还记得破解了数学百年难题的快递员吗？被邀请到浙大授课，他现状如何？

大学高难度数学题有证明题，实变函数，泛函分析，高等代数等题。这些题中涉及的基础部分微积分，是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。十七世纪以来，微积分的概念和技巧不断扩展并被广泛应用来解决天文学、物理学中的各种实际问题，取得了巨大的成就。但直到十九世纪以前，在微积分的发展过程中，其数学分析的严密性问题一直没有得到解决。十八世纪中，包括牛顿和莱布尼兹在内的许多大数学家都觉察到这一问题并对这个问题作了努力，但都没有成功地解决这个问题。整个十八世纪，微积分的基础是混乱和不清楚的，许多英国数学家也许是由于仍然为古希腊的几何所束缚，因而怀疑微积分的全部工作。这个问题一直到十九世纪下半叶才由法国数学家柯西得到了完整的解决，柯西极限存在准则使得微积分注入了严密性，这就是极限理论的创立。极限理论的创立使得微积分从此建立在一个严密的分析基础之上，它也为20世纪数学的发展奠定了基础。

大学高难度数学题有高等代数，数学分析，常微分方程，解析几何，微分几何，初等数论，点击拓扑，概率论，事变函数，复变函数等题。高等数学是指相对于初等数学和中等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分，中学的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括：数列、极限、微积分、空间解析几何与线性代数、级数、常微分方程。工科、理科、财经类研究生考试的基础科目。通常认为，高等数学是由17世纪后微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。相对于初等数学和中等数学而言，学的数学较难，属于大学教程，因此常称“高等数学”，在课本常称“微积分”，理工科的不同专业。文史科各类专业的学生，学的数学稍微浅一些，文史科的不同专业，深浅程度又各不相同。研究变量的是高等数学，可高等数学并不只研究变量。至于与“高等数学”相伴的课程通常有：线性代数（数学专业学高等代数），概率论与数理统计（有些数学专业分开学）。以上内容参考：百度百科—高等数学

北大最难的数学题目如下：北京大学在新媒体发文，披露了韦东奕的一条动态，让韦东奕的粉丝感到异常兴奋，原来北大数学国际数学研究中心推出了一道数学难题，获得很多的数学爱好者关注。而这道数学难题正是由韦东奕出题，数学题公布后，北大数学中心收到了上百位爱好者提交的答案，但多数答案都未获得韦东奕的认可，只有三份答案被韦东奕挑选了出来。据韦东奕介绍，这道数学题的解答线索只有一个，挑选出来的三份解答相似度很高，都可以用来作为标准答案。这三份答案分别来自国内高校大学生、国外高校大学生以及一名国内初中生。国内大学生的解答如下：国外高校大学生的解答：国内一名初二学生的解答如下：值得一提的是，在这三份解答中最被看好的是国内初中学生的解答，他认为这位初中生给出了最简洁、完备的答案，让他感到欣喜。很多人觉得不可思议，这个北大最难的数学题竟然被初中生破获！或许这也进一步证明了数学真的是一门需要天赋的科学，缺少天赋的人只能按部就班的刷题、考试，无法去解答那些烧脑的难题。

楼上说的对呀

大学数学分好多呢，比如，高等代数，数学分析，常微分方程，解析几何，微分几何，近世代数，初等数论，点击拓扑，概率论，事变函数，复变函数等

An/An-1=n*sin(x/n);n趋向于无穷大时，sin(x/n)趋向于x/n,所以An/An-1趋向于x;|x|>1,则发散；|x|=1，则趋向常数数列；0<|x|<1,则收敛；x=0，不说了；

这道大学题属于是排列组合问题，然后你不能先做第一题，是个陷阱。从第三题开始做就简单了。

(1)P对NP问题(2)霍奇猜想(3)普安卡雷猜想(4)黎曼假设(5)米尔斯理论(6)斯托克斯方程(7)戴尔猜想 2000年5月24日，千年数学会议在著名的法兰西学院举行。会上，美国克雷数学研究所公布和介绍了7个“千年大奖问题”。并邀请有关研究领域的专家对每一个问题进行了较详细的阐述。克雷数学研究所对“千年大奖问题”的解决与获奖作了严格规定。每一个“千年大奖问题”获得解决并不能立即得奖。任何解决答案必须在具有世界声誉的数学杂志上发表两年后且得到数学界的认可，才有可能由克雷数学研究所的科学顾问委员会审查决定是否值得获得百万美元大奖。 这7个“千年大奖问题”是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨-米尔斯理论、纳卫尔-斯托克斯方程、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想。 其中庞加莱猜想和黎曼假设是两个最大的猜想，剩余下的难题中，很多人攻关的黎曼假设还没有看到破解的希望；引起很多著名数学家兴趣的霍奇猜想“进展不大”；和流体有关的纳卫尔-斯托克斯方程“离解决也相差很远”；P与NP问题“没什么进展”；杨-米尔理论“太难，几乎没人做”。 另外几个数学难题： 难题一：哥德巴赫猜想 提出者：哥德巴赫提出时间：1742年研究进展：尚未破解 内容表述：命题A每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和。 命题B每一个大于或者等于9的奇数，都可以表示为三个奇素数的和。 1742年，德国人哥德巴赫给当时住在俄国彼得堡的大数学家欧拉写了一封信，在信中提出了这两个问题。它是数论中的一个著名问题，常被称为数学皇冠上的明珠。 实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法，因为每个大于7的奇数显然可以表示为一个大于4的偶数与3的和。1937年，苏联数学家维诺格拉多夫利用他独创的“三角和”方法证明了每个充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和，基本上解决了第二个问题。但是第一个问题至今仍未解决。由于问题实在太困难了，数学家们开始研究较弱的命题：每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为m、n的两个自然数之和，简记为“m+n”。1920年，挪威数学家布龙证明了“9+9”；以后的20几年里，数学家们又陆续证明了“7+7”，“6+6”，“5+5”，“4+4”，“1+c”，其中c是常数。1956年，中国数学家王元证明了“3+4”，随后又证明了“3+3”，“2+3”。60年代前半期，中外数学家将命题推进到“1+3”。1966年，中国数学家陈景润证明了“1+2”，这一结果被称为“陈氏定理”，至今仍是最好的结果。陈景润的杰出成就使他得到广泛赞誉，不仅仅是因为“陈氏定理”使中国在哥德巴赫猜想的证明上处于领先地位。 难题二：费马大定理 提出者：费马提出时间：1637年研究进展：于1995年被成功证明 内容表述：xn＋yn＝zn在n是大于2的自然数时没有正整数解（这里xn、yn、zn表示x的n次方、y的n次方、z的n次方）。 在360多年前的某一天，当费马阅读古希腊名著《算术》时，突然心血来潮在书页的空白处，写下这样一段话：“将一个立方数分成两个立方数，一个四次幂分成两个四次幂，或者一般地将一个高於二次幂的数分成两个相同次幂，这是不可能的。我对这个命题有一个美妙的证明，这里空白太小，写不下。” 这个世纪数论难题由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学理论，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等。 难题三：四色猜想 提出者：格斯里提出时间：1852年研究进展：于1976年被计算机验证 内容表述：每幅地图都可以用4种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。 四色猜想于1852年由英国学生格斯里提出，这一猜想的证明得益于计算机技术的发展。1976年6月，美国伊利诺斯大学的数学家阿佩尔和哈肯在3台不同的计算机上用了1200个小时，分析了2000个构形后成功证明这一猜想。它是第一个人机合作完成的著名数学证明，在数学界、计算机界，乃至哲学界都引起了广泛关注，引发了关于数学的本质、数学证明的意义等问题的深入讨论。另外，四色难题的研究还对平面图理论、代数拓扑学、有限射影几何和计算机编码程序设计等发展起到了重要的推动作用。 难题四：女生散步问题 提出者：柯克曼提出时间：1850年研究进展：已被破解 内容表述：某学生宿舍共有15名女生，每天3人一组进行散步，问怎样安排，才能使每位女生有机会与其他每一位女生在同一组中散步，并恰好每星期一次。 英国数学家柯克曼于1850年提出“女生散步”问题，提出后得到多种解答，其中较有代表性的是假定一位女生固定在某一组，再将其他14位女生编上号码（1至14号），并按照一定规律安排星期天的分组散步，则其他6天星期r散步（r=1,2,3,4,5,6）分组可按原编号与r的数字之和安排（和数超过14则减去14）。 另外，有些数学家更将问题扩展成组合论中的难题：设有N个元素，每三个一组分成若干组。这些组分别组成一个系列，现称为柯克曼序列。若每一元素与其他元素恰有一次同组的机会，问将N分成这种序列要满足的充分必要条件是什么，怎样组成此序列？在女生问题中，序列数为7，N=15是适合条件的数。但N的一般解答直到20世纪60年代后才有突破。我国数学家陆家羲对此曾作出过重要的贡献。 难题五：七桥问题 提出者：起源于普鲁士柯尼斯堡镇（今苏联加里宁格勒） 提出时间：十八世纪初研究进展：于1736年被圆满解决 内容表述：一条河的两支流绕过一个岛，有七座桥横跨这两支流，问一个散步者能否走过每一座桥，而每座桥却只走过一次。 这个问题起源于18世纪初的普鲁士柯尼斯堡镇（今苏联加里宁格勒）。欧拉在1736年圆满地解决了这一问题，证明这种方法并不存在。他在圣彼得堡科学院发表了图论史上第一篇重要文献。欧拉把实际的抽象问题简化为平面上的点与线组合，每一座桥视为一条线，桥所连接的地区视为点。这样若从某点出发后最后再回到这点，则这一点的线数必须是偶数。 七桥问题引发了网络理论之研究，被认为是拓扑学理论基本应用题，对解决最短邮路等问题很有帮助。

1、高维非线性问题:从最古老的三体问题，到流体动力学NS方程，再到爱因斯坦的广义相对论方程，其涉及方面广阔，习题内容繁多且难度较大； 2、极限问题:微积分的核心内容是极限，极限定义又是在该门课程中最难理解的内容之一。极限定义具体划分有数列的定义和函数的定义，正因为其涉及到很多的函数内容，所以理解起来较为困难； 3、函数问题:包括初级函数问题、中级函数问题以及高级函数问题，涉及范围比较广，且考试时占据比重较大，其所涉及的难题也比较多。

可以用数学归纳法证明。n=1时，命题成立n=k时，假设成立，即k！>=k^(k/2) /2则，n=k+1时，k+1!=k! (k+1)>=(k+1)k^(k/2) /2>=(k+1)^(k+1/2) /2

大三生攻克国际数学难题 三院士致信教育部推荐来源：新华网2011年10月09日15:01刘嘉忆（图片来源：中南大学新闻网） 青春，在数学王国飞扬记攻克国际数学难题的中南大学学生刘嘉忆新华网长沙10月9日电（记者 黄兴华）日前，中国科学院李邦河等3名院士分别向教育部写信推荐，请予破格录取中南大学大四学生刘嘉忆为研究生，并建议教育部有关部门立即采取特殊措施，加强对其学术方面的培养。一个名不见经传的莘莘学子为何能够引起科技界前辈如此关注？这缘于近年刘嘉忆通过潜心研究成功攻克了一个多年未解的国际数学难题。国际逻辑学知名专家、芝加哥大学数学系教授邓尼斯·汉斯杰弗德写信称：“我是过去众多研究该问题而无果者之一，看到这一问题的最终解决感到非常高兴。”“请接受我对你令人赞叹的惊奇的成果的祝贺！”大三学生攻克国际数学难题数理逻辑是研究推理的数学分支。它使用数学的方法，即一套符号体系来研究推理前提和结论之间的形式关系，故也称符号逻辑。在计算机科学和人们的生活中，数理逻辑发挥着重要的理论指导作用。2010年8月，酷爱数理逻辑的刘嘉忆在自学反推数学的时候，第一次接触到这个问题，并在阅读大量文献时发现，海内外不少学者都在进行反推数学中的拉姆齐二染色定理的证明论强度的研究。这是由英国数理逻辑学家西塔潘于上个世纪90年代提出的一个猜想，10多年来许多著名研究者一直努力都没有解决。同年10月的一天，刘嘉忆突然想到利用之前用到的一个方法稍作修改便可以证明这一结论，连夜将这一证明写出来，投给了数理逻辑国际权威杂志《符号逻辑杂志》。今年5月，由北京大学、南京大学和浙江师范大学联合举办的逻辑学术会议在浙江师范大学举行，还是大三学生的刘嘉忆应邀参加了这次会议，报告了他对目前反推数学中的拉姆齐二染色定理的证明论强度的研究。刘嘉忆的报告给这一悬而未决的公开问题一个否定式的回答，彻底解决了西塔潘的猜想。《符号逻辑杂志》的主编、逻辑学专家、芝加哥大学数学系邓尼斯·汉斯杰弗德看到论文后给他写信：“我是过去众多研究该问题而无果者之一，看到这一问题的最终解决感到非常高兴，特别如你给出的如此漂亮的证明，请接受我对你令人赞叹的惊奇的成果的祝贺！”同时，邓尼斯·汉斯杰弗德教授高兴地将刘嘉忆的研究介绍给了其他几位同仁和专家，他们一起审读、反复商讨。论文审稿人、芝加哥大学博士达米尔·扎法洛夫也认为：“这是一个重要的结果，过去20多年许多著名科研工作者在这方面进行努力。该问题的研究促进了反推数学和计算性理论方面的研究。”9月16日，美国芝加哥大学数理逻辑学术会议上，云集了来自欧美的许多数理逻辑专家、学者。大会邀请了12位专家、学者作学术报告，刘嘉忆作为亚洲高校唯一一位代表在会上作了40分钟报告。他在数理逻辑方面的研究成果，让与会专家、学者对这位来自中国的“80后”投上赞许的目光。机会只留给有准备的人单薄的身子，略显苍白的脸上架着一副近视眼镜，说话间不时而至的羞涩表情，这是记者8日在中南大学校园见到刘嘉忆时的第一印象。“我能走到今天这一步，只是运气比别人好些吧！”面对记者探究的目光，刘嘉忆淡淡地说。祖籍大连的刘嘉忆，父亲在当地一家国有企业后勤部门工作，母亲在一家企业任工程师。他告诉记者，父母并没有给予他数学方面的遗传基因和教育，自己上小学时也没有对数学表现出特别的爱好。“如果要说我与同龄人有什么不同之处的话，那就是我对数学的特别关注。”刘嘉忆说，“上初中时，一些同学还在为数学教科书上的习题抓耳挠腮时，我就开始自学数论了。”数论就是指研究整数性质的一门理论。刘嘉忆说，当时，对其他同学来说，看初等数论中的整除理论、同余理论、连分数理论像是在看“天书”，而他却学得津津有味。2008年，刘嘉忆以优异的成绩考上中南大学数学科学与计算技术学院。按说，有了扎实的数学基础，刘嘉忆应该在同学面前崭露头角，但每次数学考试，他的成绩并不拔尖。对此，刘嘉忆解释说：“这只怪我马虎惯了。考试过程中，我的演算过程太乱、解答不太标准，都影响加分。”而他的同学则认为，刘嘉忆当时在数学领域涉猎范围十分广泛，不太在意学校的每次考试，不愿在同学面前显山露水。刘嘉忆的同学高涛说，在课堂上，他并没有表现得与众不同，但每到课余时间，他就会去图书馆，一回来，准会带上一大堆全英文数学书籍，常常捧着看到深夜。同学问他题目，发现他的思路与他人不一样，还会用更简单的方法来计算或解释。“我们当时都知道他对数学钻得很深，也知道他肯定会有所收获。”高涛说。大二时，刘嘉忆开始学习数理逻辑。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。相对其他数学课程，他对此表现出特别的偏爱。他的任课老师也看出了他的不一般，给予他许多指导和鼓励。何伟教授在组合学课程中提及拉姆齐二染色定理这正是刘嘉忆几个月来冥想苦思的问题。从此，他更坚定了攻克这个难题的信心。“其实，我在思考这个命题时好像灵光一现，论证倒没有花费太多的时间。”刘嘉忆说，“如果一定要总结点什么，可能与我平时的积累有关吧。”“40岁以前要攻数学”刘嘉忆的成功无疑给中南大学师生以莫大鼓舞。数学科学与计算技术学院院长刘再明告诉记者，为了让刘嘉忆尽快进入该领域的学习和研究工作，学校决定让他提前大学毕业，并立即录取为硕、博连读的研究生或直接攻读博士学位。今年7月，著名数学家、中南大学博士生导师侯振挺教授了解刘嘉忆的情况后，千方百计为他创造条件，鼓励他参加有代表性的学术会议，并收他为徒，共同探讨学术问题。中国科学院院士李邦河、丁夏畦、林群得知刘嘉忆的成就后，分别向教育部有关部门负责同志写信推荐。在信中他们说，刘嘉忆同学在大三的时候就已经独立解决了重要的数学难题，可见他是难得一见的杰出数学人才。刘嘉忆向记者坦言，除了数学，他还喜欢物理，但他权衡了一下，物理需要做大量的试验，需要成本，对一个学生来说还没那么多资金。他还喜欢心理学，他曾设计了一组关于认知的心理实验，然而他更热衷于数理逻辑。他说这些等到他40岁以后再来做，40岁以前要攻数学。刘嘉忆告诉记者，前不久他投给《美国数学会汇刊》的论文获得威士康星大学、伯克利大学等几位教授很高的评价，有望公开发表。目前，刘嘉忆正准备学习模型论。“这是数理逻辑的主要分支之一，研究形式语言与其模型之间的关系，将来研究要再上台阶，必须具备扎实的基础知识。”他说。

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七大数学难题如下：1、黎曼猜想：黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ（s）的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德-黎曼于1859年提出。虽然在知名度上，黎曼猜想不及费尔马猜想和哥德巴赫猜想，但它在数学上的重要性要远远超过后两者，是当今数学界最重要的数学难题。2、霍奇猜想：霍奇猜想可以说难道几乎所有的数学家，猜想表达能够将特定的对象形状，在不断增加维数的时候粘合形成一起，看似非常的巧妙，但在实际的操作过程中必须要加上没有几何解释的部件。3、BSD猜想：BSD猜想，全称贝赫和斯维纳通-戴尔猜想，它描述了阿贝尔簇的算术性质与解析性质之间的联系。4、欧几里得第五公设：欧几里得第五公设：同一平面内的两条直线与第三条直线相交，若其中一侧的两个内角之和小于二直角，则该两直线必在这一侧相交。因它与平行公理是等价的，所以又称为欧几里得平行公设，简称平行公设。5、NP完全问题：NP完全问题可以说是一个听着就很复杂的数学问题，简单的讲所有的完全多项式在非确定性的问题，都可以被转化为名为满足性的逻辑运算问题，数学家们猜想的是到底有没有一个确定性的算大。6、庞加莱猜想：庞加莱猜想提出来很长时间了，猜想中提到如果不断的去扯一个橡皮筋，然后让它慢慢于移动伸缩为一个点，最终能否证明三维球面或者是四维空间中的和原点有距离的全部问题，简直就是很困难了。7、纳维-斯托克斯方程：这个数学问题本是数学家们用来研究无论是在微风还是在湍流等情况下，都能用纳卫尔-斯托可的方程式做出相应的数据解答，但是到目前能完全理解纳卫尔-斯托可方程式的人少之又少，而且有些理论的实质进展很微妙。

题目呢？

证明了正十七边形可以尺规作图，他没画

四色猜想费尔马大定理哥德巴赫猜想

解题是深化知识、发展智力、提高能力的重要手段。下面我给你分享大学数学九大解题技巧，欢迎阅读。 大学数学九大解题技巧 1、配法 通过把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题的方法，叫配方法。配方法用的最多的是配成完全平方式，它是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2bxc=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 6、构造法 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。 7、面积法 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的.方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。 8、几何变换法 在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。 几何变换包括：(1)平移;(2)旋转;(3)对称。 9、反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设;(2)归谬;(3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。 大学数学答题策略 一、学会审题，才会解题 很多考生对审题重视不够，往往要做的题目都没有看清楚就急于下笔，审好题是做题的关键，审题一一定要逐字逐句的看清楚，通过审题发现题目有无易漏、易错点，只有仔细审题才能从题目中获取更多的信息，只有挖掘题目中的隐含条件、启发解题思路，提醒常见解题误区和自己易出现的错误，才能提高解题能力。只有认真的审题，谨慎的态度，才能准确地揣摩出题者的意图，发现更多的信息，从而快速找到解题方向。 考前保持头脑清醒，要摒弃杂念，不断进行积极的心理暗示，创设宽松的氛围，创设数学情境，进而酝酿数学思维，静能生慧，满怀信心的进行针对性的自我安慰，以平稳自信、积极主动的心态准备应考。这就要求我们要善于观察。 二、先做简单题，后做难题 从我们的心理学角度来讲，一般拿到试卷以后，心情比较紧张，此时不要急于下手解题，可以先对试题多少、分布、难易程度从头到尾浏览一遍，做题要先易后难，做到心中有数，一般简单的题目占全卷60%，这是很重要的一部分分数，见到简单题要细心解题，尽量使用数学语言，而且要更加严谨以振奋精神，养成良好的审题习惯鼓舞信心。 如果顺序做题既耗费时间又拿不到分，会做的题又被耽误了。所以先做简单题，多年的经验告诉我们，当你解题不顺利时，更要冷静，静下心来，沉住气，根据自己的实际情况，果断跳过自己不会做的题目，把简单的都做完，如果我们能把这部分的分数拿到，就已经打了胜仗，再集中精力做比较难的题，有了胜利的信心，面对住偏难的题更要有耐心，不要着急，可以先放弃，但也要注意认真对待每一道题，不能走马观花，要相信自己。到应有的分数。最好还有善于把难题转换成简单的题目的能力。 三、多做练习，提升能力 整体而言高考数学要想考好，一定要做大量的练习，要有扎实的理论基础，在此基础上辅以做题技巧，才不会出现考试时间不够用，自己会做的题最后没时间做，得不偿失。就要求我们在大量的练习的基础上，认真总结方程的思想，数形结合的思想，函数的思想等等，掌握各种类型题目的规律。 我们还要求考生不但会做题还要准确快速地解答出来通过练习掌握解题技巧，利用解题技巧快速解题，通过多做练习，做到熟能生巧，这才是我们练习的目的。做题还要集中注意力，这是是考试成功的保证。有时精神紧张，会做的题也会变的不会做，平时要有针对性的训练一些难题，有益于积极思维，树立信心。 因此，对于大部分高考生来说，平时加强训练，养成准确的解题习惯，熟练掌握解题技巧是非常有必要的。 四、会做的题保证做对 这一点很重要，实践中发现，考试我们会做的题丢分率是百分之十，也就是说由于大意每次考试大家都要丢掉这么多的分，怎么将你的解题策略转化为得分点，虽然解题思路正确甚至很巧妙，但是最后可能做不对，这一点往往被一些考生所忽视，但是由于不善于把图形语言变成自己理解的语言，因此卷面上出现大量会又做不对的情况，我们自己的估分和得分相差甚远。如立体几何论证中的跳步，大总分人会丢掉三分之一以上的分数，代数论证中，得分更是少 的可怜。所心我们要边做边检查解题思路正确与否，做完后认真核对。不仅把题目做完，更要保证准确率，会做的一定要保证做对，要能得到分。

首先对公式要 熟悉~其次 都是 多做 找感觉~我 看见我 数学很棒的 同学也是整天都在想数学 难题。。

作业帮我搜个高数能给我语文赏析答案这叫好用？

太简单，解三角形，求COS<EAF,余弦定理，用坐标系也行。

1、几何尺规作图问题这里所说的“几何尺规作图问题”是指做图限制只能用直尺、圆规，而这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。“几何尺规作图问题”包括以下四个问题1.化圆为方－求作一正方形使其面积等於一已知圆；2.三等分任意角；3.倍立方－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。4.做正十七边形。以上四个问题一直困扰数学家二千多年都不得其解，而实际上这前三大问题都已证明不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。第四个问题是高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但後来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。 2、蜂窝猜想四世纪古希腊数学家佩波斯提出,蜂窝的优美形状,是自然界最有效劳动的代表。他猜想,人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝,是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。他的这一猜想称为蜂窝猜想,但这一猜想一直没有人能证明。1943年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首尾相连的正多边形中,正多边形的周长是最小的。1943年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首尾相连的正多边形中,正多边形的周长是最小的。但如果多边形的边是曲线时,会发生什么情况呢?陶斯认为,正六边形与其他任何形状的图形相比,它的周长最小,但他不能证明这一点。而黑尔在考虑了周边是曲线时,无论是曲线向外突,还是向内凹,都证明了由许多正六边形组成的图形周长最校他已将19页的证明过程放在因特网上,许多专家都已看到了这一证明,认为黑尔的证明是正确的。 3、孪生素数猜想1849年，波林那克提出孪生素生猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生素数。孪生素数即相差2的一对素数。例如3和5 ，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生素数。1966年，中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果：存在无穷多个素数p，使p+2是不超过两个素数之积。孪生素数猜想至今仍未解决，但一般人都认为是正确的。 4、费马最後定理在三百六十多年前的某一天，费马突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式 xn +yn = zn的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）。费马声称当n>2时，就找不到满足xn +yn = zn的整数解，例如：方程式x3 +y3 = z3就无法找到整数解。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最後定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而後快。不过这个三百多年的数学悬案终於解决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决。其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。5、四色猜想1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。6、哥德巴赫猜想公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。

韦神主要解决了一下数学难题：1. 韦东奕在2008年北京国际数学奥林匹克竞赛中以满分获得金牌，并于2009年进入北京大学数学科学学院就读。2. 韦东奕在2010年8月，获得第41届国际数学奥林匹克（IMO）银牌；2010年12月，他获得中华人民共和国第21届大学生数学竞赛北京大学赛区唯一一个满分奖，在全国仅25人获得。3. 韦东奕在2013年本科毕业后，进入北京大学数学科学学院攻读研究生学位，师从许晨阳教授。4. 2014年，在第39届国际数学奥林匹克（IMO）中担任中国队领队、教练，带领中国队获得团体总分第一名。5. 韦东奕在2015年获得中国青年五四奖章。6. 2016年，在第40届国际数学奥林匹克（IMO）中担任中国队领队、教练，带领中国队获得团体总分第一名。7. 韦东奕在2018年博士毕业后留在北京大学任教。8. 2021年，韦东奕获达摩院青橙奖。以上就是韦神解决的一些数学难题，有很多我们还不是太清楚，但是他的杰出成绩在数学界是众所周知的。

这是因为他从小就非常喜欢数学，而且在数学方面下了很多的辛苦，一直都在钻研数学，所以才能够破解难题。

世界三大未解数学难题如下。1.第一题：三等分任意角。用一把没刻度的尺子和圆规来三等分任意角。2.第二题：化圆为方。把一个圆“兑换”成相同大小的正方形。3.第三题：尺规作图。用一把没有刻度的尺子和一把圆规作出漂亮的对称图形。世界近代三大数学难题之一四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯．格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。这个结论能不能从数学上加以严格证明呢。他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径。于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

数学三大难题在20世纪八十年代初，我们这代“知青”为了多学点知识，纷纷进“五大”学习，然后又进“成人自考”深造。我在“西南财经大学”攻读经济专业时，一次高等数学的面授课上，一位德高望重的导师给我们讲到：人类文明的进步，与数学的发展成正比；人类数学的发展，中国亦有卓越的贡献，古有祖冲之，今有华罗庚。21世纪，还有在坐的各位及全国各地的有志之青年。导师接着讲到：古代数学史上有世界三大难题（倍立方体、方圆、三分角）。近代数学史又有第五公设、费马大定理、任一大偶数表两素之和。这些都已为前人攻破的攻破，将突破的将突破。现代发达国家的数学家们又在钻研什么呢？21世纪数学精英们又攻什么呢？这位导师继续讲了现代数学上的三大难题：一是有20棵树，每行四棵，古罗马、古希腊在16世纪就完成了16行的排列，18世纪高斯猜想能排18行，19世纪美国劳埃德完成此猜想，20世纪末两位电子计算机高手完成20行纪录，跨入21世纪还会有新突破吗？二是相邻两国不同着一色，任一地图着色最少可用几色完成着色？五色已证出，四色至今仅美国阿佩尔和哈肯，罗列了很多图谱，通过电子计算机逐一理论完成，全面的逻辑的人工推理证明尚待有志者。三是任三人中可证必有两人同性，任六人中必有三人互相认识或互相不认识（认识用红线连，不认识用蓝线连，即六质点中二色线连必出现单色三角形）。近年来国际奥林匹克数学竞赛也围绕此类热点题型遴选后备攻坚力量。（如十七个科学家讨论三课题，两两讨论一个题，证至少三个科学家讨论同一题；十八个点用两色连必出现单色四边形；两色连六个点必出现两个单色三角形，等等。）单色三角形研究中，尤以不出现单色三角形的极值图谱的研究更是难点中之难点，热门中之热门。归纳为20棵树植树问题，四色绘地图问题，单色三角形问题。通称现代数学三大难题。当年的大学生一学期中能亲聆导师教诲不到十次。数学三大难题是我们学子在课堂上最难忘最精彩的一课。光阴荏苒，时光如白驹过隙，弹指之间，今已是21世纪第一个年代了（以区别下一年代——一十年代），在此将我在大学学习中最精彩最难忘的一课奉献，以飨不同层次、不同爱好的读者。http://zhidao.baidu.com/question/1300566.html

陈景润是我国现代著名数学家，中国科学院院士。在解析数论方面成果显著，在对世界著名的数学难题——哥德巴赫猜想的研究上取得了重大突破。陈景润1935年出生在福建省福州市闽侯镇的一个邮电职员家庭。家中子女多，经济条件不好。小时候的陈景润长得十分弱小，性格十分内向，显得很不合群，因此遭到小伙伴们的嘲笑辱骂，甚至挨打。但他对数学却有着浓厚的兴趣，一进人数学的王国，就什么都不顾了。后来，陈景润进入了福州市的英华中学学习。有一天，老师给同学们讲述了数论中的一道著名难题：1742年，德国数学家哥德巴赫发现，任意一个偶数都可以表示为两个素数的和。他对许多偶数进行了检验，结果都是正确的。但他无法对此给出证明，因此只能称之为猜想。他写信给当时有名的大数学家欧拉，请他帮助证明，但欧拉一直到逝世，也没有交给哥德巴赫想要的证明。二百多年来，许多数学家都试图证明它，但都没有成功。老师的话一说完，同学们便议论纷纷起来。老师接着说：“数论是数学的皇冠，而哥德巴赫猜想则是皇冠上的明珠，你们应该从小树立远大的理想，学好数学，长大以后去摘取数学皇冠上的明珠。”教室里立刻鸦雀无声，同学们陷入了沉思，仿佛在思考着什么。陈景润也低头陷入了沉思，这一切对他来说太神秘、太具有吸引力了。他暗暗下定决心，一定要努力学习，长大以后去摘取这颗明珠。此后，陈景润更加努力地学习数学。他不仅努力完成数学老师留出的数学题，还自学大量的数学书籍。有一次，数学老师布置了33道题，让同学们选做10道。可陈景润不仅做完了33道题，而且每道题都给出了多种解答方法。他的数学成绩在班上一直保持在第一名。到了高二时，因为家里太穷，陈景润被迫辍学。可令人惊奇的是，到了1950年，他竟以“同等学历”的资格考上了厦门大学。四年的大学数学系课程，陈景润只用三年就学完了。1953年，陈景润以高材生的身份提前毕业，并优先分配到北京某中学当教师。可是，陈景润内向的性格根本就不适合当教师。他失败了，只得离开中学，来到福州的街口摆书摊度日。但他又是十分幸运的。厦门大学校长王亚南知道他的情况后，立即让陈景润回到厦门大学当了一名图书管理员。这样他就可以专心研究数学了。来到厦门大学图书馆后，陈景润如鱼得水地在浩瀚的数学海洋中遨游。他认真研读了著名数学家华罗庚的《堆垒素数论》和《数论导引》，对于书中的每一个问题都进行仔细推敲，他发现，华罗庚的书中竟然存在一些细微的错误。于是他鼓起勇气，写了一封信给华罗庚教授，提出了自己的观点。华罗庚收到陈景润的信后，对他的观点和才华极为欣赏。华罗庚肯定了陈景润的观点，并热情邀请他参加1956年的全国第一次数学研讨会，并在会上宣读了他的论文。会后，华罗庚又将他调到北京的中科院数学研究所工作。

1人没有

一位四川的考生结束后表示，数学题目都挺抽象的，一位河南的考生表示平时数学还不错，今年这个试卷比平时的要难，得高分更难了。一位河北的考生结束后表示，数学题目出的很刁钻，也很难。北京的考生表示，数学考题有不少新颖题型联系到了生活实际，“题目融入了北京冬奥会二氧化碳跨临界直冷制冰技术的背景，让我们在解决实际问题中做题。”

后来他过得很好，在这之后他也成为了一名教师，给许多学生讲解知识，他受到了很多人的尊敬。

正十七边形的作法1796年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。 前两道题在两个小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸条上：要求只用贺规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。 他感到非常吃力。时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。 困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。 当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了这道难题。 见到导师时，青年有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……” 导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗？”青年有些疑惑地看着导师，回答道：“是我做的。但是，我花了整整一个通宵。” 导师请他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再做出一个正17边形。 青年很快做出了一上正17边形。导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才！” 原来，导师也一直想解开这道难题。那天，他是因为失误，才将写有这道题目的纸条交给了学生。 每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它解出来。” 这位青年就是数学王子高斯。 高斯用代数的方法解决的，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。 关于正十七边形的画法（高斯的思路，本人并非有意剽窃^_^）： 有一个定理在这里要用到的： 若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来，那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的， 其中c是方程x^2+ax+b=0的实根。 上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候，做出长为sqrt(a^2-4b)的线段。 （这一步，大家会画吧？） 而要在一个单位圆中做出正十七边形，主要就是做出长度是cos(2pai/17)的线段。 下面我把当年高斯证明可以做出cos(2pai/17)的证明给出，同时也就给出了具体的做法。 设a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16p ai/17)]>0 a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos( 14pai/17)]<0 则有a+a1=-1,a*a1=-4,即a,a1是方程x^2+x-4=0的根，所以长为|a|和|a1|的线段可以做出。 令b=2[cos(2pai/17)+cos(8pai/17)]>0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]<0 c=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)]>0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]<0 则有b+b1=a b*b1=-1 c+c1=a1 c*c1=-1 同样道理，长度是|b|,|b1|,|c|,|c1|的线段都可以做出来的。 再有2cos(2pai/17)+2cos(8pai/17)＝b [2cos(2pai/17)]*[2cos(8pai/17)]=c 这样，2cos(2pai/17）是方程x^2-bx+c=0较大的实根, 显然也可以做出来，并且作图的方法上面已经给出来了 1796年，十七岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果。最为人所知，也使得他走上数学之路的，就是正十七边形尺规作图之理论与方法。 希腊时代的数学家已经知道如何用尺规作出正 2m×3n×5p 边形，其中 m 是正整数，而 n 和 p 只能是0或1。但是对於正七、九、十一边形的尺规作图法，两千年来都没有人知道。而高斯证明了： 一个正 n 边形可以尺规作图若且唯若 n 是以下两种形式之一： 1、n = 2k，k = 2, 3,… 2、n = 2k × (几个不同「费马质数」的乘积)，k = 0,1,2,… 费马质数是形如 Fk = 22k 的质数。像 F0 = 3，F1 = 5，F2 = 17，F3 = 257， F4 = 65537，都是质数。高斯用代数的方法解决二千多年来的几何难题，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在 2007-12-21 22:14:29 隐藏意见（6） 过客 60.63.73.* 《3800年七大数学死题破解》 《崔荣琰多功能尺》实用指导开讲 旨在，用科学发展观，拓展学生思路，大胆创新的《3800年七大数学死题破解》及《崔荣琰多功能分角尺》实用指导讲座，日前，在上海再次成功举办。 四十位高中年级数学爱好者代表到会认真听讲。 中英文版《3800年七大数学死题破解》一书，自2007年7月出版后，国内外一流大学及中国各大城市图书舘已有收藏、借阅。 该书作者崔荣琰老师，解读了尺规作图：“三等分任意角，化圆为方，作倍立方体，作正七、九、十一、十三边形”，这七大历经3800年的数学‘死题"的来历、现状及演示、讲述、破解的多种方法。 2009-05-11 22:02:27 过客 119.85.244.* 狂晕，这故事是后人乱编的。 高斯是专门花了3个月假期安起心解决的。 不过也是高手，牛顿那些解决了那么久，他三个月就解决了。

XY-3（X+Y）=23XY=5（X+Y）+1直接能求出来XY=56，X+Y=11所以这个数是56

世界近代三大数学难题之一四色猜想 四色猜想的提出来自英国.1852年,毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现象：“看来,每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢?他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试.兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠,可是研究工作没有进展. 1852年10月23日,他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根,摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径,于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教.哈密尔顿接到摩尔根的信后,对四色问题进行论证.但直到1865年哈密尔顿逝世为止,问题也没有能够解决. 1872年,英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题,于是四色 猜想成了世界数学界关注的问题.世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战 .1878～1880年两年间,著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文,宣布证明了四色定理,大家都认为四色猜想从此也就解决了. 11年后,即1890年,数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的.不久,泰勒的证明也被人们否定了.后来,越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁,但一无所获.于是,人们开始认识到,这个貌似容易的题目, 实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力,为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路. 进入20世纪以来,科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行.1913年,伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧,美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色.1950年,有人从22国推进到35国.1960年,有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国.看来这种推进仍然十分缓慢.电子计算机问世以后,由于演算速度迅速提高,加之人机对话的出现,大大加快了对四色猜想证明的进程.1976年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了1200个小时,作了100亿判断,终于完成了四色定理的证明.四色猜想的计算机证明,轰动了世界.它不仅解决了一个历时100多年的难题,而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点.不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就,他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法. -------- 世界近代三大数学难题之一 费马最后定理 被公认执世界报纸牛耳地位地位的纽约时报於1993年6月24日在其一版头题刊登了一则有 关数学难题得以解决的消息,那则消息的标题是「在陈年数学困局中,终於有人呼叫『 我找到了』」.时报一版的开始文章中还附了一张留着长发、穿着中古世纪欧洲学袍的 男人照片.这个古意盎然的男人,就是法国的数学家费马（Pierre de Fermat）（费马 小传请参考附录）.费马是十七世纪最卓越的数学家之一,他在数学许多领域中都有极 大的贡献,因为他的本行是专业的律师,为了表彰他的数学造诣,世人冠以「业余王子 」之美称,在三百六十多年前的某一天,费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的 数学书时,突然心血来潮在书页的空白处,写下一个看起来很简单的定理这个定理的内 容是有关一个方程式 x2 + y2 =z2的正整数解的问题,当n=2时就是我们所熟知的毕氏定 理（中国古代又称勾股弦定理）：x2 + y2 =z2,此处z表一直角形之斜边而x、y为其之 两股,也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和,这个方程式当然有 整数解（其实有很多）,例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13… 等等. 费马声称当n>2时,就找不到满足xn +yn = zn的整数解,例如：方程式x3 +y3=z3就无法 找到整数解. 当时费马并没有说明原因,他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙 法,只是书页的空白处不够无法写下.始作俑者的费马也因此留下了千古的难题,三百 多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功.这个号称世纪难题的费马最 后定理也就成了数学界的心头大患,极欲解之而后快. 十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六0年两度悬赏金质奖章和 三百法郎给任何解决此一难题的人,可惜都没有人能够领到奖赏.德国的数学家佛尔夫 斯克尔（P?Wolfskehl）在1908年提供十万马克,给能够证明费马最后定理是正确的人, 有效期间为100年.其间由於经济大萧条的原因,此笔奖额已贬值至七千五百马克,虽然 如此仍然吸引不少的「数学痴」. 二十世纪电脑发展以后,许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是成立的 ,1983年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为286243-1时费马定理是正确 的（注286243-1为一天文数字,大约为25960位数）. 虽然如此,数学家还没有找到一个普遍性的证明.不过这个三百多年的数学悬案终於解 决了,这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决.其实威利斯是 利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明. 五0年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲现的猜想,后来由另一位数学家志 村五郎加以发扬光大,当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联.在八0年代德 国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起,而威利斯所做的正是根据这个关联 论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的,进而推出费马最后定理也是正确的.这个结论 由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表,这个报 告马上震惊整个数学界,就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注.不过威利斯的 证明马上被检验出有少许的瑕疵,於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以 修正.1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答,数学界的梦魇终於结束.1997年6 月,威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖.当年的十万法克约为两百万美金 ,不过威利斯领到时,只值五万美金左右,但威利斯已经名列青史,永垂不朽了. 要证明费马最后定理是正确的 （即xn + yn = zn 对n33 均无正整数解） 只需证 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp (P为奇质数),都没有整数解. ---------------- 世界近代三大数学难题之一 哥德巴赫猜想 哥德巴赫是德国一位中学教师,也是一位著名的数学家,生于1690年,1725年当选为俄国彼得堡科学院院士.1742年,哥德巴赫在教学中发现,每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和.如6＝3＋3,12＝5＋7等等. 1742年6月7日,哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉,并请他帮助作出证明.欧拉在6月30日给他的回信中说,他相信这个猜想是正确的,但他不能证明.叙述如此简单的问题,连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明,这个猜想便引起了许多数学家的注意.他们对一个个偶数开始进行验算,一直算到3．3亿,都表明猜想是正确的.但是对于更大的数目,猜想也应是对的,然而不能作出证明.欧拉一直到死也没有对此作出证明.从此,这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意.200年过去了,没有人证明它.哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”.到了20世纪20年代,才有人开始向它靠近.1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明,得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99).这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从(9十9)开始,逐步减少每个数里所含质数因子的个数,直到最后使每个数里都是一个质数为止,这样就证明了“哥德巴赫”. 1924年,数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年,数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年,数学家布赫斯塔勃证明了(5十5),1940年,他又证明了(4＋4)；1956年,数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)可见纳 维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵. 5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture) 庞加莱臆测是拓朴学的大问题.用数学界的行话来说：单连通的 三维闭流形与三维球面同胚. 从数学的意义上说这是一个看似简单却又非 常困难的问题,自庞加莱在西元1904 年提出之 后,吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题. 庞加莱（图4）臆测提出不久,数学们自然的将 之推广到高维空间(n4),我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的 ≥ n(n4)维闭流形,如果与n ≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚. 经过近60 年后,西元1961 年,美国数学家斯麦尔（Smale）以 巧妙的方法,他忽略三维、四维的困难,直接证明五维(n5)以上的 ≥ 广义庞加莱臆测,他因此获得西元1966 年的费尔兹奖.经过20年之 后,另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆 测,并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖.但是对於我们真 正居住的三维空间(n3),在当时仍然是一个未解之谜. = 一直到西元2003 年4 月,俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於 麻省理工学院做了三场演讲,在会中他回答了许多数学家的疑问,许 多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测.数天后「纽约时报」首 次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息.同 日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测 被证明了,这次是真的!」[14]. 数学家们的审查将到2005年才能完成,到目前为止,尚未发现 斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞. 6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture） 一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b ,在计算椭圆之弧长时 就会遇见这种曲线.自50 年代以来,数学家便发现椭圆曲线与数论、 几何、密码学等有著密切的关系.例如：怀尔斯（Wiles）证明费马 最后定理,其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想,白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与 椭圆曲线有关. 60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些 多项式方程式的有理数解.通常会有无穷多解,然而要如何计算无限 呢?其解法是先分类,典型的数学方法是同余(congruence)这个观念 并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数,无穷 多个数不可能每个都要.数学家自然的选择了质数,所以这个问题与 黎曼猜想之Zeta 函数有关.经由长时间大量的计算与资料收集,他 们观察出一些规律与模式,因而提出这个猜测.他们从电脑计算之结 果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点,若且唯若附於曲线上面的 Zeta 函数ζ (s) = 时取值为0,即ζ (1) ；当s1= 0 7.霍奇臆测(Hodge Conjecture) 「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式,都是代数圆之 上同调类的有理组合.」 最后的这个难题,虽不是千禧七大难题中最困难的问题,但却可 能是最不容易被一般人所了解的.因为其中有太多高深专业而且抽象 参考资料：《数学的100个基本问题》《数学与文化》《希尔伯特23个数学问题回顾》

1、费尔马大定理2、四色问题3、哥德巴赫猜想

1 + 1 ＝2？

棣莫佛 21岁的时候，已经靠教数学为生，并且深信自己完全精通了这门学问。一个偶然的机会，他在一个公爵家里做客，恰好Newton（牛顿）送来了自己的《原理》，他信手翻了一下，惊奇的发现，数学竟然如此精深如此美丽的一门学问。这样，他买下了这本书，尽管为了教学需要四处奔波，他还要撕下书页，以便能够带在口袋里，空闲时进行研究。 de Moivre有个定理好像我们中学的课本里就有，说的是一个复数n次方的事情。回答时间：2006

世界三大数学难题，我跟你说吧：1.你知道我手里拿几支笔吗？ 2.你知道天上几颗星星吗？ 3.你知道我有几根头发吗？

不懂就问，更要努力去学，也许是你的方法不对，可以虚心请教一下学得比较好的同学，看看别人是怎么学的，从中说不定会有启发。

你想不想看看数学物理方法的题目，或者量子力学的题目？

x^2+y^2=[（x+y）^2+(x-y)^2]/2 >= (x+y）^2/2=4^2/2=8

世界近代三大数学难题之一四色猜想四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色 猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战 。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目, 实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。--------世界近代三大数学难题之一 费马最后定理 被公认执世界报纸牛耳地位地位的纽约时报於1993年6月24日在其一版头题刊登了一则有关数学难题得以解决的消息，那则消息的标题是「在陈年数学困局中，终於有人呼叫『我找到了』」。时报一版的开始文章中还附了一张留着长发、穿着中古世纪欧洲学袍的男人照片。这个古意盎然的男人，就是法国的数学家费马（Pierre de Fermat）（费马小传请参考附录）。费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以「业余王子」之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式 x2 + y2 =z2的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此处z表一直角形之斜边而x、y为其之两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和，这个方程式当然有整数解（其实有很多），例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13…等等。费马声称当n>2时，就找不到满足xn +yn = zn的整数解，例如：方程式x3 +y3=z3就无法找到整数解。当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最后定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而后快。十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六0年两度悬赏金质奖章和三百法郎给任何解决此一难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学家佛尔夫斯克尔（P?Wolfskehl）在1908年提供十万马克，给能够证明费马最后定理是正确的人，有效期间为100年。其间由於经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克，虽然如此仍然吸引不少的「数学痴」。二十世纪电脑发展以后，许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是成立的，1983年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为286243-1时费马定理是正确的（注286243-1为一天文数字，大约为25960位数）。虽然如此，数学家还没有找到一个普遍性的证明。不过这个三百多年的数学悬案终於解决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决。其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。五0年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲现的猜想，后来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八0年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起，而威利斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的。这个结论由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过威利斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。1997年6月，威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金，不过威利斯领到时，只值五万美金左右，但威利斯已经名列青史，永垂不朽了。要证明费马最后定理是正确的（即xn + yn = zn 对n33 均无正整数解）只需证 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp (P为奇质数)，都没有整数解。----------------世界近代三大数学难题之一 哥德巴赫猜想哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。 1742年6月7日，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到3．3亿，都表明猜想是正确的。但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。欧拉一直到死也没有对此作出证明。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。 1924年，数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年，数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年，他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年，我国数学家王元证明了(2十3)。随后，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)。至此，哥德巴赫猜想只剩下最后一步(1＋1)了。陈景润的论文于1973年发表在中国科学院的《科学通报》第17期上，这一成果受到国际数学界的重视，从而使中国的数论研究跃居世界领先地位，陈景润的有关理论被称为“陈氏定理”。1996年3月下旬，当陈景润即将摘下数学王冠上的这颗明珠，“在距离哥德巴赫猜想(1＋1)的光辉顶峰只有飓尺之遥时，他却体力不支倒下去了……”在他身后，将会有更多的人去攀登这座高峰。

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后来他还是回归了自己平静的生活，他只想娶一个媳妇，不想受到太多人的关注。

美国马萨诸塞州的克雷数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。其中有一个已被解决(庞加莱猜想)，还剩六个。（庞加莱猜想，已由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼破解。我国中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东做了证明的封顶工作。）整个计算机科学的大厦就建立在图灵机可计算理论和计算复杂性理论的基础上,“千年大奖问题”公布以来， 在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关。 可以预期， “千年大奖问题” 将会改变新世纪数学发展的历史进程。一、P（多项式时间）问题对NP（nondeterministic polynomial time，非确定多项式时间问题）在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因式分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于1971年陈述的。一旦证明P=NP，将是计算机科学的一场决定性的突破，在软件工程实践中，将革命性的提高效率。从工业、农业、军事、医疗到生活、以至软件在它的各个应用域，都将是一个飞跃。二、霍奇猜想（Hodge conjecture）二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。三、庞加莱猜想（Poincaré conjecture）如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，法国数学家庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密歇根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。四、黎曼假设有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2、3、5、7……等等。这样的数称为素数；它们在纯粹数学及应用数学中都起着重要作用。在所有自然数中，素数分布似乎并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于所谓的黎曼ζ函数。黎曼假设断言，方程ζ(s)=0的非平凡零点的实部都是1/2，即位于直线1/2 + ti（“临界线”，critical line）上。这点已经对于开首的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立，将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

世界七大数学难题黎曼假设、普安卡雷猜想、霍奇猜想、戴尔猜想、斯托克斯方程、米尔斯理论、P对NP问题1、黎曼猜想。透过此猜想，数学家认为可以解决素数分布之谜。 这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题。透过研究黎曼猜想数 学家们认为除了能解开质数分布之谜外，对於解析数论、函数理论、 椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响。2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass Gap Hypothesis) 1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论，杨振宁由数学开始，提出一个具有规范性的理论架构，后来逐渐发展成为量子物理之重要理论，也使得他成为近代物理奠基的重要人物。杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子，而他们碰到的困难是这个粒子的质量的问题。他们从数学上所推导的结果是，这个粒子具有电荷但没有质量。然而，困难的是如果这一有电荷的粒子是没有质量的，那麼为什麼没有任何实验证据呢？而如果假定该粒子有质量，规范对称性就会被破坏。一般物理学家是相信有质量，因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题。3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems) 随著计算尺寸的增大，计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」。P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母。已知尺寸为n，如果能决定计算时间在cnd (c 、d 为正实数) 时间以下就可以或不行时，我们就称之为「多项式时间决定法」。而能用这个算法解的问题就是P 问题。反之若有其他因素，例如第六感参与进来的算法就叫做「非决定性算法」，这类的问题就是「NP 问题」，NP 是Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写。由定义来说，P 问题是NP 问题的一部份。但是否NP 问题里面有些不属於P 问题等级的东西呢？或者NP 问题终究也成为P 问题？这就是相当著名的PNP 问题。4、.纳维尔–史托克方程（Navier–Stokes Equations） 因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正，在修正的过程中产生了新的结果。法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学推导，将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程。自从1943 年法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔–史托 克方程的全时间弱解(global weak solution)之后，人们一直想知道的是此解是否唯一？得到的结果是：如果事先假设纳维尔–史托克方程的解是强解(strong solution)，则解是唯一。所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大，有没有可能弱解会等於强解？换句话说，是不是能得到纳维尔–史托克方程的全时间平滑解？再者就是证明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time)。解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献，特别是乱流(turbulence)都会有决定性的影响，另外纳维尔–史托克方程与奥地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系，研究纳维尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit)，由此可见纳维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵。5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture) 庞加莱臆测是拓朴学的大问题。用数学界的行话来说：单连通的三维闭流形与三维球面同胚。 从数学的意义上说这是一个看似简单却又非常困难的问题，自庞加莱在1904 年提出之后，吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题。 庞加莱（图4）臆测提出不久，数学们自然的将之推广到高维空间(n4)，我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的≥n(n4)维闭流形，如果与n≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚。经过近60 年后，1961 年，美国数学家斯麦尔（Smale）以 巧妙的方法，他忽略三维 广义庞加莱臆测，他因此获得西元1966 年的费尔兹奖。经过20年之后，另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆测，并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖。但是对於我们真正居住的三维空间(n3)，在当时仍然是一个未解之谜。一直到2003 年4 月，俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於 麻省理工学院做了三场演讲，在会中他回答了许多数学家的疑问，许多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测。数天后「纽约时报」首次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息。同日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测被证明了，这次是真的！」[14]。数学家们的审查将到2005年才能完成，到目前为止，尚未发现斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture） 一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b ，在计算椭圆之弧长时就会遇见这种曲线。自50 年代以来，数学家便发现椭圆曲线与数论、几何、密码学等有著密切的关系。例如：怀尔斯（Wiles）证明费马最后定理，其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想，白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与椭圆曲线有关。60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些多项式方程式的有理数解。通常会有无穷多解，然而要如何计算无限呢？其解法是先分类，典型的数学方法是同余(congruence)这个观念并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数，无穷多个数不可能每个都要。数学家自然的选择了质数，所以这个问题与黎曼猜想之Zeta 函数有关。经由长时间大量的计算与资料收集，他们观察出一些规律与模式，因而提出这个猜测。他们从电脑计算之结 果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点，若且唯若附於曲线上面的Zeta 函数ζ (s) = 时取值为0，即ζ (1)；当s1= 0 7.霍奇臆测(Hodge Conjecture) 「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式，都是代数圆之上同调类的有理组合。」 最后的这个难题，虽不是千禧七大难题中最困难的问题，但却可能是最不容易被一般人所了解的。因为其中有太多高深专业而且抽象参考资料：《数学的100个基本问题》《数学与文化》《希尔伯特23个数学问题回顾

李治，吴文俊，祖之冲，冯康，江泽涵，熊庆来。

世界近代三大数学难题之一四色猜想 四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色 猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战 。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。 11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目, 实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。 进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。 --------

费尔马大定理起源于三百多年前，挑战人类3个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。终于在1994年被安德鲁·怀尔斯攻克。古希腊数学家丢番图写过一本著名的《算术》（Arithmetica），经历中世纪的愚昧黑暗到文艺复兴的时候，《算术》的残本重新被发现研究。1637年，法国业余大数学家费尔马（Pierre de Fremat）在《算术》的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：xn+ yn =zn 是不可能的（这里n大于2；x，y，z，n都是非零整数)。此猜想后来就称为费尔马大定理。费尔马还写道“我对此有绝妙的证明，但此页边太窄写不下”。一般公认，他当时不可能有正确的证明。猜想提出后，经欧拉等数代天才努力，200年间只解决了n=3,4,5,7四种情形。1847年，库默尔创立“代数数论”这一现代重要学科。他还证明了当n﹤100时，除却n=37、59、67这些不规则质数的情况，费尔马大定理都成立，是一次大飞跃。历史上费尔马大定理高潮迭起，传奇不断。其惊人的魅力，曾在最后时刻挽救自杀青年于不死。他就是德国的沃尔夫斯克勒，他于1908年为费尔马大定理设悬赏10万马克（相当于现时的160万美元多），期限1908－2007年。无数人耗尽心力，空留浩叹。最现代的电脑加数学技巧，验证了400万以内的n，但这对最终证明无济于事。1983年德国的法尔廷斯证明了：对任一固定的n，最多只有有限多个x，y，z，振动了世界，获得菲尔兹奖（数学界最高奖）。历史的新转机发生在1986年夏，贝克莱·瑞波特证明了：费尔马大定理包含在“谷山-志村猜想” 之中。童年就痴迷于此的怀尔斯，闻此立刻潜心于顶楼书房7年，曲折卓绝，汇集了20世纪数论所有的突破性成果。终于在1993年6月23日剑桥大学牛顿研究所的“世纪演讲”最后，宣布证明了费尔马大定理。立刻震动世界，普天同庆。不幸的是，数月后逐渐发现此证明有漏洞，一时更成世界焦点。这个证明体系是千万个深奥数学推理连接成千个最现代的定理、事实和计算所组成的千百回转的逻辑网络，任何一环节的问题都会导致前功尽弃。怀尔斯绝境搏斗，毫无出路。1994年9月19日，星期一的早晨，怀尔斯在思维的闪电中突然找到了迷失的钥匙：解答原来就在纸堆中！他热泪夺眶而出。怀尔斯的历史性长文“模椭圆曲线和费尔马大定理”1995年5月发表在美国《数学年刊》第142卷，实际占满了全卷，共五章，130页。1997年6月27日，怀尔斯获得沃尔夫斯克勒10万马克悬赏大奖。离截止期10年，圆了历史的梦。他还获得沃尔夫奖(1996.3），美国国家科学院奖（1996.6），费尔兹特别奖（1998.8）。 四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家奥古斯都·德·摩根，摩根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家威廉·哈密顿请教。哈密顿接到摩根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密顿逝世为止，问题也没有能够解决。1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的”。如为正规地图，否则为非正规地图。一张地图往往是由正规地图和非正规地图联系在一起，但非正规地图所需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。肯普是用归谬法来证明的，大意是如果有一张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是后来人们发现他错了。不过肯普的证明阐明了两个重要的概念，对以后问题的解决提供了途径。第一个概念是“构形”。他证明了在每一张正规地图中至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每个国家都有六个或更多个邻国的正规地图，也就是说，由两个邻国，三个邻国、四个或五个邻国组成的一组“构形”是不可避免的，每张地图至少含有这四种构形中的一个。肯普提出的另一个概念是“可约”性。“可约”这个词的使用是来自肯普的论证。他证明了只要五色地图中有一国具有四个邻国，就会有国数减少的五色地图。自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据。但要证明大的构形可约，需要检查大量的细节，这是相当复杂的。11年后，即1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽。不久，泰勒的证明也被人们否定了。人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。就是说对地图着色，用五种颜色就够了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法，结合自己新的设想；证明了某些大的构形可约。后来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究。从1936年就开始研究四色猜想的海克，公开宣称四色猜想可用寻找可约图形的不可避免组来证明。他的学生丢雷写了一个计算程序，海克不仅能用这程序产生的数据来证明构形可约，而且描绘可约构形的方法是从改造地图成为数学上称为“对偶”形着手。他把每个国家的首都标出来，然后把相邻国家的首都用一条越过边界的铁路连接起来，除首都(称为顶点)及铁路(称为弧或边)外，擦掉其他所有的线，剩下的称为原图的对偶图。到了六十年代后期，海克引进一个类似于在电网络中移动电荷的方法来求构形的不可避免组。在海克的研究中第一次以颇不成熟的形式出现的“放电法”，这对以后关于不可避免组的研究是个关键，也是证明四色定理的中心要素。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过程”，后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。就在1976年6月，他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。“四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多年的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点。在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种更简捷明快的书面证明方法。直到现在，仍然有不少数学家和数学爱好者还在寻找更简洁的证明方法。 史上和质数有关的数学猜想中，最著名的当然就是“哥德巴赫猜想”了。1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想：一、任何不小于6的偶数，都是两个奇质数之和；二、任何不小于9的奇数，都是三个奇质数之和。这就是数学史上著名的“哥德巴赫猜想”。显然，第二个猜想是第一个猜想的推论。因此，只需在两个猜想中证明一个就足够了。同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中， 明确表示他深信哥德巴赫的这两个猜想都是正确的定理，但是欧拉当时还无法给出证明。由于欧拉是当时欧洲最伟大的数学家，他对哥德巴赫猜想的信心，影响到了整个欧洲乃至世界数学界。从那以后，许多数学家都跃跃欲试，甚至一生都致力于证明哥德巴赫猜想。可是直到19世纪末，哥德巴赫猜想的证明也没有任何进展。证明哥德巴赫猜想的难度，远远超出了人们的想象。有的数学家把哥德巴赫猜想比喻为“数学王冠上的明珠”。我们从6=3+3、8=3+5、10=5+5、……、100=3+97=11+89=17+83、……这些具体的例子中，可以看出哥德巴赫猜想都是成立的。有人甚至逐一验证了3300万以内的所有偶数，竟然没有一个不符合哥德巴赫猜想的。20世纪，随着计算机技术的发展，数学家们发现哥德巴赫猜想对于更大的数依然成立。可是自然数是无限的，谁知道会不会在某一个足够大的偶数上，突然出现哥德巴赫猜想的反例呢？于是人们逐步改变了探究问题的方式。1900年，20世纪最伟大的数学家希尔伯特，在国际数学会议上把“哥德巴赫猜想”列为23个数学难题之一。此后，20世纪的数学家们在世界范围内“联手”进攻“哥德巴赫猜想”堡垒，终于取得了辉煌的成果。20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是筛法、圆法、密率法(density)和三角和法等等高深的数学方法。解决这个猜想的思路，就像“缩小包围圈”一样，逐步逼近最后的结果。1920年，挪威数学家布朗证明了定理“9+9”，由此划定了进攻“哥德巴赫猜想”的“大包围圈”。这个“9+9”是怎么回事呢？所谓“9+9”，翻译成数学语言就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成其它两个数之和，而这两个数中的每个数，都是2个奇质数之积。” 从这个“9+9”开始，全世界的数学家集中力量“缩小包围圈”，当然最后的目标就是“1+1”了。1924年，德国数学家雷德马赫证明了定理“7+7”。很快，“6+6”、“5+5”、“4+4”和“3+3”逐一被攻陷。1957年，我国数学家王元证明了“2+3”。1962年，中国数学家潘承洞证明了“1+5”，同年又和王元合作证明了“1+4”。1965年，苏联数学家证明了“1+3”。1966年，我国著名数学家陈景润攻克了“1+2”，也就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个奇质数的积。”这个定理被世界数学界称为“陈氏定理”。由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1+1”仅有一步之遥了。但为了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫长的探索过程。有许多数学家认为，要想证明“1+1”，必须通过创造新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。

矩阵一般不满足交换律.它们相乘的顺序是不能改变字母本身的位置,只能先乘某几个再乘某个.ABC=A(BC)=(AB)C.

学校举行跑步比赛，最后一名超过了倒数第二名，现在他是第几名