数论四大定理之欧拉定理

欧拉定理 1、初等数论中的欧拉定理：　　对于互质的整数a和n，有a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 　　证明： 　　首先证明下面这个命题： 　　对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 　　则S = Zn 　　1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此 　　任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素 　　2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj 　　则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。 　　所以，很明显，S=Zn 　　既然这样，那么 　　（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n) 　　= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n) 　　= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n) 　　考虑上面等式左边和右边 　　左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n) 　　右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n) 　　而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质 　　根据消去律，可以从等式两边约去，就得到： 　　a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 　　推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n) 　　费马定理: 　　a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p) 　　证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。 　　同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a (mod p) 2、平面几何里的欧拉定理：　　（1） (Euler定理)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2-2Rr．　　证明：如右下图，O、I分别为⊿ABC的外心与内心．　　连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分ÐBAC，故D为弧BC的中点．　　连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径．　　由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明）　　但DB=DI（可连BI，证明ÐDBI=ÐDIB得），　　故只需证2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r 即可． 　　而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得．故得R2-d2=2Rr，即证．　　（2）四边形ABCD的两条对角线AC、BD的中点分别为M、N,则：AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4MN^2.　　证明：如右上图，连接BD、BM，由中线公式有AB^2+BC^2=2(BM^2+AM^2).DA^2+CD^2=2(DM^2+AM^2,又BM^2+DM^2=2(BN^2+MN^2),4AM^2=AC^2, 4BN^2=BD^2,故AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(BM^2+DM^2)+4AM^2=4BN^2+4MN^2+4AM^2=AC^2+BD^2+4MN^2　　注：当A、B、C、D为空间四点时，结论依然成立，且有AB^2+BC^2+CD^2+DA^2≥ AC^2+BD^2,此结论为第四届美国数学奥林匹克试题　　 [编辑本段]欧拉公式　　简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系　　V+F-E=2　　这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。 [编辑本段]认识欧拉　　欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。　　欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。　　欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等，至今沿用。　　欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月离问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。那么什么是“拓扑学”？ 欧拉是如何发现这个关系的？他是用什么方法研究的？今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式...... [编辑本段]欧拉定理的意义　　（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律　　（2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。　　（3）引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。　　定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。　　（4）提出多面体分类方法：　　在欧拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。　　除简单多面体外，还有非简单多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。　　（5）利用欧拉定理可解决一些实际问题　　如：为什么正多面体只有5种？ 足球与C60的关系？否有棱数为7的正多面体？等 [编辑本段]欧拉定理的证明　　方法1：（利用几何画板）　　逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E　　先以简单的四面体ABCD为例分析证法。　　去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1　　（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。　　（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。　　以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。 　　对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。　　方法2：计算多面体各面内角和　　设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和Σα　　一方面，在原图中利用各面求内角总和。 　　设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：　　Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度]　　= (n1+n2+…+nF -2F) ·180度　　=(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 （1）　　另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。　　设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度。　　所以，多面体各面的内角总和：　　Σα = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度　　=（V-2）·360度（2）　　由(1)(2)得： (E-F) ·360度=（V-2）·360度 　　所以 V+F-E=2. 　　方法3 用拓朴学方法证明欧拉公式 　　 图尝试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。　　欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末　　F-E+V=2。　　证明 如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）：　　（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。　　（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。　　（3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。　　（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。　　（5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。　　（6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。　　（7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。　　（8）如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。　　即F′-E′+V′=1　　成立，于是欧拉公式：　　F-E+V=2　　得证。 [编辑本段]欧拉定理的运用方法　　（1）分式： 　　a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 　　当r=0,1时式子的值为0 　　当r=2时值为1 　　当r=3时值为a+b+c 　　（2）复数 　　由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： 　　sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i 　　cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2　　（3）三角形 　　设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： 　　d＾2=R＾2-2Rr 　　（4）多面体 　　设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则 　　v-e+f=2-2p　　p为欧拉示性数，例如 　　p=0 的多面体叫第零类多面体 　　p=1 的多面体叫第一类多面体 　　(5) 多边形　　设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有：　　V+Ar-B=1　　(如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8)　　(6). 欧拉定理　　在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。　　其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。 [编辑本段]使用欧拉定理计算足球五边形和六边形数　　问：足球表面由五边型和六边型的皮革拼成，计算一共有多少个这样的五边型和六边型？　　答：足球是多面体，满足欧拉公式F－E＋V＝2，其中F,E,V分别表示面,棱,顶点的个数　　设足球表面正五边形(黑皮子)和正六边形(白皮子)的面各有x个和y个，那么　　面数F＝x＋y　　棱数E＝(5x+6y)/2（每条棱由一块黑皮子和一块白皮子共用）　　顶点数V＝(5x+6y)/3（每个顶点由三块皮子共用）　　由欧拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，　　解得x＝12。所以，共有12块黑皮子　　所以，黑皮子一共有12×5＝60条棱，这60条棱都是与白皮子缝合在一起的　　对于白皮子来说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起。　　所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的　　那么白皮子就应该一共有60×2＝120条边，120÷6＝20　　所以共有20块白皮子 　　（或者，每一个六边形的六条边都与其它的三个六边形的三条边和三个五边形的三条边连接；每一个五边形的五条边都与其它的五个六边形的五条边连接　　所以，五边形的个数x=3y/5。　　之前求得x=12，所以y=20）　　经济学中的“欧拉定理”　　在西方经济学里，产量和生产要素L、K的关系表述为Q＝Q(L，K)，如果具体的函数形式是一次齐次的，那么就有：Q＝L(ðQ/ðL)＋K(ðQ/ðK)，换句话说，产品分配净尽取决于Q能否表示为一个一次齐次函数形式。 　　因为ðQ/ðL＝MPL＝w/P被视为劳动对产量的贡献，ðQ/ðK＝MPK＝r/P被视为资本对产量的贡献，因此，此式被解释为“产品分配净尽定理”，也就是所有产品都被所有的要素恰好分配完而没有剩余。因为形式上符合数学欧拉定理，所以称为欧拉定理。　　【同余理论中的"欧拉定理"】　　设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(f(m))≡1(mod m)　　(注:f(m)指模m的简系个数) [编辑本段]欧拉公式　　在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。 　　1、复变函数论里的欧拉公式：　　e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。　　它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。　　将公式里的x换成-x，得到：　　e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：　　sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.　　这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：　　e^i∏+1=0.　　这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。　　2、拓扑学里的欧拉公式：　　V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。　　如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。　　X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。　　3、初等数论里的欧拉公式：　　欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。　　欧拉证明了下面这个式子：　　如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。则有　　φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)　　利用容斥原理可以证明它。　　定理：正整数a与n互质，则a^φ(n)除以n余1　　证明：设集合{A1,A2,...,Am}为模n的一个缩系（若整数A1,A2,...,Am模n分别对应0,1,2,...,n-1中所有m个与n互素的自然数,则称集合{A1,A2,...,Am}为模n的一个缩系）　　则{a A1,a A2,...,a Am}也是模n的一个缩系（如果a Ax与a Ay (x不等于y)除以n余数相同，则a(Ax-Ay)是n的倍数，这显然不可能）　　即A1*A2*A3*……Am≡aA1*aA2*……aAm(mod n) （这里m=φ(n)）　　两边约去A1*A2*A3*……Am即得1≡a^φ(n)（mod n）

1、初等数论中的欧拉定理：　　对于互质的整数a和n，有a^φ(n) ≡ 1 (mod n)证明：首先证明下面这个命题：对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)}则S = Zn1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。所以，很明显，S=Zn既然这样，那么（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)考虑上面等式左边和右边左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：a^φ(n) ≡ 1 (mod n)推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)费马定理:a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a (mod p) 2、平面几何里的欧拉定理：　　（1） (Euler定理)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2-2Rr．证明：如右下图，O、I分别为⊿ABC的外心与内心．连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分ÐBAC，故D为弧BC的中点．连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径．由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明）但DB=DI（可连BI，证明ÐDBI=ÐDIB得），故只需证2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r 即可．而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得．故得R2-d2=2Rr，即证．（2）四边形ABCD的两条对角线AC、BD的中点分别为M、N,则：AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4MN^2.证明：如右上图，连接BD、BM，由中线公式有AB^2+BC^2=2(BM^2+AM^2).DA^2+CD^2=2(DM^2+AM^2,又BM^2+DM^2=2(BN^2+MN^2),4AM^2=AC^2, 4BN^2=BD^2,故AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(BM^2+DM^2)+4AM^2=4BN^2+4MN^2+4AM^2=AC^2+BD^2+4MN^2注：当A、B、C、D为空间四点时，结论依然成立，且有AB^2+BC^2+CD^2+DA^2≥ AC^2+BD^2,此结论为第四届美国数学奥林匹克试题

欧拉公式（英语：Euler"s formula，又称尤拉公式）是复分析领域的公式，它将三角函数与复指数函数关联起来，因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明。后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。复数幂的定义指数函数Ë X为的实际值X可以在几个不同的等效的方式来定义（见指数函数的表征）。这些中的一些方法可以直接延伸到给的定义Ë ž为复数值ž简单地通过取代ž代替X和使用复杂的代数运算。特别是我们可以使用以下三个定义中的任何一个，它们是等效的。

在数论中,欧拉定理（Euler Theorem,也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质.欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉,该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一.欧拉定理实际上是费马小定理的推广....

欧拉定理公式：e^（ix）=cosx+isinx。其中e是自然对数的底，i是虚数单位。欧拉定理公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律。定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学，即用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料做成图形，并研究在这种变形过程中不变的性质。

复变函数论里的欧拉公式定理内容e^ix=cosx+isinxe是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。“上帝创造的公式”将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

欧拉定理是指互质且大于1的两个正整数a与n存在如下关系：(a^F(n)) % n = 1, 其中F(n)为欧拉函数。 设[1, n]内与n互质的数集为X，每个元素为x, 设f=F(n)，则X的元素个数为f 设R=(a^f) % n，因为a与n互质，所以a^f与n互质，所以R属于[1, n) 根据 定理 ，a*1, a*2, ..., a*n为n的一个完全剩余系，因此，对任意两个不同的x元素， 其 (a*x) % n 也不同。 因为a与x都与n互质，所以a*x与n互质，根据 定理 ， (a*x)%n 与 n 互质。 综上所述，(a*x) % n 是[1, n)范围内 f 个两两不同且均与n互质的数，因此它们就是数集X，即： ((a*x1) % n)  *  .....   * ((a*xf) % n) = x1* ....  *xf 两边均对n取模，则（ ((a*x1) % n)  *  .....   * ((a*xf) % n) ) % n= (x1* ....  *xf) % n ，设为k 根据模的乘积 定理 ，即 ( (a*x1) *  .....   *(a*xf) ) % n = k 即 (  (a^f)  *  (x1* ....  *xf)  ) % n = k  再次运用模的乘积定理，即(  ( (a^f) % n)  *  ((x1* ....  *xf)%n) ) % n = k ,即(R*k)%n=k 因为x与n互质，所以(x1* ....  *xf)与n互质，所以k与n互质，根据完全剩余系定理，1*k, 2*k,  ... , n*k 是n的一个完全剩余系 因为R属于[1, n), 且当R=1时，(R*k)%n=k%n=k， 所以当R不等于1时，根据完全剩余系互不相等，则(R*k)%n不等于k，这与(R*k)%n=k矛盾，因此R不等于1是不可能存在的。 因此R=1，证明完毕。 欧拉定理及其证明_ymzqwq的博客-CSDN博客_欧拉定理证明 https://blog.csdn.net/ymzqwq/article/details/96269772 浅谈欧拉定理的证明 - _王小呆 - 博客园 (cnblogs.com) https://www.cnblogs.com/wangxiaodai/p/9758242.html RSA算法原理 - 知乎 (zhihu.com) https://zhuanlan.zhihu.com/p/48249182#:~:text=RSA%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%8E%9F%E7%90%86%201%20%EF%BC%881%EF%BC%89%E4%B9%99%E6%96%B9%E7%94%9F%E6%88%90%E4%B8%A4%E6%8A%8A%E5%AF%86%E9%92%A5%20%28%E5%85%AC%E9%92%A5%E5%92%8C%E7%A7%81%E9%92%A5%29%E3%80%82...,2%20%EF%BC%882%EF%BC%89%E7%94%B2%E6%96%B9%E8%8E%B7%E5%8F%96%E4%B9%99%E6%96%B9%E7%9A%84%E5%85%AC%E9%92%A5%EF%BC%8C%E7%84%B6%E5%90%8E%E7%94%A8%E5%AE%83%E5%AF%B9%E4%BF%A1%E6%81%AF%E5%8A%A0%E5%AF%86%E3%80%82%203%20%EF%BC%883%EF%BC%89%E4%B9%99%E6%96%B9%E5%BE%97%E5%88%B0%E5%8A%A0%E5%AF%86%E5%90%8E%E7%9A%84%E4%BF%A1%E6%81%AF%EF%BC%8C%E7%94%A8%E7%A7%81%E9%92%A5%E8%A7%A3%E5%AF%86%E3%80%82

欧拉公式证明：R+ V- E= 2。拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。e是自然对数的底，i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。欧拉让微积分长大成人：恩格斯曾说，微积分的发明是人类精神的最高胜利。1687年，牛顿在《自然哲学数学原理》一书中公开发表他的微积分学说，几乎同时，莱布尼茨也发表了微积分论文，但牛顿、莱布尼茨创始的微积分基础不稳，应用范围也有限。18世纪一批数学家拓展了微积分，并拓广其应用产生一系列新的分支，这些分支与微积分自身一起形成了被称为“分析”的广大领域。李文林说：“欧拉就生活在这个分析的时代。如果说在此之前数学是代数、几何二雄并峙，欧拉和18世纪其他一批数学家的工作则使得数学形成了代数、几何、分析三足鼎立的局面。如果没有他们的工作，微积分不可能春色满园，也许会打不开局面而荒芜凋零。欧拉在其中的贡献是基础性的，被尊为‘分析的化身"。”

欧拉线定理：三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。内容：三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。证明：设△ABC的垂心、重心、外心分别为H，G，O、则向量OH=向量OA+向量OB+向量OC。而向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3。向量OH=3向量OG。所以O、G、H三点共线，且外心和重心的距离是垂心和重心的距离一半。欧拉定理指出：如果产品市场和要素市场都是完全竞争的，而且厂商生产的规模报酬不变，那么在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。

欧拉公式：R+ V- E= 2。在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉）于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。用数学归纳法证明( 1)当R= 2时，这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”，即R= 2，V= 2，E= 2；于是R+ V- E= 2，欧拉定理成立。( 2)设R= m(m≥2)时欧拉定理成立，下面证明R= m+ 1时欧拉定理也成立。在R= m+ 1的地图上任选一个区域X ,则X必有与它如此相邻的区域Y，使得在去掉X和Y之间的唯一一条边界后，地图上只有m个区域了；在去掉X和Y之间的边界后，若原该边界两端的顶点现在都还是3条或3条以上边界的顶点，则该顶点保留，同时其他的边界数不变；若原该边界一端或两端的顶点现在成为2条边界的顶点，则去掉该顶点，该顶点两边的两条边界便成为一条边界。于是在去掉X和Y之间的唯一一条边界时只有三种情况：①减少一个区域和一条边界。②减少一个区域、一个顶点和两条边界。③减少一个区域、两个顶点和三条边界。即在去掉X和Y之间的边界时，不论何种情况都必定有“减少的区域数＋减少的顶点数＝减少的边界数”我们将上述过程反过来（即将X和Y之间去掉的边界又照原样画上），就又成为R= m+ 1的地图了，在这一过程中必然是“增加的区域数＋增加的顶点数＝增加的边界数”。因此，若R= m (m≥2)时欧拉定理成立，则R= m+ 1时欧拉定理也成立。由（1)和（2)可知，对于任何正整数R≥2,欧拉定理成立。

欧拉公式简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。证明方法：方法1：（利用几何画板）逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E先以简单的四面体ABCD为例分析证法。去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E=2。对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。方法2：计算多面体各面内角和设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α一方面，在原图中利用各面求内角总和。设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：∑α=[(n1-2)·1800+(n2-2)·1800+…+(nF-2)·1800]=(n1+n2+…+nF-2F)·1800=(2E-2F)·1800=(E-F)·3600（1）另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。所以，多面体各面的内角总和：∑α=(V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800=（V-2）·3600.（2）由(1)(2)得：(E-F)·3600=（V-2）·3600所以V+F-E=2.

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。　欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。　欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等，至今沿用。　欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月地问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。

对的可以想象把一个多面体压到一个平面上啊~~~望采纳~~~

欧拉公式的意义是可以测算摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系，在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉定理，它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明，称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。 从多面体去掉一面，通过把去掉的面的边互相拉远，把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络。不失一般性，可以假设变形的边继续保持为直线段。正常的面不再是正常的多边形即使开始的时候它们是正常的。但是，点，边和面的个数保持不变，和给定多面体的一样(移去的面对应网络的外部。)

逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E先以简单的四面体ABCD为例分析证法。去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=11．去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。2．从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一个点。以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。计算多面体各面内角和设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图），求所有面内角总和Σα一方面，在原图中利用各面求内角总和。设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度]= (n1+n2+…+nF -2F) ·180度=(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 （1）另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度。所以，多面体各面的内角总和：Σα = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度=（V-2）·360度（2）由(1)(2)得：(E-F) ·360度=（V-2）·360度所以 V+F-E=2.用拓扑学方法证明尝试一下用拓扑学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末F-E+V=2。证明 如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）：1．把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。2．去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。3．对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。4．如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。5．如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。6．这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。7．因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。8．如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。即F′-E′+V′=1成立，于是欧拉公式：F-E+V=2 得证。 例：足球表面由五边形和六边形的皮革拼成，计算一共有多少个这样的五边形和六边形？答：足球是多面体，满足欧拉公式F－E+V=2，其中F,E,V分别表示面，棱，顶点的个数设足球表面正五边形(黑皮子)和正六边形(白皮子)的面各有x个和y个，那么面数F=x+y棱数E=(5x+6y)/2（每条棱由两块皮子共用）顶点数V=(5x+6y)/3（每个顶点由三块皮子共用）由欧拉公式，x+y－(5x+6y)/2+(5x+6y)/3=2，解得x=12。所以，共有12块黑皮子所以，黑皮子一共有12×5=60条棱，这60条棱都是与白皮子缝合在一起的对于白皮子来说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起。所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的那么白皮子就应该一共有60×2=120条边，120÷6=20所以共有20块白皮子（或者，每一个六边形的六条边都与其它的三个六边形的三条边和三个五边形的三条边连接；每一个五边形的五条边都与其它的五个六边形的五条边连接所以，五边形的个数x=3y/5。之前求得x=12，所以y=20）

不是，是OH：OG=1：2

根据欧拉定理，对于任意正整数a和m，若a和m互质，则有：a^φ(m) ≡ 1 (mod m)其中，φ(m)表示欧拉函数，表示小于等于m的正整数中与m互质的数的个数。对于本题，由于3和10不互质（它们有公共的因子2和5），所以不能直接使用欧拉定理。但是我们可以观察到，3^406的个位数是多少，就可以得到其关于10的余数。首先计算3^1, 3^2, 3^3, ..., 3^10，可以得到它们的个位数依次为：3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, 3, 9可以发现，它们的个位数循环出现，且循环节长度为4。也就是说：3^4 ≡ 1 (mod 10)因此，可以将指数406表示为4的倍数加上一个小于4的余数：406 = 4 × 101 + 2则：3^406 = (3^4)^101 × 3^2 ≡ 1^101 × 9 (mod 10) ≡ 9 (mod 10)因此，3的406次方对10取模的结果为9。

设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr．证明　　O、I分别为⊿ABC的外心与内心．　　连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分ÐBAC，故D为弧BC的中点．　　连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径．　　由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明）　　但DB=DI（可连BI，证明ÐDBI=ÐDIB得），　　故只需证2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r即可．　　而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得．故得R^2-d^2=2Rr，即证．

欧拉公式简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。证明方法：方法1：（利用几何画板）逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E先以简单的四面体ABCD为例分析证法。去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E=2。对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。方法2：计算多面体各面内角和设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α一方面，在原图中利用各面求内角总和。设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：∑α=[(n1-2)·1800+(n2-2)·1800+…+(nF-2)·1800]=(n1+n2+…+nF-2F)·1800=(2E-2F)·1800=(E-F)·3600（1）另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。所以，多面体各面的内角总和：∑α=(V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800=（V-2）·3600.（2）由(1)(2)得：(E-F)·3600=（V-2）·3600所以V+F-E=2.

欧拉函数From KeyinWikiJump to: navigation, search在数论，对正整数n，欧拉函数varphi(n)是少於或等於n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler"s totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如varphi(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。 [编辑]φ函数的值varphi(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。 若n是质数p的k次幂，varphi(n)=p^a-p^{a-1}=(p-1)p^{k-1}，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。 欧拉函数是积性函数——若m,n互质，varphi(mn)=varphi(m)varphi(n)。证明：设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩馀定理，A imes B和C可建立一一对应的关系。因此varphi(n)的值使用算术基本定理便知， 若n = prod_{pmid n} p^{alpha_p}， 则varphi(n) = prod_{pmid n} p^{alpha_p-1}(p-1) = nprod_{p|n}left(1-frac{1}{p} ight)。 例如varphi(72)=varphi(2^3 imes3^2)=2^{3-1}(2-1) imes3^{2-1}(3-1)=2^2 imes1 imes3 imes2=24 [编辑]和费马小定理的关系对任何两个互质的正整数a, m，mge2，有 a^{varphi(m)} equiv 1 pmod m 当m是质数p时，此式则为： a^{p-1} equiv 1 pmod p 即费马小定理。de:Eulersche φ-Funktion en:Euler"s totient function es:Función fi de Euler fr:Indicatrice d"Euler hu:Euler-függvény it:Funzione phi di Eulero ja:オイラーのφ関数 ko: nl:Indicator van n sl:Eulerjeva funkcija fi sv:Eulers phi-funktion 取自" http://wiki.keyin.cn/index.php/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0"

1、在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。 2、欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2，即V-E+F=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。

e^ix=cosx+isinx或sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.

在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。e^(iπ)+1=0.这个等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

欧拉定理(欧拉公式) V + F- E = 2 (简单多面体的顶点数 V,棱数 E 和面数 F).

1.在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。 2.复数中的欧拉定理也称为欧拉公式，被认为是数学世界中最美妙的定理之一。 3. 欧拉定理实际上是费马小定理的推广。 4.此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2，即V-E+F=2)。 5.西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。 6.另有欧拉公式。

用拓朴学方法证明欧拉公式　　图尝试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。　　欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末　　F-E+V=2。　　证明如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）：　　（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。　　（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。　　（3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。　　（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。　　（5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。　　（6）这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。　　（7）因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。　　（8）如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。　　即F′-E′+V′=1　　成立，于是欧拉公式：　　F-E+V=2　　得证。

欧拉定理，也称费马-欧拉定理。若n,a为正整数，且n,a互素，即gcd(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

欧拉公式 e^(ix) = cosx + isinx. e^(ix) = cosx + isinx, 则 e^(-ix) = cosx - isinx两式相减得 e^(ix) - e^(-ix) = 2isinx得 sinx = [e^(ix) - e^(-ix)]/(2i)

简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系 V+F-E=2这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。方法1：（利用几何画板） 逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E 先以简单的四面体ABCD为例分析证法。 去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1 （1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。 对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。 方法2：计算多面体各面内角和设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α一方面，在原图中利用各面求内角总和。 设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800]= (n1+n2+…+nF -2F) ·1800=(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1）另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。所以，多面体各面的内角总和：∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800 =（V-2）·3600. （2）由(1)(2)得： (E-F) ·3600 =（V-2）·3600 所以 V+F-E=2. （1）分式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c （2）复数 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2（3）三角形 设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面体 设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则 v-e+f=2-2pp为欧拉示性数，例如 p=0 的多面体叫第零类多面体 p=1 的多面体叫第一类多面体 (5) 多边形设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有：V+Ar-B=1(如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8) (6). 欧拉定理在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。

高等代数中使用欧拉公式将三角函数转换为指数(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]。cosα=1/2[e^(iα)+e^(-iα)]。sinα=-i/2[e^(iα)-e^(-iα)]。泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。三角函数与欧拉定理：假设生产函数为：Q=f(L.K)(即Q为齐次生产函数),定义人均资本k=K/L方法1:根据齐次生产函数中不同类型的生产函数进行分类讨论(1)线性齐次生产函数n=1,规模报酬不变,因此有:Q/L=f(L/L,K/L)=f(1,k)=g(k)k为人均资本，Q/L为人均产量，人均产量是人均资本k的函数。让Q对L和K求偏导数,有:∂Q/∂L=∂[L*g(k)]/∂L=g(k)+L*[dg(k)/dk]*[dk/dL]=g(k)+L*g"(k)*(-K/)=g(k)-k*g"(k)∂Q/∂K=∂[L*g(k)]/ ∂K=L*[∂g(k)/∂k]=L*[dg(k)/dk]*[∂k/∂K]=L*g"(k)*(1/L)=g"(k)由上面两式，即可得欧拉分配定理：L*[∂Q/∂L]+K*[∂Q/∂K]=L*[g(k)-k*g"(k)]+K*g"(k)=L*g(k)-K*g"(k)+K*g"(k)=L*g(k)=Q。

a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c当r=4时值为a^2+b^2+c^2+ab+bc+car=5时值为a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c）+ca(c+a)+abc一般的，当r取正整数n时，有a^n/(a-b)(a-c)+b^n/(b-c)(b-a)+c^n/(c-a)(c-b) =∑ (a^i)*(b^j)*(c^k)，其中i，j，k是非负整数，且i+j+k=n。 由e^iθ=cosθ+isinθ，得到：sinθ=（e^iθ-e^-iθ）/2icosθ=（e^iθ+e^-iθ）/2 设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d^2=R^2-2Rr 设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则v-e+f=2-2pp为欧拉示性数，例如p=0 的多面体叫第零类多面体p=1 的多面体叫第一类多面体 设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有：V+Ar-B=1(如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8)定理内容在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。欧拉定理 若(a,n)=1，则aφ(n)≡1 (mod n) 其中n是正整数，φ(n)是小于n且与n互素的正整数的个数,称欧拉函数。 证：设R={x1,x2,...,xφ(n)}是由小于n且与n互素的全体数组成的集合，a╳R={ax1 mod n,ax2 mod n,...,axφ(n) mod n}},对a╳R中任一元素axi mod n，因a与n互素，xi与n互素，所以axi与n互素①②，又axi mod n<n，因而axi mod n∈R，所以a╳RR。 又a╳R中任意两个元素不相同，否则从axi mod n=axj mod n，由a与n互素知，a在mod n下有乘法逆元，故xi=xj③，与假设矛盾。因此，|a╳R|=|R|，a╳R=R。而所以aφ(n)≡1 (mod n)。 ①(A)设a,b和c是正整数，(a,b)=1，a|bc，则a|c。（涉最小公倍数证明从略） (B)设a,b和c是正整数，(a,b)=1，c|a，则(b,c)=1。 证：设(b,c)=d且d>1，则有d|b，d|c。由d|c，c|a，⇒d|a。由于d|a，d|b，所以d是a和b的公因数，而a,b的最大公因数(a,b)=1，与定义矛盾，因此(b,c)=1。 (C)设a,b和c是正整数，(a,b)=1，则(a,bc)=(a,c)。 证：设(a,c)=d1，(a,bc)=d2，一方面d1|a,d1|c，d2|a,d2|bc，⇒d1|a,d1|bc，⇒d1是a和bc的公因数，依定义:d1≤d2 另方面由d2|a,(a,b)=1及性质（7）得(d2,b)=1。从(d2,b)=1，d2|bc，由性质（6）得d2|c，⇒d2是a和c的公因数，依定义:d2≤d1 从而d2=d1，故(a,c)=(a,bc)。 推论：若(a,b)=(a,c)=1，则(a,bc)=1。 ②根据性质gad(a,b)=gad(b，r)，有(a,n)=(axi mod n,n)=1。 ③设axi mod n=axj mod n，1≢xi，xj≢n.⇔axi≡axj（mod n），由a与n互素知，a在mod n下有乘法逆元或消去律，⇔xi≡xj（mod n），⇔xi mod n≡xj mod n，记xi=nq1+r,xj=nq2+r,⇒xi-xj=n(q2-q1)⇒xi=xj+n(q2-q1)，若q2≠q1⇒xi>n,所以xi=xj。 ④[（a mod m）╳(b mod m)]mod m=(a╳b) mod m ∏（axi mod n）=∏xi，∏axi≡∏xi（ mod n），aφ(n) ∏xi≡∏xi（ mod n）。④ i=1 φ(n) i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 φ(n) φ(n) φ(n) φ(n) φ(n) 由每一xi与n互素，知∏xi与n互素，∏xi在mod n下有乘法逆元。 i=1 i=1 φ(n) φ(n)2011年~2012学年第一学期 密码学基础 网络工程0901-0902 开课时间：2011-08《现代密码学》，杨波，清华大学出版社，2007年4月 第4章公钥密码-欧拉定理 证 (a╳b) mod m=（jm+ra）╳(km+rb)mod m=((jkm+kra+jrb)m+rarb) mod m=(rarb) mod m=[（a mod m）╳(b mod m)]mod m。 费尔玛定理 若p是素数，a正整数，且(a,p)=1，则ap-1≡1(mod n) 证：欧拉定理取n为素数p，欧拉函数φ(p)=p-1，即得费尔玛定理。

不是什么平均值，就是边际值。你的例子举得完全不对，我没法帮你把你的例子修改成一个合理的例子。而且按照最一般的假定，K指的是资本，不是什么技术。最原始的生产模型F(L,K)中，只有劳动力和资本这两个生产要素。但如果你精通多元微积分，你会知道增加更多的要素，本质上没有区别（所以你当然可以加入一个新的技术要素）这个公式用微积分很容易推导，你在任何一本中级以上的经济学原理上都找得到推到，在此不赘。关键是你要注意定理的假设和内在含义。这个定理有这样两个个关键性假设：1、规模报酬不变，或者说，Q=F(L,K)这个函数满足其次性，这样那个数学推导才能成立；2、市场价格唯一，完全竞争性市场。因为是完全竞争性市场，且满足一价律，所以市场价格等于边际产出，也就是说资本报酬（利率）为MPK，劳动力报酬（工资）MPL才能成立。最后，这个定理又叫做产品分配净尽定理，为什么这么叫呢？因为经济总产出全部分给了劳动和资本这两个要素。Q是总产出，MPK是资本价格（利率），MPK*K就是资本在生产中的所得；类似的MPL*L是劳动力在生产中所得。Q=MPL*L+MPK*K，产出（在充分竞争的市场条件下）完全的分配给了劳动力和资本两个要素，没有剩余。

齐次欧拉方程的通解公式：u＋xu"＝(u－1)/(4u＋1)。(4u＋1)/(1＋4u^2)du＝－dx。ln(1＋4u^2)＋arctan(2u)＋2x＝C。 ln(1＋4y^2/x^2)＋arctan(2y/x)＋2x＝C。∵（1+x^2）y""=2xy"==>（1+x^2）dy"/dx=2xy"。=>dy"/y"=2xdx/（1+x^2）。=>ln│y"│=ln（1+x^2）+ln│C1│（C1是积分常数）。∴原方程的通解是y=C1（x+x^3/3）+C2。应用首先看一个基本的例子。令a = 3，n = 5，这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以φ(5)=4（详情见[欧拉函数]）。计算:a^{φ(n)} = 3^4 =81，而81= 80 + 1 Ξ 1 （mod 5）。与定理结果相符。这个定理可以用来简化幂的模运算。比如计算7^{222}的个位数，实际是求7^{222}被10除的余数。7和10[[互素]]，且φ(10)=4。由欧拉定理知7^4Ξ1(mod 10)。所以7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。

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欧拉公式证明是，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R加V减E等于2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler欧拉 于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其为Descartes定理。第一个欧拉公式的严格证明，由20岁的柯西给出，大致如下，从多面体去掉一面，通过把去掉的面的边互相拉远，把所有剩下的面变成点和曲线的平面网络，不失一般性，可以假设变形的边继续保持为直线段。欧拉公式的意义数学规律，公式描述了简单多面体中顶点数，面数，棱数之间特有的规律，思想方法创新，定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸，方法上将底面剪掉，化为平面图形。引入拓扑学，从立体图到拉开图，各面的形状，长度，距离，面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变，定理引导我们进入一个新几何学领域，拓扑学，我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料如橡皮波做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。在欧拉公式中，fp等于V加F减E叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体fp等于2，除简单多面体外，还有非简单多面体，例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。

　　在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:　　证明　　将1~n中与n互质的数按顺序排布：x1,x2……xφ(n) （显然，共有φ(n)个数）　　我们考虑这么一些数：　　m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n)　　1）这些数中的任意两个都不模n同余，因为如果有mS≡mR (mod n) （这里假定mS更大一些），就有：　　mS-mR=a(xS-xR)=qn，即n能整除a(xS-xR)。但是a与n互质，a与n的最大公因子是1，而xS-xR<n，因而左式不可能被n整除。也就是说这些数中的任意两个都不模n同余，φ(n)个数有φ(n)种余数。　　2）这些数除n的余数都与n互质，因为如果余数与n有公因子r，那么a*xi=pn+qr=r(……)，a*xi与n不互质，而这是不可能的。那么这些数除n的余数，都在x1,x2,x3……xφ(n)中，因为这是1~n中与n互质的所有数，而余数又小于n.　　由1）和2）可知，数m1,m2,m3……mφ(n)（如果将其次序重新排列）必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n).　　故得出：m1*m2*m3……mφ(n)≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)　　或者说a^[φ(n)]*(x1*x2*x3……xφ(n))≡x1*x2*x3……xφ(n)　　或者为了方便：K{a^[φ(n)]-1}≡0 ( mod n ) 这里K=x1*x2*x3……xφ(n)。　　可知K{a^[φ(n)]-1}被n整除。但K中的因子x1,x2……都与n互质，所以K与n互质。那么a^[φ(n)]-1必须能被n整除，即a^[φ(n)]-1≡0 （mod n），即a^[φ(n)]≡1 （mod n），得证。　　费马小定理:　　a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)　　证明这个定理非常简单，由于p是质数，所以有φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。推论：对于任意正整数a，有a^p ≡ a (mod p)，因为a能被p整除时结论显然成立。　　应用　　首先看一个基本的例子。令a = 3，n = 5，这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以φ(5)=4（详情见[欧拉函数]）。计算:a^{φ(n)} = 3^4 =81，而81= 80 + 1 Ξ 1 （mod 5）。与定理结果相符。　　这个定理可以用来简化幂的模运算。比如计算7^{222}的个位数，实际是求7^{222}被10除的余数。7和10[[互素]]，且φ(10)=4。由欧拉定理知7^4Ξ1(mod 10)。所以7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。

1、在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。复数中的欧拉定理也称为欧拉公式，被认为是数学世界中最美妙的定理之一。2、欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2，即V-E+F=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。

欧拉定理 （1）背景：欧拉公式的背后是一门新的几何学，这种新的几何学只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑图形尺寸大小，这就是由莱布尼兹和欧拉共同奠基的“橡皮膜上的几何学”（位置几何学），如今这门学科已经发展成数学的一个重要的分支——拓扑学。 （2）历史：有关凸多面体最有趣的定理之一是欧拉公式“V-E+F=2”，其实大约在1635年笛卡尔就早已发现了它。欧拉在1750年独立地发现了这个公式，并于1752年发表了它。由于笛卡尔的研究到1860年才被人们发现，所以这个定理就称为欧拉公式而不是笛卡尔公式。 欧拉,出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指导． 欧拉在数学上的建树很多，对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究。欧拉还发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有V-E+F=2这个关系。V-E+F 被称为欧拉示性数，成为拓扑学的基础概念。以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见, 与此同时，他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就。欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），∑（1755年），f(x)（1734年)等。 1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁． 欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的． 欧拉公式有4条 （1）分式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c （2）复数 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2 （3）三角形 设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面体 设v为顶点数，e为棱数，是面数，则 v-e+f=2-2p p为欧拉示性数，例如 p=0 的多面体叫第零类多面体 p=1 的多面体叫第一类多面体 参考资料： http://baike.baidu.com/view/48903.htm

V+F-E=2的证明方法1：（利用几何画板）　　逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E 　　先以简单的四面体ABCD为例分析证法。 　　去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1 　　1．去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。 　　2．从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。 　　以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。 　　对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。方法2：计算多面体各面内角和　　设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图），求所有面内角总和Σα 　　一方面，在原图中利用各面求内角总和。 　　设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为： 　　Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度] 　　= (n1+n2+…+nF -2F) ·180度 　　=(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 （1） 　　另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。 　　设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度。 　　所以，多面体各面的内角总和： 　　Σα = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度 　　=（V-2）·360度（2） 　　由(1)(2)得：(E-F) ·360度=（V-2）·360度 　　所以 V+F-E=2.方法3 用拓扑学方法证明欧拉公式　　 图尝试一下用拓扑学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。 　　欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末 　　F-E+V=2。 　　证明 如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）： 　　1．把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。 　　2．去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。 　　3．对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。 　　4．如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。 　　5．如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。 　　6．这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。 　　7．因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。 　　8．如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。 　　即F′-E′+V′=1 　　成立，于是欧拉公式： 　　F-E+V=2 　　得证。

在数论中，欧拉定理（EulerTheorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。中文名：欧拉定理外文名：EulerTheorem别称：费马-欧拉定理类别：定律

在完全竞争的条件下，如果生产函数具有规模报酬不变的性质，国民收入将正好分配给各种生产要素，这时利润就等于零，这一规律被称为欧拉定理。

欧拉公式（英语：Euler"s formula，又称尤拉公式）是复分析领域的公式，它将三角函数与复指数函数关联起来，因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明。后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。复数幂的定义指数函数Ë X为的实际值X可以在几个不同的等效的方式来定义（见指数函数的表征）。这些中的一些方法可以直接延伸到给的定义Ë ž为复数值ž简单地通过取代ž代替X和使用复杂的代数运算。特别是我们可以使用以下三个定义中的任何一个，它们是等效的。

euler公式是：R+ V- E= 2。欧拉公式。在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明。后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。数学归纳法证明：1、当 R= 2时 ，由说明 1,这两个区域可想象为 以赤道为边界的两个半球面 ，赤道上有两个“顶点” 将赤道分成两条“边界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,欧拉定理成立。2、设 R= m(m≥ 2)时欧拉定理成立 ，下面证明 R= m+ 1时欧拉定理也成立 。

欧拉定理指出：如果产品市场和要素市场都是完全竞争的，而且厂商生产的规模报酬不变，那么在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。该定理又叫做边际生产力分配理论，还被称为产品分配净尽定理。如上所述，要素的价格是由于要素的市场供给和市场需求共同决定。在完全竞争的条件下，厂商和消费者都被动地接受市场形成的价格。

参考一下下面的baidu知道，我就不复制粘贴了。

数学归纳法证明：1、当R=2时，由说明1，这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”，即R=2，V=2，E=2；于是R+V-E=2，欧拉定理成立。2、设R=m(m≥2)时欧拉定理成立，下面证明R=m+1时欧拉定理也成立。由说明2，我们在R=m+1的地图上任选一个区域X，则X必有与它如此相邻的区域Y，使得在去掉X和Y之间的唯一一条边界后，地图上只有m个区域了。在去掉X和Y之间的边界后，若原该边界两端的顶点现在都还是3条或3条以上边界的顶点。则该顶点保留，同时其他的边界数不变;若原该边界一端或两端的顶点现在成为2条边界的顶点，则去掉该顶点，该顶点两边的两条边界便成为一条边界。于是，在去掉X和Y之间的唯一一条边界时只有三种情况：1、减少一个区域和一条边界。2、减少一个区域、一个顶点和两条边界。3、减少一个区域、两个顶点和三条边界。把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数中的天桥”。

高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。扩展资料在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。参考资料：百度百科-欧拉公式

在西方经济学里，产量和生产要素L、K的关系表述为Q＝Q(L，K)，如果具体的函数形式是一次齐次的，那么就有：Q＝L(ðQ/ðL)＋K(ðQ/ðK)，换句话说，产品分配净尽取决于Q能否表示为一个一次齐次函数形式。因为ðQ/ðL＝MPL＝w/P被视为劳动对产量的贡献，ðQ/ðK＝MPK＝r/P被视为资本对产量的贡献，因此，此式被解释为“产品分配净尽定理”，也就是所有产品都被所有的要素恰好分配完而没有剩余。因为形式上符合数学欧拉定理，所以称为欧拉定理。

欧拉公式证明是：R+ V- E= 2。拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理，于1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler欧拉于 1752年又独立地给出证明 ，称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其为 Descartes定理。欧拉让微积分长大成人：恩格斯曾说，微积分的发明是人类精神的最高胜利。1687年，牛顿在《自然哲学数学原理》一书中公开发表微积分学说，几乎同时，莱布尼茨也发表了微积分论文，但牛顿、莱布尼茨创始的微积分基础不稳，应用范围也有限。18世纪一批数学家拓展了微积分，并拓广其应用产生一系列新的分支，这些分支与微积分自身一起形成了被称为分析的广大领域。李文林说：欧拉就生活在这个分析的时代。

　　欧拉定理指出：如果产品市场和要素市场都是完全竞争的，而且厂商生产的规模报酬不变，那么在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。该定理又叫做边际生产力分配理论，还被称为产品分配净尽定理。　　如上所述，要素的价格是由于要素的市场供给和市场需求共同决定。在完全竞争的条件下，厂商和消费者都被动地接受市场形成的价格。