向量运算公式

两点间的距离公式，若A（x1,x2）B(Y1,Y2),

则AB的模的绝对值= 根号[(x1-Y1)^2+(x2-Y2)^2]

向量的长度公式，若a的模=（a1,a2），则a的模的绝对值=根号（a1^2+a2^2)

两向量夹角的坐标公式，若A（a1,a2）B(b1,b2)，

则cos<a,b>=(A*B)/(|A|*|B|) (就是向量的乘积除以模的乘积）

所以，cos<a,b>= (a1b1+a2b2)/[根号(a1^2+a2^2)*根号(b1^2+b2^2)]

设A（x1,x2）B(Y1,Y2)，

则AB的绝对值=|A*B|=| x1Y1+x2Y2 |

( 因为向量的乘积是常量，所以常量的绝对值就是绝对值了，没其他公式啦！）

定义：已知两个非零向量a,b。作oa=a,ob=b,则角aob称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x"+y?y"。

向量的数量积的运算律

a?b=b?a（交换律）；

(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)；

（a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；

向量的数量积的性质

a?a=|a|的平方。

a⊥b

〈=〉a?b=0。

|a?b|≤|a|?|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由

a?b=a?c

(a≠0)，推不出

b=c。

3、|a?b|≠|a|?|b|

4、由

|a|=|b|

，推不出

a=b或a=-b。

2、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量积运算律

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

（a+b）×c=a×c+b×c.

注：向量没有除法，“向量ab/向量cd”是没有意义的。

3、向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

①

当且仅当a、b反向时，左边取等号；

②

当且仅当a、b同向时，右边取等号。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

①

当且仅当a、b同向时，左边取等号；

②

当且仅当a、b反向时，右边取等号。

4、定比分点

定比分点公式（向量p1p=λ?向量pp2）

设p1、p2是直线上的两点，p是l上不同于p1、p2的任意一点。则存在一个实数

λ，使

向量p1p=λ?向量pp2，λ叫做点p分有向线段p1p2所成的比。

若p1（x1,y1)，p2(x2,y2)，p(x,y)，则有

op=(op1+λop2)(1+λ)；（定比分点向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）

我们把上面的式子叫做有向线段p1p2的定比分点公式

5、三点共线定理

若oc=λoa

+μob

,且λ+μ=1

,则a、b、c三点共线

三角形重心判断式

在△abc中，若ga

+gb

+gc=o,则g为△abc的重心

向量共线的重要条件

若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

a//b的重要条件是

xy"-x"y=0。

零向量0平行于任何向量。

向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是

a?b=0。

a⊥b的充要条件

希望对你有用，望采纳。

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x"+y?y"。

向量的数量积的运算律

a?b=b?a（交换律）；

(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律)；

（a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；

向量的数量积的性质

a?a=|a|的平方。

a⊥b

〈=〉a?b=0。

|a?b|≤|a|?|b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由

a?b=a?c

(a≠0)，推不出

b=c。

3、|a?b|≠|a|?|b|

4、由

|a|=|b|

，推不出

a=b或a=-b。

2、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量积运算律

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

（a+b）×c=a×c+b×c.

注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

3、向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

①

当且仅当a、b反向时，左边取等号；

②

当且仅当a、b同向时，右边取等号。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

①

当且仅当a、b同向时，左边取等号；

②

当且仅当a、b反向时，右边取等号。

4、定比分点

定比分点公式（向量P1P=λ?向量PP2）

设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数

λ，使

向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

5、三点共线定理

若OC=λOA

+μOB

,且λ+μ=1

,则A、B、C三点共线

三角形重心判断式

在△ABC中，若GA

+GB

+GC=O,则G为△ABC的重心

向量共线的重要条件

若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

a//b的重要条件是

xy"-x"y=0。

零向量0平行于任何向量。

向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是

a?b=0。

a⊥b的充要条件

希望对你有用，望采纳。