线平行,但不在面内. 面面垂直：证两面的发向量垂直.（需要建系,下同） 面面平行：证两面的法向两共线.

线线平行→线面平行 ：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。线面平行→线线平行 ：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。线面平行→面面平行 ：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。面面平行→线线平行：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。线线垂直→线面垂直 ：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。线面垂直→线线平行 ：如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。线面垂直→面面垂直 ：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。扩展资料：如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行。（可理解为法向量平行的平面平行）证明：由线面垂直的性质可知两条平行线与两个平面都垂直，运用定理1可知面面平行。定理1及其推论是向量法证明面面平行的基础，如果两个平面的法向量平行或相等，那么这两个平面平行。两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面。（判定定理1的逆定理）已知：α∥β，l⊥α。求证：l⊥β证明：先证明l与β有交点。若l∥β∵l⊥α∴α⊥β（面面垂直的判定），与α∥β矛盾，因此l与β一定有交点。设l∩α=A，l∩β=B在α内，过A任意作一条直线a，那么a∩l=A因此a与l确定一个平面。明显，由于l与β是相交的，因此这个被a和l确定的平面也与β是相交的。设与β的交线为b，由定理2可知a∥b∵l⊥α，au2282α∴l⊥a∴l⊥b再经过A在α内任意作与a不重合的直线c，过l和c的平面与β相交于d，则同理可证l⊥d明显b和d是相交的，这是因为假设b∥d，由于a∥b，c∥d，可推出a∥c，但a和c都是经过点A作出来的，这样就产生了矛盾∵l与β内相交直线b、d都垂直∴l⊥β经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。已知：P是平面α外一点求证：过P有且只有一个平面β∥α证明：先证明存在性。在α内任意作两条相交直线a、b，过P分别作a"∥a，b‘∥b，则a"和b‘确定一个平面β。由判定定理3可知β∥α再证明唯一性。假设过P有两个平面β1、β2都与α平行，则过P作l⊥α，根据性质定理3，l⊥β1且l⊥β2。再根据判定定理1，β1∥β2，这就和β1和β2同时经过点P矛盾。两个以上的情况证明类似，所以过P有且只有一个平面β∥α。参考资料：百度百科——面面平行

平面与平面垂直的判定如下：1、证明二面角是90度；2、证明平面中的一条直线垂直于另一平面，则两平面垂直。如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直面面垂直）。证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题的论证中要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直。故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法，线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质;证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利用空间向量。直线和平面垂直空间直线和平面的一种位置关系。如果一条直线垂直于一个平面内的任何两条相交直线，则称这条直线和这个平面互相垂直。直线称为平面的垂线，平面称为直线的垂面。直线和平面的交点称为垂足。

平面垂直平面的判定定理如下：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。面面垂直判定定理推论：推论1：如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。推论2：如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。面面垂直定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直。面面垂直性质定理：定理1：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。定理2：如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。推论：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。定理4：如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）推论：如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）。面面垂直：面面垂直定理是数学中经典的几何定理之一，它是欧氏几何中的基本定理之一，也是应用广泛的几何定理之一。面面垂直定理是初中数学中比较基础的定理，但是它在实际生活中的应用却非常广泛。例如，在建筑工程中，设计师需要保证墙面、地面、天花板等构件之间的垂直关系，以确保建筑物的稳定性和美观性。此外，在计算机图形学中，面面垂直定理也被广泛应用于三维建模和渲染中，以保证图形的真实性和视觉效果。面面垂直定理是数学中非常重要的一条几何定理，它在实际生活中的应用非常广泛。通过学习和理解这个定理，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题，提高自己的数学素养和实践能力。

课本就有啊~线线平行两平行平面被另一平面所截所截的这两条直线平行一条直线垂直与一个平面它和平面内的任一条直线垂直线面一直线和平面中的任一条直线平行就和此平面平行一条直线与平面内的两条相交直线都垂直旧和该平面垂直面面两平面内两条相交直线互相平行两平面就平行平面内一条直线与另一平面垂直两平面就垂直

已知：平面α⊥β，α∩β＝l，m∈α且m⊥l求证：l⊥β证明：令m∩l=A,过点A在平面β内作直线n⊥l∵m⊥l，n⊥l，α⊥β∴由两平面垂直的定义，有m⊥n又m⊥l，n，l∈β∴由线面垂直的判定定理，l⊥β

一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直

平面垂直的判定定理和性质如下:平面垂直的判定定理:一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。推论1:如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。推论2:如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。（可理解为法向量垂直的平面互相垂直）面面垂直性质定理1:如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。定理2:如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。定理3:如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。推论:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。定理4:如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）推论:如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）

由线线平行得到线面平行， 再由该面的直线与另一直线的交线也平行，即面面平行。

关于高三数学基础知识汇总 高三数学基础知识汇总： 第一部分集合 (1)含n个元素的集合的子集数为2^n,真子集数为2^n-1;非空真子集的数为2^n-2; (2)注意：讨论的时候不要遗忘了的情况。 (3) 第二部分函数与导数 1.映射：注意①第一个集合中的元素必须有象;②一对一，或多对一。 2.函数值域的求法：①分析法;②配方法;③判别式法;④利用函数单调性; ⑤换元法;⑥利用均值不等式;⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(、、等);⑨导数法 3.复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法： ①若f(x)的定义域为〔a，b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。 (2)复合函数单调性的判定： ①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数; ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性; ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意：外函数的定义域是内函数的值域。 4.分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5.函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件; ⑵是奇函数; ⑶是偶函数; ⑷奇函数在原点有定义，则; ⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性; (6)若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性; 6.函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①在区间上是增函数当时有; ②在区间上是减函数当时有; ⑵单调性的判定 1定义法： 注意：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号; ②导数法(见导数部分); ③复合函数法(见2(2)); ④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7.函数的周期性 (1)周期性的定义： 对定义域内的任意，若有(其中为非零常数)，则称函数为周期函数，为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 (2)三角函数的周期 ①;②;③; ④;⑤; ⑶函数周期的判定 ①定义法(试值)②图像法③公式法(利用(2)中结论) ⑷与周期有关的结论 ①或的周期为; ②的图象关于点中心对称周期为2; ③的图象关于直线轴对称周期为2; ④的图象关于点中心对称，直线轴对称周期为4; 8.基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数：(;⑵指数函数：; ⑶对数函数:;⑷正弦函数:; ⑸余弦函数：;(6)正切函数：;⑺一元二次函数：; ⑻其它常用函数： 1正比例函数：;②反比例函数：;特别的 2函数; 9.二次函数： ⑴解析式： ①一般式：;②顶点式：，为顶点; ③零点式：。 ⑵二次函数问题解决需考虑的因素： ①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。 ⑶二次函数问题解决方法：①数形结合;②分类讨论。 10.函数图象： ⑴图象作法：①描点法(特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法 ⑵图象变换： 1平移变换：ⅰ，2———“正左负右” ⅱ———“正上负下”; 3伸缩变换： ⅰ，(———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍; ⅱ，(———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍; 4对称变换：ⅰ;ⅱ; ⅲ;ⅳ; 5翻转变换： ⅰ———右不动，右向左翻(在左侧图象去掉); ⅱ———上不动，下向上翻(||在下面无图象); 11.函数图象(曲线)对称性的证明 (1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (2)证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在的图象上，反之亦然; 注： ①曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0; ②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2a-x,y)=0; ③曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0); ④f(a+x)=f(b-x)(x∈R)y=f(x)图像关于直线x=对称; 特别地：f(a+x)=f(a-x)(x∈R)y=f(x)图像关于直线x=a对称; ⑤函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称; 12.函数零点的求法： ⑴直接法(求的根);⑵图象法;⑶二分法. 13.导数 ⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作; ⑵常见函数的导数公式:①;②;③; ④;⑤;⑥;⑦; ⑧。 ⑶导数的"四则运算法则： ⑷(理科)复合函数的导数： ⑸导数的应用： ①利用导数求切线：注意：ⅰ所给点是切点吗?ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线? ②利用导数判断函数单调性： ⅰ是增函数;ⅱ为减函数; ⅲ为常数; ③利用导数求极值：ⅰ求导数;ⅱ求方程的根;ⅲ列表得极值。 ④利用导数最大值与最小值：ⅰ求的极值;ⅱ求区间端点值(如果有);ⅲ得最值。 14.(理科)定积分 ⑴定积分的定义： ⑵定积分的性质：①(常数); ②; ③(其中。 ⑶微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式)： ⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积：; 3求变速直线运动的路程：;③求变力做功：。 第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形 1.⑴角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度 ⑵弧长公式：;扇形面积公式：。 2.三角函数定义：角中边上任意一点为，设则： 3.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦; 4.诱导公式记忆规律：“函数名不(改)变，符号看象限”; 5.⑴对称轴：;对称中心：; ⑵对称轴：;对称中心：; 6.同角三角函数的基本关系：; 7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：① ②③。 8.二倍角公式：①; ②;③。 9.正、余弦定理： ⑴正弦定理：(是外接圆直径) 注：①;②;③。 ⑵余弦定理：等三个;注：等三个。 10。几个公式: ⑴三角形面积公式：; ⑵内切圆半径r=;外接圆直径2R= 11.已知时三角形解的个数的判定： 第四部分立体几何 1.三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为。 2.表(侧)面积与体积公式： ⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底;②侧面积：S侧=;③体积：V=S底h ⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底;②侧面积：S侧=;③体积：V=S底h： ⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底;②侧面积：S侧=;③体积：V=(S+)h; ⑷球体：①表面积：S=;②体积：V=。 3.位置关系的证明(主要方法)： ⑴直线与直线平行：①公理4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。 ⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理;②面面平行线面平行。 ⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。 ⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。 ⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。 注：理科还可用向量法。 4.求角：(步骤-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角) ⑴异面直线所成角的求法： 1平移法：平移直线，2构造三角形; 3②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，4发现两条异面直线间的关系。 注：理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。 ⑵直线与平面所成的角： ①直接法(利用线面角定义);②先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin。 注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。 ⑶二面角的求法： ①定义法：在二面角的棱上取一点(特殊点)，作出平面角，再求解; ②三垂线法：由一个半面内一点作(或找)到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解; ③射影法：利用面积射影公式：,其中为平面角的大小; 注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法; 理科还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角。 5.求距离：(步骤-------Ⅰ。找或作垂线段;Ⅱ。求距离) ⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算; ⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解; ⑶点到平面的距离： ①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段(确定已知面的垂面是关键)，再求解; 5等体积法; 理科还可用向量法：。 ⑷球面距离：(步骤) (Ⅰ)求线段AB的长;(Ⅱ)求球心角∠AOB的弧度数;(Ⅲ)求劣弧AB的长。 6.结论： ⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上; ⑵立平斜公式(最小角定理公式)： ⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则S侧cos=S底; ⑷长方体的性质 ①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则：cos2+cos2+cos2=1;sin2+sin2+sin2=2。 ②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2;sin2+sin2+sin2=1。 ⑸正四面体的性质：设棱长为，则正四面体的： 1高：;②对棱间距离：;③相邻两面所成角余弦值：;④内切2球半径：;外接球半径：; 第五部分直线与圆 1.直线方程 ⑴点斜式：;⑵斜截式：;⑶截距式：; ⑷两点式：;⑸一般式：，(A，B不全为0)。 (直线的方向向量：(，法向量( 2.求解线性规划问题的步骤是： (1)列约束条件;(2)作可行域，写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。 3.两条直线的位置关系： 4.直线系 5.几个公式 ⑴设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，⊿ABC的重心G：(); ⑵点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离：; ⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是; 6.圆的方程： ⑴标准方程：①;②。 ⑵一般方程：( 注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0; 7.圆的方程的求法：⑴待定系数法;⑵几何法;⑶圆系法。 8.圆系： ⑴; 注：当时表示两圆交线。 ⑵。 9.点、直线与圆的位置关系：(主要掌握几何法) ⑴点与圆的位置关系：(表示点到圆心的距离) ①点在圆上;②点在圆内;③点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系：(表示圆心到直线的距离) ①相切;②相交;③相离。 ⑶圆与圆的位置关系：(表示圆心距，表示两圆半径，且) ①相离;②外切;③相交; ④内切;⑤内含。 10.与圆有关的结论： ⑴过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2; 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2; ⑵以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。 第六部分圆锥曲线 1.定义：⑴椭圆：; ⑵双曲线：;⑶抛物线：略 2.结论 ⑴焦半径：①椭圆：(e为离心率);(左“+”右“-”); ②抛物线： ⑵弦长公式： ; 注：(Ⅰ)焦点弦长：①椭圆：;②抛物线：=x1+x2+p=;(Ⅱ)通径(最短弦)：①椭圆、双曲线：;②抛物线：2p。 ⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：(同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线); ⑷椭圆中的结论： ①内接矩形最大面积：2ab; ②P，Q为椭圆上任意两点，且OP0Q，则; ③椭圆焦点三角形：<Ⅰ>.，();<Ⅱ>.点是内心，交于点，则; ④当点与椭圆短轴顶点重合时最大; ⑸双曲线中的结论： ①双曲线(a>0,b>0)的渐近线：; ②共渐进线的双曲线标准方程为为参数，≠0); ③双曲线焦点三角形：<Ⅰ>.，();<Ⅱ>.P是双曲线- =1(a>0，b>0)的左(右)支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为; ④双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直; (6)抛物线中的结论： ①抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB性质：<Ⅰ>.x1x2=;y1y2=-p2; <Ⅱ>.;<Ⅲ>.以AB为直径的圆与准线相切;<Ⅳ>.以AF(或BF)为直径的圆与轴相切;<Ⅴ>. 。 ②抛物线y2=2px(p>0)内结直角三角形OAB的性质： <Ⅰ>.;<Ⅱ>.恒过定点; <Ⅲ>.中点轨迹方程：;<Ⅳ>.，则轨迹方程为：;<Ⅴ>.。 ③抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点，则： <Ⅰ>.当时，顶点到点A距离最小，最小值为;<Ⅱ>.当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小，最小值为 。 3.直线与圆锥曲线问题解法： ⑴直接法(通法)：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。 注意以下问题： ①联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程? ②直线斜率不存在时考虑了吗? ③判别式验证了吗? ⑵设而不求(代点相减法)：--------处理弦中点问题 步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2);②作差得;③解决问题。 4.求轨迹的常用方法：(1)定义法：利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式);(3)代入法(相关点法或转移法);⑷待定系数法;(5)参数法;(6)交轨法。 第七部分平面向量 ⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则：①a‖b(b≠0)a=b(x1y2-x2y1=0; ②a⊥b(a、b≠0)au2022b=0x1x2+y1y2=0. ⑵au2022b=|a||b|cos=x2+y1y2; 注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影;|b|cos叫做b在a方向上的投影; 6au2022b的几何意义：au2022b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。 ⑶cos=; ⑷三点共线的充要条件：P，A，B三点共线; 附：(理科)P，A，B，C四点共面。 第八部分数列 1.定义： ⑴等差数列; ⑵等比数列 ; 2.等差、等比数列性质 等差数列等比数列 通项公式 前n项和 性质①an=am+(n-m)d,①an=amqn-m; ②m+n=p+q时am+an=ap+aq②m+n=p+q时aman=apaq ③成AP③成GP ④成AP,④成GP, 等差数列特有性质： 1项数为2n时：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n);;; 2项数为2n-1时：S2n-1=(2n-1);;; 3若;若; 若。 3.数列通项的求法： ⑴分析法;⑵定义法(利用AP,GP的定义);⑶公式法：累加法(; ⑷叠乘法(型);⑸构造法(型);(6)迭代法; ⑺间接法(例如：);⑻作商法(型);⑼待定系数法;⑽(理科)数学归纳法。 注：当遇到时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。 4.前项和的求法： ⑴拆、并、裂项法;⑵倒序相加法;⑶错位相减法。 5.等差数列前n项和最值的求法： ⑴;⑵利用二次函数的图象与性质。 第九部分不等式 1.均值不等式： 注意：①一正二定三相等;②变形，。 2.绝对值不等式： 3.不等式的性质： ⑴;⑵;⑶; ;⑷;; ;⑸;(6) 。 4.不等式等证明(主要)方法： ⑴比较法：作差或作比;⑵综合法;⑶分析法。 第十部分复数 1.概念： ⑴z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=z2≥0; ⑵z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R); ⑶z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z+=0(z≠0)z2<0; ⑷a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R); 2.复数的代数形式及其运算：设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则： (1)z1±z2=(a+b)±(c+d)i;⑵z1.z2=(a+bi)u2022(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;⑶z1÷z2=(z2≠0); 3.几个重要的结论： ;⑶;⑷ ⑸性质：T=4;; (6)以3为周期，且;=0; (7)。 4.运算律：(1) 5.共轭的性质：⑴;⑵;⑶;⑷。 6.模的性质：⑴;⑵;⑶;⑷; 第十一部分概率 1.事件的关系： ⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作; ⑵事件A与事件B相等：若，则事件A与B相等，记作A=B; ⑶并(和)事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作(或); ⑷并(积)事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作(或); ⑸事件A与事件B互斥：若为不可能事件()，则事件A与互斥; (6)对立事件：为不可能事件，为必然事件，则A与B互为对立事件。 2.概率公式： ⑴互斥事件(有一个发生)概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B); ⑵古典概型：; ⑶几何概型：; 第十二部分统计与统计案例 1.抽样方法 ⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。 注：①每个个体被抽到的概率为; ②常用的简单随机抽样方法有：抽签法;随机数法。 ⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的 规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。 注：步骤：①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号; ④按预先制定的规则抽取样本。 ⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。 注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 2.总体特征数的估计： ⑴样本平均数; ⑵样本方差; ⑶样本标准差=; 3.相关系数(判定两个变量线性相关性)： 注：⑴>0时，变量正相关;<0时，变量负相关; ⑵①越接近于1，两个变量的线性相关性越强;②接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 4.回归分析中回归效果的判定： ⑴总偏差平方和：⑵残差：;⑶残差平方和：;⑷回归平方和：-;⑸相关指数。 注：①得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好; ②越接近于1，，则回归效果越好。 5.独立性检验(分类变量关系)： 随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。 第十四部分常用逻辑用语与推理证明 1.四种命题： ⑴原命题：若p则q;⑵逆命题：若q则p; ⑶否命题：若p则q;⑷逆否命题：若q则p 注：原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。 2.充要条件的判断： (1)定义法----正、反方向推理; (2)利用集合间的包含关系：例如：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B，则A是B的充要条件; 3.逻辑连接词： ⑴且(and)：命题形式pq;pqpqpqp ⑵或(or)：命题形式pq;真真真真假 ⑶非(not)：命题形式p.真假假真假 假真假真真 假假假假真 4.全称量词与存在量词 ⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用表示; 全称命题p：; 全称命题p的否定p：。 ⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用表示; 特称命题p：; 特称命题p的否定p：; 第十五部分推理与证明 1.推理： ⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。 ①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。 注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 ②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。 注：类比推理是特殊到特殊的推理。 ⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。 注：演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ⑴大前提---------已知的一般结论; ⑵小前提---------所研究的特殊情况; ⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。 二.证明 ⒈直接证明 ⑴综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 2.间接证明------反证法 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。 附：数学归纳法(仅限理科) 一般的证明一个与正整数有关的一个命题，可按以下步骤进行： ⑴证明当取第一个值是命题成立; ⑵假设当命题成立，证明当时命题也成立。 那么由⑴⑵就可以判定命题对从开始所有的正整数都成立。 这种证明方法叫数学归纳法。 注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行; 3的取值视题目而4定，5可能是1，6也可能是2等。 第十六部分理科选修部分 1.排列、组合和二项式定理 ⑴排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=(m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列 =n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!; ⑵组合数公式：(m≤n),; ⑶组合数性质：; ⑷二项式定理： ①通项：②注意二项式系数与系数的区别; ⑸二项式系数的性质： ①与首末两端等距离的二项式系数相等;②若n为偶数，中间一项(第+1项)二项式系数最大;若n为奇数，中间两项(第和+1项)二项式系数最大; ③ (6)求二项展开式各项系数和或奇(偶)数项系数和时，注意运用赋值法。 2.概率与统计 ⑴随机变量的分布列： ①随机变量分布列的性质：pi≥0,i=1,2,…;p1+p2+…=1; ②离散型随机变量： Xx1X2…xn… PP1P2…Pn… 期望：EX=x1p1+x2p2+…+xnpn+…; 方差：DX=; 注：; ③两点分布： X01期望：EX=p;方差：DX=p(1-p). P1-pp 4超几何分布： 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则其中，。 称分布列 X01…m P… 为超几何分布列，称X服从超几何分布。 ⑤二项分布(独立重复试验)： 若X～B(n,p),则EX=np,DX=np(1-p);注：。 ⑵条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。 注：①0P(B|A)1;②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 ⑶独立事件同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B)。 ⑷正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数(期望值)与标准差; (6)正态曲线的性质： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交;②曲线是单峰的，关于直线x=对称; ③曲线在x=处达到峰值;④曲线与x轴之间的面积为1; 5当一定时，6曲线随质的变化沿x轴平移; 7当一定时，8曲线形状由确定：越大，9曲线越“矮胖”，10表示总体分布越集中; 越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。 注：P=0.6826;P=0.9544 P=0.9974

面面垂直证明的基本方法有：定义法、判定定理 法、面面平行法。其实到大学里面就有很多的方法：假如我们要证明平面α垂直平面β传统方法主要是把证明面面垂直转化成证明线面垂直，再把证明线面垂直证明转化成线线垂直即要证平面α垂直平面β证明在平面α中有一条直线垂直平面β即可，而直线要与平面垂直，只要垂直平面中的两条相交直线即可所以就是在α平面内找一条直线垂直β内两条相交直线就行了证明直线垂直的方法大部分都是初中学过的。如果是异面直线垂直的话，可以线证明其中一条直线垂直另一条直线所在的平面，在得到线线垂直除此之外，还有向量的方法，证明两个平面的法向量互相垂直，不过用向量证明垂直有点大材小用了，而且计算比较烦，一般不会用，除非确实难，在求二面角的时候向量用的比较多.

硫酸铜和草酸直接混合，不需要反应条件，过滤后可得到高浓度硫酸化学方程式：CuSO4+C2H2O4=H2SO4+CuC2O4（）硫酸铜+草酸→硫酸+草酸铜（）

热量(heat)指的是由于温差的存在而导致的能量转化过程中所转化的能量。而该转化过程称为热交换或热传递。热量的公制为焦耳。热量Q焦耳（焦）JQ=cm(t-t°)比热c焦／（千克°C）J/(kg°C)Q放=cm(t0-t)Q吸=cm(t-t0)热量是过程量，是能量转换或传递的量度，和机械能中的功类似热能是状态量，我们一般把它称为内能或热力学能，是物体中分子势能和分子动能的宏观统称热量是过程量,也就是物体能对外传递的热的量,热能是状态量,是能的一种,物体通过被热传递或者被做工来获得热能

1、使用原料为硫铁矿，产品为硫酸。处理后的硫铁矿经沸腾焙烧炉焙烧产生炉气。2、炉气经旋风除尘器和电除尘器去除矿尘，再经冷却塔和洗涤塔液相洗涤去除微细硫酸矿尘。

12O2---8H2SO4

4．列管式热交换器作用：充分利用能量，将SO2、O2进行预热

以燃气为例：高位热值是指每标准立方米燃气完全燃烧后，其烟气被冷却至原始温度，而其中的水蒸气以凝结水状态排出时所放出的热量。低位热值是指每标准立方米燃气完全燃烧后，其烟气被冷却至原始温度，但烟气中的水蒸气仍为蒸气状态时所放出的热量。高、低热值数值之差为水蒸气的气化潜热。其他燃料也可以像这样描述，主要区别就是水的状态。

11O2+4FeS2=（高温）2Fe2O2+8SO2 造气（产生SO2)2SO2+O2=（催化剂加热）2SO3 催化氧化SO3+H2O=H2SO4 H2SO4的生成

甲醇热值约4800大卡，乙醇热值约6530大卡，汽油热值约10490大卡。1、甲醇甲醇（Methanol，dried,CH4O）系结构最为简单的饱和一元醇，CAS号有67-56-1、170082-17-4，分子量32.04，沸点64.7℃。又称“木醇”或“木精”。是无色有酒精气味易挥发的液体。人口服中毒最低剂量约为100mg/kg体重，经口摄入0.3～1g/kg可致死。用于制造甲醛和农药等，并用作有机物的萃取剂和酒精的变性剂等。通常由一氧化碳与氢气反应制得。2、柴油柴油是轻质石油产品，复杂烃类(碳原子数约10~22)混合物。为柴油机燃料。主要由原油蒸馏、催化裂化、热裂化、加氢裂化、石油焦化等过程生产的柴油馏分调配而成;也可由页岩油加工和煤液化制取。分为轻柴油(沸点范围约180~370℃)和重柴油(沸点范围约350~410℃)两大类。广泛用于大型车辆、铁路机车、船舰。柴油最重要用途是用于车辆、船舶的柴油发动机。与汽油相比，柴油能量密度高，燃油消耗率低，但废气中含有害成分(NO，颗粒物等)较多。3、汽油汽油的英文名为Gasoline（美）/Petrol（英），外观为透明液体，可燃，馏程为30℃至220℃，主要成分为C5～C12脂肪烃和环烷烃类，以及一定量芳香烃，汽油具有较高的辛烷值（抗爆震燃烧性能），并按辛烷值的高低分为90号、93号、95号、97号等牌号。汽油由石油炼制得到的直馏汽油组分、催化裂化汽油组分、催化重整汽油组分等不同汽油组分经精制后与高辛烷值组分经调和制得，主要用作汽车点燃式内燃机的燃料。

工业上制造硫酸有两种方法:一种叫做接触法,一种叫做铅室法。接触法原理是由于二氧化硫和氧气是在催化剂的表面接触时起反应转化成三氧化硫，进而制得硫酸，一般的主要原料是硫铁矿。接触法制造硫酸的主要过程有：1、造气阶段（二氧化硫的制造），反应装置为沸腾炉，硫铁矿在沸腾炉里燃烧时，就有二氧化硫气体生,反应的化学方程式是：4FeS2+11O2=2Fe2O3+8SO22、接触氧化阶段，反应装置为接触室，二氧化硫催化氧化成三氧化硫，反应的化学方程式是：2S02+O2=(钒催化剂)500度=2S033、三氧化硫的吸收阶段，反应装置为吸收塔，化学式为：SO3+H2O=H2SO4

29271KJ/Kg

工业制法生产硫酸的原料有硫黄、硫铁矿、有色金属冶炼烟气、石膏、硫化氢、二氧化硫和废硫酸等。硫黄、硫铁矿和冶炼烟气是三种主要原料。硫酸广泛用于各个工业部门，主要有化肥工业、冶金工业、石油工业、机械工业、医药工业、洗涤剂的生产、军事工业、原子能工业和航天工业等。硫酸还用于生产染料、农药、化学纤维、塑料、涂料，以及各种基本有机和无机化工产品。扩展资料：1、制取二氧化硫（沸腾炉）燃烧硫或高温处理黄铁矿，制取二氧化硫S+Ou2082=点燃=SOu20824FeSu2082+11Ou2082=高温=8SOu2082+2Feu2082Ou20832、接触氧化为三氧化硫（接触室）2SOu2082+Ou2082=五氧化二钒催化并加热=2SOu2083（可逆反应）3、用98.3%硫酸吸收SOu2083+Hu2082SOu2084=Hu2082Su2082Ou2087（焦硫酸）4、加水Hu2082Su2082Ou2087+Hu2082O=2Hu2082SO45.提纯可将工业浓硫酸进行蒸馏，便可得到浓度95%－98%的商品硫酸。参考资料：百度百科-硫酸工业

一般流程为：沸腾焙烧炉-废热锅炉-静电除尘器-旋风除尘器-增湿塔-填料塔-静电除雾器-转化器-干吸塔。原理：FeS2+O2=Fe2O3+SO2，二氧化硫烟气经过除尘、除雾、降温-升温后进入转化器内在催化剂的作用下转化为三氧化硫，三氧化硫气体进入吸收塔与98%浓硫酸接触生产硫酸。

4FeS2+11O2=2Fe2O3+8SO22SO2+O2=2SO3SO3+H2O=H2SO4

百度知道怎么制作浓硫酸...展开查看全部5个回答宫衾shmilyTA获得超过7930个赞关注成为第314位粉丝浓硫酸制作方法：硫酸的原料：硫黄、硫铁矿、有色金属冶炼烟气、石膏、硫化氢、二氧化硫和废硫酸等。硫黄、硫铁矿和冶炼烟气是三种主要原料。1、通过干馏硫酸亚铁晶体得到硫酸；2、将硫与硝酸钾混合蒸汽加热制出硫酸，在这过程中，硝酸钾分解并氧化硫，令其成为能与水混合并变为硫酸的三氧化硫（SO3)；3、干馏石胆（胆矾）而获得硫酸；4、黄铁矿（FeS2）被燃烧成硫酸亚铁（FeSO4），然后再被燃烧，变为能在480 °C下分解成氧化铁以及能用以制造任何浓度硫酸的三氧化硫的硫酸铁（Fe2(SO4)3）。扩展资料：硫酸具有极高的腐蚀性，特别是高浓度硫酸。高浓度的硫酸不光为强酸性，也具有强烈去水及氧化性质：除了会和肉体里的蛋白质及脂肪发生水解反应并造成严重化学性烧伤之外，它还会与碳水化合物发生高放热性去水反应并将其碳化，造成二级火焰性灼伤，对眼睛及皮肉造成极大伤害。 [3-4]健康危害： 对皮肤、粘膜等组织有强烈的刺激和腐蚀作用。蒸气或雾可引起结膜炎、结膜水肿、角膜混浊，以致失明；引起呼吸道刺激，重者发生呼吸困难和肺水肿；高浓度引起喉痉挛或声门水肿而窒息死亡。口服后引起消化道烧伤以致溃疡形成；严重者可能有胃穿孔、腹膜炎、肾损害、休克等。皮肤灼伤轻者出现红斑、重者形成溃疡，愈后癍痕收缩影响功能。溅入眼内可造成灼伤，甚至角膜穿孔、全眼炎以至失明。慢性影响：牙齿酸蚀症、慢性支气管炎、肺气肿和肺硬化。环境危害： 对环境有危害，对水体和土壤可造成污染。燃爆危险： 本品助燃，具强腐蚀性、强刺激性，可致人体灼伤及皮肉碳化。

你说的天然气是纯CO么？

4FeS2+11O2==点燃==2Fe2O3+8SO22SO2+O2==催化剂加热==2SO3SO3+H2O==H2SO4