双曲正弦函数是什么函数，有什么意义？

在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinh和双曲余弦函数cosh，从它们可以导出双曲正切函数tanh等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。 双曲函数的定义域是区间，其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义Sinh_cosh_tanh双曲正弦sh z =(e^z-e^(-z))/2双曲余弦ch z =(e^z+e^(-z))/2双曲正切th z = sh z /ch z =(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) 双曲余切cth z = ch z/sh z=(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) 双曲正割sch z =1/ch z双曲余割xh(z) =1/sh z

双曲【拼音】: shuānɡ qǔ

双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义Sinh_cosh_tanh双曲正弦sh z =(e^z-e^(-z))/2 ⑴双曲余弦ch z =(e^z+e^(-z))/2 ⑵双曲正切th z = sh z /ch z =(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) ⑶双曲余切cth z = ch z/sh z=(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) ⑷双曲正割sch z =1/ch z ⑸双曲余割xh(z) =1/sh z ⑹

shx双曲正弦函数。双曲正弦函数是双曲函数的一种。双曲正弦函数在数学语言上一般记作sinh，也可简写成sh。与三角函数一样，双曲函数也分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种，双曲正弦函数和双曲余弦函数是双曲函数中最基本的两种，由这两个函数可推导出双曲正切函数等等。双曲正弦函数的定义式为：sinh=[e^x-e^(-x)]/2。扩展资料：y=sinh x，定义域：R，值域：R，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，函数图像关于原点对称。y=cosh x，定义域：R，值域：[1,+∞)，偶函数，函数图像是悬链线，最低点是（0，1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，函数图像关于y轴对称。y=tanh x，定义域：R，值域：(-1,1)，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，其图像被限制在两水平渐近线y=1和y=-1之间。y=coth x，定义域：{x|x≠0}，值域：{y||y|>1}，奇函数，函数图像分为两支，分别在Ⅰ、Ⅲ象限，函数在(-∞,0)和(0,+∞)分别单调递减，垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为y=1和y=-1。参考资料来源：百度百科-双曲正弦函数

1、双曲纱面料是由双股织造而成的面料。 2、双曲纱的成分主要是由有色人造丝、尼龙和拉架构成的。具有较大的延伸性、回弹性、强度高、弹性好、耐热、耐腐、着色好、柔感性强等特点。双曲纱广泛用于羊毛衫、裤、袜子，运动衣，袖口及T恤衫等织物。

双曲上衣是指用双曲面料制成的上衣。双曲面料是一种生产工艺的分类，是织纱的时候是用双纱织的，比较特别，具有较大的延伸性、回弹性、强度高、弹性好、耐热、耐腐、着色好、柔感性强等特点。

搜一下：双曲函数的由来（包括双曲正弦，双曲余弦）

65％粘胶+35％尼龙双曲这个成本高，因为这个原料成本高，你可以查下这些原料的单价就知道了成本是成正比的

6个,双曲正余弦,割,切,双曲余弦=(E的X次方+E的-X次方)/2双曲正弦=(E的X次方-E的-X次方)/2,其余类似三角函数关系得到

你学复变函数就知道了！在复数中，三角函数和双曲函数可以相互转化！

双曲拱桥是主拱圈由拱肋，拱波，拱板，和横向联系构件几个部分组成，外形在纵横两个方向均成弧形曲线。由于介于拱肋之间的拱波也呈曲线形，且与主拱圈的曲线正交，故而称为双曲拱桥。双曲拱比单曲拱能承受更大的载荷，主要是因为双曲拱不仅在一个方向上呈拱形，而且在与其垂直的另一方向也呈拱形。自行车的挡泥板就是这种双曲拱形的。当它受力时，力使沿着两个拱的方向更均匀地传递；某一局部受力过大时，双曲拱能迅速自行调整平衡，使整个双拱曲不会因局部受力过大而损坏。 拱形结构除了能用于建造桥梁外，另一个重大的用处就是建造水坝。扩展资料：位于堰桥界泾村蒋巷上的圩亭桥，堪称无锡当代造桥史上的典范之作。双曲拱桥是上世纪六七十年代无锡县桥梁工程公司发明的一种农用桥，它的发明解决了江南水乡的交通问题，曾获国家科技进步二等奖。圩亭桥可说是无锡双曲拱桥的代表作：桥身延伸了四只脚，解决了四个方向的交通；桥身中间有座桥亭，虽说桥亭外观平平，却是无锡双曲拱桥中唯一保留有桥亭的，颇具特色。参考资料来源：百度百科——双曲拱桥参考资料来源：人民网——宋代“飞虹”重现天日 三古桥夺“无锡第一桥”

就是双股 织纱的时候是用双纱织的 比较特别，做出来的衣服不容易起球

双曲折现也称双曲贴现、非理性折现，是指人们宁愿要金额较小的眼前酬劳也不要金额较大的日后报酬。双曲贴现指的是人们相较于延迟和复杂的结局更倾向于简洁及时的。简单来说，大多数人会选择今天拿20美元，而不是一年后的今天拿到100美元。事实上，立刻拿到得钱可能比以后拿到的钱数量还多，因为同样数量的钱，在今天的价值是要比日后高的。假设，利率是9%，那么聪明的人肯定知道当前拿91.74美元和一年后拿100美元是没有多大区别的。针对人类的决策过程，人们已将作了许多研究，发现有相当多的因素对其有影响。有意思的是，在决定要做出什么样的选择时，拖延的时间才是最重要的因素。

双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义 双曲正弦 sh z ＝（ez－e－z）/2 （1） 双曲余弦 ch z ＝（ez＋e－z）/2 （2） 双曲正切 th z ＝ sh z /ch z ＝（ez－e－z）/（ez＋e－z） （3） 双曲余切 cth z ＝ ch z/sh z＝（ez＋e－z）/（ez－e－z） （4） 双曲正割 sech z ＝1/ch z （5） 双曲余割 csch z ＝1/sh z （6）其中，指数函数（exponential function）可由无穷级数定义 ez＝1＋z/1！＋z2/2！＋z3/3！＋z4/4！＋…＋zn/n！＋… （7） 双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为ar sh z、ar ch z、ar th z等。 双曲函数并非单纯是数学家头脑中的抽象，在物理学众多领域可找到丰富的实际应用实例。 1、阻尼落体 在空气中由静止开始下落的小石块既受重力的作用又受到阻力的作用。设小石块的质量为m，速度为v，重力加速度为g，所受空气阻力假定与v2正比，阻尼系数为μ。设初始时刻小石块静止。求其小石块运动速度与时间的关系。 解： 小石块遵循的运动方程为 mdv/dt=mg―μv2 （8） 这是Riccati方程，它可以精确求解。 依标准变换方式，设 v=（m/μ）（z′/z） （9） 代入（8）式，再作化简，有 z"" ―(gμ /m)z=0 （10） （10）式的通解是 z=C1exp（√gμ /m t）+ C2exp（－√gμ /m t） （11） 其中，C1和C2是任意常数。 由于小石块在初始时刻是静止的，初始条件为 v（0）=0 （12） 这等价于 z′（0）=0 （13） 因此，容易定出 C2=－C1 （14） 将（14）式代入（11）式，再将（11）式代入（9）式，就可得 满足初始条件的解 v=√mg/μ tanh(√μg/m t ) （15） 图1：阻尼落体时速度和时间的关系 我们可以作一下定性的分析。小石块初始时刻静止。因此，随着时间增加，开始时小石块速度较小，小石块所受的阻力影响较小，此时，小石块与不受阻力的自由落体运动情况相类似，小石块加速度几乎是常数。反映在图1中，起始段t和v的关系是直线。当小石块速度很大时，重力相对于阻力来说可以忽略，阻力快速增加到很大的数值，导致小石块的速度几乎不再增加。此时，小石块加速度接近零，v几乎不随时间而变化。从图1中可以看到，一段时间后，v相不多是一平行于t轴的直线。 2、导线电容 真空中两条圆柱形无穷长平行直导线，横截面的半径分别为R1和R2,中心线相距为d(d >R1+R2)。试求它们间单位长度的电容。 解： 设这两条导线都带电，单位长度的电荷量分别是为λ和―λ。 我们可以用电像法精确求解。电像法的思路是： 由于在静电平衡情况时，导线是等势体，因而我们可设想用偶极线来取代这两条圆柱形带电导线，适当地选择偶极线的位置，使它们所产生的两个等势面恰好与原来两导线的表面重合。这样就满足了边界条件。这里采用的偶极线是两条无穷长的均匀带电平行直线，它们单位长度的电荷量也分别为λ和―λ。这偶极线便是原来两带电导线的电像。于是就可以计算电势，从而求出电容来。为此先求偶极线的等势面。 以偶极线所在的平面为z-x平面，取笛卡儿坐标系，使偶极线对称地处在z轴的两侧，它们到z轴的距离都是a。如图2所示。这偶极线所产生的电势便为 φ=φ1+φ2 =（λ/2πε0）In（r1′ / r1）+（―λ/2πε0）In（r2′ / r2） =（λ/2πε0）In[（r2 / r1）（r1′/ r2′）] （16） y P r2 r1 R2 ―λ +λ R1 x O a a a2 a1 图2：带电导线与其镜像 式中r1′和r2′分别是偶极线λ和―λ到某个电势参考点的距离。为方便起见，我们取z轴上的电势为零，这样，r1′=r2′= a，于是，（16）式便化为 φ=（λ/2πε0）In（r2 / r1） （17） 由于对称性，平行于z轴的任何一条直线都是偶极线的等势线。所以，我们只须考虑z-y平面内任意一点P（z，y）的电势即可。于是 φ=（λ/4πε0）In{[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2] } （18） 故偶极线的等势面方程便为 [（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2]=k2 （19） 式中 k2 =e4πε0φ/λ （20） 令 c=[（k2+1）/（ k2―1）]a （21） 则（19）式可化为 （x―c）2+y2=[4k2/（ k2―1）2]a 2 （22） 这表明，偶极线的等势面都是轴线平行于z轴的圆柱面，它们的轴线都在z轴上z=c处，其横截面的半径为 R=∣2k/（ k2―1） ∣a （23） 这个结果启示，我们可以找到偶极线的两个等势面，使它们分别与原来两导线的表面重合。这只要下列等式成立就可以了： a1= ∣c1∣=[（k12+1）/（ k12―1）]a （24） R1=∣2k1/（ k12―1） ∣a （25） a2= ∣c2∣=[（k22+1）/（ k22―1）]a （26） R2=∣2k2/（ k22―1） ∣a （27） d=a1+a2 （28） 由（24）至（27）式得 a12―R12=a2= a22―R22 （29） 原来两导线表面的方程是 R1：（x―a1）2+y2= R12 （30） R2：（x+a2）2+y2= R22 （31） 利用（29）式，可以把（30）和（31）式分别化为 x2+y2+ a2= 2a1 x （32） x2+y2+ a2= ―2a2 x （33） 利用（32）和（33）两式，由（18）式得出，半径为R1和R2的两导线的电势分别为 φ1=（λ/4πε0）In[（a1+a）/ （a1―a）] （34） φ2=―（λ/4πε0）In[（a2+a）/ （a2―a）] （35） 于是两导线的电势差便为 U=φ1+φ2=（λ/2πε0）In[（a1+a）（a2―a）/ R1R2] （36） 用已知的量消去未知数，可以得出 U=（λ/2πε0）In[（d2―R12―R2）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R2）/ 2R1R2]2―1] （37） 最后得出原来两导线为l一段的电容为 C=Q/U=2πε0l/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/ 2R1R2]2―1] （38） 单位长度的电容为 c=2πε0/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/ 2R1R2]2―1] （39） 利用反两曲余弦关系式 archx= In[（x+√x2―1）] （40） 对本题的精确解表示作简洁表示 c=2πε0/ arch[（d2―R12―R22）/ 2R1R2] （41） 最后一式可以在一般手册上查到。 3、粒子运动轨迹 一电荷量为q、静质量为m0的粒子从原点出发，在一均匀电场E中运动，E=Eez沿z轴方向，粒子的初速度沿y轴方向，试证明此粒子的轨迹为 x=（W0/qE）[cosh（qEy/p0c）―1] （42） 式中p0是粒子出发时动量的值，W0是它出发时的能量。 解： 带有电荷量q的粒子在电磁场E和B中的相对论性的运动方程为 dp/dt=q（E+v×B） （43） 式中v是粒子的速度，p是粒子的动量 p=mv=mv0/√1－v2/c2 （44） 本题运动方程的分量表示式为 dpx=qE dpy=0 dpz=0 （45） 解之，有 px =qEt+C1 py = C2 pz = C3 （46） 代入t=0时初始条件 px（0）=0 py（0）= p0 pz（0）= 0 （47） 定出积分常数后，可知 px=qEt py= p0 pz= 0 （48） 粒子的能量为 W=mc2 =√p2c2+m02c4 =√（px2+ py2+ pz2）c2+m02c4 =√q2E2 c2t2+W02 （49） 因dx/dt=qEt/m=qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 （50） 积分得 x=∫[qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 ]dt = [√q2E2 c2t2+W02 －W02]/qE （51） 又由（48）式得 dy/dt=p0/m=p0c2/√q2E2 c2t2+W02 （52） 积分得 y=∫[p0c2 /√q2E2 c2t2+W02 ]dt =（p0c /qE）arsh（qEct/W0） （53） 或 （qEct/W0）= sinh （qEy/ p0c） （54） 在（51）式和（54）式中消去t，有 x=（W0/qE）[√1+ sinh2（qEy/ p0c）－1 ] （55） 利用恒等变换公式 cosh2x―sinh2x=1 （56） （55）式可以写成 x=（W0/qE）[cosh2（qEy/ p0c）－1 ] （57） （57）式是一种悬链线。 图3：匀强电场中粒子的悬链线运动轨迹 讨论： 因双曲余弦泰勒级数展开式是 cosh（x）=1+x2/2!+x4/4!+x6/6!+…… （58） 当v/c →0时，保留前2项，得 x=（qE/2m v02）y2 （59） （59）式是抛物线轨迹。《普通物理学》教材用经典牛顿力学求解，普遍会给有这个结果。这表示，非相对论确是相对论在v/c →0时的极限。或者说，（59）式成立的条件是v/c＜＜1，这也是牛顿力学的适用范围。 4、非线性方程求解 如著名的KdV（Korteweg-de Vries）方程的形式为 ux+uux+βuxxx=0 （60） 它是非线性的频散方程，其中β是频散系数。用双曲函数展开法求其某些特殊精确解。 解： 考虑其行波解 u（x，t）=φ（ξ） （61） 其中， ξ=kx－ωt+ξ0 （62） KdV方程成为 －ωφξ+kφφξ+k3βφξξξ=0 （63） 记 f=1/（coshξ+r）,g=sinhξ/（coshξ+r） （64） 尝试 φ=a0+a1f+a2g （65） 注意存在关系式 df/dξ=－fg dg/dξ=1－g2－rg g2=1－2rf+（r2－1）f2 （66） 将（65）式代入（63）式，并在（66）式的帮助下使所得方程中各项只含有f和g的幂次项，且g的幂次项不大于1。合并f和g的同次幂项并取其系数为零，就得到方程（63）对应的非线性代数方程组 －6βk3b1（r2－1）2=0, －6βk3a1（r2－1）=0, －2kb1（r2－1）（－6βk2r+ a1）=0, －k（－6βk2r a1+ a12－b12+ b12r2）=0, b1（4βk3+ka0－ka0r2+3ka1 r－7βk3 r2+ cr2－c）=0, ωa1+kb12 r－βk3 a1－ka0a1=0, －b1（ka1+ωr－βk3r－ka0r）=0 （67） 用计算机代数系统Maple对此超定方程组进行运算，可求得k≠0，ω≠0时的一个非平凡精确解 φ=（ω－βk3）/k+6βk2/（coshξ+1）=0 （68） 其中，k、ω、ξ0为任意常数 。 （68）式是孤波解，图4绘出了其函数图像形状（作图时取了β=1/6 k2，ω=βk3）。 图4： KdV方程的孤波解 从以上的讨论中可知，无论是在经典或近代的物理学内容中，还是在正在发展中的物理学内容中，双曲函数起着不可或缺的重要作用。 参 考 文 献 2、吕克璞、石玉仁等，《物理学报》，50（2001）2074。参考资料：1、林旋英、张之翔，《电动力学题解》，科学出版社，1999年第一版；

1、双曲线可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。2、在数学中，双曲线（多重双曲线或双曲线）是位于平面中的一种平滑曲线，由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。3、双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。（其他圆锥部分是抛物线和椭圆，圆是椭圆的特殊情况）如果平面与双锥的两半相交，但不通过锥体的顶点，则圆锥曲线是双曲线。4、双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂。对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近线。所以有两个渐近线，其交点位于双曲线的对称中心，这可以被认为是每个分支反射以形成另一个分支的镜像点。5、双曲线共享许多椭圆的分析属性，如偏心度，焦点和方向图。许多其他数学物体的起源于双曲线，例如双曲抛物面，双曲线几何，双曲线函数和陀螺仪矢量空间。双曲线的标准方程推导：双曲线有两个焦点，两条准线。（注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线。但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，而两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。） 双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。渐近线的方程求法是：将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解，例如：X2/2-Y2/4=1，令1=0，则X2/2=Y2/4，则双曲线的渐近线为Y=±(√2)X一般地把直线Y=±(b/a)X叫做双曲线的渐进线，焦点在y轴上 直线为Y=±(a/b)X 双曲线x2/a2 - y2/b2 = 1上一点与两顶点连线的斜率之积为b2/a2。以上内容参考  百度百科-双曲线

一般的，双曲线，字面意思是“超过”或“超出”，是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。在数学中，双曲线（多重双曲线或双曲线）是位于平面中的一种平滑曲线，由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。（其他圆锥部分是抛物线和椭圆，圆是椭圆的特殊情况）如果平面与双锥的两半相交，但不通过锥体的顶点，则圆锥曲线是双曲线。

一声

建筑物外墙装饰需要，设计一些弧形曲线，显现与众不同的艺术气息，铝合金圆管的单曲和双曲与铝单板的单曲双曲一样，单曲一般指一个弧度的曲面形状的管或板面，而双曲是指两个不同的弧形成的曲面形状铝合金圆管。

双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义 双曲正弦 sh z ＝（ez－e－z）/2 （1） 双曲余弦 ch z ＝（ez＋e－z）/2 （2） 双曲正切 th z ＝ sh z /ch z ＝（ez－e－z）/（ez＋e－z） （3） 双曲余切 cth z ＝ ch z/sh z＝（ez＋e－z）/（ez－e－z） （4） 双曲正割 sech z ＝1/ch z （5） 双曲余割 csch z ＝1/sh z （6）其中，指数函数（exponential function）可由无穷级数定义 ez＝1＋z/1！＋z2/2！＋z3/3！＋z4/4！＋…＋zn/n！＋… （7） 双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为ar sh z、ar ch z、ar th z等。 双曲函数并非单纯是数学家头脑中的抽象，在物理学众多领域可找到丰富的实际应用实例。 1、阻尼落体 在空气中由静止开始下落的小石块既受重力的作用又受到阻力的作用。设小石块的质量为m，速度为v，重力加速度为g，所受空气阻力假定与v2正比，阻尼系数为μ。设初始时刻小石块静止。求其小石块运动速度与时间的关系。 解： 小石块遵循的运动方程为 mdv/dt=mg―μv2 （8） 这是Riccati方程，它可以精确求解。 依标准变换方式，设 v=（m/μ）（z′/z） （9） 代入（8）式，再作化简，有 z"" ―(gμ /m)z=0 （10） （10）式的通解是 z=C1exp（√gμ /m t）+ C2exp（－√gμ /m t） （11） 其中，C1和C2是任意常数。 由于小石块在初始时刻是静止的，初始条件为 v（0）=0 （12） 这等价于 z′（0）=0 （13） 因此，容易定出 C2=－C1 （14） 将（14）式代入（11）式，再将（11）式代入（9）式，就可得 满足初始条件的解 v=√mg/μ tanh(√μg/m t ) （15） 图1：阻尼落体时速度和时间的关系 我们可以作一下定性的分析。小石块初始时刻静止。因此，随着时间增加，开始时小石块速度较小，小石块所受的阻力影响较小，此时，小石块与不受阻力的自由落体运动情况相类似，小石块加速度几乎是常数。反映在图1中，起始段t和v的关系是直线。当小石块速度很大时，重力相对于阻力来说可以忽略，阻力快速增加到很大的数值，导致小石块的速度几乎不再增加。此时，小石块加速度接近零，v几乎不随时间而变化。从图1中可以看到，一段时间后，v相不多是一平行于t轴的直线。 2、导线电容 真空中两条圆柱形无穷长平行直导线，横截面的半径分别为R1和R2,中心线相距为d(d >R1+R2)。试求它们间单位长度的电容。 解： 设这两条导线都带电，单位长度的电荷量分别是为λ和―λ。 我们可以用电像法精确求解。电像法的思路是： 由于在静电平衡情况时，导线是等势体，因而我们可设想用偶极线来取代这两条圆柱形带电导线，适当地选择偶极线的位置，使它们所产生的两个等势面恰好与原来两导线的表面重合。这样就满足了边界条件。这里采用的偶极线是两条无穷长的均匀带电平行直线，它们单位长度的电荷量也分别为λ和―λ。这偶极线便是原来两带电导线的电像。于是就可以计算电势，从而求出电容来。为此先求偶极线的等势面。 以偶极线所在的平面为z-x平面，取笛卡儿坐标系，使偶极线对称地处在z轴的两侧，它们到z轴的距离都是a。如图2所示。这偶极线所产生的电势便为 φ=φ1+φ2 =（λ/2πε0）In（r1′ / r1）+（―λ/2πε0）In（r2′ / r2） =（λ/2πε0）In[（r2 / r1）（r1′/ r2′）] （16） y P r2 r1 R2 ―λ +λ R1 x O a a a2 a1 图2：带电导线与其镜像 式中r1′和r2′分别是偶极线λ和―λ到某个电势参考点的距离。为方便起见，我们取z轴上的电势为零，这样，r1′=r2′= a，于是，（16）式便化为 φ=（λ/2πε0）In（r2 / r1） （17） 由于对称性，平行于z轴的任何一条直线都是偶极线的等势线。所以，我们只须考虑z-y平面内任意一点P（z，y）的电势即可。于是 φ=（λ/4πε0）In{[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2] } （18） 故偶极线的等势面方程便为 [（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2]=k2 （19） 式中 k2 =e4πε0φ/λ （20） 令 c=[（k2+1）/（ k2―1）]a （21） 则（19）式可化为 （x―c）2+y2=[4k2/（ k2―1）2]a 2 （22） 这表明，偶极线的等势面都是轴线平行于z轴的圆柱面，它们的轴线都在z轴上z=c处，其横截面的半径为 R=∣2k/（ k2―1） ∣a （23） 这个结果启示，我们可以找到偶极线的两个等势面，使它们分别与原来两导线的表面重合。这只要下列等式成立就可以了： a1= ∣c1∣=[（k12+1）/（ k12―1）]a （24） R1=∣2k1/（ k12―1） ∣a （25） a2= ∣c2∣=[（k22+1）/（ k22―1）]a （26） R2=∣2k2/（ k22―1） ∣a （27） d=a1+a2 （28） 由（24）至（27）式得 a12―R12=a2= a22―R22 （29） 原来两导线表面的方程是 R1：（x―a1）2+y2= R12 （30） R2：（x+a2）2+y2= R22 （31） 利用（29）式，可以把（30）和（31）式分别化为 x2+y2+ a2= 2a1 x （32） x2+y2+ a2= ―2a2 x （33） 利用（32）和（33）两式，由（18）式得出，半径为R1和R2的两导线的电势分别为 φ1=（λ/4πε0）In[（a1+a）/ （a1―a）] （34） φ2=―（λ/4πε0）In[（a2+a）/ （a2―a）] （35） 于是两导线的电势差便为 U=φ1+φ2=（λ/2πε0）In[（a1+a）（a2―a）/ R1R2] （36） 用已知的量消去未知数，可以得出 U=（λ/2πε0）In[（d2―R12―R2）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R2）/ 2R1R2]2―1] （37） 最后得出原来两导线为l一段的电容为 C=Q/U=2πε0l/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/ 2R1R2]2―1] （38） 单位长度的电容为 c=2πε0/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/ 2R1R2]2―1] （39） 利用反两曲余弦关系式 archx= In[（x+√x2―1）] （40） 对本题的精确解表示作简洁表示 c=2πε0/ arch[（d2―R12―R22）/ 2R1R2] （41） 最后一式可以在一般手册上查到。 3、粒子运动轨迹 一电荷量为q、静质量为m0的粒子从原点出发，在一均匀电场E中运动，E=Eez沿z轴方向，粒子的初速度沿y轴方向，试证明此粒子的轨迹为 x=（W0/qE）[cosh（qEy/p0c）―1] （42） 式中p0是粒子出发时动量的值，W0是它出发时的能量。 解： 带有电荷量q的粒子在电磁场E和B中的相对论性的运动方程为 dp/dt=q（E+v×B） （43） 式中v是粒子的速度，p是粒子的动量 p=mv=mv0/√1－v2/c2 （44） 本题运动方程的分量表示式为 dpx=qE dpy=0 dpz=0 （45） 解之，有 px =qEt+C1 py = C2 pz = C3 （46） 代入t=0时初始条件 px（0）=0 py（0）= p0 pz（0）= 0 （47） 定出积分常数后，可知 px=qEt py= p0 pz= 0 （48） 粒子的能量为 W=mc2 =√p2c2+m02c4 =√（px2+ py2+ pz2）c2+m02c4 =√q2E2 c2t2+W02 （49） 因dx/dt=qEt/m=qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 （50） 积分得 x=∫[qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 ]dt = [√q2E2 c2t2+W02 －W02]/qE （51） 又由（48）式得 dy/dt=p0/m=p0c2/√q2E2 c2t2+W02 （52） 积分得 y=∫[p0c2 /√q2E2 c2t2+W02 ]dt =（p0c /qE）arsh（qEct/W0） （53） 或 （qEct/W0）= sinh （qEy/ p0c） （54） 在（51）式和（54）式中消去t，有 x=（W0/qE）[√1+ sinh2（qEy/ p0c）－1 ] （55） 利用恒等变换公式 cosh2x―sinh2x=1 （56） （55）式可以写成 x=（W0/qE）[cosh2（qEy/ p0c）－1 ] （57） （57）式是一种悬链线。 图3：匀强电场中粒子的悬链线运动轨迹 讨论： 因双曲余弦泰勒级数展开式是 cosh（x）=1+x2/2!+x4/4!+x6/6!+…… （58） 当v/c →0时，保留前2项，得 x=（qE/2m v02）y2 （59） （59）式是抛物线轨迹。《普通物理学》教材用经典牛顿力学求解，普遍会给有这个结果。这表示，非相对论确是相对论在v/c →0时的极限。或者说，（59）式成立的条件是v/c＜＜1，这也是牛顿力学的适用范围。 4、非线性方程求解 如著名的KdV（Korteweg-de Vries）方程的形式为 ux+uux+βuxxx=0 （60） 它是非线性的频散方程，其中β是频散系数。用双曲函数展开法求其某些特殊精确解。 解： 考虑其行波解 u（x，t）=φ（ξ） （61） 其中， ξ=kx－ωt+ξ0 （62） KdV方程成为 －ωφξ+kφφξ+k3βφξξξ=0 （63） 记 f=1/（coshξ+r）,g=sinhξ/（coshξ+r） （64） 尝试 φ=a0+a1f+a2g （65） 注意存在关系式 df/dξ=－fg dg/dξ=1－g2－rg g2=1－2rf+（r2－1）f2 （66） 将（65）式代入（63）式，并在（66）式的帮助下使所得方程中各项只含有f和g的幂次项，且g的幂次项不大于1。合并f和g的同次幂项并取其系数为零，就得到方程（63）对应的非线性代数方程组 －6βk3b1（r2－1）2=0, －6βk3a1（r2－1）=0, －2kb1（r2－1）（－6βk2r+ a1）=0, －k（－6βk2r a1+ a12－b12+ b12r2）=0, b1（4βk3+ka0－ka0r2+3ka1 r－7βk3 r2+ cr2－c）=0, ωa1+kb12 r－βk3 a1－ka0a1=0, －b1（ka1+ωr－βk3r－ka0r）=0 （67） 用计算机代数系统Maple对此超定方程组进行运算，可求得k≠0，ω≠0时的一个非平凡精确解 φ=（ω－βk3）/k+6βk2/（coshξ+1）=0 （68） 其中，k、ω、ξ0为任意常数 。 （68）式是孤波解，图4绘出了其函数图像形状（作图时取了β=1/6 k2，ω=βk3）。 图4： KdV方程的孤波解 从以上的讨论中可知，无论是在经典或近代的物理学内容中，还是在正在发展中的物理学内容中，双曲函数起着不可或缺的重要作用。 参 考 文 献 2、吕克璞、石玉仁等，《物理学报》，50（2001）2074。参考资料：1、林旋英、张之翔，《电动力学题解》，科学出版社，1999年第一版；

单曲又称多曲,整个镜面曲率是连续变化的,镜中影像小一些,但变形均匀而不明显。双曲内侧外侧用了两种曲率,镜中主体部分影像稍大,外侧边缘变小得较快。一般选单曲(多曲)的人较多。 双曲率的价格高一点。 那种好,看你自己的喜好了。

何谓『双曲综合症』近年来，临床医生研究发现，一些长期从事伏案工作的职业人员，易患一种叫“双曲综合症”的职业病。

采用极细的金属丝,质地柔软,舒适时尚,耐水洗

单曲铝单板和双曲铝单板的区别：我们常见的波浪形铝单板、包柱铝板、普通弧形板就是单曲铝单板，双曲铝单板指的是两个不同的弧在同一个面板上重叠也就是说从一个不同的圆心出发分成两个半径画出的弧，两个弧面自带不同曲率，如球形半球形、游泳圈形、扭曲形等。不管是单曲铝单板还是双曲铝单板的生产加工工艺都是相当复杂，整个加工过程对加工厂家的硬件与软件都有着很大的要求，一般小型的加工商是生产不了弧形铝单板的，大型厂家才有这个能力。很多人以为弧形铝单板无非就是有一定弧度的铝单板，其实不然，弧形铝单板可细分为单曲铝单板、双曲铝单板、球形铝单板等，其工艺难度也是逐渐复杂的，先要进行整体弧度计算，再用激光无缝焊接，抛光打磨等，形成一个曲面或者球面体，整个加工过程以及后续的表面烤漆都非常耗时耗工，造价自然也不便宜。相关名词：单曲铝单板,双曲铝单板

双曲余弦函数的定义是这样的。具体这个定义是怎么来的，可能和双曲线有关系，这里我就不商讨了。而且双曲余弦函数y=coshx也可简写为y=chx。y=chx和y=coshx都是一样的。 双曲余弦函数的定义域是 ，值域是 ，当x=0时，x取到最小值1。 由于 而 根据加法交换律可得知f(x)=f(-x)，很明显，双曲余弦函数是偶函数。 双曲余弦函数y=cosh x，在区间 内它是单调减少的，在区间 内它是单调增加的。cosh 0=1是该函数的最小值。 根据双曲余弦函数的导数，可知由于分母是永远大于0的，而分子中 也是永远大于0。只有 在x=0时是等于0。在x<0时。 <0。在x>0时。 得出当x<0时，双曲余弦函数的导数永远小于0。当x>0时，双曲余弦函数的导数永远大于0。那么它在 内单调递减的，在 内单调递增。在x=0时，最小值为1。无最大值。 由于(coshx)"= ，那么双曲余弦函数的二阶导数为那么(coshx)""=( )"=( )"= =coshx，可见双曲余弦函数的二阶导数是它本身。而双曲余弦函数的值域是 。那么双曲余弦函数的二阶导数在实数集R上恒大于0。 而根据函数凹凸性的判定方法（定理）： 设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内具有一阶导数和二阶导数，那么： (1)若在（a,b）内，f""(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。 (2)若在（a,b）内，f""(x)<0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。 根据上面的函数凹凸性判断定理。得出那么无论是在那个单调区间，双曲余弦函数都是凹函数。 无论是双曲余弦函数y=cosh x，还是双曲正弦函数y=sinh x、双曲正切函数y=tanh x，它们都不是周期函数。 双曲余弦函数的导数是双曲正弦函数。即(coshx)"=sinhx，也可以转化为(coshx)"=sinhx= = 其中，C为常数。可见，双曲余弦函数的不定积分，除去常数C，也是双曲正弦函数。 双曲余弦函数的泰勒展开式为： 即 双曲余弦函数的反函数是反双曲余弦函数。它记作arcoshx。其中，x满足条件： 。反双曲余弦函数的图像原本有x轴上方的一支和x轴下方的一支。即且这两支关于x轴对称。但是，这样子会造成一个自变量x对应两个函数值，不符合函数的定义。为了符合函数的定义，一般取x轴上方的那一支。因而得到了反双曲余弦函数的定义式。 ，其中 。双曲余弦的反函数，即反双曲余弦函数y=arcoshx的定义域为[1，+∞）。它在[1，+∞）上是单调递增的。 双曲余弦函数的图像是一条有点像抛物线（二次）但不是抛物线的曲线。因这条曲线与两端固定的绳子（或铁链）在均匀引力作用下下垂相似。这条曲线称作悬链线。悬链线就是双曲余弦函数的图像。悬链线的数学表达式为 。其中，a为常数。当a=1时，所得的函数（图像）正好是双曲余弦函数（图像）。 双曲余弦函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。其中，拉普拉斯方程可能用到双曲余弦函数外，还有双曲正弦函数、双曲正切函数等。

双曲函数 sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2 cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2 tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)

如果是特殊角度例如：30°、45°、60°、90°，可以直接求出。如下图所示：其他应用：三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

双曲面屏幕的特殊材料对空气、湿气比较敏感，其耐用性远不如传统的玻璃材料，而且塑料也不如玻璃耐刮。双曲面料指的是一种生产工艺的分类，是织纱的时候是用双纱织的，比较特别，做出来的衣服不容易起球。

双曲函数是工程技术中经常要用到的一类函数，它们由指数的四则运算所构造出来。主要有四个双曲函数，如：双曲正弦：shx=(e^x-e^(-x))/2双曲余弦：chx=(e^x+e^(-x))/x双曲正切：thx=shx/chx=(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x))双曲余切：cthx=chx/shx=(e^x+e^(-x))/(e^x-e^(-x))它们的名称中之所以有三角函数的名称是因为它们的性质与三角函数的十分类似。如：(chx)^2-(shx)^2=1，sh(x+y)=shxchy+chxshy

自然下垂的铁链形状是什么曲线?反正不是双曲线哈哈不过双曲线的应用的确很广在平方反比的作用下以及其他与圆锥曲线相关的东西

即两条曲线,具体参见百科 在数学中,双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数.基本双曲函数是双曲正弦“sinh”,双曲余弦“cosh”,从它们导出双曲正切“tanh”等.也类似于三角函数的推导.反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以次类推

双曲函数在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，从它们可以导出双曲正切函数等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。 双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。

1、双曲纱面料是由双股织造而成的面料。2、双曲纱的成分主要是由有色人造丝、尼龙和拉架构成的。具有较大的延伸性、回弹性、强度高、弹性好、耐热、耐腐、着色好、柔感性强等特点。双曲纱广泛用于羊毛衫、裤、袜子，运动衣，袖口及T恤衫等织物。

双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义 Sinh_cosh_tanh双曲正弦sh z =(e^z-e^(-z))/2 ⑴双曲余弦ch z =(e^z+e^(-z))/2 ⑵双曲正切th z = sh z /ch z =(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) ⑶双曲余切cth z = ch z/sh z=(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) ⑷双曲正割sch z =1/ch z ⑸双曲余割xh(z) =1/sh z ⑹其中，指数函数（exponential Csch_sech_cothfunction）可由无穷级数定义e^z=1+z/1！+z^2/2！+z^3/3！+z^4/4！+…+z^n/n！+… ⑺

在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。参见下面的百科！

双曲函数sinhx=[e^x-e^(-x)]/2coshx=[e^x+e^(-x)]/2另外四个用这两个导出。反函数arsinhx=ln[x+sqrt(x^2+1)]arcoshx=ln[x-sqrt(x^2-1)]双曲函数和三角函数有着很类似的性质，最本质的联系等你学过Euler公式就能推导了。在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以次类推.

shx叫做双曲正弦函数,shx=[e^x-e^(-x)]/2.chx叫做双曲余弦函数,chx=[e^x+e^(-x)]/2.这个很少用的,属于不常考内容。这两个函数都属于双曲函数。扩展资料：双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义双曲正弦： 双曲余弦： 双曲正切： 双曲余切： 双曲正割： 双曲余割： 双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t,sinh t) 定义了右半直角双曲线x^2- y^2= 1。这基于了很容易验证的恒等式参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点 (cosh t,sinh t) 的直线之间的面积的两倍。函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。参考资料：百度百科——双曲函数

双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。-------------------双曲余弦函数有着广泛的实际应用。它就存在于我们的身边。在公园里或街道旁，常能看见成排的水泥柱子之间两两连以铁链，你是否想过自然下垂的铁链形状是什么曲线？ 也许你怎么看都会想到抛物线。其实，你只是重复了历史上数学家的错误而已。17世纪意大利著名天文学家伽利略（G. Galileo, 1564～1642）、荷兰著名数学家吉拉尔（A. Girard, 1595～1632）都曾误认为链条的曲线是抛物线。连雅各·伯努利这样的一流数学家都一筹莫展。后来，德国大数学家莱布尼茨（G. W. Leibniz, 1646～1716）正确地给出了铁链的曲线方程，一条双曲余弦曲线。接着，雅各·伯努利的弟弟约翰·伯努利（John Bernoulli, 1667～1748）也成功解决了悬链线问题。 法国著名昆虫学家法布尔（J. H. Fabre, 1823～1915）在其《昆虫记》一书第九卷中有一段文字专门讲e这个神奇的数：

双曲正弦函数的定义式为：sinh=[e^x-e^(-x)]/2。这是定义式，无法推导。双曲正弦函数是双曲函数的一种。双曲正弦函数在数学语言上一般记作sinh，也可简写成sh。与三角函数一样，双曲函数也分为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割6种，双曲正弦函数和双曲余弦函数是双曲函数中最基本的两种，由这两个函数可推导出双曲正切函数等等。扩展资料：y=sinh x，定义域：R，值域：R，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，函数图像关于原点对称。 y=cosh x，定义域：R，值域：[1,+∞)，偶函数，函数图像是悬链线，最低点是（0，1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，函数图像关于y轴对称。y=tanh x，定义域：R，值域：(-1,1)，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，其图像被限制在两水平渐近线y=1和y=-1之间。y=coth x，定义域：{x|x≠0}，值域：{y||y|>1}，奇函数，函数图像分为两支，分别在Ⅰ、Ⅲ象限，函数在(-∞,0)和(0,+∞)分别单调递减，垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为y=1和y=-1。参考资料来源：百度百科-双曲正弦函数

1、双曲纱面料是由双股织造而成的面料。2、双曲纱的成分主要是由有色人造丝、尼龙和拉架构成的。具有较大的延伸性、回弹性、强度高、弹性好、耐热、耐腐、着色好、柔感性强等特点。双曲纱广泛用于羊毛衫、裤、袜子，运动衣，袖口及T恤衫等织物。

　　在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，从它们可以导出双曲正切函数等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。 　　双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。 　　双曲函数并非单纯是数学家头脑中的抽象，在物理学众多领域可找到丰富的实际应用实例。

双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义 Sinh_cosh_tanh双曲正弦sh z =(e^z-e^(-z))/2 ⑴双曲余弦ch z =(e^z+e^(-z))/2 ⑵双曲正切th z = sh z /ch z =(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) ⑶双曲余切cth z = ch z/sh z=(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) ⑷双曲正割sch z =1/ch z ⑸双曲余割xh(z) =1/sh z ⑹其中，指数函数（exponential Csch_sech_cothfunction）可由无穷级数定义e^z=1+z/1！+z^2/2！+z^3/3！+z^4/4！+…+z^n/n！+… ⑺

shx叫做双曲正弦函数,shx=[e^x-e^(-x)]/2.chx叫做双曲余弦函数,chx=[e^x+e^(-x)]/2.这个很少用的,属于不常考内容。这两个函数都属于双曲函数。扩展资料：双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义双曲正弦： 双曲余弦： 双曲正切： 双曲余切： 双曲正割： 双曲余割： 双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t,sinh t) 定义了右半直角双曲线x^2- y^2= 1。这基于了很容易验证的恒等式参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点 (cosh t,sinh t) 的直线之间的面积的两倍。函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。参考资料：百度百科——双曲函数

在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。

双shuāng曲qū拱gǒng桥qiáo曲{①qū弯曲，不直；偏僻的地方；发酵；姓{②qǔ歌曲、乐曲也就是说，除了指歌曲、乐曲，其他地方都用一声

六种三角函数 sin sine [sain] 正弦 cos cosine [kou"sain] 余弦 tan (tg) tangent ["tandЗent] 正切 cot (ct) cotangent [kou"tandЗent] 余切 sec secant ["si:kant] 正割 csc cosecant [kou"si:kant] 余割 sinh / 双曲正弦 其实一般写作:sh 读作 赛恩(爱区) cosh / 双曲余弦 其实一般写作:ch 读作 扣赛恩(爱区) tanh / 双曲正切 其实一般写作:th 读作 天卷(爱区) coth / 双曲余切 其实一般写作:cth 扣天卷（爱区） sech / 双曲正割 读作 西看（爱区） csch / 双曲余割 读作 扣西看（爱区）

双曲函数这样读如下：（普通话拼音读法）双(shuāng)曲(qǔ)函(hán)数(shù)拼音，是拼读音节的过程，就是按照普通话音节的构成规律把声母、介母、韵母急速连续拼合并加上声调而成为一个音节。

反比例函数。之所以又叫双曲函数是因为它的图像是双曲线。

双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义 双曲正弦 sh z ＝（ez－e－z）/2 （1） 双曲余弦 ch z ＝（ez＋e－z）/2 （2） 双曲正切 th z ＝ sh z /ch z ＝（ez－e－z）/（ez＋e－z） （3） 双曲余切 cth z ＝ ch z/sh z＝（ez＋e－z）/（ez－e－z） （4） 双曲正割 sech z ＝1/ch z （5） 双曲余割 csch z ＝1/sh z （6）其中，指数函数（exponential function）可由无穷级数定义 ez＝1＋z/1！＋z2/2！＋z3/3！＋z4/4！＋…＋zn/n！＋… （7） 双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为ar sh z、ar ch z、ar th z等。 双曲函数并非单纯是数学家头脑中的抽象，在物理学众多领域可找到丰富的实际应用实例。 1、阻尼落体 在空气中由静止开始下落的小石块既受重力的作用又受到阻力的作用。设小石块的质量为m，速度为v，重力加速度为g，所受空气阻力假定与v2正比，阻尼系数为μ。设初始时刻小石块静止。求其小石块运动速度与时间的关系。 解： 小石块遵循的运动方程为 mdv/dt=mg―μv2 （8） 这是Riccati方程，它可以精确求解。 依标准变换方式，设 v=（m/μ）（z′/z） （9） 代入（8）式，再作化简，有 z"" ―(gμ /m)z=0 （10） （10）式的通解是 z=C1exp（√gμ /m t）+ C2exp（－√gμ /m t） （11） 其中，C1和C2是任意常数。 由于小石块在初始时刻是静止的，初始条件为 v（0）=0 （12） 这等价于 z′（0）=0 （13） 因此，容易定出 C2=－C1 （14） 将（14）式代入（11）式，再将（11）式代入（9）式，就可得 满足初始条件的解 v=√mg/μ tanh(√μg/m t ) （15） 图1：阻尼落体时速度和时间的关系 我们可以作一下定性的分析。小石块初始时刻静止。因此，随着时间增加，开始时小石块速度较小，小石块所受的阻力影响较小，此时，小石块与不受阻力的自由落体运动情况相类似，小石块加速度几乎是常数。反映在图1中，起始段t和v的关系是直线。当小石块速度很大时，重力相对于阻力来说可以忽略，阻力快速增加到很大的数值，导致小石块的速度几乎不再增加。此时，小石块加速度接近零，v几乎不随时间而变化。从图1中可以看到，一段时间后，v相不多是一平行于t轴的直线。 2、导线电容 真空中两条圆柱形无穷长平行直导线，横截面的半径分别为R1和R2,中心线相距为d(d >R1+R2)。试求它们间单位长度的电容。 解： 设这两条导线都带电，单位长度的电荷量分别是为λ和―λ。 我们可以用电像法精确求解。电像法的思路是： 由于在静电平衡情况时，导线是等势体，因而我们可设想用偶极线来取代这两条圆柱形带电导线，适当地选择偶极线的位置，使它们所产生的两个等势面恰好与原来两导线的表面重合。这样就满足了边界条件。这里采用的偶极线是两条无穷长的均匀带电平行直线，它们单位长度的电荷量也分别为λ和―λ。这偶极线便是原来两带电导线的电像。于是就可以计算电势，从而求出电容来。为此先求偶极线的等势面。 以偶极线所在的平面为z-x平面，取笛卡儿坐标系，使偶极线对称地处在z轴的两侧，它们到z轴的距离都是a。如图2所示。这偶极线所产生的电势便为 φ=φ1+φ2 =（λ/2πε0）In（r1′ / r1）+（―λ/2πε0）In（r2′ / r2） =（λ/2πε0）In[（r2 / r1）（r1′/ r2′）] （16） y P r2 r1 R2 ―λ +λ R1 x O a a a2 a1 图2：带电导线与其镜像 式中r1′和r2′分别是偶极线λ和―λ到某个电势参考点的距离。为方便起见，我们取z轴上的电势为零，这样，r1′=r2′= a，于是，（16）式便化为 φ=（λ/2πε0）In（r2 / r1） （17） 由于对称性，平行于z轴的任何一条直线都是偶极线的等势线。所以，我们只须考虑z-y平面内任意一点P（z，y）的电势即可。于是 φ=（λ/4πε0）In{[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2] } （18） 故偶极线的等势面方程便为 [（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2]=k2 （19） 式中 k2 =e4πε0φ/λ （20） 令 c=[（k2+1）/（ k2―1）]a （21） 则（19）式可化为 （x―c）2+y2=[4k2/（ k2―1）2]a 2 （22） 这表明，偶极线的等势面都是轴线平行于z轴的圆柱面，它们的轴线都在z轴上z=c处，其横截面的半径为 R=∣2k/（ k2―1） ∣a （23） 这个结果启示，我们可以找到偶极线的两个等势面，使它们分别与原来两导线的表面重合。这只要下列等式成立就可以了： a1= ∣c1∣=[（k12+1）/（ k12―1）]a （24） R1=∣2k1/（ k12―1） ∣a （25） a2= ∣c2∣=[（k22+1）/（ k22―1）]a （26） R2=∣2k2/（ k22―1） ∣a （27） d=a1+a2 （28） 由（24）至（27）式得 a12―R12=a2= a22―R22 （29） 原来两导线表面的方程是 R1：（x―a1）2+y2= R12 （30） R2：（x+a2）2+y2= R22 （31） 利用（29）式，可以把（30）和（31）式分别化为 x2+y2+ a2= 2a1 x （32） x2+y2+ a2= ―2a2 x （33） 利用（32）和（33）两式，由（18）式得出，半径为R1和R2的两导线的电势分别为 φ1=（λ/4πε0）In[（a1+a）/ （a1―a）] （34） φ2=―（λ/4πε0）In[（a2+a）/ （a2―a）] （35） 于是两导线的电势差便为 U=φ1+φ2=（λ/2πε0）In[（a1+a）（a2―a）/ R1R2] （36） 用已知的量消去未知数，可以得出 U=（λ/2πε0）In[（d2―R12―R2）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R2）/ 2R1R2]2―1] （37） 最后得出原来两导线为l一段的电容为 C=Q/U=2πε0l/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/ 2R1R2]2―1] （38） 单位长度的电容为 c=2πε0/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/ 2R1R2]2―1] （39） 利用反两曲余弦关系式 archx= In[（x+√x2―1）] （40） 对本题的精确解表示作简洁表示 c=2πε0/ arch[（d2―R12―R22）/ 2R1R2] （41） 最后一式可以在一般手册上查到。 3、粒子运动轨迹 一电荷量为q、静质量为m0的粒子从原点出发，在一均匀电场E中运动，E=Eez沿z轴方向，粒子的初速度沿y轴方向，试证明此粒子的轨迹为 x=（W0/qE）[cosh（qEy/p0c）―1] （42） 式中p0是粒子出发时动量的值，W0是它出发时的能量。 解： 带有电荷量q的粒子在电磁场E和B中的相对论性的运动方程为 dp/dt=q（E+v×B） （43） 式中v是粒子的速度，p是粒子的动量 p=mv=mv0/√1－v2/c2 （44） 本题运动方程的分量表示式为 dpx=qE dpy=0 dpz=0 （45） 解之，有 px =qEt+C1 py = C2 pz = C3 （46） 代入t=0时初始条件 px（0）=0 py（0）= p0 pz（0）= 0 （47） 定出积分常数后，可知 px=qEt py= p0 pz= 0 （48） 粒子的能量为 W=mc2 =√p2c2+m02c4 =√（px2+ py2+ pz2）c2+m02c4 =√q2E2 c2t2+W02 （49） 因dx/dt=qEt/m=qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 （50） 积分得 x=∫[qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 ]dt = [√q2E2 c2t2+W02 －W02]/qE （51） 又由（48）式得 dy/dt=p0/m=p0c2/√q2E2 c2t2+W02 （52） 积分得 y=∫[p0c2 /√q2E2 c2t2+W02 ]dt =（p0c /qE）arsh（qEct/W0） （53） 或 （qEct/W0）= sinh （qEy/ p0c） （54） 在（51）式和（54）式中消去t，有 x=（W0/qE）[√1+ sinh2（qEy/ p0c）－1 ] （55） 利用恒等变换公式 cosh2x―sinh2x=1 （56） （55）式可以写成 x=（W0/qE）[cosh2（qEy/ p0c）－1 ] （57） （57）式是一种悬链线。 图3：匀强电场中粒子的悬链线运动轨迹 讨论： 因双曲余弦泰勒级数展开式是 cosh（x）=1+x2/2!+x4/4!+x6/6!+…… （58） 当v/c →0时，保留前2项，得 x=（qE/2m v02）y2 （59） （59）式是抛物线轨迹。《普通物理学》教材用经典牛顿力学求解，普遍会给有这个结果。这表示，非相对论确是相对论在v/c →0时的极限。或者说，（59）式成立的条件是v/c＜＜1，这也是牛顿力学的适用范围。 4、非线性方程求解 如著名的KdV（Korteweg-de Vries）方程的形式为 ux+uux+βuxxx=0 （60） 它是非线性的频散方程，其中β是频散系数。用双曲函数展开法求其某些特殊精确解。 解： 考虑其行波解 u（x，t）=φ（ξ） （61） 其中， ξ=kx－ωt+ξ0 （62） KdV方程成为 －ωφξ+kφφξ+k3βφξξξ=0 （63） 记 f=1/（coshξ+r）,g=sinhξ/（coshξ+r） （64） 尝试 φ=a0+a1f+a2g （65） 注意存在关系式 df/dξ=－fg dg/dξ=1－g2－rg g2=1－2rf+（r2－1）f2 （66） 将（65）式代入（63）式，并在（66）式的帮助下使所得方程中各项只含有f和g的幂次项，且g的幂次项不大于1。合并f和g的同次幂项并取其系数为零，就得到方程（63）对应的非线性代数方程组 －6βk3b1（r2－1）2=0, －6βk3a1（r2－1）=0, －2kb1（r2－1）（－6βk2r+ a1）=0, －k（－6βk2r a1+ a12－b12+ b12r2）=0, b1（4βk3+ka0－ka0r2+3ka1 r－7βk3 r2+ cr2－c）=0, ωa1+kb12 r－βk3 a1－ka0a1=0, －b1（ka1+ωr－βk3r－ka0r）=0 （67） 用计算机代数系统Maple对此超定方程组进行运算，可求得k≠0，ω≠0时的一个非平凡精确解 φ=（ω－βk3）/k+6βk2/（coshξ+1）=0 （68） 其中，k、ω、ξ0为任意常数 。 （68）式是孤波解，图4绘出了其函数图像形状（作图时取了β=1/6 k2，ω=βk3）。 图4： KdV方程的孤波解 从以上的讨论中可知，无论是在经典或近代的物理学内容中，还是在正在发展中的物理学内容中，双曲函数起着不可或缺的重要作用。 参 考 文 献 2、吕克璞、石玉仁等，《物理学报》，50（2001）2074。参考资料：1、林旋英、张之翔，《电动力学题解》，科学出版社，1999年第一版；

asinht=x就可以了然后dx=asinht，利用sinht的平方+1=cht的平方

[sh(x)]"=ch(x)[ch(x)]"=sh(x)[th(x)]"=[shx/chx]"=[ch(x)^2-sh(x)^2]/ch(x)^2=1/ch(x)^2[cth(x)]"=(chx/shx)`=-1/(sh^2x)