面面垂直判定定理

1.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。2.如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。3.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。4.如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。"/>

以二面交线上任意一点为垂足向二面各引一条与交线垂直的直线,如果两直垂直则二面也垂直

平面β内的一条直线b垂直与平面α的话，平面β和平面α必然垂直。不可能不垂直。但是如果直线b只是垂直于平面α中的一条线（如垂直于平面β和平面α的交线），那么直线b不一定垂直于平面α中，那么平面β也就不一定是垂直于平面α了。

定义：若两个平面的二面角为直二面角,则面面垂直 判定定理：一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直 性质定理： 1.若两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 2.若两个平面垂直,则过第一个平面内任意一点,向另一平面作这条垂线必在第一个平面内 3.若两个平面垂直,则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直

面面垂直:有一线垂直于一个平面,而这个直线属于一个平面 面面平行：两组相交直线,两两平行,且因为相交直线确定以个平面. 线面垂直：一直线垂直于面内两个相交直线. 线面平行：一直线平行于平面内一组平行线. 就这么多了.

1、任选两个面中的一个，在其中做一条直线垂直于两面相交的直线。因为是同一个面内，所以一定能做出来。然后，因为线线垂直，相交线也在另一个面内，做的线在另一面外，所以线面垂直。 2、定理：直线与平面垂直的判定定理(线面垂直定理):一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 3、如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。 4、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。 5、线面垂直：一条直线与平面内两条相交直线垂直。 6、线线垂直：一条直线垂直于另一条直线所在的平面。 7、面面垂直：一条直线垂直于一个平面，则过该直线的平面垂直于那个平面。

我建议你把这道题发送给数学老师，让数学老师帮你解答一下。

线面垂直判定定理证明如下：1、利用定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。2、利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。3、利用面面垂直的性质：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，则这条直线与另一个平面垂直。4、空间向量法：即证明直线的向量与平面的法向量平行，就可以说明该直线与平面垂直。扩展资料：空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。（该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上，在空间几何上也成立。）过空间内一点（无论是否在已知平面上），有且只有一条直线与平面垂直。下面就讨论如何作出这条唯一的直线。任选两个面中的一个，在其中做一条直线垂直于两面相交的直线。因为是同一个面内，所以一定能做出来。然后，因为线线垂直，相交线也在另一个面内，做的线在另一面外，所以线面垂直。直线与平面垂直的判定定理(线面垂直定理):一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

面面垂直性质定理：1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。2、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。4、如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。判定定理：直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

（1）面面垂直的向量方法是：证明这两个平面的法向量互相垂直，即法向量的数量积等于0；（2）面面垂直的判定定理中：文字语言是“一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直”，符号语言是“若l⊥β，l?α，则α⊥β”．故答案为：垂直的；一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直；若l⊥β，l?α，则α⊥β．

用字母表示直线和平面把,简单点.A=直线,B=平面 线线平行：A1平行于A2；线线垂直：A1垂直于A2 线面平行：A平行于B内的一条直线,且A不在B内；线面垂直：A垂直于B内的两条相交直线； 面面平行：B1内的两条相交直线平行于B2；面面垂直：一直线垂直于B1,且这条直线在B2内

线线垂直：（1）线面垂直的性质：直线垂直平面，则直线与平面内的所有直线垂直线面垂直（1）线面垂直的判定：如果直线与平面内的两条相交直线垂直，就和平面垂直（2）面面平行的性质：如果两个平面平行，一条直线和一个平面垂直，也和另一个平面垂直（3）面面垂直的性质；如果两个平面垂直，在一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面面面垂直（1）定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直（2）面面垂直的判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，就和这个平面垂直

定义：若两个平面的二面角为直二面角,则面面垂直 判定定理：一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直 性质定理： 1.若两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 2.若两个平面垂直,则过第一个平面内任意一点,向另一平面作这条垂线必在第一个平面内 3.若两个平面垂直,则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直

线线平行→线面平行 ：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。线面平行→线线平行 ：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。线面平行→面面平行 ：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。面面平行→线线平行：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。线线垂直→线面垂直 ：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。线面垂直→线线平行 ：如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。线面垂直→面面垂直 ：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。扩展资料：如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行。（可理解为法向量平行的平面平行）证明：由线面垂直的性质可知两条平行线与两个平面都垂直，运用定理1可知面面平行。定理1及其推论是向量法证明面面平行的基础，如果两个平面的法向量平行或相等，那么这两个平面平行。两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面。（判定定理1的逆定理）已知：α∥β，l⊥α。求证：l⊥β证明：先证明l与β有交点。若l∥β∵l⊥α∴α⊥β（面面垂直的判定），与α∥β矛盾，因此l与β一定有交点。设l∩α=A，l∩β=B在α内，过A任意作一条直线a，那么a∩l=A因此a与l确定一个平面。明显，由于l与β是相交的，因此这个被a和l确定的平面也与β是相交的。设与β的交线为b，由定理2可知a∥b∵l⊥α，au2282α∴l⊥a∴l⊥b再经过A在α内任意作与a不重合的直线c，过l和c的平面与β相交于d，则同理可证l⊥d明显b和d是相交的，这是因为假设b∥d，由于a∥b，c∥d，可推出a∥c，但a和c都是经过点A作出来的，这样就产生了矛盾∵l与β内相交直线b、d都垂直∴l⊥β经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。已知：P是平面α外一点求证：过P有且只有一个平面β∥α证明：先证明存在性。在α内任意作两条相交直线a、b，过P分别作a"∥a，b‘∥b，则a"和b‘确定一个平面β。由判定定理3可知β∥α再证明唯一性。假设过P有两个平面β1、β2都与α平行，则过P作l⊥α，根据性质定理3，l⊥β1且l⊥β2。再根据判定定理1，β1∥β2，这就和β1和β2同时经过点P矛盾。两个以上的情况证明类似，所以过P有且只有一个平面β∥α。参考资料：百度百科——面面平行

用字母表示直线和平面把，简单点。A=直线，B=平面线线平行：A1平行于A2；线线垂直：A1垂直于A2线面平行：A平行于B内的一条直线，且A不在B内；线面垂直：A垂直于B内的两条相交直线；面面平行：B1内的两条相交直线平行于B2；面面垂直：一直线垂直于B1，且这条直线在B2内

证明面面垂直的基本方法有：（1）利用定义证明，即利用两平面相交成直二面角来证明；（2）利用面面垂直的判定定理证明，即若a⊥ ，a ，则 ⊥ 在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直

1：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。 　4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

判定定理：一个面如果过另外一个面的垂线,那么这两个面相互垂直.即一个平面过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直. 面面垂直的性质定理 在一个面中做一条垂直于两面交线的直线,则这条直线垂直于另一个面.

一、线线平行1、同位角相等两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：2、内错角相等两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：3、同旁内角互补两直线平行。二、线面平行1、利用定义：证明直线与平面无公共点；2、利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；3、利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。三、面面平行1、如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。2、如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。3、如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。扩展资料：平行平面间的距离处处相等。已知：α∥β，AB⊥α，DC⊥α，且A、D∈α，B、C∈β求证：AB=CD证明：连接AD、BC由线面垂直的性质定理可知AB∥CD，那么AB和CD构成了平面ABCD∵平面ABCD∩α=AD，平面ABCD∩β=BC，且α∥β∴AD∥BC（定理2）∴四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD参考资料来源：百度百科-面面平行参考资料来源：百度百科-线面平行参考资料来源：百度百科-平行线的判定

一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直（可理解为法向量垂直的平面互相垂直）。1.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 2.如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。 3.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。 推论：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。 4.如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理） 推论：如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）

定义：若两个平面的二面角为直二面角，则面面垂直判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直性质定理：性质1：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。性质2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。性质3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。性质4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。这个东西你没事的时候多做做题，无聊的时候看这墙角好好想想，回顾一下。

平面与平面垂直的判定：先证线面垂直，如果一直线和平面内两相交直线垂直，那么直线垂直于这个平面；再证面面垂直，如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。两平面垂直，两平面间的一种位置关系。两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。平面与平面垂直的判定方法：1、定义法：如果两个平面所成的二面角为90°，那么这两个平面垂。2、判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。3、如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。4、如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面那么其余平面均垂直这个平面。5、设两平面的方程分别为A1 x+B1y+C1z+D1=0，A2x+B2y+C2z+D2=0，则A1A2+B1B2+C1C2=0，为两平面垂直的充要条件。

线面垂直，根据定理以及推论可以得出来：直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。你从定理入手，找到对应的条件就可以判定出来了

几何与向量都有： 线面垂直：证线与面上一条线垂直. 线面平行：证线与面上一条线平行,但不在面内. 面面垂直：证两面的发向量垂直.（需要建系,下同） 面面平行：证两面的法向两共线.

线线平行→线面平行 ：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。线面平行→线线平行 ：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。线面平行→面面平行 ：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。面面平行→线线平行：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。线线垂直→线面垂直 ：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。线面垂直→线线平行 ：如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。线面垂直→面面垂直 ：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。扩展资料：如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行。（可理解为法向量平行的平面平行）证明：由线面垂直的性质可知两条平行线与两个平面都垂直，运用定理1可知面面平行。定理1及其推论是向量法证明面面平行的基础，如果两个平面的法向量平行或相等，那么这两个平面平行。两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面。（判定定理1的逆定理）已知：α∥β，l⊥α。求证：l⊥β证明：先证明l与β有交点。若l∥β∵l⊥α∴α⊥β（面面垂直的判定），与α∥β矛盾，因此l与β一定有交点。设l∩α=A，l∩β=B在α内，过A任意作一条直线a，那么a∩l=A因此a与l确定一个平面。明显，由于l与β是相交的，因此这个被a和l确定的平面也与β是相交的。设与β的交线为b，由定理2可知a∥b∵l⊥α，au2282α∴l⊥a∴l⊥b再经过A在α内任意作与a不重合的直线c，过l和c的平面与β相交于d，则同理可证l⊥d明显b和d是相交的，这是因为假设b∥d，由于a∥b，c∥d，可推出a∥c，但a和c都是经过点A作出来的，这样就产生了矛盾∵l与β内相交直线b、d都垂直∴l⊥β经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。已知：P是平面α外一点求证：过P有且只有一个平面β∥α证明：先证明存在性。在α内任意作两条相交直线a、b，过P分别作a"∥a，b‘∥b，则a"和b‘确定一个平面β。由判定定理3可知β∥α再证明唯一性。假设过P有两个平面β1、β2都与α平行，则过P作l⊥α，根据性质定理3，l⊥β1且l⊥β2。再根据判定定理1，β1∥β2，这就和β1和β2同时经过点P矛盾。两个以上的情况证明类似，所以过P有且只有一个平面β∥α。参考资料：百度百科——面面平行

平面与平面垂直的判定如下：1、证明二面角是90度；2、证明平面中的一条直线垂直于另一平面，则两平面垂直。如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直面面垂直）。证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题的论证中要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直。故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法，线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质;证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利用空间向量。直线和平面垂直空间直线和平面的一种位置关系。如果一条直线垂直于一个平面内的任何两条相交直线，则称这条直线和这个平面互相垂直。直线称为平面的垂线，平面称为直线的垂面。直线和平面的交点称为垂足。

平面垂直平面的判定定理如下：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。面面垂直判定定理推论：推论1：如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。推论2：如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。面面垂直定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直。面面垂直性质定理：定理1：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。定理2：如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。推论：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。定理4：如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）推论：如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）。面面垂直：面面垂直定理是数学中经典的几何定理之一，它是欧氏几何中的基本定理之一，也是应用广泛的几何定理之一。面面垂直定理是初中数学中比较基础的定理，但是它在实际生活中的应用却非常广泛。例如，在建筑工程中，设计师需要保证墙面、地面、天花板等构件之间的垂直关系，以确保建筑物的稳定性和美观性。此外，在计算机图形学中，面面垂直定理也被广泛应用于三维建模和渲染中，以保证图形的真实性和视觉效果。面面垂直定理是数学中非常重要的一条几何定理，它在实际生活中的应用非常广泛。通过学习和理解这个定理，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题，提高自己的数学素养和实践能力。

课本就有啊~线线平行两平行平面被另一平面所截所截的这两条直线平行一条直线垂直与一个平面它和平面内的任一条直线垂直线面一直线和平面中的任一条直线平行就和此平面平行一条直线与平面内的两条相交直线都垂直旧和该平面垂直面面两平面内两条相交直线互相平行两平面就平行平面内一条直线与另一平面垂直两平面就垂直

已知：平面α⊥β，α∩β＝l，m∈α且m⊥l求证：l⊥β证明：令m∩l=A,过点A在平面β内作直线n⊥l∵m⊥l，n⊥l，α⊥β∴由两平面垂直的定义，有m⊥n又m⊥l，n，l∈β∴由线面垂直的判定定理，l⊥β

一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直

平面垂直的判定定理和性质如下:平面垂直的判定定理:一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。推论1:如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。推论2:如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。（可理解为法向量垂直的平面互相垂直）面面垂直性质定理1:如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。定理2:如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。定理3:如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。推论:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。定理4:如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）推论:如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）

由线线平行得到线面平行， 再由该面的直线与另一直线的交线也平行，即面面平行。

关于高三数学基础知识汇总 高三数学基础知识汇总： 第一部分集合 (1)含n个元素的集合的子集数为2^n,真子集数为2^n-1;非空真子集的数为2^n-2; (2)注意：讨论的时候不要遗忘了的情况。 (3) 第二部分函数与导数 1.映射：注意①第一个集合中的元素必须有象;②一对一，或多对一。 2.函数值域的求法：①分析法;②配方法;③判别式法;④利用函数单调性; ⑤换元法;⑥利用均值不等式;⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(、、等);⑨导数法 3.复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法： ①若f(x)的定义域为〔a，b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。 (2)复合函数单调性的判定： ①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数; ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性; ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意：外函数的定义域是内函数的值域。 4.分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5.函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件; ⑵是奇函数; ⑶是偶函数; ⑷奇函数在原点有定义，则; ⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性; (6)若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性; 6.函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①在区间上是增函数当时有; ②在区间上是减函数当时有; ⑵单调性的判定 1定义法： 注意：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号; ②导数法(见导数部分); ③复合函数法(见2(2)); ④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7.函数的周期性 (1)周期性的定义： 对定义域内的任意，若有(其中为非零常数)，则称函数为周期函数，为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 (2)三角函数的周期 ①;②;③; ④;⑤; ⑶函数周期的判定 ①定义法(试值)②图像法③公式法(利用(2)中结论) ⑷与周期有关的结论 ①或的周期为; ②的图象关于点中心对称周期为2; ③的图象关于直线轴对称周期为2; ④的图象关于点中心对称，直线轴对称周期为4; 8.基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数：(;⑵指数函数：; ⑶对数函数:;⑷正弦函数:; ⑸余弦函数：;(6)正切函数：;⑺一元二次函数：; ⑻其它常用函数： 1正比例函数：;②反比例函数：;特别的 2函数; 9.二次函数： ⑴解析式： ①一般式：;②顶点式：，为顶点; ③零点式：。 ⑵二次函数问题解决需考虑的因素： ①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。 ⑶二次函数问题解决方法：①数形结合;②分类讨论。 10.函数图象： ⑴图象作法：①描点法(特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法 ⑵图象变换： 1平移变换：ⅰ，2———“正左负右” ⅱ———“正上负下”; 3伸缩变换： ⅰ，(———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍; ⅱ，(———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍; 4对称变换：ⅰ;ⅱ; ⅲ;ⅳ; 5翻转变换： ⅰ———右不动，右向左翻(在左侧图象去掉); ⅱ———上不动，下向上翻(||在下面无图象); 11.函数图象(曲线)对称性的证明 (1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上; (2)证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在的图象上，反之亦然; 注： ①曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0; ②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2a-x,y)=0; ③曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0); ④f(a+x)=f(b-x)(x∈R)y=f(x)图像关于直线x=对称; 特别地：f(a+x)=f(a-x)(x∈R)y=f(x)图像关于直线x=a对称; ⑤函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称; 12.函数零点的求法： ⑴直接法(求的根);⑵图象法;⑶二分法. 13.导数 ⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作; ⑵常见函数的导数公式:①;②;③; ④;⑤;⑥;⑦; ⑧。 ⑶导数的"四则运算法则： ⑷(理科)复合函数的导数： ⑸导数的应用： ①利用导数求切线：注意：ⅰ所给点是切点吗?ⅱ所求的是“在”还是“过”该点的切线? ②利用导数判断函数单调性： ⅰ是增函数;ⅱ为减函数; ⅲ为常数; ③利用导数求极值：ⅰ求导数;ⅱ求方程的根;ⅲ列表得极值。 ④利用导数最大值与最小值：ⅰ求的极值;ⅱ求区间端点值(如果有);ⅲ得最值。 14.(理科)定积分 ⑴定积分的定义： ⑵定积分的性质：①(常数); ②; ③(其中。 ⑶微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式)： ⑷定积分的应用：①求曲边梯形的面积：; 3求变速直线运动的路程：;③求变力做功：。 第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形 1.⑴角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度 ⑵弧长公式：;扇形面积公式：。 2.三角函数定义：角中边上任意一点为，设则： 3.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦; 4.诱导公式记忆规律：“函数名不(改)变，符号看象限”; 5.⑴对称轴：;对称中心：; ⑵对称轴：;对称中心：; 6.同角三角函数的基本关系：; 7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：① ②③。 8.二倍角公式：①; ②;③。 9.正、余弦定理： ⑴正弦定理：(是外接圆直径) 注：①;②;③。 ⑵余弦定理：等三个;注：等三个。 10。几个公式: ⑴三角形面积公式：; ⑵内切圆半径r=;外接圆直径2R= 11.已知时三角形解的个数的判定： 第四部分立体几何 1.三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为。 2.表(侧)面积与体积公式： ⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底;②侧面积：S侧=;③体积：V=S底h ⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底;②侧面积：S侧=;③体积：V=S底h： ⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底;②侧面积：S侧=;③体积：V=(S+)h; ⑷球体：①表面积：S=;②体积：V=。 3.位置关系的证明(主要方法)： ⑴直线与直线平行：①公理4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。 ⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理;②面面平行线面平行。 ⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。 ⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。 ⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。 注：理科还可用向量法。 4.求角：(步骤-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角) ⑴异面直线所成角的求法： 1平移法：平移直线，2构造三角形; 3②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，4发现两条异面直线间的关系。 注：理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。 ⑵直线与平面所成的角： ①直接法(利用线面角定义);②先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin。 注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。 ⑶二面角的求法： ①定义法：在二面角的棱上取一点(特殊点)，作出平面角，再求解; ②三垂线法：由一个半面内一点作(或找)到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解; ③射影法：利用面积射影公式：,其中为平面角的大小; 注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法; 理科还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角。 5.求距离：(步骤-------Ⅰ。找或作垂线段;Ⅱ。求距离) ⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算; ⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解; ⑶点到平面的距离： ①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段(确定已知面的垂面是关键)，再求解; 5等体积法; 理科还可用向量法：。 ⑷球面距离：(步骤) (Ⅰ)求线段AB的长;(Ⅱ)求球心角∠AOB的弧度数;(Ⅲ)求劣弧AB的长。 6.结论： ⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上; ⑵立平斜公式(最小角定理公式)： ⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则S侧cos=S底; ⑷长方体的性质 ①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则：cos2+cos2+cos2=1;sin2+sin2+sin2=2。 ②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则有cos2+cos2+cos2=2;sin2+sin2+sin2=1。 ⑸正四面体的性质：设棱长为，则正四面体的： 1高：;②对棱间距离：;③相邻两面所成角余弦值：;④内切2球半径：;外接球半径：; 第五部分直线与圆 1.直线方程 ⑴点斜式：;⑵斜截式：;⑶截距式：; ⑷两点式：;⑸一般式：，(A，B不全为0)。 (直线的方向向量：(，法向量( 2.求解线性规划问题的步骤是： (1)列约束条件;(2)作可行域，写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。 3.两条直线的位置关系： 4.直线系 5.几个公式 ⑴设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，⊿ABC的重心G：(); ⑵点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离：; ⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是; 6.圆的方程： ⑴标准方程：①;②。 ⑵一般方程：( 注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0; 7.圆的方程的求法：⑴待定系数法;⑵几何法;⑶圆系法。 8.圆系： ⑴; 注：当时表示两圆交线。 ⑵。 9.点、直线与圆的位置关系：(主要掌握几何法) ⑴点与圆的位置关系：(表示点到圆心的距离) ①点在圆上;②点在圆内;③点在圆外。 ⑵直线与圆的位置关系：(表示圆心到直线的距离) ①相切;②相交;③相离。 ⑶圆与圆的位置关系：(表示圆心距，表示两圆半径，且) ①相离;②外切;③相交; ④内切;⑤内含。 10.与圆有关的结论： ⑴过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2; 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2; ⑵以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。 第六部分圆锥曲线 1.定义：⑴椭圆：; ⑵双曲线：;⑶抛物线：略 2.结论 ⑴焦半径：①椭圆：(e为离心率);(左“+”右“-”); ②抛物线： ⑵弦长公式： ; 注：(Ⅰ)焦点弦长：①椭圆：;②抛物线：=x1+x2+p=;(Ⅱ)通径(最短弦)：①椭圆、双曲线：;②抛物线：2p。 ⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：(同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线); ⑷椭圆中的结论： ①内接矩形最大面积：2ab; ②P，Q为椭圆上任意两点，且OP0Q，则; ③椭圆焦点三角形：<Ⅰ>.，();<Ⅱ>.点是内心，交于点，则; ④当点与椭圆短轴顶点重合时最大; ⑸双曲线中的结论： ①双曲线(a>0,b>0)的渐近线：; ②共渐进线的双曲线标准方程为为参数，≠0); ③双曲线焦点三角形：<Ⅰ>.，();<Ⅱ>.P是双曲线- =1(a>0，b>0)的左(右)支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为; ④双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直; (6)抛物线中的结论： ①抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB性质：<Ⅰ>.x1x2=;y1y2=-p2; <Ⅱ>.;<Ⅲ>.以AB为直径的圆与准线相切;<Ⅳ>.以AF(或BF)为直径的圆与轴相切;<Ⅴ>. 。 ②抛物线y2=2px(p>0)内结直角三角形OAB的性质： <Ⅰ>.;<Ⅱ>.恒过定点; <Ⅲ>.中点轨迹方程：;<Ⅳ>.，则轨迹方程为：;<Ⅴ>.。 ③抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点，则： <Ⅰ>.当时，顶点到点A距离最小，最小值为;<Ⅱ>.当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小，最小值为 。 3.直线与圆锥曲线问题解法： ⑴直接法(通法)：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。 注意以下问题： ①联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程? ②直线斜率不存在时考虑了吗? ③判别式验证了吗? ⑵设而不求(代点相减法)：--------处理弦中点问题 步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2);②作差得;③解决问题。 4.求轨迹的常用方法：(1)定义法：利用圆锥曲线的定义; (2)直接法(列等式);(3)代入法(相关点法或转移法);⑷待定系数法;(5)参数法;(6)交轨法。 第七部分平面向量 ⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则：①a‖b(b≠0)a=b(x1y2-x2y1=0; ②a⊥b(a、b≠0)au2022b=0x1x2+y1y2=0. ⑵au2022b=|a||b|cos=x2+y1y2; 注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影;|b|cos叫做b在a方向上的投影; 6au2022b的几何意义：au2022b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。 ⑶cos=; ⑷三点共线的充要条件：P，A，B三点共线; 附：(理科)P，A，B，C四点共面。 第八部分数列 1.定义： ⑴等差数列; ⑵等比数列 ; 2.等差、等比数列性质 等差数列等比数列 通项公式 前n项和 性质①an=am+(n-m)d,①an=amqn-m; ②m+n=p+q时am+an=ap+aq②m+n=p+q时aman=apaq ③成AP③成GP ④成AP,④成GP, 等差数列特有性质： 1项数为2n时：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n);;; 2项数为2n-1时：S2n-1=(2n-1);;; 3若;若; 若。 3.数列通项的求法： ⑴分析法;⑵定义法(利用AP,GP的定义);⑶公式法：累加法(; ⑷叠乘法(型);⑸构造法(型);(6)迭代法; ⑺间接法(例如：);⑻作商法(型);⑼待定系数法;⑽(理科)数学归纳法。 注：当遇到时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。 4.前项和的求法： ⑴拆、并、裂项法;⑵倒序相加法;⑶错位相减法。 5.等差数列前n项和最值的求法： ⑴;⑵利用二次函数的图象与性质。 第九部分不等式 1.均值不等式： 注意：①一正二定三相等;②变形，。 2.绝对值不等式： 3.不等式的性质： ⑴;⑵;⑶; ;⑷;; ;⑸;(6) 。 4.不等式等证明(主要)方法： ⑴比较法：作差或作比;⑵综合法;⑶分析法。 第十部分复数 1.概念： ⑴z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=z2≥0; ⑵z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R); ⑶z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z+=0(z≠0)z2<0; ⑷a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R); 2.复数的代数形式及其运算：设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则： (1)z1±z2=(a+b)±(c+d)i;⑵z1.z2=(a+bi)u2022(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;⑶z1÷z2=(z2≠0); 3.几个重要的结论： ;⑶;⑷ ⑸性质：T=4;; (6)以3为周期，且;=0; (7)。 4.运算律：(1) 5.共轭的性质：⑴;⑵;⑶;⑷。 6.模的性质：⑴;⑵;⑶;⑷; 第十一部分概率 1.事件的关系： ⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作; ⑵事件A与事件B相等：若，则事件A与B相等，记作A=B; ⑶并(和)事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作(或); ⑷并(积)事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作(或); ⑸事件A与事件B互斥：若为不可能事件()，则事件A与互斥; (6)对立事件：为不可能事件，为必然事件，则A与B互为对立事件。 2.概率公式： ⑴互斥事件(有一个发生)概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B); ⑵古典概型：; ⑶几何概型：; 第十二部分统计与统计案例 1.抽样方法 ⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。 注：①每个个体被抽到的概率为; ②常用的简单随机抽样方法有：抽签法;随机数法。 ⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的 规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。 注：步骤：①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号; ④按预先制定的规则抽取样本。 ⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。 注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 2.总体特征数的估计： ⑴样本平均数; ⑵样本方差; ⑶样本标准差=; 3.相关系数(判定两个变量线性相关性)： 注：⑴>0时，变量正相关;<0时，变量负相关; ⑵①越接近于1，两个变量的线性相关性越强;②接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 4.回归分析中回归效果的判定： ⑴总偏差平方和：⑵残差：;⑶残差平方和：;⑷回归平方和：-;⑸相关指数。 注：①得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好; ②越接近于1，，则回归效果越好。 5.独立性检验(分类变量关系)： 随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。 第十四部分常用逻辑用语与推理证明 1.四种命题： ⑴原命题：若p则q;⑵逆命题：若q则p; ⑶否命题：若p则q;⑷逆否命题：若q则p 注：原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。 2.充要条件的判断： (1)定义法----正、反方向推理; (2)利用集合间的包含关系：例如：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B，则A是B的充要条件; 3.逻辑连接词： ⑴且(and)：命题形式pq;pqpqpqp ⑵或(or)：命题形式pq;真真真真假 ⑶非(not)：命题形式p.真假假真假 假真假真真 假假假假真 4.全称量词与存在量词 ⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用表示; 全称命题p：; 全称命题p的否定p：。 ⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用表示; 特称命题p：; 特称命题p的否定p：; 第十五部分推理与证明 1.推理： ⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。 ①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。 注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 ②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。 注：类比推理是特殊到特殊的推理。 ⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。 注：演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ⑴大前提---------已知的一般结论; ⑵小前提---------所研究的特殊情况; ⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。 二.证明 ⒈直接证明 ⑴综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 2.间接证明------反证法 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。 附：数学归纳法(仅限理科) 一般的证明一个与正整数有关的一个命题，可按以下步骤进行： ⑴证明当取第一个值是命题成立; ⑵假设当命题成立，证明当时命题也成立。 那么由⑴⑵就可以判定命题对从开始所有的正整数都成立。 这种证明方法叫数学归纳法。 注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行; 3的取值视题目而4定，5可能是1，6也可能是2等。 第十六部分理科选修部分 1.排列、组合和二项式定理 ⑴排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=(m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列 =n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!; ⑵组合数公式：(m≤n),; ⑶组合数性质：; ⑷二项式定理： ①通项：②注意二项式系数与系数的区别; ⑸二项式系数的性质： ①与首末两端等距离的二项式系数相等;②若n为偶数，中间一项(第+1项)二项式系数最大;若n为奇数，中间两项(第和+1项)二项式系数最大; ③ (6)求二项展开式各项系数和或奇(偶)数项系数和时，注意运用赋值法。 2.概率与统计 ⑴随机变量的分布列： ①随机变量分布列的性质：pi≥0,i=1,2,…;p1+p2+…=1; ②离散型随机变量： Xx1X2…xn… PP1P2…Pn… 期望：EX=x1p1+x2p2+…+xnpn+…; 方差：DX=; 注：; ③两点分布： X01期望：EX=p;方差：DX=p(1-p). P1-pp 4超几何分布： 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则其中，。 称分布列 X01…m P… 为超几何分布列，称X服从超几何分布。 ⑤二项分布(独立重复试验)： 若X～B(n,p),则EX=np,DX=np(1-p);注：。 ⑵条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。 注：①0P(B|A)1;②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 ⑶独立事件同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B)。 ⑷正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数(期望值)与标准差; (6)正态曲线的性质： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交;②曲线是单峰的，关于直线x=对称; ③曲线在x=处达到峰值;④曲线与x轴之间的面积为1; 5当一定时，6曲线随质的变化沿x轴平移; 7当一定时，8曲线形状由确定：越大，9曲线越“矮胖”，10表示总体分布越集中; 越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。 注：P=0.6826;P=0.9544 P=0.9974

面面垂直证明的基本方法有：定义法、判定定理 法、面面平行法。其实到大学里面就有很多的方法：假如我们要证明平面α垂直平面β传统方法主要是把证明面面垂直转化成证明线面垂直，再把证明线面垂直证明转化成线线垂直即要证平面α垂直平面β证明在平面α中有一条直线垂直平面β即可，而直线要与平面垂直，只要垂直平面中的两条相交直线即可所以就是在α平面内找一条直线垂直β内两条相交直线就行了证明直线垂直的方法大部分都是初中学过的。如果是异面直线垂直的话，可以线证明其中一条直线垂直另一条直线所在的平面，在得到线线垂直除此之外，还有向量的方法，证明两个平面的法向量互相垂直，不过用向量证明垂直有点大材小用了，而且计算比较烦，一般不会用，除非确实难，在求二面角的时候向量用的比较多.

罔：蒙蔽。只读书不思考就会上当受骗。 成语出处： 《论语?为政》：“学而不思则罔，思而不学则殆。” 成语例句： 谢觉哉《想！》：“把 书本 当教条，不顾 客观 条件，生硬地拿现成公式去套，也必然碰大钉子，所谓‘ 成语语法： 作宾语、定语；用于劝诫人

【意思】孔子说：“只学习却不思考，就会迷惑;只空想却不学习，就会疑惑。”【出自】《论语十二章》【节选】子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲，不逾矩。”《为政》子曰：“温故而知新，可以为师矣。”《为政》子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆。”《为政》【译文】孔子说：“我十五岁开始有志于做学问，三十岁能独立做事情，四十岁（遇事）能不迷惑，五十岁知道哪些是不能为人力所支配的事情，六十岁能听得进不同的意见，到七十岁才做事才能随心所欲，不会超过规矩。”孔子说：“温习学过的知识，可以从中获得新的理解与体会，那么就可以凭借这一点去做老师了。”孔子说：“只学习却不思考，就会迷惑;只空想却不学习，就会疑惑。”扩展资料《论语》是一部记录孔子和他弟子的言行的书，由若干篇章组成，内容大多是关于学习、道德修养、为人处世的一般原则。所选十二则，一方面阐述了学习应该有谦虚好学的态度和勤学好问、实事求是的精神；另一方面阐述了温故知新、学思结合、学以致用的学习方法，对后世的教育理论影响极大。另外，还有关于思想道德修养的问题，教育人为人处世的原则等论述。

Q＝c(比热容)×m(质量)×升高的温度

“学而不思则罔，思而不学则殆”这句话告诉我们只有把学习和思考结合起来，才能学到切实有用的知识，否则就会收效甚微。即善于理论联系实际，归纳总结，理解性记忆。这句话为孔子所提倡的一种读书及学习方法。指的是一味读书而不思考，就会因为不能深刻理解书本的意义而不能合理有效利用书本的知识，甚至会陷入迷茫。而如果一味空想而不去进行实实在在地学习和钻研，则终究是沙上建塔，一无所得。子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆。”出至于孔子《论语·为政》出处：这句话出自《论语》，《论语》是孔子及其弟子的语录结集，由孔子弟子及再传弟子编写而成，至战国前期成书。全书共20篇492章，以语录体为主，叙事体为辅，主要记录孔子及其弟子的言行，较为集中地体现了孔子的政治主张、伦理思想、道德观念及教育原则等。此书是儒家学派的经典著作之一，与《大学》《中庸》《孟子》并称“四书”，再加上《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，总称“四书五经”。

“学而不思则罔”：死记硬背而不思考不理解，就做不到活学活用、融会贯通，即使记忆力再好成绩也不会太好。“思而不学则殆”：只是善于思考而没有学习的行动，即使逻辑思维能力再强也会因为知识积累的匮乏而限于空想失败。新的解释：学习知识不理解，不面对现实问题则知识无用，面对现实问题不总结，不学习知识则问题不能解决。

汽油热值约10490大卡汽油的热值为4.6×107Ju002Fkg。更多相关资料如下：1.汽油介绍：一般来说在常温状态下92号汽油的密度大概为0.725克u002F毫升一升为1.45斤95号汽油的密度大概为0.737克u002F毫升一升就是1.474斤而98号汽油的密度大概为0.753克u002F毫升一升也就是1.506斤。2.汽油简介：汽油在常温下为无色至淡黄色的易流动液体很难溶解于水易燃馏程为30℃至220℃空气中含量为74～123克u002F立方米时遇火爆炸。汽油的热值约为44000kJu002Fkg（燃料的热值是指1kg燃料完全燃烧后所产生的热量）。

　　1、硫铁矿分子式FeS2主要作用是制硫酸，其化学方程式是4FeS2+11O2=2Fe2O3+8SO2，2SO2+O2=2SO3，SO3+H2O=H2SO4。 　　2、化学方程式比较简单但是实际工作较复杂，它在燃烧后生成的气体要进行除杂，通入高浓度氧气氧化而且最后要用吸收塔进行吸收。

燃料的热值与燃料本身有关。热值的定义是单位质量（或体积）的燃料完全燃烧时所放出的热量、热值的大小只与燃料本身有关，与燃料质量多少、燃烧情况无关。当然燃料质量越大，燃烧越充分，释放的热量越多，只与种类有关。热值与燃料的物质属性有关，不同的燃料所产生的热值各有不同。比如：普通燃料中热值最高的是液化石油气，热值为104.6540MJ/m3(1卡等于4.2焦耳)；天然气的热值为40MJ/m3；煤制管道气的热值约16.8MJ/m3。高位热值是指燃料在完全燃烧时释放出来的全部热量，即在燃烧生成物中的水蒸汽凝结成水时的发热量，也称毛热。低位热值是指燃料完全燃烧，其燃烧产物中的水蒸汽以气态存在时的发热量，也称净热。高位热值与低位热值的区别，在于燃料燃烧产物中的水呈液态还是气态，水呈液态是高位热值，水呈气态是低位热值。低位热值等于从高位热值中扣除水蒸汽的凝结热。燃料大都用于燃烧，各种炉窑的排烟温度均超过水蒸汽的凝结温度，不可能使水蒸气的凝结热释放出来，所以在能源利用中一般都以燃料的应用的低位发热量作为计算基础。

一立方天然气产生的热值是多少 天燃气每立方燃烧热值为8000大卡至8500大卡，1千卡/1大卡/1000卡路里（kcal）=4.1868千焦（kJ），所以每立方米燃烧热值为33494.4—35587.8KJ 天然气的热值是多少 热值：35590KJ/m 外观及性状: 无色、无臭气体。溶解性：不溶于水。密度：0.7174kg/Nm3相对密度（水）：约0.45(液化)燃点(℃)：650爆炸极限(V%)：5-15天然气的主要成分是甲烷，也含有乙烷、丙烷、氮气和二氧化碳等组分。其组成不同热值也不同。乙烷、丙烷的热值高于甲烷，若天然气中高热值组分的含量较高则热值也较高。而氮气、二氧化碳则不会燃烧发热，因此，天然气中此类组分含量较高则热值也较低。作为产品天然气，国家标准—《天然气》（GB17820-1999）对其热值有规定：高位发热值>31.4MJ/m3。我们平常使用的民用天然气必须满足此要求。 天然气的热值是多少单位是焦耳每立方米 35.53MJ/立方米左右，也就是35530000J/立方米左右。 每立方天然气相当于多少汽油的热值，也就是说一立方天 汽油的热值为：46MJ/kg天然气热值为：35MJ/立方米 L93号汽油每升：0.725kg 计算举例：假如1.6L科鲁兹，每百公里平均7.4升油耗，求改成天然气后，1立方天然气能跑多少公里？ 1.每公里耗油量：7.4L/100km=0.074L 2.每升油的热量：0.725kgx46MJ/kg=33.35MJ/L 3.每公里消耗能量：0.074Lx33.35MJ/L=2.47MJ 4.1方天然气跑的距离：35MJ/2.47MJ=14.17km 所以1立方的天然气科鲁兹能跑大约14公里左右。 天然气热值约为多少千卡 8000-8600大卡吧。天然气是混合物，不是单一物质，主要是甲烷，但是从地下开采出来之后还有少量的重烃组分和惰性气体，这些东西影响了热值，比方说如果天气中含有乙烷、丙烷，肯定就提高了热值，如果有较高含量的氮气、二氧化碳等肯定就降低了热值。国内各个油田所产的天然气热值也不完全相等，要看具体情况而定了。 天燃气的热值一般为多少 天然气的主要成分是甲烷，也含有乙烷、丙烷、氮气和二氧化碳等。组成不同热值也不同。 一般35.88MJ/M3到39.82MJ/M3 天然气 每公斤热值是多少 1标方天然气的质量大概为0.7kg（根据气体成分有变化），每标方天然气的热值约为8000大卡，所以每公斤天然气的热值就可以知道了 1立方米天然气热值是多少? 1标准立方米的天然气热值约8500kcal/Nm3，但这不是绝对的，不同气源产地的天然气热值也不相同。 一立方米的天然气产生的热值是多少千焦？ 10分 一立方米热值为8500大卡，或35700千焦。

学而不思则罔,思而不学则殆.【译】学习而不思考,人会被知识的表象所蒙蔽；思考而不学习,则会因为疑惑而更加危险.【注】语出《论语·为政》——子曰：“学而不思则罔,思而不学则殆”.罔,作蒙蔽,欺骗解；殆,书指危险.朱子云：不求诸心,故缗而无得.不习其事,故危而不安.程子云：博学、审问、慎思、明辨、笃行五者,废其一,非学也.【解】这句话,我们可以看做是孔子所提倡的学习方法.一味的读书,而不思考,只能被书本牵着鼻子走,就会被书本所累,从而受到书本表象的迷惑而不得其解.所谓尽信书则不如无书.而只是一味的埋头苦思而不进行一定的书本知识的积累,进而对知识进行研究推敲,也只能是流于空想,问题仍然不会得到解决,也就会产生的疑惑而更加危险.只有把学习和思考结合起来,才能学到有用的真知.孔子说：“吾尝终日不食,终夜不寝,以思,无益,不如学也.”子夏说：“博学而笃志,切问而近思,仁在其中矣.”这些都是强调学习与思考相结合的重要性.西方的哲人康德说过“感性无知性则盲,知性无感性则空.与孔子的这句“学而不思则罔,思而不学则殆”可以说是惊人的一致.可见人类在知识的认知和获取上,不论地域、种族如何差异,其根本性的原则往往是一致的.

热值不等于热量,它们不是同一物理量 热量是在热传递过程中,传递内能的多少,用Q表示 而热值是1kg某种燃料完全燃烧放出的热量,用q表示. 他们的关系是Q=mq(其中m是燃料的质量) 希望能够帮助你!

孔子曰:"学而不思则罔,思而不学则殆"这句话的意思是一味读书而不思考，就会因为不能深刻理解书本的意义而不能合理有效利用书本的知识，甚至会陷入迷茫。而如果一味空想而不去进行实实在在地学习和钻研，则终究是沙上建塔，一无所得。1、此内容出版孔子《论语·为政》，主要内容涉及孔子“为政以德”的思想、如何谋求官职和从政为官的基本原则、学习与思考的关系、孔子本人学习和修养的过程、温故而知新的学习方法，以及对孝、悌等道德范畴的进一步阐述。2、孔子（公元前551年9月28日，即农历八月廿七～ 公元前479年4月11日，即农历二月十一），名丘，字仲尼，汉族，春秋时期鲁国陬邑（今山东曲阜市南辛镇）人，先祖为宋国（今河南商丘）贵族。春秋末期的思想家和教育家、政治家，儒家思想的创始人。扩展资料：1、孔子曾受业于老子，带领部分弟子周游列国十四年，晚年修订六经，即《诗》《书》《礼》《乐》《易》《春秋》。相传他有弟子三千，其中贤人七十二。孔子去世后，其弟子及其再传弟子把孔子及其弟子的言行语录和思想记录下来，整理编成儒家经典《论语》。2、孔子建构了完整的“德道”思想体系：在个体层面主张“仁、礼”之德性与德行。[30] 德道思想体系是以性善论（“一阴一阳之谓道，继之者善也，成之者性也”）为基础，以立人极（“三极之道”）为旨归，以人道与天道、地道相会通，人道中庸又适时之变为方法论的完足思想体系。3、《论语》涉及哲学、政治、经济，教育、文艺等诸多方面，内容非常丰富，是儒学最主要的经典。在表达上，《论语》语言精炼而形象生动，是语录体散文的典范。在编排上，《论语》没有严格的编纂体例，每一条就是一章，集章为篇，篇、章之间并无紧密联系，只是大致归类，并有重复章节出现。参考资料：百度百科_学而不思则罔，思而不学则殆 百度百科_论语·为政 百度百科_孔子推荐于 2019-10-04查看全部69个回答【正版】零售-教辅书籍_正版下载各类书籍正品爆款1折起!秒杀活动天天有书刊超低价格嗨到爽!新人下载领专属特惠!lp.pinduoduo.com广告 66条评论热心网友235回答的有点跑题查看全部66条评论— 你看完啦，以下内容更有趣 —孔子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆。”用现代汉语翻译这句话的意思是：只学习而不思考，就会迷惑不解，只思考而不学习，就会劳神无所得。即要善于理论联系实际，归纳总结，理解性记忆。否则学习不思考就会望文生义，迷惑而无所得，只是思考却不学习就会精神疲倦而无所得。 扩展资料： 孔子提倡读书不要一味读书而不思考，会因为不能深刻理解书本的意义而不能合理有效利用书本的知识，甚至会陷入迷茫。而一味空想不去进行实实在在地学习和钻研，则终究一无所得。只有把学习和思考结合起来，才能学到切实有用的知识。 在学习的过程中，学和思不能偏废。孔子指出了学而不思的局限，也道出了思而不学的弊端。主张学与思相结合。只有将学与思相结合，才可以成为有道德、有学识的人。这种思想在今天的教育活动中有其值得肯定的价值。 参考资料来源：百度百科-学而不思则罔，思而不学则殆146赞·21,020浏览2019-04-25学而不思则罔，思而不学则殆，罔和殆的意思罔：迷惑而无所得。殆：通假“怠”，精神疲倦而无所得。 一、原文：出自 春秋 孔子《论语 为政》 子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆。” 二、译文：孔子说：“只读书学习，而不思考问题，就会罔然无知而没有收获；只空想而不读书学习，就会疑惑而不能肯定。“ 扩展资料 一、评析 孔子认为，在学习的过程中，学和思不能偏废。他指出了学而不思的局限，也道出了思而不学的弊端。主张学与思相结合。只有将学与思相结合，才可以使自己成为有道德、有学识的人。这种思想在今天的教育活动中有其值得肯定的价值。 二、人物简介 孔子（公元前551年9月28日―公元前479年4月11日），子姓，孔氏，名丘，字仲尼，春秋末期鲁国陬邑（今山东曲阜）人，祖籍宋国栗邑（今河南夏邑），中国古代思想家、教育家，儒家学派创始人。131赞·40,922浏览2019-05-18孔子说：学而不思则罔，思而不学则殆。这句话是什么意思？学而不思则罔，思而不学则殆。 解词：罔：迷惑而无所得；殆：精神疲倦而无所得。 翻译：只学习而不思考，就会感到迷惑而无所得；只思考而不学习，就会弄得精神疲倦而无所得。 主要说明：对知识的学习与思考要相互结合。14赞·264浏览2020-03-09学而不思则罔，思而不学则殆.这句话是什么意思指的是一味读书而不思考，就会因为不能深刻理解书本的意义而不能合理有效利用书本的知识，甚至会陷入迷茫。而如果一味空想而不去进行实实在在地学习和钻研，则终究是沙上建塔，一无所得。‘"127赞·61浏览2019-11-14子曰学而不思则罔，思而不学则殆什么意思只是学习却不思考就会望文生义，迷惑而无所得，只是思考却不学习就会精神疲倦而无所得。 一味读书而不思考，就会因为不能深刻理解书本的意义而不能合理有效利用书本的知识，甚至会陷入迷茫。而如果一味空想而不去进行实实在在地学习和钻研，则终究是沙上建塔，一无所得。告诫我们只有把学习和思考结合起来，才能学到切实有用的知识，否则就会收效甚微。 这句话为孔子所提倡的一种读书及学习方法。 扩展资料：一味读书而不思考，就会被书本牵着鼻子走，而失去主见，所谓尽信书不如无书，即指此意。而如果一味空想却不去进行实实在在的学习和钻研，则终究是沙上建塔，一无所得。学习与思考是相辅相成的，缺一不可，只有把学习和思考结合起来，才能学到切实有用的真知。 这与孔子的“学而不思则罔，思而不学则殆”一致。可见，人类在知识的学习和获取上，不论地域、种族如何差异，其根本性原则往往是一致的。 参考资料来源：百度百科—学而必死则罔，思而不学则殆8赞·166浏览2019-12-14高三辅导语文名师抓关键_提分看得见值得一看的语文相关信息推荐20年+高考带班经验名师，点拨临门技巧。重点/难点/考点，点点精炼。课程紧贴上海教材与考纲。高三辅导语文更多详情，点击newclasses.org广告 高三语文辅导高三语文辅导，快速提升成绩方法很重要，上海考纲为依据，制定VIP学习方案!高三语文辅导，针对偏科弱科1V1_1V3辅导，不满意换老师，不想学退余费!qiwenedu.com.cn广告 诸葛亮死后为什么要口含七粒米？在上古有一种说法是，太子含玉，诸侯含珠，大夫含米。民间有一种说法就是人死后口内含米，就说明他还和正常573条回答·67,219人在看超神奇！放在手里就会熔化的金属你见过吗1875年11月6日，法国化学家布瓦博德朗将首次制取出来的、珍贵的3.4毫克金属镓献给了法国科学院。现在，让我们来了解一下，镓是什么样的东西！ 你见过这样奇妙的金属吗？在常温下，它是一块银光闪闪27,330人在看·151赞花呗不还，会坐牢吗？二姐聊保险41,430播放异性同事有纯友谊吗？异性之间，到底有纯友谊吗？你是怎么看的227条回答·4,216人在看大学毕业之后先创业还是先就业？351条回答·6,000人在看美国餐厅为什么给暂时放下手机的食客奖励？

总热量计算公式：q=mq（其中q表示热量，q表示热值，m表示质量）热值也叫“发热量”，是表示燃料质量的重要指标之一，是指单位质量（或体积）的燃料完全燃烧后所放出的热量。工业上常用的热值单位，固体或液体发热量的单位是千卡/千克（kcal/kg）、千焦耳/千克（kj/kg）或兆卡/千克（mcal/kg）、兆焦尔/千克（mj/kg）；气体燃料的发热量单位是千卡/标准立方米（kcal/nm3）、千焦耳／标准立方米（kj/nm3）或兆卡/标准立方米（mcal/nm3）、兆焦尔/标准立方米（mj/nm3）。

热值的单位是J/kg，热值指完全燃烧1kg（或1m^3,气体）的物质释放出的能量，是一种物质特定的性质。单位是J/kg或J/m^3(气体)定义1千克（每立方米）某种固体（气体）燃料完全燃烧放出的热量称为该燃料的热值。燃料完全燃烧时放出的热量，与燃料的质量成正比，可用公式表示如下：q=m*q.在*单位制中，燃烧值q的单位是j/kg，燃料质量的单位是kg，则放出的热量q的单位是j。热值也叫“发热量”，是表示燃料质量的重要指标之一，是指单位质量（或体积）的燃料完全燃烧后所放出的热量。工业上常用的热值单位，固体或液体发热量的单位是千卡/千克（KCAL/KG）、千焦耳/千克（KJ/KG）或兆卡/千克（MCAL/KG）、兆焦尔/千克（MJ/KG）。气体燃料的发热量单位是千卡/标准立方米（KCAL/NM3）、千焦耳／标准立方米（KJ/NM3）或兆卡/标准立方米（MCAL/NM3）、兆焦尔/标准立方米（MJ/NM3）。

孩子，这样是学不好英文的

1.定义：单位质量某种燃料完全燃烧放出的热量叫做这种燃料的热值。2.公式：燃料完全燃烧放出的热量Q=mq3.符号和单位：q J/kg4.热值的影响因素：热值只与燃料的种类有关