什么是实数和虚数

大多数人最为熟悉的数有两种，即正数（＋5，

＋17．5）和负数（－5，－17．5）。负数是在中世

纪出现的，它用来处理3－5这类问题。从古代人看来，要

从三个苹果中减去五个苹果似乎是不可能的。但是，中世纪

的商人却已经清楚地认识到欠款的概念。“请你给我五个苹

果，可是我只有三个苹果的钱，这样我还欠你两个苹果的钱。”

这就等于说：（＋3）－（＋5）＝（－2）。

正数及负数可以根据某些严格的规则彼此相乘。正数乘

正数，其乘积为正。正数乘负数，其乘积为负。最重要的是，

负数乘负数，其乘积为正。

因此，（＋1）×（＋1）＝（＋1）；

（＋1）×（－1）＝（－1）；

（－1）×（－1）＝（＋1）。

现在假定我们自问：什么数自乘将会得出＋1？或者用

数学语言来说，＋1的平方根是多少？

这一问题有两个答案。一个答案是＋1，因为（＋1）

×（＋1）＝（＋1）；另一个答案则是－1，因为（－1）

×（－1）＝（＋1）。数学家是用√￣（＋1）＝±1来

表示这一答案的。（碧声注：（＋1）在根号下）

现在让我们进一步提出这样一个问题：－1的平方根是

多少？

对于这个问题，我们感到有点为难。答案不是＋1，因

为＋1的自乘是＋1；答案也不是－1，因为－1的自乘同

样是＋1。当然，（＋1）×（－1）＝（－1），但这是

两个不同的数的相乘，而不是一个数的自乘。

这样，我们可以创造出一个数，并给它一个专门的符号，

譬如说＃1，而且给它以如下的定义：＃1是自乘时会得出

－1的数，即（＃1）×（＃1）＝（－1）。当这种想法

刚提出来时，数学家都把这种数称为“虚数”，这只是因为

这种数在他们所习惯的数系中并不存在。实际上，这种数一

点也不比普通的“实数”更为虚幻。这种所谓“虚数”具有

一些严格限定的属性，而且和一般实数一样，也很容易处理。

但是，正因为数学家感到这种数多少有点虚幻，所以给

这种数一个专门的符号“i”(imaginary)。我们可以把正

虚数写为（＋i），把负虚数写为（－i），而把＋1看作

是一个正实数，把（－1）看作是一个负实数。因此我们可

以说√￣（－1）＝±i。

实数系统可以完全和虚数系统对应。正如有＋5，

－17．32，＋3／10等实数一样，我们也可以有

＋5i，－17．32i，＋3i／10等虚数。

我们甚至还可以在作图时把虚数系统画出来。

假如你用一条以0点作为中点的直线来表示一个正实数

系统，那么，位于0点某一侧的是正实数，位于0点另一侧

的就是负实数。

这样，当你通过0点再作一条与该直线直角相交的直线

时，你便可以沿第二条直线把虚数系统表示出来。第二条直

线上0点的一侧的数是正虚数，0点另一侧的数是负虚数。

这样一来，同时使用这两种数系，就可以在这个平面上把所

有的数都表示出来。例如（＋2）＋（＋3i）或

（＋3）＋（－2i）。这些数就是“复数”。

数学家和物理学家发现，把一个平面上的所有各点同数

字系统彼此联系起来是非常有用的。如果没有所谓虚数，他

们就无法做到这一点了 所以复数的平方根是虚数