如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点

ue0111ue012解ue015如图1ue013∵PE=BEue013

∴∠EBP=∠EPB

ue014 又∵∠EPH=∠EBC=90°

ue013 ∴∠EPHue017∠EPB=∠EBCue017∠EBPue014

即∠PBC=∠BPHue014

又∵AD∥BCue013

∴∠APB=∠PBCue014

∴∠APB=∠BPHue009

ue0062ue007△PHD的周长不变为定值8ue009

证明ue00a如图2ue008过B作BQ⊥PHue008垂足为Que009

由ue0061ue007知∠APB=∠BPHue008

又∵∠A=∠BQP=90°ue008BP=BPue008

∴△ABP≌△QBPue009

∴AP=QPue008AB=BQue009

又∵AB=BCue008 ∴BC=BQue009

又∵∠C=∠BQH=90°ue008BH=BHue008

∴△BCH≌△BQHue009 ∴CH=QHue009

∴△PHD的周长为ue00aPD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8

ue0063ue007如图3ue008过F作FM⊥ABue008垂足为Mue008则FM=BC=ABue009

又∵EF为折痕ue008

∴EF⊥BPue009

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°ue008

∴∠EFM=∠ABPue009

又∵∠A=∠EMF=90°ue008

∴△EFM≌△BPAue009

∴EM=AP=xue009

∴在Rt△APE中 (4-BE)平方+x平方=BE平方ue009 解得BE=2+X平方/8ue008 ue009

∴ CF=BE-EM=2+X的平方/8-Xue009 又四边形PEFG与四边形BEFC全等ue008

∴ S=1/2X的平方-2X+8ue009 ue009 配方得S=1/2（X-2）的平方+6ue008 ue008

∴当x=2时ue008S有最小值6ue009

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23．（2012u2022德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

（1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；

（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

考点： 翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。

分析： （1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；

（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；

（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，进而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可．

解答： （1）解：如图1，∵PE=BE，

∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．

即∠PBC=∠BPH．

又∵AD∥BC，

∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH．

（2）△PHD的周长不变为定值8．

证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．

由（1）知∠APB=∠BPH，

又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，

∴△ABP≌△QBP．

∴AP=QP，AB=BQ．

又∵AB=BC，

∴BC=BQ．

又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，

∴△BCH≌△BQH．

∴CH=QH．

∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．

（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．

又∵EF为折痕，

∴EF⊥BP．

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，

∴∠EFM=∠ABP．

又∵∠A=∠EMF=90°，

∴△EFM≌△BPA．

∴EM=AP=x．

∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2．

解得， ．

∴ ．

又四边形PEFG与四边形BEFC全等，

∴ ．

即： ．

配方得， ，

∴当x=2时，S有最小值6

（1）解：如图1，∵PE=BE，

∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．

即∠PBC=∠BPH．

又∵AD∥BC，

∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH．

（2）△PHD的周长不变为定值8．

证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．

由（1）知∠APB=∠BPH，

在△ABP和△QBP中

∠APB=∠BPH∠A=∠BQPBP=BP

，

∴△ABP≌△QBP（AAS）．

∴AP=QP，AB=BQ．

又∵AB=BC，

∴BC=BQ．

又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，

∴△BCH≌△BQH．

∴CH=QH．

∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．

（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．

又∵EF为折痕，

∴EF⊥BP．

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，

∴∠EFM=∠ABP．

又∵∠A=∠EMF=90°，

∴△EFM≌△BPA．

∴EM=AP=x．

∴在Rt△APE中，（4-BE）2+x2=BE2．

解得，BE=2+

x2

8

．

∴CF=BE-EM=2+

x2

8

-x．

又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等，

∴S=

1

2

(BE+CF)BC=

1

2

(4+

x2

4

-x)×4．

即：S=

1

2

x2-2x+8．

配方得，S=

1

2

(x-2)2+6，

∴当x=2时，S有最小值6．

可以做,但起码50分钟

不值

这。。。