二次函数 。 听不懂。 请把知识点详细发来。

【知识梳理】

1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

2.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.

3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；

相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.

4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

5.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

6.抛物线中，的作用

（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.

（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.

（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.

当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .

7.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.

12.直线与抛物线的交点

（1）轴与抛物线得交点为(0, ).

（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).

（3）抛物线与轴的交点

二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点抛物线与轴相交；

②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；

③没有交点抛物线与轴相离.

（4）平行于轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.

（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.

（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故

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二次函数知识点总结：

1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．

⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：的性质：

结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

总结：

的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

2. 的性质：

结论：上加下减。

总结：

的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

3. 的性质：

结论：左加右减。

总结：

的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

4. 的性质：

总结：

的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2. 平移规律

在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

三、二次函数与的比较

请将利用配方的形式配成顶点式。请将配成。

总结：

从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．

四、二次函数图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

五、二次函数的性质

1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．

2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

六、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：（，，为常数，）；

2. 顶点式：（，，为常数，）；

3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数

二次函数中，作为二次项系数，显然．

⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；

⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．

总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数

在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．

⑴ 在的前提下，

当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．

⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即

当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；

当时，，即抛物线的对称轴就是轴；

当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．

总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．

总结：

3. 常数项

⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；

⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．

总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．

总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

二、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1. 关于轴对称

关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

2. 关于轴对称

关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

3. 关于原点对称

关于原点对称后，得到的解析式是；

关于原点对称后，得到的解析式是；

4. 关于顶点对称

关于顶点对称后，得到的解析式是；

关于顶点对称后，得到的解析式是．

5. 关于点对称

关于点对称后，得到的解析式是

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：

一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.

图象与轴的交点个数：

① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.

② 当时，图象与轴只有一个交点；

③ 当时，图象与轴没有交点.

当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．

2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

抛物线与轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根

抛物线与轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根

抛物线与轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：