关于欧拉函数的一个性质的证明 数论高手进

欧拉函数就是指:对于一个正整数n,小于或等于n的正整数中与n互质的正整数个数(包括1)的个数,记作 φ ( n ) 。在数论，对正整数 n，欧拉函数是小于或等于 n 的正整数中与 n 互质的数的数目（因此φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler"s totient function)，它又称为 Euler"s totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为 1,3,5,7 均和 8 互质。从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。通式：(其中 p1, p2……pn 为 x 的所有质因数，x 是不为 0 的整数)定义 φ(1)=1（和 1 互质的数(小于等于 1)就是 1 本身）。注意：每种质因数只有一个。比如 12=2*2*3 那么φ（12）=φ（4*3）=φ（2^2*3^1）=（2^2-2^1）*（3^1-3^0）=4若 n 是质数 p 的 k 次幂，，因为除了 p 的倍数外，其他数都跟 n 互质。设 n 为正整数，以 φ(n)表示不超过 n 且与 n 互素的正整数的个数，称为 n 的欧拉函数值φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。欧拉函数是积性函数——若 m,n 互质，特殊性质：当 n 为奇质数时，, 证明与上述类似。

φ(120)=φ(2^3*3*5)=16

它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理，R+ V- E= 2就是欧拉公式。在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+ V- E= 2，这就是欧拉定理。用数学归纳法证明：1、当R= 2时，由说明1这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”，即R= 2，V= 2，E= 2于是R+ V- E= 2,欧拉定理成立。2、设R= m(m≥2)时欧拉定理成立，下面证明R= m+ 1时欧拉定理也成立。

ψ（ab)=ψ(a)ψ(b);ψ(a)^2+ψ(b)^2>=2ψ(a)ψ（b)=2ψ（ab);故得证。

欧拉公式欧拉公式有4条 （1）分式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c （2）复数 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2 此函数将两种截然不同的函数---指数函数与三角函数联系起来，被誉为数学中的“天桥”。当θ=π时，成为e＾iπ+1=0 它把数学中最重要的e、i、π、1、0联系起来了。（3）三角形 设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面体 设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则 v-e+f=2-2p p为亏格，2-2p为欧拉示性数，例如 p=0 的多面体叫第零类多面体 p=1 的多面体叫第一类多面体 等等

通式：,其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4若n是质数p的k次幂，，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。欧拉函数是积性函数——若m,n互质，特殊性质：当n为奇数时，, 证明与上述类似。若n为质数则

欧拉函数：对任意大于1的正整数x，[1, x]范围内与x互质的正整数的个数 f(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2).....(1-1/pn) 其中pi为x所有的质因数（i=1, 2, ... , n） 证明： 当x=2时，仅有1与x互质，仅有1个质因数2，因此f(x)=x(1-1/p1)=2*(1-1/2)=1, 欧拉函数成立。 当x=p^k时，其中p为质数，k为正整数，则与x不互质的正整数为p, 2p, ..., x, 即p(1, 2, ..., x/p), 除此之外的数均与x互质，因此互质的个数为x-x/p=x(1-1/p), 欧拉函数成立。 当x=(p1^k1) * (p2^k2)时，根据定理，两个互质的正整数的欧拉函数之积等于其积的欧拉函数，因为(p1^k1) 与 (p2^k2) 互质，因此： f((p1^k1) * (p2^k2)) = f(p1^k1) * f(p2^k2) = p1^k1(1-1/p1) * p2^k2(1-1/p2) =  (p1^k1) * (p2^k2) * (1-1/p1) * (1-1/p2) 即 f(x) = x(1-1/p1) * (1-1/p2) ，欧拉函数成立。 当x=(p1^k1) * (p2^k2) * ... * (pt^kt) , 其中t>=3时，因为 (p1^k1) 与 (p2^k2) * ... * (pt^kt) 互质，因此 f(x) = f(p1^k1) * f((p2^k2) * ... * (pt^kt)),  同理不断展开，即  f(x) = f(p1^k1) * f(p2^k2) * ... * f(pt^kt) = (p1^k1) * (1-1/p1)  * (p2^k2) * (1-1/p2) .........  * (pt^kt) * (1-1/pt)       = (p1^k1) * (p2^k2) * ... * (pt^kt) * (1-1/p1) * (1-1/p2) * .... * (1-1/pt)        = x(1-1/p1) (1-1/p2)  ....  (1-1/pt) 证明完毕

其中pi是x的所有质因数还可以利用下列公式：φ(p)=p-1（其中p是素数）得知φ(100)=φ(25*4)=φ(25)φ(4)=φ(5^2)φ(2^2)=5φ(5)*2φ(2)=5(5-1)*2(2-1)=40

φ(30) = 8。欧拉函数定义: 对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中，与n互质的数的数目; 例如: φ(8) = 4, 因为1，3，5，7均和8互质。

四个欧拉公式分别是复变函数中的欧拉幅角公式，分式公式，三角形中的欧拉公式，物理学中的欧拉公式。欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有复变函数中的欧拉幅角公式。即将复数、指数函数与三角函数联系起来。 拓扑学中的欧拉多面体公式，初等数论中的欧拉函数公式。 此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等。V加F减E等于XP。V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，XP是多面体P的欧拉示性数。如果P可以同胚于一个球面那么XP等于2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么XP等于2减2h。欧拉公式的应用众所周知，生活中处处存在着摩擦力，欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系。这个欧拉公式是F等于fe乘以ka。其中，f表示我们施加的力，F表示与其对抗的力，e为自然对数的底，k表示绳与桩之间的摩擦系数，a表示缠绕转角，即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。除了上面提到的四个公式以外，还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。

欧拉函数：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。所以126的欧拉函数是2

phi[1]=1 phi[2]=1 phi[3]=2 phi[4]=2 phi[5]=4 phi[6]=2 phi[7]=6 phi[8]=4 phi[9]=6 phi[10]=4 phi[11]=10 phi[12]=4 phi[13]=12 phi[14]=6 phi[15]=8 phi[16]=8 phi[17]=16 phi[18]=6 phi[19]=18 phi[20]=8 phi[21]=12 phi[22]=10 phi[23]=22 phi[24]=8 phi[25]=20 phi[26]=12 phi[27]=18 phi[28]=12 phi[29]=28 phi[30]=8 phi[31]=30 phi[32]=16 phi[33]=20 phi[34]=16 phi[35]=24 phi[36]=12 phi[37]=36 phi[38]=18 phi[39]=24 phi[40]=16 phi[41]=40 phi[42]=12 phi[43]=42 phi[44]=20 phi[45]=24 phi[46]=22 phi[47]=46 phi[48]=16 phi[49]=42 phi[50]=20 phi[51]=32 phi[52]=24 phi[53]=52 phi[54]=18 phi[55]=40 phi[56]=24 phi[57]=36 phi[58]=28 phi[59]=58 phi[60]=16 phi[61]=60 phi[62]=30 phi[63]=36 phi[64]=32 phi[65]=48 phi[66]=20 phi[67]=66 phi[68]=32 phi[69]=44 phi[70]=24 phi[71]=70 phi[72]=24 phi[73]=72 phi[74]=36 phi[75]=40 phi[76]=36 phi[77]=60 phi[78]=24 phi[79]=78 phi[80]=32 phi[81]=54 phi[82]=40 phi[83]=82 phi[84]=24 phi[85]=64 phi[86]=42 phi[87]=56 phi[88]=40 phi[89]=88 phi[90]=24 phi[91]=72 phi[92]=44 phi[93]=60 phi[94]=46 phi[95]=72 phi[96]=32 phi[97]=96 phi[98]=42 phi[99]=60 phi[100]=40

欧拉函数数列的前10项：1、2、2、4、3、6 、4、6、4 、10在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目。数列（sequence of number），是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示，前n项和用Sn表示。等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。数列递推公式特点：有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。有些数列没有递推公式，即有递推公式不一定有通项公式。

欧拉函数21计算：分解质因数：21=2^3*3*5。欧拉函数：φ(21)=21*(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)=120*1/2*2/3*4/5=32。小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（因此φ(1)=1）。设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

利用欧拉函数和它本身不同质因数的关系，用筛法计算出某个范围内所有数的欧拉函数值。欧拉函数和它本身不同质因数的关系：欧拉函数ψ（N）=N{∏p|N}（1－1/p）亦即: （P是数N的质因数）如：ψ（10）=10×（1－1/2）×（1－1/5）=4；ψ（30）=30×（1－1/2）×（1－1/3）×（1－1/5）=8；ψ（49）=49×（1－1/7）= =42。 import java.util.ArrayList;import java.util.List;import java.util.Scanner;public class Oula {    public static void main(String[] args){        Scanner scanner=new Scanner(System.in);        int num=scanner.nextInt();        int a=num;        double oulaAnwser=0;        ArrayList<Integer> oulaList = new ArrayList<Integer>();        if (isPrime(num)){            oulaAnwser=num-1;        }else{            List<Integer> allPrime = getAllPrime(num);            for(int i : allPrime){                int tem=num;                num=repeatdivide(num,i);                if (tem!=num){                    oulaList.add(i);                }            }            oulaAnwser=a;            for (int j :oulaList){                 oulaAnwser=oulaAnwser*(1-(double)1/j);            }        }        System.out.println(欧拉函数的值为+Math.round(oulaAnwser));    }    public static List<Integer> getAllPrime(int num){        ArrayList<Integer> result = new ArrayList<Integer>();        for (int i =2;i<num;i++){            if (isPrime(i)) {                result.add(i);            }        }        return result;    }    public static boolean isPrime(int num){        if(num < 2) {            return false;        }        for(int i = 2; i <= Math.sqrt(num); i++ ) {            if(num%i == 0) {                return false;            }        }        return true;    }    public static boolean canbedivide(int num,int i ){        return num==1?false:num%i==0?true:false;    }    public static int repeatdivide(int num,int i ){        int result=0;        if (canbedivide(num,i)){            result=repeatdivide(num/i,i);        }else{            return num;        }        return result;    }}

对正整数n,欧拉函数φ(n)是少于或等于n的数中与n互质的数的数目与10互质的数有1,3,7,9

方法一：用公式.每个数字x可以写成素数的乘积 (p1)^{a1}*(p2)^{a2}...,其中 p1,p2 ...等是不同的素数,a1,a2...等是正整数,那么 phi(x) = (p1)^{a1-1}(p1-1).举个例子,12=2……2*3,而 phi(12)=2*(2-1)*(3-1) = 4,确实 1 到 12 这12个数中,只有 4 个 (1,5,7,11) 跟 12 互素.m | n,那么 m 的每个素因子都是n的素因子,代入,展开可以知道 phi(mn)=m*phi(n). 方法二：用 phi(k)的定义：phi(k) 是 1 到 k 中与 k 互素的数的个数.如果 (a,mn)=1 ( (x,y)=1 表示 x 和 y 互素）,那么 (a,n) =1； 反过来,如果 (a,n) =1,因为 m | n,所以 (a,m)= 1,(a,mn)=1.所以 (a,n) =1 当且仅当 (a,mn) =1.(a) phi(n) 是 1 到 n 中与n 互素的数的个数.phi(mn) 是 1 到 mn 中与 mn 互素的数的个数,根据刚才的结论,(b) phi(mn) 是 1 到 mn 中与 n 互素的数的个数.比较 (a) 和 (b),phi(mn) = m*phi(n).

φ（341）=φ（11*31）=φ（11）φ（31）=10*30=300

分解200=2^3*5^2，欧拉函数φ(200)=200*（1-1/2）*(1-1/5)=80

54的欧拉函数是81，因为欧拉函数(81)=54。在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为φ函数（由高斯所命名）或是欧拉总计函数（totient function，由西尔维斯特所命名）。例如，欧拉函数（8）=4因为1，3，5，7均和8互质。欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群（即环的所有可逆元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起构成了欧拉定理的证明。

分解质数6725fai=5614积=120

7的欧拉函数值等于4。欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目，若n是质数p的k次幂，，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。欧拉函数是积性函数，即是说若m，n互质，。证明：设A，B，C是跟m，n，mn互质的数的集，据中国剩余定理，和C可建立双射的关系。因此的值使用算术基本定理便知。应用首先看一个基本的例子。令a = 3，n = 5，这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以φ(5)=4（详情见[欧拉函数]）。计算:a^{φ(n)} = 3^4 =81，而81= 80 + 1 Ξ 1 （mod 5）。与定理结果相符。这个定理可以用来简化幂的模运算。比如计算7^{222}的个位数，实际是求7^{222}被10除的余数。7和10[[互素]]，且φ(10)=4。由欧拉定理知7^4Ξ1(mod 10)。所以7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。

（1）分式里的欧拉公式a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b) 　　当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 　　当r=3时值为a+b+c（2）复变函数论里的欧拉公式　e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。（3）三角形中的欧拉公式设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d^2=R^2-2Rr（4）拓扑学里的欧拉公式　V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

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自己好好看看资料，什么是欧拉函数！这是地址：http://baike.baidu.com/view/107769.htm

AAAAAA题：正整数a,m, (a,m)=1,　证明: a^φ(m)== 1 modm.BBB数论术语参考：双等号== 为方便打字而引入，用以取代三线等号≡，可用作同余关系符号。最大公约数gcd(a,m),有时简记作(a,m)： a,m二者的最大公约数，最大公因数，最大公因子。为防混淆，有资料写作gcd(a,m)或gcf(a,m),英文全文为great common divisor或great common factor.既约⊥,a⊥m，a与m既约，不可约，互质，互素： 既约，或称不可约，或称互质，或称互素，a,m既约，记作a⊥m或(a,m)=1即a,m二者的最大公约数为1,已经约去公因子到不可再约了。剩余类，同余类： 集合 {a+mk, k为任意整数} 称为m的a类剩余类，其中各元素对于模m是同余的，在同余意义上是等价的，故也称为同余类，同时，任何一个元素均可作全部元素之代表，任何一个元素称为剩余类的代表元，代表数，或代表。既约剩余类，不可约剩余类，素剩余类： 集合 {a+mk, k为任意整数，a与m互质} 称为m的a类既约剩余类，或称不可约素剩余类，或称素剩余类既约剩余系，素剩余系，简化剩余系，缩剩余系，缩系，简化系Z_(m)： 以不大于m且与m互质的正整数为代表元的剩余类构成的系列，是一种特殊的集合(系列型集合)。既约剩余系代表集 在既约剩余系的每个剩余类中各取一个代表元所构成的集合。 特别注意，在同余意义（同余等价性）上，将一个剩余系用其中一个代表数全权代表，此时，既约剩余系代表集与既约剩余系二者不必区分。最小既约剩余代表集z_(m)： 不大于m且与m互质的正整数构成的集合。φ(m)，即欧拉函数，我称之为m的既约剩余计数函数，或m的素剩余计数函数，或m的缩系计数函数。 是不大于m且与m互质的正整数的个数之计数。我称之为m的既约剩余计数函数，或m的素剩余计数函数，或m的缩系计数函数。因为欧拉是大数学家，也是大物理学家，命名为欧拉函数、欧拉定理的太多了，给一下特定称呼不致于混淆。 CCCCCC证明：首先证明一个引理。引入集合Z_m={x_1,x_2,...,x_φ(m)}，其中各元素对于m两两不同余且各元素均与m互质，即Z_m={x_i； 其x(i)与m互质)其中各元素对于m两两不同余即是说，当i<>j时，x_i<>x_j mod m. 对于Z_m可以有以下三种理解，均不妨碍下面的过程，提出来是为了方便朋友们全面地理解。以下视某某为某某就是把某某看作某某的意思。 视Z_m为一个缩系，是一个集列型集合，其中x_i各是一个既约剩余类，以上这一点是从剩余类意义上来讲。 视Z_m为一个数集，是由所有与m互质的数的代表所构成，视x_i为一个与m互质的数，用来作为一个既约剩余类的代表，以上这一点是从同余等价性上来。我们还可以定义Z_m={x_i； 其x(i)与m互质且x(i)为<=m的正整数)，这样是将数集Z_m即定在1到m之间，即不影响下面的答题过程。DDD引理：S = {ax_1 mod m,ax_2mod m,...,ax_φ(m)mod m}则S = Z_m引理之证明：1) 由于a,m互质，x_i也与m互质，则ax_i也一定于m互质，因此任意x_i，ax_i mod m 必然是Z_m的一个元素2) 对于Zm中两个元素x_i和x_j，如果x_i ≠ x_j则ax_i mod m ≠ ax_j mod m，这个由a、m互质和消去律可以得出。所以，很明显，S=Z_m既然这样，那么下面正式证明正整数a,m, (a,m)=1,　证明: a^φ(m)== 1 modm.下面沿用引理的符号指定，接下来这样：（ax_1 × ax_2×...×ax_φ(m)）mod m= （ax_1 mod m × ax_2 mod m × ... × ax_φ(m) mod m）mod m= （x_1 × x_2 × ... × x_φ(m)）mod m显然等式左边= (a^φ(m) × （x_1 × x_2 × ... × x_φ(m)）mod m) mod m= (a^φ(m) × 右边根据消去律，就得到：a^φ(m) == 1 (mod m)FFFFFF附注消去律，对于等式而言，是指等式两边除以同一个非零项，或两边分别除以非零的等值项，等式成立。对于同余式而言，是指同余式两边除以非零的同余项，同余式成立。零同余项，对于模m而言，就是模m的零同余类的任一代表元。零同余类，即集合{y; y==0 mod m}，即集合{mk;k为整数}，可简记为{0 mod m}，有时也记为 [0]

n=p1^a1*p2^a2*……*pk^ak 则φ(n)=p1^(a1-1)*(p1-1)*p2^(a2-1)*(p2-1)*……*pk^(ak-1)*(pk-1)=n/3 显然n=3^a2^k,可以 因为φ(n)=3^(a-1)*(3-1)*2^(k-1)*(2-1)=3^(a-1)*2^k=n/3 若还有其他的因数 则φ(n)=3^(a-1)*(3-1)*2^(k-1)*(2-1)p3^(a3-1)*(p3-1)*p4^(a4-1)*(p4-1)*……*pk^(ak-1)*(pk-1) =n/3*p3^(a3-1)*(p3-1)*p4^(a4-1)*(p4-1)*……*pk^(ak-1)*(pk-1) 因为p3〉=5 所以p3^(a3-1)*(p3-1)*p4^(a4-1)*(p4-1)*……*pk^(ak-1)*(pk-1)不等于1,所以φ(n)>n/3 若不含有3^a 则n/3不是整数 若没有2^k,则n是奇数 而φ(n)=3^(a-1)*(3-1)*p3^(a3-1)*(p3-1)*p4^(a4-1)*(p4-1)*……*pk^(ak-1)*(pk-1)是偶数 所以 n=3^a2^k

欧拉的哪一个？

4与1.3互质所以它的欧拉函数为2。欧拉函数φ(x)表示小于等于x的正整数中与x互质的数的个数。比如φ(4)=2，因为4与1，3互质。

难过的数学，不过我觉得拉格朗日更简单一些，更应用广泛一些。

1的欧拉函数是1.欧拉函数是定义在正整数集合上的函数. φ(n)为小于n 并且与n 互素的非负整数的个数. 欧拉函数定义：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数的个数，记做φ(n)，φ(1)被定义为1

2^2*5^2的欧拉函数等于100。（2^2-2*1）*（5^2-5^1）=2*20=40个。φ(100)=φ(25*4)=φ(25)φ(4)=φ(5^2)φ(2^2)=5φ(5)*2φ(2)=5(5-1)*2(2-1)=40。φ函数的值<math>varphi(1)=1</math>（唯一和1互质的数就是1本身）。若n是质数p的k次幂，<math>varphi(n)=p^a-p^=(p-1)p^</math>，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。通式：其中p1，p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ（1）=1（唯一和1互质的数（小于等于1）就是1本身）。（注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*（1-1/3）=4。若n是质数p的k次幂，，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。设n为正整数，以φ（n）表示不超过n且与n互。素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数。φ：N→N，n→φ（n）称为欧拉函数。欧拉函数是积性函数——若m，n互质。

最通常的空间完整性，即空洞区域内空洞数量的度量，测量法称为欧拉函数，它只用一个单一的数描述这些函数，称为欧拉数。数量上，欧拉数=（空洞数）-（碎片数-1），这里空洞数是外部多边形自身包含的多边形空洞数量，碎片数是碎片区域内多边形的数量。有时欧拉数是不确定的。奇数项的欧拉数皆为零，偶数项的欧拉数正负相间，开首为： E0 = 1 E2 = -1 E4 = 5 E6 = -61 E8 = 1,385 E10 = -50,521 E12 = 2,702,765 E14 = -199,360,981 E16 = 19,391,512,145 E18 = -2,404,879,675,441

分解质因数1236=2^2*3*103,φ(1236)=1236*(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/103)=408

正态分布的分布函数。

欧拉函数前十项：在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler"s totient function、φ函数、欧拉商数等。例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。函数的值：<math>varphi(1)=1</math>（唯一和1互质的数就是1本身）。若n是质数p的k次幂，<math>varphi(n)=p^a-p^=(p-1)p^</math>，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。欧拉函数是积性函数——若m,n互质，<math>varphi(mn)=varphi(m)varphi(n)</math>。证明：设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩余定理，<math>A imes B</math>和C可建立一一对应的关系。因此<math>varphi(n)</math>的值使用算术基本定理便知，若<math>n = prod_{pmid n} p^{alpha_p}</math>，则<math>varphi(n) = prod_{pmid n} p^{alpha_p-1}(p-1) = nprod_{p|n}left(1-frac ight)</math>。例如<math>varphi(72)=varphi(2^3 imes3^2)=2^(2-1) imes3^(3-1)=2^2 imes1 imes3 imes2=24</math>与欧拉定理、费马小定理的关系对任何两个互质的正整数a, m，<math>mge2</math>，有<math>a^{varphi(m)} equiv 1 pmod m</math>即欧拉定理当m是质数p时，此式则为：<math>a^ equiv 1 pmod p</math>即费马小定理。

在数论，对正整数n，欧拉函数<math>varphi(n)</math>是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler"stotientfunction、φ函数、欧拉商数等。例如<math>varphi(8)=4</math>，因为1,3,5,7均和8互质。从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。[编辑]φ函数的值<math>varphi(1)=1</math>（唯一和1互质的数就是1本身）。若n是质数p的k次幂，<math>varphi(n)=p^a-p^=(p-1)p^</math>，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。欧拉函数是积性函数——若m,n互质，<math>varphi(mn)=varphi(m)varphi(n)</math>。证明：设A,B,C是跟m,n,mn互质的数的集，据中国剩余定理，<math>A imesB</math>和C可建立一一对应的关系。因此<math>varphi(n)</math>的值使用算术基本定理便知，若<math>n=prod_{pmidn}p^{alpha_p}</math>，则<math>varphi(n)=prod_{pmidn}p^{alpha_p-1}(p-1)=nprod_{p|n}left(1-frac ight)</math>。例如<math>varphi(72)=varphi(2^3 imes3^2)=2^(2-1) imes3^(3-1)=2^2 imes1 imes3 imes2=24</math>[编辑]与欧拉定理、费马小定理的关系对任何两个互质的正整数a,m，<math>mge2</math>，有<math>a^{varphi(m)}equiv1pmodm</math>即欧拉定理当m是质数p时，此式则为：<math>a^equiv1pmodp</math>即费马小定理。

10000的欧拉函数是4。用F表示欧拉函数，则n=p1（r1）p2（r2）。pm（rm）F（n）=n*（1-1/p1）*（1-1/p2）*（1-1/pm），所以F（12）=12*（1-1/2）*（1-1/3）=4。若n是质数p的k次幂，<math>varphi（n）=p^a-p^=（p-1）p^</math>，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

欧拉函数，也称为φ函数，表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。设n是一个正整数，则欧拉函数φ(n)的计算公式为：φ(n) = n × (1 - 1/p1) × (1 - 1/p2) × ... × (1 - 1/pk)其中，p1、p2、...、pk是n的所有不同质因数。对于r=21，可以先分解质因数，得到21=3 × 7。因此，φ(21) = 21 × (1 - 1/3) × (1 - 1/7) = 12即21的欧拉函数值为12。所有与21互质的正整数是指小于21且与21没有公因数的所有正整数。由于21=3 × 7，因此与21互质的正整数必须同时不是3的倍数和不是7的倍数。因此，可以列出与21互质的正整数如下：1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20其中，共有12个正整数与21互质，与欧拉函数的值一致。希望对你有所帮助

它于1640年由Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理，R+V-E=2就是欧拉公式。在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+V-E=2，这就是欧拉定理。当R=2时。由说明1这两个区域可想象为以赤道为边界的两个半球面，赤道上有两个“顶点”将赤道分成两条“边界”。即R=2，V=2，E=2于是R+V-E=2,欧拉定理成立。

50的欧拉函数值是4。用F表示欧拉函数，则n=p1（r1）p2（r2）pm（rm）F（n）=n*（1-1/p1）*（1-1/p2）*（1-1/pm），所以F（12）=12*（1-1/2）*（1-1/3）=4。分析及过程：在数论，对正整数n，欧拉函数varphi(n)是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler"s totient function、φ函数、欧拉商数等。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

欧拉函数大于根号n/2。在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目。利用欧拉函数和它本身不同质因数的关系，用筛法计算出某个范围内所有数的欧拉函数值。在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称Euler"stotientfunction、φ函数、欧拉商数等。例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。从欧拉函数引伸出来在环论方面的事实和拉格朗日定理构成了欧拉定理的证明。

欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。例如euler(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 Euler函数表达通式：euler(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1,p2……pn为x的所有素因数，x是不为0的整数。euler(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。 欧拉公式的延伸：一个数的所有质因子之和是euler(n)*n/2。

int eular(int n){//用欧拉公式:k=N*(1/p1)*(p1-1)*(1/p2)(p2-1)……//其中p1，p2……是N的质因数，不重复计算//例如100=2X2X5X5，只算p1=2,p2=5，重复的不算int ret=1,i; //ret是指第二部分（px-1）for(i=2;i*i<=n;i++)//遍历n以内的质因数{if(n%i==0)//如果是质因数{n/=i,ret*=i-1;//通过n/px来表示每个质因数第一部分while(n%i==0) n/=i,ret*=i;//如果重复计算了，就把多除的px乘到ret部分}}if(n>1) ret*=n-1;//最后把两部分相乘合并return ret;}

RSA算法中，欧拉函数φ（n）的定义是（）。 A.不超过n其和n互素的正整数个数(正确答案) B.不超过n其和n互素的整数个数 C.和n互素的整数个数 D.和n互素的正整数个数

方法一：用公式。 每个数字x可以写成素数的乘积 (p1)^{a1}*(p2)^{a2}..., 其中 p1, p2 ... 等是不同的素数， a1, a2... 等是正整数，那么 phi(x) = (p1)^{a1-1}(p1-1)...... 举个例子， 12=2……2*3，而 phi(12)=2*(2-1)*(3-1) = 4, 确实 1 到 12 这12个数中，只有 4 个 (1, 5, 7, 11) 跟 12 互素。 m | n, 那么 m 的每个素因子都是n的素因子，代入，展开可以知道 phi(mn)=m*phi(n).方法二：用 phi(k)的定义：phi(k) 是 1 到 k 中与 k 互素的数的个数。 如果 (a, mn)=1 ( (x, y)=1 表示 x 和 y 互素）, 那么 (a, n) =1； 反过来，如果 (a, n) =1, 因为 m | n, 所以 (a, m)= 1, (a, mn)=1. 所以 (a, n) =1 当且仅当 (a, mn) =1。 (a) phi(n) 是 1 到 n 中与n 互素的数的个数。 phi(mn) 是 1 到 mn 中与 mn 互素的数的个数， 根据刚才的结论，(b) phi(mn) 是 1 到 mn 中与 n 互素的数的个数。比较 (a) 和 (b), phi(mn) = m*phi(n).

35的函数值是24.φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

2-100欧拉函数表n φ(n)2 13 24 25 46 27 68 49 610 411 1012 413 1214 615 816 817 1618 619 1820 821 1222 1023 2224 825 2026 1227 1828 1229 2830 831 3032 1633 2034 1635 2436 1237 3638 1839 2440 1641 4042 1243 4244 2045 2446 2247 4648 1649 4250 2051 3252 2453 5254 1855 4056 2457 3658 2859 5860 1661 6062 3063 3664 3265 4866 2067 6668 3269 4470 2471 7072 2473 7274 3675 4076 3677 6078 2479 7880 3281 5482 4083 8284 2485 6486 4287 5688 4089 8890 2491 7292 4493 6094 4695 7296 3297 9698 4299 60100 40

8=2³ 所以φ(8)=2²×（2-1)=4

　　1、欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有：复变函数中的欧拉幅角公式——将复数、指数函数和三角函数联系起来，拓扑学中的欧拉多面体公式，初等数论中的欧拉函数公式。此外还包括其它一些欧拉公式，如分式公式等。 　　2、分式：a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)，当r=0,1时式子的值为0，当r=2时值为1，当r=3时值为a+b+c。 　　3、复变函数：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。 　　4、空间中的欧拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。