如何证明二阶变系数微分方程式是线性系统

很简间,就是微分方程式中,系数还不是常数,是变量,如 d^2y/dx^2+x^2dy/dx+y=0

对于 形式的微分方程，主要求解步骤为：猜根；刘维尔公式；常数变易。 得到一个特解后，使用刘维尔公式 ，或者另一形式的刘维尔公式 （以上 ），即可求得另一特解。 于是便得到了对应齐次方程的通解。 假如通过以上步骤得到齐次方程的通解为 ，常数变易法令非齐次的通解为 。所以有 简写做， 于是便可以解得 ，积分得到 后，代入即可得到非齐次方程的通解。

注意(tanx)"=1/cos²x所以(y *tanx)"=y" tanx + y/cos²x那么原方程可以化为y" +(y *tanx)"=0那么积分得到y" + y *tanx =A所以cosx *y" + y *sinx =Acosx即(cosx *y" + y *sinx)/ cos²x = A/cosx而注意 (y/cosx)"= (cosx *y" +y *sinx) / cos²x所以(y/cosx)"=A/cosx故积分得到y/cosx=A*ln|secx +tanx| +B，所以微分方程的解为y=Acosx *ln|secx +tanx| + Bcosx，A和B为常数

这两个都是变系数方程，因为y, y", y"项前面的系数是x的函数，而不是常数。比如I) 中，y前面的系数为(1-2x)/x²。

设t=cosx则dy/dx=-sinxdy/dtd^2y/dx^2=(sinx)^2d^2y/dt^2-cosxdy/dtd^2y/dx^2-cotxdy/dx+(sinx)^2y=(sinx)^2d^2y/dt^2-cosxdy/dt+cosxdy/dt+(sinx)^2y=0d^2y/dt^2+y=0y=Asint+Bcost=Asin(cosx)+Bcos(cosx)

以二阶微分方程为例（高阶的以此类推）：经过化简，可以变形为这种形式的称为线性微分方程：P(x)y"+Q(x)y"+R(x)y=S(x) （其中，P(x)，Q(x)，R(x)，S(x)都是已知的x的函数式）无论如何怎么化简，方程中都带有y或者y的导数的非一次方的微分方程就是非线性微分方程。例如y"y=y²，虽然y不是一次方，但是我通过等价变形可以变成y(y"-y)=0，即y=0或者y"-y=0，因为y和y"都是一次方，因此他们是线性微分方程。而他们的系数都是常数，所以可以称之为常系数微分方程。再如(sinx)y"-y=0，因为y"和y的次数都是1（含有x的函数项不算），所以是线性微分方程。而y"的系数是sinx，因此是变系数线性常微分方程。再如y"y=1，无论如何化简（例如把y除过去），都不能变成y"和y次数都是1的形式，因此该方程为非线性微分方程。再加一句：线性微分方程都有解析解，就是可以写成函数解析式y=f(x)的形式。但是非线性微分方程就很难说了。一般来说，部分一阶非线性微分方程有解析解。但是二阶或二阶以上的非线性微分方程很难有解析解。

变系数微分方程的意思是方程的系数是x的函数举例如下：x【d^2x/dt^2】+dx/dt+t=0这里的第一个x作为系数是x的函数，所以就是变系数的。这不能化成常系数的。

用MatLab解出来的通解是y = 1/x*log(x-1)*C1+1/x*C2+1/2*(x^2+2*x+2*log(x-1))/x

欧拉方程微分方程详解如下：在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：ax²D²y+bxDy+cy=f(x)。其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。例如：(x²D²-xD+1)y=0,(x²D²-2xD+2)y=2x³-x等都是欧拉方程。化学中足球烯即C-60和此方程有关。应用：在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动，可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，这使得计算得以简化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零黏性及无热传导项的纳维斯托克斯方程。历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程，包括能量方程——称为“欧拉方程”。跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律；而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。

二阶变系数常微分方程解法 无一般解法,特殊情况除外(线性常系数微分方程,可化为线性常系数微分方程的方程尤拉方程,某些方程可有幂级数解法). 变系数二阶常微分方程～ x(x-1)y""+(3x-2)y"+y=2x 等价于 [x(x-1)y" + (x-1)y]" =2x x(x-1)y" + (x-1)y = x^2 +C0 化为一阶线性微分方程 y" +(1/x)y = (x^2 +C0)/[x(x-1)] 套用公式 e^(∫1/xdx) =x y = (1/x)∫(x^2 +C0)/[x(x-1)]*x dx = (1/x)∫(x^2 +C0)/(x-1) dx 其中(x^2 +C0)/(x-1) = (x+1) + (C0+1)/(x-1) =(x+1) + C1/(x-1) y= (1/x)[(x+1)^2/2 +C1*ln(x-1) +C2] MATLAB 二阶常微分方程 clear all clc f=@(t,x)([x(2);-x(2)+100*x(1)+1+200*cos(2.5*t)]); [t,X]=ode45(f,[0 1],[1 42.510604]); plot(X(:,1),X(:,2)) 画出来的不是周期图，检查一下方程 matlab 中二阶常微分方程的数值解法 odefun=@(t,x)[x(2);3*x(2)-2*x(1)+1]; [t,y]=ode45(odefun,[0:0.01:2],[1 0]); plot(t,y) [t y] 结果 y(0.5000)=0.7896 y= dsolve("D2y-3*Dy+2*y=1","Dy(0)=0","y(0)=1"); >> y y = exp(t) - exp(2*t)/2 + 1/2 >> feval(@(t)exp(t) - exp(2*t)/2 + 1/2,0.5) ans = 0.7896 一类二阶常微分方程的几种解法 1、引言常微分方程有着深刻而生动的实际背景,它从生产实践与科学技术中产生,而又称为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。人们对二阶及以上微分方程(包括线性、常系数、隐性)的研究,产生了许多理论成果。如胡爱莲[1],屈英[2],汪涛[3]等。对于变系数的常微分方程尤其是高阶常微分方程,一般没有确定的解法,通常的方法就是“降阶法”,即通过变换将高阶常微分方程的求解问题转换为较低阶的常微分方程来求解(见文献[4-5])。本文通过一个具体的例子,说明一类二阶可降阶的常微分方程的几种解法。2、特殊的二阶常微分方程的解法即:(18)解法三:根据高等数学在数学软体Matlab中的应用[6],从而得到启发,应用Matlab来求解此类方程。故在开启的命令视窗输入下述命令:>>symsty;>>y=dsolve("D2y=1+Dy^2")y=1/2*log(1+tan(t+C1)^2)+C2上述结果只要作如下的变形就与解法一、解法二的结果是一致的。 matlab求解二阶常微分方程 用dsolve（）函式，就可以解决。 dsolve("3*D2x+500*Dx+2000*x","Dx(0)=2.5","x(0)=0.1") ans = (565^(1/2)*exp(t*((10*565^(1/2))/3 - 250/3))*(2*565^(1/2) + 65))/22600 + (565^(1/2)*(2*565^(1/2) - 65))/(22600*exp(t*((10*565^(1/2))/3 + 250/3))) %x(t) 二阶常微分方程问题 将x = u(t+s)代入得到等式: u"(t+s) = F(u(t+s),u"(t+s),t). 换元t = T-s得: u"(T) = F(u(T),u"(T),T-s). 上式是恒等式, 也即: u"(t) = F(u(t),u"(t),t-s). 而将x = u(t)代入方程得到: u"(t) = F(u(t),u"(t),t). 于是有F(u(t),u"(t),t-s) = F(u(t),u"(t),t), 对任意实数t, s与方程的任意解u成立. 当F连续, 对任意实数X, Y, 方程存在满足u(0) = X, u"(0) = Y的解. 代入得F(X,Y,-s) = F(X,Y,0)对任意实数s成立. 因此X, Y给定时, F(X,Y,-s)是与s无关的常数, F与第三个分量无关. 另外如果条件只是存在一个解x = u(t)使x = u(t+s)也是该方程的解, 则结论不能成立. 例如x" = xt, 有解x = 0. 一阶常微分方程的解法 用三要素法试试，屡试不爽的呵 二元二阶非线性常微分方程matlab解法 matlab里面常使用龙格库塔方法求解常微分方程组，命令是ode45，还有其他一些函式，但是最常用的是ode45，lz可以help一下，很简单的，另外给你一个文件，讲的还是比较详细，希望可以帮到你 :wenku.baidu./view/922e6feae009581b6bd9eb6c. 常微分方程解 ∵x""+x=0的特征方程是r^2+1=0，则r=±i（复数根） ∴此方程的通解是x=C1cost+C2sint (C1,C2是常数)。

若q(x)非常数，其通解一般表为贝赛尔（Bessel）函数；一个特例是，若q(x)=x，通解为AIry函数。若q(x)为常数，则表为三角函数（谐运动）。

线性偏微分方程是一类重要的偏微分方程，关于所有未知函数及其偏导数都是线性的偏微分方程称为线性偏微分方程。例如，拉普拉斯方程、热传导方程及波动方程都是线性偏微分方程。定义：如果偏微分方程中，未知函数及它的所有偏导数都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于自变量(或者是常数)，那么这样的偏微分方程就称为线性偏微分方程，特别的，如果方程中的系数都是常数，则称为常系数偏微分方程。显然，如果方程中的系数是自变量的函数，则称为变系数偏微分方程。方程中出现未知函数及偏导数不是线性的，则称为非线性偏微分方程。偏微分方程：未知函数具有多个自变量，含有这种未知函数的一个或多个偏导数的微分方程称为偏微分方程。如自变量只有一个就成为常微分方程。如方程不止一个，就称为偏微分方程组。 就是一个典型的偏微分方程。 就是一个典型的常微分方程。

我不介意他不会做|家|务，但是他不能什么也不想做。首先求出对应的齐次方程的通解，其中C1、C2是常数，y1、y2是x的函数。然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解，方法是把齐次方程的通解中的常数C1、C2换成x的未知函数u1、u2。变系数线性微分方程通常没有一般的方法可以求解，但一阶的变系数线性微分方程是例外。积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程，与微分方程相对。许多数学物理问题需通过积分方程或微分方程求解。积分方程是数学的一个重要分支。积分方程与数学的其他分支，例如，微分方程、泛函分析、复分析、计算数学、位势理论和随机分析等都有着紧密而重要地联系。甚至它的形成和发展是很多重要数学思想和概念的最初来源和模型。例如，对泛函分析中平方可积函数、平均收敛、算子等的形成，对一般线性算子理论的创立，以至於对整个泛函分析的形成都起着重要的推动作用。许多微分方程的求解问题可以归结为积分方程的 求解问题。积分方程论主要研究积分方程解的存在 性、唯一性、求解方法以及关于它的特征值和特征函数的理论。积分号下含有未知函数的方程。其中未知函数以线性形式出现的，称为线性积分方程；否则称为非线性积分方程。

考研数学一考二阶线性微分方程,因为考研数一大纲里有高阶常系数线性微分方程求解的内容,所以,出题的机率还是比较大的。查看更多

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1、二阶变系数线性微分方程的一些解法或22dtxd+mλdtdx+mkx=m)t(F这就是物体运动的数学模型——振动方程。为方便起见，记mλ=2β(β>0)，mk=ω2f(ω>0)，m)t(F=f(t)。2、二阶线性微分方程是指未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的二阶方程，简单称为二阶线性方程。二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。

你如果考研考理论物理之类的估计是要的，解薛定谔方程嘛

如果你知道龙格库塔法，你就会先将其转化为一次微分方程组而后就是算法的问题。

这两个题在形式上虽然是二阶变系数微分方程，但难度并不大。第三题：根据线性微分方程解的结构，只要通过验证，再找出一个对应齐次方程的特解即可。而对应齐次方程为 xy""+y"=0 y=C显然是它的解。故选A第四题：这是个二阶微分方程，通解应含且只含两个任意常数。故选D

1.首先是线性，线性主要包括齐次性和叠加性。判断方法是，系统若满足对任意激励信号：先线性运算，后经过系统=先经过系统后经过线性运算的结果。则为线性系统。例子如下：2.然后判断是否为移不变特性，从输入输出关系上看;判断方法是，系统若满足对任意激励信号：先时域移动、后经过系统的结果=先经过系统、在时域移动的结果，则系统是时不变系统，否则为时变系统。扩展资料：时变系统(time-varying system)其中一或一个以上的参数值随时间而变化，从而整个特性也随时间而变化的系统。对线性连续系统而言，当系统中有一个或一个以上的参数值随时间而变（即为时间的函数）时，其数学模型是一个变系数线性微分方程。而对线性离散系统而言，当系统中有一个或一个以上的参数值随时刻而变（即为时刻的函数）时，其数学模型则是一个变系数线性差分方程。由于对变系数微分方程及差分方程的分析求解，比对常系数微分方程及差分方程的分析求解繁难得多，故分析时变系统的信号处理功能远较分析时不变系统的相应功能复杂困难，有时甚至求不出确切解而只能求出近似解。当系统中有多个参数随时间而变时，则可能无法用解析法求解。时不变系统是输出不会直接随着时间变化的系统。如果输入信号  产生输出y(t)，那么对于任意时间延迟的输入  将得到相同时间延迟的输出  。如果系统的传递函数不是时间的函数，就可以满足这个特性。 这个特性也可以用示意图的术语进行描述如果一个系统是时不变的，那么系统框图与任意延时时刻的框图都是可以互换的。为了表明如何确定系统是时不变系统，我们来看两个系统：系统 A: 系统 B: 由于系统 A 除了x(t)与 y(t)之外还显式地依赖于 t 所以它是时变系统，而系统 B 没有显式地依赖于时间 t 所以它是时不变的。参考资料：百度百科-时变系统

变系数二阶常微分方程无一般解法，求解非一般的困难可参考一下这篇论文：http://wenku.baidu.com/view/862d5d0f52ea551810a68731.html以及这篇文章：http://wenku.baidu.com/view/d1d7244c2e3f5727a5e962e4.html

欧拉公式http://baike.baidu.com/view/398.html欧拉方程

特征方程适用于任何阶的常系数微分方程。变系数不能用。

在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：欧拉ax²D²y+bxDy+cy=f(x),其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。例如：(x²D²-xD+1)y=0,(x²D²-2xD+2)y=2x³-x等都是欧拉方程。化学中足球烯即C-60和此方程有关

谢谢， 我不能

下雨天，在雨里面等待好几个小时，整个人都被淋湿了，但是仍然特别高兴。首先，从离散的数列开始入手，定义数列极限，是收敛还是发散，收敛数列的性质，收敛准则等等。有未知量的等式就是方程了，数学最先发展于计数，而关于数和未知数之间通过加、减、乘、除和幂等运算组合，形成代数方程：一元一次方程，一元二次方程、二元一次方程等等。然而，随着函数概念的出现，以及基于函数的微分、积分运算的引入，使得方程的范畴更广泛，未知量可以是函数、向量等数学对象，运算也不再局限于加减乘除。再讨论函数的极限，从定义入手，迁移了数列极限的思路，讨论了函数极限的性质等，数列与函数通过海涅原则得到连接；相关的性质定理等知识点可以类比数列学习，毕竟数列是离散量（数列可以理解成自变量是自然数的函数），函数主要是连续量。自从数学从常量数学转变为变量数学，方程的内容也随之丰富，因为数学引入了更多的概念，更多的运算，从而形成了更多的方程。其他自然科学，尤其物理学的发展也直接提出了方程解决的需求，提供了大量的研究课题。由于连续函数的定义域是实数集，而数列可看成是定义在正整数集上的函数，由此差别，函数引入了通过极限来定义的连续和一致连续，然后给出了连续函数的有界、零点或介值、最值的性质定理。微分方程指的是：含有未知函数及其导数的方程。该类方程的未知量是函数，不同于函数方程的是，对未知函数有求导运算，且可以是高阶导数。然而，如果方程中的未知函数只含有一个自变量，那么微分方程就是常微分方程了。为进一步研究函数的性质，继续通过极限定义了函数的导数和微分，并引入了求导法则和微分中值定理，用于讨论函数的单调性、极值或最值、凹凸性等问题，还讨论了函数可导与连续的关系。

先把类似于P（x）、Q（x)之类的系数函数理解为系数，那么y和y的导数就形成一个方程，如果它们之间只有数乘和加和运算（不包括类似于yy"这种运算），那么这个微分方程是线性的，反之则是非线性的。

所谓的线性微分方程是指微分变量（y）和微分算子（dy/dx）的幂都是1次的微分方程。它的通解满足线性叠加原理。简单的例子：y"""+y""+y"+y=0是线性的，但y"""+y""+(y")^2+y=0,或者y"""+y""+y"+y^2=0都不是线性的，因为有2次元素的存在。

无一般解法,特殊情况除外(线性常系数微分方程,可化为线性常系数微分方程的方程欧拉方程,某些方程可有幂级数解法).

主要是分析变量

微分方程中出现的未知函数和该函数各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程。它的理论是常微分方程理论中基本上完整、在实际问题中应用很广的一部份。　　线性一阶常微分方程 　在初等常微分方程中已经知道方程y┡+p(x)y=Q(x)　 　 (1)及其对应的齐次线性方程y┡+p(x)y=0　 　 (2)的解法，得到(2)的通解和满足初始条件y(x0)=y0的特解分别为：(3)(1)的通解和满足初始条件y(x0)=y0的特解分别为：， (4)方程(1)、(2)及其解有以下的重要的性质。　　①y(x)呏0是(2)的解，称为明显解。如果p(x)在x0连续,则满足零初始条件y(x0)=0的解必为明显解。②方程(2)的任意两个解y1与y2的线性组合C1y1+C2y2也是(2)的解,C1,C2是任意常数。③y*(x)是(2)的满足条件y(x0)=1的特解。④(2)的解的全体构成一维线性空间，明显解是零元素。⑤ 方程(1)的通解(4)等于(1)的一个特解加上(2)的通解。⑥Y(x)是(1)的满足零初始条件y(x0)的特解。⑦若Q(x)=Q1(x)+Q2(x),又已知yi(x)是y┡+p(x)y=Qj(x),(i=1,2)的解,则y1(x)+y2(x)是方程(1)的解（叠加原理）。　　易见，线性代数方程组的解也具有类似的性质。线性常微分方程组和线性高阶常微分方程的解也有同样的性质。　　线性一阶常微分方程组 　这种方程组可写成如下形式(6)若其中αij(x),?i(x)在x的区间(α,b)上为连续，则方程(6)的满足的解(y1(x),y2(x),…,yn(x))在区间(α,b)上存在而且惟一。　　为方便计，(6)可写为向量方程(7)式中而对应的齐次方程是(8)仿照线性代数中那样，对于任意m个n元向量函数y1(x),y2(x),…,ym(x)，可以定义它们在区间(α,b)上的线性相关与线性独立。当这些函数都是同一个方程(8)的解时,它们的线性相关性或独立性可由其在(α,b)中的任一点x0为线性相关或独立来决定。特别,当m=n时成立等式(9)其中后一行列式称为y1,y2,…,yn的朗斯基行列式。由它在(α,b)中任一点的值等于零或不等于零，可判定y1，y2，…yn在(α,b)中是(8)的线性相关解或线性独立解。由此，方程(8)必存在n个线性独立解,而任何n+1个解都是线性相关的。　　对应于方程(1)与(2)的前述7条性质,方程(7)与(8)也有如下的性质。①y(x)呏0是(8)的明显解。若A(x)在x0连续，则满足条件y(x0)=0的解必为明显解。②方程(8)的任意几个解的线性组合也是(8)的解。(8)的通解可表为,其中C1，C2，…，Cn为n个任意常数，y1(x),y2(x),…,yn(x)是(8)的任何n个线性独立解,称之为(8)的一个基本解组,由它们的n2个分量构成的方阵称为基解方阵。③若y壜(x),(i=1,2,…,n)是(8)的基本解组,使对应的基解方阵Y*（x）满足初值条件Y*(x0)=E（E为单位方阵）,则(8)的任一解y(x)可表示为y(x)=Y*(x)y(x0)。但仅当与A(t)为可交换时(即B(t)A(t)=A(t)B(t)），Y*(x)才能写成的形式。④(8)的解的全体构成n维线性空间，任何一个基本解组都可作为此空间的基底，明显解是零元素。⑤方程(7)的通解等于它的一个特解加上(8)的通解，且可表示为：(10)式中y0=y(x0)。⑥(10)式右边第二项是方程(7)的满足零初始条件y(x0)=0的特解。⑦若?(x)=?1(x)+?2(x),又已知yi(x)是的解,则y1(x)+y2(x)是(7)的解。　　线性高阶常微分方程 　这种方程可写为如下形式。　(11)此方程可借助于引进新的未知函数化为一阶方程组。令y1=y,y2=y┡,y3=y″,…,yn=y(n-1)，则(11)化为若改记(12)为向量方程，则这时式(9)中的，而朗斯基行列式成为式中y1,y2,…,yn表示(11)所对应的齐次方程的任意n个解，而(11)的通解是对应的(12)的通解(10)的第一个分量。　　由于黎卡提方程y┡=p(x)y2+Q(x)y+R(x)可借代换化为u的线性二阶方程或线性方程组。所以即使是只含两个未知函数的线性方程组（或是二阶线性方程）也未必能用初等方法求出通解。但可证明：如果已知(8)或(11)所对应的齐次方程的k个线性独立解，则该齐次方程即可被降为只含n-k个未知函数的线性方程组或线性n-k阶方程。由此可得重要结论:当n=2时,如果方程y+p1(x)y┡+p2(x)y=0　 (13)的一个非零特解y1为已知，则可求出它的通解，且具有如下形式：，对n=2时的方程(8)也成立类似的结论。但对y+p1(x)y┡+p2(x)y=q(x)， 　(14)仅当已知它的两个特解时才能求出其通解;对于n=2时的方程组(7)，也是如此。　　方程(13)在应用数学中颇为重要，对它还有幂级数解法、广义幂级数解法、定积分解法以及解的定性讨论等内容。　　伴随微分方程 　以A*(x)记方程(8)中A(x)(可能为复方阵函数)的共轭转置方阵，则称(15)为(8)的伴随微分方程。不难证明：(8)的任一基解方阵φ(x)与(15)的任一基解方阵Ψ(x)必满足恒等式Ψ*(x)φ(x)=C，C是（复的）常数方阵。　　借助于(12)，易证线性齐次高阶方程Lny=y(n)+p1(x)y(n-1)+…+pny=0 　 　(16)的伴随方程是　对于(16)和(17)成立拉格朗日恒等式：设pi(x)在区间(α,b)上为n-i次连续可微，u(x)与v(x)在(α,b)上为n次连续可微，则有， 　(18)式中。把(18)在(α,b)的任一子区间(x1,x2)上积分,即得格林公式：(19)这两个公式对讨论边值问题很有用处。此外，由(18)还可看出:如果υ(x)是(17)的非零解，则尌(x)是(16)的积分因子。　　常系数线性方程组与常系数线性高阶方程 　对于常系数一阶线性非齐次方程组(20)及其对应的齐次方程组。 　(21)按照前述线性一阶常微分方程组的理论和矩阵函数的知识可得(21)的通解为。　 　(22)(20)的通解为。　 (23)为了实用上的需要，还须知道eAx的具体表达式。　　称λ的n次代数方程│A-λE│=0为(21)的特征方程，它的根为(21)的特征根。可以证明：若λi是特征根,Γi是对应的特征向量,则eΓi是(21)的解；又若λi≠λj都是特征根,则eΓi与eΓj是(21)的两个线性独立解。因此,如果(21)有n个不同的特征根λ1,λ2,…,λn,则它的通解是。一般,当特征方程可能有重根时,可借助于线性代数中化矩阵为若尔当法式的理论来求(21)的通解。设非奇异方阵p使p-1Ap=B具若尔当法式，则线性变换y=pz可以化(21)为, (24)其中Bj为nj阶若尔当块,n1+n2+…+nr=n。若记Bj=λjEj+Nj则有而(24)的通解为(21)的通解是(25)由此可见у的各个分量都具有(26)的形式，pkj(x)是x的次数不大于(nj-1)的多项式，系数是C1,C2,…,Cn的齐次线性组合。　　若(20)与(21)是由线性常系数高阶方程y(n)+p1y(n-1)+…+pny=q(x)　 (27)与y(n)+p1y(n-1)+…+pny=0　 (28)化来，则特征方程是λn+p1λ(n-1)+…+pn-1λ+pn=0，　 　(29)而(26)中的y1即(28)的通解。这时A的右上角有一个n-1阶子行列式之值为1，故(29)的每一i重根λ*只对应于一个i阶若尔当块，而y1中前面的多项式必为i-1次。又若(27)为实系数而有复特征根，则必成对出现。实用上常以 eαxcosβx与eαxsinβx这两实解代替两个共轭复解。　　虽然从理论上说，(20)或(27)的特解可按公式(23)右边的第二项来求,其中eAtt=peBttp-1。但在具体计算时是相当麻烦的。当q(x)或?(x)的各分量为多项式、正弦余弦函数、指数函数、或三者的乘积之和时，不难得知对应的特解所应具有的形式，然后可用待定系数法来求特解。此外，也可采用符号方法或拉普拉斯变换法求特解。拉氏变换法是把常系数线性微分方程的求解问题化为线性代数方程或方程组的求解问题，求解时把初始条件一起考虑在内，不必先求通解再求特解，在工程技术中有广泛的应用。此外，还有用留数理论求方程(20)或(21)解的方法。　　欧拉方程和周期系数线性方程 　这是两种可化为常系数的变系数线性方程。二者有本质的不同，前者是切实可行的，后者只有理论上的价值。欧拉方程是形如xny(n)+α1x(n-1)y(n-1)+…+αn-1xy┡+αny=?(x)　(30)的方程，经自变量的代换x=et就可化为常系数，这时有，不难写出所对应的、以t为自变量的常系数线性方程。对比(30)更一般的方程(αx+β)ny(n)+α1(αx+β)(n-1)y(n-1)+…+αny=?(x)可作代换αx+β=et。又对方程组(7),只要αij(x)=αijφ(x)对一切i，j，则用代换总可把(7)化为常系数。　　若(8)中的A(x)对x有周期ω，而Y(x)是一基解方阵，则Y(x+ω)也是，故Y(x+ω)=Y(x)C,C为非奇异方阵。由线性代数知有方阵B使C=eωB,令p(x)=Y(x)e-Bx，则p(x)也有周期ω。若在(8)中作变换y=p(x)z,则z将满足常系数方程。 (31)C的特征根ρi与B的特征根λi之间存在关系,ρi与λi分别称为周期系数方程(8)的特征乘数和特征指数。由（31）易见这时(8)的任意解的每一分量是形如e·φi(x)的函数的线性组合,其中φi(x)为x的多项式,系数是x的周期为ω的周期函数。但即使对于极简单的马蒂厄方程y+(λ+μcosx)y=0，　 　 　(32)对应的一阶方程组的变换方阵C也写不出来，而只知有ρ1ρ2=1这个关系式。为研究 (32)的解的性质，只能在(λ，μ)平面中画出无数条曲线（它们的方程只能近似地确定）,分此平面为无数个属于两种类型的区域,然后说明在两类区域中或位于曲线上的点(λ，μ)，其所对应的方程(32)的解会具有一些什么样的性质。关于方程(32)以及比它更广的很有实用价值的希尔方程y+φ(x)y=0，φ(x+π)=φ(x)都有专著。　　参考书目　　叶彦谦编：《常微分方程讲义》,第2版，人民教育出版社，北京，1982。　　R.贝尔曼著，张燮译：《常微分方程的解的稳定性理论》,科学出版社，北京,1957。(R.Bellman,StαbilityTheory of Differentiαl Equαtions , McGraw-Hill,New York, 1953.)　　E.L.Ince,Ordinαry Differentiαl Equαtions , Dover, New York, 1944.

形式多种多样，只是现在一般非数学专业的大学教材或者考研大纲里面，只要求变系数的这两种形式掌握，甚至推导过程都不需要掌握只要记住结论就可以了，数学题目和研究领域众多，这两种也只是比较典型的考试需求，从整体来看还是冰山一角。

变系数微分方程也被称为偏微分方程，是指微分方程的自变量有两个或以上 ，且方程式中有未知数对自变量的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种型式中，这种偏微分方程则称为混合型。扩展资料微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。参考资料来源：百度百科-微分方程

变系数微分方程也被称为偏微分方程，是指微分方程的自变量有两个或以上 ，且方程式中有未知数对自变量的偏微分。偏微分方程的阶数定义类似常微分方程，但更细分为椭圆型、双曲线型及抛物线型的偏微分方程，尤其在二阶偏微分方程中上述的分类更是重要。有些偏微分方程在整个自变量的值域中无法归类在上述任何一种型式中，这种偏微分方程则称为混合型。扩展资料微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。参考资料来源：百度百科-微分方程

以二阶微分方程为例（高阶的以此类推）：经过化简，可以变形为这种形式的称为线性微分方程：P(x)y"+Q(x)y"+R(x)y=S(x) （其中，P(x)，Q(x)，R(x)，S(x)都是已知的x的函数式）无论如何怎么化简，方程中都带有y或者y的导数的非一次方的微分方程就是非线性微分方程。例如y"y=y²，虽然y不是一次方，但是我通过等价变形可以变成y(y"-y)=0，即y=0或者y"-y=0，因为y和y"都是一次方，因此他们是线性微分方程。而他们的系数都是常数，所以可以称之为常系数微分方程。再如(sinx)y"-y=0，因为y"和y的次数都是1（含有x的函数项不算），所以是线性微分方程。而y"的系数是sinx，因此是变系数线性常微分方程。再如y"y=1，无论如何化简（例如把y除过去），都不能变成y"和y次数都是1的形式，因此该方程为非线性微分方程。再加一句：线性微分方程都有解析解，就是可以写成函数解析式y=f(x)的形式。但是非线性微分方程就很难说了。一般来说，部分一阶非线性微分方程有解析解。但是二阶或二阶以上的非线性微分方程很难有解析解。

我不介意他不会做|家|务，但是他不能什么也不想做。首先求出对应的齐次方程的通解，其中C1、C2是常数，y1、y2是x的函数。然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解，方法是把齐次方程的通解中的常数C1、C2换成x的未知函数u1、u2。变系数线性微分方程通常没有一般的方法可以求解，但一阶的变系数线性微分方程是例外。积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程，与微分方程相对。许多数学物理问题需通过积分方程或微分方程求解。积分方程是数学的一个重要分支。积分方程与数学的其他分支，例如，微分方程、泛函分析、复分析、计算数学、位势理论和随机分析等都有着紧密而重要地联系。甚至它的形成和发展是很多重要数学思想和概念的最初来源和模型。例如，对泛函分析中平方可积函数、平均收敛、算子等的形成，对一般线性算子理论的创立，以至於对整个泛函分析的形成都起着重要的推动作用。许多微分方程的求解问题可以归结为积分方程的 求解问题。积分方程论主要研究积分方程解的存在 性、唯一性、求解方法以及关于它的特征值和特征函数的理论。积分号下含有未知函数的方程。其中未知函数以线性形式出现的，称为线性积分方程；否则称为非线性积分方程。

以二阶微分方程为例（高阶的以此类推）：经过化简，可以变形为这种形式的称为线性微分方程：P(x)y"+Q(x)y"+R(x)y=S(x)（其中，P(x)，Q(x)，R(x)，S(x)都是已知的x的函数式）无论如何怎么化简，方程中都带有y或者y的导数的非一次方的微分方程就是非线性微分方程。例如y"y=y²，虽然y不是一次方，但是我通过等价变形可以变成y(y"-y)=0，即y=0或者y"-y=0，因为y和y"都是一次方，因此他们是线性微分方程。而他们的系数都是常数，所以可以称之为常系数微分方程。再如(sinx)y"-y=0，因为y"和y的次数都是1（含有x的函数项不算），所以是线性微分方程。而y"的系数是sinx，因此是变系数线性常微分方程。再如y"y=1，无论如何化简（例如把y除过去），都不能变成y"和y次数都是1的形式，因此该方程为非线性微分方程。再加一句：线性微分方程都有解析解，就是可以写成函数解析式y=f(x)的形式。但是非线性微分方程就很难说了。一般来说，部分一阶非线性微分方程有解析解。但是二阶或二阶以上的非线性微分方程很难有解析解。

以二阶微分方程为例（高阶的以此类推）：经过化简，可以变形为这种形式的称为线性微分方程：P(x)y"+Q(x)y"+R(x)y=S(x) （其中，P(x)，Q(x)，R(x)，S(x)都是已知的x的函数式）无论如何怎么化简，方程中都带有y或者y的导数的非一次方的微分方程就是非线性微分方程。例如y"y=y²，虽然y不是一次方，但是我通过等价变形可以变成y(y"-y)=0，即y=0或者y"-y=0，因为y和y"都是一次方，因此他们是线性微分方程。而他们的系数都是常数，所以可以称之为常系数微分方程。再如(sinx)y"-y=0，因为y"和y的次数都是1（含有x的函数项不算），所以是线性微分方程。而y"的系数是sinx，因此是变系数线性常微分方程。再如y"y=1，无论如何化简（例如把y除过去），都不能变成y"和y次数都是1的形式，因此该方程为非线性微分方程。再加一句：线性微分方程都有解析解，就是可以写成函数解析式y=f(x)的形式。但是非线性微分方程就很难说了。一般来说，部分一阶非线性微分方程有解析解。但是二阶或二阶以上的非线性微分方程很难有解析解。

以二阶微分方程为例（高阶的以此类推）：经过化简，可以变形为这种形式的称为线性微分方程：P(x)y"+Q(x)y"+R(x)y=S(x)（其中，P(x)，Q(x)，R(x)，S(x)都是已知的x的函数式）无论如何怎么化简，方程中都带有y或者y的导数的非一次方的微分方程就是非线性微分方程。例如y"y=y²，虽然y不是一次方，但是我通过等价变形可以变成y(y"-y)=0，即y=0或者y"-y=0，因为y和y"都是一次方，因此他们是线性微分方程。而他们的系数都是常数，所以可以称之为常系数微分方程。再如(sinx)y"-y=0，因为y"和y的次数都是1（含有x的函数项不算），所以是线性微分方程。而y"的系数是sinx，因此是变系数线性常微分方程。再如y"y=1，无论如何化简（例如把y除过去），都不能变成y"和y次数都是1的形式，因此该方程为非线性微分方程。再加一句：线性微分方程都有解析解，就是可以写成函数解析式y=f(x)的形式。但是非线性微分方程就很难说了。一般来说，部分一阶非线性微分方程有解析解。但是二阶或二阶以上的非线性微分方程很难有解析解。

这样：syms y(t)y=dsolve(diff(y,4)==0)结果：y =(C5*t^3)/6 + (C6*t^2)/2 + C7*t + C8

我不介意他不会做|家|务，但是他不能什么也不想做。首先求出对应的齐次方程的通解，其中C1、C2是常数，y1、y2是x的函数。然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解，方法是把齐次方程的通解中的常数C1、C2换成x的未知函数u1、u2。变系数线性微分方程通常没有一般的方法可以求解，但一阶的变系数线性微分方程是例外。积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程，与微分方程相对。许多数学物理问题需通过积分方程或微分方程求解。积分方程是数学的一个重要分支。积分方程与数学的其他分支，例如，微分方程、泛函分析、复分析、计算数学、位势理论和随机分析等都有着紧密而重要地联系。甚至它的形成和发展是很多重要数学思想和概念的最初来源和模型。例如，对泛函分析中平方可积函数、平均收敛、算子等的形成，对一般线性算子理论的创立，以至於对整个泛函分析的形成都起着重要的推动作用。许多微分方程的求解问题可以归结为积分方程的 求解问题。积分方程论主要研究积分方程解的存在 性、唯一性、求解方法以及关于它的特征值和特征函数的理论。积分号下含有未知函数的方程。其中未知函数以线性形式出现的，称为线性积分方程；否则称为非线性积分方程。

我不介意他不会做|家|务，但是他不能什么也不想做。首先求出对应的齐次方程的通解，其中C1、C2是常数，y1、y2是x的函数。然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解，方法是把齐次方程的通解中的常数C1、C2换成x的未知函数u1、u2。变系数线性微分方程通常没有一般的方法可以求解，但一阶的变系数线性微分方程是例外。积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程，与微分方程相对。许多数学物理问题需通过积分方程或微分方程求解。积分方程是数学的一个重要分支。积分方程与数学的其他分支，例如，微分方程、泛函分析、复分析、计算数学、位势理论和随机分析等都有着紧密而重要地联系。甚至它的形成和发展是很多重要数学思想和概念的最初来源和模型。例如，对泛函分析中平方可积函数、平均收敛、算子等的形成，对一般线性算子理论的创立，以至於对整个泛函分析的形成都起着重要的推动作用。许多微分方程的求解问题可以归结为积分方程的 求解问题。积分方程论主要研究积分方程解的存在 性、唯一性、求解方法以及关于它的特征值和特征函数的理论。积分号下含有未知函数的方程。其中未知函数以线性形式出现的，称为线性积分方程；否则称为非线性积分方程。

以二阶微分方程为例（高阶的以此类推）：经过化简，可以变形为这种形式的称为线性微分方程：P(x)y"+Q(x)y"+R(x)y=S(x)（其中，P(x)，Q(x)，R(x)，S(x)都是已知的x的函数式）无论如何怎么化简，方程中都带有y或者y的导数的非一次方的微分方程就是非线性微分方程。例如y"y=y²，虽然y不是一次方，但是我通过等价变形可以变成y(y"-y)=0，即y=0或者y"-y=0，因为y和y"都是一次方，因此他们是线性微分方程。而他们的系数都是常数，所以可以称之为常系数微分方程。再如(sinx)y"-y=0，因为y"和y的次数都是1（含有x的函数项不算），所以是线性微分方程。而y"的系数是sinx，因此是变系数线性常微分方程。再如y"y=1，无论如何化简（例如把y除过去），都不能变成y"和y次数都是1的形式，因此该方程为非线性微分方程。再加一句：线性微分方程都有解析解，就是可以写成函数解析式y=f(x)的形式。但是非线性微分方程就很难说了。一般来说，部分一阶非线性微分方程有解析解。但是二阶或二阶以上的非线性微分方程很难有解析解。

以二阶微分方程为例（高阶的以此类推）：经过化简，可以变形为这种形式的称为线性微分方程：P(x)y"+Q(x)y"+R(x)y=S(x)（其中，P(x)，Q(x)，R(x)，S(x)都是已知的x的函数式）无论如何怎么化简，方程中都带有y或者y的导数的非一次方的微分方程就是非线性微分方程。例如y"y=y²，虽然y不是一次方，但是我通过等价变形可以变成y(y"-y)=0，即y=0或者y"-y=0，因为y和y"都是一次方，因此他们是线性微分方程。而他们的系数都是常数，所以可以称之为常系数微分方程。再如(sinx)y"-y=0，因为y"和y的次数都是1（含有x的函数项不算），所以是线性微分方程。而y"的系数是sinx，因此是变系数线性常微分方程。再如y"y=1，无论如何化简（例如把y除过去），都不能变成y"和y次数都是1的形式，因此该方程为非线性微分方程。再加一句：线性微分方程都有解析解，就是可以写成函数解析式y=f(x)的形式。但是非线性微分方程就很难说了。一般来说，部分一阶非线性微分方程有解析解。但是二阶或二阶以上的非线性微分方程很难有解析解。

以二阶微分方程为例（高阶的以此类推）：经过化简，可以变形为这种形式的称为线性微分方程：P(x)y"+Q(x)y"+R(x)y=S(x)（其中，P(x)，Q(x)，R(x)，S(x)都是已知的x的函数式）无论如何怎么化简，方程中都带有y或者y的导数的非一次方的微分方程就是非线性微分方程。例如y"y=y²，虽然y不是一次方，但是我通过等价变形可以变成y(y"-y)=0，即y=0或者y"-y=0，因为y和y"都是一次方，因此他们是线性微分方程。而他们的系数都是常数，所以可以称之为常系数微分方程。再如(sinx)y"-y=0，因为y"和y的次数都是1（含有x的函数项不算），所以是线性微分方程。而y"的系数是sinx，因此是变系数线性常微分方程。再如y"y=1，无论如何化简（例如把y除过去），都不能变成y"和y次数都是1的形式，因此该方程为非线性微分方程。再加一句：线性微分方程都有解析解，就是可以写成函数解析式y=f(x)的形式。但是非线性微分方程就很难说了。一般来说，部分一阶非线性微分方程有解析解。但是二阶或二阶以上的非线性微分方程很难有解析解。

湖南工程学院张学元教授提出特征方程组的解法。参见“新二阶非线性方程的求解定理”论文。

对于一阶微分方程,形如:y"+p(x)y+q(x)=0的称为"线性"对于二阶微分方程,形如:y""+p(x)y"+q(x)y+f(x)=0的称为"线性"例如:y"=sin(x)y是线性的但y"=y^2不是线性的注意两点:(1)y"前的系数不能含y,但可以含x,如:y*y"=2不是线性的x*y"=2是线性的(2)y前的系数也不能含y,但可以含x,如:y"=sin(x)y是线性的y"=sin(y)y是非线性的(3)整个方程中,只能出现y和y",不能出现sin(y),y^2,y^3等等,如:y"=y是线性的y"=y^2是非线性的

各阶导数的系数是常数或者是(非常数的)函数

对于一阶微分方程,形如:y"+p(x)y+q(x)=0的称为"线性"对于二阶微分方程,形如:y""+p(x)y"+q(x)y+f(x)=0的称为"线性"例如:y"=sin(x)y是线性的但y"=y^2不是线性的注意两点:(1)y"前的系数不能含y,但可以含x,如:y*y"=2不是线性的x*y"=2是线性的(2)y前的系数也不能含y,但可以含x,如:y"=sin(x)y是线性的y"=sin(y)y是非线性的(3)整个方程中,只能出现y和y",不能出现sin(y),y^2,y^3等等,如:y"=y是线性的y"=y^2是非线性的

通解表为贝赛尔函数的组合：A = _C1*sqrt(r)*BesselJ(sqrt(5), 2*sqrt(-k^2)*sqrt(r))+_C2*sqrt(r)*BesselY(sqrt(5), 2*sqrt(-k^2)*sqrt(r))