标准指派问题的规划模型中，有几个决策变量

决策变量不小于零的原因是决策变量由生产量、利率决定，生产量、利率不可能是负数。线性规划是为了解决经济模型的,代表的都是原材料,工时等,所以要限制为非负数.并不代表单纯性法不能解决其他问题。用线性规划解决实际问题时，一般如生产量、利率等变量都不可能是负数，因此决策变量一般都要限制为大于等于0。所以，决策变量不小于零。

-inf表示。如果某个变量无下界，则用-inf表示；如果某个变量无上界，则用inf表示，若决策变量无下界，则lb用[]代替；若决策变量无上界，则ub用[]代替。决策变量在进行科学实验的概念，是指那些除了实验因素(自变量)以外的所有影响实验结果的变量，这些变量不是本实验所要研究的变量，所以又称无关变量、无关因子、非实验因素或非实验因子。

%LMIsetlmis([]);gama2 = lmivar(1,[1,0]);P=lmivar(1,[3 1]);Q1=lmivar(1,[3 1]);Q2=lmivar(1,[3 1]);Q3=lmivar(1,[3 1]);Z1=lmivar(1,[3 1]);Z2=lmivar(1,[3 1]);Z3=lmivar(1,[3 1]);Z4=lmivar(1,[3 1]);Z5=lmivar(1,[3 1]);epsilon=lmivar(1,[1 0]);X=lmivar(1,[3 1]);Y=lmivar(1,[3 1]);N1=lmivar(1,[3 1]);N2=lmivar(1,[3 1]);N3=lmivar(1,[3 1]);N4=lmivar(1,[3 1]);N5=lmivar(1,[3 1]);N6=lmivar(1,[3 1]);N7=lmivar(1,[3 1]);N8=lmivar(1,[3 1]);N9=lmivar(1,[3 1]);N10=lmivar(1,[3 1]);N11=lmivar(1,[3 1]);N12=lmivar(1,[3 1]);。。。lmisys1=getlmis;%--------------------------------------------------------------------------求gama2的最小值%----------------------------solver----------------------------------------C = mat2dec(lmisys1,... eye(1),zeros(3),... zeros(3),zeros(3),zeros(3),... zeros(3),zeros(3),zeros(3),zeros(3),zeros(3),... zeros(1),zeros(3),zeros(3),... zeros(3),zeros(3),zeros(3),zeros(3),zeros(3),zeros(3),zeros(3),zeros(3),zeros(3),zeros(3),zeros(3),zeros(3))options = [1e-5 1000 0 0 0];[tmin,xfeas]=feasp(lmisys1)运行结果：??? Error using ==> mat2decToo many input arguments.Error in ==> lmi1 at 216C =mat2dec(lmisys2,eye(1),zeros(3),zeros(3),zeros(3),zeros(3),zeros(3),zeros(3),zeros(3),zeros(3),zeros(3),zeros(1),zeros(3),zeros(3),zeros(3),zeros(3),zeros(3),z

地下水资源管理的线性规划问题，通常可分为两大类：一类是从社会效益或环境效益出发，即在一定水文地质条件下，寻找供水或排水工程的最佳方案；另一类是从经济效益出发，在满足供、排水工程规划的情况下，寻求完成此工程经济效益最高或成本最低的方案。线性规划问题包括三个要素：（1）决策变量。根据已知条件及所要求的问题，用一组变量x1，x2，…，xn来表示，这些变量称为决策变量，取值要求为非负。（2）目标函数。一个问题都有一个明确的目标，以决策变量的线性函数表示，称为目标函数，它是衡量决策方案优劣的准则。这种准则可用物理量（如水位，水量、水温、水质等）或经济指标（如利润、成本等）来衡量。（3）约束条件。每一个问题都有一定的限制条件，这些条件称为约束条件。它是用一组线性等式或不等式来表示的，其变量与目标函数变量必须是有机联系或者一致的。因为目标函数和约束方程都是决策变量的线性表达式，所以这类模型称为线性规划模型。线性规划的数学模型可表示为：目标函数华北煤田排水供水环保结合优化管理约束条件华北煤田排水供水环保结合优化管理式中：Z为目标函数值；n为决策变量数；m为约束方程数；ai，j为结构系数；cj为价值系数；bi为常数项。

小栋，呵呵~这是答案喽动态规划是编程解题的一种重要的手段，在如今的信息学竞赛中被应用得越来越普遍。最近几年的信息学竞赛，不分大小，几乎每次都要考察到这方面的内容。因此，如何更深入地了解动态规划，从而更为有效地运用这个解题的有力武器，是一个值得深入研究的问题。要掌握动态规划的应用技巧，就要了解它的各方面的特点。首要的，是要深入洞悉动态规划的本质。§1动态规划的本质动态规划是在本世纪50年代初，为了解决一类多阶段决策问题而诞生的。那么，什么样的问题被称作多阶段决策问题呢？§1.1多阶段决策问题说到多阶段决策问题，人们很容易举出下面这个例子。[例1] 多段图中的最短路径问题：在下图中找出从A1到D1的最短路径。仔细观察这个图不难发现，它有一个特点。我们将图中的点分为四类（图中的A、B、C、D），那么图中所有的边都处于相邻的两类点之间，并且都从前一类点指向后一类点。这样，图中的边就被分成了三类（A81B、B81C、C81D）。我们需要从每一类中选出一条边来，组成从A1到D1的一条路径，并且这条路径是所有这样的路径中的最短者。从上面的这个例子中，我们可以大概地了解到什么是多阶段决策问题。更精确的定义如下：多阶段决策过程，是指这样的一类特殊的活动过程，问题可以按时间顺序分解成若干相互联系的阶段，在每一个阶段都要做出决策，全部过程的决策是一个决策序列[1]。要使整个活动的总体效果达到最优的问题，称为多阶段决策问题。从上述的定义中，我们可以明显地看出，这类问题有两个要素。一个是阶段，一个是决策。§1.2阶段与状态阶段：将所给问题的过程，按时间或空间特征分解成若干相互联系的阶段，以便按次序去求每阶段的解。常用字母k表示阶段变量。[1]阶段是问题的属性。多阶段决策问题中通常存在着若干个阶段，如上面的例子，就有A、B、C、D这四个阶段。在一般情况下，阶段是和时间有关的；但是在很多问题（我的感觉，特别是信息学问题）中，阶段和时间是无关的。从阶段的定义中，可以看出阶段的两个特点，一是“相互联系”，二是“次序”。阶段之间是怎样相互联系的？就是通过状态和状态转移。状态：各阶段开始时的客观条件叫做状态。描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用sk表示第k阶段的状态变量，状态变量sk的取值集合称为状态集合，用Sk表示。[1]状态是阶段的属性。每个阶段通常包含若干个状态，用以描述问题发展到这个阶段时所处在的一种客观情况。在上面的例子中，行人从出发点A1走过两个阶段之后，可能出现的情况有三种，即处于C1、C2或C3点。那么第三个阶段就有三个状态S3={C1,C2,C3}。每个阶段的状态都是由以前阶段的状态以某种方式“变化”而来，这种“变化”称为状态转移（暂不定义）。上例中C3点可以从B1点过来，也可以从B2点过来，从阶段2的B1或B2状态走到阶段3的C3状态就是状态转移。状态转移是导出状态的途径，也是联系各阶段的途径。说到这里，可以提出应用动态规划的一个重要条件。那就是将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的发展，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是“过去历史的一个完整总结[1]”。这就是无后效性。对这个性质，下文还将会有解释。§1.3决策和策略上面的阶段与状态只是多阶段决策问题的一个方面的要素，下面是另一个方面的要素——决策。决策：当各段的状态取定以后，就可以做出不同的决定，从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策。表示决策的变量，称为决策变量，常用uk(sk)表示第k阶段当状态为sk时的决策变量。在实际问题中，决策变量的取值往往限制在一定范围内，我们称此范围为允许决策集合。常用Dk(sk)表示第k阶段从状态sk出发的允许决策集合。显然有uk(sk) 83Dk(sk)。[1]决策是问题的解的属性。决策的目的就是“确定下一阶段的状态”，还是回到上例，从阶段2的B1状态出发有三条路，也就是三个决策，分别导向阶段3的C1、C2、C3三个状态，即D2(B1)={C1,C2,C3}。有了决策，我们可以定义状态转移：动态规划中本阶段的状态往往是上一阶段和上一阶段的决策结果，由第k段的状态sk和本阶段的决策uk确定第k+1段的状态sk+1的过程叫状态转移。状态转移规律的形式化表示sk+1=Tk(sk,uk)称为状态转移方程。这样看来，似乎决策和状态转移有着某种联系。我的理解，状态转移是决策的目的，决策是状态转移的途径。各段决策确定后，整个问题的决策序列就构成一个策略，用p1,n={u1(s1),u2(s2),…, un(sn)}表示。对每个实际问题，可供选择的策略有一定范围，称为允许策略集合，记作P1,n，使整个问题达到最有效果的策略就是最优策略。[1]说到这里，又可以提出运用动态规划的一个前提。即这个过程的最优策略应具有这样的性质：无论初始状态及初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言，其以后的所有决策应构成最优策略[1]。这就是最优化原理。简言之，就是“最优策略的子策略也是最优策略”。§1.4最优化原理与无后效性这里，我把最优化原理定位在“运用动态规划的前提”。这是因为，是否符合最优化原理是一个问题的本质特征。对于不满足最优化原理的一个多阶段决策问题，整体上的最优策略p1,n同任何一个阶段k上的决策uk或任何一组阶段k1…k2上的子策略pk1,k2都不存在任何关系。如果要对这样的问题动态规划的话，我们从一开始所作的划分阶段等努力都将是徒劳的。而我把无后效性定位在“应用动态规划的条件”，是因为动态规划是按次序去求每阶段的解，如果一个问题有后效性，那么这样的次序便是不合理的。但是，我们可以通过重新划分阶段，重新选定状态，或者增加状态变量的个数等手段，来是问题满足无后效性这个条件。说到底，还是要确定一个“序”。在信息学的多阶段决策问题中，绝大部分都是能够满足最优化原理的，但它们往往会在后效性这一点上来设置障碍。所以在解题过程中，我们会特别关心“序”。对于有序的问题，就会考虑到动态规划；对于无序的问题，也会想方设法来使其有序。§1.5最优指标函数和规划方程最优指标函数：用于衡量所选定策略优劣的数量指标称为指标函数，最优指标函数记为fk(sk)，它表示从第k段状态sk采用最优策略p*k,n到过程终止时的最佳效益值[1]。最优指标函数其实就是我们真正关心的问题的解。在上面的例子中，f2(B1)就表示从B1点到终点D1点的最短路径长度。我们求解的最终目标就是f1(A1)。最优指标函数的求法一般是一个从目标状态出发的递推公式，称为规划方程：其中sk是第k段的某个状态，uk是从sk出发的允许决策集合Dk(sk)中的一个决策，Tk(sk,uk)是由sk和uk所导出的第k+1段的某个状态sk+1，g(x,uk)是定义在数值x和决策uk上的一个函数，而函数opt表示最优化，根据具体问题分别表为max或min。 ，称为边界条件。上例中的规划方程就是：边界条件为 这里是一种从目标状态往回推的逆序求法，适用于目标状态确定的问题。在我们的信息学问题中，也有很多有着确定的初始状态。当然，对于初始状态确定的问题，我们也可以采用从初始状态出发往前推的顺序求法。事实上，这种方法对我们来说要更为直观、更易设计一些，从而更多地出现在我们的解题过程中。我们本节所讨论的这些理论虽然不是本文的主旨，但是却对下面要说的动态规划的特点起着基础性的作用。§2动态规划的设计与实现上面我们讨论了动态规划的一些理论，本节我们将通过几个例子中，动态规划的设计与实现，来了解动态规划的一些特点。§2.1动态规划的多样性[例2] 花店橱窗布置问题（IOI99）试题见附录本题虽然是本届IOI中较为简单的一题，但其中大有文章可作。说它简单，是因为它有序，因此我们一眼便可看出这题应该用动态规划来解决。但是，如何动态规划呢？如何划分阶段，又如何选择状态呢？<方法1>以花束的数目来划分阶段。在这里，阶段变量k表示的就是要布置的花束数目（前k束花），状态变量sk表示第k束花所在的花瓶。而对于每一个状态sk，决策就是第k-1束花应该放在哪个花瓶，用uk表示。最优指标函数fk(sk)表示前k束花，其中第k束插在第sk个花瓶中，所能取得的最大美学值。状态转移方程为 规划方程为 （其中A(i,j)是花束i插在花瓶j中的美学值）边界条件 （V是花瓶总数，事实上这是一个虚拟的边界）<方法2>以花瓶的数目来划分阶段。在这里阶段变量k表示的是要占用的花瓶数目（前k个花瓶），状态变量sk表示前k个花瓶中放了多少花。而对于任意一个状态sk，决策就是第sk束花是否放在第k个花瓶中，用变量uk=1或0来表示。最优指标函数fk(sk)表示前k个花瓶中插了sk束花，所能取得的最大美学值。状态转移方程为 规划方程为 边界条件为 两种划分阶段的方法，引出了两种状态表示法，两种规划方式，但是却都成功地解决了问题。只不过因为决策的选择有多有少，所以算法的时间复杂度也就不同。[2]这个例子具有很大的普遍性。有很多的多阶段决策问题都有着不止一种的阶段划分方法，因而往往就有不止一种的规划方法。有时各种方法所产生的效果是差不多的，但更多的时候，就像我们的例子一样，两种方法会在某个方面有些区别。所以，在用动态规划解题的时候，可以多想一想是否有其它的解法。对于不同的解法，要注意比较，好的算法好在哪里，差一点的算法差在哪里。从各种不同算法的比较中，我们可以更深刻地领会动态规划的构思技巧。§2.2动态规划的模式性这个可能做过动态规划的人都有体会，从我们上面对动态规划的分析也可以看出来。动态规划的设计都有着一定的模式，一般要经历以下几个步骤。划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。注意这若干个阶段一定要是有序的或者是可排序的，否则问题就无法求解。选择状态：将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态表示出来。当然，状态的选择要满足无后效性。确定决策并写出状态转移方程：之所以把这两步放在一起，是因为决策和状态转移有着天然的联系，状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。所以，如果我们确定了决策，状态转移方程也就写出来了。但事实上，我们常常是反过来做，根据相邻两段的各状态之间的关系来确定决策。写出规划方程（包括边界条件）：在第一部分中，我们已经给出了规划方程的通用形式化表达式。一般说来，只要阶段、状态、决策和状态转移确定了，这一步还是比较简单的。动态规划的主要难点在于理论上的设计，一旦设计完成，实现部分就会非常简单。大体上的框架如下：对f1(s1)初始化（边界条件）for k802 to n（这里以顺序求解为例） 对每一个sk83Sk fk(sk)80一个极值（∞或－∞） 对每一个uk(sk)83Dk(sk) sk-180Tk(sk,uk) t80g(fk-1(sk-1),uk) y t比fk(sk)更优 n fk(sk)80t 输出fn(sn)这个N-S图虽然不能代表全部，但足可以概括大多数。少数的一些特殊的动态规划，其实现的原理也是类似，可以类比出来。我们到现在对动态规划的分析，主要是在理论上、设计上，原因也就在此。掌握了动态规划的模式性，我们在用动态规划解题时就可以把主要的精力放在理论上的设计。一旦设计成熟，问题也就基本上解决了。而且在设计算法时也可以按部就班地来。但是“物极必反”，太过拘泥于模式就会限制我们的思维，扼杀优良算法思想的产生。我们在解题时，不妨发挥一下创造性，去突破动态规划的实现模式，这样往往会收到意想不到的效果。[3]§2.3动态规划的技巧性上面我们所说的动态规划的模式性，主要指的是实现方面。而在设计方面，虽然它较为严格的步骤性，但是它的设计思想却是没有一定的规律可循的。这就需要我们不断地在实践当中去掌握动态规划的技巧，下面仅就一个例子谈一点我自己的体会。[例3] 街道问题：在下图中找出从左下角到右上角的最短路径，每步只能向右方或上方走。这是一道简单而又典型的动态规划题，许多介绍动态规划的书与文章中都拿它来做例子。通常，书上的解答是这样的：按照图中的虚线来划分阶段，即阶段变量k表示走过的步数，而状态变量sk表示当前处于这一阶段上的哪一点（各点所对应的阶段和状态已经用ks在地图上标明）。这时的模型实际上已经转化成了一个特殊的多段图。用决策变量uk=0表示向右走，uk=1表示向上走，则状态转移方程如下：（这里的row是地图竖直方向的行数）我们看到，这个状态转移方程需要根据k的取值分两种情况讨论，显得非常麻烦。相应的，把它代入规划方程而付诸实现时，算法也很繁。因而我们在实现时，一般是不会这么做的，而代之以下面方法：将地图中的点规则地编号如上，得到的规划方程如下：（这里Distance表示相邻两点间的边长）这样做确实要比上面的方法简单多了，但是它已经破坏了动态规划的本来面目，而不存在明确的阶段特征了。如果说这种方法是以地图中的行（A、B、C、D）来划分阶段的话，那么它的“状态转移”就不全是在两个阶段之间进行的了。也许这没什么大不了的，因为实践比理论更有说服力。但是，如果我们把题目扩展一下：在地图中找出从左下角到右上角的两条路径，两条路径中的任何一条边都不能重叠，并且要求两条路径的总长度最短。这时，再用这种“简单”的方法就不太好办了。如果非得套用这种方法的话，则最优指标函数就需要有四维的下标，并且难以处理两条路径“不能重叠”的问题。而我们回到原先“标准”的动态规划法，就会发现这个问题很好解决，只需要加一维状态变量就成了。即用sk=(ak,bk)分别表示两条路径走到阶段k时所处的位置，相应的，决策变量也增加一维，用uk=(xk,yk)分别表示两条路径的行走方向。状态转移时将两条路径分别考虑：在写规划方程时，只要对两条路径走到同一个点的情况稍微处理一下，减少可选的决策个数：从这个例子中可以总结出设计动态规划算法的一个技巧：状态转移一般是在相邻的两个阶段之间（有时也可以在不相邻的两个阶段间），但是尽量不要在同一个阶段内进行。动态规划是一种很灵活的解题方法，在动态规划算法的设计中，类似的技巧还有很多。要掌握动态规划的技巧，有两条途径：一是要深刻理解动态规划的本质，这也是我们为什么一开始就探讨它的本质的原因；二是要多实践，不但要多解题，还要学会从解题中探寻规律，总结技巧。§3动态规划与一些算法的比较动态规划作为诸多解题方法中的一种，必然和其他一些算法有着诸多联系。从这些联系中，我们也可以看出动态规划的一些特点。§3.1动态规划与递推——动态规划是最优化算法由于动态规划的“名气”如此之大，以至于很多人甚至一些资料书上都往往把一种与动态规划十分相似的算法，当作是动态规划。这种算法就是递推。实际上，这两种算法还是很容易区分的。按解题的目标来分，信息学试题主要分四类：判定性问题、构造性问题、计数问题和最优化问题。我们在竞赛中碰到的大多是最优化问题，而动态规划正是解决最优化问题的有力武器，因此动态规划在竞赛中的地位日益提高。而递推法在处理判定性问题和计数问题方面也是一把利器。下面分别就两个例子，谈一下递推法和动态规划在这两个方面的联系。[例4] mod 4 最优路径问题：在下图中找出从第1点到第4点的一条路径，要求路径长度mod 4的余数最小。这个图是一个多段图，而且是一个特殊的多段图。虽然这个图的形式比一般的多段图要简单，但是这个最优路径问题却不能用动态规划来做。因为一条从第1点到第4点的最优路径，在它走到第2点、第3点时，路径长度mod 4的余数不一定是最小，也就是说最优策略的子策略不一定最优——这个问题不满足最优化原理。但是我们可以把它转换成判定性问题，用递推法来解决。判断从第1点到第k点的长度mod 4为sk的路径是否存在，用fk(sk)来表示，则递推公式如下： （边界条件）（这里lenk,i表示从第k-1点到第k点之间的第i条边的长度，方括号表示“或(or)”运算）最后的结果就是可以使f4(s4)值为真的最小的s4值。这个递推法的递推公式和动态规划的规划方程非常相似，我们在这里借用了动态规划的符号也就是为了更清楚地显示这一点。其实它们的思想也是非常相像的，可以说是递推法借用了动态规划的思想解决了动态规划不能解决的问题。有的多阶段决策问题（像这一题的阶段特征就很明显），由于不能满足最优化原理等使用动态规划的先决条件，而无法应用动态规划。在这时可以将最优指标函数的值当作“状态”放到下标中去，从而变最优化问题为判定性问题，再借用动态规划的思想，用递推法来解决问题。[例5] 钉子与小球（NOI99）试题见附录这个题目一看就不觉让人想起一道经典的动态规划题。下面先让我们回顾一下这个问题。数字三角形（IOI94）在下图中求从顶至低某处的一条路径，使该路径所经过的数字的总和最大，每一步只能向左下或右下走。73 88 1 02 7 4 44 5 2 6 5在这个问题中，我们按走过的行数来划分阶段，以走到每一行时所在的位置来作为状态，决策就是向左下走（用0表示）或向右下走（用1表示）。状态转移方程： 规划方程： 边界条件： 这是一个比较简单的最优化问题，我们还可以把这个问题改成一个更加简单的整数统计问题：求顶点到每一点的路径总数。把这个总数用fk(sk)表示，那么递推公式就是：在这里，虽然求和公式只有两项，但我们仍然用∑的形式表示，就是为了突出这个递推公式和上面的规划方程的相似之处。这两个公式的边界条件都是一模一样的。再回到我们上面的“钉子与小球”问题，这是一个概率统计问题。我们继续沿用上面的思想，用fk(sk)表示小球落到第k行第sk个钉子上的概率，则递推公式如下：（这里函数Existk(sk)表示第k行第sk个钉子是否存在，存在则取1，不存在则取0）边界条件 可以看出这个公式较之上面的两个式子虽然略有变化，但是其基本思想还是类似的。在解这个问题的过程中，我们再次运用了动态规划的思想。一般说来，很多最优化问题都有着对应的计数问题；反过来，很多计数问题也有着对应的最优化问题。因此，我们在遇到这两类问题时，不妨多联系、多发展，举一反三，从比较中更深入地理解动态规划的思想。其实递推和动态规划这两种方法的思想本来就很相似，也不必说是谁借用了谁的思想。关键在于我们要掌握这种思想，这样我们无论在用动态规划法解最优化问题，或是在用递推法解判定型、计数问题时，都能得心应手、游刃有余了。§3.2动态规划与搜索——动态规划是高效率、高消费算法同样是解决最优化问题，有的题目我们采用动态规划，而有的题目我们则需要用搜索。这其中有没有什么规则呢？我们知道，撇开时空效率的因素不谈，在解决最优化问题的算法中，搜索可以说是“万能”的。所以动态规划可以解决的问题，搜索也一定可以解决。把一个动态规划算法改写成搜索是非常方便的，状态转移方程、规划方程以及边界条件都可以直接“移植”，所不同的只是求解顺序。动态规划是自底向上的递推求解，而搜索则是自顶向下的递归求解（这里指深度搜索，宽度搜索类似）。反过来，我们也可以把搜索算法改写成动态规划。状态空间搜索实际上是对隐式图中的点进行枚举，这种枚举是自顶向下的。如果把枚举的顺序反过来，变成自底向上，那么就成了动态规划。（当然这里有个条件，即隐式图中的点是可排序的，详见下一节。）正因为动态规划和搜索有着求解顺序上的不同，这也造成了它们时间效率上的差别。在搜索中，往往会出现下面的情况：对于上图(a)这样几个状态构成的一个隐式图，用搜索算法就会出现重复，如上图(b)所示，状态C2被搜索了两次。在深度搜索中，这样的重复会引起以C2为根整个的整个子搜索树的重复搜索；在宽度搜索中，虽然这样的重复可以立即被排除，但是其时间代价也是不小的。而动态规划就没有这个问题，如上图(c)所示。一般说来，动态规划算法在时间效率上的优势是搜索无法比拟的。（当然对于某些题目，根本不会出现状态的重复，这样搜索和动态规划的速度就没有差别了。）而从理论上讲，任何拓扑有序（现实中这个条件常常可以满足）的隐式图中的搜索算法都可以改写成动态规划。但事实上，在很多情况下我们仍然不得不采用搜索算法。那么，动态规划算法在实现上还有什么障碍吗？考虑上图(a)所示的隐式图，其中存在两个从初始状态无法达到的状态。在搜索算法中，这样的两个状态就不被考虑了，如上图(b)所示。但是动态规划由于是自底向上求解，所以就无法估计到这一点，因而遍历了全部的状态，如上图(c)所示。一般说来，动态规划总要遍历所有的状态，而搜索可以排除一些无效状态。更重要的事搜索还可以剪枝，可能剪去大量不必要的状态，因此在空间开销上往往比动态规划要低很多。如何协调好动态规划的高效率与高消费之间的矛盾呢？有一种折衷的办法就是记忆化算法。记忆化算法在求解的时候还是按着自顶向下的顺序，但是每求解一个状态，就将它的解保存下来，以后再次遇到这个状态的时候，就不必重新求解了。这种方法综合了搜索和动态规划两方面的优点，因而还是很有实用价值的。§3.3动态规划与网络流——动态规划是易设计易实现算法由于图的关系复杂而无序，一般难以呈现阶段特征（除了特殊的图如多段图，或特殊的分段方法如Floyd），因此动态规划在图论中的应用不多。但有一类图，它的点却是有序的，这就是有向无环图。在有向无环图中，我们可以对点进行拓扑排序，使其体现出有序的特征，从而据此划分阶段。在有向无还图中求最短路径的算法[4]，已经体现出了简单的动态规划思想。但动态规划在图论中还有更有价值的应用。下面先看一个例子。[例6] N个人的街道问题：在街道问题（参见例3）中，若有N个人要从左下角走向右上角，要求他们走过的边的总长度最大。当然，这里每个人也只能向右或向上走。下面是一个样例，左图是从出发地到目的地的三条路径，右图是他们所走过的边，这些边的总长度为5 + 4 + 3 + 6 + 3 + 3 + 5 + 8 + 8 + 7 + 4 + 5 + 9 + 5 + 3 = 78（不一定是最大）。这个题目是对街道问题的又一次扩展。仿照街道问题的解题方法，我们仍然可以用动态规划来解决本题。不过这一次是N个人同时走，状态变量也就需要用N维来表示，。相应的，决策变量也要变成N维，uk=(uk,1,uk,2,…,uk,N)。状态转移方程不需要做什么改动：在写规划方程时，需要注意在第k阶段，N条路径所走过的边的总长度的计算，在这里我就用gk(sk,uk)来表示了：边界条件为 可见将原来的动态规划算法移植到这个问题上来，在理论上还是完全可行的。但是，现在的这个动态规划算法的时空复杂度已经是关于N的指数函数，只要N稍微大一点，这个算法就不可能实现了。下面我们换一个思路，将N条路径看成是网络中一个流量为N的流，这样求解的目标就是使这个流的费用最大。但是本题又不同于一般的费用流问题，在每一条边e上的流费用并不是流量和边权的乘积 ，而是用下式计算：为了使经典的费用流算法适用于本题，我们需要将模型稍微转化一下：如图，将每条边拆成两条。拆开后一条边上有权，但是容量限制为1；另一条边没有容量限制，但是流过这条边就不能计算费用了。这样我们就把问题转化成了一个标准的最大费用固定流问题。这个算法可以套用经典的最小费用最大流算法，在此就不细说了。（参见附录中的源程序）这个例题是我仿照IOI97的“障碍物探测器”一题[6]编出来的。“障碍物探

规划求解对决策变量有限制，Excel里面，有一个很有用，但是很少被大家重视的功能：规划求解。规划求解是MicrosoftExcel加载项程序，可用于模拟分析。使用规划求解查找一个单元格（称为目标单元格）中公式的优化（最大或最小）值，受限或受制于工作表上其他公式单元格的值。规划求解与一组用于计算目标和约束单元格中公式的单元格（称为决策变量或变量单元格）一起工作。规划求解调整决策变量单元格中的值以满足约束单元格上的限制，并产生你对目标单元格期望的结果。

线性规划的标准形限制：约束条件都是等式；等式约束的右端项为非负的常数；每个变量都要求取非负数值。线性规划规划模型的表示形式有多种，但为研究分析方便，本教材确定如下形式为线性规划模型的标准型，其他类型的问题，例如极小化问题，不同形式的约束问题，和有负变量的问题，都可以改写成其等价问题的标准型。模型建立从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；1、根据影响所要达到目的的因素找到决策变量。2、由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数。3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。

对偶问题的约束条件对应原问题的决策变量：(1)原问题的决策变量xj≤0,对偶问题的约束条件方向与标准问题的不等号(min ≥,max ≤)的相反。(2)原问题的决策变量xj≥0,对偶问题的约束条件方向为标准问题的不等号(min≥ ,max ≤)。研究运筹学的基础知识包括实分析、矩阵论、随机过程、离散数学和算法基础等。而在应用方面，多与仓储、物流、算法等领域相关。因此运筹学与应用数学、工业工程、计算机科学、经济管理等专业相关。扩展资料：学科特点：运筹学已被广泛应用于工商企业、军事部门、民政事业等研究组织内的统筹协调问题，故其应用不受行业、部门之限制；运筹学既对各种经营进行创造性的科学研究，又涉及到组织的实际管理问题，它具有很强的实践性，最终应能向决策者提供建设性意见，并应收到实效；它以整体最优为目标，从系统的观点出发，力图以整个系统最佳的方式来解决该系统各部门之间的利害冲突。对所研究的问题求出最优解，寻求最佳的行动方案，所以它也可看成是一门优化技术，提供的是解决各类问题的优化方法。参考资料来源：百度百科-运筹学

通常采用算法实验之线性规划解决配料问题。控制变量法是指控制其他因素不变，集中研究其中一个因素的变化，保证实验不受干扰或将干扰因素降低到最低程度。包括严格地操纵实验变量，以获取反应变量，还要严格地均衡无关变量，以消除额外变量干扰。一句话，通过实验控制，尽量消除实验误差，以取得较为精确的实验结果。配料表是对食品进行营养信息和特性的说明，大家可以通过饮料的配料表了解营养成分和特征，正确的选择适合自己需要的饮料。另一方面，食品企业通过配料表进行正确标注，避免夸大宣传，同时也保护了消费者的知情权。

决策变量无约束使用数据的四分位数进行标准化处理。根据相关资料查询，使用四分位数进行标准化，只取25%分位数到75%分位数的数据做缩放，在一定程度上减少了异常值对数据分析造成的影响，使得分析结果更加合理。

具体原因如下:变量一般是目标函数.把目标函数看做函数，找最优解就行了.变量函数一般是画成可行域来由目标函数求最优解的.线性规划法就是在线性等式或不等式的约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值的方法。其中目标函数是决策者要求达到目标的数学表达式，用一个极大或极小值表示。约束条件是指实现目标的能力资源和内部条件的限制因素，用一组等式或不等式来表示.

对偶问题的约束条件对应原问题的决策变量：(1)原问题的决策变量xj≥0,对偶问题的约束条件方向为标准问题的不等号(min≥ ,max ≤)(2)原问题的决策变量xj≤0,对偶问题的约束条件方向与标准问题的不等号(min ≥,max ≤)的相反(3)原问题的决策变量,无约束,对偶问题的约束条件为等式maxz=x1+2x2+3x3 x1+x2+x3≤2x1+4x2+x3≥ 62x1+x2+x3=3x1≥0,x2≤0,x3无约束 对偶为:minw=2y1+6y2+3y3y1+y2+2y3≥1y1+4y2+y3≤2y1+y2+y3=3y1≥0,y2≤0,y3无约束

机会约束规划的解法大致有两种。其一，将机会约束规划转化为确定性规划，然后用确定性规划的理论去解决；其二，通过随机模拟技术处理机会约束条件，并利用遗传算法的优胜劣汰，得到机会约束规划的目标函数最优值和决策变量最优解集。机会约束规划的目标函数最优值及决策变量的最优解集与模型中的随机系数有关，因而具有随机性。从数理统计的角度看，对这种随机的目标函数最优值以及决策变量的最优解集可以作出某种置信水平的区间估计。衡量区间估计的精度的一个重要指标是估计区间的长度，估计区间长度越小，估计精度就越大；反之，估计区间长度越大，估计精度就越小。

编程时可以使用整数规划（Integer Programming）算法来处理决策变量为正整数的问题。其中，线性整数规划（Mixed Integer Linear Programming，简称MILP）是一种常见的方法。在使用MILP求解时，需要引入额外的约束条件，例如将所有决策变量限定为整数或者钦定某些变量为整数。一些优秀的商业和开源求解器如CPLEX、Gurobi和GLPK都支持整数规划建模和求解。

目标函数 objective function约束条件 constraints决策变量 decision variable最优化问题 optimization problem

　　线性规划模型的优点：有统一算法，任何线性规划问题都能求解。　　　　线性规划模型的缺点：只能处理线性关系的情形。

线性规划问题的数学模型的一般形式　　（1）列出约束条件及目标函数 　　（2）画出约束条件所表示的可行域 　　（3）在可行域内求目标函数的最优解 [编辑本段]线性规划的发展　　法国数学家 J.- B.- J.傅里叶和 C.瓦莱－普森分别于1832和1911年独立地提出线性规划的想法，但未引起注意。 　　1939年苏联数学家Л.В.康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题，也未引起重视。 　　1947年美国数学家G.B.丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法──单纯形法，为这门学科奠定了基础。 　　1947年美国数学家J.von诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。 　　1951年美国经济学家T.C.库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。 　　50年代后对线性规划进行大量的理论研究，并涌现出一大批新的算法。例如，1954年C.莱姆基提出对偶单纯形法，1954年S.加斯和T.萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题，1956年A.塔克提出互补松弛定理，1960年G.B.丹齐克和P.沃尔夫提出分解算法等。 　　线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究。由于数字电子计算机的发展，出现了许多线性规划软件，如MPSX，OPHEIE，UMPIRE等，可以很方便地求解几千个变量的线性规划问题。 　　1979年苏联数学家L. G. Khachian提出解线性规划问题的椭球算法，并证明它是多项式时间算法。 　　1984年美国贝尔电话实验室的印度数学家N.卡马卡提出解线性规划问题的新的多项式时间算法。用这种方法求解线性规划问题在变量个数为5000时只要单纯形法所用时间的1/50。现已形成线性规划多项式算法理论。50年代后线性规划的应用范围不断扩大。 建立线性规划模型的方法 [编辑本段]线性规划的模型建立　　从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤； 　　1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量； 　　2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数； 　　3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。 　　所建立的数学模型具有以下特点： 　　1、每个模型都有若干个决策变量（x1,x2,x3……，xn），其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般式非负的。 　　2、目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。 　　3、约束条件也是决策变量的线性函数。 　　当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。 　　例： 　　生产安排模型：某工厂要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表所示，表中右边一列是每日设备能力及原材料供应的限量，该工厂生产一单位产品Ⅰ可获利2元，生产一单位产品Ⅱ可获利3元，问应如何安排生产，使其获得最多？ 　　解： 　　1、确定决策变量：设x1、x2为产品Ⅰ、Ⅱ的生产数量； 　　2、明确目标函数：获利最大，即求2x1+3x2最大值； 　　3、所满足的约束条件： 　　设备限制：x1+2x2≤8 　　原材料A限制：4x1≤16 　　原材料B限制：4x2≤12 　　基本要求：x1,x2≥0 　　用max代替最大值，s.t.（subject to 的简写）代替约束条件，则该模型可记为： 　　max z=2x1+3x2 　　s.t. x1+2x2≤8 　　4x1≤16 　　4x2≤12 　　x1,x2≥0 [编辑本段]线性规划的解法　　求解线性规划问题的基本方法是单纯形法，现在已有单纯形法的标准软件，可在电子计算机上求解约束条件和决策变量数达 10000个以上的线性规划问题。为了提高解题速度，又有改进单纯形法、对偶单纯形法、原始对偶方法、分解算法和各种多项式时间算法。对于只有两个变量的简单的线性规划问题，也可采用图解法求解。这种方法仅适用于只有两个变量的线性规划问题。它的特点是直观而易于理解，但实用价值不大。通过图解法求解可以理解线性规划的一些基本概念。 　　对于一般线性规划问题： 　　Min z=CX 　　S.T. 　　AX =b 　　X>=0 　　其中A为一个m*n矩阵。 　　若A行满秩 　　则可以找到基矩阵B，并寻找初始基解。 　　用N表示对应于B的非基矩阵。则规划问题1可化为： 　　规划问题2： 　　Min z=CB XB+CNXN 　　S.T. 　　B XB+N XN = b (1) 　　XB >= 0, XN >= 0 (2) 　　(1)两边同乘于B-1，得 　　XB + B-1 N XN = B-1 b 　　同时，由上式得XB = B-1 b - B-1 N XN，也代入目标函数，问题可以继续化为： 　　规划问题3： 　　Min z=CB B-1 b + ( CN - CB B-1 N ) XN 　　S.T. 　　XB+B-1N XN = B-1 b (1) 　　XB >= 0, XN >= 0 (2) 　　令N:=B-1N，b:= B-1 b，ζ= CB B-1b，σ= CN - CB B-1 N，则上述问题化为规划问题形式4： 　　Min z= ζ + σ XN 　　S.T. 　　XB+ N XN = b (1) 　　XB >= 0, XN >= 0 (2) 　　在上述变换中，若能找到规划问题形式4，使得b>=0，称该形式为初始基解形式。 　　上述的变换相当于对整个扩展矩阵（包含C及A） 乘以增广矩阵 。所以重在选择B，从而找出对应的CB。 　　若存在初始基解 　　若σ>= 0 　　则z >=ζ。同时，令XN = 0，XB = b，这是一个可行解，且此时z=ζ，即达到最优值。所以，此时可以得到最优解。 　　若σ >= 0不成立 　　可以采用单纯形表变换。 　　σ中存在分量<0。这些负分量对应的决策变量编号中，最小的为j。N中与j对应的列向量为Pj。 　　若Pj <=0不成立 　　则Pj至少存在一个分量ai，j为正。在规划问题4的约束条件（1）的两边乘以矩阵T。 　　T= 　　则变换后，决策变量xj成为基变量，替换掉原来的那个基变量。为使得T b >= 0，且T Pj=ei（其中，ei表示第i个单位向量），需要： 　　l ai，j>0。 　　l βq+βi*(-aq,j/ai,j)>=0，其中q!=i。即βq>=βi/ ai,j * aq,j。 　　n 若aq,j<=0，上式一定成立。 　　n 若aq,j>0，则需要βq / aq,j >=βi/ ai,j。因此，要选择i使得βi/ ai,j最小。 　　如果这种方法确定了多个下标，选择下标最小的一个。 　　转换后得到规划问题4的形式，继续对σ进行判断。由于基解是有限个，因此，一定可以在有限步跳出该循环。 　　若对于每一个i，ai,j<=0 　　最优值无界。 　　若不能寻找到初始基解 　　无解。 　　若A不是行满秩 　　化简直到A行满秩，转到若A行满秩。 [编辑本段]线性规划的应用　　在企业的各项管理活动中,例如计划、生产、运输、技术等问题,线性规划是指从各种限制条件的组合中,选择出最为合理的计算方法,建立线性规划模型从而求得最佳结果

线性规划是用直线解决问题，而非线性规划是曲线甚至更复杂的图像解决问题。线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。非线性规划具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。 线性规划的三要素 线性规划问题的形式特征，三个要素组成： 1、变量或决策变量； 2、目标函数； 3、约束条件。 求解线性规划问题的基本方法是单纯形法，已有单纯形法的标准软件，可在电子计算机上求解约束条件和决策变量数达 10000个以上的线性规划问题。 线性规划的特点 线性规划建立的数学模型具有以下特点： 1、每个模型都有若干个决策变量（x1，x2，x3……，xn），其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。 2、目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。 3、约束条件也是决策变量的线性函数。 当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。

机会约束规划的解法大致有两种。其一，将机会约束规划转化为确定性规划，然后用确定性规划的理论去解决；其二，通过随机模拟技术处理机会约束条件，并利用遗传算法的优胜劣汰，得到机会约束规划的目标函数最优值和决策变量最优解集。机会约束规划的目标函数最优值及决策变量的最优解集与模型中的随机系数有关，因而具有随机性。从数理统计的角度看，对这种随机的目标函数最优值以及决策变量的最优解集可以作出某种置信水平的区间估计。衡量区间估计的精度的一个重要指标是估计区间的长度，估计区间长度越小，估计精度就越大；反之，估计区间长度越大，估计精度就越小。

在x>0的条件下，存在这样的情况。貌似对数函数的运算方法。这个题我们要严格按照题目中的f(x)是定义在（0，∞）上的增函数，且f(x/y)=f(x)-f(y)来思考，也就是说，这个是大前提。利用题目所给的条件f(x/y)=f(x)-f(y)f(x)-f(1/(x-3))=f(x的平方-3x)≤2我们可以将2拆分成11，也就是2=11=f(2)f(2)所以出现f(x的平方-3x)≤f(2)f(2)则有f(x的平方-3x)-f(2)≤f(2)再次利用条件f(x/y)=f(x)-f(y)f(x的平方-3x)-f(2)=f(x的平方/2-3x/2)≤f(2)已知f(x)是定义在（0，∞）上的增函数所以x的平方/2-3x/2≤2x的平方-3x-4≤0所以解出-1≤x≤4又因为f(x)是定义在（0，∞）上的增函数因此0<x≤4

在布局问题求解中,为了好表达约束条件,需要引入一个决策变量Vik(i表示设备序号,i=1,2,3,....15!K表示第几行,k=1,2,3)因为一个设备只能在一行,而一行中最多布置设备数量不能超过设备总数15当设备i在第k行的时候Vik=1,else Vik=0 注意(i与k是两个不同的表示量)if ( ) Vik=1else Vik=0end%约束1^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^fVik=0;for k=1:3 %表示从第1到第3行循环 fVik=fVik+Vik;endfV1ik=fVik-1; % fV1ik=0就满足约束1%约束2^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^fVik=0;for i=1:15 fVik=fVik+Vik;endfV2ik=15-fVik; %fV2ik>=0就满足约束2现在问题是if 后面括号的程序应该如何写?

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素

知道总金额要反推出金额，可以用规划求解

指派问题是一种特殊的整数规划问题。有一定数量的任务和同等数量的人，每个人都可以完成任务，但花费的时间成本不同，所以需要找到一种指派方式，让总成本最低。这类问题建立的模型就是指派问题模型。指派问题是0-1整数规划的一种，决策变量x_ij取1时，第i个人完成第j项工作，花费的成本是c_ij，否则决策变量x_ij取0。匈牙利解法是用来求解指派问题的常用方法。

matlab reshape使用 reshape把指定的矩阵改变形状,但是元素个数不变, 例如,行向量: a = [1 2 3 4 5 6] 执行下面语句把它变成3行2列MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。MATLAB是matrix&laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。

规划求解搞不定的，没这多功能，请高手编程试试吧

可行解

BIAS0:= (C-MA(C,2))/MA(C,2)*100;BIAS1 := (C-MA(C,12))/MA(C,12)*100;BIAS2 := (C-MA(C,26))/MA(C,26)*100;BIAS3 := (C-MA(C,48))/MA(C,48)*100;HXL:=V/CAPITAL*100;D1:=INDEXC;D2:=MA(D1,56);DR2:=D1/D2<0.94;E1:=(C-HHV(C,12))/HHV(C,12)*10;E2:=(C-REF(C,26))/REF(C,26)*10;

机会约束规划的解法大致有两种。其一，将机会约束规划转化为确定性规划，然后用确定性规划的理论去解决；其二，通过随机模拟技术处理机会约束条件，并利用遗传算法的优胜劣汰，得到机会约束规划的目标函数最优值和决策变量最优解集。机会约束规划的目标函数最优值及决策变量的最优解集与模型中的随机系数有关，因而具有随机性。从数理统计的角度看，对这种随机的目标函数最优值以及决策变量的最优解集可以作出某种置信水平的区间估计。衡量区间估计的精度的一个重要指标是估计区间的长度，估计区间长度越小，估计精度就越大；反之，估计区间长度越大，估计精度就越小。

正好我最近也在做动规的题。我来说说我觉得呢，动态规划和分治、递归、递推都差不多，都是把未知转化为已知来求。动态规划甚至就是一种递推！想一想求斐波那契数列的第 n 项。我们知道第 1 项是 1，第 2 项也是 1 。于是，接下来的问题就变成：根据第 1 项和第 2 项求第 3 项根据第 2 项和第 3 项求第 4 项……根据第 k-2 项和第 k-1 项求第 k 项……根据第 n-2 项和第 n-1 项求第 n 项这个时候，第 n 项就求出来啦！这就是递推的思路。其实，我觉得动态规划也是一样的。

　　动态规划的特点及其应用　　安徽 张辰　　目 录　　(点击进入)　　【关键词】　　【摘要】　　【正文】　　§1动态规划的本质　　§1.1多阶段决策问题　　§1.2阶段与状态　　§1.3决策和策略　　§1.4最优化原理与无后效性　　§1.5最优指标函数和规划方程　　§2动态规划的设计与实现　　§2.1动态规划的多样性　　§2.2动态规划的模式性　　§2.3动态规划的技巧性　　§3动态规划与一些算法的比较　　§3.1动态规划与递推　　§3.2动态规划与搜索　　§3.3动态规划与网络流　　§4结语　　【附录：部分试题与源程序】　　1.“花店橱窗布置问题”试题　　2.“钉子与小球”试题　　3.例2“花店橱窗布置问题”方法1的源程序　　4.例2“花店橱窗布置问题”方法2的源程序　　5.例3“街道问题”的扩展　　6.例4“mod 4最优路径问题”的源程序　　7.例5“钉子与小球”的源程序　　8.例6的源程序,“N个人的街道问题”　　【参考文献】　　【关键词】动态规划 阶段　　【摘要】　　动态规划是信息学竞赛中的常见算法，本文的主要内容就是分析它的特点。　　文章的第一部分首先探究了动态规划的本质，因为动态规划的特点是由它的本质所决定的。第二部分从动态规划的设计和实现这两个角度分析了动态规划的多样性、模式性、技巧性这三个特点。第三部分将动态规划和递推、搜索、网络流这三个相关算法作了比较，从中探寻动态规划的一些更深层次的特点。　　文章在分析动态规划的特点的同时，还根据这些特点分析了我们在解题中应该怎样利用这些特点，怎样运用动态规划。这对我们的解题实践有一定的指导意义。　　【正文】　　动态规划是编程解题的一种重要的手段，在如今的信息学竞赛中被应用得越来越普遍。最近几年的信息学竞赛，不分大小，几乎每次都要考察到这方面的内容。因此，如何更深入地了解动态规划，从而更为有效地运用这个解题的有力武器，是一个值得深入研究的问题。　　要掌握动态规划的应用技巧，就要了解它的各方面的特点。首要的，是要深入洞悉动态规划的本质。　　§1动态规划的本质　　动态规划是在本世纪50年代初，为了解决一类多阶段决策问题而诞生的。那么，什么样的问题被称作多阶段决策问题呢？　　§1.1多阶段决策问题　　说到多阶段决策问题，人们很容易举出下面这个例子。　　[例1] 多段图中的最短路径问题：在下图中找出从A1到D1的最短路径。　　仔细观察这个图不难发现，它有一个特点。我们将图中的点分为四类（图中的A、B、C、D），那么图中所有的边都处于相邻的两类点之间，并且都从前一类点指向后一类点。这样，图中的边就被分成了三类（Auf0e0B、Buf0e0C、Cuf0e0D）。我们需要从每一类中选出一条边来，组成从A1到D1的一条路径，并且这条路径是所有这样的路径中的最短者。　　从上面的这个例子中，我们可以大概地了解到什么是多阶段决策问题。更精确的定义如下：　　多阶段决策过程，是指这样的一类特殊的活动过程，问题可以按时间顺序分解成若干相互联系的阶段，在每一个阶段都要做出决策，全部过程的决策是一个决策序列[1]。要使整个活动的总体效果达到最优的问题，称为多阶段决策问题。　　从上述的定义中，我们可以明显地看出，这类问题有两个要素。一个是阶段，一个是决策。　　§1.2阶段与状态　　阶段：将所给问题的过程，按时间或空间特征分解成若干相互联系的阶段，以便按次序去求每阶段的解。常用字母k表示阶段变量。[1]　　阶段是问题的属性。多阶段决策问题中通常存在着若干个阶段，如上面的例子，就有A、B、C、D这四个阶段。在一般情况下，阶段是和时间有关的；但是在很多问题（我的感觉，特别是信息学问题）中，阶段和时间是无关的。从阶段的定义中，可以看出阶段的两个特点，一是“相互联系”，二是“次序”。　　阶段之间是怎样相互联系的？就是通过状态和状态转移。　　状态：各阶段开始时的客观条件叫做状态。描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用sk表示第k阶段的状态变量，状态变量sk的取值集合称为状态集合，用Sk表示。[1]　　状态是阶段的属性。每个阶段通常包含若干个状态，用以描述问题发展到这个阶段时所处在的一种客观情况。在上面的例子中，行人从出发点A1走过两个阶段之后，可能出现的情况有三种，即处于C1、C2或C3点。那么第三个阶段就有三个状态S3={C1,C2,C3}。　　每个阶段的状态都是由以前阶段的状态以某种方式“变化”而来，这种“变化”称为状态转移（暂不定义）。上例中C3点可以从B1点过来，也可以从B2点过来，从阶段2的B1或B2状态走到阶段3的C3状态就是状态转移。状态转移是导出状态的途径，也是联系各阶段的途径。　　说到这里，可以提出应用动态规划的一个重要条件。那就是将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的发展，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是“过去历史的一个完整总结[1]”。这就是无后效性。对这个性质，下文还将会有解释。　　§1.3决策和策略　　上面的阶段与状态只是多阶段决策问题的一个方面的要素，下面是另一个方面的要素——决策。　　决策：当各段的状态取定以后，就可以做出不同的决定，从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策。表示决策的变量，称为决策变量，常用uk(sk)表示第k阶段当状态为sk时的决策变量。在实际问题中，决策变量的取值往往限制在一定范围内，我们称此范围为允许决策集合。常用Dk(sk)表示第k阶段从状态sk出发的允许决策集合。显然有uk(sk) uf0ceDk(sk)。[1]　　决策是问题的解的属性。决策的目的就是“确定下一阶段的状态”，还是回到上例，从阶段2的B1状态出发有三条路，也就是三个决策，分别导向阶段3的C1、C2、C3三个状态，即D2(B1)={C1,C2,C3}。　　有了决策，我们可以定义状态转移：动态规划中本阶段的状态往往是上一阶段和上一阶段的决策结果，由第k段的状态sk和本阶段的决策uk确定第k+1段的状态sk+1的过程叫状态转移。状态转移规律的形式化表示sk+1=Tk(sk,uk)称为状态转移方程。　　这样看来，似乎决策和状态转移有着某种联系。我的理解，状态转移是决策的目的，决策是状态转移的途径。　　各段决策确定后，整个问题的决策序列就构成一个策略，用p1,n={u1(s1),u2(s2),…, un(sn)}表示。对每个实际问题，可供选择的策略有一定范围，称为允许策略集合，记作P1,n，使整个问题达到最有效果的策略就是最优策略。[1]　　说到这里，又可以提出运用动态规划的一个前提。即这个过程的最优策略应具有这样的性质：无论初始状态及初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言，其以后的所有决策应构成最优策略[1]。这就是最优化原理。简言之，就是“最优策略的子策略也是最优策略”。　　§1.4最优化原理与无后效性　　这里，我把最优化原理定位在“运用动态规划的前提”。这是因为，是否符合最优化原理是一个问题的本质特征。对于不满足最优化原理的一个多阶段决策问题，整体上的最优策略p1,n同任何一个阶段k上的决策uk或任何一组阶段k1…k2上的子策略pk1,k2都不存在任何关系。如果要对这样的问题动态规划的话，我们从一开始所作的划分阶段等努力都将是徒劳的。　　而我把无后效性定位在“应用动态规划的条件”，是因为动态规划是按次序去求每阶段的解，如果一个问题有后效性，那么这样的次序便是不合理的。但是，我们可以通过重新划分阶段，重新选定状态，或者增加状态变量的个数等手段，来是问题满足无后效性这个条件。说到底，还是要确定一个“序”。　　在信息学的多阶段决策问题中，绝大部分都是能够满足最优化原理的，但它们往往会在后效性这一点上来设置障碍。所以在解题过程中，我们会特别关心“序”。对于有序的问题，就会考虑到动态规划；对于无序的问题，也会想方设法来使其有序。　　§1.5最优指标函数和规划方程　　最优指标函数：用于衡量所选定策略优劣的数量指标称为指标函数，最优指标函数记为fk(sk)，它表示从第k段状态sk采用最优策略p*k,n到过程终止时的最佳效益值[1]。　　最优指标函数其实就是我们真正关心的问题的解。在上面的例子中，f2(B1)就表示从B1点到终点D1点的最短路径长度。我们求解的最终目标就是f1(A1)。　　最优指标函数的求法一般是一个从目标状态出发的递推公式，称为规划方程：　　其中sk是第k段的某个状态，uk是从sk出发的允许决策集合Dk(sk)中的一个决策，Tk(sk,uk)是由sk和uk所导出的第k+1段的某个状态sk+1，g(x,uk)是定义在数值x和决策uk上的一个函数，而函数opt表示最优化，根据具体问题分别表为max或min。　　，称为边界条件。　　上例中的规划方程就是：　　边界条件为　　这里是一种从目标状态往回推的逆序求法，适用于目标状态确定的问题。在我们的信息学问题中，也有很多有着确定的初始状态。当然，对于初始状态确定的问题，我们也可以采用从初始状态出发往前推的顺序求法。事实上，这种方法对我们来说要更为直观、更易设计一些，从而更多地出现在我们的解题过程中。　　我们本节所讨论的这些理论虽然不是本文的主旨，但是却对下面要说的动态规划的特点起着基础性的作用。　　§2动态规划的设计与实现　　上面我们讨论了动态规划的一些理论，本节我们将通过几个例子中，动态规划的设计与实现，来了解动态规划的一些特点。　　§2.1动态规划的多样性　　[例2] 花店橱窗布置问题（IOI99）试题见附录　　本题虽然是本届IOI中较为简单的一题，但其中大有文章可作。说它简单，是因为它有序，因此我们一眼便可看出这题应该用动态规划来解决。但是，如何动态规划呢？如何划分阶段，又如何选择状态呢？　　<方法1>以花束的数目来划分阶段。在这里，阶段变量k表示的就是要布置的花束数目（前k束花），状态变量sk表示第k束花所在的花瓶。而对于每一个状态sk，决策就是第k-1束花应该放在哪个花瓶，用uk表示。最优指标函数fk(sk)表示前k束花，其中第k束插在第sk个花瓶中，所能取得的最大美学值。　　状态转移方程为　　规划方程为　　（其中A(i,j)是花束i插在花瓶j中的美学值）　　边界条件 （V是花瓶总数，事实上这是一个虚拟的边界）　　<方法2>以花瓶的数目来划分阶段。在这里阶段变量k表示的是要占用的花瓶数目（前k个花瓶），状态变量sk表示前k个花瓶中放了多少花。而对于任意一个状态sk，决策就是第sk束花是否放在第k个花瓶中，用变量uk=1或0来表示。最优指标函数fk(sk)表示前k个花瓶中插了sk束花，所能取得的最大美学值。　　状态转移方程为　　规划方程为　　边界条件为　　两种划分阶段的方法，引出了两种状态表示法，两种规划方式，但是却都成功地解决了问题。只不过因为决策的选择有多有少，所以算法的时间复杂度也就不同。[2]　　这个例子具有很大的普遍性。有很多的多阶段决策问题都有着不止一种的阶段划分方法，因而往往就有不止一种的规划方法。有时各种方法所产生的效果是差不多的，但更多的时候，就像我们的例子一样，两种方法会在某个方面有些区别。　　所以，在用动态规划解题的时候，可以多想一想是否有其它的解法。对于不同的解法，要注意比较，好的算法好在哪里，差一点的算法差在哪里。从各种不同算法的比较中，我们可以更深刻地领会动态规划的构思技巧。　　§2.2动态规划的模式性　　这个可能做过动态规划的人都有体会，从我们上面对动态规划的分析也可以看出来。动态规划的设计都有着一定的模式，一般要经历以下几个步骤。　　划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。注意这若干个阶段一定要是有序的或者是可排序的，否则问题就无法求解。　　选择状态：将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态表示出来。当然，状态的选择要满足无后效性。　　确定决策并写出状态转移方程：之所以把这两步放在一起，是因为决策和状态转移有着天然的联系，状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。所以，如果我们确定了决策，状态转移方程也就写出来了。但事实上，我们常常是反过来做，根据相邻两段的各状态之间的关系来确定决策。　　写出规划方程（包括边界条件）：在第一部分中，我们已经给出了规划方程的通用形式化表达式。一般说来，只要阶段、状态、决策和状态转移确定了，这一步还是比较简单的。　　动态规划的主要难点在于理论上的设计，一旦设计完成，实现部分就会非常简单。大体上的框架如下：　　对f1(s1)初始化（边界条件）　　for kuf0df2 to n（这里以顺序求解为例）　　对每一个skuf0ceSk　　fk(sk)uf0df一个极值（∞或－∞）　　对每一个uk(sk)uf0ceDk(sk)　　sk-1uf0dfTk(sk,uk)　　tuf0dfg(fk-1(sk-1),uk)　　y t比fk(sk)更优 n　　fk(sk)uf0dft　　输出fn(sn)　　这个N-S图虽然不能代表全部，但足可以概括大多数。少数的一些特殊的动态规划，其实现的原理也是类似，可以类比出来。我们到现在对动态规划的分析，主要是在理论上、设计上，原因也就在此。　　掌握了动态规划的模式性，我们在用动态规划解题时就可以把主要的精力放在理论上的设计。一旦设计成熟，问题也就基本上解决了。而且在设计算法时也可以按部就班地来。　　但是“物极必反”，太过拘泥于模式就会限制我们的思维，扼杀优良算法思想的产生。我们在解题时，不妨发挥一下创造性，去突破动态规划的实现模式，这样往往会收到意想不到的效果。[3]　　§2.3动态规划的技巧性　　上面我们所说的动态规划的模式性，主要指的是实现方面。而在设计方面，虽然它较为严格的步骤性，但是它的设计思想却是没有一定的规律可循的。这就需要我们不断地在实践当中去掌握动态规划的技巧，下面仅就一个例子谈一点我自己的体会。　　[例3] 街道问题：在下图中找出从左下角到右上角的最短路径，每步只能向右方或上方走。　　这是一道简单而又典型的动态规划题，许多介绍动态规划的书与文章中都拿它来做例子。通常，书上的解答是这样的：　　按照图中的虚线来划分阶段，即阶段变量k表示走过的步数，而状态变量sk表示当前处于这一阶段上的哪一点（各点所对应的阶段和状态已经用ks在地图上标明）。这时的模型实际上已经转化成了一个特殊的多段图。用决策变量uk=0表示向右走，uk=1表示向上走，则状态转移方程如下：　　（这里的row是地图竖直方向的行数）　　我们看到，这个状态转移方程需要根据k的取值分两种情况讨论，显得非常麻烦。相应的，把它代入规划方程而付诸实现时，算法也很繁。因而我们在实现时，一般是不会这么做的，而代之以下面方法：　　将地图中的点规则地编号如上，得到的规划方程如下：　　（这里Distance表示相邻两点间的边长）　　这样做确实要比上面的方法简单多了，但是它已经破坏了动态规划的本来面目，而不存在明确的阶段特征了。如果说这种方法是以地图中的行（A、B、C、D）来划分阶段的话，那么它的“状态转移”就不全是在两个阶段之间进行的了。　　也许这没什么大不了的，因为实践比理论更有说服力。但是，如果我们把题目扩展一下：在地图中找出从左下角到右上角的两条路径，两条路径中的任何一条边都不能重叠，并且要求两条路径的总长度最短。这时，再用这种“简单”的方法就不太好办了。　　如果非得套用这种方法的话，则最优指标函数就需要有四维的下标，并且难以处理两条路径“不能重叠”的问题。　　而我们回到原先“标准”的动态规划法，就会发现这个问题很好解决，只需要加一维状态变量就成了。即用sk=(ak,bk)分别表示两条路径走到阶段k时所处的位置，相应的，决策变量也增加一维，用uk=(xk,yk)分别表示两条路径的行走方向。状态转移时将两条路径分别考虑：　　在写规划方程时，只要对两条路径走到同一个点的情况稍微处理一下，减少可选的决策个数：　　从这个例子中可以总结出设计动态规划算法的一个技巧：状态转移一般是在相邻的两个阶段之间（有时也可以在不相邻的两个阶段间），但是尽量不要在同一个阶段内进行。　　动态规划是一种很灵活的解题方法，在动态规划算法的设计中，类似的技巧还有很多。要掌握动态规划的技巧，有两条途径：一是要深刻理解动态规划的本质，这也是我们为什么一开始就探讨它的本质的原因；二是要多实践，不但要多解题，还要学会从解题中探寻规律，总结技巧。　　§3动态规划与一些算法的比较　　动态规划作为诸多解题方法中的一种，必然和其他一些算法有着诸多联系。从这些联系中，我们也可以看出动态规划的一些特点。　　§3.1动态规划与递推　　——动态规划是最优化算法　　由于动态规划的“名气”如此之大，以至于很多人甚至一些资料书上都往往把一种与动态规划十分相似的算法，当作是动态规划。这种算法就是递推。实际上，这两种算法还是很容易区分的。　　按解题的目标来分，信息学试题主要分四类：判定性问题、构造性问题、计数问题和最优化问题。我们在竞赛中碰到的大多是最优化问题，而动态规划正是解决最优化问题的有力武器，因此动态规划在竞赛中的地位日益提高。而递推法在处理判定性问题和计数问题方面也是一把利器。下面分别就两个例子，谈一下递推法和动态规划在这两个方面的联系。　　[例4] mod 4 最优路径问题：在下图中找出从第1点到第4点的一条路径，要求路径长度mod 4的余数最小。　　这个图是一个多段图，而且是一个特殊的多段图。虽然这个图的形式比一般的多段图要简单，但是这个最优路径问题却不能用动态规划来做。因为一条从第1点到第4点的最优路径，在它走到第2点、第3点时，路径长度mod 4的余数不一定是最小，也就是说最优策略的子策略不一定最优——这个问题不满足最优化原理。　　但是我们可以把它转换成判定性问题，用递推法来解决。判断从第1点到第k点的长度mod 4为sk的路径是否存在，用fk(sk)来表示，则递推公式如下：　　（边界条件）　　（这里lenk,i表示从第k-1点到第k点之间的第i条边的长度，方括号表示“或(or)”运算）　　最后的结果就是可以使f4(s4)值为真的最小的s4值。　　这个递推法的递推公式和动态规划的规划方程非常相似，我们在这里借用了动态规划的符号也就是为了更清楚地显示这一点。其实它们的思想也是非常相像的，可以说是递推法借用了动态规划的思想解决了动态规划不能解决的问题。　　有的多阶段决策问题（像这一题的阶段特征就很明显），由于不能满足最优化原理等使用动态规划的先决条件，而无法应用动态规划。在这时可以将最优指标函数的值当作“状态”放到下标中去，从而变最优化问题为判定性问题，再借用动态规划的思想，用递推法来解决问题。　　[例5] 钉子与小球（NOI99）试题见附录　　这个题目一看就不觉让人想起一道经典的动态规划题。下面先让我们回顾一下这个问题。　　数字三角形（IOI94）在下图中求从顶至低某处的一条路径，使该路径所经过的数字的总和最大，每一步只能向左下或右下走。　　7　　3 8　　8 1 0　　2 7 4 4　　4 5 2 6 5　　在这个问题中，我们按走过的行数来划分阶段，以走到每一行时所在的位置来作为状态，决策就是向左下走（用0表示）或向右下走（用1表示）。　　状态转移方程：　　规划方程：　　边界条件：　　这是一个比较简单的最优化问题，我们还可以把这个问题改成一个更加简单的整数统计问题：求顶点到每一点的路径总数。把这个总数用fk(sk)表示，那么递推公式就是：　　在这里，虽然求和公式只有两项，但我们仍然用∑的形式表示，就是为了突出这个递推公式和上面的规划方程的相似之处。这两个公式的边界条件都是一模一样的。　　再回到我们上面的“钉子与小球”问题，这是一个概率统计问题。我们继续沿用上面的思想，用fk(sk)表示小球落到第k行第sk个钉子上的概率，则递推公式如下：　　（这里函数Existk(sk)表示第k行第sk个钉子是否存在，存在则取1，不存在则取0）　　边界条件　　可以看出这个公式较之上面的两个式子虽然略有变化，但是其基本思想还是类似的。在解这个问题的过程中，我们再次运用了动态规划的思想。　　一般说来，很多最优化问题都有着对应的计数问题；反过来，很多计数问题也有着对应的最优化问题。因此，我们在遇到这两类问题时，不妨多联系、多发展，举一反三，从比较中更深入地理解动态规划的思想。　　其实递推和动态规划这两种方法的思想本来就很相似，也不必说是谁借用了谁的思想。关键在于我们要掌握这种思想，这样我们无论在用动态规划法解最优化问题，或是在用递推法解判定型、计数问题时，都能得心应手、游刃有余了。　　§3.2动态规划与搜索　　——动态规划是高效率、高消费算法　　同样是解决最优化问题，有的题目我们采用动态规划，而有的题目我们则需要用搜索。这其中有没有什么规则呢？　　我们知道，撇开时空效率的因素不谈，在解决最优化问题的算法中，搜索可以说是“万能”的。所以动态规划可以解决的问题，搜索也一定可以解决。　　把一个动态规划算法改写成搜索是非常方便的，状态转移方程、规划方程以及边界条件都可以直接“移植”，所不同的只是求解顺序。动态规划是自底向上的递推求解，而搜索则是自顶向下的递归求解（这里指深度搜索，宽度搜索类似）。　　反过来，我们也可以把搜索算法改写成动态规划。状态空间搜索实际上是对隐式图中的点进行枚举，这种枚举是自顶向下的。如果把枚举的顺序反过来，变成自底向上，那么就成了动态规划。（当然这里有个条件，即隐式图中的点是可排序的，详见下一节。）　　正因为动态规划和搜索有着求解顺序上的不同，这也造成了它们时间效率上的差别。在搜索中，往往会出现下面的情况：　　对于上图(a)这样几个状态构成的一个隐式图，用搜索算法就会出现重复，如上图(b)所示，状态C2被搜索了两次。在深度搜索中，这样的重复会引起以C2为根整个的整个子搜索树的重复搜索；在宽度搜索中，虽然这样的重复可以立即被排除，但是其时间代价也是不小的。而动态规划就没有这个问题，如上图(c)所示。　　一般说来，动态规划算法在时间效率上的优势是搜索无法比拟的。（当然对于某些题目，根本不会出现状态的重复，这样搜索和动态规划的速度就没有差别了。）而从理论上讲，任何拓扑有序（现实中这个条件常常可以满足）的隐式图中的搜索算法都可以改写成动态规划。但事实上，在很多情况下我们仍然不得不采用搜索算法。那么，动态规划算法在实现上还有什么障碍吗？　　考虑上图(a)所示的隐式图，其中存在两个从初始状态无法达到的状态。在搜索算法中，这样的两个状态就不被考虑了，如上图(b)所示。但是动态规划由于是自底向上求解，所以就无法估计到这一点，因而遍历了全部的状态，如上图(c)所示。　　一般说来，动态规划总要遍历所有的状态，而搜索可以排除一些无效状态。更重要的事搜索还可以剪枝，可能剪去大量不必要的状态，因此在空间开销上往往比动态规划要低很多。　　如何协调好动态规划的高效率与高消费之间的矛盾呢？有一种折衷的办法就是记忆化算法。记忆化算法在求解的时候还是按着自顶向下的顺序，但是每求解一个状态，就将它的解保存下来，以后再次遇到这个状态的时候，就不必重新求解了。这种方法综合了搜索和动态规划两方面的优点，因而还是很有实用价值的。　　§3.3动态规划与网络流　　——动态规划是易设计易实现算法　　由于图的关系复杂而无序，一般难以呈现阶段特征（除了特殊的图如多段图，或特殊的分段方法如Floyd），因此动态规划在图论中的应用不多。但有一类图，它的点却是有序的，这就是有向无环图。　　在有向无环图中，我们可以对点进行拓扑排序，使其体现出有序的特征，从而据此划分阶段。在有向无还图中求最短路径的算法[4]，已经体现出了简单的动态规划思想。但动态规划在图论中还有更有价值的应用。下面先看一个例子。　　[例6] N个人的街道问题：在街道问题（参见例3）中，若有N个人要从左下角走向右上角，要求他们走过的边的总长度最大。当然，这里每个人也只能向右或向上走。下面是一个样例，左图是从出发地到目的地的三条路径，右图是他们所走过的边，这些边的总长度为5 + 4 + 3 + 6 + 3 + 3 + 5 + 8 + 8 + 7 + 4 + 5 + 9 + 5 + 3 = 78（不一定是最大）。　　这个题目是对街道问题的又一次扩展。仿照街道问题的解题方法，我们仍然可以用动态规划来解决本题。不过这一次是N个人同时走，状态变量也就需要用N维来表示，。相应的，决策变量也要变成N维，uk=(uk,1,uk,2,…,uk,N)。状态转移方程不需要做什么改动：　　在写规划方程时，需要注意在第k阶段，N条路径所走过的边的总长度的计算，在这里我就用gk(sk,uk)来表示了：　　边界条件为　　可见将原来的动态规划算法移植到这个问题上来，在理论上还是完全可行的。但是，现在的这个动态规划算法的时空复杂度已经是关于N的指数函数，只要N稍微大一点，这个算法就不可能实现了。　　下面我们换一个思路，将N条路径看成是网络中一个流量为N的流，这样求解的目标就是使这个流的费用最大。但是本题又不同于一般的费用流问题，在每一条边e上的流费用并不是流量和边权的乘积 ，而是用下式计算：　　为了使经典的费用流算法适用于本题，我们需要将模型稍微转化一下：　　如图，将每条边拆成两条。拆开后一条边上有权，但是容量限制为1；另一条边没有容量限制，但是流过这条边就不能计算费用了。这样我们就把问题转化成了一个标准的最大费用固定流问题。　　这个算法可以套用经典的最小费用最大流算法，在此就不细说了。（参见附录中的源程序）　　这个例题是我仿照IOI97的“障碍物探测器”一题[6]编出来的。“障碍物探

订货量和再订货点，确定变量需要考虑多种因素，如需求量、成本、库存水平和服务水平。最优的订货量和再订货点，以实现最小化成本和最大化利润的目标。

线性规划无可行解是指只能得出原问题无最优解，不能推出原问题解无界。分析：线性规划无可行解是指对偶问题只能得出原问题无最优解，不能推出原问题解无界，还可能也无可行解。对于只有两个变量的简单的线性规划问题，也可采用图解法求解。这种方法仅适用于只有两个变量的线性规划问题。它的特点是直观而易于理解，但实用价值不大。通过图解法求解可以理解线性规划的一些基本概念。所建立的数学模型具有以下特点：1、每个模型都有若干个决策变量（x1，x2，x3……，xn），其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。2、目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。3、约束条件也是决策变量的线性函数。当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。

分枝定界法是由学者查理德·卡普（Richard M.Karp）在20世纪60年代发明，该方法把问题的可行解展开如树的分枝，再经由各个分枝中寻找最佳解。分枝定界法也能够使用在混合整数规划问题上，其为一种系统化的解法，一般用单纯形法解出线性规划最佳解后，将非整数值的决策变量分割成最接近的两个整数，加入原问题中，形成两个子问题(或分枝)分别求解，如此便可求得目标函数的上限（上界）或下限（下界），从而寻得最佳解。分枝定界法求解步骤如下所述：(1) 如果问题的目标为最小化，则设定最优解的值Z=∞；(2) 根据分枝法则（Branching rule），从尚未被遍历（Fathomed）且需要变为整数的节点（局部解）中选择一个节点，并在此节点的下一阶层中分为几个新的分支。一般分为两个新的分支，分别是对该节点的其中一个决策变量进行向上取整和向下取整；(3) 对每一个新分枝出来的节点验证是否满足定义域，若满足，则可以继续进行分支，否则不再考虑该分支，计算每一个新分枝出来的节点的下限值（Lower bound，LB）；(4) 判断当前分支的下限值是否小于Z值，若前者较小，则需更新Z值，以此分支为可行解的值，否则此节点不可能包含最优解；(5) 判断是否仍有尚未被遍历且需要变为整数的节点，如果有，则进行步骤（2），如果没有，则算法停止，并得到最优解。

例 求解下列0-1整数线性规划 目标函数 max f=-3x1+2x2-5x3 约束条件 x1+2x2-x3≤2， x1+4x2+x3≤4， x1+x2≤3， 4x1+x3≤6， x1，x2，x3为0或1. 在Matlab命令窗口中输入如下命令： f=[-3,2,-5]; a=[1,2,-1,;1,4,1;1,1,0;0,4,1];b=[2;4;3;6]; [x,fval]=bintprog(-f,a,b) %因为bintprog求解的为目标函数的最小值，所以要在f前面加个负号。运行结果为： Optimization terminated. x = 0 1 0 fval = -2 表示x1=0，x2=1，x3=0时，f取最大值2。 当然，我们还可以在Matlab命令窗口中输入如下命令查询0-1整数规划命令的用法。 help bintprog

智能派单模式下出租车司机时薪比抢单模式下的时薪提高50%，空驶率最多降低36%。抢单的模式注定滴滴的应答率天花板不会太高。在15年，滴滴上线快车业务，我们从抢单演进到了派单模式。乘客的应答率有了20个点以上的提升，很多时候能够全天能够高达90+，高峰&局部供需紧张应答率会相对吃紧。乘客确定性再一次得到大幅的提升，由此可见，派单模式为滴滴创造了巨大用户价值。每一个时刻，都有N个订单在被乘客创建，同时有M个司机可以被滴滴用来进行分配。滴滴能够为派单算法给出司机的实时的地理位置坐标，以及所有订单的起终点位置，并且告诉我们每一个司机接到订单的实时导航距离。

应该是可以的。多目标优化的变量空间应该是可连续或可不连续的，而遗传算法只是优化这个问题的手段，它的变量空间也有很多类型，所以你要根据你所需要处理的问题仔细分析。

u2003我们试图从优化的角度切入PCA： u2003优化问题有3要素： u2003u2003u2003 1.目标函数 : u2003u2003u2003 2.决策变量 : u2003u2003u2003 3.约束条件 : u2003这就涉及一些问题，我们的目的是什么，这点很明显可以从目标函数中看出。先看个特殊情况，如果Z已知，我们将Z投影到正交向量构成的空间中，我们的目的是让数据矩阵A与正交变换后的Z对齐。 细致看下这个特殊情况: u2003因为在上述结果的最后，前两项是已知常数；所以我们实际上是要最大化 我们可以对 做奇异值分解。即： u2003令 ;R,V,Q都是正交矩阵，所以B也是正交矩阵。所以： u2003最后一个不等式成立的原因是 是个正交矩阵，因为所有正交矩阵都是经过单位化的，所以对角线元素都小于1。等号成立的条件是 是单位矩阵且 。即： 时，我们的目标函数最小，相当于Z转一个角度能与原来矩阵对齐。而旋转变换的正交矩阵取决于 奇异值分解出的两个正交的特征向量矩阵。 这说明我们只要知道了降维后的 ，那么我们总能找到一个变换 ，使得 在变换后尽可能的还原 的信息。 u2003那么问题来了， 就是我们所要求的东西，我们不可能提前知道，那么我们怎么求满足条件,且尽可能还原 的信息的 和 呢？现在我们得直面这个优化问题了。 u2003我们可以靠 拉格朗日乘子法 将原来的 有约束 的优化问题转为 无约束 的优化问题,最后求导后找出满足条件的其中一组解就可以了。 所以 对各个决策变量求导： u2003令(1),(2),(3)导数等于0： 然而我们的目的是找出其中一个解就行，也就是找到其中一个V，所以我们将 带入(2)中： 令 ，那么： 即 可以通过对 特征分解后取前 个最大的特征值得到。这是其中一个解，也是我们想要的结果，即直接可以通过数据矩阵 的信息得出我们的正交变换 ；使得数据在保证信息尽可能完整的情况下降维。 (矩阵求导方面可以参考 这里 )

线性规划同上异下原理：在直线l：Ax+By+C=0上任取一点（x，y），过这一点做直线l1平行于l，则对于直线l1上的点（x1，y1），有x=x1，且有Ax1+By1+C-（Ax+By+C）=B（y1-y），与B同号在上，异号在下；同理与A同号在右，异号在左。模型建立从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤。1、根据影响所要达到目的的因素找到决策变量。2、由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数。3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。

控制矩阵的三个基本要素：状态变量：指可能影响决策后果的各种客观外界情况或自然状态。是不可控因素。决策变量：指决策者所采取的各种行动方案，是可控因素。概率：指各种自然状态出现的概率。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

1、这种高山流水之乐，真是人间难得几回闻。 2、高山流水讴歌道：我得到自由时便有了歌声了。 3、现在流行音乐充斥，这种乐曲恐怕是高山流水，难有人欣赏。 4、高山流水，非知音不能听。 5、白头偕老高山流水唱歌道：“我获得自由时便有了歌声”。 6、尼亚加拉高山流水位于尼亚加拉河上。 7、小王在国际钢琴大赛上夺得首奖，高山流水得遇知音，让他激动得流下眼泪。 8、我藉由我的歌声触摸天主，正如高山藉由高山流水触摸远海。 9、火车驶过时，我瞥见了高山流水。 10、西弗吉尼亚：黑水高山流水公园风景图片。 11、他的作品虽然动听，可惜高山流水，知音难觅。

1、有一天，你说凌绝生死的爱，高山流水的爱，都是幻象。2、有一种花开，夺目绚烂，可以把黑暗的夜空照亮；有一种思念，虽苦犹甜，可以把漫长的距离变短；有一种孤独，静观尘世，可以把焦躁的心情抚平；有一种境界，高山流水，可以把喧嚣的热闹拒绝。3、这种高山流水之乐，真是人间难得几回闻。4、他的作品虽然动听，可惜高山流水，知音难觅。5、伯牙抚琴高山流水余音绕梁，三月不知肉味。6、他弹奏的古典乐曲，若高山流水般美妙。7、人常说高山流水，知音难觅，这话是有一定道理的。8、西弗吉尼亚：黑水高山流水公园风景图片。9、高山流水歌唱道：我得到自由时便有了歌声了。10、火车驶过时，我瞥见了高山流水。

行云流水的意思：行云流水形容文章自然不受约束，就像漂浮着的云和流动着的水一样。成语出自宋代苏轼的《答谢民师书》：所示书教及诗赋杂文，观之熟矣；大略如行云流水，初无定质，但常行于所当行，止于不可不止。（所示教及诗赋杂文书，看来成熟了；大体上像漂浮着的云和流动着的水一样，本来没有固定的形式，而常常起于应当起的地方，只有在不可不停。）行云流水的造句：1、抛弃今天的人，不会有明天；而昨天，不过是行云流水。2、这篇文章的独到之处，在于行文如行云流水。3、这首诗写得太好了，简直如行云流水。4、这篇文章语句之流畅，如行云流水一般，清新，自然。5、这篇散文如行云流水，写得很好。6、随着师父行云流水般的开示，天色渐渐暗了下来，明月也渐升中天。6、随着师父行云流水般的开示，天色渐渐暗了下来，明月也渐升中天。7、静观行云流水，尽情释放青春活力与激情，让新时代精英们一起分享。8、删删写写，回回忆忆，虽无法行云流水，却也可碎言碎语。9、这个辩论家的口才极好，说起话来行云流水，天马行空。10、尽管对她那行云流水般富有表现力的动作持嘲笑态度的批评家大有人在，但伊莎多拉却为死板的古典舞蹈界带来了灵动性和自我表现力。

如题造句：（孤月）映照着（静静）的流水。

落花有意，流水无情，爱情应该是两厢情愿的事情。

用行云流水造句如下：1、背影处，行云流水风光霁月，柔软湿润的跳动着。2、静观行云流水，尽情释放青春活力与激情，让新时代精英们一起分享。3、青春的脚步如行云流水，青春的岁月需要常识的滋养。4、我在每天1/4到1/2的工作时间中已经达到行云流水的工作状态。5、我在工作中总是处于一种行云流水的状态。6、可以说，我的爱太狭隘了，还有一种爱是行云流水般的纯洁和平淡。7、德国崭新的，行云流水般的战术击溃了法国的军队。8、尽管对她那行云流水般富有表现力的动作持嘲笑态度的批评家大有人在，但伊莎多拉却为死板的古典舞蹈界带来了灵动性和自我表现力。9、厨房诸项如果行云流水，则我们可以更快地摆放桌子，更快地赚到更多的钱。10、如果心太累，就在路边歇歇脚，给空了的杯子里加一瓢清澈的水，给瘪了的行囊里加一点生命的干粮，听听风雨，那是你随身携带的音乐，不经意间行云流水早已把你绘成了他们的背景。11、然而前锋人选仍然让卡佩罗挠头。现在看来，伤病缠身的赫斯基可能不会出现在多哈赛场上，与鲁尼打出行云流水般的配合了。12、武打是以高效的方式进行的，精心设计的动作被行云流水般的摄像机精彩的捕捉到，比现在广为采用的快速剪辑模式或慢动作镜头要来的精巧。13、巴西足球擅长进攻，行云流水自成一格。14、美丽的语言和行云流水的文字会从根本上增加文章的可读性。15、当他更多的研究瑜珈的时候，他将动态运动练习和传统的瑜珈姿态结合起来，形成了这门姿态优雅，行云流水的瑜珈体系。

高山流水造句如下：1、这种高山流水之乐，真是人间难得几回闻。2、此刻流行音乐充斥，这种乐曲恐怕是高山流水，难有人欣赏。3、她茑语呖呖，像高山流水。4、高山流水，非知音不能听。5、白头偕老高山流水唱歌道：“我获得自由时便有了歌声”。6、他弹奏的古典乐曲，若高山流水般美妙。7、小王在国际钢琴大赛上夺得首奖，高山流水得遇知音，让他激动得流下眼泪。8、这位钢琴家演奏的乐曲，有如高山流水，听得人如痴如醉。9、火车驶过时，我瞥见了高山流水。10、音乐，寻的是一份韵律与洒脱。那是高山流水的一声轻叹，一泄千里；那是梁祝化蝶的凄哀婉转，柔情永恒；那是二泉映月的两种甘苦；那是英雄的交响曲，命运的欢乐颂……11、他的作品虽然动听，可惜高山流水，知音难觅。12、高山流水，万籁俱静，惟泉水淙淙，疑是十万八千里外，月宫嫦娥抚琴击筑，明快的乐音把人带入了神仙境界。13、父爱是一杯浓茶，当你疲惫时，只消几口便神清气爽；父爱是一曲高山流水，当你浮躁时，使你如梦方醒；父爱是一根拐杖，为你找好重心，建立起期望的原野。

六年级高山流水的造句如下：1、有一天，你说凌绝生死的爱，高山流水的爱，都是幻象。所谓幻象，并非不存在，也不是虚假，只是像雪花一样，握不到手心里。由此而引发的悲伤，也就只是雪上那层蓝色雾气了。2、有一种花开，夺目绚烂，可以把黑暗的夜空照亮；有一种思念，虽苦犹甜，可以把漫长的距离变短；有一种孤独，静观尘世，可以把焦躁的心情抚平；有一种境界，高山流水，可以把喧嚣的热闹拒绝。3、这种高山流水之乐，真是人间难得几回闻。4、他的作品虽然动听，可惜高山流水，知音难觅。5、伯牙抚琴高山流水余音绕梁，三月不知肉味。6、他弹奏的古典乐曲，若高山流水般美妙。7、人常说高山流水，知音难觅，这话是有一定道理的。8、西弗吉尼亚：黑水高山流水公园风景图片。9、高山流水歌唱道：我得到自由时便有了歌声了。10、火车驶过时，我瞥见了高山流水。11、我但愿有朝一日去看看尼亚加拉高山流水。12、尼亚加拉高山流水位于尼亚加拉河上。13、她茑语呖呖，像高山流水。14、人去堂空朝雨暮云难见影，琴调弦绝高山流水少知音。15、高山流水诗千首，明月清风茶一壶。

01、她茑语呖呖，像高山流水。02、高山流水，非知音不能听。03、她莺语呖呖，好像高山流水。04、火车驶过时，我瞥见了高山流水。05、于是我把这曲称为《高山流水》。06、暮云春树千里路,高山流水是故交。07、他的演奏有如高山流水，美妙动听。08、高山流水诗千首，明月清风茶一壶。09、月上瓜洲酌淡酒，高山流水遇知音。10、后用“高山流水”比喻知音或知己。11、高山流水向何处，无情落花任追逐。12、汉宫秋月,高山流水,寒鸦戏水,诸宫调.13、伯牙抚琴高山流水余音绕梁，三月不知肉味。14、他弹奏的古典乐曲，若高山流水般美妙。15、这种高山流水之乐，真是人间难得几回闻。