matlab mincx求解器里面的决策变量怎么确定

决策变量不小于零的原因是决策变量由生产量、利率决定，生产量、利率不可能是负数。线性规划是为了解决经济模型的,代表的都是原材料,工时等,所以要限制为非负数.并不代表单纯性法不能解决其他问题。用线性规划解决实际问题时，一般如生产量、利率等变量都不可能是负数，因此决策变量一般都要限制为大于等于0。所以，决策变量不小于零。

-inf表示。如果某个变量无下界，则用-inf表示；如果某个变量无上界，则用inf表示，若决策变量无下界，则lb用[]代替；若决策变量无上界，则ub用[]代替。决策变量在进行科学实验的概念，是指那些除了实验因素(自变量)以外的所有影响实验结果的变量，这些变量不是本实验所要研究的变量，所以又称无关变量、无关因子、非实验因素或非实验因子。

地下水资源管理的线性规划问题，通常可分为两大类：一类是从社会效益或环境效益出发，即在一定水文地质条件下，寻找供水或排水工程的最佳方案；另一类是从经济效益出发，在满足供、排水工程规划的情况下，寻求完成此工程经济效益最高或成本最低的方案。线性规划问题包括三个要素：（1）决策变量。根据已知条件及所要求的问题，用一组变量x1，x2，…，xn来表示，这些变量称为决策变量，取值要求为非负。（2）目标函数。一个问题都有一个明确的目标，以决策变量的线性函数表示，称为目标函数，它是衡量决策方案优劣的准则。这种准则可用物理量（如水位，水量、水温、水质等）或经济指标（如利润、成本等）来衡量。（3）约束条件。每一个问题都有一定的限制条件，这些条件称为约束条件。它是用一组线性等式或不等式来表示的，其变量与目标函数变量必须是有机联系或者一致的。因为目标函数和约束方程都是决策变量的线性表达式，所以这类模型称为线性规划模型。线性规划的数学模型可表示为：目标函数华北煤田排水供水环保结合优化管理约束条件华北煤田排水供水环保结合优化管理式中：Z为目标函数值；n为决策变量数；m为约束方程数；ai，j为结构系数；cj为价值系数；bi为常数项。

小栋，呵呵~这是答案喽动态规划是编程解题的一种重要的手段，在如今的信息学竞赛中被应用得越来越普遍。最近几年的信息学竞赛，不分大小，几乎每次都要考察到这方面的内容。因此，如何更深入地了解动态规划，从而更为有效地运用这个解题的有力武器，是一个值得深入研究的问题。要掌握动态规划的应用技巧，就要了解它的各方面的特点。首要的，是要深入洞悉动态规划的本质。§1动态规划的本质动态规划是在本世纪50年代初，为了解决一类多阶段决策问题而诞生的。那么，什么样的问题被称作多阶段决策问题呢？§1.1多阶段决策问题说到多阶段决策问题，人们很容易举出下面这个例子。[例1] 多段图中的最短路径问题：在下图中找出从A1到D1的最短路径。仔细观察这个图不难发现，它有一个特点。我们将图中的点分为四类（图中的A、B、C、D），那么图中所有的边都处于相邻的两类点之间，并且都从前一类点指向后一类点。这样，图中的边就被分成了三类（A81B、B81C、C81D）。我们需要从每一类中选出一条边来，组成从A1到D1的一条路径，并且这条路径是所有这样的路径中的最短者。从上面的这个例子中，我们可以大概地了解到什么是多阶段决策问题。更精确的定义如下：多阶段决策过程，是指这样的一类特殊的活动过程，问题可以按时间顺序分解成若干相互联系的阶段，在每一个阶段都要做出决策，全部过程的决策是一个决策序列[1]。要使整个活动的总体效果达到最优的问题，称为多阶段决策问题。从上述的定义中，我们可以明显地看出，这类问题有两个要素。一个是阶段，一个是决策。§1.2阶段与状态阶段：将所给问题的过程，按时间或空间特征分解成若干相互联系的阶段，以便按次序去求每阶段的解。常用字母k表示阶段变量。[1]阶段是问题的属性。多阶段决策问题中通常存在着若干个阶段，如上面的例子，就有A、B、C、D这四个阶段。在一般情况下，阶段是和时间有关的；但是在很多问题（我的感觉，特别是信息学问题）中，阶段和时间是无关的。从阶段的定义中，可以看出阶段的两个特点，一是“相互联系”，二是“次序”。阶段之间是怎样相互联系的？就是通过状态和状态转移。状态：各阶段开始时的客观条件叫做状态。描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用sk表示第k阶段的状态变量，状态变量sk的取值集合称为状态集合，用Sk表示。[1]状态是阶段的属性。每个阶段通常包含若干个状态，用以描述问题发展到这个阶段时所处在的一种客观情况。在上面的例子中，行人从出发点A1走过两个阶段之后，可能出现的情况有三种，即处于C1、C2或C3点。那么第三个阶段就有三个状态S3={C1,C2,C3}。每个阶段的状态都是由以前阶段的状态以某种方式“变化”而来，这种“变化”称为状态转移（暂不定义）。上例中C3点可以从B1点过来，也可以从B2点过来，从阶段2的B1或B2状态走到阶段3的C3状态就是状态转移。状态转移是导出状态的途径，也是联系各阶段的途径。说到这里，可以提出应用动态规划的一个重要条件。那就是将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的发展，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是“过去历史的一个完整总结[1]”。这就是无后效性。对这个性质，下文还将会有解释。§1.3决策和策略上面的阶段与状态只是多阶段决策问题的一个方面的要素，下面是另一个方面的要素——决策。决策：当各段的状态取定以后，就可以做出不同的决定，从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策。表示决策的变量，称为决策变量，常用uk(sk)表示第k阶段当状态为sk时的决策变量。在实际问题中，决策变量的取值往往限制在一定范围内，我们称此范围为允许决策集合。常用Dk(sk)表示第k阶段从状态sk出发的允许决策集合。显然有uk(sk) 83Dk(sk)。[1]决策是问题的解的属性。决策的目的就是“确定下一阶段的状态”，还是回到上例，从阶段2的B1状态出发有三条路，也就是三个决策，分别导向阶段3的C1、C2、C3三个状态，即D2(B1)={C1,C2,C3}。有了决策，我们可以定义状态转移：动态规划中本阶段的状态往往是上一阶段和上一阶段的决策结果，由第k段的状态sk和本阶段的决策uk确定第k+1段的状态sk+1的过程叫状态转移。状态转移规律的形式化表示sk+1=Tk(sk,uk)称为状态转移方程。这样看来，似乎决策和状态转移有着某种联系。我的理解，状态转移是决策的目的，决策是状态转移的途径。各段决策确定后，整个问题的决策序列就构成一个策略，用p1,n={u1(s1),u2(s2),…, un(sn)}表示。对每个实际问题，可供选择的策略有一定范围，称为允许策略集合，记作P1,n，使整个问题达到最有效果的策略就是最优策略。[1]说到这里，又可以提出运用动态规划的一个前提。即这个过程的最优策略应具有这样的性质：无论初始状态及初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言，其以后的所有决策应构成最优策略[1]。这就是最优化原理。简言之，就是“最优策略的子策略也是最优策略”。§1.4最优化原理与无后效性这里，我把最优化原理定位在“运用动态规划的前提”。这是因为，是否符合最优化原理是一个问题的本质特征。对于不满足最优化原理的一个多阶段决策问题，整体上的最优策略p1,n同任何一个阶段k上的决策uk或任何一组阶段k1…k2上的子策略pk1,k2都不存在任何关系。如果要对这样的问题动态规划的话，我们从一开始所作的划分阶段等努力都将是徒劳的。而我把无后效性定位在“应用动态规划的条件”，是因为动态规划是按次序去求每阶段的解，如果一个问题有后效性，那么这样的次序便是不合理的。但是，我们可以通过重新划分阶段，重新选定状态，或者增加状态变量的个数等手段，来是问题满足无后效性这个条件。说到底，还是要确定一个“序”。在信息学的多阶段决策问题中，绝大部分都是能够满足最优化原理的，但它们往往会在后效性这一点上来设置障碍。所以在解题过程中，我们会特别关心“序”。对于有序的问题，就会考虑到动态规划；对于无序的问题，也会想方设法来使其有序。§1.5最优指标函数和规划方程最优指标函数：用于衡量所选定策略优劣的数量指标称为指标函数，最优指标函数记为fk(sk)，它表示从第k段状态sk采用最优策略p*k,n到过程终止时的最佳效益值[1]。最优指标函数其实就是我们真正关心的问题的解。在上面的例子中，f2(B1)就表示从B1点到终点D1点的最短路径长度。我们求解的最终目标就是f1(A1)。最优指标函数的求法一般是一个从目标状态出发的递推公式，称为规划方程：其中sk是第k段的某个状态，uk是从sk出发的允许决策集合Dk(sk)中的一个决策，Tk(sk,uk)是由sk和uk所导出的第k+1段的某个状态sk+1，g(x,uk)是定义在数值x和决策uk上的一个函数，而函数opt表示最优化，根据具体问题分别表为max或min。 ，称为边界条件。上例中的规划方程就是：边界条件为 这里是一种从目标状态往回推的逆序求法，适用于目标状态确定的问题。在我们的信息学问题中，也有很多有着确定的初始状态。当然，对于初始状态确定的问题，我们也可以采用从初始状态出发往前推的顺序求法。事实上，这种方法对我们来说要更为直观、更易设计一些，从而更多地出现在我们的解题过程中。我们本节所讨论的这些理论虽然不是本文的主旨，但是却对下面要说的动态规划的特点起着基础性的作用。§2动态规划的设计与实现上面我们讨论了动态规划的一些理论，本节我们将通过几个例子中，动态规划的设计与实现，来了解动态规划的一些特点。§2.1动态规划的多样性[例2] 花店橱窗布置问题（IOI99）试题见附录本题虽然是本届IOI中较为简单的一题，但其中大有文章可作。说它简单，是因为它有序，因此我们一眼便可看出这题应该用动态规划来解决。但是，如何动态规划呢？如何划分阶段，又如何选择状态呢？<方法1>以花束的数目来划分阶段。在这里，阶段变量k表示的就是要布置的花束数目（前k束花），状态变量sk表示第k束花所在的花瓶。而对于每一个状态sk，决策就是第k-1束花应该放在哪个花瓶，用uk表示。最优指标函数fk(sk)表示前k束花，其中第k束插在第sk个花瓶中，所能取得的最大美学值。状态转移方程为 规划方程为 （其中A(i,j)是花束i插在花瓶j中的美学值）边界条件 （V是花瓶总数，事实上这是一个虚拟的边界）<方法2>以花瓶的数目来划分阶段。在这里阶段变量k表示的是要占用的花瓶数目（前k个花瓶），状态变量sk表示前k个花瓶中放了多少花。而对于任意一个状态sk，决策就是第sk束花是否放在第k个花瓶中，用变量uk=1或0来表示。最优指标函数fk(sk)表示前k个花瓶中插了sk束花，所能取得的最大美学值。状态转移方程为 规划方程为 边界条件为 两种划分阶段的方法，引出了两种状态表示法，两种规划方式，但是却都成功地解决了问题。只不过因为决策的选择有多有少，所以算法的时间复杂度也就不同。[2]这个例子具有很大的普遍性。有很多的多阶段决策问题都有着不止一种的阶段划分方法，因而往往就有不止一种的规划方法。有时各种方法所产生的效果是差不多的，但更多的时候，就像我们的例子一样，两种方法会在某个方面有些区别。所以，在用动态规划解题的时候，可以多想一想是否有其它的解法。对于不同的解法，要注意比较，好的算法好在哪里，差一点的算法差在哪里。从各种不同算法的比较中，我们可以更深刻地领会动态规划的构思技巧。§2.2动态规划的模式性这个可能做过动态规划的人都有体会，从我们上面对动态规划的分析也可以看出来。动态规划的设计都有着一定的模式，一般要经历以下几个步骤。划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。注意这若干个阶段一定要是有序的或者是可排序的，否则问题就无法求解。选择状态：将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态表示出来。当然，状态的选择要满足无后效性。确定决策并写出状态转移方程：之所以把这两步放在一起，是因为决策和状态转移有着天然的联系，状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。所以，如果我们确定了决策，状态转移方程也就写出来了。但事实上，我们常常是反过来做，根据相邻两段的各状态之间的关系来确定决策。写出规划方程（包括边界条件）：在第一部分中，我们已经给出了规划方程的通用形式化表达式。一般说来，只要阶段、状态、决策和状态转移确定了，这一步还是比较简单的。动态规划的主要难点在于理论上的设计，一旦设计完成，实现部分就会非常简单。大体上的框架如下：对f1(s1)初始化（边界条件）for k802 to n（这里以顺序求解为例） 对每一个sk83Sk fk(sk)80一个极值（∞或－∞） 对每一个uk(sk)83Dk(sk) sk-180Tk(sk,uk) t80g(fk-1(sk-1),uk) y t比fk(sk)更优 n fk(sk)80t 输出fn(sn)这个N-S图虽然不能代表全部，但足可以概括大多数。少数的一些特殊的动态规划，其实现的原理也是类似，可以类比出来。我们到现在对动态规划的分析，主要是在理论上、设计上，原因也就在此。掌握了动态规划的模式性，我们在用动态规划解题时就可以把主要的精力放在理论上的设计。一旦设计成熟，问题也就基本上解决了。而且在设计算法时也可以按部就班地来。但是“物极必反”，太过拘泥于模式就会限制我们的思维，扼杀优良算法思想的产生。我们在解题时，不妨发挥一下创造性，去突破动态规划的实现模式，这样往往会收到意想不到的效果。[3]§2.3动态规划的技巧性上面我们所说的动态规划的模式性，主要指的是实现方面。而在设计方面，虽然它较为严格的步骤性，但是它的设计思想却是没有一定的规律可循的。这就需要我们不断地在实践当中去掌握动态规划的技巧，下面仅就一个例子谈一点我自己的体会。[例3] 街道问题：在下图中找出从左下角到右上角的最短路径，每步只能向右方或上方走。这是一道简单而又典型的动态规划题，许多介绍动态规划的书与文章中都拿它来做例子。通常，书上的解答是这样的：按照图中的虚线来划分阶段，即阶段变量k表示走过的步数，而状态变量sk表示当前处于这一阶段上的哪一点（各点所对应的阶段和状态已经用ks在地图上标明）。这时的模型实际上已经转化成了一个特殊的多段图。用决策变量uk=0表示向右走，uk=1表示向上走，则状态转移方程如下：（这里的row是地图竖直方向的行数）我们看到，这个状态转移方程需要根据k的取值分两种情况讨论，显得非常麻烦。相应的，把它代入规划方程而付诸实现时，算法也很繁。因而我们在实现时，一般是不会这么做的，而代之以下面方法：将地图中的点规则地编号如上，得到的规划方程如下：（这里Distance表示相邻两点间的边长）这样做确实要比上面的方法简单多了，但是它已经破坏了动态规划的本来面目，而不存在明确的阶段特征了。如果说这种方法是以地图中的行（A、B、C、D）来划分阶段的话，那么它的“状态转移”就不全是在两个阶段之间进行的了。也许这没什么大不了的，因为实践比理论更有说服力。但是，如果我们把题目扩展一下：在地图中找出从左下角到右上角的两条路径，两条路径中的任何一条边都不能重叠，并且要求两条路径的总长度最短。这时，再用这种“简单”的方法就不太好办了。如果非得套用这种方法的话，则最优指标函数就需要有四维的下标，并且难以处理两条路径“不能重叠”的问题。而我们回到原先“标准”的动态规划法，就会发现这个问题很好解决，只需要加一维状态变量就成了。即用sk=(ak,bk)分别表示两条路径走到阶段k时所处的位置，相应的，决策变量也增加一维，用uk=(xk,yk)分别表示两条路径的行走方向。状态转移时将两条路径分别考虑：在写规划方程时，只要对两条路径走到同一个点的情况稍微处理一下，减少可选的决策个数：从这个例子中可以总结出设计动态规划算法的一个技巧：状态转移一般是在相邻的两个阶段之间（有时也可以在不相邻的两个阶段间），但是尽量不要在同一个阶段内进行。动态规划是一种很灵活的解题方法，在动态规划算法的设计中，类似的技巧还有很多。要掌握动态规划的技巧，有两条途径：一是要深刻理解动态规划的本质，这也是我们为什么一开始就探讨它的本质的原因；二是要多实践，不但要多解题，还要学会从解题中探寻规律，总结技巧。§3动态规划与一些算法的比较动态规划作为诸多解题方法中的一种，必然和其他一些算法有着诸多联系。从这些联系中，我们也可以看出动态规划的一些特点。§3.1动态规划与递推——动态规划是最优化算法由于动态规划的“名气”如此之大，以至于很多人甚至一些资料书上都往往把一种与动态规划十分相似的算法，当作是动态规划。这种算法就是递推。实际上，这两种算法还是很容易区分的。按解题的目标来分，信息学试题主要分四类：判定性问题、构造性问题、计数问题和最优化问题。我们在竞赛中碰到的大多是最优化问题，而动态规划正是解决最优化问题的有力武器，因此动态规划在竞赛中的地位日益提高。而递推法在处理判定性问题和计数问题方面也是一把利器。下面分别就两个例子，谈一下递推法和动态规划在这两个方面的联系。[例4] mod 4 最优路径问题：在下图中找出从第1点到第4点的一条路径，要求路径长度mod 4的余数最小。这个图是一个多段图，而且是一个特殊的多段图。虽然这个图的形式比一般的多段图要简单，但是这个最优路径问题却不能用动态规划来做。因为一条从第1点到第4点的最优路径，在它走到第2点、第3点时，路径长度mod 4的余数不一定是最小，也就是说最优策略的子策略不一定最优——这个问题不满足最优化原理。但是我们可以把它转换成判定性问题，用递推法来解决。判断从第1点到第k点的长度mod 4为sk的路径是否存在，用fk(sk)来表示，则递推公式如下： （边界条件）（这里lenk,i表示从第k-1点到第k点之间的第i条边的长度，方括号表示“或(or)”运算）最后的结果就是可以使f4(s4)值为真的最小的s4值。这个递推法的递推公式和动态规划的规划方程非常相似，我们在这里借用了动态规划的符号也就是为了更清楚地显示这一点。其实它们的思想也是非常相像的，可以说是递推法借用了动态规划的思想解决了动态规划不能解决的问题。有的多阶段决策问题（像这一题的阶段特征就很明显），由于不能满足最优化原理等使用动态规划的先决条件，而无法应用动态规划。在这时可以将最优指标函数的值当作“状态”放到下标中去，从而变最优化问题为判定性问题，再借用动态规划的思想，用递推法来解决问题。[例5] 钉子与小球（NOI99）试题见附录这个题目一看就不觉让人想起一道经典的动态规划题。下面先让我们回顾一下这个问题。数字三角形（IOI94）在下图中求从顶至低某处的一条路径，使该路径所经过的数字的总和最大，每一步只能向左下或右下走。73 88 1 02 7 4 44 5 2 6 5在这个问题中，我们按走过的行数来划分阶段，以走到每一行时所在的位置来作为状态，决策就是向左下走（用0表示）或向右下走（用1表示）。状态转移方程： 规划方程： 边界条件： 这是一个比较简单的最优化问题，我们还可以把这个问题改成一个更加简单的整数统计问题：求顶点到每一点的路径总数。把这个总数用fk(sk)表示，那么递推公式就是：在这里，虽然求和公式只有两项，但我们仍然用∑的形式表示，就是为了突出这个递推公式和上面的规划方程的相似之处。这两个公式的边界条件都是一模一样的。再回到我们上面的“钉子与小球”问题，这是一个概率统计问题。我们继续沿用上面的思想，用fk(sk)表示小球落到第k行第sk个钉子上的概率，则递推公式如下：（这里函数Existk(sk)表示第k行第sk个钉子是否存在，存在则取1，不存在则取0）边界条件 可以看出这个公式较之上面的两个式子虽然略有变化，但是其基本思想还是类似的。在解这个问题的过程中，我们再次运用了动态规划的思想。一般说来，很多最优化问题都有着对应的计数问题；反过来，很多计数问题也有着对应的最优化问题。因此，我们在遇到这两类问题时，不妨多联系、多发展，举一反三，从比较中更深入地理解动态规划的思想。其实递推和动态规划这两种方法的思想本来就很相似，也不必说是谁借用了谁的思想。关键在于我们要掌握这种思想，这样我们无论在用动态规划法解最优化问题，或是在用递推法解判定型、计数问题时，都能得心应手、游刃有余了。§3.2动态规划与搜索——动态规划是高效率、高消费算法同样是解决最优化问题，有的题目我们采用动态规划，而有的题目我们则需要用搜索。这其中有没有什么规则呢？我们知道，撇开时空效率的因素不谈，在解决最优化问题的算法中，搜索可以说是“万能”的。所以动态规划可以解决的问题，搜索也一定可以解决。把一个动态规划算法改写成搜索是非常方便的，状态转移方程、规划方程以及边界条件都可以直接“移植”，所不同的只是求解顺序。动态规划是自底向上的递推求解，而搜索则是自顶向下的递归求解（这里指深度搜索，宽度搜索类似）。反过来，我们也可以把搜索算法改写成动态规划。状态空间搜索实际上是对隐式图中的点进行枚举，这种枚举是自顶向下的。如果把枚举的顺序反过来，变成自底向上，那么就成了动态规划。（当然这里有个条件，即隐式图中的点是可排序的，详见下一节。）正因为动态规划和搜索有着求解顺序上的不同，这也造成了它们时间效率上的差别。在搜索中，往往会出现下面的情况：对于上图(a)这样几个状态构成的一个隐式图，用搜索算法就会出现重复，如上图(b)所示，状态C2被搜索了两次。在深度搜索中，这样的重复会引起以C2为根整个的整个子搜索树的重复搜索；在宽度搜索中，虽然这样的重复可以立即被排除，但是其时间代价也是不小的。而动态规划就没有这个问题，如上图(c)所示。一般说来，动态规划算法在时间效率上的优势是搜索无法比拟的。（当然对于某些题目，根本不会出现状态的重复，这样搜索和动态规划的速度就没有差别了。）而从理论上讲，任何拓扑有序（现实中这个条件常常可以满足）的隐式图中的搜索算法都可以改写成动态规划。但事实上，在很多情况下我们仍然不得不采用搜索算法。那么，动态规划算法在实现上还有什么障碍吗？考虑上图(a)所示的隐式图，其中存在两个从初始状态无法达到的状态。在搜索算法中，这样的两个状态就不被考虑了，如上图(b)所示。但是动态规划由于是自底向上求解，所以就无法估计到这一点，因而遍历了全部的状态，如上图(c)所示。一般说来，动态规划总要遍历所有的状态，而搜索可以排除一些无效状态。更重要的事搜索还可以剪枝，可能剪去大量不必要的状态，因此在空间开销上往往比动态规划要低很多。如何协调好动态规划的高效率与高消费之间的矛盾呢？有一种折衷的办法就是记忆化算法。记忆化算法在求解的时候还是按着自顶向下的顺序，但是每求解一个状态，就将它的解保存下来，以后再次遇到这个状态的时候，就不必重新求解了。这种方法综合了搜索和动态规划两方面的优点，因而还是很有实用价值的。§3.3动态规划与网络流——动态规划是易设计易实现算法由于图的关系复杂而无序，一般难以呈现阶段特征（除了特殊的图如多段图，或特殊的分段方法如Floyd），因此动态规划在图论中的应用不多。但有一类图，它的点却是有序的，这就是有向无环图。在有向无环图中，我们可以对点进行拓扑排序，使其体现出有序的特征，从而据此划分阶段。在有向无还图中求最短路径的算法[4]，已经体现出了简单的动态规划思想。但动态规划在图论中还有更有价值的应用。下面先看一个例子。[例6] N个人的街道问题：在街道问题（参见例3）中，若有N个人要从左下角走向右上角，要求他们走过的边的总长度最大。当然，这里每个人也只能向右或向上走。下面是一个样例，左图是从出发地到目的地的三条路径，右图是他们所走过的边，这些边的总长度为5 + 4 + 3 + 6 + 3 + 3 + 5 + 8 + 8 + 7 + 4 + 5 + 9 + 5 + 3 = 78（不一定是最大）。这个题目是对街道问题的又一次扩展。仿照街道问题的解题方法，我们仍然可以用动态规划来解决本题。不过这一次是N个人同时走，状态变量也就需要用N维来表示，。相应的，决策变量也要变成N维，uk=(uk,1,uk,2,…,uk,N)。状态转移方程不需要做什么改动：在写规划方程时，需要注意在第k阶段，N条路径所走过的边的总长度的计算，在这里我就用gk(sk,uk)来表示了：边界条件为 可见将原来的动态规划算法移植到这个问题上来，在理论上还是完全可行的。但是，现在的这个动态规划算法的时空复杂度已经是关于N的指数函数，只要N稍微大一点，这个算法就不可能实现了。下面我们换一个思路，将N条路径看成是网络中一个流量为N的流，这样求解的目标就是使这个流的费用最大。但是本题又不同于一般的费用流问题，在每一条边e上的流费用并不是流量和边权的乘积 ，而是用下式计算：为了使经典的费用流算法适用于本题，我们需要将模型稍微转化一下：如图，将每条边拆成两条。拆开后一条边上有权，但是容量限制为1；另一条边没有容量限制，但是流过这条边就不能计算费用了。这样我们就把问题转化成了一个标准的最大费用固定流问题。这个算法可以套用经典的最小费用最大流算法，在此就不细说了。（参见附录中的源程序）这个例题是我仿照IOI97的“障碍物探测器”一题[6]编出来的。“障碍物探

规划求解对决策变量有限制，Excel里面，有一个很有用，但是很少被大家重视的功能：规划求解。规划求解是MicrosoftExcel加载项程序，可用于模拟分析。使用规划求解查找一个单元格（称为目标单元格）中公式的优化（最大或最小）值，受限或受制于工作表上其他公式单元格的值。规划求解与一组用于计算目标和约束单元格中公式的单元格（称为决策变量或变量单元格）一起工作。规划求解调整决策变量单元格中的值以满足约束单元格上的限制，并产生你对目标单元格期望的结果。

线性规划的标准形限制：约束条件都是等式；等式约束的右端项为非负的常数；每个变量都要求取非负数值。线性规划规划模型的表示形式有多种，但为研究分析方便，本教材确定如下形式为线性规划模型的标准型，其他类型的问题，例如极小化问题，不同形式的约束问题，和有负变量的问题，都可以改写成其等价问题的标准型。模型建立从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；1、根据影响所要达到目的的因素找到决策变量。2、由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数。3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。

对偶问题的约束条件对应原问题的决策变量：(1)原问题的决策变量xj≤0,对偶问题的约束条件方向与标准问题的不等号(min ≥,max ≤)的相反。(2)原问题的决策变量xj≥0,对偶问题的约束条件方向为标准问题的不等号(min≥ ,max ≤)。研究运筹学的基础知识包括实分析、矩阵论、随机过程、离散数学和算法基础等。而在应用方面，多与仓储、物流、算法等领域相关。因此运筹学与应用数学、工业工程、计算机科学、经济管理等专业相关。扩展资料：学科特点：运筹学已被广泛应用于工商企业、军事部门、民政事业等研究组织内的统筹协调问题，故其应用不受行业、部门之限制；运筹学既对各种经营进行创造性的科学研究，又涉及到组织的实际管理问题，它具有很强的实践性，最终应能向决策者提供建设性意见，并应收到实效；它以整体最优为目标，从系统的观点出发，力图以整个系统最佳的方式来解决该系统各部门之间的利害冲突。对所研究的问题求出最优解，寻求最佳的行动方案，所以它也可看成是一门优化技术，提供的是解决各类问题的优化方法。参考资料来源：百度百科-运筹学

通常采用算法实验之线性规划解决配料问题。控制变量法是指控制其他因素不变，集中研究其中一个因素的变化，保证实验不受干扰或将干扰因素降低到最低程度。包括严格地操纵实验变量，以获取反应变量，还要严格地均衡无关变量，以消除额外变量干扰。一句话，通过实验控制，尽量消除实验误差，以取得较为精确的实验结果。配料表是对食品进行营养信息和特性的说明，大家可以通过饮料的配料表了解营养成分和特征，正确的选择适合自己需要的饮料。另一方面，食品企业通过配料表进行正确标注，避免夸大宣传，同时也保护了消费者的知情权。

决策变量无约束使用数据的四分位数进行标准化处理。根据相关资料查询，使用四分位数进行标准化，只取25%分位数到75%分位数的数据做缩放，在一定程度上减少了异常值对数据分析造成的影响，使得分析结果更加合理。

具体原因如下:变量一般是目标函数.把目标函数看做函数，找最优解就行了.变量函数一般是画成可行域来由目标函数求最优解的.线性规划法就是在线性等式或不等式的约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值的方法。其中目标函数是决策者要求达到目标的数学表达式，用一个极大或极小值表示。约束条件是指实现目标的能力资源和内部条件的限制因素，用一组等式或不等式来表示.

对偶问题的约束条件对应原问题的决策变量：(1)原问题的决策变量xj≥0,对偶问题的约束条件方向为标准问题的不等号(min≥ ,max ≤)(2)原问题的决策变量xj≤0,对偶问题的约束条件方向与标准问题的不等号(min ≥,max ≤)的相反(3)原问题的决策变量,无约束,对偶问题的约束条件为等式maxz=x1+2x2+3x3 x1+x2+x3≤2x1+4x2+x3≥ 62x1+x2+x3=3x1≥0,x2≤0,x3无约束 对偶为:minw=2y1+6y2+3y3y1+y2+2y3≥1y1+4y2+y3≤2y1+y2+y3=3y1≥0,y2≤0,y3无约束

机会约束规划的解法大致有两种。其一，将机会约束规划转化为确定性规划，然后用确定性规划的理论去解决；其二，通过随机模拟技术处理机会约束条件，并利用遗传算法的优胜劣汰，得到机会约束规划的目标函数最优值和决策变量最优解集。机会约束规划的目标函数最优值及决策变量的最优解集与模型中的随机系数有关，因而具有随机性。从数理统计的角度看，对这种随机的目标函数最优值以及决策变量的最优解集可以作出某种置信水平的区间估计。衡量区间估计的精度的一个重要指标是估计区间的长度，估计区间长度越小，估计精度就越大；反之，估计区间长度越大，估计精度就越小。

编程时可以使用整数规划（Integer Programming）算法来处理决策变量为正整数的问题。其中，线性整数规划（Mixed Integer Linear Programming，简称MILP）是一种常见的方法。在使用MILP求解时，需要引入额外的约束条件，例如将所有决策变量限定为整数或者钦定某些变量为整数。一些优秀的商业和开源求解器如CPLEX、Gurobi和GLPK都支持整数规划建模和求解。

目标函数 objective function约束条件 constraints决策变量 decision variable最优化问题 optimization problem

　　线性规划模型的优点：有统一算法，任何线性规划问题都能求解。　　　　线性规划模型的缺点：只能处理线性关系的情形。

3. 下列叙述中,不属于目标规划模型图解法解题步骤的...D. 20个决策变量 满分:8 分5. 任务分配问题有(...2. 指派问题最优解有这样的性质,若从系数矩阵(cij...

线性规划问题的数学模型的一般形式　　（1）列出约束条件及目标函数 　　（2）画出约束条件所表示的可行域 　　（3）在可行域内求目标函数的最优解 [编辑本段]线性规划的发展　　法国数学家 J.- B.- J.傅里叶和 C.瓦莱－普森分别于1832和1911年独立地提出线性规划的想法，但未引起注意。 　　1939年苏联数学家Л.В.康托罗维奇在《生产组织与计划中的数学方法》一书中提出线性规划问题，也未引起重视。 　　1947年美国数学家G.B.丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法──单纯形法，为这门学科奠定了基础。 　　1947年美国数学家J.von诺伊曼提出对偶理论,开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。 　　1951年美国经济学家T.C.库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此与康托罗维奇一起获1975年诺贝尔经济学奖。 　　50年代后对线性规划进行大量的理论研究，并涌现出一大批新的算法。例如，1954年C.莱姆基提出对偶单纯形法，1954年S.加斯和T.萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题，1956年A.塔克提出互补松弛定理，1960年G.B.丹齐克和P.沃尔夫提出分解算法等。 　　线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究。由于数字电子计算机的发展，出现了许多线性规划软件，如MPSX，OPHEIE，UMPIRE等，可以很方便地求解几千个变量的线性规划问题。 　　1979年苏联数学家L. G. Khachian提出解线性规划问题的椭球算法，并证明它是多项式时间算法。 　　1984年美国贝尔电话实验室的印度数学家N.卡马卡提出解线性规划问题的新的多项式时间算法。用这种方法求解线性规划问题在变量个数为5000时只要单纯形法所用时间的1/50。现已形成线性规划多项式算法理论。50年代后线性规划的应用范围不断扩大。 建立线性规划模型的方法 [编辑本段]线性规划的模型建立　　从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤； 　　1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量； 　　2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数； 　　3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。 　　所建立的数学模型具有以下特点： 　　1、每个模型都有若干个决策变量（x1,x2,x3……，xn），其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般式非负的。 　　2、目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。 　　3、约束条件也是决策变量的线性函数。 　　当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。 　　例： 　　生产安排模型：某工厂要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表所示，表中右边一列是每日设备能力及原材料供应的限量，该工厂生产一单位产品Ⅰ可获利2元，生产一单位产品Ⅱ可获利3元，问应如何安排生产，使其获得最多？ 　　解： 　　1、确定决策变量：设x1、x2为产品Ⅰ、Ⅱ的生产数量； 　　2、明确目标函数：获利最大，即求2x1+3x2最大值； 　　3、所满足的约束条件： 　　设备限制：x1+2x2≤8 　　原材料A限制：4x1≤16 　　原材料B限制：4x2≤12 　　基本要求：x1,x2≥0 　　用max代替最大值，s.t.（subject to 的简写）代替约束条件，则该模型可记为： 　　max z=2x1+3x2 　　s.t. x1+2x2≤8 　　4x1≤16 　　4x2≤12 　　x1,x2≥0 [编辑本段]线性规划的解法　　求解线性规划问题的基本方法是单纯形法，现在已有单纯形法的标准软件，可在电子计算机上求解约束条件和决策变量数达 10000个以上的线性规划问题。为了提高解题速度，又有改进单纯形法、对偶单纯形法、原始对偶方法、分解算法和各种多项式时间算法。对于只有两个变量的简单的线性规划问题，也可采用图解法求解。这种方法仅适用于只有两个变量的线性规划问题。它的特点是直观而易于理解，但实用价值不大。通过图解法求解可以理解线性规划的一些基本概念。 　　对于一般线性规划问题： 　　Min z=CX 　　S.T. 　　AX =b 　　X>=0 　　其中A为一个m*n矩阵。 　　若A行满秩 　　则可以找到基矩阵B，并寻找初始基解。 　　用N表示对应于B的非基矩阵。则规划问题1可化为： 　　规划问题2： 　　Min z=CB XB+CNXN 　　S.T. 　　B XB+N XN = b (1) 　　XB >= 0, XN >= 0 (2) 　　(1)两边同乘于B-1，得 　　XB + B-1 N XN = B-1 b 　　同时，由上式得XB = B-1 b - B-1 N XN，也代入目标函数，问题可以继续化为： 　　规划问题3： 　　Min z=CB B-1 b + ( CN - CB B-1 N ) XN 　　S.T. 　　XB+B-1N XN = B-1 b (1) 　　XB >= 0, XN >= 0 (2) 　　令N:=B-1N，b:= B-1 b，ζ= CB B-1b，σ= CN - CB B-1 N，则上述问题化为规划问题形式4： 　　Min z= ζ + σ XN 　　S.T. 　　XB+ N XN = b (1) 　　XB >= 0, XN >= 0 (2) 　　在上述变换中，若能找到规划问题形式4，使得b>=0，称该形式为初始基解形式。 　　上述的变换相当于对整个扩展矩阵（包含C及A） 乘以增广矩阵 。所以重在选择B，从而找出对应的CB。 　　若存在初始基解 　　若σ>= 0 　　则z >=ζ。同时，令XN = 0，XB = b，这是一个可行解，且此时z=ζ，即达到最优值。所以，此时可以得到最优解。 　　若σ >= 0不成立 　　可以采用单纯形表变换。 　　σ中存在分量<0。这些负分量对应的决策变量编号中，最小的为j。N中与j对应的列向量为Pj。 　　若Pj <=0不成立 　　则Pj至少存在一个分量ai，j为正。在规划问题4的约束条件（1）的两边乘以矩阵T。 　　T= 　　则变换后，决策变量xj成为基变量，替换掉原来的那个基变量。为使得T b >= 0，且T Pj=ei（其中，ei表示第i个单位向量），需要： 　　l ai，j>0。 　　l βq+βi*(-aq,j/ai,j)>=0，其中q!=i。即βq>=βi/ ai,j * aq,j。 　　n 若aq,j<=0，上式一定成立。 　　n 若aq,j>0，则需要βq / aq,j >=βi/ ai,j。因此，要选择i使得βi/ ai,j最小。 　　如果这种方法确定了多个下标，选择下标最小的一个。 　　转换后得到规划问题4的形式，继续对σ进行判断。由于基解是有限个，因此，一定可以在有限步跳出该循环。 　　若对于每一个i，ai,j<=0 　　最优值无界。 　　若不能寻找到初始基解 　　无解。 　　若A不是行满秩 　　化简直到A行满秩，转到若A行满秩。 [编辑本段]线性规划的应用　　在企业的各项管理活动中,例如计划、生产、运输、技术等问题,线性规划是指从各种限制条件的组合中,选择出最为合理的计算方法,建立线性规划模型从而求得最佳结果

线性规划是用直线解决问题，而非线性规划是曲线甚至更复杂的图像解决问题。线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。非线性规划具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。 线性规划的三要素 线性规划问题的形式特征，三个要素组成： 1、变量或决策变量； 2、目标函数； 3、约束条件。 求解线性规划问题的基本方法是单纯形法，已有单纯形法的标准软件，可在电子计算机上求解约束条件和决策变量数达 10000个以上的线性规划问题。 线性规划的特点 线性规划建立的数学模型具有以下特点： 1、每个模型都有若干个决策变量（x1，x2，x3……，xn），其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。 2、目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。 3、约束条件也是决策变量的线性函数。 当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。

机会约束规划的解法大致有两种。其一，将机会约束规划转化为确定性规划，然后用确定性规划的理论去解决；其二，通过随机模拟技术处理机会约束条件，并利用遗传算法的优胜劣汰，得到机会约束规划的目标函数最优值和决策变量最优解集。机会约束规划的目标函数最优值及决策变量的最优解集与模型中的随机系数有关，因而具有随机性。从数理统计的角度看，对这种随机的目标函数最优值以及决策变量的最优解集可以作出某种置信水平的区间估计。衡量区间估计的精度的一个重要指标是估计区间的长度，估计区间长度越小，估计精度就越大；反之，估计区间长度越大，估计精度就越小。

在x>0的条件下，存在这样的情况。貌似对数函数的运算方法。这个题我们要严格按照题目中的f(x)是定义在（0，∞）上的增函数，且f(x/y)=f(x)-f(y)来思考，也就是说，这个是大前提。利用题目所给的条件f(x/y)=f(x)-f(y)f(x)-f(1/(x-3))=f(x的平方-3x)≤2我们可以将2拆分成11，也就是2=11=f(2)f(2)所以出现f(x的平方-3x)≤f(2)f(2)则有f(x的平方-3x)-f(2)≤f(2)再次利用条件f(x/y)=f(x)-f(y)f(x的平方-3x)-f(2)=f(x的平方/2-3x/2)≤f(2)已知f(x)是定义在（0，∞）上的增函数所以x的平方/2-3x/2≤2x的平方-3x-4≤0所以解出-1≤x≤4又因为f(x)是定义在（0，∞）上的增函数因此0<x≤4

在布局问题求解中,为了好表达约束条件,需要引入一个决策变量Vik(i表示设备序号,i=1,2,3,....15!K表示第几行,k=1,2,3)因为一个设备只能在一行,而一行中最多布置设备数量不能超过设备总数15当设备i在第k行的时候Vik=1,else Vik=0 注意(i与k是两个不同的表示量)if ( ) Vik=1else Vik=0end%约束1^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^fVik=0;for k=1:3 %表示从第1到第3行循环 fVik=fVik+Vik;endfV1ik=fVik-1; % fV1ik=0就满足约束1%约束2^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^fVik=0;for i=1:15 fVik=fVik+Vik;endfV2ik=15-fVik; %fV2ik>=0就满足约束2现在问题是if 后面括号的程序应该如何写?

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素

知道总金额要反推出金额，可以用规划求解

指派问题是一种特殊的整数规划问题。有一定数量的任务和同等数量的人，每个人都可以完成任务，但花费的时间成本不同，所以需要找到一种指派方式，让总成本最低。这类问题建立的模型就是指派问题模型。指派问题是0-1整数规划的一种，决策变量x_ij取1时，第i个人完成第j项工作，花费的成本是c_ij，否则决策变量x_ij取0。匈牙利解法是用来求解指派问题的常用方法。

matlab reshape使用 reshape把指定的矩阵改变形状,但是元素个数不变, 例如,行向量: a = [1 2 3 4 5 6] 执行下面语句把它变成3行2列MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。MATLAB是matrix&laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。

规划求解搞不定的，没这多功能，请高手编程试试吧

可行解

BIAS0:= (C-MA(C,2))/MA(C,2)*100;BIAS1 := (C-MA(C,12))/MA(C,12)*100;BIAS2 := (C-MA(C,26))/MA(C,26)*100;BIAS3 := (C-MA(C,48))/MA(C,48)*100;HXL:=V/CAPITAL*100;D1:=INDEXC;D2:=MA(D1,56);DR2:=D1/D2<0.94;E1:=(C-HHV(C,12))/HHV(C,12)*10;E2:=(C-REF(C,26))/REF(C,26)*10;

机会约束规划的解法大致有两种。其一，将机会约束规划转化为确定性规划，然后用确定性规划的理论去解决；其二，通过随机模拟技术处理机会约束条件，并利用遗传算法的优胜劣汰，得到机会约束规划的目标函数最优值和决策变量最优解集。机会约束规划的目标函数最优值及决策变量的最优解集与模型中的随机系数有关，因而具有随机性。从数理统计的角度看，对这种随机的目标函数最优值以及决策变量的最优解集可以作出某种置信水平的区间估计。衡量区间估计的精度的一个重要指标是估计区间的长度，估计区间长度越小，估计精度就越大；反之，估计区间长度越大，估计精度就越小。

正好我最近也在做动规的题。我来说说我觉得呢，动态规划和分治、递归、递推都差不多，都是把未知转化为已知来求。动态规划甚至就是一种递推！想一想求斐波那契数列的第 n 项。我们知道第 1 项是 1，第 2 项也是 1 。于是，接下来的问题就变成：根据第 1 项和第 2 项求第 3 项根据第 2 项和第 3 项求第 4 项……根据第 k-2 项和第 k-1 项求第 k 项……根据第 n-2 项和第 n-1 项求第 n 项这个时候，第 n 项就求出来啦！这就是递推的思路。其实，我觉得动态规划也是一样的。

　　动态规划的特点及其应用　　安徽 张辰　　目 录　　(点击进入)　　【关键词】　　【摘要】　　【正文】　　§1动态规划的本质　　§1.1多阶段决策问题　　§1.2阶段与状态　　§1.3决策和策略　　§1.4最优化原理与无后效性　　§1.5最优指标函数和规划方程　　§2动态规划的设计与实现　　§2.1动态规划的多样性　　§2.2动态规划的模式性　　§2.3动态规划的技巧性　　§3动态规划与一些算法的比较　　§3.1动态规划与递推　　§3.2动态规划与搜索　　§3.3动态规划与网络流　　§4结语　　【附录：部分试题与源程序】　　1.“花店橱窗布置问题”试题　　2.“钉子与小球”试题　　3.例2“花店橱窗布置问题”方法1的源程序　　4.例2“花店橱窗布置问题”方法2的源程序　　5.例3“街道问题”的扩展　　6.例4“mod 4最优路径问题”的源程序　　7.例5“钉子与小球”的源程序　　8.例6的源程序,“N个人的街道问题”　　【参考文献】　　【关键词】动态规划 阶段　　【摘要】　　动态规划是信息学竞赛中的常见算法，本文的主要内容就是分析它的特点。　　文章的第一部分首先探究了动态规划的本质，因为动态规划的特点是由它的本质所决定的。第二部分从动态规划的设计和实现这两个角度分析了动态规划的多样性、模式性、技巧性这三个特点。第三部分将动态规划和递推、搜索、网络流这三个相关算法作了比较，从中探寻动态规划的一些更深层次的特点。　　文章在分析动态规划的特点的同时，还根据这些特点分析了我们在解题中应该怎样利用这些特点，怎样运用动态规划。这对我们的解题实践有一定的指导意义。　　【正文】　　动态规划是编程解题的一种重要的手段，在如今的信息学竞赛中被应用得越来越普遍。最近几年的信息学竞赛，不分大小，几乎每次都要考察到这方面的内容。因此，如何更深入地了解动态规划，从而更为有效地运用这个解题的有力武器，是一个值得深入研究的问题。　　要掌握动态规划的应用技巧，就要了解它的各方面的特点。首要的，是要深入洞悉动态规划的本质。　　§1动态规划的本质　　动态规划是在本世纪50年代初，为了解决一类多阶段决策问题而诞生的。那么，什么样的问题被称作多阶段决策问题呢？　　§1.1多阶段决策问题　　说到多阶段决策问题，人们很容易举出下面这个例子。　　[例1] 多段图中的最短路径问题：在下图中找出从A1到D1的最短路径。　　仔细观察这个图不难发现，它有一个特点。我们将图中的点分为四类（图中的A、B、C、D），那么图中所有的边都处于相邻的两类点之间，并且都从前一类点指向后一类点。这样，图中的边就被分成了三类（Auf0e0B、Buf0e0C、Cuf0e0D）。我们需要从每一类中选出一条边来，组成从A1到D1的一条路径，并且这条路径是所有这样的路径中的最短者。　　从上面的这个例子中，我们可以大概地了解到什么是多阶段决策问题。更精确的定义如下：　　多阶段决策过程，是指这样的一类特殊的活动过程，问题可以按时间顺序分解成若干相互联系的阶段，在每一个阶段都要做出决策，全部过程的决策是一个决策序列[1]。要使整个活动的总体效果达到最优的问题，称为多阶段决策问题。　　从上述的定义中，我们可以明显地看出，这类问题有两个要素。一个是阶段，一个是决策。　　§1.2阶段与状态　　阶段：将所给问题的过程，按时间或空间特征分解成若干相互联系的阶段，以便按次序去求每阶段的解。常用字母k表示阶段变量。[1]　　阶段是问题的属性。多阶段决策问题中通常存在着若干个阶段，如上面的例子，就有A、B、C、D这四个阶段。在一般情况下，阶段是和时间有关的；但是在很多问题（我的感觉，特别是信息学问题）中，阶段和时间是无关的。从阶段的定义中，可以看出阶段的两个特点，一是“相互联系”，二是“次序”。　　阶段之间是怎样相互联系的？就是通过状态和状态转移。　　状态：各阶段开始时的客观条件叫做状态。描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用sk表示第k阶段的状态变量，状态变量sk的取值集合称为状态集合，用Sk表示。[1]　　状态是阶段的属性。每个阶段通常包含若干个状态，用以描述问题发展到这个阶段时所处在的一种客观情况。在上面的例子中，行人从出发点A1走过两个阶段之后，可能出现的情况有三种，即处于C1、C2或C3点。那么第三个阶段就有三个状态S3={C1,C2,C3}。　　每个阶段的状态都是由以前阶段的状态以某种方式“变化”而来，这种“变化”称为状态转移（暂不定义）。上例中C3点可以从B1点过来，也可以从B2点过来，从阶段2的B1或B2状态走到阶段3的C3状态就是状态转移。状态转移是导出状态的途径，也是联系各阶段的途径。　　说到这里，可以提出应用动态规划的一个重要条件。那就是将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的发展，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是“过去历史的一个完整总结[1]”。这就是无后效性。对这个性质，下文还将会有解释。　　§1.3决策和策略　　上面的阶段与状态只是多阶段决策问题的一个方面的要素，下面是另一个方面的要素——决策。　　决策：当各段的状态取定以后，就可以做出不同的决定，从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策。表示决策的变量，称为决策变量，常用uk(sk)表示第k阶段当状态为sk时的决策变量。在实际问题中，决策变量的取值往往限制在一定范围内，我们称此范围为允许决策集合。常用Dk(sk)表示第k阶段从状态sk出发的允许决策集合。显然有uk(sk) uf0ceDk(sk)。[1]　　决策是问题的解的属性。决策的目的就是“确定下一阶段的状态”，还是回到上例，从阶段2的B1状态出发有三条路，也就是三个决策，分别导向阶段3的C1、C2、C3三个状态，即D2(B1)={C1,C2,C3}。　　有了决策，我们可以定义状态转移：动态规划中本阶段的状态往往是上一阶段和上一阶段的决策结果，由第k段的状态sk和本阶段的决策uk确定第k+1段的状态sk+1的过程叫状态转移。状态转移规律的形式化表示sk+1=Tk(sk,uk)称为状态转移方程。　　这样看来，似乎决策和状态转移有着某种联系。我的理解，状态转移是决策的目的，决策是状态转移的途径。　　各段决策确定后，整个问题的决策序列就构成一个策略，用p1,n={u1(s1),u2(s2),…, un(sn)}表示。对每个实际问题，可供选择的策略有一定范围，称为允许策略集合，记作P1,n，使整个问题达到最有效果的策略就是最优策略。[1]　　说到这里，又可以提出运用动态规划的一个前提。即这个过程的最优策略应具有这样的性质：无论初始状态及初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言，其以后的所有决策应构成最优策略[1]。这就是最优化原理。简言之，就是“最优策略的子策略也是最优策略”。　　§1.4最优化原理与无后效性　　这里，我把最优化原理定位在“运用动态规划的前提”。这是因为，是否符合最优化原理是一个问题的本质特征。对于不满足最优化原理的一个多阶段决策问题，整体上的最优策略p1,n同任何一个阶段k上的决策uk或任何一组阶段k1…k2上的子策略pk1,k2都不存在任何关系。如果要对这样的问题动态规划的话，我们从一开始所作的划分阶段等努力都将是徒劳的。　　而我把无后效性定位在“应用动态规划的条件”，是因为动态规划是按次序去求每阶段的解，如果一个问题有后效性，那么这样的次序便是不合理的。但是，我们可以通过重新划分阶段，重新选定状态，或者增加状态变量的个数等手段，来是问题满足无后效性这个条件。说到底，还是要确定一个“序”。　　在信息学的多阶段决策问题中，绝大部分都是能够满足最优化原理的，但它们往往会在后效性这一点上来设置障碍。所以在解题过程中，我们会特别关心“序”。对于有序的问题，就会考虑到动态规划；对于无序的问题，也会想方设法来使其有序。　　§1.5最优指标函数和规划方程　　最优指标函数：用于衡量所选定策略优劣的数量指标称为指标函数，最优指标函数记为fk(sk)，它表示从第k段状态sk采用最优策略p*k,n到过程终止时的最佳效益值[1]。　　最优指标函数其实就是我们真正关心的问题的解。在上面的例子中，f2(B1)就表示从B1点到终点D1点的最短路径长度。我们求解的最终目标就是f1(A1)。　　最优指标函数的求法一般是一个从目标状态出发的递推公式，称为规划方程：　　其中sk是第k段的某个状态，uk是从sk出发的允许决策集合Dk(sk)中的一个决策，Tk(sk,uk)是由sk和uk所导出的第k+1段的某个状态sk+1，g(x,uk)是定义在数值x和决策uk上的一个函数，而函数opt表示最优化，根据具体问题分别表为max或min。　　，称为边界条件。　　上例中的规划方程就是：　　边界条件为　　这里是一种从目标状态往回推的逆序求法，适用于目标状态确定的问题。在我们的信息学问题中，也有很多有着确定的初始状态。当然，对于初始状态确定的问题，我们也可以采用从初始状态出发往前推的顺序求法。事实上，这种方法对我们来说要更为直观、更易设计一些，从而更多地出现在我们的解题过程中。　　我们本节所讨论的这些理论虽然不是本文的主旨，但是却对下面要说的动态规划的特点起着基础性的作用。　　§2动态规划的设计与实现　　上面我们讨论了动态规划的一些理论，本节我们将通过几个例子中，动态规划的设计与实现，来了解动态规划的一些特点。　　§2.1动态规划的多样性　　[例2] 花店橱窗布置问题（IOI99）试题见附录　　本题虽然是本届IOI中较为简单的一题，但其中大有文章可作。说它简单，是因为它有序，因此我们一眼便可看出这题应该用动态规划来解决。但是，如何动态规划呢？如何划分阶段，又如何选择状态呢？　　<方法1>以花束的数目来划分阶段。在这里，阶段变量k表示的就是要布置的花束数目（前k束花），状态变量sk表示第k束花所在的花瓶。而对于每一个状态sk，决策就是第k-1束花应该放在哪个花瓶，用uk表示。最优指标函数fk(sk)表示前k束花，其中第k束插在第sk个花瓶中，所能取得的最大美学值。　　状态转移方程为　　规划方程为　　（其中A(i,j)是花束i插在花瓶j中的美学值）　　边界条件 （V是花瓶总数，事实上这是一个虚拟的边界）　　<方法2>以花瓶的数目来划分阶段。在这里阶段变量k表示的是要占用的花瓶数目（前k个花瓶），状态变量sk表示前k个花瓶中放了多少花。而对于任意一个状态sk，决策就是第sk束花是否放在第k个花瓶中，用变量uk=1或0来表示。最优指标函数fk(sk)表示前k个花瓶中插了sk束花，所能取得的最大美学值。　　状态转移方程为　　规划方程为　　边界条件为　　两种划分阶段的方法，引出了两种状态表示法，两种规划方式，但是却都成功地解决了问题。只不过因为决策的选择有多有少，所以算法的时间复杂度也就不同。[2]　　这个例子具有很大的普遍性。有很多的多阶段决策问题都有着不止一种的阶段划分方法，因而往往就有不止一种的规划方法。有时各种方法所产生的效果是差不多的，但更多的时候，就像我们的例子一样，两种方法会在某个方面有些区别。　　所以，在用动态规划解题的时候，可以多想一想是否有其它的解法。对于不同的解法，要注意比较，好的算法好在哪里，差一点的算法差在哪里。从各种不同算法的比较中，我们可以更深刻地领会动态规划的构思技巧。　　§2.2动态规划的模式性　　这个可能做过动态规划的人都有体会，从我们上面对动态规划的分析也可以看出来。动态规划的设计都有着一定的模式，一般要经历以下几个步骤。　　划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。注意这若干个阶段一定要是有序的或者是可排序的，否则问题就无法求解。　　选择状态：将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态表示出来。当然，状态的选择要满足无后效性。　　确定决策并写出状态转移方程：之所以把这两步放在一起，是因为决策和状态转移有着天然的联系，状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。所以，如果我们确定了决策，状态转移方程也就写出来了。但事实上，我们常常是反过来做，根据相邻两段的各状态之间的关系来确定决策。　　写出规划方程（包括边界条件）：在第一部分中，我们已经给出了规划方程的通用形式化表达式。一般说来，只要阶段、状态、决策和状态转移确定了，这一步还是比较简单的。　　动态规划的主要难点在于理论上的设计，一旦设计完成，实现部分就会非常简单。大体上的框架如下：　　对f1(s1)初始化（边界条件）　　for kuf0df2 to n（这里以顺序求解为例）　　对每一个skuf0ceSk　　fk(sk)uf0df一个极值（∞或－∞）　　对每一个uk(sk)uf0ceDk(sk)　　sk-1uf0dfTk(sk,uk)　　tuf0dfg(fk-1(sk-1),uk)　　y t比fk(sk)更优 n　　fk(sk)uf0dft　　输出fn(sn)　　这个N-S图虽然不能代表全部，但足可以概括大多数。少数的一些特殊的动态规划，其实现的原理也是类似，可以类比出来。我们到现在对动态规划的分析，主要是在理论上、设计上，原因也就在此。　　掌握了动态规划的模式性，我们在用动态规划解题时就可以把主要的精力放在理论上的设计。一旦设计成熟，问题也就基本上解决了。而且在设计算法时也可以按部就班地来。　　但是“物极必反”，太过拘泥于模式就会限制我们的思维，扼杀优良算法思想的产生。我们在解题时，不妨发挥一下创造性，去突破动态规划的实现模式，这样往往会收到意想不到的效果。[3]　　§2.3动态规划的技巧性　　上面我们所说的动态规划的模式性，主要指的是实现方面。而在设计方面，虽然它较为严格的步骤性，但是它的设计思想却是没有一定的规律可循的。这就需要我们不断地在实践当中去掌握动态规划的技巧，下面仅就一个例子谈一点我自己的体会。　　[例3] 街道问题：在下图中找出从左下角到右上角的最短路径，每步只能向右方或上方走。　　这是一道简单而又典型的动态规划题，许多介绍动态规划的书与文章中都拿它来做例子。通常，书上的解答是这样的：　　按照图中的虚线来划分阶段，即阶段变量k表示走过的步数，而状态变量sk表示当前处于这一阶段上的哪一点（各点所对应的阶段和状态已经用ks在地图上标明）。这时的模型实际上已经转化成了一个特殊的多段图。用决策变量uk=0表示向右走，uk=1表示向上走，则状态转移方程如下：　　（这里的row是地图竖直方向的行数）　　我们看到，这个状态转移方程需要根据k的取值分两种情况讨论，显得非常麻烦。相应的，把它代入规划方程而付诸实现时，算法也很繁。因而我们在实现时，一般是不会这么做的，而代之以下面方法：　　将地图中的点规则地编号如上，得到的规划方程如下：　　（这里Distance表示相邻两点间的边长）　　这样做确实要比上面的方法简单多了，但是它已经破坏了动态规划的本来面目，而不存在明确的阶段特征了。如果说这种方法是以地图中的行（A、B、C、D）来划分阶段的话，那么它的“状态转移”就不全是在两个阶段之间进行的了。　　也许这没什么大不了的，因为实践比理论更有说服力。但是，如果我们把题目扩展一下：在地图中找出从左下角到右上角的两条路径，两条路径中的任何一条边都不能重叠，并且要求两条路径的总长度最短。这时，再用这种“简单”的方法就不太好办了。　　如果非得套用这种方法的话，则最优指标函数就需要有四维的下标，并且难以处理两条路径“不能重叠”的问题。　　而我们回到原先“标准”的动态规划法，就会发现这个问题很好解决，只需要加一维状态变量就成了。即用sk=(ak,bk)分别表示两条路径走到阶段k时所处的位置，相应的，决策变量也增加一维，用uk=(xk,yk)分别表示两条路径的行走方向。状态转移时将两条路径分别考虑：　　在写规划方程时，只要对两条路径走到同一个点的情况稍微处理一下，减少可选的决策个数：　　从这个例子中可以总结出设计动态规划算法的一个技巧：状态转移一般是在相邻的两个阶段之间（有时也可以在不相邻的两个阶段间），但是尽量不要在同一个阶段内进行。　　动态规划是一种很灵活的解题方法，在动态规划算法的设计中，类似的技巧还有很多。要掌握动态规划的技巧，有两条途径：一是要深刻理解动态规划的本质，这也是我们为什么一开始就探讨它的本质的原因；二是要多实践，不但要多解题，还要学会从解题中探寻规律，总结技巧。　　§3动态规划与一些算法的比较　　动态规划作为诸多解题方法中的一种，必然和其他一些算法有着诸多联系。从这些联系中，我们也可以看出动态规划的一些特点。　　§3.1动态规划与递推　　——动态规划是最优化算法　　由于动态规划的“名气”如此之大，以至于很多人甚至一些资料书上都往往把一种与动态规划十分相似的算法，当作是动态规划。这种算法就是递推。实际上，这两种算法还是很容易区分的。　　按解题的目标来分，信息学试题主要分四类：判定性问题、构造性问题、计数问题和最优化问题。我们在竞赛中碰到的大多是最优化问题，而动态规划正是解决最优化问题的有力武器，因此动态规划在竞赛中的地位日益提高。而递推法在处理判定性问题和计数问题方面也是一把利器。下面分别就两个例子，谈一下递推法和动态规划在这两个方面的联系。　　[例4] mod 4 最优路径问题：在下图中找出从第1点到第4点的一条路径，要求路径长度mod 4的余数最小。　　这个图是一个多段图，而且是一个特殊的多段图。虽然这个图的形式比一般的多段图要简单，但是这个最优路径问题却不能用动态规划来做。因为一条从第1点到第4点的最优路径，在它走到第2点、第3点时，路径长度mod 4的余数不一定是最小，也就是说最优策略的子策略不一定最优——这个问题不满足最优化原理。　　但是我们可以把它转换成判定性问题，用递推法来解决。判断从第1点到第k点的长度mod 4为sk的路径是否存在，用fk(sk)来表示，则递推公式如下：　　（边界条件）　　（这里lenk,i表示从第k-1点到第k点之间的第i条边的长度，方括号表示“或(or)”运算）　　最后的结果就是可以使f4(s4)值为真的最小的s4值。　　这个递推法的递推公式和动态规划的规划方程非常相似，我们在这里借用了动态规划的符号也就是为了更清楚地显示这一点。其实它们的思想也是非常相像的，可以说是递推法借用了动态规划的思想解决了动态规划不能解决的问题。　　有的多阶段决策问题（像这一题的阶段特征就很明显），由于不能满足最优化原理等使用动态规划的先决条件，而无法应用动态规划。在这时可以将最优指标函数的值当作“状态”放到下标中去，从而变最优化问题为判定性问题，再借用动态规划的思想，用递推法来解决问题。　　[例5] 钉子与小球（NOI99）试题见附录　　这个题目一看就不觉让人想起一道经典的动态规划题。下面先让我们回顾一下这个问题。　　数字三角形（IOI94）在下图中求从顶至低某处的一条路径，使该路径所经过的数字的总和最大，每一步只能向左下或右下走。　　7　　3 8　　8 1 0　　2 7 4 4　　4 5 2 6 5　　在这个问题中，我们按走过的行数来划分阶段，以走到每一行时所在的位置来作为状态，决策就是向左下走（用0表示）或向右下走（用1表示）。　　状态转移方程：　　规划方程：　　边界条件：　　这是一个比较简单的最优化问题，我们还可以把这个问题改成一个更加简单的整数统计问题：求顶点到每一点的路径总数。把这个总数用fk(sk)表示，那么递推公式就是：　　在这里，虽然求和公式只有两项，但我们仍然用∑的形式表示，就是为了突出这个递推公式和上面的规划方程的相似之处。这两个公式的边界条件都是一模一样的。　　再回到我们上面的“钉子与小球”问题，这是一个概率统计问题。我们继续沿用上面的思想，用fk(sk)表示小球落到第k行第sk个钉子上的概率，则递推公式如下：　　（这里函数Existk(sk)表示第k行第sk个钉子是否存在，存在则取1，不存在则取0）　　边界条件　　可以看出这个公式较之上面的两个式子虽然略有变化，但是其基本思想还是类似的。在解这个问题的过程中，我们再次运用了动态规划的思想。　　一般说来，很多最优化问题都有着对应的计数问题；反过来，很多计数问题也有着对应的最优化问题。因此，我们在遇到这两类问题时，不妨多联系、多发展，举一反三，从比较中更深入地理解动态规划的思想。　　其实递推和动态规划这两种方法的思想本来就很相似，也不必说是谁借用了谁的思想。关键在于我们要掌握这种思想，这样我们无论在用动态规划法解最优化问题，或是在用递推法解判定型、计数问题时，都能得心应手、游刃有余了。　　§3.2动态规划与搜索　　——动态规划是高效率、高消费算法　　同样是解决最优化问题，有的题目我们采用动态规划，而有的题目我们则需要用搜索。这其中有没有什么规则呢？　　我们知道，撇开时空效率的因素不谈，在解决最优化问题的算法中，搜索可以说是“万能”的。所以动态规划可以解决的问题，搜索也一定可以解决。　　把一个动态规划算法改写成搜索是非常方便的，状态转移方程、规划方程以及边界条件都可以直接“移植”，所不同的只是求解顺序。动态规划是自底向上的递推求解，而搜索则是自顶向下的递归求解（这里指深度搜索，宽度搜索类似）。　　反过来，我们也可以把搜索算法改写成动态规划。状态空间搜索实际上是对隐式图中的点进行枚举，这种枚举是自顶向下的。如果把枚举的顺序反过来，变成自底向上，那么就成了动态规划。（当然这里有个条件，即隐式图中的点是可排序的，详见下一节。）　　正因为动态规划和搜索有着求解顺序上的不同，这也造成了它们时间效率上的差别。在搜索中，往往会出现下面的情况：　　对于上图(a)这样几个状态构成的一个隐式图，用搜索算法就会出现重复，如上图(b)所示，状态C2被搜索了两次。在深度搜索中，这样的重复会引起以C2为根整个的整个子搜索树的重复搜索；在宽度搜索中，虽然这样的重复可以立即被排除，但是其时间代价也是不小的。而动态规划就没有这个问题，如上图(c)所示。　　一般说来，动态规划算法在时间效率上的优势是搜索无法比拟的。（当然对于某些题目，根本不会出现状态的重复，这样搜索和动态规划的速度就没有差别了。）而从理论上讲，任何拓扑有序（现实中这个条件常常可以满足）的隐式图中的搜索算法都可以改写成动态规划。但事实上，在很多情况下我们仍然不得不采用搜索算法。那么，动态规划算法在实现上还有什么障碍吗？　　考虑上图(a)所示的隐式图，其中存在两个从初始状态无法达到的状态。在搜索算法中，这样的两个状态就不被考虑了，如上图(b)所示。但是动态规划由于是自底向上求解，所以就无法估计到这一点，因而遍历了全部的状态，如上图(c)所示。　　一般说来，动态规划总要遍历所有的状态，而搜索可以排除一些无效状态。更重要的事搜索还可以剪枝，可能剪去大量不必要的状态，因此在空间开销上往往比动态规划要低很多。　　如何协调好动态规划的高效率与高消费之间的矛盾呢？有一种折衷的办法就是记忆化算法。记忆化算法在求解的时候还是按着自顶向下的顺序，但是每求解一个状态，就将它的解保存下来，以后再次遇到这个状态的时候，就不必重新求解了。这种方法综合了搜索和动态规划两方面的优点，因而还是很有实用价值的。　　§3.3动态规划与网络流　　——动态规划是易设计易实现算法　　由于图的关系复杂而无序，一般难以呈现阶段特征（除了特殊的图如多段图，或特殊的分段方法如Floyd），因此动态规划在图论中的应用不多。但有一类图，它的点却是有序的，这就是有向无环图。　　在有向无环图中，我们可以对点进行拓扑排序，使其体现出有序的特征，从而据此划分阶段。在有向无还图中求最短路径的算法[4]，已经体现出了简单的动态规划思想。但动态规划在图论中还有更有价值的应用。下面先看一个例子。　　[例6] N个人的街道问题：在街道问题（参见例3）中，若有N个人要从左下角走向右上角，要求他们走过的边的总长度最大。当然，这里每个人也只能向右或向上走。下面是一个样例，左图是从出发地到目的地的三条路径，右图是他们所走过的边，这些边的总长度为5 + 4 + 3 + 6 + 3 + 3 + 5 + 8 + 8 + 7 + 4 + 5 + 9 + 5 + 3 = 78（不一定是最大）。　　这个题目是对街道问题的又一次扩展。仿照街道问题的解题方法，我们仍然可以用动态规划来解决本题。不过这一次是N个人同时走，状态变量也就需要用N维来表示，。相应的，决策变量也要变成N维，uk=(uk,1,uk,2,…,uk,N)。状态转移方程不需要做什么改动：　　在写规划方程时，需要注意在第k阶段，N条路径所走过的边的总长度的计算，在这里我就用gk(sk,uk)来表示了：　　边界条件为　　可见将原来的动态规划算法移植到这个问题上来，在理论上还是完全可行的。但是，现在的这个动态规划算法的时空复杂度已经是关于N的指数函数，只要N稍微大一点，这个算法就不可能实现了。　　下面我们换一个思路，将N条路径看成是网络中一个流量为N的流，这样求解的目标就是使这个流的费用最大。但是本题又不同于一般的费用流问题，在每一条边e上的流费用并不是流量和边权的乘积 ，而是用下式计算：　　为了使经典的费用流算法适用于本题，我们需要将模型稍微转化一下：　　如图，将每条边拆成两条。拆开后一条边上有权，但是容量限制为1；另一条边没有容量限制，但是流过这条边就不能计算费用了。这样我们就把问题转化成了一个标准的最大费用固定流问题。　　这个算法可以套用经典的最小费用最大流算法，在此就不细说了。（参见附录中的源程序）　　这个例题是我仿照IOI97的“障碍物探测器”一题[6]编出来的。“障碍物探

订货量和再订货点，确定变量需要考虑多种因素，如需求量、成本、库存水平和服务水平。最优的订货量和再订货点，以实现最小化成本和最大化利润的目标。

线性规划无可行解是指只能得出原问题无最优解，不能推出原问题解无界。分析：线性规划无可行解是指对偶问题只能得出原问题无最优解，不能推出原问题解无界，还可能也无可行解。对于只有两个变量的简单的线性规划问题，也可采用图解法求解。这种方法仅适用于只有两个变量的线性规划问题。它的特点是直观而易于理解，但实用价值不大。通过图解法求解可以理解线性规划的一些基本概念。所建立的数学模型具有以下特点：1、每个模型都有若干个决策变量（x1，x2，x3……，xn），其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。2、目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。3、约束条件也是决策变量的线性函数。当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。

分枝定界法是由学者查理德·卡普（Richard M.Karp）在20世纪60年代发明，该方法把问题的可行解展开如树的分枝，再经由各个分枝中寻找最佳解。分枝定界法也能够使用在混合整数规划问题上，其为一种系统化的解法，一般用单纯形法解出线性规划最佳解后，将非整数值的决策变量分割成最接近的两个整数，加入原问题中，形成两个子问题(或分枝)分别求解，如此便可求得目标函数的上限（上界）或下限（下界），从而寻得最佳解。分枝定界法求解步骤如下所述：(1) 如果问题的目标为最小化，则设定最优解的值Z=∞；(2) 根据分枝法则（Branching rule），从尚未被遍历（Fathomed）且需要变为整数的节点（局部解）中选择一个节点，并在此节点的下一阶层中分为几个新的分支。一般分为两个新的分支，分别是对该节点的其中一个决策变量进行向上取整和向下取整；(3) 对每一个新分枝出来的节点验证是否满足定义域，若满足，则可以继续进行分支，否则不再考虑该分支，计算每一个新分枝出来的节点的下限值（Lower bound，LB）；(4) 判断当前分支的下限值是否小于Z值，若前者较小，则需更新Z值，以此分支为可行解的值，否则此节点不可能包含最优解；(5) 判断是否仍有尚未被遍历且需要变为整数的节点，如果有，则进行步骤（2），如果没有，则算法停止，并得到最优解。

例 求解下列0-1整数线性规划 目标函数 max f=-3x1+2x2-5x3 约束条件 x1+2x2-x3≤2， x1+4x2+x3≤4， x1+x2≤3， 4x1+x3≤6， x1，x2，x3为0或1. 在Matlab命令窗口中输入如下命令： f=[-3,2,-5]; a=[1,2,-1,;1,4,1;1,1,0;0,4,1];b=[2;4;3;6]; [x,fval]=bintprog(-f,a,b) %因为bintprog求解的为目标函数的最小值，所以要在f前面加个负号。运行结果为： Optimization terminated. x = 0 1 0 fval = -2 表示x1=0，x2=1，x3=0时，f取最大值2。 当然，我们还可以在Matlab命令窗口中输入如下命令查询0-1整数规划命令的用法。 help bintprog

智能派单模式下出租车司机时薪比抢单模式下的时薪提高50%，空驶率最多降低36%。抢单的模式注定滴滴的应答率天花板不会太高。在15年，滴滴上线快车业务，我们从抢单演进到了派单模式。乘客的应答率有了20个点以上的提升，很多时候能够全天能够高达90+，高峰&局部供需紧张应答率会相对吃紧。乘客确定性再一次得到大幅的提升，由此可见，派单模式为滴滴创造了巨大用户价值。每一个时刻，都有N个订单在被乘客创建，同时有M个司机可以被滴滴用来进行分配。滴滴能够为派单算法给出司机的实时的地理位置坐标，以及所有订单的起终点位置，并且告诉我们每一个司机接到订单的实时导航距离。

应该是可以的。多目标优化的变量空间应该是可连续或可不连续的，而遗传算法只是优化这个问题的手段，它的变量空间也有很多类型，所以你要根据你所需要处理的问题仔细分析。

u2003我们试图从优化的角度切入PCA： u2003优化问题有3要素： u2003u2003u2003 1.目标函数 : u2003u2003u2003 2.决策变量 : u2003u2003u2003 3.约束条件 : u2003这就涉及一些问题，我们的目的是什么，这点很明显可以从目标函数中看出。先看个特殊情况，如果Z已知，我们将Z投影到正交向量构成的空间中，我们的目的是让数据矩阵A与正交变换后的Z对齐。 细致看下这个特殊情况: u2003因为在上述结果的最后，前两项是已知常数；所以我们实际上是要最大化 我们可以对 做奇异值分解。即： u2003令 ;R,V,Q都是正交矩阵，所以B也是正交矩阵。所以： u2003最后一个不等式成立的原因是 是个正交矩阵，因为所有正交矩阵都是经过单位化的，所以对角线元素都小于1。等号成立的条件是 是单位矩阵且 。即： 时，我们的目标函数最小，相当于Z转一个角度能与原来矩阵对齐。而旋转变换的正交矩阵取决于 奇异值分解出的两个正交的特征向量矩阵。 这说明我们只要知道了降维后的 ，那么我们总能找到一个变换 ，使得 在变换后尽可能的还原 的信息。 u2003那么问题来了， 就是我们所要求的东西，我们不可能提前知道，那么我们怎么求满足条件,且尽可能还原 的信息的 和 呢？现在我们得直面这个优化问题了。 u2003我们可以靠 拉格朗日乘子法 将原来的 有约束 的优化问题转为 无约束 的优化问题,最后求导后找出满足条件的其中一组解就可以了。 所以 对各个决策变量求导： u2003令(1),(2),(3)导数等于0： 然而我们的目的是找出其中一个解就行，也就是找到其中一个V，所以我们将 带入(2)中： 令 ，那么： 即 可以通过对 特征分解后取前 个最大的特征值得到。这是其中一个解，也是我们想要的结果，即直接可以通过数据矩阵 的信息得出我们的正交变换 ；使得数据在保证信息尽可能完整的情况下降维。 (矩阵求导方面可以参考 这里 )

线性规划同上异下原理：在直线l：Ax+By+C=0上任取一点（x，y），过这一点做直线l1平行于l，则对于直线l1上的点（x1，y1），有x=x1，且有Ax1+By1+C-（Ax+By+C）=B（y1-y），与B同号在上，异号在下；同理与A同号在右，异号在左。模型建立从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤。1、根据影响所要达到目的的因素找到决策变量。2、由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数。3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。

控制矩阵的三个基本要素：状态变量：指可能影响决策后果的各种客观外界情况或自然状态。是不可控因素。决策变量：指决策者所采取的各种行动方案，是可控因素。概率：指各种自然状态出现的概率。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

1、流水（拼音：liú shuǐ），是指流动的水，如：流水落花春去也。另指像流水一样的动态过程，如：流水作业、流水线。银行流水的简称。 2、造句：（1）敌人虽然被我们打得落花流水,但是还在绝望地挣扎。 （2）这三句话一气贯注,如行云流水。 （3）成语“流水不腐”蕴含着深刻的人生哲理。

行云流水造句如下:1、这首诗写得太好了，简直如行云流水。2、结构如行云流水，层次分明，先后呼应。3、我在工作中总是处于一种行云流水的状态。4、他的文章思路行云流水，把各种人物写得惟妙惟肖，把各种情绪表达得淋漓尽致。5、巴西足球擅长进攻，行云流水自成一格。6、这篇文章语句之流畅，如行云流水一般，清新，自然。7、这三句话一气贯注，如行云流水。8、这位陶艺大师的功力已经出神入化，从杆土到制胚的过程有如行云流水，一气呵成。9、这篇散文，形散意不散，文字如行云流水一般自然畅快，值得一读。10、这个辩论家的口才极好，说起话来行云流水，天马行空。11、这篇小说的结构如行云流水，层次分明，前后呼应。12、这篇散文如行云流水，写得很好。13、这篇文章的独到之处，在于行文如行云流水。14、这篇散文构思独特，结构新颖，文笔流畅，如行云流水般洒脱豪放。15、这篇文章的节奏自然顺畅，有如行云流水。

造句指懂得并使用字词，按照一定的句法规则造出字词通顺、意思完整、符合逻辑的句子。依据现代语文学科特征，可延伸为写段、作文的基础，是学生写好作文的基本功。造句来源清俞樾《春在堂随笔》卷八：“其用意，其造句，均以纤巧胜。”夏_尊叶圣陶《文心雕龙》四：“造句也共同斟酌，由乐华用铅笔记录下来。”下面为您提供关于【高山流水怎么造句的】内容，供您参考。1、人常说高山流水，知音难觅，这话是有一定道理的。2、高山流水歌唱道：我得到自由时便有了歌声了。3、尼亚加拉高山流水位于尼亚加拉河上。4、他的作品虽然动听，可惜高山流水，知音难觅。5、伯牙抚琴高山流水余音绕梁，三月不知肉味。6、西弗吉尼亚：黑水高山流水公园风景图片。7、火车驶过时，我瞥见了高山流水。8、这种高山流水之乐，真是人间难得几回闻。9、我但愿有朝一日去看看尼亚加拉高山流水。10、她茑语呖呖，像高山流水。11、他弹奏的古典乐曲，若高山流水般美妙。12、有一种花开，夺目绚烂，可以把黑暗的夜空照亮；有一种思念，虽苦犹甜，可以把漫长的距离变短；有一种孤独，静观尘世，可以把焦躁的心情抚平；有一种境界，高山流水，可以把喧嚣的热闹拒绝。13、有一天，你说凌绝生死的爱，高山流水的爱，都是幻象。所谓幻象，并非不存在，也不是虚假，只是像雪花一样，握不到手心里。由此而引发的悲伤，也就只是雪上那层蓝色雾气了。句子是语言运用的基本单位，它由词或词组构成，能表达一个完整的意思，如告诉别人一件事，提出一个问题，表示要求或制止，表示某种感慨。它的句尾应该用上句号、问号或感叹号。造句的方法一般有以下几种：1、在分析并理解词义的基础上加以说明。如用“瞻仰”造句，可以这样造：“我站在广场上瞻仰革命烈士纪念碑。”因为“瞻仰”是怀着敬意抬头向上看。2、用形容词造句，可以对人物的动作、神态或事物的形状进行具体的描写。如用“鸦雀无声”造句：“教室里鸦雀无声，再也没有人说笑嬉闹，再也没有人随意走动，甚至连大气都不敢出了。”这就把“鸦雀无声”写具体了。3、有的形容词造句可以用一对反义词或用褒义词贬义词的组合来进行，强烈的对比能起到较好的表达作用。如用“光荣”造句：“讲卫生是光荣的，不讲卫生是可耻的。”用“光荣”与“可耻”作对比，强调了讲卫生是一种美德。4、用比拟词造句，可以借助联想、想象使句子生动。如用“仿佛”造句：“今天冷极了，风刮在脸上仿佛刀割一样。”5、用关联词造句，必须注意词语的合理搭配。比如用“尽管??可是??”造句：“尽管今天天气很糟，但是大家都没有迟到。”这就需要在平时学习中，把关联词的几种类型分清并记住。6、先把要造句的词扩展成词组，然后再把句子补充完整。如用“增添”造句，可以先把“增添”组成“增添设备”、“增添信心”或“增添力量”，然后再造句就方便多了。随着信息新媒体的发展，网络已经成为继报纸、收音机、电视之后的主流媒体，并有将其整合的趋势。网民数量的激增使得网络话题的热议和网络语言迅速成为流行语。出现了很多新现象：网络造句——当某一新闻事件在网络迅速流传之后，新闻事件中的某一具有代表性的词语，在网友们的推广下，成为造句的主体，并迅速在网络流行展开。比如李刚事件中，我爸叫李刚成为流行语，以它进行的造句活动在网络铺开。例如：窗前明月光，我爸是李刚；给我一个李刚，我能撑起整个地球等。而在360与腾讯的3Q网络大战之后，一句“我很艰难的做出决定”也迅速流行。这类造句的特征主要是将已有的诗句、文章等进行改变而成。

01、她茑语呖呖，像高山流水。02、高山流水，非知音不能听。03、她莺语呖呖，好像高山流水。04、火车驶过时，我瞥见了高山流水。05、于是我把这曲称为《高山流水》。06、暮云春树千里路,高山流水是故交。07、他的演奏有如高山流水，美妙动听。08、高山流水诗千首，明月清风茶一壶。09、月上瓜洲酌淡酒，高山流水遇知音。10、后用“高山流水”比喻知音或知己。11、高山流水向何处，无情落花任追逐。12、汉宫秋月,高山流水,寒鸦戏水,诸宫调.13、伯牙抚琴高山流水余音绕梁，三月不知肉味。14、他弹奏的古典乐曲，若高山流水般美妙。15、这种高山流水之乐，真是人间难得几回闻。

六年级高山流水的造句如下：1、有一天，你说凌绝生死的爱，高山流水的爱，都是幻象。所谓幻象，并非不存在，也不是虚假，只是像雪花一样，握不到手心里。由此而引发的悲伤，也就只是雪上那层蓝色雾气了。2、有一种花开，夺目绚烂，可以把黑暗的夜空照亮；有一种思念，虽苦犹甜，可以把漫长的距离变短；有一种孤独，静观尘世，可以把焦躁的心情抚平；有一种境界，高山流水，可以把喧嚣的热闹拒绝。3、这种高山流水之乐，真是人间难得几回闻。4、他的作品虽然动听，可惜高山流水，知音难觅。5、伯牙抚琴高山流水余音绕梁，三月不知肉味。6、他弹奏的古典乐曲，若高山流水般美妙。7、人常说高山流水，知音难觅，这话是有一定道理的。8、西弗吉尼亚：黑水高山流水公园风景图片。9、高山流水歌唱道：我得到自由时便有了歌声了。10、火车驶过时，我瞥见了高山流水。11、我但愿有朝一日去看看尼亚加拉高山流水。12、尼亚加拉高山流水位于尼亚加拉河上。13、她茑语呖呖，像高山流水。14、人去堂空朝雨暮云难见影，琴调弦绝高山流水少知音。15、高山流水诗千首，明月清风茶一壶。

1.流水可以产生动力来推磨。

造句指懂得并使用字词，按照一定的句法规则造出字词通顺、意思完整、符合逻辑的句子。依据现代语文学科特征，可延伸为写段、作文的基础，是学生写好作文的基本功。造句来源清俞樾《春在堂随笔》卷八：“其用意，其造句，均以纤巧胜。”夏_尊叶圣陶《文心雕龙》四：“造句也共同斟酌，由乐华用铅笔记录下来。”下面为您提供关于【流水的造句怎么造】内容，供您参考。1、这三句话一气贯注，如行云流水。2、我军居高临下，把敌人打得落花流水。3、成语“流水不腐”蕴含着深刻的人生哲理。4、我军四面堵击敌人，把敌人打得落花流水。5、这盘棋，小明勇猛冲杀，把对手打得落花流水。6、走在背静的小路上，听着潺潺的流水声，心中多么舒畅！7、流水线上的工人们正在组装自行车。8、月光像流水一样倾泻下来，洒满大地。9、时间就像滔滔的流水，一去不返。10、高山流水歌唱道：我得到自由时便有了歌声了。11、他们倾听河里潺潺的流水声。12、尼亚加拉高山流水位于尼亚加拉河上。13、他成天游手好闲，花钱如流水，难怪会入不敷出。14、流水不腐，户枢不蠹，人的身体也是这样，只有经常锻炼才能保持健康的体魄。15、巴西足球擅长进攻，行云流水自成一格。16、他的作品虽然动听，可惜高山流水，知音难觅。17、抗战时期，游击队出没无常，打得敌人落花流水。18、这篇小说的结构如行云流水，层次分明，前后呼应。19、这个辩论家的口才极好，说起话来行云流水，天马行空。20、西弗吉尼亚：黑水高山流水公园风景图片。句子是语言运用的基本单位，它由词或词组构成，能表达一个完整的意思，如告诉别人一件事，提出一个问题，表示要求或制止，表示某种感慨。它的句尾应该用上句号、问号或感叹号。造句的方法一般有以下几种：1、在分析并理解词义的基础上加以说明。如用“瞻仰”造句，可以这样造：“我站在广场上瞻仰革命烈士纪念碑。”因为“瞻仰”是怀着敬意抬头向上看。2、用形容词造句，可以对人物的动作、神态或事物的形状进行具体的描写。如用“鸦雀无声”造句：“教室里鸦雀无声，再也没有人说笑嬉闹，再也没有人随意走动，甚至连大气都不敢出了。”这就把“鸦雀无声”写具体了。3、有的形容词造句可以用一对反义词或用褒义词贬义词的组合来进行，强烈的对比能起到较好的表达作用。如用“光荣”造句：“讲卫生是光荣的，不讲卫生是可耻的。”用“光荣”与“可耻”作对比，强调了讲卫生是一种美德。4、用比拟词造句，可以借助联想、想象使句子生动。如用“仿佛”造句：“今天冷极了，风刮在脸上仿佛刀割一样。”5、用关联词造句，必须注意词语的合理搭配。比如用“尽管??可是??”造句：“尽管今天天气很糟，但是大家都没有迟到。”这就需要在平时学习中，把关联词的几种类型分清并记住。6、先把要造句的词扩展成词组，然后再把句子补充完整。如用“增添”造句，可以先把“增添”组成“增添设备”、“增添信心”或“增添力量”，然后再造句就方便多了。随着信息新媒体的发展，网络已经成为继报纸、收音机、电视之后的主流媒体，并有将其整合的趋势。网民数量的激增使得网络话题的热议和网络语言迅速成为流行语。出现了很多新现象：网络造句——当某一新闻事件在网络迅速流传之后，新闻事件中的某一具有代表性的词语，在网友们的推广下，成为造句的主体，并迅速在网络流行展开。比如李刚事件中，我爸叫李刚成为流行语，以它进行的造句活动在网络铺开。例如：窗前明月光，我爸是李刚；给我一个李刚，我能撑起整个地球等。而在360与腾讯的3Q网络大战之后，一句“我很艰难的做出决定”也迅速流行。这类造句的特征主要是将已有的诗句、文章等进行改变而成。

高山流水[gāo shān li shuǐ] 【解释】：比喻知己或知音。也比喻乐曲高妙。 【出自】：《列子汤问》：伯牙鼓琴，志在登高山，钟子期曰：善哉，峨峨兮若泰山。志在流水，曰：善哉，洋洋兮若江河。 【语法】：联合式;作宾语;比喻乐曲高妙 【近义词】：知音难觅 高山流水造句： 1这种高山流水之乐，真是人间难得几回闻。 2这位钢琴家演奏的乐曲，有如高山流水，听得人如痴如醉。 3他的作品虽然动听，可惜高山流水，知音难觅。 4现在流行音乐充斥，这种乐曲恐怕是高山流水，难有人欣赏。 5小王在国际钢琴大赛上夺得首奖，高山流水得遇知音，让他激动得流下眼泪。 行云流水造句 1、美丽的语言和行云流水的文字会从根本上增加文章的可读性。 2、接着师父以其行云流水般的智慧和幽默，自然回应了听众们想听的话题和解除疑惑。 3、这支舞曲的旋律如行云流水，动人心怀。 4、随着师父行云流水般的开示，天色渐渐暗了下来，明月也渐升中天。 5、尽管对她那行云流水般富有表现力的动作持嘲笑态度的批评家大有人在，但伊莎多拉却为死板的古典舞蹈界带来了灵动性和自我表现力。 6、行云流水的风韵，大理石般逼真肌理，给追求高品味生活的您一方个性的自然空间，置身其中，如临其境！ 7、我在工作中总是处于一种行云流水的状态。 8、目前，索德伯格在一位画家的帮助下拍摄电影，这位画家的绘画有着行云流水般的笔触，他创作的即兴和自由所产生的真诚感对于索德伯格抓住题材的中心有很大的帮助。 9、删删写写，回回忆忆，虽无法行云流水，却也可碎言碎语。 10、这位陶艺大师的功力已经出神入化，从杆土到制胚的过程有如行云流水，一气呵成。 11、苏东坡的才思敏捷，写文章有如行云流水，行于当行，止于当止。 12、行云流水的文字、带着淡淡的悲伤。 13、巴西足球擅长进攻，行云流水自成一格。 14、其皮影作品线条如行云流水，柔和舒展，自然挺拔，活动自如，人物造型采取抽象与写实相结合的手法，个性鲜明，夸张生动。 15、用一朵花的时间来纪念一段过往，看时光如行云流水，连绵着大段温暖的幸福回忆。 16、但是文章行云流水般展现了浪漫的家庭戏剧，为两个女人的一生做了完美定义。 17、这篇有如行云流水的文章，十分获得读者的喜爱。 18、这个辩论家的口才极好，说起话来行云流水，天马行空。 19、热恋情书感情热烈奔放，不可平平淡淡，少气无力，同时，要象行云流水一样，自然流畅。 20、看到这位名演员行云流水、自然生动的表演，真是人生一大享受。 21、结构如行云流水，层次分明，先后呼应。 22、静观行云流水，尽情释放青春活力与激情，让新时代精英们一起分享。 23、例如2008北京奥运会的申办会徽，形似中国传统民间工艺品“中国结”，又似一个打太极拳的人形，整个图案行云流水，和谐生动，充满美感，又有很强的象征意义。 24、这篇文章的节奏自然顺畅，有如行云流水。 落花流水造句 1、随后，叛乱份子决定发动大规模进攻，打得他的民兵部队落花流水。 2、巴勒斯坦人记得莫法兹先生曾是一位将巴勒斯坦民族权力机构打得落花流水的将军，那时他是陆军参谋长，之后在2000年至2005年的第二次起义中任国防部长。 3、溪旁几棵山樱，花瓣飘落水面，好一幅落花流水的暮春景象。 4、一阵混乱过后，店里被砸得落花流水。 5、迈祖尔·玛哈普马来西亚这位平时沉默不语的羽毛球领队在看到自己的队伍被中国打得落花流水后说，如果中国一直这么赢下去，他害怕这项比赛会变得很沉闷。 6、嗯，就像例行公事一样如果在英格兰或在其他有人看某书的地方，该书被驳斥得落花流水，或者是如果某书在英格兰得到褒奖，《纽约书评》都需要作出反应。 7、但是，吃了最最好吃的黄米面团后精力充沛的桃太郎和伙伴们并肩作战，瞬间就把魔鬼们打得落花流水。 8、这两队实力相差悬殊，较弱的一队被打得落花流水。 9、他为牛津队当过三年拳击手，总是把对手打得落花流水、一蹶不起。 10、这位教练在谈话时，巴萨的年轻球员们正在打一场比赛，他们的比赛对手被击得落花流水，他们的父母用欣喜和殷切的眼光看着他们，希望他们能成为下一个梅西或伊涅斯塔。 11、敌人军心已溃，让我们趁机突击，杀他个落花流水。 12、我们球队把他们的打得落花流水。 13、他被对手打得落花流水。 14、此次重游旧地，面对落花流水的景象，难免感伤。 15、这次的躲避球赛，隔壁班被我们班打得落花流水。 16、但是那些自己球队被红杉队打得落花流水的教练们可不愿思考这些哲学。 17、中期选举中民主党被打得“落花流水”后，大家都想知道奥巴马总统会有什么样的反应。 18、王小贱真是太有才了，想了一个计策就把路然打得落花流水。 19、腐败现象也开始出现曾在毛主席时代被铁面无情的社会控制下打得落花流水的有组织犯罪再次抬头。 描写高山的句子 1、山上光秃秃的，尽是大大小小的石头疙瘩，不要说像样的树一棵没有，连石缝中长的杂草，都数得出来有几根。 2、只见远处有一座迷蒙的巨峰突起，周围还有几十座小石峰。仔细一看，那巨峰像手握金箍棒的孙悟空，那些小峰就像抓耳腮的小猴。瞧瞧，孙悟空正领着它的孩子们向南天门杀去呢。微白的天空下，群山苍黑似铁，庄严、肃穆。红日初升，一座座山峰呈墨蓝色。紧接着，雾霭泛起，乳白的纱把重山间隔起来，只剩下青色的峰尖，真像一幅笔墨清爽、疏密有致的山水画。过了一阵儿，雾又散了，那裸露的岩壁，峭石，被霞光染得赤红，渐渐地又变成古铜色，与绿的树、绿的田互为映衬，显得分外壮美。 3、丁冬丁冬咦？是什么声音？哦，原来是山泉在唱歌，清澈的泉水从岩缝间涌出，汇成溪流，欢快地唱着歌儿奔流而下，我俯下身子，捧起甘洌的泉水喝个痛快，好凉啊！牙都冰痛了，然而，心却享受香醇美酒。 4、山有雄壮的风采，山也有朴素的品格。山豪迈，山也俊秀。奇险是山，逶迤是山，平坦是山，突兀是山，温柔是山，呼啸是山。山，时而鬼斧神工，时而又平淡无奇。山的性格是刚强的，不惧怕任何压力，但平素却显得和蔼慈祥，文质彬彬，英俊而柔情。因为有山，流水乃为之改道，因为有山，城市才缘依环绕。大山以浑厚坦荡容纳万世汇聚百川。 5、群山都落在脚下，显得空旷高远，高得可以同月牙儿拉手，同太阳亲脸。 6、我们乘坐竹筏，飘流而下，忽然，我被石壁上的景色迷住了，这儿太神奇了，形态万千。有的如猛虎下山，只见它张大了嘴巴，怒吼一声，高昂着头，有的仿佛是蛟龙入海，气势庞大，活灵活现。还有这儿仔细一数，一座山上就有九龙二虎呢，所以它才有了龙虎山之名。 7、晨曦初照，而山像含羞的少女，若隐若现；日落西山，余光横照，山又显得妩媚娴静。 8、满山秃露的乱石，在阳光下面更加显得苍老丑陋，仿佛一些生癞疤的秃头似的。 9、一江秋水，依旧是澄蓝澈底。两岸的秋山，依旧在袅娜迎人。苍江几曲，就有几簇苇丛，几弯村落，在那里点缀。你坐在轮船舱里，只须抬一抬头，劈面就有江岸乌桕树的红叶和去天不远的青山向你招呼。 10、我游览了江苏省鹰潭市的龙虎山，这里山水奇绝；风光秀丽，有的如江南淑女雍容文静，有的如龙腾虎跃，气势壮观。 11、循级而上，半山处停驻，见索道横跨山峦，悬空承载人往复来去，好一个穿云越谷的云谷索道！想像着，半空凌驾，在千米高空眺望山岭，不曾登临，心已慌跳。 12、这里的山有的像孙悟空，有的像仙女，各式各样，美丽极了。 13、崂山上面不是绿绿的树最多，而是石头最多，像毛毛虫的茧那样光滑，像足球那样圆，又像波浪一样凹凸不平。石头缝里都被绿色植物填满了，有的草绕在石头的腰间，像一条绿腰带。各种各样的石头跟旁边的绿片片结合，就像一块翡翠上镶了几块褐色的水晶。绿色植物和石头就像两个顽皮的孩子在赛跑一样，跑遍了整座山。 14、向前望去，一望无际的丘陵起伏不断，林海茫茫，在绿色的林海中间还点缀着一簇簇的小黄花。 15、山，让多少人抬起了仰慕的眼神，让多少志士幽居铭志，让多少民族的忠魂热洒鲜血，还用袒露的胸襟承接了多少抵寇的长城。山的巍峨，山的高大，山的耸立，山的气魄是山精神的骨架，也是人性的脊梁！ 16、俯瞰足下，白云迷漫，环视群峰，云雾缭绕，一个个山顶探出云雾外，似朵朵芙蓉出水。 17、走进那山，遮光蔽日的奇花异草障显着峰峦叠嶂的灵魂，莺歌燕舞的鸟鸣替代了云蒸霞蔚的绮丽；走进那山，浮躁的心境化作了溪边的绿柳，疲惫的身躯化作了山涧的清幽；走进那山，心中坦荡着豪迈，梦中深沉着稳重，骨子里丰盈着山的精髓和敦实。 18、往上攀登，一路放眼浏览，耐寒的花儿争奇斗艳，风一吹，花摇摇摆摆的，好像在向人们点头，给我带来无尽的春的问候。不知不觉，我们就来到半山腰，在亭子前面往下眺望，只见山脚下的人仿佛火柴那么大，小溪像是一条白色的皮带，镶嵌在绿草碧野中，再看看远处的兰溪大桥，像是一道亮丽的彩虹，为远山近景增添了色彩。 19、走进贞山，在我们的身旁就有一条长长的小溪，溪水清澈见底。顺着小溪上去，会看见两旁是一片茂密的树林和一些奇花异草，那山上茂盛的树木好像士兵般日夜守卫着贞山和一群群活泼可爱的小动物。在小溪的尽头是一个大瀑布，瀑布像是从天上飞泻下来的，真是壮观极了。 20、五泉山，以自己的泉水，养育了山上山下的儿女，她就像一枚定海神针一样，屹立在兰州的南方，看到了它，就好像有一种安全感，就好像爸爸那有力的手掌抱住了我，让我在他的怀里放心的安静的生活。 21、冬天，我们这里也偶尔会下雪。整个山野被大雪覆盖，银妆素裹，美不胜收。天气晴朗的日子，来到林间，踩着满地的落叶，咯吱咯吱，别有一翻韵味。这时竹林又为人们捧出了鲜嫩的冬笋。 22、三清山，逢立在面前，草木葱葱郁郁，山花丝丝簇簇。绵绵细雨唤起漫山云雾，山峰在袅袅云烟中若隐若现，更显雄伟险峻，让人觉得它神秘而美丽，清空而冷傲！ 23、大山，有时像昂首天空的雄师，有时如梦中惊醒的猛虎。它，会咆哮，会怒吼，那声音如洪钟般响亮，那气魄有排山倒海之势。它，似叱咤风云，腾云驾雾的蛟龙；它，似自强不息，展翅飞翔的胸鹰。它的沧桑记载了历代王者的欲望，它的雄浑见证了中华上下五千年的兴衰。它，高亢激昂如奔赴战场的士兵，奋勇杀敌；如保家卫国的勇士，舍生忘死。 24、仰望天台，峰上云雾缭绕，山径蜿蜒曲折，像一条彩带从云间飘落下来，游人似一个个小白点，零零星星散布在彩带上，缓缓地向上移动着。 25、清晨，山中弥漫着雾，蒙胧的雾像华丽的幔帐，罩着一片耀眼的新绿。哦，那是一个个戴着鲜花，穿着绿裙的小姑娘－－玉兰树，她们好像在比美呢！ 26、到了达蓬山脚下抬头望，山连着山，好像永无尽头的样子。山上的树木郁郁苍苍，绿得就像一座无瑕的翡翠，山上树木掩盖了长龙似的马路，掩盖了山上的度假村。 27、登临白鹅岭，但觉高处不胜寒。清冽的山风，了无阻挡的轻拂，和着风的号子，漫山松林簌簌浅唱。雨状雾，雾状雨，行走间，就那样随风扑面，粘湿了面颊和衣衫。匆匆穿了山下早备的透明雨衣，才发现，崎岖的山路上，尽是五彩通透的形象。 28、无数冰峰雪崖，有的像挺着胸的巨人，有的像扭着腰的仙女，有的像戳破青天的宝剑，有的像漫天飞舞的银龙，奇峰绝壁，一座座都是大自然天才的杰作。 29、水中倒映着藏青色的山，仿佛给白色的带子绣上了美丽的花纹。 30、山依偎着水，水映照着山，静静的和谐，淡淡的孤寂。闲散的心境一如人生，慢慢的把岁月怀念，静静如水，淡淡如山。 31、大山里，水是清澈的，风是质朴的，蜿蜒的山路，因为有了虫儿花儿草儿等，也变得更加鲜活起来。朋友，常到大山里走走，让山里的风去掉浊气，让山里的水涤荡疲惫的心，到山路上去，让快乐缭绕到你的周围，那心灵就似山一样坚韧，似水一般纯净了。 32、山上空气十分好。从山上望下去，定是满眼的绿。万丈深渊下面全是树和花草。崆峒山的树多，森林覆盖率达到%以上，有一千三百多种动植物，景色美不胜收。 33、下山，极目远眺金光湖，远天远水远山，组成一幅又一幅展示不尽动人心弦的长长画卷。悠久的年代和茁壮的力量相结合，透出一片庄严的景象，更使人流连忘返。 34、苍山19座山峰连为一体，宛如一条蜿蜒盘旋的巨龙，环绕着整个大理，成了一座天然的挡风屏障。 35、峒山的坚强、沉默、不鼓噪、不张扬的个性原是一种平实的生活态度。不随波逐流，悄然孤立于流俗之外，遗世而独立。铜山的恬静、安闲，又在你的心灵上注入了一份闲适的清泉，为你冲淡世间生活琐事带来的烦恼，释放压抑和疲惫的心灵。山与山形态各异，或雄伟，或奇诡，或傲然。各自坚持属于自己的那一份韵质和风骨。果真能撼人心扉，启人心智者，也不必是世人景仰的名山，哪怕是平常人能随兴游览的蕞尔小丘，峒山即是如此。峒山，以自己独特的姿态屹立在矿野之上，卓而不群自是千山万岭中的另一种典范! 36、山上空气十分好。从山上望下去，定是满眼的绿。万丈深渊下面全是树和花草。崆峒山的树多，森林覆盖率达到90%以上，有一千三百多种动植物，景色美不胜收。 37、春姑娘伴着一阵春风悄然来到人间，花草树木们都挺直了腰。大山顿时变成翠绿色的了，那翠绿的大山，看起来是那样的绿。如果现在你朝大山望一眼的话，那你会觉得就像走进了一片绿色的森林，感觉特别舒服。 38、展现在眼前的当然是茂盛的果树了。如果是春天，当然还有各种花了，五颜六色，可漂亮啦！如果是秋天，一片片落叶像天女散花似的在空中飞舞。继续朝山上走，走大约一百米就到了山顶，站在山顶上遥望远方，让你感到心旷神怡，不管你有多大的烦恼和委屈不开心，只要你到了这里它们就会立刻消失。 39、仰望天湖山，只见那嵯峨黛绿的群山，满山蓊郁荫翳的树木与湛蓝辽阔的天空，缥渺的几缕云恰好构成了一幅雅趣盎然的淡墨山水画。 40、在山脚下往山头上望，云遮雾涌，神秘莫测，渐渐地雾越变越浓上面似乎是皑皑白雪。在半山腰往下看一眼望不到谷底，往山顶看真是雾锁山头山锁雾，山套山，雾涌雾。由于那里树木茂盛，所以就像走进大森林般的感觉。站在山顶往下望只见浩瀚的林海。 41、一个又一个山包接连起伏，深深的含纳了贵州的山的特色延绵不断，不见边沿。被广阔的绿所覆盖的一座座山峰，逐个高了起来，在视野里，越来越高，越来越远，渐渐的就被飘渺的云雾所囊括了，给我留下的，仅仅是无限的遐想与向往。 42、当登上极顶，举目四望时，那壮观的景象使我血液沸腾，整座崂山就像在雾里飘着一样。 43、沿河两岸连山皆深碧一色，山头常戴了点白雪，河水则清明如玉。在这样一条河水里旅行，望着水光山色，体会水手们在工作上与饮食上的勇敢处，使我在寂寞里不由得不常作微笑！ 44、群山连绵起伏，犹如大海掀动的波澜，呈现出密匝匝的波峰、浪谷。 45、山虽无言，然非无声。那飞流直下的瀑布，是它地裂般的怒吼；那潺潺而流的小溪，是它优美的琴声倾诉；那汩汩而涌的泉水，是它靓丽的歌喉展示；那怒吼的松涛，是山对肆虐狂风之抗议；那清脆的滴嗒，是山对流逝岁月之记录。 46、我依依不舍地下了山，回眸远眺天池，心中无限感慨，大自然真是鬼斧神功，造出这等美景供人们欣赏！真是太神奇了！细数青山，瀑布奔腾一望间，玉龙下山，瓢洒飞雨，满眼云山图画开。清风明月，何时再来？ 47、溪流中总是夹杂着一沉一浮的桃花，那是从桃花谷流来的。花瓣浮在水面，像一只只小小的船儿随水漂去。那高大的松树，长着巨大的树冠，和它的兄弟们，来美化这山，这水，他们是这里的卫兵，忠诚守护着这片纯净的土地。 48、早晨，千山初醒，朝云出岫，在青青苍苍中，乳白色的云纱飘游山腰，像仙娥在轻轻起舞。傍晚，夕阳映照重峦，霞光倾泻万山，转眼间，太阳落山，霞光消退，在暮色降临山野的苍茫中，峰巅却凝聚着一片彩霞，经久不灭。 49、夜幕四合，周围的群山，像骆驼，像闸门，像卧佛，像长蛇。 50、走过崎岖的小路，才可以体味生活的欢乐；穿过茫茫迷雾，才可以深切感受阳光的明媚；不经风雨，怎么见彩虹？只有暴风雨之后，才能见到美丽的彩虹；只有越过那座山，才能看到神奇的海。 51、沿着山路盘旋而上，一头就钻进了绵延的大山。依偎在大山的村庄，人迹罕见，显得格外幽静。弯曲的路越走越长，当到了海拔多米的高山处，只有一栋崭新的教学楼孤独而骄傲的矗立着，一面鲜艳的五星红旗在校园的上空迎风飘扬。 52、坐在一隅，紧贴玻璃窗，胆怯下望，那样快速的运行，瞬间掠过急缓的山坡，深邃的峡谷，多彩的秋色，苍翠的松林淡淡的雾霭，缥缈的浮在山巅，恍如期许的梦幻，曾经真切的向往，而今就在眼前。 53、走进那山，火热的激情抚慰着崇山峻岭，柔柔的小路让我肆意地寻幽；走进那水，清新的风儿静谧地吹来花的清香、草绿意，清澈的绿波荡漾着山之精魂、山的豪气。走进那山，飘飞的思绪便有了归宿，走进那水，满怀的情结便有了托寄。 54、山是朴实的，看，那一片树林，一汪清泉便是它娇好的容颜。人们费尽力气攀上山顶，就是为了一睹它的秀美与壮丽，可是它却偏要让你累得快趴下了，才肯羞答答地揭开那面纱，山的壮美又让多少人拜倒在它的脚下！ 55、大山的景色真优美。小草碧绿碧绿的，郁郁葱葱，放眼望去整整齐齐。小草在微风的吹拂下，扭动着柔弱的身子，向我展示她那优美的舞姿。小草簇拥在一起想一张柔软的床，躺在上面，舒服极了，还有蛐蛐的叫声伴随着我，时不时的还有小虫子跳到你身上，真是好不惬意。 56、爬行在曲折峻险的栈道上，嬉戏于峡谷蔽日的丛林中，沐浴在腾空飞落的瀑布梅雨下，眼睛变得越来越明亮，心灵变成愈来愈清澈。行走在九如山的山水之中，喷涌而出的山泉，山涧中飞挂的瀑布，永不停歇的溪水，坦荡纯净的让人感受到人生的真谛，生命存在的意义。 57、虽梁大山无言，然非无声。那父老乡亲敬神的鞭炮，是它地裂般的怒吼；那潺潺而流的山泉，是它优美的琴声倾诉；那汩汩而涌的清泉，是它靓丽的歌喉展示；那怒吼的古柏，是梁大山对肆虐狂风之抗议；那清脆的滴嗒，是对梁大山流逝岁月之记录。 58、苍青色的起伏群山，一座叠着座，像大海的波涛，无穷无尽地延伸到遥远的天尽头，消失在那云雾迷漫的深处。 59、冬天，山上一片雪白，竹稍上，泥土上，到处都是积雪。皑皑的白雪，把大山整一个的裹了起来，让他暖暖地过一个冬天。这皑皑的白雪，将整一个村子都带入了冰雪世界。看，孩子们都在雪世界中嬉戏呢！ 60、眼前的山粗犷而冷峻，令人感到一种刚正不阿、力争上游的质朴美，似一幅凝重的画，如一首深邃的诗，若一个清新的故事。 61、周家嘴村深处有座大山，山上绿荫成林，古柏繁茂，树木葱茏。山间泉水流淌，淙淙潺潺，终年不息，恰似游龙吐珠。古柏为流水正鲜，流泉为古柏奏乐。 62、中午，太阳那金色的光芒照向大地，大山好像感到有点热似的，让树木把它遮盖住，让它感到凉爽。太阳其实也是一番好意，想让大山变得更加灿烂美丽辉煌。瞧，这不，正如它所愿，大山变得更加美丽了。它变得更加绿，更加光彩夺目了。 63、你看！那从山顶直泻而下的瀑布好似神奇灿烂的银河一般。这景观真是达到了恍惚缥缈，半似人间，半似仙宛的境界啊！太阳照在香炉峰上，云气雾霭经阳光透射，呈现出一片紫色烟雾，笼罩着香炉峰，犹如人间仙镜一般。这副天然形成的水墨画，比任何画都更富有诗情画意，更别居一番风味。 64、重重叠叠的高山，看不见一个村庄，看不见一块稻田，这些山就像一些喝醉了酒的老翁，一个靠着一个，沉睡着不知几千万年了，从来有惊醒它们的梦，从来没有人敢深入它们的心脏，就是那最爱冒险的猎人，也只到它们的脚下，追逐那些从山上跑下来的山羊、野猪和飞鸟，从不攀登它的峰顶。 65、两岸的山峰变化成各种有趣的姿态：有时像飘洒的仙女，有时像持杖的老翁，有时像献桃的猿猴，有时像脱缰的野马。 66、高矗云霄的博格达峰上，成年累月戴着白雪的头巾，披着白雪的大击，不管春夏秋冬，它总是一身洁白。 67、半山腰以上就是大片的野迎春，看上去金灿灿的，十分醒目。它就像大山引以为傲的金丝长衫！ 68、然而峒山以另一种风姿引人入胜－这是故乡的山，一草一木都带着江南的湿韵、鲜绿、却敦厚朴实，韵味天然。此次登山没有以往登山时的气喘吁吁，大汗淋漓。峒山，它绝对不让你感到高不可攀，它是一个宽厚的长者，坡度舒缓，让你在平实的的步履中稳步行走，给你以平安、踏实的信任之感，别有一番温馨，一番亲情。这是故乡的山独有的温候，是长者对子女的爱抚之情！ 69、山，是一种气势、一种精神、一种内涵、一种奉献，一种脊梁，也是一种自然的演练场 70、走到山顶，向下望，一片片绿油油的麦子地，像一块块地毯铺在黄土地上，那银灰色的柏油马路，则镶嵌在山上，像系了一条柔软的丝带。山顶上的小花，密密麻麻，我仿佛浮在了花海上，又似躺在了席梦丝床上，犹如走在一片花的世界里，五彩缤纷，像织不完的锦缎那么绵延，像天边的霞光那么耀眼，像高空的彩虹那么绚烂。 71、十渡的山虽没有峨嵋的娇姿、华山的险峻，也比不上泰山的挺拔、桂林山峰的奇异，但它却有自己独特的风韵才卜实无华。 72、巍峨的云峰上，霎时峭壁生辉，转眼间，脚下山林云消雾散，满山苍翠，掩映着雕檐玲珑的古代建筑群。 73、黄山奇石真奇妙，那些石头千姿百态，妙趣横生，如同一幅幅图画。一棵棵松树像威武的士兵，守卫着黄山。山顶上有一块仙人石，像一只靴子，倒置在石台上，人们称为仙人晒靴。在一座陡峭的山峰上，只见一块像猴子似的石头蹲在山上，看着一望无际的云海，真是又淘气又可爱。这就是有趣的猴子观海。 74、到了山顶依稀听见哗哗哗的流水声和着树上小鸟的叫声，真像一首大自然和谐的赞歌，我独自漫步在山顶的旷野中，任大脑在美中陶醉，任心潮在美中起伏，我不禁感叹：我曾经领略过九鲤湖水的清丽，南普陀的雄伟，菜溪岩的状观可是此时，我却被大蜚山的自然的美震慑了。原先那些华丽的感慨，被一股大自然的魅力所推翻了。 75、这堵石壁似摩天大厦仰面压来，高得像就要坍塌下来咄咄逼人。山巅上，密匝匝的树林好像扣在绝壁上的一顶巨大的黑毯帽，黑绿从中，岩壁里蹦蹿出一簇簇不知名的野花。 76、清晨的五泉山，是不加任何修饰的。从远处看，山上云雾缥缈，像人间仙境一样。顺着旁边崎岖的小道漫步而上，就会感到空气里带着泥土的气息，在山林里深呼吸，真有一种回归大自然的感觉，再加上小鸟儿叽叽喳喳地唱着，让人感觉分外舒畅。 77、烂漫的桃花如一片粉红色的雾笼罩着整个半山腰，那样子分明像极了大山飘逸的裙带。接着，半山腰以下便是成片的樱桃花，雪白雪白的，好像下了雪一般，那景象真是美不胜收！樱桃花像极了大山的裙子，给大山增添了几分靓丽。半山腰以上就是大片的野迎春，看上去金灿灿的，十分醒目。它就像大山引以为傲的金丝长衫！ 78、水流虽然比起上游来已经从群山之中解放了，但依然相当湍急，因此颇有放纵不羁之概，河面相当辽阔，每每有大小的洲屿，戴着新生的杂木。春夏虽然青翠，入了冬季便成为疏落的寒林。水色，除夏季洪水期呈出红色之外，是浓厚的天青。远近的滩声不断地唱和着。 79、站在这里一看，真怪，山简直变了样，它们的形状与在平原或半山望上来大不相同，它们变得十分层叠、杂乱，雄伟而奇特。往上仰望，山就是天，天也是山，前后左右尽是山，好像你的鼻子都可随时触到山。

核心内容是求分布列及均值（期望），服从二次分布，服从超几何分布，服从两点分布！