利用同角三角函数关系式求值(切化弦)

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思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课.计算下列各式的值:
(1)sin290°+cos290°;(2)sin230°+cos230°;(3) ;(4) .
推进新课
新知探究
提出问题
①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角?若不能,角α应受什么影响?
图1
如图1,以正弦线MP、余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形,而且OP=1.
由勾股定理有OM2+MP2=1.
因此x2+y2=1,即sin2α+cos2α=1(等式1).
显然,当α的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立.
根据三角函数的定义,当α≠kπ+ ,k∈Z时,有
=tanα(等式2).
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.
②对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值.
活动:问题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系,然后教师点拨学生思考这两个公式的用处.同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件,及使等式分别有意义的角的取值范围.
问题②可让学生展开讨论,点拨学生从方程的角度进行探究,对思考正确的学生给予鼓励,对没有思路的学生教师点拨其思考的方法,最后得出结论“知一求二”.
讨论结果:
①在上述两个等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一个等式中,α可以是任意角,在第二个等式中α≠kπ+ ,k∈Z.
②在上述两个等式中,只要知道其中任意一个,就可以求出其余的两个.知道正弦(余弦),就可以先求出余弦(正弦),用等式1;进而用第二个等式2求出正切.
应用示例
思路1例1 已知sinα= ,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值.
活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题,明确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin2α+cos2α=1,故cosα的值最容易求得,在求cosα时需要进行开平方运算,因此应根据角α所在的象限确定cosα的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题.
解:因为sin2α+cos2α=1,所以
cos2α=1-sin2α=1-( )2= .
又因为α是第二象限角,所以cosα<0.于是cosα= = ,
从而tanα= = ×( )= .
点评:本题是直接应用关系求解三角函数值的问题,属于比较简单和直接的问题,让学生体会关系式的用法.
应使学生清楚tanα= 中的负号来自α是第二象限角,这也是根据商数关系直接运算后的结果,它不同于在选用平方关系式的三角函数符号的确定.
例2 已知cosα= ,求sinα,tanα的值.
活动:教师先引导学生比较例1、例2题设条件的相异处,根据题设条件得出角的终边只能在第二或第三象限.
启发学生思考仅有cosα<0是不能确定角α的终边所在的象限,它可能在x轴的负半轴上(这时cosα=-1).
解:因为cosα<0,且cosα≠-1,所以α是第二或第三象限角.如果α是第二象限角,那么
sinα= = = ,
tanα= = ×( )= ,
如果α是第三象限角,那么sinα= ,tanα= .
点评:在已知角的一个三角函数值但是不知道角所在的象限的时候,应先根据题目条件讨论角的终边所在的象限,分类讨论所有的情况,得出所有的解.
思路2
例1 已知tanα为非零实数,用tanα表示sinα、cosα.
活动:引导学生思考讨论:角的终边在什么位置;能否直接利用基本关系式求出sinα或cosα的值.由tanα≠0,只能确定α的终边不在坐标轴上.关于sinα、cosα、tanα的关系式只有tanα= ,在这个式子中必须知道其中两个三角函数值,才能求出第三个,因此像这类问题的求解,不能一步到位,需要公式的综合应用.其步骤是:先根据条件判断角的终边的位置,讨论出现的所有情况.然后根据讨论的结果,利用基本关系式求解.分情况求出cosα,进而求出sinα.
解:因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α=1-cos2α.
又因为tanα= ,所以tan2α= = .
于是 =1+tan2α,cos2α= .
由tanα为非零实数,可知角α的终边不在坐标轴上,从而
cosα=
sinα=cosαtanα=
点评:要求学生灵活运用三角函数公式进行变形、化简、求解.需要学生认真细致分析题目的条件,灵活运用公式,需要较高的思维层次.
变式训练
已知cosα≠0,用cosα表示sinα、tanα.
解:本题仿照上题可以比较顺利完成.
sinα=
tanα=
例2 求证:
活动:先让学生讨论探究证明方法,教师引导思考方向.教材中介绍了两种证明方法:证法一是从算式一边到另一边的证法,算式右边的非零因式1+sinα,在左边没有出现,可考虑左边式子的分子、分母同乘以1+sinx,再化简;在证法二中可以这样分析,要让算式成立,需证cos2x=(1+sinx)(1-sinx),即cos2x=1-sin2x,也就是sin2x+cos2x=1,由平方关系可知这个等式成立,将上述分析过程逆推便可以证得原式成立.
证法一:由cosx≠0,知sinx≠1,所以1+sinx≠0,于是
左边=
所以原式成立.
证法二:因为(1-sinx)(1+sinx)=1-sin2x=cos2x=cosxcosx,
且1-sinx≠0,cosx≠0,所以 教师启发学生进一步探究:除了证法一和证法二外你可否还有其他的证明方法.教师和学生一起讨论,由此可探究出证法三.依据“a-b=0 a=b”来证明恒等式是常用的证明方法,由学生自己独立完成.
证法三:因为
所以
点评:这是一道很有训练价值的经典例题,教师要充分利用好这个题目.从这个例题可以看出,证明一个三角恒等式的方法有很多.证明一个等式,可以从它的任何一边开始,证得它等于另一边;还可以先证得另一个等式成立,从而推出需要证明的等式成立.
例3 化简
活动:引导学生探究:原式结果为cos440°时是不是最简形式,还应怎么办?教师引导学生运用诱导公式一化简为cos80°,由于cos80°>0,因此 =｜cos80°｜=cos80°,此题不难,让学生独立完成.
解:原式= = = =cos80°.
点评:恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式.提醒学生注意化简后的简单的三角函数式应尽量满足以下几点:(1)所含的三角函数种类最少;(2)能求值(指准确值)的尽量求值;(3)不含特殊角的三角函数值.
变式训练
化简:
答案:cos40°-sin40°.
点评:提醒学生注意:1±2sinαcosα=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2,这是一个很重要的结论.
知能训练
课本本节练习.
解答:1.sinα= ,tanα= .
2.当φ为第二象限角时,sinφ= ,cosφ=
当φ为第四象限角时,sinφ= ,cosφ= .
3.当θ为第一象限角时,cosθ≈0.94,tanθ≈0.37.
当θ为第二象限角时,cosθ≈-0.94,tanθ≈-0.37.
4.(1)cosθtanθ=cosθ =sinθ;
(2)
5.(1)左=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-cos2α=右;
(2)左=sin2α(sin2α+cos2α)+cos2α=sin2α+cos2α=1=右.
课堂小结
由学生回顾本节所学的方法知识:①同角三角函数的基本关系式及成立的条件,②根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要注意这个角的终边所在的位置,从而出现一组或两组或四组(以两组的形式给出).
“知一求二”的解题步骤一般为:先确定角的终边位置,再根据基本关系式求值,若已知正弦或余弦,则先用平方关系,再用其他关系求值;若已知正切或余切,则构造方程组求值.
教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题,并让学生总结本节用到的思想方法.
作业
1.化简(1+tan2α)cos2α;
2.已知tanα=2,求 的值.
答案:1.1;2.3.