圆锥曲线的几何性质

3.过左焦点F(-1,0),平行于v=(1,1)的直线方程是x+1=y,代入椭圆方程x^2/4+y^2/3=1，得3x^2+4(x^2+2x+1)=12,整理得7x^2+8x-8=0,△=64+4*7*8=8*36，设A(x1,y1),B(x2,y2),则|x1-x2|=√△/7，所以|AB|=|x1-x2|√2=24/7.

　　圆锥曲线包括椭圆，抛物线，双曲线。那么你对圆锥曲线的定义了解多少呢?以下是由我整理关于圆锥曲线的定义的内容，希望大家喜欢! 　　圆锥曲线的定义 　　几何观点 　　用一个平面去截一个二次锥面，得到的交线就称为圆锥曲线(conic sections)。 　　通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言： 　　1) 当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。 　　2) 当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。 　　3) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。 　　4) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。 　　5) 当平面只与二次锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果为一点。 　　6) 当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线(每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线)。 　　7) 当平面与二次锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。 　　代数观点 　　在笛卡尔平面上，二元二次方程 的图像是圆锥曲线。根据判别式的不同，也包含了椭圆、双曲线、抛物线以及各种退化情形。 　　焦点--准线观点 　　(严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质)。 　　给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线。 　　根据e的范围不同，曲线也各不相同。具体如下： 　　1) e=0，轨迹为圆(椭圆的特例); 　　2) e=1(即到P与到L距离相同)，轨迹为抛物线 ; 　　3) 0<e<1，轨迹为椭圆; 　　4) e>1，轨迹为双曲线的一支。 　　圆锥曲线的概念 　　(以下以纯几何方式叙述主要的圆锥曲线通用的概念和性质，由于大部分性质是在焦点-准线观点下定义的，对于更一般的退化情形，有些概念可能不适用。) 　　考虑焦点--准线观点下的圆锥曲线定义。定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点;定直线称为圆锥曲线的准线;固定的常数(即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比值)称为圆锥曲线的离心率;焦点到准线的距离称为焦准距;焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径，物理学中又称为正焦弦。 　　圆锥曲线是光滑的，因此有切线和法线的概念。 　　类似圆，与圆锥曲线交于两点的直线上两交点间的线段称为弦;过焦点的弦称为焦点弦。 　　对于同一个椭圆或双曲线，有两个“焦点-准线”的组合可以得到它。因此，椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线。而抛物线只有一个焦点和一条准线。 　　圆锥曲线关于过焦点与准线垂直的直线对称，在椭圆和双曲线的情况，该直线通过两个焦点，该直线称为圆锥曲线的焦轴。对于椭圆和双曲线，还关于焦点连线的垂直平分线对称。 　　Pappus定理：圆锥曲线上一点的焦半径长度等于该点到相应准线的距离乘以离心率。 　　Pascal定理：圆锥曲线的内接六边形，若对边两两不平行，则该六边形对边延长线的交点共线。(对于退化的情形也适用) 　　Brianchon定理：圆锥曲线的外切六边形，其三条对角线共点。 　　圆锥曲线的定理 　　由比利时数学家G.F.Dandelin 1822年得出的冰淇淋定理证明了圆锥曲线几何定义与焦点-准线定义的等价性。 　　即有一以Q为顶点的圆锥(蛋筒)，有一平面π"(你也可以说是饼干)与其相截得到了圆锥曲线，作球与平面π"及圆锥相切，在曲线为椭圆或双曲线时平面与球有两个切点，抛物线只有一个(或者另一个在无穷远处)，则切点为焦点。又球与圆锥之交为圆，设以此圆所在平面π与π"之交为直线d(曲线为圆时d为无穷远线)，则d为准线。 　　图只画了椭圆，证明对抛物线双曲线都适用，即证，任一个切点为焦点，d为准线。 　　证：假设P为曲线上一点，联线PQ交圆O于E。设平面π′与π的交角为α，圆锥的母线(如PQ)与平面π的交角为β。设P到平面π 的垂足为H，H到直线d的垂足为R，则PR为P到d的垂线(三垂线定理)，而∠PRH=α。因为PE、PF同为圆球之切线，得PE=PF。 　　如此则有：PR·sinα=PE·sinβ=PF·sinβ=PH 　　其中：PF/PR=sinα/sinβ为常数。

用一个平面去截一个二次锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections）。通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：1) 当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。2) 当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。3) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。4) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。5) 当平面只与二次锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果为一点。6) 当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。7) 当平面与二次锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。 （严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质）。给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线。根据e的范围不同，曲线也各不相同。具体如下：1) e=0，轨迹为圆（椭圆的特例）；2) e=1（即到P与到L距离相同），轨迹为抛物线 ；3) 0<e<1，轨迹为椭圆；4) e>1，轨迹为双曲线的一支。

圆锥曲线公式：a-ex=a2/c。圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线。圆锥曲线包括椭圆（圆为椭圆的特例）、抛物线、双曲线。起源于2000多年前的古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线。曲线，是微分几何学研究的主要对象之一。直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。

圆锥曲线定义如下：1. 圆锥曲线的第一定义平面内与两定点、F1、F2的距离的和等于常数2a(2a>F1F2)的动点的轨迹叫做椭圆. 平面内到两定点、F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a(2a<F1F2)的点的轨迹称为双曲线.2. 圆锥曲线的第二定义平面内到一个定点F和不过F的一条定直线l距离成比值e(e>0)的点的轨迹(或集合)，称之为圆锥曲线.我们在学校里主要学习圆锥曲线的代数定义，但其实也会在考卷里零星出现的。以上就是圆锥曲线的定义，也是我们需要去了解的。

当动点P到定点F(焦点)和到定直线X=Xo的距离之比为离心率时，该直线便是椭圆的准线。 圆锥曲线上任意一点到一焦点的距离与其对应的准线（同在Y轴一侧的焦点与准线）对应的距离比为离心率。椭圆上任意一点到焦点距离与该点到相应准线距离的比等于离心率e。在圆锥曲线的统一定义中：到定点与定直线的距离的比为常数e（e大于0）的点的轨迹,叫圆锥曲线，而这条定直线就叫做准线b（b大于0）。定义：椭圆上所有点，到焦点的距离与到准线的距离之比为定值。

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线一.椭圆1.焦半径公式 ，P为椭圆上任意一点，则│PF1│= a + eXo│PF2│= a - eXo（F1 F2分别为其左，右焦点）2.通径长 = 2b²/a3.焦点三角形面积公式S⊿PF1F2 = b²tan（θ/2） （θ为∠F1PF2）（这个可能有点难理解，不过结合第一定义可以较快的推，双曲线的也是同样方法）4.（左）准点Q （自己取的名字方便叙述，准线与X轴的焦点）过左焦点F1的任意一条线与椭圆交与A ，B 那么一定有：X轴平分∠AQB（在右边也是一样）二.双曲线 1.通径长 = 2b²/a2.焦半径公式（有8个，很难打符号的，不过可以根据极坐标方程来直接解答，比焦半径公式还快一些） 3.焦点三角形面积公式S⊿PF1F2 =b²cot（θ/2） 三.抛物线y²=2px （p＞0）过焦点的直线交它于A(X1,Y1),B(X2,Y2)两点1.│AB│=X1 + X2 + p =2p/sin²θ （θ为直线AB的倾斜角）2. Y1*Y2 = -p² ， X1*X2 = p²/43.1/│FA│ + 1/│FB│ = 2/p4.结论：以AB 为直径的圆与抛物线的准线线切5.焦半径公式： │FA│= X1 + p/2 = p/（1-cosθ）

圆锥曲线包括:椭圆 圆 双曲线 抛物线 我是高二教师哦

　一、圆锥曲线的定义　　1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF₁|+|PF₂|=2a, (2a>|F₁F₂|)}。　　2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF₁|-|PF₂||=2a, (2a<|F₁F₂|)}。　　3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。　　二、圆锥曲线的方程。　　1.椭圆： + =1（a>b>0）或 + =1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）　　2.双曲线： - =1（a>0, b>0）或 - =1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）　　3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）　　三、圆锥曲线的性质　　1.椭圆： + =1（a>b>0）　　（1）范围：|x|≤a，|y|≤b　　（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)　　（3）焦点：(±c,0)　　（4）离心率：e= ∈(0,1)　　（5）准线：x=± 　　2.双曲线： - =1（a>0, b>0）　　（1）范围：|x|≥a, y∈R　　（2）顶点：(±a,0)　　（3）焦点：(±c,0)　　（4）离心率：e= ∈(1,+∞)　　（5）准线：x=± 　　（6）渐近线：y=± x　　3.抛物线：y2=2px(p>0)　　（1）范围：x≥0, y∈R　　（2）顶点：（0,0）　　（3）焦点：（ ,0）　　（4）离心率：e=1　　（5）准线：x=- 　　四、例题选讲：　　例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。　　解：由题：2b=2，b=1，a=2，c= = ，则椭圆中心到准线的距离： = = 。　　注意：椭圆本身的性质（如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等）不受椭圆的位置的影响。　　例2.椭圆 + =1的离心率e= ，则m=___________。　　解：（1）椭圆的焦点在x轴上，a2=m，b2=4，c2=m-4，e2= = = m=8。　　（2）椭圆的焦点在y轴上，a2=4，b2=m，c2=4-m，e2= = = m=2。　　注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭主观丢掉一解。　　例3.如图：椭圆 + =1（a>b>0），F1为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上一点，PF1⊥x轴，且PO//AB，求椭圆的离心率e。　　解：设椭圆的右焦点为F2，由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a, 　　∵ PF1⊥x轴，∴ |PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2，　　即(|PF2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4c2,　　∴ |PF1|= 。　　∵ PO//AB，∴ ΔPF1O∽ΔBOA,　　∴ = c=b a= c, ∴ e= = 。　　又解，∵ PF1⊥x轴，∴ 设P(-c, y)。　　由第二定义： =e |PF1|=e(x0+ )= (-c+ )= ,　　由上解中ΔPF1O∽ΔBOA，得到b=c e= 。　　例4.已知F1，F2为椭圆 + =1的焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2= ，求ΔF1PF2的面积。　　分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间的关系，我们选用面积公式S= absinC。　　解法 一：SΔ= |PF1|·|PF2|·sin 　　|PF1|+|PF2|=2a=20，　　4×36=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos ，　即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4×36，　　|PF1|·|PF2|= 　　∴ SΔ= × × = 。　　解法二：SΔ= |F1F2|·|yP|= ×12×yP=6|yP|，　　由第二定义： =e |PF1|=a+exP=10+ xP，　　由第一定义：|PF2|=2a-|PF1|=10- xP，　　4c2=|F1F2|2=(10+ xP)2+(10- xP)2-2(10+ xP)(10- xP)cos ，　　144=100+ = ， =64(1- )=64× ，　　SΔ=6|yP|=6× = 。　　注意：两个定义联合运用解决问题。从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种

例如，椭圆，抛物线，双曲线，圆，这些就是高中所接触的圆锥曲线谢谢采纳

圆锥曲线知识点如下：1、平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率；定点不在定直线上）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。2、过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条。3、若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号。4、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a>0，b>0，c²=a²+b²。5、参数方程:x=2pt²；y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0。

椭圆：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。双曲线{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。1、椭圆：到两个定点的bai距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。椭圆的标准方程共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a^2-c^2=b^2推导：PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点 F为焦点)2、双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。 双曲线的标准方程共分两种情况：焦点在X轴上时为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1；焦点在Y 轴上时为y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1；扩展资料：通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：1、当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。2、当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。3、当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。4、当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。5、当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。6、当平面与二次锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。参考资料来源：百度百科-圆锥曲线

圆锥曲线统一定义：（第二定义） 平面上到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离为定值（离心率e）的点的集合.而根据e的大小分为椭圆,抛物线,双曲线.圆可看作e为0的曲线. 1.0<e<1为椭圆,直角坐标系中标准方程为： x^2/a^2+y^2/b^2=1(0<b<a),焦点在x轴上,焦点（c,0）（－c,0）准线x=+-a^2 c,e="c/a"> y^2/a^2+y^2/b^2=1(0<b<a),焦点在y轴上,焦点（0,c）（0.－c）准线y=+-a^2 c,e="c/a"> a^2=b^2+c^2 椭圆上任意一点到两焦点距离之和为2a（定值）,且大于焦距2c,这是第一定义 光学性质：过焦点的任意一条光线经椭圆反射必过另一焦点 2.e=1为抛物线,直角坐标系中标准方程为： y^2=2px,对称轴为x轴,焦点（p/2,0）,准线x=-p/2 x^2=2py,对称轴为y轴,焦点,（0,p/2）准线y=-p/2 光学性质：任意平行对称轴的光线经抛物线反射必过焦点（或反向延长线过焦点） 3.1<e为双曲线,直角坐标系中标准方程为： x^2/a^2－y^2/b^2=1(0<b<a),焦点在x轴上,焦点（c,0）（－c,0）准线x=+-a^2 c,e="c/a"> y^2/a^2－y^2/b^2=1(0<b<a),焦点在y轴上,焦点（0,c）（0.－c）准线y=+-a^2 c,e="c/a"> c^2=b^2+a^2 双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为2a（定值）,且小于焦距2c,这是第一定义 光学性质：过焦点的任意一条光线经双曲线反射其反向延长线必过另一焦点</b </b </e为双曲线,直角坐标系中标准方程为： </b </b </e<1为椭圆,直角坐标系中标准方程为：

圆锥曲线知识点有如下：1、圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦成为通径。2、到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。3、当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。4、平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。5、顶点在原点，焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py，其中p>0。

圆锥曲线的三个定义分别是：1.到平面内一定点的距离r与到定直线的距离d之比是常数e=r/d的点的轨迹叫做圆锥曲线。其中当e>1时为双曲线，当e=1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆。2.圆锥曲线是由一平面截二次锥面得到的曲线。当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。当平面与二次锥面的母线平行，过圆锥顶点，结果退化为一条直线。3.平面内一个动点至一个定点与一条的定真线的距离之比是一个大于1的正常数e，平面内一个动点至两个定点(焦点)的距离和等同于定长2a的点的子集叫作圆锥曲线。圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线这三类。其定点叫做该圆锥曲线的焦点，其定直线就叫做该焦点相应的准线，e就叫做离心率。2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量成果。其中，古希腊数学家阿波罗尼斯就采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。

因为这些曲线的来源是来自圆锥，是用平面从不同的方式截圆锥得到的，看一下下面网址中的图片，应该就很容易理解了~春节快乐~~

用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。 　　 通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言： 　　1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。 　　 2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。 　 　3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。 　　 4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。 　　 5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。 　　 6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。 　　 7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。

yugju

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆 文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。 标准方程： 1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2. 2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1 其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2. 参数方程： X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数 ，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆 此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线 文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。 标准方程： 1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1. 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 参数方程： x=asecθ y=btanθ (θ为参数 ) 3）抛物线标准方程： 1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>0 4.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0 参数方程 x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0 直角坐标 y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 ) 圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为 ρ=ep/(1-e×cosθ) 其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。 二、焦半径圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。 圆锥曲线左右焦点为F1、F2,其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为： 椭圆 |PF1|=a+ex |PF2|=a-ex 双曲线 P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-ex P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+ex P在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-ey P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey 抛物线 |PF|=x+p/2 三、圆锥曲线的切线方程 圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y 即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1；抛物线:y0y=p(x0+x)四、焦准距圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。 椭圆的焦准距:p=(b^2)/c 双曲线的焦准距:p=(b^2)/c 抛物线的准焦距:p五、通径圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦成为通径。 椭圆的通径:(2b^2)/a 双曲线的通径:(2b^2)/a 抛物线的通径:2p六、圆锥曲线的性质对比见下图：七、圆锥曲线的中点弦问题 已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程 ⒈联立方程法。 用点斜式设出该弦的方程(斜率不存在的情况需要另外考虑),与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，在由中点坐标公式的两根之和的具体数值，求出该弦的方程。 2.点差法，或称代点相减法。 设出弦的两端点坐标(x1,y1)和(x2,y2)，代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减,运用平方差公式得[(x1+x2)·(x1-x2)]/(a^2)+[(y1+y2)·(y1-y2)/(b^2]=0 由斜率为(y1-y2)/(x1-x2)可以得到斜率的取值。（使用时注意判别式的问题）

圆锥曲线的极坐标方程是 ρ=ep/1-ecosθ p是焦点到准线的距离. 双曲线中,p=c-a^2/c=b^2/c ∴ ep=(c/a)*b^2/c=b²/a 即 ε=b²/a (实际上是通径的一半,通径：即过焦点垂直与对称轴的直线与双曲线所得的弦（在同一支上）)

1、圆锥曲线包括圆，椭圆，双曲线，抛物线。 2、圆 标准方程:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,圆心(a,b),半径=r>0 离心率:e=0(注意:圆的方程的离心率为0，但离心率等于0的轨迹不一定是圆，还可能是一个点(c,0)) 一般方程:x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,圆心(-D/2,-E/2),半径r=(1/2)√(D^2+E^2-4F) 3、椭圆 标准方程:x^2/a^2+y^2/b^2=1(焦点在x轴上，a>b>0,在y轴上,b>a>0) 焦点:F1(-c,0),F2(c,0)(c^2=a^2-b^2) 离心率:e=c/a,0<e<1 p=""> </e<1> 准线方程:x=±a^2/c 焦半径|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0 两条焦半径与焦距所围三角形的面积:S=b^2*tan(α/2)(α为两焦半径夹角) 4、双曲线 标准方程:x^2/a^2-y^2/b^2=1(焦点在x轴上) -x^2/b^2+y^2/a^2=1(焦点在y轴上) 焦点:F1(-c,0),F2(c,0)(a,b>0,b^2=c^2-a^2) 离心率:e=c/a,e>1 准线方程:x=±a^2/c 焦半径|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0 渐近线:y=x·b/a或y=-x·b/a 两条焦半径与焦距所围成的三角形面积:S=b^2cot(α/2)(α为两焦半径夹角) 5、抛物线 标准方程:y^2=2px ,x^2=2py; 焦点:F(p/2,0) 离心率:e=1 准线方程:x=-p/2 圆锥曲线二次方程Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0

一为切入点：从头，顺序。从尾倒序。从中间，上连下挂。二为转化方式：点差方法，设而不求，弦长公式，判别式，韦达定理，点到直线距离公式，勾股定理，正弦定理，余弦定理，面积公式，焦点三角形，定义，打不下

圆锥曲线（英语：conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一些曲线，圆锥曲线在约前200年时就已被命名和研究了，其发现者为古希腊的数学家阿波罗尼阿斯（Apollonius of Perga，前262年～前190年），那时阿波罗尼阿斯对它们的性质已做了系统性的研究。 一个众知的圆锥曲线是椭圆。这出现在圆锥和平面的交截线是闭合曲线的时候。这时平面垂直于圆锥的轴线。如果平面平行于圆锥的母线(generator line)，则圆锥曲线叫做抛物线。最后，如果交线是开曲线并且平面不平行于圆锥的母线，则圆锥曲线是双曲线。(在这个种情况平面将交截圆锥的两段，而生成两个分开的曲线，尽管经常忽略一个。)

到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线e指的是离心率c/a

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。3. 抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。4. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。关于圆锥曲线和最后一题（通常是导数，有时候会是数列或者极限），大量练习是必不可少的，练习多了自然就回有经验，拿到题目就会有一个大概的想法而不是愣在那。然后分开说圆锥曲线和最后一题。圆锥曲线的话，个人认为不算很难，牢记公式和常用技巧（离心率之类的，太久没用过记不太清了），然后一定要细心，因为圆锥曲线的方程都是二次的，参变量一多计算量就不小，一个细节出错很有可能整道题就毁了，所以务必细心供参考：圆锥曲线的重点理论知识：(1)求动点轨迹的的基本方法：1、定义法（也称为直接法或几何法）：根据圆锥曲线的定义求即可（注意：此法应优先考虑）2、间接法:先设出动点的坐标,在根据已知条件寻找几个等量关系,再化简即可；3、交轨法：转化为其它曲线的交点轨迹；4、参数法：先用参数表示动点坐标的表达式,再消去参数即可.（2）椭圆的第二定义：若一动点到定点的距离与到定直线的距离的比小于1,则该动点的轨迹为椭圆.（该比值其实就是离心率,该定点为焦点,该直线为准线）（双曲线的第二定义与此类似,只需把比值改为大于1即可）（3）椭圆的焦半径公式：AF1=a-ex,AF2=a+ex;椭圆的焦三角形的面积公式：SpF1F2=b^2*tan@/2;双曲线的焦半径公式：AF1=ex-a,AF2=ex+a;双曲线的焦三角形的面积公式：SPF1F2=b^2/tan@/2.（其中A为椭圆或双曲线上的点,x为A点的横坐标,e为离心率,@为F1pF2的角度）（4）若过抛物线y^2=2px的焦点的直线与抛物线交于A和B两点,设A（x1,y1).B(x2,y2),则有x1*x2=p^2/4,y1*y2=-p^2.(以上的结论最好自行推导一下）(5)当椭圆的焦三角形pF1F2的顶点p与短轴的端点重合时,角F1pF2的角度最大.（6）解圆锥曲线问题时常用的几个重要公式(务必要理解并牢记它,这是不会做这类题也可以拿到分的关键）：1、韦达定理：x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a2、弦长公式：d=（1+k^2)*((x1+x2)^2-4x1x2)的值的算术平方根3、中点弦公式（其作用主要是建立中点的坐标与直线斜率的关系）：1、直线与椭圆(x^2/a^2+y^2/b^2=1)相交则k=(y1-y2）/(x1-x2)=-b^2*x0/(a^2*y0）2、直线与双曲线（x^2/a^2-y^2/b^2=1)相交则k=b^2*x0/(a^2*y0) 3、直线与抛物线（y^2=2px)相交则k=p/y0(其中A（x1,y1)和B(x2,y2)为两曲线的交点,而(x0,y0)为A和B的中点,k为直线的斜率） 圆锥曲线的题型大致可以分为以下几类：1、定点问题2、定直线问题 3、最大最小值问题 4、定长或定距离问题 5、参数范围问题 6、与向量相结合的题型(至于这几种题型的具体解题方法先让你自己通过练习大量的题来进行归纳总结,暂时不直接给出给你,因为只有通过你自己的思考再总结出来的东西理解才更加深刻,运用才更自如）（当然圆锥曲线的其它题型与方法还有很多,要靠你自己去挖掘,这里不便给出,也不可能给出,因为数学的题型是千变万化的,但也是非常有规律可寻的）

难点25 圆锥曲线综合题 圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整. ●难点磁场 (★★★★)若椭圆 =1(a＞b＞0)与直线l：x+y=1在第一象限内有两个不同的交点，求a、b所满足的条件，并画出点P(a,b)的存在区域. ●案例探究 〔例1〕已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦. (1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？ (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？ 命题意图：本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力，属 ★★★★★级题目. 知识依托：弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识. 错解分析：在判断d与R的关系时，x0的范围是学生容易忽略的. 技巧与方法：对第(2)问，需将目标转化为判断d=x0+ 与R= 的大小. 解：(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0, 圆k的半径R=|AK|= ∴|MN|=2 =2a(定值) ∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化. (2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k：(x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中， 令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0 ∴y1y2=y02－a2 ∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项. ∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a. 又|MN|=|y1－y2|=2a ∴|y1|+|y2|=|y1－y2| ∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0. ∴0≤x0≤ . 圆心k到抛物线准线距离d=x0+ ≤a,而圆k半径R= ≥a. 且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交. 〔例2〕如图，已知椭圆 =1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD|| (1)求f(m)的解析式； (2)求f(m)的最值. 命题意图：本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合.属★★★★★级题目. 知识依托：直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值. 错解分析：在第(1)问中，要注意验证当2≤m≤5时，直线与椭圆恒有交点. 技巧与方法：第(1)问中，若注意到xA,xD为一对相反数，则可迅速将||AB|－|CD||化简.第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法. 解：(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1 ∴椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0). 故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=± ,即x=±m. ∴A(－m,－m+1),D(m,m+1) 考虑方程组 ,消去y得：(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1) 整理得：(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0 Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2 ∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC= . 又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上 ∴|AB|=|xB－xA|= =(xB－xA)． ,|CD|= (xD－xC) ∴||AB|－|CD||= |xB－xA+xD－xC|= |(xB+xC)－(xA+xD)| 又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0 ∴||AB|－|CD||=|xB+xC|． =| |． = (2≤m≤5) 故f(m)= ，m∈〔2,5〕. (2)由f(m)= ，可知f(m)= 又2－ ≤2－ ≤2－ ∴f(m)∈〔 〕 故f(m)的最大值为 ，此时m=2;f(m)的最小值为 ，此时m=5. 〔例3〕舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是 千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？ 命题意图：考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲线方程. 错解分析：答好本题，除要准确地把握好点P的位置(既在线段BC的垂直平分线上，又在以A、B为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概念掌握清楚. 技巧与方法：通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程. 解：取AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系.由题意可知，A、B、C舰的坐标为(3，0)、(－3，0)、(－5，2 ). 由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则|PB|=|PC|.于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为 x－3y+7 =0. 又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在双曲线 =1的右支上. 直线与双曲线的交点为(8，5 )，此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10. 据已知两点的斜率公式，得kPA= ,所以直线PA的倾斜角为60°,于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°. 设发射炮弹的仰角是θ，初速度v0= ，则 , ∴sin2θ= ,∴仰角θ=30°. ●锦囊妙计 解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的. (1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域. (2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值. ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)已知A、B、C三点在曲线y= 上，其横坐标依次为1，m,4(1＜m＜4)，当△ABC的面积最大时，m等于( ) A.3 B. C. D. 2.(★★★★★)设u,v∈R，且|u|≤ ,v＞0,则(u－v)2+( )2的最小值为( ) A.4 B.2 C.8 D.2 二、填空题 3.(★★★★★)A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使 ∠OPA= ,则椭圆离心率的范围是_________. 4.(★★★★)一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为a米，则能使卡车通过的a的最小整数值是_________. 5.(★★★★★)已知抛物线y=x2－1上一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是_________. 三、解答题 6.(★★★★★)已知直线y=kx－1与双曲线x2－y2=1的左支交于A、B两点，若另一条直线l经过点P(－2，0)及线段AB的中点Q，求直线l在y轴上的截距b的取值范围. 7.(★★★★★)已知抛物线C：y2=4x. (1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程； (2)若M(m,0)是x轴上的一定点，Q是(1)所求轨迹上任一点，试问|MQ|有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由. 8.(★★★★★)如图， 为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变. (1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程； (2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设 =λ，求λ的取值范围.〔学法指导〕怎样学好圆锥曲线 圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系，从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始. 高考中它依然是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有.为此需要我们做到： 1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石，高考中的题目都涉及到这些内容. 2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹，此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌握住一般方法：定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等. 3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能力的考查. 4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程. (1)方程思想 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量. (2)用好函数思想方法 对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效. (3)掌握坐标法 坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法，因此要加强坐标法的训练. 参考答案 难点磁场 解：由方程组 消去y,整理得(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2)=0 ① 则椭圆与直线l在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程①在区间(0，1）内有两相异实根，令f(x)=(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2),则有 同时满足上述四个条件的点P(a,b)的存在区域为下图所示的阴影部分： 歼灭难点训练 一、1.解析：由题意知A(1，1)，B(m, ),C(4,2). 直线AC所在方程为x－3y+2=0, 点B到该直线的距离为d= . ∵m∈(1,4),∴当 时，S△ABC有最大值，此时m= . 答案：B 2.解析：考虑式子的几何意义，转化为求圆x2+y2=2上的点与双曲线xy=9上的点的距离的最小值. 答案：C 二、3.解析：设椭圆方程为 =1(a＞b＞0),以OA为直径的圆：x2－ax+y2=0,两式联立消y得 x2－ax+b2=0.即e2x2－ax+b2=0,该方程有一解x2,一解为a,由韦达定理x2= －a,0＜x2＜a，即0＜ －a＜a ＜e＜1. 答案： ＜e＜1 4.解析：由题意可设抛物线方程为x2=－ay,当x= 时，y=－ ；当x=0.8时，y=－ .由题意知 ≥3,即a2－12a－2.56≥0.解得a的最小整数为13. 答案：13 5.解析：设P(t,t2－1)，Q(s,s2－1) ∵BP⊥PQ,∴ =－1, 即t2+(s－1)t－s+1=0 ∵t∈R,∴必须有Δ=(s－1)2+4(s－1)≥0.即s2+2s－3≥0, 解得s≤－3或s≥1. 答案：(－∞,－3 ∪ 1,+∞) 三、6.解：设A(x1,y1）,B(x2,y2). 由 ,得(1－k2）x2+2kx－2=0, 又∵直线AB与双曲线左支交于A、B两点， 故有 解得－ ＜k＜－1 7.解：由抛物线y2=4x,得焦点F(1,0),准线l：x=－1. (1)设P(x,y)，则B(2x－1,2y),椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=e,又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x－2)2+(2y)2=2x(2x－2),化简得P点轨迹方程为y2=x－1(x＞1). (2)设Q(x,y),则|MQ|= (ⅰ)当m－ ≤1,即m≤ 时，函数t=[x－(m－ )2]+m－ 在(1，+∞)上递增，故t无最小值，亦即|MQ|无最小值. (ⅱ)当m－ ＞1,即m＞ 时，函数t=[x2－(m－ )2]+m－ 在x=m－ 处有最小值m－ ,∴|MQ|min= . 8.解：(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系， ∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 ＞|AB|=4. ∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆. 设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2 ,∴a= ,c=2,b=1. ∴曲线C的方程为 +y2=1. (2)设直线l的方程为y=kx+2, 代入 +y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0. Δ=(20k)2－4×15(1+5k2)＞0,得k2＞ .由图可知 =λ 由韦达定理得 将x1=λx2代入得 两式相除得 ① M在D、N中间，∴λ＜1 ② 又∵当k不存在时，显然λ= (此时直线l与y轴重合).

1.椭圆:到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆。即:{P||PF1|+|PF2|=2a,(2a>|F1F2|)}。2.双曲线:到两个定点的距离的差的绝对值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a,(2a<|F1F2|)}。3.抛物线:到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。性质:1)椭圆参数方程:X=acosθY=bsinθ(θ为参数)直角坐标(中心为原点):x^2/a^2+y^2/b^2=12)双曲线参数方程:x=asecθy=btanθ(θ为参数)直角坐标(中心为原点):x^2/a^2-y^2/b^2=1(开口方向为x轴)y^2/a^2-x^2/b^2=1(开口方向为y轴)3)抛物线参数方程:x=2pt^2y=2pt(t为参数)直角坐标:y=ax^2+bx+c(开口方向为y轴,a<>0)x=ay^2+by+c(开口方向为x轴,a<>0)圆锥曲线(二次非圆曲线)的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。焦点到最近的准线的距离等于ex±a圆锥曲线的焦半径(焦点在x轴上，F1F2为左右焦点，P(x，y)，长半轴长为a)椭圆:椭圆上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径。|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex双曲线:P在左支，|PF1|=-a-ex|PF2|=a-exP在右支，|PF1|=a+ex|PF2|=-a+exP在下支，|PF1|=-a-ey|PF2|=a-eyP在上支，|PF1|=a+ey|PF2|=-a+ey圆锥曲线的切线方程:圆锥曲线上一点P(x0,y0)的切线方程以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y^2即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;双曲线:x0x/a^2-y0y/b^2=1;抛物线:y0y=p(x0+x)圆锥曲线中求点的轨迹方程在求曲线的轨迹方程时，如果能够将题设条件转化为具有某种动感的直观图形，通过观察图形的变化过程，发现其内在联系，找出哪些是变化的量(或关系)、哪些是始终保持不变的量(或关系)，那么我们就可以从找出的不变量(或关系)出发，打开解题思路，确定解题方法。

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。1）椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθy=btanθ(θ为参数)直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2-y^2/b^2=1(开口方向为x轴）y^2/a^2-x^2/b^2=1(开口方向为y轴）3）抛物线参数方程x=2pt^2y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c(开口方向为y轴,a<>0）x=ay^2+by+c（开口方向为x轴,a<>0)圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。焦点到最近的准线的距离等于ex±a圆锥曲线的焦半径（焦点在x轴上，F1F2为左右焦点，P（x，y），长半轴长为a）焦半径圆锥曲线上任意一点到焦点的距离成为焦半径。圆锥曲线左右焦点为F1、F2,其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为：椭圆|PF1|=a+ex|PF2|=a-ex双曲线P在左支，|PF1|=－a-ex|PF2|=a-exP在右支，|PF1|=a+ex|PF2|=－a+exP在下支，|PF1|=－a-ey|PF2|=a-eyP在上支，|PF1|=a+ey|PF2|=－a+ey抛物线|PF|=x+p/2圆锥曲线的切线方程圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1；抛物线:y0y=p(x0+x)焦准距圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。椭圆的焦准距:p=(b^2)/c双曲线的焦准距:p=(b^2)/c抛物线的准焦距:p通径圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦成为通径。椭圆的通径:(2b^2)/a双曲线的通径:(2b^2)/a抛物线的通径:2p

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。 用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。 通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言： 1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。 2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。 3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。 4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。 5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。 6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。 7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。 代数观点 在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。 焦点-准线观点 （严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质。） 给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线，根据e的范围不同，曲线也各不相同，具体如下： 1) e=0，轨迹退化为一点（就是点P）。 2) 0<e<1，轨迹为椭圆。 3) e=1（即到P与到L距离相同），轨迹为抛物线。 4) 1<e<∞，轨迹为双曲线。（注意，虽然只有一个点和一条线，但可以得到双曲线两个分支） 5) e=∞，轨迹退化为一直线（就是L）。

椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离和等于定长2a的点的集合（设动点为P，两个定点为F1和F2，则PF1+PF2=2a）。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：（x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：（x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2。参数方程：x=acosθ y=bsinθ （θ为参数 ,0≤θ≤2π)双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：　（x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：　（y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθ y=btanθ （θ为参数 )直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 （开口方向为x轴） y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 （开口方向为y轴）抛物线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是等于1。定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线。参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数） t=1/tanθ（tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c （开口方向为y轴，a≠0） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴，a≠0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-ecosθ）其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。

是圆锥曲线。圆锥曲线的概念等价于二元二次方程:Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0C=A;&B=0的二元二次方程就是圆的方程。由截面垂直于圆锥的轴(高线)所得到的截线就是圆。其它的情况就是:椭圆、抛物线、双曲线、二相交直线、点。

1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F ，F 的距离的和等于常数 ，且此常数 一定要大于 ，当常数等于 时，轨迹是线段F F ，当常数小于 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数 ，且此常数 一定要小于|F F |，定义中的“绝对值”与 ＜|F F |不可忽视。若 ＝|F F |，则轨迹是以F ，F 为端点的两条射线，若 ﹥|F F |，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如方程 表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点 及抛物线 上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在 轴上时 （ ），焦点在 轴上时 ＝1（ ）。方程 表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。如（1）已知方程 表示椭圆，则 的取值范围为____（答： ）； （2）若 ，且 ，则 的最大值是____， 的最小值是___（答： ）（2）双曲线：焦点在 轴上： =1，焦点在 轴上： ＝1（ ）。方程 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。如设中心在坐标原点 ，焦点 、 在坐标轴上，离心率 的双曲线C过点 ，则C的方程为_______（答： ）（3）抛物线：开口向右时 ，开口向左时 ，开口向上时 ，开口向下时 。如定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由 , 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答： ）（2）双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F ，F 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数 ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中， 最大， ，在双曲线中， 最大， 。4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以 （ ）为例）：①范围： ；②焦点：两个焦点 ；③对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0），四个顶点 ，其中长轴长为2 ，短轴长为2 ；④准线：两条准线 ； ⑤离心率： ，椭圆 ， 越小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆 的离心率 ，则 的值是__（答：3或 ）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： ）（2）双曲线（以 （ ）为例）：①范围： 或 ；②焦点：两个焦点 ；③对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0），两个顶点 ，其中实轴长为2 ，虚轴长为2 ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 ；④准线：两条准线 ； ⑤离心率： ，双曲线 ，等轴双曲线 ， 越小，开口越小， 越大，开口越大；⑥两条渐近线： 。如 （1）双曲线的渐近线方程是 ，则该双曲线的离心率等于______（答： 或 ）； （2）双曲线 的离心率为 ，则 = （答：4或 ）； （3）设双曲线 （a>0,b>0）中，离心率e∈[ ,2],则两条渐近线夹角（锐角或直角）θ的取值范围是________（答： ）；（4） 已知F1、F2为双曲线 的左焦点,顶点为A1、A2, 是双曲线上任意一点,则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆一定（ ）A．相交 B．相切 C．相离 D．以上情况均有可能（3）抛物线（以 为例）：①范围： ；②焦点：一个焦点 ，其中 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴 ，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线 ； ⑤离心率： ，抛物线 。如设 ，则抛物线 的焦点坐标为________（答： ）；5、点 和椭圆 （ ）的关系：（1）点 在椭圆外 ；（2）点 在椭圆上 ＝1；（3）点 在椭圆内 6．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交： 直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（答：(- ,-1)）； （2）直线y―kx―1=0与椭圆 恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））； （3）过双曲线 的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；（2）相切： 直线与椭圆相切； 直线与双曲线相切； 直线与抛物线相切；（3）相离： 直线与椭圆相离； 直线与双曲线相离； 直线与抛物线相离。特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线 ＝1外一点 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如（1）过点 作直线与抛物线 只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）； （2）过点(0,2)与双曲线 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答： ）； （3）过双曲线 的右焦点作直线 交双曲线于A、B两点，若 4，则满足条件的直线 有____条（答：3）； （4）对于抛物线C： ，我们称满足 的点 在抛物线的内部，若点 在抛物线的内部，则直线 ： 与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）； （5）过抛物线 的焦点 作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是 、 ，则 _______（答：1）； （6）设双曲线 的右焦点为 ，右准线为 ，设某直线 交其左支、右支和右准线分别于 ，则 和 的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）； （7）求椭圆 上的点到直线 的最短距离（答： ）；（8）直线 与双曲线 交于 、 两点。①当 为何值时， 、 分别在双曲线的两支上？②当 为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：① ；② ）；7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 ，其中 表示P到与F所对应的准线的距离。如（1）已知椭圆 上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答： ）；（2）已知抛物线方程为 ，若抛物线上一点到 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（3）若该抛物线上的点 到焦点的距离是4，则点 的坐标为_____（答： ）；（4）点P在椭圆 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______（答： ）；（5）抛物线 上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到 轴的距离为______（答：2）；（6）椭圆 内有一点 ，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则点M的坐标为_______（答： ）；8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： ，当 即 为短轴端点时， 的最大值为bc；对于双曲线 。 如 （1）短轴长为 ，离心率 的椭圆的两焦点为 、 ，过 作直线交椭圆于A、B两点，则 的周长为________（答：6）；（2）设P是等轴双曲线 右支上一点，F1、F2是左右焦点，若 ，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （答： ）；（3）椭圆 的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当·<0时，点P的横坐标的取值范围是 （答： ）；（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝ ，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且 是 与 等差中项，则 ＝__________（答： ）；（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且 ， ．求该双曲线的标准方程（答： ）；9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A ，B ，若P为A B 的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10、弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交于两点A、B，且 分别为A、B的横坐标，则 ＝ ，若 分别为A、B的纵坐标，则 ＝ ，若弦AB所在直线方程设为 ，则 ＝ 。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。如（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）； （2）过抛物线 焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）；（3）已知抛物线 的焦点恰为双曲线 的右焦点，且倾斜角为 的直线交抛物线于 ， 两点，则 的值为（ ）A. B. C. D. 11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆 中，以 为中点的弦所在直线的斜率k=－ ；在双曲线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率k= ；在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率k= 。如（1）如果椭圆 弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答： ）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆 相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答： ）；（3）试确定m的取值范围，使得椭圆 上有不同的两点关于直线 对称（答： ）； （4）抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 （答： ）特别提醒：因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 ！12．你了解下列结论吗？（1）双曲线 的渐近线方程为 ；（2）以 为渐近线（即与双曲线 共渐近线）的双曲线方程为 为参数， ≠0）。如与双曲线 有共同的渐近线，且过点 的双曲线方程为_______（答： ）（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 ；（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为 ，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 ，抛物线的通径为 ，焦准距为 ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线 的焦点弦为AB， ，则① ；② （7）若OA、OB是过抛物线 顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点 13．动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：①直接法：直接利用条件建立 之间的关系 ；如已知动点P到定点F(1,0)和直线 的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答： 或 ）；②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0） ，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答： ）；　③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1)由动点P向圆 作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为 （答： ）；（2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线 的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答： ）；(3) 一动圆与两圆⊙M： 和⊙N： 都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；④代入转移法：动点 依赖于另一动点 的变化而变化，并且 又在某已知曲线上，则可先用 的代数式表示 ，再将 代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点P是抛物线 上任一点，定点为 ,点M分 所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答： ）；⑤参数法：当动点 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。如（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点 ，使 ，求点 的轨迹。（答： ）；（2）若点 在圆 上运动，则点 的轨迹方程是____（答： ）；（3）过抛物线 的焦点F作直线 交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________（答： ）；注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已知椭圆 的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足 点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （1）设 为点P的横坐标，证明 ；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S= 若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2） ；（3）当 时不存在；当 时存在，此时∠F1MF2＝2）②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

圆 抛物线 双曲线

定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当0

圆锥曲线的公式主要有以下：1、椭圆：焦半径：a+ex(左焦点)，a-ex(右焦点)，x=a²/c2、双曲线：焦半径：|a+ex|(左焦点)|a-ex|(右焦点)，准线x=a²/c3、抛物线(y²=2px)等。 公式 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。 椭圆的标准方程共分两种情况： 当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)； 当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)； 其中a^2-c^2=b^2 推导:PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点F为焦点) 2.双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a,(2a<|F1F2|)}。 双曲线的标准方程共分两种情况： 焦点在X轴上时为 x^2/a^2-y^2/b^2=1； 焦点在Y轴上时为 y^2/a^2-x^2/b^2=1； 3.抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。y²=2px（p＞0）过焦点的直线交它于A(X1,Y1),B(X2,Y2)两点。 抛物线标准方程共分四种情况： 右开口抛物线：y^2=2px； 左开口抛物线:y^2=-2px； 上开口抛物线：x^2=2py； 下开口抛物线:x^2=-2py； [p为焦距（p>0）]

圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。　　我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。　　由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面。它也有一条轴，即抛物线的轴。在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点，任何一条过焦点的直线由抛物面反射出来以后，都成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。　　由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到单叶双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。人们在设计高大的立塔时，就采取单叶双曲面的体形，既轻巧又坚固。　　由此可见，对于圆锥曲线的价值，无论如何也不会估计过高。　　对于圆锥曲线的最早发现，众说纷法。有人说，古希腊数学家在求解“立方倍积”问题时，发现了圆锥曲线：设x、y为a和2a的比例中项，即。a：x＝x：y＝y：2a，则x=ay, y＝2ax，xy＝2a，从而求得x＝2a。又有人说，古希腊数学家在研究平面与圆锥面相截时发现了与“立方倍积”问题中一致的结果。还有认为，古代天文学家在制作日晷时发现了圆锥曲线。日晷是一个倾斜放置的圆盘，中央垂直于圆盘面立一杆。当太阳光照在日晷上，杆影的移动可以计时。而在不同纬度的地方，杆顶尖绘成不同的圆锥曲线。然而，日晷的发明在古代就已失传。　　早期对圆锥曲线进行系统研究成就最突出的可以说是古希腊数学家阿波罗尼（Apollonius,前262~前190）。他与欧几里得是同时代人，其巨著《圆锥曲线》与欧几里得的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作。　　在《圆锥曲线》中，阿波罗总结了前人的工作，尤其是欧几里得的工作，并对前人的成果进行去粗存精、归纳提炼并使之系统化的工作，在此基础上，又提出许多自己的创见。全书8篇，共487个命题，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，以致后代学者几乎没有插足的余地达千余年。　　现在，我们都知道，用一个平面去截一个双圆锥面，会得到圆、椭圆、抛物线、双曲线以及它们的退化形式：两相交直线，一条直线和一个点，如图1，所示。　　在此，我们仅介绍阿波罗尼关于圆锥曲线的定义。如图2，给定圆BC及其所在平面外一点A，则过A且沿圆周移动的一条直线生成一个双锥面。　　这个圆叫圆锥的底，A到圆心的直线叫圆锥的轴（未画出），轴未必垂直于底。　　设锥的一个截面与底交于直线DE，取底圆的垂直于DE的一条直径BC，于是含圆锥轴的△ABC叫轴三角形.轴三角形与圆锥曲线交于P、P",PP"未必是圆锥曲线的轴，PP"M是由轴三角形与截面相交而定的直线，PM也未必垂直于DE。设QQ"是圆锥曲线平行于DE的弦，同样QQ"被PP"平分，即VQ=QQ"。　　现作AF∥PM，交BM于F，再在截面上作PL⊥PM。如图3，PL⊥PP"　　对于椭圆、双曲线，取L满足，而抛物线，则满足，对于椭圆、双曲线有QV=PV·VR，对于抛物线有QV=PV·PL，这是可以证明的两个结论。　　在这两个结论中，把QV称为圆锥曲线的一个纵坐标线，那么其结论表明，纵坐标线的平方等于PL上作一个矩形的面积。对于椭圆来讲，矩形PSRV尚未填满矩形PLJV；而双曲线的情形是VR＞PL，矩形PSRV超出矩形PLJV；而抛物线，短形PLJV恰好填满。故而，椭圆、双曲线、抛物线的原名分别叫“亏曲线”、“超曲线”和“齐曲线”。这就是阿波罗尼引入的圆锥曲线的定义。　　阿波罗尼所给出的两个结论，也很容易用现代数学符号来表示：　　趋向无穷大时，LS=0，即抛物线，亦即椭圆或双曲线的极限形式。　　在阿波罗尼的《圆锥曲线》问世后的13个世纪里，整个数学界对圆锥曲线的研究一直没有什么新进展。11世纪，阿拉伯数学家曾利用圆锥曲线来解三次代数方程，12世纪起，圆锥曲线经阿拉伯传入欧洲，但当时对圆锥曲线的研究仍然没有突破。直到16世纪，有两年事促使了人们对圆锥曲线作进一步研究。一是德国天文学家开普勒（Kepler,1571~1630）继承了哥白尼的日心说，揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行的事实；二是意大利物理学家伽利略（Galileo,1564~1642）得出物体斜抛运动的轨道是抛物线。人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线，而且是自然界物体运动的普遍形式。于是，对圆锥曲线的处理方法开始有了一些小变动。譬如，1579年蒙蒂（Guidobaldo del Monte,1545~1607）椭圆定义为：到两个焦点距离之和为定长的动点的轨迹。从而改变了过去对圆锥曲线的定义。不过，这对圆锥曲线性质的研究推进并不大，也没有提出更多新的定理或新的证明方法。　　17世纪初，在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一形状的新思想的影响下，开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述。他发现了圆锥曲线的焦点和离心率，并指出抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是圆心在无穷远处的圆。从而他第一个掌握了这样的事实：椭圆、抛物线、双曲线、圆以及由两条直线组成的退化圆锥曲线，都可以从其中一个连续地变为另一个，只须考虑焦点的各种移动方式。譬如，椭圆有两个焦点F1、F2，如图4，若左焦点F1固定，考虑F2的移动，当F2向左移动，椭圆逐渐趋向于圆，F1与F2重合时即为圆；当F2向右移动，椭圆逐渐趋向于抛物线，F2到无穷远处时即为抛物线；当F2从无穷远处由左边回到圆锥曲线的轴上来，即为双曲线；当F2继续向右移动，F2又与F1重合时即为两相交直线，亦即退化的圆锥曲线。这为圆锥曲线现代的统一定义提供了一个合乎逻辑的直观基础。　　随着射影几何的创始，原本为画家提供帮助的投射、截影的方法，可能由于它与锥面有着天然的联系，也被用于圆锥曲线的研究。在这方面法国的三位数学家笛沙格（Desargue1591－ 1661）、帕斯卡（Pascal，1623－ 1662）和拉伊尔（Phailippe de La Hire，1640～1718）得出了一些关于圆锥曲线的特殊的定理，可谓别开生面。而当法国另外两位数学家笛卡儿和费马创立了解析几何，人们对圆锥曲线的认识进入了一个新阶段，对圆锥曲线的研究方法既不同于阿波罗尼，又不同于投射和截影法，而是朝着解析法的方向发展，即通过建立坐标系，得到圆锥曲线的方程，进而利用方程来研究圆锥曲线，以期摆脱几何直观而达到抽象化的目标，也可求得对圆锥曲线研究高度的概括和统一。 　　到18世纪，人们广泛地探讨了解析几何，除直角坐标系之外又建立极坐标系，并能把这两种坐标系相互转换。在这种情况下表示圆锥曲线的二次方程也被化为几种标准形式，或者引进曲线的参数方程。1745年欧拉发表了《分析引论》，这是解析几何发展史上的一部重要著作，也是圆锥曲线研究的经典之作。在这部著作中，欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述，从一般二次方程。出发，圆锥曲线的各种情形，经过适当的坐标变换，总可以化以下标准形式之一：　　继欧拉之后，三维解析几何也蓬勃地发展起来，由圆锥曲线导出了许多重要的曲面，诸如往面、椭球面、单叶和双叶双曲面、以及各种抛物面等。 　　总而言之，圆锥曲线无论在数学以及其他科学技术领域，还是在我们的实际生活中都占有重要的地位，人们对它的研究也不断深化，其研究成果又广泛地得到应用。这正好反映了人们认识事物的目的和规律。

设在椭圆上有一点P（x1,y1)经过此点椭圆的切线方程为：x1*x/a^2+y1*y/b^2=1方法一：设切线的方程为Y-Yo=k(X-Xo)即Y=k(X-Xo)+Yo①把①式代入椭圆方程X^2/a^2+Y^2/b^2=1,得：X^2/a^2+[k(X-Xo)+Yo]^2/b^2=1即：b^2·X^2+a^2·[k^2·(X-Xo)^2+Yo^2+2Yo·k(X-Xo)]=a^2·b^2即：(b^2+a^2·k^2)X^2-(2a^2·k^2·Xo-2a^2·k)X+(a^2·k^2·Xo^2+a^2·Yo^2-2a^2·k·Xo-a^2·b^2)=0由于切线Y-Yo=k(X-Xo)与椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1相切，所以上式方程有且只有一个实数解。则△=(2a^2·k^2·Xo-2a^2·k)^2-4(b^2+a^2·k^2)(a^2·k^2·Xo^2+a^2·Yo^2-2a^2·k·Xo-a^2·b^2)=0则有k=-(b^2·Xo)/(a^2·Yo)把k=-(b^2·Xo)/(a^2·Yo)代入切线方程Y-Yo=k(X-Xo)，得：(a^2·Yo)(Y-Yo)=-(b^2·Xo)(X-Xo)即：a^2·Yo·Y+b^2·Xo·X=a^2·Yo^2+b^2·Xo^2②又把点(Xo,Yo)代入椭圆方程X^2/a^2+Y^2/b^2=1，得：Xo^2/a^2+Yo^2/b^2=1即b^2·Xo^2+a^2·Yo^2=a^2·b^2③把③式代入②式，得：a^2·Yo·Y+b^2·Xo·X=a^2·b^2等式两边同时除以a^2·b^2，得：Xo·X/a^2+Yo·Y/b^2=1方法二：用隐函数求导有椭圆方程两边分别对x求导：b²x²+a²y²-a²b²=02b²x+2a²y*(dy/dx)=0(dy/dx)=-b²x1/(a²y1)即k=-b²x1/(a²y1)则切线方程是：y-y1=k*(x-x1)=[-b²x1/(a²y1)](x-x1)(y-y1)(a²y1)+b²x1(x-x1)=0a²yy1+b²x1x-（a²y1²+b²x1²）=a²yy1+b²x1x-a²b²=0即：xx1/a²+yy1/b²=1双曲线过点（x0,y0)的切线为x0*x/(a^2)-y0*y/(b^2)=1证明：x²/a²-y²/b²=1.对x求导：2x/a²-2yy′/b²=0.（x0,y0）的切线斜率y′=x0b²/y0a²（x0,y0）的切线方程：（y-y0）＝x0b²/y0a²（x-x0）.注意到b²x0²-a²y0²＝a²b².切线方程k可化简为：x0x／a²-y0y／b²＝1.求抛物线:y^2=2px在点(a,b)处切线的方程解:抛物线方程两边对x求导:得:2yy"=2p即y"=p/y故抛物线在(a,b)处切线的斜率为p/b所以在(a,b)处切线方程为:y-b=（p/b）(x-a)又:b^2=2pa所以y+b=p(x+a)即抛物线y^2=2px在(a,b)处切线方程为:y+b=p(x+a)

圆锥曲线分四类：圆 椭圆 双曲线 抛物线首先，你必须明确他们的第一、第二定义，背好他们的性质，比如图像上点x、y的取值范围，顶点坐标对称性，以及定义（焦半径、准线、离心率、焦准距……）其次，你可以做一些简单的习题练习定义知识；然后，进入重头戏：大题的解法，无非不就是涉及了过焦点弦、离心率求法、与余弦定理等结合、复合圆锥曲线（比如圆与椭圆相交、双曲线与椭圆相交……）、直线与与圆锥曲线的位置关系等等的问题做多了，就可以熟练掌握：一、圆的规律 二、椭圆的规律：通式法求弦长=√1+k²·√（x1+x2）²-4x1x2、倾斜角求弦长AB=2ab²/（a²-c²cos²α）、焦半径公式（以上为椭圆求弦长方法）三、双曲线的常用结论（网上都有的）四、抛物线的规律什么过焦点AB=2P/sin²α……然后类比椭圆与其他几种，可发现通式类的结论，其实学好椭圆其他的也就差不多了（类比推理）注重常用考点方法：点差法（弦中点）、求弦长、相切相交……最后多练，买一本好的参考书与练习册，两相补充，建议买高考题库这样的书，答案详细，题目正确性高，与现实联系大。我说的是指导性内容，一位不清楚您所问的“怎么解”是什么意思，圆锥曲线是一个很广的含义集合，所以打了一篇小小的指导，我也是这么过来的，我们老师的话：“做上100道大题，只要认真，再笨也有领悟”

用向量做，很简单

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。 抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。 圆锥曲线由来：圆，椭圆，双曲线，抛物线同属于圆锥曲线。早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。圆锥曲线的方程和性质1）椭圆 文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。 标准方程： 1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程： (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2. 2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程： (x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1 其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2. 参数方程：X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数 )2）双曲线 文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。 标准方程： 1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程： (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程： (y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1. 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 参数方程：x=asecθ y=btanθ (θ为参数 ) 直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴） y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴）3）抛物线 参数方程 x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0 直角坐标 y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 ) 圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为 ρ=ep/(1-e×cosθ) 其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。 焦点到最近的准线的距离等于ex±a 圆锥曲线的焦半径（焦点在x轴上，F1 F2为左右焦点，P（x，y），长半轴长为a）焦半径 圆锥曲线上任意一点到焦点的距离成为焦半径。 圆锥曲线左右焦点为F1、F2,其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为： 椭圆 |PF1|=a+ex |PF2|=a-ex 双曲线 P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-ex P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+ex P在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-ey P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey 抛物线 |PF|=x+p/2 圆锥曲线的切线方程 圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y 即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1；抛物线:y0y=p(x0+x)焦准距 圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。 椭圆的焦准距:p=(b^2)/c 双曲线的焦准距:p=(b^2)/c 抛物线的准焦距:p通径 圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦成为通径。 椭圆的通径:(2b^2)/a 双曲线的通径:(2b^2)/a 抛物线的通径:2p

圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线。圆锥曲线包括椭圆（圆为椭圆的特例）、抛物线、双曲线。起源于2000多年前的古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线。圆锥曲线（二次曲线）的（不完整）统一定义：到平面内一定点的距离r与到定直线的距离d之比是常数e=r/d的点的轨迹叫做圆锥曲线。其中当e>1时为双曲线，当e=1时为抛物线，当0定点叫做该圆锥曲线的焦点，定直线叫做（该焦点相应的）准线，e叫做离心率。

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圆锥曲线知识点如下：1、圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦成为通径。2、到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。3、当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。4、平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。5、顶点在原点，焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py，其中p>0。

1、当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。 2、当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。 3、当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。 4、当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。 5、当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。 6、当平面与二次锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。 7、当平面与二次锥面的两侧都不相交，且过圆锥顶点，结果为一点。

由比利时数学家G.F.Dandelin 1822年得出的冰淇淋定理证明了圆锥曲线几何定义与焦点-准线定义的等价性。即有一以Q为顶点的圆锥（蛋筒），有一平面π"（你也可以说是饼干）与其相截得到了圆锥曲线，作球与平面π"及圆锥相切，在曲线为椭圆或双曲线时平面与球有两个切点，抛物线只有一个（或者另一个在无穷远处），则切点为焦点。又球与圆锥之交为圆，设以此圆所在平面π与π"之交为直线d（曲线为圆时d为无穷远线），则d为准线。图只画了椭圆，证明对抛物线双曲线都适用，即证，任一个切点为焦点，d为准线。证：假设P为曲线上一点，联线PQ交圆O于E。设平面π′与π的交角为α，圆锥的母线（如PQ）与平面π的交角为β。设P到平面π 的垂足为H，H到直线d的垂足为R，则PR为P到d的垂线（三垂线定理），而∠PRH=α。因为PE、PF同为圆球之切线，得PE=PF。如此则有：PR·sinα=PE·sinβ=PF·sinβ=PH其中：PF/PR=sinα/sinβ为常数。

圆锥曲线通径公式：x=a²/c2。曲线，是微分几何学研究的主要对象之一。直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。这就要我们考虑可微曲线。立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴。垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。

1.椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P||PF1|+|PF2|=2a,(2a>|F1F2|)}。2.双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a,(2a<|F1F2|)}。3.抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。4.圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。

1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。 　　2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。 　　3. 抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。性质：1）椭圆　　参数方程：X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数 )　　直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1　　2）双曲线　　参数方程：x=asecθ y=btanθ (θ为参数 )　　直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴） y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴）　　3）抛物线　　参数方程：x=2pt^2 y=2pt (t为参数)　　直角坐标：y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )　　圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为　　ρ=ep/(1-e×cosθ)　　其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。 　　焦点到最近的准线的距离等于ex±a 　　圆锥曲线的焦半径（焦点在x轴上，F1 F2为左右焦点，P（x，y），长半轴长为a）　　椭圆：椭圆上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径。　　|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex　　双曲线：　　P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-ex　　P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+ex　　P在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-ey　　P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey　　圆锥曲线的切线方程：圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y^2　　即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1；抛物线:y0y=p(x0+x)　　圆锥曲线中求点的轨迹方程　　在求曲线的轨迹方程时，如果能够将题设条件转化为具有某种动感的直观图形，通过观察图形的变化过程，发现其内在联系，找出哪些是变化的量（或关系）、哪些是始终保持不变的量（或关系），那么我们就可以从找出的不变量（或关系）出发，打开解题思路，确定解题方法。

高中数学圆锥曲线公式总结1.焦半径公式 ，P为椭圆上任意一点，则│PF1│= a + eXo│PF2│= a - eXo(F1 F2分别为其左，右焦点)2.通径长 = 2b2/a3.焦点三角形面积公式S⊿PF1F2 = b2tan(θ/2) (θ为∠F1PF2)(这个可能有点难理解，不过结合第一定义可以较快的推，双曲线的也是同样方法)4.(左)准点Q (自己取的名字方便叙述，准线与X轴的焦点)过左焦点F1的任意一条线与椭圆交与A ，B 那么一定有：X轴平分∠AQB(在右边也是一样)圆锥曲线公式二.双曲线1.通径就不说了 2.焦半径公式(有8个，很难打符号的，不过可以根据极坐标方程来直接解答，比焦半径公式还快一些)3.焦点三角形面积公式S⊿PF1F2 =b2cot(θ/2) (左右支都是它)圆锥曲线公式三.抛物线y2=2px (p>0)过焦点的直线交它于A(X1,Y1),B(X2,Y2)两点1.│AB│=X1 + X2 + p =2p/sin2θ (θ为直线AB的倾斜角)2. Y1*Y2 = -p2 ， X1*X2 = p2/43.1/│FA│ + 1/│FB│ = 2/p4.结论：以AB 为直径的圆与抛物线的准线线切5.焦半径公式：│FA│= X1 + p/2 = p/(1-cosθ)圆锥曲线公式四. 通性直线与圆锥曲线 y= F(x) 相交于A ，B，则│AB│=√(1+k2) * [√Δ/│a│]圆锥曲线包括椭圆(圆为椭圆的特例)，抛物线，双曲线。圆锥曲线(二次曲线)的统一定义：到定点(焦点)的距离与到定直线(准线)的距离的商是常数e(离心率)的点的轨迹。当e>1时，为双曲线的一支，当e=1时，为抛物线，当0

应该选择两个圆锥,使其顶点对顶点,且母线互相成反向延长线. 1、若截面只与一个圆锥相交且截面是封闭的,此时得到椭圆； 2、若截面与两个圆锥都相交,此时得到双曲线； 3、若截面只与一个圆锥相交,且截面不封闭的,此时得到抛物线.