河海大学极限计算的21种主要方法示例之一

一、利用极限四则运算法则求极限

函数极限的四则运算法则：设有函数，若在自变量f（x），g（x）的同一变化过程中，有limf（x）=A，limg（x）=B，则

lim［f（x）±g（x）］=limf（x）±limg（x）=A±B

lim［f（x）u30fbg（x）］=limf（x）u30fblimg（x）=Au30fbB

lim==（B≠0）

（类似的有数列极限四则运算法则）现以讨论函数为例。

对于和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，但使用这些法则，往往要根据具体的函数特点，先对函数做某些恒等变形或化简，再使用极限的四则运算法则。方法有：

1.直接代入法

对于初等函数f（x）的极限f（x），若f（x）在x点处的函数值f（x）存在，则f（x）=f（x）。

直接代入法的本质就是只要将x=x代入函数表达式，若有意义，其极限就是该函数值。

例1：求极限（x+3）。

解：（x+3）=2+3=7。

2.无穷大与无穷小的转换法

在相同的变化过程中，若变量不取零值，则变量为无穷大量?圳它的倒数为无穷小量。对于某些特殊极限可运用无穷大与无穷小的互为倒数关系解决。

（1）当分母的极限是“0”，而分子的极限不是“0”时，不能直接用极限的商的运算法则，而应利用无穷大与无穷小的互为倒数的关系，先求其的极限，从而得出f（x）的极限。

例2：求。

解：∵==0

∴=∞。

（2）当分母的极限为∞，分子是常量时，则f（x）极限为0。

例3：求。

解：=0。

3.除以适当无穷大法

对于极限是“”型，不能直接用极限的商的运算法则，必须先将分母和分子同时除以一个适当的无穷大量x。

例4：计算。

解：===3。

一般情形有如下结论：

设a≠0，b≠0，m，n是正整数，则

=0，当n＞m时，当n=m时∞，当n＜m时。

4.有理化法

适用于带根式的极限。

例5：计算（-）。

解：（-）=

==0。

二、利用夹逼准则求极限

函数极限的夹逼定理：设函数f（x），g（x），h（x），在x的某一去心邻域内（或|x|＞N）有定义，若①f（x）≤g（x）≤h（x）；②f（x）=h（x）=A（或f（x）=h（x）=A），则g（x）（或g（x））存在，且g（x）=A（或g（x）=A）。（类似的可以得数列极限的夹逼定理）

利用夹逼准则关键在于选用合适的不等式。

例6：计算x［］。

解：当x＞0时，有1-x＜x［］≤1，利用夹逼准则，有（1-x）=1，所以有x［］=1。

三、利用单调有界准则求极限

单调有界准则：单调有界数列必有极限。

首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程，可求出极限。

例7：证明数列，，，…有极限，并求其极限。

证明：（1）先证数列有界，易知{x}递增，且x≥，

用数学归纳法证明x≤2，显然x=＜2，

若x≤2，则x=≤=2。

（2）再证数列单调增加x-x=-x==。

利用（1） 0＜x＜2?圯x-x＞0。

（3）利用单调有界收敛准则，x=a。

（4）由x=，x=2+x。

在等式两端取极限，得a=2+a，求得a=2或a=-1（明显不合要求，舍去）

所以x=2。

四、利用等价无穷小代换求极限

常见等价无穷小量的例子有：当x→0时，sinx～x；tanx～x；1-cosx～x；e-1～x；ln（1+x）～x；arcsinx～x；arctanx～x；（1+x）-1～x。

等价无穷小的代换定理：设α（x），α′（x），β（x）和β′（x）都是自变量x在同一变化过程中的无穷小，且α（x）～α′（x），β（x）～β′（x），lim存在，则lim=lim。

例8：计算。

解：利用等价无穷小代换，

有===。

注：当分母或分子是两个等价无穷小相减时，不可简单地用各自的等价无穷小代换，否则将导致错误的结果，从另一个角度，等价无穷小代换适宜在乘积和商中进行，不宜在加减运算中简单代换。

例如：因为x→0时，tanx～x，sinx～x，有==0。

上式出现错误的原因是当x→0时，尽管tanx～x，sinx～x，但tanx与sinx（x→0）趋于零的速度只能近似相等，但不完全相等。

五、利用无穷小量性质求极限

在无穷小量性质中，特别是利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量的性质求极限。

例9：计算xsin。

解：当x→0时，x是无穷小量，由|sin|≤1，即sin是有界量，故xsin是无穷小量，于是xsin=0。

六、利用两个重要极限求极限

使用两个重要极限=1和（1+)=e求极限时，关键在于对所给的函数或数列作适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。

例10：计算。

解：===2。

例11：计算（）。

解：（）=［（1+）］=e。

七、利用洛必达法则求极限

如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f（x）与g（x）都趋于零或趋于无穷小，则可能存在，也可能不存在，通常将这类极限分别称为“”型或“”型未定式，对于该类极限一般不能运用极限运算法则，但可以利用洛必达法则求极限。

洛必达法则：

设（1）极限为型或型未定式；

（2）f（x），g（x）在某去心邻域（x）或|x|＞X时可导，且g′（x）≠0；

（3）存在或为无穷小，则=。

其他未定式，如“0u30fb∞”型、“∞-∞”型、“1”型、“0”型、“∞”型，不能直接用洛必达法则，需转为“”型或“”型后再用洛必达法则。

例12：计算。（型）

解：==2。

例18：计算（sinx）。（0型）

解：（sinx）=e=e=e=e=e=e=1。

八、利用泰勒公式求极限

如果函数f（x）在含有x的某个开区间（a，b）内具有直到n阶的导数，则当x在（a，b）内时恒有f（x）=f（x）+f′（x）（x-x）+（x-x）+…+（x-x）+o［（x-x）］（x→x），

其中o［（x-x）］称为皮亚诺余项，当x=0时，上述等式称为麦克劳林公式。

对某些较复杂的求极限问题，可利用麦克劳林公式加以解决。

例19：计算。

解：=

==。

在用泰勒公式求极限时，我们应当灵活应用分清哪些项需要展开，哪些项可以保留。对于复杂函数的极限，泰勒公式是一个有力且有效的工具。

九、利用定积分定义求极限

若遇到某些求和式极限问题，能够将其表示为某个可积函数的积分和，就能用定积分来求极限，关键在于根据所给和式确定被积函数，以及积分区间。

例15：计算sin+sin+…+sinπ。

解：原式=sin+sin+…+sinπ+sinπ=?蘩sinπxdx=［cosπx］=。

利用等价无穷小代换，

有===。

注：当分母或分子是两个等价无穷小相减时，不可简单地用各自的等价无穷小代换，否则将导致错误的结果，从另一个角度，等价无穷小代换适宜在乘积和商中进行，不宜在加减运算中简单代换。

例如：因为x→0时，tanx～x，sinx～x，有==0。

上式出现错误的原因是当x→0时，尽管tanx～x，sinx～x，但tanx与sinx（x→0）趋于零的速度只能近似相等，但不完全相等。

利用无穷小量性质求极限

在无穷小量性质中，特别是利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量的性质求极限。

例9：计算xsin。

解：当x→0时，x是无穷小量，由|sin|≤1，即sin是有界量，故xsin是无穷小量，于是xsin=0。

利用两个重要极限求极限

使用两个重要极限=1和（1+)=e求极限时，关键在于对所给的函数或数列作适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。

例10：计算。

解：===2。

例11：计算（）。

解：（）=［（1+）］=e。

从左边趋近1了,x一定是正数.因为x要从左侧无限接近1,至少要大於0.9吧，而从左边接近0,一定是负数这个没话说,所以结果是-∞ 问题2,1-∞=-∞,结果为-1/∞=-0=0。