5和7，在离散数学中，可达矩阵是不是关系矩阵？

求可达矩阵的方法：连乘法、幂乘法、warshall算法、迭代warshall、tarjan算法 利用布尔矩阵的运算性质给出了计算有向图可达矩阵的方法，该方法计算简便. 对于可达矩阵求解方法有如下几种方式： 1、连乘法： 其中A为原始邻接布尔矩阵，I为单位矩阵，R为可达矩阵。 2、幂乘法： 3、warshall算法： 通过转移矩阵的方式计算出可达矩阵。 4、迭代warshall算法： 对每个要素进行warshall操作后，记其状态，下个要素迭代时候是以当前状态为基础进行迭代。 5、tarjan算法 求出所有强连通分量后一次性迭代warshall算法即可。

设有向图D = （V,E）,顶点集V = {v1，v2，····，vn}。定义矩阵为P = left{egin{matrix} 0 \ 1 end{matrix} ight.（当vi到vj不可达时，p为0；当vi到vj可达时p为1.）称矩阵P是图D的可达矩阵一般地，设n阶有向图D的邻接矩阵为A，有A可得到图D的可达矩阵，不妨设为P，其步骤如下：1、求出B_{}n= A + A^{}2 + ··· + A^{}n2、把矩阵B_{}n中不为0的元素给为1，而为0的元素不变这样所改换的矩阵就位图D的可达矩阵P。（A表示图的邻接矩阵，P表示图的可达矩阵。）计算可达矩阵，在MATLAB中实现p=dgraf(A)function P=dgraf(A)n=size(A,1);P=A;for i=2:nP=P+A^iendP(P~=0)=1P

A = (aij)若结点Vi与Vj有边连接, aij=1, 否则 aij=0I 是单位矩阵, 即主对角线上都是1, 其余都是0 的方阵可达矩阵 =(A+I) + (A+I)^2 + (A+I)^3 + ...矩阵运算是布尔运算矩阵高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

经过一定长度的通路后可达到的程度。可达矩阵的特点是用矩阵形式来描述有向连接图各节点之间经过一定长度的通路后可达到的程度，可达矩阵的计算方法是利用布尔矩阵的运算性质。可达矩阵对应的是拓扑几何，而不是通常讲的几何。

可达矩阵不只有0和1。根据查询相关公开资料得知可达矩阵有0、1和多值三种，可达矩阵每个顶点都是可达的。

可达矩阵是用矩阵形式来描述有向连接图各节点之间经过一定长度的通路后可达到的程度。在实际系统建模工程中，有向图D={S,R}中，对于Si,Sj 属于S，如果从Si到Sj有任何一条通路存在，则可称Si可达Sj。利用布尔矩阵的运算性质给出了计算有向图可达矩阵的方法,该方法计算简便.求解方法：如果一个矩阵，仅其对角线元素为1，其他元素均为0，这样的矩阵称为单位矩阵，用I表示。

可达矩阵，指的是用矩阵形式来描述有向连接图各节点之间经过一定长度的通路后可达到的程度。可达矩阵的计算方法是利用布尔矩阵的运算性质

围观

编程思路： 假设邻接矩阵A,I链路度矩阵经n步达矩阵M 则： B=(A+I)^n=I+A+A^贰+..A^n 再B非零元素改依零元素变即An步达矩阵M； 代码： function M=reach(A,I,n) %A,In要给定 [row,cow]=size(A) %处rowcow应该相等 E=ones(row,cow) %单位矩阵E B=zeros(row,cow) %初始全0矩阵B B=B+I; %循环+A^n for i=依:n B=B+A^i; end %B非零元素改依零元素变,即让BE进行交运算 M=B&E; en

邻接矩阵很简单，比如a到b有一条路径为5的路那么arr[a][b]=5，如果没有路，arr[a][b]=0或者一个特定的值，如果没有权的话a，b有路arr[a][b]=1否则arr[a][b]=0。计算能到的其他点，用floyed算法，如果a~b有路，b~c有路，那么a~c有路。

编程思路如下：假设邻接矩阵为A,I为链路长度矩阵。经过n步后为可达矩阵M，则有：B=(A+I)^n=I+A+A^2+..A^n再将B中非零元素改为1，零元素不变即为A的n步可达矩阵M；代码如下：function M=reach(A,I,n)%A,I和n要给定[row,cow]=size(A) %此处row和cow应该相等E=ones(row,cow) %生成单位矩阵EB=zeros(row,cow) %初始全0矩阵BB=B+I;%循环+A^nfor i=1:n B=B+A^i;end%将B中非零元素改为1，零元素不变,即让B和E进行交运算。M=B&E;end

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>typedef int inte;//这两行为以后做准备inte *creat(int m,int n)//产生动态数组（写的通用函数）{inte *p;if(!(p=(inte *)calloc(m*n,sizeof(inte)))){ printf("空间申请失败！ "); system("pause");//系统调用 exit(0);}return p;}void transpose(inte *p1,inte *p2,int m,int n)//实现矩阵的转置（写的通用函数）{int i,j;for(i=0;i<m;i++) for(j=0;j<n;j++) *(p1+j*m+i)=*(p2+i*n+j);}void matrix_mul(inte *p1,inte *p2,inte *p,int m,int k,int n)//矩阵乘法（写的通用函数）{int i,j,l,sum;for(i=0;i<m;i++) for(j=0;j<n;j++) { sum=0; for(l=0;l<k;l++) sum+=*(p1+i*k+l)**(p2+j*k+l); *(p+i*n+j)=sum; }}void matrix_i(int *p,int n)// 生成单位阵{int i,j;for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++) *(p+i*n+j)=0; for(i=0;i<n;i++) *(p+i*n+i)=1;} void matrix_r(inte *p1,inte *p2,int m,int n)//实现两个矩阵的或逻辑{int i,j;for(i=0;i<m;i++) for(j=0;j<n;j++) *(p1+i*n+j)=((*(p1+i*n+j))||(*(p2+i*n+j)));}void main(){int *p1,*p2,*p3,*p4;int n,a,i,j;printf("请输入方阵的阶数n：");if(scanf("%d",&n)){ if((p1=creat(n,n))&&(p2=creat(n,n))&&(p3=creat(n,n))&&(p4=creat(n,n))) { printf("请输入该%d阶方阵的各个元素： ",n); for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++) scanf("%d",p1+i*n+j); matrix_i(p4,n);//生成n阶单位阵 if(n>1) matrix_r(p4,p1,n,n); transpose(p2,p1,n,n);//矩阵转置 for(i=1;i<n-1;i++) { matrix_mul(p1,p2,p3,n,n,n); matrix_r(p4,p3,n,n);//实现两个矩阵的或逻辑 transpose(p2,p3,n,n); } printf("此矩阵的可达矩阵为： "); for(i=0;i<n;i++) { for(j=0;j<n;j++) printf("%d ",*(p4+i*n+j)); printf(" "); } } else { printf("内存分配错误！ "); system("pause"); } }else printf("输入错误，请检查！ ");}

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Can reach to gather, in advance gather, can reach matrix

Excel 可以，公式为MMULT，然后按control shift enter三键一起按下就可以了，不过你选中的空格要是这两个矩阵相乘后的阶数，例如你选的是2×2,2×2，那么你要选中两行两列来输入公式。

可达矩阵的主对角线元素等于1，是一种规定。非对角线元素才是根据两点之间是否存在通路确定的。

首先要求出矩阵的铁，欢迎采纳！谢谢。零五

有内置函数 shortestpath() 或者其他类似的 看看doc有详细说明

浮球矩阵的基本原理是，数百个电机组件通过计算机总线技术互联通信，在智能控制器的统一指令下，数百个电机联动协同。每个电机可以驱动一个展示物垂直升降，展示物通常是一个吊着的LED球灯、水滴金属造型、或金属球，也可以是其他创意造型。这样就形成了数百个展示物在三维空间的造型变化，形成流光溢彩的三维动态艺术雕塑。将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P。

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可以用数组公式从这个区域生成一个25x25的0 1矩阵{=(A1:C3>1)*1}希望对你有帮助

图看不见，太小。

θ是希腊语辅音字母，在单词里发舌端齿背摩擦音/θ/的音，发音时，舌端接近上齿背面，形成一条缝隙，气流经过舌端和上齿背面之间的缝隙，形成摩擦，由口腔而出，声带不振动。θu03acλαμοu03c2 房间θεu03ac 女神Αθu03aeνα 雅典θu03cdμα 主题θολu03ceνω 变得模糊不清μαθαu03afνω 学习αu03afθουσα 房间θεu03afοu03c2 男神。

假设判断A1：Y25的25*25区域内如果有不大于1的数值，在AA1单元格显示：0，如果全部大于1，则显示为：1；1、在AA1单元格输入公式：=(SUM((A1:Y25>1)*1)=625)*1数组公式，按Ctrl+Alt+Enter三键结束输入；AA1显示结果为：1，说明该区域所有数值均大于1；见图一2、验证：如把A1单元格数值改为：1，则在AA1单元格显示为：0，说明该区域有某个数值不大于1。见图二说明：if语句只适应条件较少的情况下使用，当条件较多时，可采用逻辑计算配合数组公式来实现。

http://wenku.baidu.com/view/4c0646eeb8f67c1cfad6b8f1.html 答案

数量符号如：i，2+i，a，x，自然对数底e，圆周率π。运算符号如加号（+），减号（－），乘号（×或·），除号（÷或/），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（√），对数（log，lg，ln），比（：），绝对值符号“| |”，微分（dx），积分（∫），闭合曲面（曲线）积分（∮）等。关系符号如“=”是等号，“≈”是近似符号，“≠”是不等号，“>”是大于符号，“<”是小于符号，“≥”是大于或等于符号（也可写作“≮”），“≤”是小于或等于符号（也可写作“≯”），“→ ”表示变量变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“∥”是平行符号，“⊥”是垂直符号，“∝”是成正比符号，（没有成反比符号，但可以用成正比符号配倒数当作成反比）“∈”是属于符号，“u2286”是“包含”符号等。“|”表示“能整除”（例如a|b 表示 a能整除b)，x可以代表未知数，y也可以代表未知数，任何字母都可以代表未知数。结合符号如小括号“（）”中括号“[ ]”，大括号“{ }”横线“—”，比如（2+1）+3=6，[2.5x（23+2）+1]=x，{3.5+[3+1]+1=y性质符号如正号“+”，负号“－”，正负号“±”省略符号如三角形（△），直角三角形（Rt△），正弦（sin），余弦（cos），x的函数（f(x)），极限（lim），角（∠），∵因为，（一个脚站着的，站不住）∴所以，（两个脚站着的，能站住）(口诀：因为站不住，所以两个点)总和：∑，连乘：∏，从n个元素中取出r个元素所有不同的组合数：C(n,r) ，幂（A，Ac，Aq，x^n）等。排列组合符号C-组合数A-排列数N-元素的总个数R-参与选择的元素个数!-阶乘，如5！=5×4×3×2×1=120C-Combination-组合A-Arrangement-排列离散数学符号（未全）u2200 全称量词u2203存在量词├ 断定符（公式在L中可证）╞ 满足符（公式在E上有效，公式在E上可满足）﹁ 命题的“非”运算∧ 命题的“合取”（“与”）运算∨ 命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算→ 命题的“条件”运算u2194 命题的“双条件”运算的AB 命题A 与B等价关系A=>B 命题 A与 B的蕴涵关系A* 公式A 的对偶公式wff合式公式iff当且仅当↑ 命题的“与非” 运算（ “与非门” ）↓ 命题的“或非”运算（ “或非门” ）□ 模态词“必然”◇ 模态词“可能”φ空集∈ 属于 A∈B 则为A属于B（u2209不属于）P（A） 集合A的幂集|A| 集合A的点数R^2=R○R [R^n=R^(n-1)○R] 关系R的“复合”u05d0 阿列夫u2286 包含u2282（或下面加 ≠） 真包含∪ 集合的并运算∩ 集合的交运算- （～） 集合的差运算〡 限制[X](右下角R) 集合关于关系R的等价类A/ R 集合A上关于R的商集[a] 元素a 产生的循环群I (i大写) 环，理想Z/(n) 模n的同余类集合r(R) 关系 R的自反闭包s(R) 关系 的对称闭包CP 命题演绎的定理（CP 规则）EG 存在推广规则（存在量词引入规则）ES存在量词特指规则（存在量词消去规则）UG 全称推广规则（全称量词引入规则）US 全称特指规则（全称量词消去规则）R 关系r相容关系R○S 关系 与关系 的复合domf 函数 的定义域（前域）ranf 函数 的值域f:X→Y f是X到Y的函数GCD(x,y) x,y最大公约数LCM(x,y) x,y最小公倍数aH(Ha) H 关于a的左（右）陪集Ker(f) 同态映射f的核（或称 f同态核）[1，n] 1到n的整数集合d(u,v) 点u与点v间的距离d(v) 点v的度数G=(V,E) 点集为V，边集为E的图W(G) 图G的连通分支数k(G) 图G的点连通度△（G) 图G的最大点度A(G) 图G的邻接矩阵P(G) 图G的可达矩阵M(G) 图G的关联矩阵C 复数集N自然数集（包含0在内）N* 正自然数集P 素数集Q有理数集R实数集Z整数集Set 集范畴Top 拓扑空间范畴Ab 交换群范畴Grp 群范畴Mon单元半群范畴Ring 有单位元的（结合）环范畴Rng 环范畴CRng 交换环范畴R-mod 环R的左模范畴mod-R 环R的右模范畴Field 域范畴

1、几何符号　　⊥∥∠⌒⊙≡≌△　　2、代数符号　　∝∧∨～∫≠≤≥≈∞∶　　3、运算符号　　如加号（＋），减号（－），乘号（×或·），除号（÷或／），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（√），对数（log，lg，ln），比（：），微分（dx），积分（∫），曲线积分（∮）等。　　4、集合符号　　∪∩∈　　5、特殊符号　　∑π（圆周率）　　6、推理符号　　|a|⊥∽△∠∩∪≠≡±≥≤∈←　　↑→↓↖↗↘↙∥∧∨　　&;§　　①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩　　ΓΔΘΛΞΟΠΣΦΧΨΩ　　αβγδεζηθικλμν　　ξοπρστυφχψω　　ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ　　ⅰⅱⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹ　　∈∏∑∕√∝∞∟∠∣∥∧∨∩∪∫∮　　∴∵∶∷∽≈≌≒≠≡≤≥≦≧≮≯⊕⊙⊥　　⊿⌒℃　　指数0123：o123　　7、数量符号　　如：i，2+i，a，x，自然对数底e，圆周率π。　　8、关系符号　　如“＝”是等号，“≈”是近似符号，“≠”是不等号，“＞”是大于符号，“＜”是小于符号，“≥”是大于或等于符号（也可写作“≮”），“≤”是小于或等于符号（也可写作“≯”），。“→”表示变量变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“∥”是平行符号，“⊥”是垂直符号，“∝”是成正比符号，（没有成反比符号，但可以用成正比符号配倒数当作成反比）“∈”是属于符号，“??”是“包含”符号等。　　9、结合符号　　如小括号“（）”中括号“［］”，大括号“｛｝”横线“—”　　10、性质符号　　如正号“＋”，负号“－”，绝对值符号“||”正负号“±”　　11、省略符号　　如三角形（△），直角三角形（Rt△），正弦（sin），余弦（cos），x的函数（f(x)），极限（lim），角（∠），　　∵因为，（一个脚站着的，站不住）　　∴所以，（两个脚站着的，能站住）总和（∑），连乘（∏），从n个元素中每次取出r个元素所有不同的组合数（C(r)(n)），幂（A，Ac，Aq，x^n）等。　　12、排列组合符号　　C-组合数　　A-排列数　　N-元素的总个数　　R-参与选择的元素个数　　!-阶乘，如5！=5×4×3×2×1=120　　C-Combination-组合　　A-Arrangement-排列　　13、离散数学符号　　├断定符（公式在L中可证）　　╞满足符（公式在E上有效，公式在E上可满足）　　┐命题的“非”运算　　∧命题的“合取”（“与”）运算　　∨命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算　　→命题的“条件”运算　　AB命题A与B等价关系　　A=>B命题A与B的蕴涵关系　　A*公式A的对偶公式　　wff合式公式　　iff当且仅当　　↑命题的“与非”运算（“与非门”）　　↓命题的“或非”运算（“或非门”）　　□模态词“必然”　　◇模态词“可能”　　φ空集　　∈属于（??不属于）　　P（A）集合A的幂集　　|A|集合A的点数　　R^2=R○R[R^n=R^(n-1)○R]关系R的“复合”　　（或下面加≠）真包含　　∪集合的并运算　　∩集合的交运算　　-（～）集合的差运算　　〡限制　　[X](右下角R)集合关于关系R的等价类　　A/R集合A上关于R的商集　　[a]元素a产生的循环群　　I(i大写)环，理想　　Z/(n)模n的同余类集合　　r(R)关系R的自反闭包　　s(R)关系的对称闭包　　CP命题演绎的定理（CP规则）　　EG存在推广规则（存在量词引入规则）　　ES存在量词特指规则（存在量词消去规则）　　UG全称推广规则（全称量词引入规则）　　US全称特指规则（全称量词消去规则）　　R关系　　r相容关系　　R○S关系与关系的复合　　domf函数的定义域（前域）　　ranf函数的值域　　f:X→Yf是X到Y的函数　　GCD(x,y)x,y最大公约数　　LCM(x,y)x,y最小公倍数　　aH(Ha)H关于a的左（右）陪集　　Ker(f)同态映射f的核（或称f同态核）　　[1，n]1到n的整数集合　　d(u,v)点u与点v间的距离　　d(v)点v的度数　　G=(V,E)点集为V，边集为E的图　　W(G)图G的连通分支数　　k(G)图G的点连通度　　△（G)图G的最大点度　　A(G)图G的邻接矩阵　　P(G)图G的可达矩阵　　M(G)图G的关联矩阵　　C复数集　　N自然数集（包含0在内）　　N*正自然数集　　P素数集　　Q有理数集　　R实数集　　Z整数集　　Set集范畴　　Top拓扑空间范畴　　Ab交换群范畴　　Grp群范畴　　Mon单元半群范畴　　Ring有单位元的（结合）环范畴　　Rng环范畴　　CRng交换环范畴　　R-mod环R的左模范畴　　mod-R环R的右模范畴　　Field域范畴　　Poset偏序集范畴＋plus加号；正号　　－minus减号；负号　　±plusorminus正负号　　×ismultipliedby乘号　　÷isdividedby除号　　＝isequalto等于号　　≠isnotequalto不等于号　　≡isequivalentto全等于号　　≌isapproximatelyequalto约等于　　≈isapproximatelyequalto约等于号　　＜islessthan小于号　　＞ismorethan大于号　　≤islessthanorequalto小于或等于　　≥ismorethanorequalto大于或等于　　％percent百分之…　　∞infinity无限大号　　√(square)root平方根　　XsquaredX的平方　　XcubedX的立方　　∵since;because因为　　∴hence所以　　∠angle角　　⌒semicircle半圆　　⊙circle圆　　○circumference圆周　　△triangle三角形　　⊥perpendicularto垂直于　　∪intersectionof并，合集　　∩unionof交，通集　　∫theintegralof…的积分　　∑(sigma)summationof总和　　°degree度　　′minute分　　〃second秒　　＃number…号　　＠at单价

u0259 是这个吧~

1、几何符号　　⊥ ∥ ∠ ⌒ ⊙ ≡ ≌ △　　2、代数符号　　∝ ∧ ∨ ～ ∫ ≠ ≤ ≥ ≈ ∞ ∶　　3、运算符号　　如加号（＋），减号（－），乘号（×或·），除号（÷或／），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（√），对数（log，lg，ln），比（：），微分（dx），积分（∫），曲线积分（∮）等。　　4、集合符号　　∪ ∩ ∈　　5、特殊符号　　∑ π（圆周率）　　6、推理符号　　|a| ⊥ ∽ △ ∠ ∩ ∪ ≠ ≡ ± ≥ ≤ ∈ ←　　↑ → ↓ ↖ ↗ ↘ ↙ ∥ ∧ ∨　　&; §　　① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩　　Γ Δ Θ Λ Ξ Ο Π Σ Φ Χ Ψ Ω　　α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν　　ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω　　Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ　　ⅰ ⅱ ⅲ ⅳ ⅴ ⅵ ⅶ ⅷ ⅸ ⅹ　　∈ ∏ ∑ ∕ √ ∝ ∞ ∟ ∠ ∣ ∥ ∧ ∨ ∩ ∪ ∫ ∮　　∴ ∵ ∶ ∷ ∽ ≈ ≌ ≒ ≠ ≡ ≤ ≥ ≦ ≧ ≮ ≯ ⊕ ⊙ ⊥　　⊿ ⌒ ℃　　指数0123：o123　　7、数量符号　　如：i，2+i，a，x，自然对数底e，圆周率π。　　8、关系符号　　如“＝”是等号，“≈”是近似符号，“≠”是不等号，“＞”是大于符号，“＜”是小于符号，“≥”是大于或等于符号（也可写作“≮”），“≤”是小于或等于符号（也可写作“≯”），。“→ ”表示变量变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“∥”是平行符号，“⊥”是垂直符号，“∝”是成正比符号，（没有成反比符号，但可以用成正比符号配倒数当作成反比）“∈”是属于符号，“??”是“包含”符号等。　　9、结合符号　　如小括号“（）”中括号“［］”，大括号“｛｝”横线“—”　　10、性质符号　　如正号“＋”，负号“－”，绝对值符号“| |”正负号“±”　　11、省略符号　　如三角形（△），直角三角形（Rt△），正弦（sin），余弦（cos），x的函数（f(x)），极限（lim），角（∠），　　∵因为，（一个脚站着的，站不住）　　∴所以，（两个脚站着的，能站住） 总和（∑），连乘（∏），从n个元素中每次取出r个元素所有不同的组合数（C(r)(n) ），幂（A，Ac，Aq，x^n）等。　　12、排列组合符号　　C-组合数　　A-排列数　　N-元素的总个数　　R-参与选择的元素个数　　!-阶乘 ，如5！=5×4×3×2×1=120　　C-Combination- 组合　　A-Arrangement-排列　　13、离散数学符号　　├ 断定符（公式在L中可证）　　╞ 满足符（公式在E上有效，公式在E上可满足）　　┐ 命题的“非”运算　　∧ 命题的“合取”（“与”）运算　　∨ 命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算　　→ 命题的“条件”运算　　A<=>B 命题A 与B 等价关系　　A=>B 命题 A与 B的蕴涵关系　　A* 公式A 的对偶公式　　wff 合式公式　　iff 当且仅当　　↑ 命题的“与非” 运算（ “与非门” ）　　↓ 命题的“或非”运算（ “或非门” ）　　□ 模态词“必然”　　◇ 模态词“可能”　　φ 空集　　∈ 属于（??不属于）　　P（A） 集合A的幂集　　|A| 集合A的点数　　R^2=R○R [R^n=R^(n-1)○R] 关系R的“复合”　　（或下面加 ≠） 真包含　　∪ 集合的并运算　　∩ 集合的交运算　　- （～） 集合的差运算　　〡 限制　　[X](右下角R) 集合关于关系R的等价类　　A/ R 集合A上关于R的商集　　[a] 元素a 产生的循环群　　I (i大写) 环，理想　　Z/(n) 模n的同余类集合　　r(R) 关系 R的自反闭包　　s(R) 关系 的对称闭包　　CP 命题演绎的定理（CP 规则）　　EG 存在推广规则（存在量词引入规则）　　ES 存在量词特指规则（存在量词消去规则）　　UG 全称推广规则（全称量词引入规则）　　US 全称特指规则（全称量词消去规则）　　R 关系　　r 相容关系　　R○S 关系 与关系 的复合　　domf 函数 的定义域（前域）　　ranf 函数 的值域　　f:X→Y f是X到Y的函数　　GCD(x,y) x,y最大公约数　　LCM(x,y) x,y最小公倍数　　aH(Ha) H 关于a的左（右）陪集　　Ker(f) 同态映射f的核（或称 f同态核）　　[1，n] 1到n的整数集合　　d(u,v) 点u与点v间的距离　　d(v) 点v的度数　　G=(V,E) 点集为V，边集为E的图　　W(G) 图G的连通分支数　　k(G) 图G的点连通度　　△（G) 图G的最大点度　　A(G) 图G的邻接矩阵　　P(G) 图G的可达矩阵　　M(G) 图G的关联矩阵　　C 复数集　　N 自然数集（包含0在内）　　N* 正自然数集　　P 素数集　　Q 有理数集　　R 实数集　　Z 整数集　　Set 集范畴　　Top 拓扑空间范畴　　Ab 交换群范畴　　Grp 群范畴　　Mon 单元半群范畴　　Ring 有单位元的（结合）环范畴　　Rng 环范畴　　CRng 交换环范畴　　R-mod 环R的左模范畴　　mod-R 环R的右模范畴　　Field 域范畴　　Poset 偏序集范畴 ＋ plus 加号；正号　　－ minus 减号；负号　　± plus or minus 正负号　　× is multiplied by 乘号　　÷ is divided by 除号　　＝ is equal to 等于号　　≠ is not equal to 不等于号　　≡ is equivalent to 全等于号　　≌ is approximately equal to 约等于　　≈ is approximately equal to 约等于号　　＜ is less than 小于号　　＞ is more than 大于号　　≤ is less than or equal to 小于或等于　　≥ is more than or equal to 大于或等于　　％ per cent 百分之…　　∞ infinity 无限大号　　√ (square) root 平方根　　X squared X的平方　　X cubed X的立方　　∵ since; because 因为　　∴ hence 所以　　∠ angle 角　　⌒ semicircle 半圆　　⊙ circle 圆　　○ circumference 圆周　　△ triangle 三角形　　⊥ perpendicular to 垂直于　　∪ intersection of 并，合集　　∩ union of 交，通集　　∫ the integral of …的积分　　∑ (sigma) summation of 总和　　° degree 度　　′ minute 分　　〃 second 秒　　＃ number …号　　＠ at 单价

1 几何符号 ⊥ ‖ ∠ ⌒ ⊙ ≡ ≌ △ 2 代数符号 ∝ ∧ ∨ ～ ∫ ≠ ≤ ≥ ≈ ∞ ∶ 3运算符号 × ÷ √ ± 4集合符号 ∪ ∩ ∈ 5特殊符号 ∑ π（圆周率） 6推理符号 |a| ⊥ ∽ △ ∠ ∩ ∪ ≠ ≡ ± ≥ ≤ ∈ ← ↑ → ↓ ↖ ↗ ↘ ↙ ‖ ∧ ∨ ∥ &; § ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ ⅰ ⅱ ⅲ ⅳ ⅴ ⅵ ⅶ ⅷ ⅸ ⅹ ∈ ∏ ∑ ∕ √ ∝ ∞ ∟ ∠ ∣ ‖ ∧ ∨ ∩ ∪ ∫ ∮ ∴ ∵ ∶ ∷ ∽ ≈ ≌ ≈ ≠ ≡ ≤ ≥ ≤ ≥ ≮ ≯ ⊕ ⊙ ⊥ ⊿ ⌒ ℃ 指数0123：o123 上述符号所表示的意义和读法（中英文参照） ＋ plus 加号；正号 － minus 减号；负号 ± plus or minus 正负号 × is multiplied by 乘号 ÷ is divided by 除号 ＝ is equal to 等于号 ≠ is not equal to 不等于号 ≡ is equivalent to 全等于号 ≌ is approximately equal to 约等于 ≈ is approximately equal to 约等于号 ＜ is less than 小于号 ＞ is more than 大于号 ≤ is less than or equal to 小于或等于 ≥ is more than or equal to 大于或等于 ％ per cent 百分之… ∞ infinity 无限大号 √ (square) root 平方根 X squared X的平方 X cubed X的立方 ∵ since; because 因为 ∴ hence 所以 ∠ angle 角 ⌒ semicircle 半圆 ⊙ circle 圆 ○ circumference 圆周 △ triangle 三角形 ⊥ perpendicular to 垂直于 ∪ intersection of 并，合集 ∩ union of 交，通集 ∫ the integral of …的积分 ∑ (sigma) summation of 总和 ° degree 度 ′ minute 分 〃 second 秒 ＃ number …号 ＠ at 单价

数学里有！这个符号

　1、几何符号　　⊥ ∥ ∠ ⌒ ⊙ ≡ ≌ △　　2、代数符号　　∝ ∧ ∨ ～ ∫ ≠ ≤ ≥ ≈ ∞ ∶　　3、运算符号　　如加号（＋），减号（－），乘号（×或·），除号（÷或／），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（√），对数（log，lg，ln），比（：），微分（dx），积分（∫），曲线积分（∮）等。　　4、集合符号　　∪ ∩ ∈　　5、特殊符号　　∑ π（圆周率）　　6、推理符号　　|a| ⊥ ∽ △ ∠ ∩ ∪ ≠ ≡ ± ≥ ≤ ∈ ←　　↑ → ↓ ↖ ↗ ↘ ↙ ∥ ∧ ∨　　& §　　① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩　　Γ Δ Θ Λ Ξ Ο Π Σ Φ Χ Ψ Ω　　α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν　　ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω　　Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ　　ⅰ ⅱ ⅲ ⅳ ⅴ ⅵ ⅶ ⅷ ⅸ ⅹ　　∈ ∏ ∑ ∕ √ ∝ ∞ ∟ ∠ ∣ ∥ ∧ ∨ ∩ ∪ ∫ ∮　　∴ ∵ ∶ ∷ ∽ ≈ ≌ ≒ ≠ ≡ ≤ ≥ ≦ ≧ ≮ ≯ ⊕ ⊙ ⊥　　⊿ ⌒ ℃　　指数0123：o123　　7、数量符号　　如：i，2+i，a，x，自然对数底e，圆周率π。　　8、关系符号　　如“＝”是等号，“≈”是近似符号，“≠”是不等号，“＞”是大于符号，“＜”是小于符号，“≥”是大于或等于符号（也可写作“≮”），“≤”是小于或等于符号（也可写作“≯”），。“→ ”表示变量变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“∥”是平行符号，“⊥”是垂直符号，“∝”是成正比符号，（没有成反比符号，但可以用成正比符号配倒数当作成反比）“∈”是属于符号，“??”是“包含”符号等。　　9、结合符号　　如小括号“（）”中括号“［］”，大括号“｛｝”横线“—”　　10、性质符号　　如正号“＋”，负号“－”，绝对值符号“| |”正负号“±”　　11、省略符号　　如三角形（△），直角三角形（Rt△），正弦（sin），余弦（cos），x的函数（f(x)），极限（lim），角（∠），　　∵因为，（一个脚站着的，站不住）　　∴所以，（两个脚站着的，能站住） 总和（∑），连乘（∏），从n个元素中每次取出r个元素所有不同的组合数（C(r)(n) ），幂（A，Ac，Aq，x^n）等。　　12、排列组合符号　　C-组合数　　A-排列数　　N-元素的总个数　　R-参与选择的元素个数　　!-阶乘，如5！=5×4×3×2×1=120　　C-Combination- 组合　　A-Arrangement-排列　13、离散数学符号　　├ 断定符（公式在L中可证）　　╞ 满足符（公式在E上有效，公式在E上可满足）　　┐ 命题的“非”运算　　∧ 命题的“合取”（“与”）运算　　∨ 命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算　　→ 命题的“条件”运算　　A<=>B 命题A 与B 等价关系　　A=>B 命题 A与 B的蕴涵关系　　A* 公式A 的对偶公式　　wff 合式公式　　iff 当且仅当　　↑ 命题的“与非” 运算（ “与非门” ）　　↓ 命题的“或非”运算（ “或非门” ）　　□ 模态词“必然”　　◇ 模态词“可能”　　φ 空集　　∈ 属于（??不属于）　　P（A）集合A的幂集　　|A| 集合A的点数　　R^2=R○R [R^n=R^(n-1)○R] 关系R的“复合”　　（或下面加 ≠）真包含　　∪ 集合的并运算　　∩ 集合的交运算　　- （～）集合的差运算　　〡 限制　　[X](右下角R) 集合关于关系R的等价类　　A/ R 集合A上关于R的商集　　[a] 元素a 产生的循环群　　I (i大写) 环，理想　　Z/(n) 模n的同余类集合　　r(R) 关系 R的自反闭包　　s(R) 关系的对称闭包　　CP 命题演绎的定理（CP 规则）　　EG 存在推广规则（存在量词引入规则）　　ES 存在量词特指规则（存在量词消去规则）　　UG 全称推广规则（全称量词引入规则）　　US 全称特指规则（全称量词消去规则）　　R 关系　　r 相容关系　　R○S 关系与关系 的复合　　domf 函数的定义域（前域）　　ranf 函数的值域　　f:X→Y f是X到Y的函数　　GCD(x,y) x,y最大公约数　　LCM(x,y) x,y最小公倍数　　aH(Ha) H 关于a的左（右）陪集　　Ker(f) 同态映射f的核（或称 f同态核）　　[1，n] 1到n的整数集合　　d(u,v) 点u与点v间的距离　　d(v) 点v的度数　　G=(V,E) 点集为V，边集为E的图　　W(G) 图G的连通分支数　　k(G) 图G的点连通度　　△（G) 图G的最大点度　　A(G) 图G的邻接矩阵　　P(G) 图G的可达矩阵　　M(G) 图G的关联矩阵　　C 复数集　　N 自然数集（包含0在内）　　N* 正自然数集　　P 素数集　　Q 有理数集　　R 实数集　　Z 整数集　　Set 集范畴　　Top 拓扑空间范畴　　Ab 交换群范畴　　Grp 群范畴　　Mon 单元半群范畴　　Ring 有单位元的（结合）环范畴　　Rng 环范畴　　CRng 交换环范畴　　R-mod 环R的左模范畴　　mod-R 环R的右模范畴　　Field 域范畴　　Poset 偏序集范畴

求可达矩阵的Warshall算法

建立可达矩阵M(L)的缩减矩阵M(L)；，建立递阶结构模型，第二步，去掉M(L)中已具有邻接二元关系的的要素间的越级二元关系，得到进一步简化的新矩阵M(L)。

行元素和是该顶点出度，列元素和是该节点入度。

那要看你这个矩阵是什么意义元素组成的了而且矩阵的传递性是什么意思如果表示的是顶点ai和aj是否相连 也就是我们的邻接矩阵，我们求出他的可达矩阵就可以判断了 可达矩阵元素都是1则 连图 否则不联通

主程序clc;clearB = [1,0,0,0,1,0,0,0,1;1,1,0,0,0,0,0,0,0;0,0,1,1,0,0,0,1,0;0,0,0,1,0,1,0,0,0;0,0,0,0,1,0,0,0,0;0,0,0,1,0,1,0,0,0;0,1,0,0,0,0,1,0,0;0,0,1,0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1;];Ncr =1000;%假如要1000次连乘[R,N] = KDmat(B,Ncr);%计算可达矩阵函数程序function A = lgproduct(B,C)B = B==1;C = C==1;[m,n] = size(B);[p,q] = size(C);A = [];if(n==p)A = zeros(m,q)~=0;for i = 1:1:mfor j = 1:1:qA(i,j) = any(B(i,:)&C(:,j)");endendendend函数程序function [R,N] = KDmat(B,Ncr)ct = 0;R = B;while(1)Rold = R;R = lgproduct(R,B);ct = ct + 1;if(all(all(R==Rold))||ct>=Ncr)N = ct;break;endendend最后结果R =1 0 0 0 1 0 0 0 11 1 0 0 1 0 0 0 10 0 1 1 0 1 0 1 00 0 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 01 1 0 0 1 0 1 0 10 0 1 1 0 1 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 1N =3

就是先求普通积，求完了检查矩阵的每一个元素，若该元素是零则保持不动，若非零则记为1，这样可达性就很明显了。

先写出图的邻接矩阵A求出A^2,A^3,A^4,A^5（1）初级回路：A，A^2,A^3,A^4中主对角线上元素的和（2）A^4中第1行第2列的元素A^5中第1行第1列的元素（3）v1,v3,v4（4）A+A^2+A^3+A^4然后将所有非0元素改为1就是可达矩阵

相关矩阵对角线元素为1是矩阵主对角线上的元素恒为1。根据查询相关公开信息显示，任何顶点到自身都是可达的，可达矩阵主对角线上的元素恒为1。

c 塔

A<=>B 命题A 与B 等价关系离散数学中各种符号大全├ 断定符（公式在L中可证）╞ 满足符（公式在E上有效，公式在E上可满足）┐ 命题的“非”运算∧ 命题的“合取”（“与”）运算∨ 命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算→ 命题的“条件”运算A<=>B 命题A 与B 等价关系A=>B 命题 A与 B的蕴涵关系A* 公式A 的对偶公式wff 合式公式iff 当且仅当↑ 命题的“与非” 运算（ “与非门” ）↓ 命题的“或非”运算（ “或非门” ）□ 模态词“必然”◇ 模态词“可能”φ 空集∈ 属于（??不属于）P（A） 集合A的幂集|A| 集合A的点数R^2=R○R [R^n=R^(n-1)○R] 关系R的“复合”（或下面加 ≠） 真包含∪ 集合的并运算∩ 集合的交运算- （～） 集合的差运算〡 限制[X](右下角R) 集合关于关系R的等价类A/ R 集合A上关于R的商集[a] 元素a 产生的循环群I (i大写) 环，理想Z/(n) 模n的同余类集合r(R) 关系 R的自反闭包s(R) 关系 的对称闭包CP 命题演绎的定理（CP 规则）EG 存在推广规则（存在量词引入规则）ES 存在量词特指规则（存在量词消去规则）UG 全称推广规则（全称量词引入规则）US 全称特指规则（全称量词消去规则）R 关系r 相容关系R○S 关系 与关系 的复合domf 函数 的定义域（前域）ranf 函数 的值域f:X→Y f是X到Y的函数GCD(x,y) x,y最大公约数LCM(x,y) x,y最小公倍数aH(Ha) H 关于a的左（右）陪集Ker(f) 同态映射f的核（或称 f同态核）[1，n] 1到n的整数集合d(u,v) 点u与点v间的距离d(v) 点v的度数G=(V,E) 点集为V，边集为E的图W(G) 图G的连通分支数k(G) 图G的点连通度△（G) 图G的最大点度A(G) 图G的邻接矩阵P(G) 图G的可达矩阵M(G) 图G的关联矩阵C 复数集N 自然数集（包含0在内）N* 正自然数集P 素数集Q 有理数集R 实数集Z 整数集Set 集范畴Top 拓扑空间范畴Ab 交换群范畴Grp 群范畴Mon 单元半群范畴Ring 有单位元的（结合）环范畴Rng 环范畴CRng 交换环范畴R-mod 环R的左模范畴mod-R 环R的右模范畴Field 域范畴Poset 偏序集范畴

数量符号　　如：i，2+i，a，x，自然对数底e，圆周率π。运算符号　　如加号（+），减号（－），乘号（×或·），除号（÷或/），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（√），对数（log，lg，ln），比（：），微分（dx），积分（∫），曲线积分（∮）等。关系符号　　如“=”是等号，“≈”是近似符号，“≠”是不等号，“>”是大于符号，“<”是小于符号，“≥”是大于或等于符号（也可写作“≮”），“≤”是小于或等于符号（也可写作“≯”），。“→”表示变量变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“∥”是平行符号，“⊥”是垂直符号，“∝”是成正比符号，（没有成反比符号，但可以用成正比符号配倒数当作成反比）“∈”是属于符号，“u2286”是“包含”符号等。“|”表示“能整除”（例如a|b表示a能整除b）结合符号　　如小括号“（）”中括号“[]”，大括号“{}”横线“—”性质符号　　如正号“+”，负号“－”，绝对值符号“||”正负号“±”省略符号　　如三角形（△），直角三角形（Rt△），正弦（sin），余弦（cos），x的函数（f(x)），极限（lim），角（∠），　　∵因为，（一个脚站着的，站不住）　　∴所以，（两个脚站着的，能站住）(口诀：因为站不住，所以两个点)总和（∑），连乘（∏），从n个元素中每次取出r个元素所有不同的组合数（C(r)(n)），幂（A，Ac，Aq，x^n）等。排列组合符号　　C-组合数　　A-排列数　　N-元素的总个数　　R-参与选择的元素个数　　!-阶乘 ，如5！=5×4×3×2×1=120　　C-Combination-组合　　A-Arrangement-排列离散数学符号（未全）　　u2200全称量词　　u2203存在量词　　├断定符（公式在L中可证）　　╞满足符（公式在E上有效，公式在E上可满足）　　┐命题的“非”运算　　∧命题的“合取”（“与”）运算　　∨命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算　　→命题的“条件”运算　　u2194命题的“双条件”运算的　　A<=>B命题A与B等价关系　　A=>B命题A与B的蕴涵关系　　A*公式A的对偶公式　　wff合式公式　　iff当且仅当　　↑命题的“与非”运算（“与非门”）　　↓命题的“或非”运算（“或非门”）　　□模态词“必然”　　◇模态词“可能”　　φ空集　　∈属于A∈B则为A属于B（u2209不属于）　　P（A）集合A的幂集　　|A|集合A的点数　　R^2=R○R[R^n=R^(n-1)○R]关系R的“复合”　　u05d0阿列夫　　u2286包含　　u2282（或下面加≠）真包含　　∪集合的并运算　　∩集合的交运算　　-（～）集合的差运算　　〡限制　　[X](右下角R)集合关于关系R的等价类　　A/R集合A上关于R的商集　　[a]元素a产生的循环群　　I(i大写)环，理想　　Z/(n)模n的同余类集合　　r(R)关系R的自反闭包　　s(R)关系的对称闭包　　CP命题演绎的定理（CP规则）　　EG存在推广规则（存在量词引入规则）　　ES存在量词特指规则（存在量词消去规则）　　UG全称推广规则（全称量词引入规则）　　US全称特指规则（全称量词消去规则）　　R关系　　r相容关系　　R○S关系与关系的复合　　domf函数的定义域（前域）　　ranf函数的值域　　f:X→Yf是X到Y的函数　　GCD(x,y)x,y最大公约数　　LCM(x,y)x,y最小公倍数　　aH(Ha)H关于a的左（右）陪集　　Ker(f)同态映射f的核（或称f同态核）　　[1，n]1到n的整数集合　　d(u,v)点u与点v间的距离　　d(v)点v的度数　　G=(V,E)点集为V，边集为E的图　　W(G)图G的连通分支数　　k(G)图G的点连通度　　△（G)图G的最大点度　　A(G)图G的邻接矩阵　　P(G)图G的可达矩阵　　M(G)图G的关联矩阵　　C复数集　　N自然数集（包含0在内）　　N*正自然数集　　P素数集　　Q有理数集　　R实数集　　Z整数集　　Set集范畴　　Top拓扑空间范畴　　Ab交换群范畴　　Grp群范畴　　Mon单元半群范畴　　Ring有单位元的（结合）环范畴　　Rng环范畴　　CRng交换环范畴　　R-mod环R的左模范畴　　mod-R环R的右模范畴　　Field域范畴　　Poset偏序集范畴

离散数学期末复习要点与重点 第1章 集合及其运算 复习要点 1．理解集合、元素、集合的包含、子集、相等，以及全集、空集和幂集等概念，熟练掌握集合的表示方法．具有确定的，可以区分的若干事物的全体称为集合，其中的事物叫元素.．集合的表示方法：列举法和描述法. 注意：集合的表示中元素不能重复出现，集合中的元素无顺序之分． 掌握集合包含(子集)、真子集、集合相等等概念．注意：元素与集合，集合与子集，子集与幂集，02与00(01),空集04与所有集合等的关系.空集04，是惟一的，它是任何集合的子集．集合A的幂集P(A)＝， A的所有子集构成的集合．若05A05＝n，则05P(A)05=2n．2．熟练掌握集合A和B的并A06B，交A05B，补集~A(~A补集总相对于一个全集).差集A－B，对称差03，A03B＝(A－B)06(B－A)，或A03B＝(A06B)－（A05B）等运算，并会用文氏图表示．掌握集合运算律(见教材第9～11页)(运算的性质).3．掌握用集合运算基本规律证明集合恒等式的方法．集合的运算问题：其一是进行集合运算；其二是运算式的化简；其三是恒等式证明．证明方法有二：(1)要证明A＝B，只需证明A01B，又A08B；(2)通过运算律进行等式推导．重点：集合概念，集合的运算，集合恒等式的证明． 第2章 关系与函数 复习要点1．了解有序对和笛卡儿积的概念，掌握笛卡儿积的运算． 有序对就是有顺序二元组，如<x, y>，x, y的位置是确定的，不能随意放置． 注意：有序对<a，b>01<b,a>，以a, b为元素的集合{a, b}={b, a}；有序对(a, a)有意义，而集合{a, a}是单元素集合，应记作{a}． 集合A，B的笛卡儿积A×B是一个集合，规定A×B＝{<x,y>05x02A,y02B}，是有序对的集合.笛卡儿积也可以多个集合合成，A1×A2×…×An． 2．理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系.掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图，掌握关系的集合运算和求复合关系、逆关系的方法． 二元关系是一个有序对集合，，记作xRy． 关系的表示方法有三种：集合表示法， 关系矩阵：R01A×B，R的矩阵. 关系图：R是集合上的二元关系，若<ai, bj>02R，由结点ai画有向弧到bj构成的图形．空关系04是唯一、是任何关系的子集的关系；全关系；恒等关系，恒等关系的矩阵MI是单位矩阵．关系的集合运算有并、交、补、差和对称差．复合关系；复合关系矩阵：(按布尔运算)； 有结合律：(R·S)·T＝R·(S·T)，一般不可交换．逆关系；逆关系矩阵满足：；复合关系与逆关系存在：(R·S)－1=S－1·R－1． 3．理解关系的性质(自反性和反自反性、对称性和反对称性、传递性的定义以及矩阵表示或关系图表示)，掌握其判别方法(利用定义、矩阵或图，充分条件)，知道关系闭包的定义和求法．注：(1)关系性质的充分必要条件：① R是自反的04IA01R；②R是反自反的04IA05R＝04；③R是对称的 04R＝R－1；④R是反对称的04R05R－101IA；⑤R是传递的04R·R01R. (2)IA具有自反性，对称性、反对称性和传递性．EA具有自反性，对称性和传递性．故IA，EA是等价关系．04具有反自反性、对称性、反对称性和传递性．IA也是偏序关系．4．理解等价关系和偏序关系概念，掌握等价类的求法和作偏序集哈斯图的方法．知道极大(小)元，最大(小)元的概念，会求极大(小)元、最大(小)元、最小上界和最大下界． 等价关系和偏序关系是具有不同性质的两个关系. 知道等价关系图的特点和等价类定义，会求等价类． 一个子集的极大(小)元可以有多个，而最大(小)元若有，则惟一.且极元、最元只在该子集内；而上界与下界可以在子集之外．由哈斯图便于确定任一子集的最大(小)元，极大(小)元．5．理解函数概念：函数(映射)，函数相等，复合函数和反函数．理解单射、满射和双射等概念，掌握其判别方法． 设f是集合A到B的二元关系，"a02A，存在惟一b02B，使得<a, b>02f，且Dom(f)=A，f是一个函数(映射)．函数是一种特殊的关系．集合A×B的任何子集都是关系，但不一定是函数．函数要求对于定义域A中每一个元素a，B中有且仅有一个元素与a对应，而关系没有这个限制． 二函数相等是指：定义域相同，对应关系相同，而且定义域内的每个元素的对应值都相同． 函数有：单射——若；满射——f(A)=B或使得y=f(x)；双射——单射且满射． 复合函数 即．复合成立的条件是：．一般，但.反函数——若f：A03B是双射，则有反函数f－1：B03A， ， 重点：关系概念与其性质，等价关系和偏序关系，函数. 第3章 图的基本概念 复习要点 1．理解图的概念：结点、边、有向图，无向图、简单图、完全图、结点的度数、边的重数和平行边等.理解握手定理． 图是一个有序对<V，E>，V是结点集，E是联结结点的边的集合．掌握无向边与无向图，有向边与有向图，混合图，零图，平凡图、自回路(环)，无向平行边，有向平行边等概念．简单图，不含平行边和环(自回路)的图、 在无向图中，与结点v(02V)关联的边数为结点度数(v)；在有向图中，以v(02V)为终点的边的条数为入度－(v)，以v(02V)为起点的边的条数为出度＋(v)，deg(v)=deg+(v) +deg－(v)．无向完全图Kn以其边数；有向完全图以其边数．了解子图、真子图、补图和生成子图的概念．生成子图——设图G＝<V, E>，若E0401E，则图<V, E04>是<V, E>的生成子图． 知道图的同构概念，更应知道图同构的必要条件，用其判断图不同构.重要定理：(1) 握手定理 设G=<V，E>，有；(2) 在有向图D＝<V, E>中，；(3) 奇数度结点的个数为偶数个． 2．了解通路与回路概念：通路(简单通路、基本通路和复杂通路)，回路(简单回路、基本回路和复杂回路)．会求通路和回路的长度．基本通路(回路)必是简单通路(回路)． 了解无向图的连通性，会求无向图的连通分支．了解点割集、边割集、割点、割边等概念．了解有向图的强连通强性；会判别其类型．设图G＝<V，E>，结点与边的交替序列为通路．通路中边的数目就是通路的长度．起点和终点重合的通路为回路．边不重复的通路(回路)是简单通路(回路)；结点不重复的通路(回路)是基本通路(回路). 无向图G中，结点u, v存在通路，u, v是连通的，G中任意结点u, v连通，G是连通图．P(G)表示图G连通分支的个数． 在无向图中，结点集V0400V，使得P(G－V04)>P(G)，而任意V0500V04,有P（G－V05）＝P(G)，V04为点割集. 若V04是单元集，该结点v叫割点；边集E0400E，使得P(G－V04)>P(G)，而任意E0500E04，有P（G－E05）＝P(G)，E04为边割集．若E04是单元集，该边e叫割边(桥)．要知道：强连通单侧连通弱连通，反之不成立．3．了解邻接矩阵和可达矩阵的概念，掌握其构造方法及其应用．重点：图的概念，握手定理，通路、回路以及图的矩阵表示． 第4章 几种特殊图 复习要点1．理解欧拉通路(回路)、欧拉图的概念，掌握欧拉图的判别方法．通过连通图G的每条边一次且仅一次的通路(回路)是欧拉通路(回路)．存在欧拉回路的图是欧拉图. 欧拉回路要求边不能重复，结点可以重复．笔不离开纸，不重复地走完所有的边，走过所有结点，就是所谓的一笔画．欧拉图或通路的判定定理 (1)无向连通图G是欧拉图04G不含奇数度结点(即G的所有结点为偶数度)； (2)非平凡连通图G含有欧拉通路04G最多有两个奇数度的结点； (3)连通有向图D含有有向欧拉回路04D中每个结点的入度＝出度．连通有向图D含有有向欧拉通路04D中除两个结点外，其余每个结点的入度＝出度，且此两点满足deg－(u)－deg＋(v)＝±1．2．理解汉密尔顿通路(回路)、汉密尔顿图的概念，会做简单判断．通过连通图G的每个结点一次，且仅一次的通路(回路)，是汉密尔顿通路(回路)．存在汉密尔顿回路的图是汉密尔顿图. 汉密尔顿图的充分条件和必要条件 (1)在无向简单图G=<V，E>中，05V05063，任意不同结点，则G是汉密尔顿图．(充分条件) (2)有向完全图D＝<V，E>, 若，则图D是汉密尔顿图. (充分条件)(3) 设无向图G=<V，E>，任意V100V，则W(G－V1)0505V105(必要条件)若此条件不满足，即存在V100V，使得P(G－V!)>05V105,则G一定不是汉密尔顿图(非汉密尔顿图的充分条件)．3．了解平面图概念，平面图、面、边界、面的次数和非平面图．掌握欧拉公式的应用．平面图是指一个图能画在平面上，除结点之外，再没有边与边相交． 面、边界和面的次数等概念．重要结论：(1)平面图．(2)欧拉公式：平面图 面数为r，则(结点数与面数之和＝边数＋2)(3)平面图． 会用定义判定一个图是不是平面图． 4．理解平面图与对偶图的关系、对偶图在图着色中的作用，掌握求对偶图的方法．给定平面图G＝〈V，E〉，它有面F1，F2，…，Fn，若有图G*＝〈V*，E*〉满足下述条件： ⑴对于图G的任一个面Fi，内部有且仅有一个结点vi*∈V*；⑵对于图G的面Fi，Fj的公共边ek，存在且仅存在一条边ek*∈E*，使ek*＝(vi*，vj*)，且ek*和ek相交； ⑶当且仅当ek只是一个面Fi的边界时，vi*存在一个环ek*和ek相交；则图G*是图G的对偶图．若G*是G的对偶图，则G也是G*的对偶图．一个连通平面图的对偶图也必是平面图．5．掌握图论中常用的证明方法．重点：欧拉图和哈密顿图、平面图的基本概念及判别． 第5章 树及其应用 复习要点1．了解树、树叶、分支点、平凡树、生成树和最小生成树等概念，掌握求最小生成树的方法．连通无回路的无向图是树．树的判别可以用图T是树的充要条件(等价定义)．注意：(1) 树T是连通图； (2)树T满足m＝n－1（即边数=顶点数-1）．图G的生成子图是树，该树就是生成树．每边指定一正数，称为权，每边带权的图称为带权图．G的生成树T的所有边的权之和是生成树T的权，记作W(T)．最小生成树是带权最小的生成树．2．了解有向树、根树、有序树、二叉树、二叉完全树、正则二叉树和最优二叉树等概念．了解带权二叉树、最优二叉树的概念，掌握用哈夫曼算法求最优二叉树的方法．有向图删去边的方向为树，该图为有向树． 对非平凡有向树，恰有一个结点的入度为0(该结点为树根)，其余结点的入度为1，该树为根树． 每个结点的出度小于或等于2的根树为二叉树；每个结点的出度等于0或2的根树为二叉完全树；每个结点的出度等于2的根树称为正则二叉树． 有关树的求法：(1)生成树的破圈法和避圈法求法；(2)最小生成树的克鲁斯克尔求法；(3) 最优二叉树的哈夫曼求法重点：树与根树的基本概念，最小生成树与最优二叉树的求法. 第6章 命题逻辑 复习要点 1．理解命题概念，会判别语句是不是命题．理解五个联结词：否定01P、析取03、合取02、条件03、和双条件00及其真值表，会将简单命题符号化．具有确定真假意义的陈述句称为命题．命题必须具备：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义. 2．了解公式的概念(公式、赋值、成真指派和成假指派)和公式真值表的构造方法．能熟练地作公式真值表．理解永真式和永假式概念，掌握其判别方法．判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，其二是等价演算法.3．了解公式等价概念，掌握公式的重要等价式和判断两个公式是否等价的有效方法：等价演算法、列真值表法和主范式方法． 4．理解析取范式和合取范式、极大项和极小项、主析取范式和主合取范式的概念，熟练掌握它们的求法． 命题公式的范式不惟一，但主范式是惟一的． 命题公式A有n个命题变元，A的主析取范式有k个极小项，有m个极大项，则 于是有(1) A是永真式04k=2n(m=0)； (2) A是永假式04m＝2n(k=0)； 求命题公式A的析取(合取)范式的步骤：见教材第174页．求命题公式A的主析取(合取)范式的步骤：见教材第177和178页． 5．了解C是前提集合{A₁,A₂,…,A_m}的有效结论或由A1, A2, …, Am 逻辑地推出C的概念．要理解并掌握推理理论的规则、重言蕴含式和等价式，掌握命题公式的证明方法：真值表法、直接证法、间接证法．重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定，主析取(合取)范式，命题演算的推理理论. 第7章 谓词逻辑复习要点1．理解谓词、量词、个体词、个体域，会将简单命题符号化．原子命题分成个体词和谓词，个体词可以是具体事物或抽象的概念，分个体常项和个体变项．谓词用来刻划个体词的性质或之间的关系． 量词分全称量词"，存在量词$. 命题符号化注意：使用全称量词"，特性谓词后用03；使用存在量词$，特性谓词后用02．2．了解原子公式、谓词公式、变元(约束变元和自由变元)与辖域等概念．掌握在有限个体域下消去公式的量词和求公式在给定解释下真值的方法．由原子公式、联结词和量词构成谓词公式．谓词公式具有真值时，才是命题． 在谓词公式"xA或$xA中，x是指导变元，A是量词的辖域．会区分约束变元和自由变元．在非空集合D(个体域)上谓词公式A的一个解释或赋值有3个条件． 在任何解释下，谓词公式A取真值1，A为逻辑有效式(永真式)；公式A取真值0，A为永假式；至少有一个解释使公式A取真值1，A称为可满足式．在有限个体域下，消除量词的规则为：设D＝{a₁, a₂,…, a_n}，则会求谓词公式的真值，量词的辖域，自由变元、约束变元，以及换名规则、代入规则等．掌握谓词演算的等价式和重言蕴含式．并进行谓词公式的等价演算．3．了解前束范式的概念，会求公式的前束范式的方法. 若一个谓词公式F等价地转化成 ，那么就是F的前束范式，其中Q1，Q2，…，Qk只能是"或$，而x1, x2,…, xk是个体变元，B是不含量词的谓词公式．前束范式仍然是谓词公式． 4．了解谓词逻辑推理的四个规则．会给出推理证明． 谓词演算的推理是命题演算推理的推广和扩充，命题演算中基本等价式，重言蕴含式以及P，T，CP规则在谓词演算中仍然使用．谓词逻辑的推理演算引入了US规则(全称量词指定规则)，UG规则(全称量词推广规则)，ES规则(存在量词指定规则)，EG规则(存在量词推广规则)等.重点：谓词与量词，公式与解释，谓词演算．

├ 断定符（公式在L中可证）╞ 满足符（公式在E上有效，公式在E上可满足）┐ 命题的“非”运算∧ 命题的“合取”（“与”）运算∨ 命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算→ 命题的“条件”运算u2194 命题的“双条件”运算的A<=>B 命题A 与B 等价关系A=>B 命题 A与 B的蕴涵关系A* 公式A 的对偶公式wff 合式公式iff 当且仅当↑ 命题的“与非” 运算（ “与非门” ）↓ 命题的“或非”运算（ “或非门” ）□ 模态词“必然”◇ 模态词“可能”φ 空集∈ 属于（u2209不属于）P（A） 集合A的幂集|A| 集合A的点数R^2=R○R [R^n=R^(n-1)○R] 关系R的“复合”u05d0 阿列夫u2286 包含u2282（或下面加 ≠） 真包含∪ 集合的并运算∩ 集合的交运算- （～） 集合的差运算〡 限制[X](右下角R) 集合关于关系R的等价类A/ R 集合A上关于R的商集[a] 元素a 产生的循环群I (i大写) 环，理想Z/(n) 模n的同余类集合r(R) 关系 R的自反闭包s(R) 关系 的对称闭包CP 命题演绎的定理（CP 规则）EG 存在推广规则（存在量词引入规则）ES 存在量词特指规则（存在量词消去规则）UG 全称推广规则（全称量词引入规则）US 全称特指规则（全称量词消去规则）R 关系r 相容关系R○S 关系 与关系 的复合domf 函数 的定义域（前域）ranf 函数 的值域f:X→Y f是X到Y的函数GCD(x,y) x,y最大公约数LCM(x,y) x,y最小公倍数aH(Ha) H 关于a的左（右）陪集Ker(f) 同态映射f的核（或称 f同态核）[1，n] 1到n的整数集合d(u,v) 点u与点v间的距离d(v) 点v的度数G=(V,E) 点集为V，边集为E的图W(G) 图G的连通分支数k(G) 图G的点连通度△（G) 图G的最大点度A(G) 图G的邻接矩阵P(G) 图G的可达矩阵M(G) 图G的关联矩阵C 复数集N 自然数集（包含0在内）N* 正自然数集P 素数集Q 有理数集R 实数集Z 整数集Set 集范畴Top 拓扑空间范畴Ab 交换群范畴Grp 群范畴Mon 单元半群范畴Ring 有单位元的（结合）环范畴Rng 环范畴CRng 交换环范畴R-mod 环R的左模范畴mod-R 环R的右模范畴Field 域范畴Poset 偏序集范畴

(15-4)×(6-4)×2=44立方分米

20.7

高9减去1等于8 ，长7减去一等于6 ，算体积的公式是长乘宽乘高所以铁盒的容积是8乘6再乘1等于48dm的立方

d+兀d=16.56=4，3.14×4÷2x4二50.24

均有不同程度影响。具体影响如下：过氧化氢的浓度对反应速度和反应速率常数均有影响。通常情况下，过氧化氢的浓度越高，反应速率也就越高。这是因为过氧化氢在催化剂（如过氧化酶）的作用下分解成氧气和水，反应速率随着浓度的增加而增加。同时，当过氧化氢的浓度增加时，反应速率常数也会增加。根据速率常数的定义，反应速率常数正比于反应物浓度的指数，因此，随着浓度的增加，反应速率常数也会随之增加。