离散傅里叶级数的介绍

DFT（离散傅里叶变换）一般指离散傅里叶变换。离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法，傅里叶变换是傅里叶分析的核心，通过它把信号从时间域变换到频率域，进而研究信号的频谱结构和变化规律。物理意义设x(n)是长度为N的有限长序列，则其傅里叶变换，Z变换与离散傅里叶变换分别用以下三个关系式表示：X(e^jω)= ∑n={0,N-1}x(n) e^j-ωn。X(z)= ∑n={0,N-1}x(n)z^-n。X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) e^-j2πkn/N。单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。离散傅里叶变换是x(n)的频谱X(ejω)在[0,2π]上的N点等间隔采样,也就是对序列频谱的离散化,这就是DFT的物理意义。

根据欧拉公式，cosω0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。直流信号的傅里叶变换是2πδ(ω)。根据频移性质可得exp(jω0t)的傅里叶变换是2πδ(ω-ω0)。再根据线性性质，可得cosω0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2的傅里叶变换是πδ(ω-ω0)+πδ(ω+ω0)。扩展资料计算离散傅里叶变换的快速方法，有按时间抽取的FFT算法和按频率抽取的FFT算法。前者是将时域信号序列按偶奇分排，后者是将频域信号序列按偶奇分排。它们都借助于的两个特点：一是周期性；二是对称性，这里符号*代表其共轭。这样，便可以把离散傅里叶变换的计算分成若干步进行，计算效率大为提高。时间抽取算法 　令信号序列的长度为N=2,其中M是正整数，可以将时域信号序列x(n)分解成两部分，一是偶数部分x（2n），另一是奇数部分x（2n+1），于是信号序列x(n）的离散傅里叶变换可以用两个N/2抽样点的离散傅里叶变换来表示和计算。考虑到和离散傅里叶变换的周期性，式⑴可以写成⑶其中（4a）（4b）由此可见，式⑷是两个只含有N/2个点的离散傅里叶变换，G(k）仅包括原信号序列中的偶数点序列，H(k）则仅包括它的奇数点序列。虽然k=0，1，2，…，N-1，但是G(k）和H(k）的周期都是N/2，它们的数值以N/2周期重复。

离散时间傅里叶变换有时也称为序列傅里叶变换。离散时间傅里叶变换实质上就是单位圆上的(双边)Z变换。当时域信号为连续信号时，用连续时间傅里叶变换；为离散信号时，用离散时间傅里叶变换。离散时间傅里叶变换（DTFT，Discrete Time Fourier Transform）使我们能够在频域（数字频域）分析离散时间信号的频谱和离散系统的频响特性。但还存在两个实际问题。1. 数字频率 是一个模拟量，为了便于今后用数字的方法进行分析和处理，仅仅在时域将时间变量t离散化还不够，还必须在频域将数字频率离散化。2. 实际的序列大多为无限长的，为了分析和处理的方便，必须把无限长序列截断或分段，化作有限长序列来处理。DTFT是对任意序列的傅里叶分析，它的频谱是一个连续函数；而DFT是把有限长序列作为周期序列的一个周期，对有限长序列的傅里叶分析，DFT的特点是无论在时域还是频域都是有限长序列。DFT提供了使用计算机来分析信号和系统的一种方法，尤其是DFT的快速算法FFT，在许多科学技术领域中得到了广泛的应用，并推动了数字信号处理技术的迅速发展。

离散傅立叶变换DFT Discrete Fourier Transform.为了在频域利用计算机和数字处理技术来分析信号与系统，就需要将其离散化。

首先，在了解这三个变量之前，你要知道DTFT:DTFT是一种离散时间傅立叶变换，用来表示连续信号的频谱。然后了解DFT:DFT是离散傅立叶变换，针对的是离散信号和频谱。是DFT DTFT的变化，实际上是把连续时间T变成了nT。你为什么这么做？由于计算机工作在数字环境中，无法看到或处理现实中的连续信号，只能进行离散计算，在真实性上尽可能接近连续信号。所以DFT是为了我们用工具分析信号而产生的。通常，我们很少有机会直接使用DTFT。然后了解FFT:首先，DCT是DFT的一种形式。所谓“余弦变换”，是指在DTFT傅里叶级数展开中，如果展开的函数是实偶函数，那么傅里叶级数只含有余弦项，然后通过离散化(DFT)就可以导出余弦变换，所以称为离散余弦变换(DCT)。其实DCT属于DFT的一个子集。DCT广泛应用于语音和图像处理。

1.混叠效应如果x(t)的频谱是带限的，X(f)=0,|f|>fm则由抽样定理，抽样间隔满足Ts=1/2fm如果f(t)的频谱不是带限的，则抽样后频谱总要发生混叠减小抽样间隔Ts，fs增大，可减小混叠，但工作量增加.解决办法：预滤波，再抽样，一般选择Ts<1/(3~5)fm2.泄漏(leakage)若X(f)为有限带宽频谱，则x(t)为时间无限的。为利用FFT分析x(t)的频谱，必须截取x(t)有限范围，即加窗.频域卷积后，使原频带受限的频谱扩展开来(有限带宽拖了尾巴)，这种现象称为泄漏解决方法：改善窗的形状

快速傅里叶变换（FFT）属于离散傅里叶变换（DFT）。快速傅里叶变换是在运算点数为2的N次幂的情况下，对算法作了优化，减少了运算次数，提高了运算速度。

离散时间傅里叶变换有时也称为序列傅里叶变换。离散时间傅里叶变换实质上就是单位圆上的(双边)Z变换。当时域信号为连续信号时，用连续时间傅里叶变换；为离散信号时，用离散时间傅里叶变换。 离散时间傅里叶变换（DTFT，Discrete Time Fourier Transform）使我们能够在频域（数字频域）分析离散时间信号的频谱和离散系统的频响特性。但还存在两个实际问题。 1. 数字频率 是一个模拟量，为了便于今后用数字的方法进行分析和处理，仅仅在时域将时间变量t离散化还不够，还必须在频域将数字频率离散化。 2. 实际的序列大多为无限长的，为了分析和处理的方便，必须把无限长序列截断或分段，化作有限长序列来处理。 DTFT是对任意序列的傅里叶分析，它的频谱是一个连续函数；而DFT是把有限长序列作为周期序列的一个周期，对有限长序列的傅里叶分析，DFT的特点是无论在时域还是频域都是有限长序列。 DFT提供了使用计算机来分析信号和系统的一种方法，尤其是DFT的快速算法FFT，在许多科学技术领域中得到了广泛的应用，并推动了数字信号处理技术的迅速发展。

对函数x（t）进行如下积分，并记为X（ω）：地球物理数据处理基础其中 这称为傅里叶正变换，X（ω）是x（t）的傅里叶变换。利用X（ω）可以重构信号函数x（t），即地球物理数据处理基础称为傅里叶反变换。两式组成一个傅里叶变换对。若t代表空间坐标变量，则ω就代表空间频率域的频率变量，因此称X（ω）为x（t）的频谱函数。傅里叶变换的性质：设f（x），g（x）的傅里叶变换分别是F（ξ），G（ξ），那么（1）线性 af（x）＋bg（x）的傅里叶变换是aF（ξ）＋bG（ξ）（a，b是常数）；（2）褶积（或卷积）f（x）*g（x）＝∫∞－∞f（u）g（x－u）du的傅里叶变换是F（ξ）·G（ξ）；（3）翻转 f（－x）的傅里叶变换是F（－ξ）；（4）共轭 的傅里叶变换是 （5）时移（延迟） f（x－x0）的傅里叶变换是eix0ξF（ξ）；（6）频移（调频） F（ξ－ξ0）是f（x）e－iξ0x的傅里叶变换（ξ0是常数）。上面的定义都是连续型傅里叶变换，然而在地球物理实际计算中都是离散型数据，因此我们感兴趣的是数据是离散的情况，需要将上述傅里叶变换化为有限离散傅里叶变换对：地球物理数据处理基础其中N是数据点数。两个公式除了系数和指数的符号不同外，结构基本相同，式（8－3）为离散傅里叶变换（DFT），式（8－4）为离散傅里叶反变换（IDFT）。

有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)即是该序列的傅里叶(FT)变换在区间[0,2π]上的N点等间隔抽样.

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。 视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。 p.236 - p.256 离散时间傅里叶变换 是一个以频率 为自变量的周期信号，周期为 。 由于离散时间信号只能在整数处取值，所以定义时域扩展信号 那么该扩展后的信号的傅里叶变换为 即原始信号的傅里叶变换在频域上被压缩了 倍。 如果 那么 如果 那么 即输出 的傅里叶变换等于输入两信号的 周期卷积 。 对偶性参考书中p.253的表5.3. 连续时间中，傅里叶变换对 和 对偶； 离散时间中，傅里叶级数对 和 对偶； 此外，连续时间傅里叶级数的分析公式 和离散时间傅里叶变换的综合公式 对偶，连续时间 是周期 上对 的积分，离散时间傅里叶变换 的综合公式是周期 上对 的积分。 对于LTI系统，可以通过下面线性常系数差分方程描述， 系统的频率响应

这种三角函数的一次式除以一次式的很常见的，一般的方法就是把分子写成分母以及分母的导数的线性组合这题就是把分母拆成 (sinx+cosx)/2+(sinx-cosx)/2然后你就懂了吧，被积分的式子就等于1/2+(sinx-cosx)/(2(sinx+cosx))积分等于1/2x-1/2*ln|sinx+cosx|+C

函数f（t）在无限区间上绝对可积。傅里叶变换的条件：在一个以2T为周期内f（X）连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值，在一个周期内具有有限个极值点，绝对可积。

  公式如下图：  傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。  Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。  傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换，②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的像函数，f(t)叫做F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。   ①傅里叶变换  ②傅里叶逆变换  傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。

1》x(n) 做DTFT(离散时间信号的傅里叶变换)得X（ejω）,它是连续周期的. 2》对X（ejω）采样,造成x(n)周期沿拓.即DFS变换对：X1(k)→x1(n).X1(k)是X（ejω）采样后的序列,也是周期的.x1(n)是x(n)周期延拓后的序列. 3》对DFS变换对 各取一个周期就得到DFT变换对.正因为此DFT隐含有周期性. 序列的傅立叶变换(DTFT)与离散傅立叶变换(DFT)是两个不同的定义（他们的关系从上可知）,计算公式不一样.两者变换后一般是复数,纵轴可以代表幅度,也可带变相位,即有幅度谱和相位谱.当然也能按实部,虚部分.

这个证明高数书上就有，莫非，你没学过高数就学福利叶变换了？ 高数书上用三角函数系的理论证明了任何定义在实数域内、周期为2π、满足狄利克雷条件的周期函数都能展开为傅里叶级数，通过伸缩变换，可以扩展到任何周期为2l的函数都能展开。

傅里叶变换的公式表如下：关于傅里叶变幻的介绍如下：傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。傅里叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系，因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。然而，快速傅里叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。本文主要描述了采用FPGA来实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。

你首先必须记住傅立叶变换的公式！

令 表示一幅大小为 像素的数字图像，其中 。 其二维离散傅里叶变换（DFT）为 离散傅里叶反变换（IDFT）为 令 和 分别表示 的实部和虚部， 则傅里叶谱定义为 变换的相角定义为 极坐标下表示复函数 为 功率谱定义为幅度的平方 如果 是实函数， 则其傅里叶变换关于远点共轭对称 其傅里叶谱也关于原点对称 DTF 和 IDTF 的周期性变换居中使用傅里叶变换滤波时，需要对输入数据进行零填充。语法为 P , Q 为函数结果大小。

傅立叶变换是以时间为自变量的信号和以频率为自变量的频谱函数之间的一种变换关系。由于自变量时间和频率可以是连续的，也可以是离散的，因此可以组成几种不同的变换对非周期的连续时间，连续频率-----傅里叶变换正变换X(jΩ)={-∞,+∞}x(t)*exp^-jΩt dt反变换x（t）=1/2π{-∞,+∞} X(JΩ)*e^jΩt dt由于数字信号处理是希望在计算机上实现各种运算和变换，其所涉及的变量和运算都是离散的，而前面三种傅里叶变换对中，时域或频域中至少有一个域是连续的，所以都不可以在计算机上进行运算和实现，因此对于数字信号处理，应该找到在时域和频域都是离散的傅里叶变换，即离散傅里叶变换前面的讨论已经得出结论:时域的周期性导致频域的离散型，时域的连续函数在频域形成非周期频谱；而时域的离散型造成频域的周期延拓，时域的非周期性对应于频域的连续函数形式。那么对于时域和频域都是离散的离散傅里叶变换，应该形成时域和频域都具有周期性的函数。在工程实际中经常遇到的模拟信号xn(t),其频谱函数Xn(jΩ)也是连续函数，为了利用DFT对xn(t)进行谱分析，对xn(t)进行时域采样得到x(n)= xn(nT),再对x(n)进行DFT，得到X(k)则是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在频率区间[0,2π]上的N点等间隔采样，这里x(n)和X(k)都是有限长序列然而，傅里叶变换理论证明，时间有限长的信号其频谱是无限宽的，反之，弱信号的频谱有限款的则其持续时间将为无限长，因此，按采样定理采样时，采样序列应为无限长，这不满足DFT的条件。实际中，对于频谱很宽的信号，为防止时域采样后产生‘频谱混叠"，一般用前置滤波器滤除幅度较小的高频成分，使信号的贷款小于折叠频率；同样对于持续时间很长的信号，采样点数太多也会导致存储和计算困难，一般也是截取有限点进行计算。上述可以看出，用DFT对模拟信号进行谱分析，只能是近似的，其近似程度取决于信号带宽、采样频率和截取长度

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。 视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。 p.133 - p.147 p.150 - p.152 p.155 - p.159 p.227 - p.236 首先我们证明复指数信号 是LTI系统的特征函数，假设LTI系统的单位脉冲响应为 ，输入 ，那么输出可以通过卷积和得到， 令 ，那么 得证 是离散LTI系统的特征函数， 是特征值。 在傅里叶分析中，只考虑 的情况，也即 ，因此仅考虑 形式的复函数。 回忆第一章学习离散时间周期信号时，一个与连续时间周期信号非常重要的不同点，就是成谐波关系的周期信号只有 个，因为在频率上相差 的整数倍的离散时间复指数信号是一模一样的！那么这就意味着离散时间周期信号的傅里叶级数是一个 有限项级数 。 定义一个离散时间周期信号 ， 基波周期为使上式成立的最小正整数 ，基波频率 。傅里叶分析中我们使用复指数函数 就是一个典型的离散时间周期信号。下面这个式子定义了一组成谐波关系的复指数信号，它们都是周期的，其基波频率都是 的倍数， 因为对于谐波函数来说，频率相差 的整数倍时，两函数相等，具体来说就是谐波函数只有 个， 我们希望利用 的线性组合来表示一个更为一般的周期信号 ，即 注意上面求和中，求和限为 ， 可以从0到 ，也可以1到 ，也可以其他任意 个连续整数。 对于复指数 这样一个周期信号，在一个周期内对自变量 求和， 仔细观察上面的求和式，当 时， 为一个常数1，这时对 求和结果就是 ；而当 取其他值时， 是一个周期信号，周期为 ，那么在周期内对 求和结果为0。 基于以上推导，我们现在来想办法求傅里叶级数系数 。将 的傅里叶级数表达式重写在下面， 首先，左右两边同时乘以 ， 再对自变量 在 内求和， 交换上式等号右边的求和顺序可得， 想不明白上面求和顺序变换的话，可以笨办法展开求和，发现求和顺序变化不影响求和结果。我的理解是求一个 行 列的矩阵元素的和，你可以横着求和也可以竖着求和；又或者说在程序里用for循环求二阶矩阵的和，可以for i包含for j，也可以for j包含for i，这个求和顺序不会影响求和结果。 回到上面的等式，等号右边有一个求和 当 时（或者说相差 的整数倍，我这里就简单点不严谨一下），这个求和结果等于 ；如果 ，这个求和结果为0。 那么可以写出下面这个式子， 这样离散时间周期信号傅里叶级数系数就求出来了， 回想连续时间周期信号傅里叶级数系数的求解，和这里思路一模一样，都是利用了直流为0的周期信号在周期内求和结果等于0的性质。 此外，除了 的傅里叶级数表达是一个有限项级数，与连续时间不同的是，因为 所以， 也就是说， 的值是以 为周期重复的。 由于 的傅里叶级数表达是一个有限项级数，因此离散时间周期信号的傅里叶级数不存在收敛问题，也不存在吉布斯现象。 上面的求和就是 周期卷积 。 这篇笔记一开始，我们定义了 ， 其中 是LTI系统的单位脉冲响应。 被称作 系统函数 ，将 局限在 形式的系统函数被称为系统的 频率响应 ， 令LTI系统输入 为一个周期信号，其傅里叶级数表示为， 输出就是， 考虑某一序列 ，具有有限持续期，也就是说对于整数 和 ，在 的范围之外， 。由这个非周期信号可以构成一个周期序列 ，使得对 来说， 是它的一个周期。随着 的周期 增大， 就在更长的时间间隔内与 相等，而当 时， 。 写出周期信号 的傅里叶级数表达， 因为在 区间内， ，所以 可以写作， 又因为在 区间外，有 ，所以 现定义函数 那么 其中 表示频域中的样本间隔。将 代回到 的傅里叶级数综合公式中， 又因为 ， 随着 ，上式中的求和演变为一个积分，积分宽度为 ，因为求和是对 个宽为 的间隔内完成的，所以积分宽度为 。 上式就是离散时间傅里叶变换。 在离散时间中，由于频率相差 的复指数信号是完全一样的 ，所以 如果 是绝对可积的，即 或者信号 的能量是有限的，即 那么 的傅里叶变换 就是收敛的。 对于综合公式，因为积分区间是有限的，因此一般不存在收敛问题，而且也不会有吉布斯现象。 与连续时间相同，利用把一个周期信号的变换表示成频域中的冲激串的办法，就可以把离散时间周期信号也划入到傅里叶变换的框架中。考虑如下信号， 我们在学习连续时间周期信号傅里叶变换时，知道 的傅里叶变换就是一个发生在 处的冲激。于是我们期望在离散时间中也会有相同结果。然而离散时间傅里叶变换对 来说必须是周期的，周期为 ，那么 的傅里叶变换应该就是发生在 、 、 等处的冲激，即 为了验证上式，求 的傅里叶逆变换， 注意看，这里积分区间为 ，因此整个积分区间内只会有一个冲激，假设积分区间内的冲激发生在 ，那么 这就证明了 现在我们考虑一个周期序列 ，周期为 ，其傅里叶级数为 那么我们就可以写出 的傅里叶变换

Fourier transformation

原始信号可以展成离散傅里叶级数，离散傅里叶级数的一个周期就是DFT

直接算变换和逆变换的复合，看看是不是不变啊。离散的傅里叶变换又不难算。离散的积分要怎样推导呢？单位根哪是这么算的。一般碰到单位根很少化成cos(x)+i*sin(x)的。直接设w=exp(2*pi*i/n)然后用w的幂次来做。单位根的一个重要性质是1+w+w^2+...+w^(n-1)=0。这里也要用到这点。

争议怎么能知道动平衡的试块的位置

图像包含空间2维信息。DCT变换就是将空间2维信息变换到频域上。在频域上，可以利用人眼的视觉特性，进行压缩处理。图像噪声包含高频信号分量。通过傅里叶变换，将图像变换到频域上。在频域上通过低通滤波，可以滤到高频噪声。基本思路都很类似。即，如果一些数据在一个域里面不好处理，就把它变换到等效的另外一个域里处理。

大致写了一个 你看看行不行 我机器上测试通过%注意%设A是个5*5的矩阵,N=6,u,v取值1到10,(Matlab数组矩阵等都从1开始)A=[1 2 3 4 5;6 7 8 9 10;3 4 3 2 5;3 2 4 5 6;5 6 4 3 2];X=zeros(10,10);for u=1:10 for v=1:10 sum=0; for j=1:5 for k=1:5 sum=sum+1/6*A(j,k)*exp(1/6*-2*pi*sqrt(-1)*(u*j+v*k)); end end X(u,v)=sum; endenddisp(X);

离散信号的傅里叶变换一定是连续！周期连续信号的傅里叶变换一定是离散！周期信号的傅里叶变换是离散的！傅里叶变换似乎没有周期，除非是DFT

这两个概念并不是同等层次的，离散傅里叶变换和连续区间的傅里叶变换应该属于同等层次的而光学傅里叶变换只是傅里叶变换的一个应用而已，通常来说，光学傅里叶变换都是连续区间的。傅里叶变换的实质就是频域（frequency domain）和时域(time domain)的转换关系，我们知道，时域谱线越宽频域谱线越窄，反之亦然。希望对你有帮助

按你这样来说，你的数据是不够充分的因为你只有频域信号的强度数据而没有相位的数据所以直接做傅立叶反变换会因为没有相位信息而不能还原原来的时域谱

这个证明高数书上就有，莫非，你没学过高数就学福利叶变换了？ 高数书上用三角函数系的理论证明了任何定义在实数域内、周期为2π、满足狄利克雷条件的周期函数都能展开为傅里叶级数，通过伸缩变换，可以扩展到任何周期为2l的函数都能展开。

用FFT函数先定义x(n),y(n)再 XK=fft(xn,64); YK=fft(yn,64);如果 要输出值的话 冒号可以不要 另外，画图的话 就要用到其他的函数

一、区别：1、含义不同。DTFT是离散时间傅里叶变换。DFT是离散傅里叶变换。FFT是DFT的一种高效快速算法，也称作快速傅里叶变换。2、性质不同。DTFT变换后的图形中的频率是一般连续的（cos(wn)等这样的特殊函数除外，其变换后是冲击串)。而DFT是DTFT的等间隔抽样，是离散的点。快速傅里叶变换FFT其实是一种对离散傅里叶变换的快速算法，它的出现解决了离散傅里叶变换的计算量极大的问题。3、用途不同。DFT完全是应计算机技术的发展而来的。DTFT为了适应计算机计算，必须要用离散的值，因为计算机不能处理连续的值。FFT是为了提高速度而来。另外，FFT的出现也解决了相当多的计算问题，使得其它计算也可以通过FFT来解决。二、三者相关的联系：FFT是DFT的一种高效快速算法，DFT是有限长序列的离散傅里叶变换，DTFT是非周期序列的傅里叶变换。扩展资料：数字信号处理DFT(Discrete Fourier Transform)　x(n)经过截断后[根据谱分辨率要求截断多长]，为有限长的序列，DFT的结果是有限长的，正好是对该有限长序列连续谱[DTFT]的在0~2pi上的等间隔采样，适合于计算机处理；而DFT又有FFT快速傅里叶变换算法，因此在各领域中得以广泛应用。当然截断带来截断效应。对于一般的周期信号可以用一系列正弦波的叠加来表示。离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。FFT算法可分为按时间抽取算法和按频率抽取算法。参考资料来源：百度百科-DFT （离散傅里叶变换）参考资料来源：百度百科-DTFT参考资料来源：百度百科-FFT （离散傅氏变换的快速算法）

离散傅里叶变换(discrete Fourier transform) 傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法，傅里叶变换是傅里叶分析的核心，通过它把信号从时间域变换到频率域，进而研究信号的频谱结构和变化规律。

离散傅里叶变换(discrete Fourier transform) 傅里叶分析方法是信号分析的最基本方法，傅里叶变换是傅里叶分析的核心，通过它把信号从时间域变换到频率域，进而研究信号的频谱结构和变化规律。中文名离散傅里叶变换外文名discreteFourier transform时域信号离散时间傅里叶变换计 算快速傅里叶变换应用学科通信特 点傅里叶、离散

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）和z变换都是常用的信号处理技术，它们之间的关系可以用以下图表示：DFT 变换：f(k)=∑n=0∞f"(n)*ⅇ{{frac{1}{2}}k^2f(n-1)}{{frac{1}{2}}(n-1)^2}f"(n) = sum_{n=0}^{∞}{frac{1}{2}}*k^2f(n-1)}其中，f(k) 是输入信号，f"(n) 是 k 的傅里叶级数展开的第 n 项，ⅇ 是指数运算，f(n) 是 k 的频域表示。z变换：f(k)=∑n=0∞z"(n)*ⅇ{{frac{1}{2}}k^2f(n-1)}{{frac{1}{2}}(n-1)^2}z"(n) = sum_{n=0}^{∞}{frac{1}{2}}*k^2f(n-1)}其中，f(k) 是输入信号，z"(n) 是 k 的z变换的频域表示。可以看出，DFT 是 z 变换的离散版本，它们都可以用于信号的频域分析和变换。在实际应用中，常常结合使用这两种变换，以获得更全面和准确的信号分析结果。

有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)即是该序列的傅里叶(FT)变换在区间[0,2π]上的N点等间隔抽样.

傅里叶变换的公式表如下：关于傅里叶变幻的介绍如下：傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。傅里叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系，因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。然而，快速傅里叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。本文主要描述了采用FPGA来实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。

在离散的情况下，磁场的频谱表达式相应的变成勘探重力学与地磁学勘探重力学与地磁学式中：Lx＝NΔx，为剖面长即基本波长；N为采样点数； 为基频，即频率域中的采样间隔。若将上式两边除以Lx，则有勘探重力学与地磁学将（10-83）式写成级数形式勘探重力学与地磁学（k＝0，±1，±2，…）将（-L，L）换成（0，Lx），k换成n；考虑到x＝jΔx，Lx＝NΔx，（10-148）式变成勘探重力学与地磁学勘探重力学与地磁学比较（10-147）式与（10-149）式，可知离散傅里叶变换的傅里叶系数与傅里叶变换之间存在如下关系：勘探重力学与地磁学由此可以看出，重磁场T（x）既可以展成实数形式的傅里叶级数（10-79）式，具有离散的傅里叶系数；也可以表示成频谱，具有连续谱的性质（10-86）式。由于T（x）只能在有限范围内离散取值，经离散傅里叶变换后，得到复数形式的离散傅里叶系数（10-150）式。实测重磁异常都是离散的，设Δx，Δy分别为点距和线距，沿x方向采样点数为M，沿y方向采样点数为N，则有，Lx＝MΔx，Ly＝NΔy，Lx，Ly分别为x，y方向的基本波长。则离散傅里叶变换公式为勘探重力学与地磁学傅里叶系数与傅里叶变换之间的关系为勘探重力学与地磁学式中： ，…，0，…， ； ，…，0，…， 。应用（10-152）式可以从磁异常求出傅里叶系数，并由此计算出振幅谱和相位谱。具体计算是将（10-151）式写成三角级数形式，然后求其振幅谱 及相位谱 。通过研究振幅谱和相位谱的各种特性来推断场源分布特点。在频率域中ST（u，v），基频 为采样间隔。截止频率分别为 和 ，相应的反傅里叶变换为勘探重力学与地磁学利用（10-153）式可以将磁异常频谱回算出磁异常空间分布。实际重磁场的换算中，在有限的网格范围内，只能用离散的傅里叶变换逼近连续的傅里叶变换。设离散的傅里叶变换为 ，傅里叶系数为CTmn，可以写出勘探重力学与地磁学勘探重力学与地磁学式中：m，n为傅里叶系数的项数。在频率域内进行重磁场的各种换算，需要将傅里叶系数Cmn代入到经换算后的频谱（10-145）式，此时经换算后的频谱也是离散的傅里叶变换。以ΔZ2的频谱相应的离散傅里叶变换的傅里叶系数的求取为例：勘探重力学与地磁学然而（10-155）式仅适合于m，n不同时为零的情况，若m，n同时为零，则CZ002要通过以下方法求取：（1）当异常源有限延深，且测区足够大时，对场的任一分量如ΔZ（x，y，0），应有勘探重力学与地磁学此式说明若对全测区离散取样，则全区场的平均值应为0，对ΔZ（x，y，0）应用公式（10-153）式，令，m＝n＝0，则有勘探重力学与地磁学即直接取CZ002。（2）无论异常源是否有限延深，只要测量范围包括了异常源并且足够大，异常区的边界，特别是坐标原点的场值近于零，对坐标原点场值应用离散傅里叶反变换公式（10-153）式，有勘探重力学与地磁学由于前面已经求出了m，n不同时为零的所有傅里叶系数，因此移项得勘探重力学与地磁学即m＝n＝0时的傅里叶系数为其他所有项傅里叶系数之和的反号。前面我们讨论了离散情况下频率域内场的换算，下面给出由换算后的谱求换算后的异常的表达式。对离散测网而言，频率域的采样间隔分别为 ，截止频率为 ，由（10-145）式可得勘探重力学与地磁学可以看出公式（10-145)是将频率域内场的换算和由换算后的频谱求换算后的异常两方面的计算合在一起，直接给出了表达式。这里可以给出实际计算格式的离散情况下的由换算后的频谱求换算后的异常的表达式，即勘探重力学与地磁学式中： 均是复数； 计算结果仍是复数。

1》x(n) 做DTFT(离散时间信号的傅里叶变换)得X（ejω），它是连续周期的。2》对X（ejω）采样，造成x(n)周期沿拓。即DFS变换对：X1(k)→x1(n)。X1(k)是X（ejω）采样后的序列，也是周期的。x1(n)是x(n)周期延拓后的序列。3》对DFS变换对 各取一个周期就得到DFT变换对。正因为此DFT隐含有周期性。序列的傅立叶变换(DTFT)与离散傅立叶变换(DFT)是两个不同的定义（他们的关系从上可知），计算公式不一样。两者变换后一般是复数，纵轴可以代表幅度，也可带变相位，即有幅度谱和相位谱。当然也能按实部，虚部分。

周期为N的周期序列<math>left{ a_n ight}</math>，其离散傅里叶级数为<math>left{ x_k ight}</math>：<math>x[k]=sum_{n=<N>} a_ncdot e^{-jn(frac{2pi}{N})k}</math>其中，DFS的逆变换序列：<math>a_n=frac{1}{N}sum_{k=<N>} x[k]cdot e^{jn(frac{2pi}{N})k}</math> （k=<N>表示对一个周期N内的值求和）

2π，是傅里叶级数的周期

卷积的傅里叶变换等于各项傅里叶变换的乘积F(t)=j2π dδ(w)/dwF(e^(-t^2))=要用到高斯积分,不记得了,自己查查吧,然后两个结果卷积即可！

乘与一个1/T,非周期函数的傅里叶变换振幅不是一个有限值，只有乘与1/T才存在极限，得到的就是对应频率的振幅值

中文译名 transformée de fourier有多种中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“傅立叶变换”、“付立叶变换”、“富里叶变换”、“富里哀变换”等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。 应用 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 概要介绍 * 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的（参见：林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为 c. c. lin

离散傅里叶级数系数的物理意义： 傅立叶变换是以时间为自变量的信号和以频率为自变量的频谱函数之间的一种变换关系. 由于自变量时间和频率可以是连续的,也可以是离散的,因此可以组成几种不同的变换对 非周期的连续时间,连续频率-----傅里叶变换 正变换 X(jΩ)={-∞,+∞}x(t)*exp^-jΩt dt 反变换 x（t）=1/2π{-∞,+∞} X(JΩ)*e^jΩt dt 由于数字信号处理是希望在计算机上实现各种运算和变换,其所涉及的变量和运算都是离散的,而前面三种傅里叶变换对中,时域或频域中至少有一个域是连续的,所以都不可以在计算机上进行运算和实现,因此对于数字信号处理,应该找到在时域和频域都是离散的傅里叶变换,即离散傅里叶变换 前面的讨论已经得出结论:时域的周期性导致频域的离散型,时域的连续函数在频域形成非周期频谱；而时域的离散型造成频域的周期延拓,时域的非周期性对应于频域的连续函数形式.那么对于时域和频域都是离散的离散傅里叶变换,应该形成时域和频域都具有周期性的函数. 在工程实际中经常遇到的模拟信号xn(t),其频谱函数Xn(jΩ)也是连续函数,为了利用DFT对xn(t)进行谱分析,对xn(t)进行时域采样得到x(n)= xn(nT),再对x(n)进行DFT,得到X(k)则是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在频率区间[0,2π]上的N点等间隔采样,这里x(n)和X(k)都是有限长序列 然而,傅里叶变换理论证明,时间有限长的信号其频谱是无限宽的,反之,弱信号的频谱有限款的则其持续时间将为无限长,因此,按采样定理采样时,采样序列应为无限长,这不满足DFT的条件.实际中,对于频谱很宽的信号,为防止时域采样后产生‘频谱混叠",一般用前置滤波器滤除幅度较小的高频成分,使信号的贷款小于折叠频率；同样对于持续时间很长的信号,采样点数太多也会导致存储和计算困难,一般也是截取有限点进行计算.上述可以看出,用DFT对模拟信号进行谱分析,只能是近似的,其近似程度取决于信号带宽、采样频率和截取长度

以下是我觉得的：1。其实傅里叶没有把实数的东西变成复数了。把一个周期实数函数用傅里叶级数展开，如果用cos和sin，每一个n(这里的n是从0到正无穷)对应两个实数系数an（cos项前面的系数）和bn（sin项前面的系数），有两项，这样很麻烦。于是，动用，欧拉定律，可以把cos和sin都变成指数函数，然后观察到每一个n也得到两项，每项是一个系数乘上一个指数函数。但是好处在于这两项神奇地共扼（指数函数共扼，系数也共扼）啊，只要把n变成从负无穷到正无穷，那么至少看起来就是只有一项了，因为n与－n两项是共扼的。而这里的这个系数，常常是复数，然后，这个系数就叫做这个函数的傅里叶级数表示。而傅里叶变换呢，把积分看成取和吧。2.傅里叶变换为什么好用在于很多计算在傅里叶变换之后变得简单了。比如积分，微分，成了乘法和除法。也因此，在数学里面，这本身就是一种解微分方程的方法。但是，它有个缺陷，收敛的条件很苛刻，这样有的系统没法进行傅里叶变换。拉普拉斯就狠了，都能变（但在某个范围内成立，且这个范围很重要，表达式相同，范围不同可能意味着不同系统），这意味着，那些通过傅里叶变换变换获得的简单，对于大多数系统都能用了。3。z变换是离散傅里叶变换的推广。4。拉普拉斯的两个用途：它的收敛区域隐含着有关系统是否稳定的信息，还有其他有趣的信息。还有就是上面说的简化解系统方程，尤其是在电路里面，因为kcl和kvl这些家伙在s域都成立。5。傅里叶变换首先也是可以简化运算，因为它其实就是s为纯虚数时候的拉普拉斯变换。而傅里叶变换还有个作用就是分析稳定系统的频率响应。这是因为我们常见的大多数信号的傅里叶变换都是收敛的，所以傅里叶就够用了。而系统稳不稳定呢，先用拉普拉斯去分析，因为不管你稳不稳，我都能变换。稳定了，我们再回来分析你的频率响应。

http://www.gewei.cn/lw/Article/orther/200507/Article_39.html

针对图像检索存在性能的不稳定性、相对平移、旋转和尺度变换等问题,提出了基于区域内形状特征的不变矩和轮廓力矩法和傅里叶描述符结合的方法。其中的不变矩和轮廓力矩法具有良好的平移、旋转、尺度缩放不变性及抗干扰性,傅里叶算法不仅对噪音具有很好的鲁棒性,而且对几何变换具有不变性,更加适合图像检索的需要。通过实验可知,该算法对于图像的扭曲形变具有不变性,在具有一定形变干扰的情况下,仍得出较好的图像检索结果;且检索结果排列的顺序与人的主观视觉判断大致相同,检索精度好。

单词拼写错误1、如果是purposen.目的, 意图, 宗旨意志, 决心效用, 用途, 意义(讨论中的)论题an all purposes army [美]全能军be firm [weak] of purpose 意志坚强[薄弱]What is your purpose in doing that? 你做那件事的意图是什么?You should spend your money to good purpose. 你要把钱花得有意义。He walked with a stride full of purpose. 他迈着坚定的步伐向前走。2、如果是proposaln.提议; 申请; 建议求婚美]投标agree to a proposal 同意某项建议[提案]习惯用语make a proposal (of marriage) 求婚offer proposals for [of] 提出...建议