若线性变换A是幂等且对称的，则称A为正交投影变换.证明：任何一个镜面反射都可以表示成为两个

用几何画板打开,任意拖动点P（可在圆内、外），都有PA乘PB=PC乘PD，PA乘PB=PC乘PD就是幂等定理。包括相交弦定理(点P在圆内),割线定理(点P在圆外)、切线长定理(点P在圆外A、B重合,C、D重合)、切割线定理(点P在圆外A、B重合或C、D重合)。相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。割线定理从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B。C、D，则有PA乘PB=PC乘PD。怎么学好数学学好数学兴趣是前提和基础，学数学提前做预习是个好习惯，在预习过程中尽量把问题解决掉，再做一些相关练习巩固。遇到不理解的地方标注出来等老师上课讲解，反思自己看书为什么没看懂。做课后练习题时，围绕公式去举一反三，读每一个已知条件都要给出数学思维反馈，用画图、试值等多种方法去求解，不要拘泥于唯一解法。数学成绩好的学生都不是光听课就能学会的，只有自己多琢磨、多反思，才能学好数学。学好数学还要善于总结错题，因为我们做错的很多题目都属于同一类型，把这些题目归纳一下，其实只要掌握几个数学知识点就够了，就能解决掉大部分错题。

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在数学里，幂等有两种主要的定义。在某二元运算下，幂等元素是指被自己重复运算(或对于函数是为复合)的结果等于它自己的元素。例如，乘法下唯一两个幂等实数为0和1。某一元运算为幂等的时，其作用在任一元素两次后会和其作用一次的结果相同。例如，高斯符号便是幂等的。一元运算的定义是二元运算定义的特例 设S为一具有作用于其自身的二元运算的集合，则S的元素s称为幂等的(相对于*)当s *s = s.特别的是，任一单位元都是幂等的。若S的所有元素都是幂等的话，则其二元运算*被称做是幂等的。例如，联集和交集的运算便都是幂等的。 设f为一由X映射至X的一元运算，则f为幂等的，当对于所有在X内的x，f(f(x)) = f(x).特别的是，恒等函数一定是幂等的，且任一常数函数也都是幂等的。注意当考虑一由X至X的所有函数所组成的集合S时。在f在一元运算下为幂等的若且唯若在二元运算下，f相对于其复合运算(标记为o)会是幂等的。这可以写成f o f = f。

幂等（idempotent、idempotence）是一个数学与计算机学概念，常见于抽象代数中。在编程中.一个幂等操作的特点是其任意多次执行所产生的影响均与一次执行的影响相同。幂等函数，或幂等方法，是指可以使用相同参数重复执行，并能获得相同结果的函数。这些函数不会影响系统状态，也不用担心重复执行会对系统造成改变。例如，“getUsername()和setTrue()”函数就是一个幂等函数.更复杂的操作幂等保证是利用唯一交易号(流水号)实现.

一次和多次请求某一个资源对于资源本身应该具有同样的结果（网络超时等问题除外）。 也就是说，其任意多次执行对资源本身所产生的影响均与一次执行的影响相同。换种说法，就是用户对于同一操作发起的一次请求或者多次请求的结果是一致的，不会因为多次点击而产生了副作用。 举个最简单的例子，那就是支付，用户购买商品使用支付，此时多次触发支付，只会支付一次，而不会多扣钱。 1. 幂等需要关注的几个重点: （1）幂等不仅仅只是一次（或多次）请求对资源没有副作用。 （2）幂等还包括第一次请求的时候对资源产生了副作用，但是以后的多次请求都不会再对资源产生副作用。 （3）幂等关注的是以后的多次请求是否对资源产生的副作用，而不关注结果。 （4）网络超时等问题，不是幂等的讨论范围。 幂等性是系统服务对外一种承诺（而不是实现），承诺只要调用接口成功，外部多次调用对系统的影响是一致的。声明为幂等的服务会认为外部调用失败是常态，并且失败之后必然会有重试。 2. 幂等与防重的区别： （1）重复提交是在 第一次请求已经成功的情况下 ，人为的进行多次操作，导致不满足幂等要求的服务多次改变状态。 （2）幂等更多使用的情况是 第一次请求不知道结果（比如超时）或者失败的异常情况下 ，发起多次请求，目的是多次确认第一次请求成功，却不会因多次请求而出现多次的状态变化。（ 重点重点重点！！！ ） 业务开发中，经常会遇到重复提交的情况，无论是由于网络问题无法收到请求结果而重新发起请求，或是前端的操作抖动而造成重复提交情况。 在交易系统，支付系统这种重复提交造成的问题有尤其明显，比如： （1）用户在APP上连续点击了多次提交订单，后台应该只产生一个订单 （2）向支付宝发起支付请求，由于网络问题或系统BUG重发，支付宝应该只扣一次钱。 很显然，声明幂等的服务认为，外部调用者会存在多次调用的情况，为了防止外部多次调用对系统数据状态的发生多次改变，将服务设计成幂等。 以SQL为例，有下面三种场景，只有第三种场景需要开发人员使用其他策略保证幂等性： 幂等可以使得客户端逻辑处理变得简单，但是却以服务逻辑变得复杂为代价。 满足幂等服务的需要在逻辑中至少包含两点： （1）首先去查询上一次的执行状态，如果没有则认为是第一次请求。 （2）在服务改变状态的业务逻辑前，保证防重复提交的逻辑。 幂等是为了简化客户端逻辑处理，却增加了服务提供者的逻辑和成本，是否有必要，需要根据具体场景具体分析，因此除了业务上的特殊要求外，尽量不提供幂等的接口。 （1）增加了额外控制幂等的业务逻辑，复杂化了业务功能； （2）把并行执行的功能改为串行执行，降低了执行效率。 幂等需要通过唯一的业务单号来保证。也就是说相同的业务单号，认为是同一笔业务。使用这个唯一的业务单号来确保，后面多次的相同的业务单号的处理逻辑和执行效果是一致的。 下面以支付为例， 在不考虑并发的情况下，实现幂等很简单： ① 先查询一下订单是否已经支付过； ② 如果已经支付过，则返回支付成功；如果没有支付，进行支付流程，修改订单状态为‘已支付"。 上述的保证幂等方案是分成两步的，第②步依赖第①步的查询结果，无法保证原子性的。在高并发下就会出现下面的情况：第二次请求在第一次请求第②步订单状态还没有修改为‘已支付状态"的情况下到来。 既然得出了这个结论，余下的问题也就变得简单： 把查询和变更状态操作加锁，将并行操作改为串行操作。 （1）乐观锁 如果只是更新已有的数据，没有必要对业务进行加锁，设计表结构时使用乐观锁，一般通过version来做乐观锁，这样既能保证执行效率，又能保证幂等。 例如： UPDATE tab1 SET col1=1,version=version+1 WHERE version=#version# 不过，乐观锁存在失效的情况，就是常说的ABA问题，不过如果version版本一直是自增的就不会出现ABA的情况。 （2）悲观锁 select * from xx for update; 悲观锁和乐观锁的区别: 使用订单号orderNo做为去重表的唯一索引，每次请求都根据订单号向去重表中插入一条数据。 第一次请求查询订单支付状态，当然订单没有支付，进行支付操作，无论成功与否，执行完后更新订单状态为成功或失败，删除去重表中的数据。 后续的订单因为表中唯一索引而插入失败，则返回操作失败，直到第一次的请求完成（成功或失败）。可以看出防重表作用是加锁的功能。 订单发起支付请求，支付系统会去Redis缓存中查询是否存在该订单号的Key，如果不存在，则向Redis增加Key为订单号。 查询订单支付已经支付，如果没有则进行支付，支付完成后删除该订单号的Key。通过Redis做到了分布式锁，只有这次订单订单支付请求完成，下次请求才能进来。 相比去重表，将放并发做到了缓存中，较为高效。思路相同，同一时间只能完成一次支付请求。 这种方式分成两个阶段：申请token阶段和支付阶段。 第一阶段，在进入到提交订单页面之前，需要订单系统根据用户信息向支付系统发起一次申请token的请求，支付系统将token保存到Redis缓存中，为第二阶段支付使用。 第二阶段，订单系统拿着申请到的token发起支付请求，支付系统会检查Redis中是否存在该token，如果存在，表示第一次发起支付请求，删除缓存中token后开始支付逻辑处理；如果缓存中不存在，表示非法请求。 实际上这里的token是一个信物，支付系统根据token确认是否是非法请求。不足是需要系统间交互两次，流程较上述方法复杂。 把订单的支付请求都快速地接下来，一个快速接单的缓冲管道。后续使用异步任务处理管道中的数据，过滤掉重复的待支付订单。优点是同步转异步，高吞吐。不足是不能及时地返回支付结果，需要后续监听支付结果的异步返回。

没有这一说！

HTTP 幂等方法，是指无论调用多少次都不会有不同结果的 HTTP 方法。不管你调用一次，还是调用一百次，一千次，结果都是相同的。 HTTP GET 方法，用于获取资源，不管调用多少次接口，结果都不会改变，所以是幂等的。 只是查询数据，不会影响到资源的变化，因此我们认为它幂等。 值得注意，幂等性指的是作用于结果而非资源本身。怎么理解呢？例如，这个 HTTP GET 方法可能会每次得到不同的返回内容，但并不影响资源。 可能你会问有这种情况么？当然有咯。例如，我们有一个接口获取当前时间，我们就应该设计成 它本身不会对资源本身产生影响，因此满足幂等性。 HTTP POST 方法是一个非幂等方法，因为调用多次，都将产生新的资源。 因为它会对资源本身产生影响，每次调用都会有新的资源产生，因此不满足幂等性。 HTTP PUT 方法是不是幂等的呢？我们来看下 因为它直接把实体部分的数据替换到服务器的资源，我们多次调用它，只会产生一次影响，但是有相同结果的 HTTP 方法，所以满足幂等性。 HTTP PATCH 方法是非幂等的。HTTP POST 方法和 HTTP PUT 方法可能比较好理解，但是 HTTP PATCH 方法只是更新部分资源，怎么是非幂等的呢? 因为，PATCH 提供的实体则需要根据程序或其它协议的定义，解析后在服务器上执行，以此来修改服务器上的资源。换句话说，PATCH 请求是会执行某个程序的，如果重复提交，程序可能执行多次，对服务器上的资源就可能造成额外的影响，这就可以解释它为什么是非幂等的了。 可能你还不能理解这点。我们举个例子 此时，我们服务端对方法的处理是，当调用一次方法，更新部分字段，将这条 ticket 记录的操作记录加一，这次，每次调用的资源是不是变了呢，所以它是有可能是非幂等的操作。 HTTP DELETE 方法用于删除资源，会将资源删除。 调用一次和多次对资源产生影响是相同的，所以也满足幂等性。 也许，你会想起一个面试题。 HTTP 请求的 GET 与 POST 方式有什么区别？ 你可能会回答到：GET 方式通过 URL 提交数据，数据在 URL 中可以看到；POST 方式，数据放置在 HTML HEADER 内提交。但是，我们现在从 RESTful 的资源角度来看待问题，HTTP GET 方法是幂等的，所以它适合作为查询操作，HTTP POST 方法是非幂等的，所以用来表示新增操作。 但是，也有例外，我们有的时候可能需要把查询方法改造成 HTTP POST 方法。比如，超长（1k）的 GET URL 使用 POST 方法来替代，因为 GET 受到 URL 长度的限制。虽然，它不符合幂等性，但是它是一种折中的方案。 对于 HTTP POST 方法和 HTTP PUT 方法，我们一般的理解是 POST 表示创建资源，PUT 表示更新资源。当然，这个是正确的理解。 但是，实际上，两个方法都用于创建资源，更为本质的差别是在幂等性。HTTP POST 方法是非幂等，所以用来表示创建资源，HTTP PUT 方法是幂等的，因此表示更新资源更加贴切。 此时，你看会有另外一个问题。HTTP PUT 方法和 HTTP PATCH 方法，都是用来表述更新资源，它们之间有什么区别呢？我们一般的理解是 PUT 表示更新全部资源，PATCH 表示更新部分资源。首先，这个是我们遵守的第一准则。根据上面的描述，PATCH 方法是非幂等的，因此我们在设计我们服务端的 RESTful API 的时候，也需要考虑。如果，我们想要明确的告诉调用者我们的资源是幂等的，我的设计更倾向于使用 HTTP PUT 方法。

这里有这么一段：GET与POST你可能想了解GET和POST之间有什么区别，并想知道什么时候使用它们。从理论上讲，如果请求是幂等的就可以使用GET，所谓幂等是指多个请求返回相同的结果。实际上，相应的服务器方法可能会以某种方式修改状态，所以一般情况下这是不成立的。这只是一种标准。更实际的区别在于净荷的大小，在许多情况下，浏览器和服务器会限制URL的长度URL用于向服务器发送数据。一般来讲，可以使用GET从服务器获取数据；换句话说，要避免使用GET调用改变服务器上的状态。一般地，当改变服务器上的状态时应当使用POST方法。不同于GET，需要设置XML- HttpRequest对象的Content-Type首部，如下所示：xmlHttp.setRequestHeader("Content-Type", "application/x-www-form-urlencoded");与GET不同，POST不会限制发送给服务器的净荷的大小，而且POST请求不能保证是幂等的。你做的大多数请求可能都是GET请求，不过，如果需要，也完全可以使用POST。

定义：对同一个系统，使用同样的条件，一次请求和重复的多次请求对系统资源的影响是一致的 例子：对一个资源发送多次读请求，返回的结果肯定相同（只要别的用户不修改，即使资源被修改也不是因为读请求产生的） 假设有一个从账户取钱的远程 API 如下所示。 存在这么一种情况：用户发送该请求时，服务器成功扣除 amount 数额的钱，然后返回 ok 时由于网络等原因该返回值丢失。用户会认为请求失败，又发送一次请求，此时账户实际上扣除了两次钱。如下图所示 基于幂等性的解决方案中一个完整的取钱流程被分解成了两个步骤： 虽然 create_ticket 不是幂等的，但在这种设计下，它对系统状态的影响可以忽略，加上 idempotent_withdraw 是幂等的，所以任何一步由于网络等原因失败或超时，客户端都可以重试，直到获得结果。如图2所示： POST 不具有幂等性，PUT 具有幂等性

在HTTP/1.1规范中幂等性的定义是： 从定义上看，HTTP方法的幂等性是指一次和多次请求某一个资源应该具有同样的副作用。幂等性属于语义范畴，正如编译器只能帮助检查语法错误一样，HTTP规范也没有办法通过消息格式等语法手段来定义它，这可能是它不太受到重视的原因之一。但实际上，幂等性是分布式系统设计中十分重要的概念，而HTTP的分布式本质也决定了它在HTTP中具有重要地位。

幂等矩阵的主要性质：1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1；2.幂等矩阵可对角化；3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr（A）=rank（A）；4.可逆的幂等矩阵为E；5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；6.幂等矩阵A满足：A（E-A)=（E-A）A=0；7.幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R（A）；8.A的核N（A）等于（E-A）的列空间R（E-A）,且N（E-A）=R（A）。　考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：1）设 A1，A2都是幂等矩阵，则(A1+A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1 = 0，且有：R(A1+A2) =R (A1) ⊕R (A2)；N(A1+A2) =N (A1)∩N(A2)；2）设 A1， A2都是幂等矩阵，则(A1-A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1=A2且有：R(A1-A2) =R(A1)∩N (A2 )；N (A1 - A2 ) =N (A1 )⊕R (A2 )；3）设 A1，A2都是幂等矩阵，若A1·A2 =A2·A1，则A1·A2 为幂等矩阵，且有：R (A1·A2 ) =R (A1 ) ∩R (A2 )；N (A1·A2 ) =N (A1 ) +N (A2 )。

设A是幂等矩阵, 则 A^2 = A.设λ是A的特征值, 则 λ^2-λ 是A^2-A的特征值.而A^2-A=0, 零矩阵的特征值只有0所以 λ^2-λ = 0.所以 λ(λ-1) = 0.所以λ=0或λ=1.即A特征值是0或1.即幂等矩阵的特征值是0或1.满意请采纳^_^

表示一个数自乘若干次的形式,如a自乘n次的幂为an，或称an为a的n次幂。【英语power】a称为幂的底数，n称为幂的指数。在扩充的意义下，指数n也可以是分数、负数，也可以是任意实数或复数。在数学中形如a^x的数叫做a的x次幂，简称幂。

安全： HTTP 协议里的安全是指 请求方法不会破坏服务器上的资源，对资源不会造成实质性的破坏 幂等：多次操作服务器的资源，结果是相同的 GET/HEAD 方法只是获取服务器的资源，不会对服务器的资源进行修改，所以这两种方法是安全且幂等的 POST 和 PUT 方法由于会修改到服务器的资源，所以是不安全的 根据 RFC  的定义，POST 方法倾向于 新增/提交 数据，多次提交数据会创建多个资源，所以不是幂等的，而 PUT 方法倾向于 修改/更新数据，每一次操作都是更新同一资源，是幂等的。

俊狼猎英团队为您解答：圆幂原理就是圆中两个三角形相似得出的相似比化为等积式。如：弦AB与CD相交于P，则PA*PB=PC*PD，若弦AB与CD相交于圆外一点P，也有PA*PB=PC*PD，特别当A、B重合，即PA为圆的切线时，PA^2=PC*PD，以上三个式子就是圆幂定理。

简单计算一下即可，答案如图所示

在数学里， 幂等 有两种主要的定义。 在计算机领域，幂等性指 多次操作 对系统产生的影响 与一次操作相同。举个例子，假设要删除用户A，无论请求多少次，操作结果都是删除用户A，而不会删除用户B。 在RESTful风格的接口中，幂等性表现在HTTP请求方法中： 无论是微服务中各个子系统相互之间的调用，还是客户端对服务端的调用，都存在网络延迟等问题，会导致重复请求接口，这时候接口就需要支持幂等性，来防止出现问题。 最经典的一个例子就是订单支付操作，假如因为网络问题等因素导致用户重复提交，这时候不可能对用户重复扣款，否则客服电话就要被打爆了。 那么服务端接口对于幂等性应该如何支持呢？有如下两个思路： 1. 逻辑判断处理 支付时对订单状态进行判断，如果该订单已支付，则不应该再次进行扣款操作。 2. 请求带ticket 异步请求获取ticket，此ticket是唯一并且一次性的，保存在页面中，每次发起支付请求都带上ticket，后端检查ticket，若支付成功则删除ticket，这样就算重复提交也不会导致重复扣款。

幂是指乘方运算的结果。但这个时候并没有被开方数，所以他们并不等于。这个时候，幂才等于被开方数

证明幂等矩阵可相似对角化：n级矩阵A可对角化＜=＞A的属于不同特征值的特征子空间维数之和为n。先求特征值，如果没有相重的特征值，一定可对角化；设A₁，A₂都是幂等矩阵，则（A₁+A₂）为幂等矩阵的充分必要条件为：A₁·A₂=A₂·A₁=0，且有：R（A₁+A₂）=R（A₁）⊕R（A₂）；N（A₁+A₂）=N（A₁）∩N（A₂）。性质幂等矩阵的主要性质：1、幂等矩阵的特征值只可能是0，1。2、幂等矩阵可对角化。3、幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A)。4、可逆的幂等矩阵为E。5、方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。

数据的对象和范围你要考虑你的幂等的全局性：空间全局性和时间全局性。 空间全局性：比如是交易流水幂等还是用户ID幂等。是某种类型交易流水幂等，还是某个人|机构|渠道的交易流水幂等 时间全局性：是幂等几秒，还是几分钟，还是永远。不同的要求，可以有不一样的解决方案、难度和成本。幂等方案 对时间全局性要求高的，可能就必须选择DB这种持久化方案比较可靠，但是性能不够好啊（然后就要考虑loadmemory，以及数据同步的问题，就一步还要考虑实时性要求了） 在空间的要求中，根据不同的幂等范围，可以考虑分布式数据库（分布式集群全局流水号幂等）。还是某种少量数据幂等（可能只需要单台，做好主备）。

条件是a^2-a=0，做一下带余除法，a^2+a-2a-2e=(a+e)(a-2e)=-2e，这样逆矩阵也显然了另一种方法是从a^2-a=0推出a的特征值只能是0或1，那么a+e的特征值非零，从而可逆，不过如果用这种方法求逆的话还需要验证a可对角化，相对麻烦些

把左矩阵和右矩阵合成一个,把左边化成单位矩阵,右边就是解.

镜面反射Α有一性质，Aα=α-2(η,α)α其中η为空间V中任一单位向量。不妨取空间V的一组标准正交基{η,ε1,ε2??}，那么α可由基唯一表示。设η的系数为σ1.其实最上面的那个性质表达式已经有差的形式，只要证明E幂等且对称，（η,α）等效于σ1E幂等且对称（那是显然的）。因为A,B是幂等的若AB=-BA(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2=A+B故A+B是幂等的若A+B是幂等的A+B=(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2=A+B+AB+BA故AB+BA=0命题成立。

等幂性简单点说就是一次请求和多次请求，资源的状态是一样。比如GET和HEAD，不论你请求多少次，资源还是在那里。请注意，DELETE和PUT也是等幂的，以为对同一个资源删除一次或者多次，结果是一样的，就是资源被删除了，不存在了。为什么说PUT也是等幂的？当你PUT一个新资源的时候，资源被创建，再次PUT这个URI的时候，资源还是没变。当你PUT一个存在的资源时，更新了资源，再次PUT的时候，还是更新成这个样子。在PUT更新的时候，不能做相对的更新（依赖资源现在的状态），比如每次对一个数加1，这样资源状态就会变化。应该每次更新成某个数，比如把某个数变成4，则无论多少次PUT，值都是4，这样就是等幂了。

离散数学中幂等元指的是：在某集合E中定义了一个运算＊，如果E中的元a满足a＊a＝a，则称a为E的幂等元。离散数学是不同于其他数学课程，不仅在研究对象和研究方法和一般数学有较大的差异，随着计算机科学的发展和内容结构变化，连续数学课程的完整性和稳定性，那么连续数学学习的教师和学生使用教学难度大，最大的一个问题是分散的，神也。，所谓形式散点就是课堂教学中的概念，定理很多，核心内涵难以凸显，神散点就是各个知识点相对独立，相互关系不明显，学生很难内化成自己的知识结构。扩展资料：离散数学是现代数学的一个重要分支，是一门研究离散量的结构和关系的数学学科。离散的意义是指不同的连通元素，主要根据离散量的结构及其相互关系来研究它们，其对象一般是有限或可数的元素。离散数学在所有学科领域，尤其是在计算机科学与技术领域已广泛应用。离散数学和计算机专业课程的同时，如编程语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学和其他重要的第一道菜。学习离散数学不仅可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程创造条件，还可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为今后参与创新研发打下坚实的基础。参考资料：百度百科-离散数学

首先，幂等矩阵不一定可逆。其次，如果一个幂等矩阵A可逆，那么由A^2=A可以推出A=I. 这就是说A就是单位阵，它的逆当然是幂等的了。

消息中间件是分布式系统常用的组件，无论是异步化、解耦、削峰等都有广泛的应用价值。我们通常会认为，消息中间件是一个可靠的组件——这里所谓的可靠是指，只要我把消息成功投递到了消息中间件，消息就不会丢失，即消息肯定会至少保证消息能被消费者成功消费一次，这是消息中间件最基本的特性之一，也就是我们常说的“AT LEAST ONCE”，即消息至少会被“成功消费一遍”。 举个例子，一个消息M发送到了消息中间件，消息投递到了消费程序A，A接受到了消息，然后进行消费，但在消费到一半的时候程序重启了，这时候这个消息并没有标记为消费成功，这个消息还会继续投递给这个消费者，直到其消费成功了，消息中间件才会停止投递。 然而这种可靠的特性导致，消息可能被多次地投递。举个例子，还是刚刚这个例子，程序A接受到这个消息M并完成消费逻辑之后，正想通知消息中间件“我已经消费成功了”的时候，程序就重启了，那么对于消息中间件来说，这个消息并没有成功消费过，所以他还会继续投递。这时候对于应用程序A来说，看起来就是这个消息明明消费成功了，但是消息中间件还在重复投递。 这在RockectMQ的场景来看，就是同一个messageId的消息重复投递下来了。 基于消息的投递可靠（消息不丢）是优先级更高的，所以消息不重的任务就会转移到应用程序自我实现，这也是为什么RocketMQ的文档里强调的，消费逻辑需要自我实现幂等。背后的逻辑其实就是：不丢和不重是矛盾的（在分布式场景下），但消息重复是有解决方案的，而消息丢失是很麻烦的。 例如：假设我们业务的消息消费逻辑是：插入某张订单表的数据，然后更新库存： 要实现消息的幂等，我们可能会采取这样的方案： 这对于很多情况下，的确能起到不错的效果，但是在并发场景下，还是会有问题。 假设这个消费的所有代码加起来需要1秒，有重复的消息在这1秒内（假设100毫秒）内到达（例如生产者快速重发，Broker重启等），那么很可能，上面去重代码里面会发现，数据依然是空的（因为上一条消息还没消费完，还没成功更新订单状态）， 那么就会穿透掉检查的挡板，最后导致重复的消息消费逻辑进入到非幂等安全的业务代码中，从而引发重复消费的问题（如主键冲突抛出异常、库存被重复扣减而没释放等） 要解决上面并发场景下的消息幂等问题，一个可取的方案是开启事务把select 改成 select for update语句，把记录进行锁定。 但这样消费的逻辑会因为引入了事务包裹而导致整个消息消费可能变长，并发度下降。 当然还有其他更高级的解决方案，例如更新订单状态采取乐观锁，更新失败则消息重新消费之类的。但这需要针对具体业务场景做更复杂和细致的代码开发、库表设计，不在本文讨论的范围。 但无论是select for update， 还是乐观锁这种解决方案，实际上都是基于业务表本身做去重，这无疑增加了业务开发的复杂度， 一个业务系统里面很大部分的请求处理都是依赖MQ的，如果每个消费逻辑本身都需要基于业务本身而做去重/幂等的开发的话，这是繁琐的工作量。本文希望 探索 出一个通用的消息幂等处理的方法，从而抽象出一定的工具类用以适用各个业务场景。 在消息中间件里，有一个投递语义的概念，而这个语义里有一个叫”Exactly Once”，即消息肯定会被成功消费，并且只会被消费一次。以下是阿里云里对Exactly Once的解释： 在我们业务消息幂等处理的领域内，可以认为业务消息的代码肯定会被执行，并且只被执行一次，那么我们可以认为是Exactly Once。 但这在分布式的场景下想找一个通用的方案几乎是不可能的。不过如果是针对基于数据库事务的消费逻辑，实际上是可行的。 假设我们业务的消息消费逻辑是：更新MySQL数据库的某张订单表的状态： 要实现Exaclty Once即这个消息只被消费一次（并且肯定要保证能消费一次），我们可以这样做：在这个数据库中增加一个消息消费记录表，把消息插入到这个表，并且把原来的订单更新和这个插入的动作放到同一个事务中一起提交，就能保证消息只会被消费一遍了。 1、开启事务 2、插入消息表（处理好主键冲突的问题） 3、更新订单表（原消费逻辑） 4、提交事务 说明： 1、这时候如果消息消费成功并且事务提交了，那么消息表就插入成功了，这时候就算RocketMQ还没有收到消费位点的更新再次投递，也会插入消息失败而视为已经消费过，后续就直接更新消费位点了。这保证我们消费代码只会执行一次。2、如果事务提交之前服务挂了（例如重启），对于本地事务并没有执行所以订单没有更新，消息表也没插入成功；而对于RocketMQ服务端来说，消费位点也没更新，所以消息还会继续投递下来，投递下来发现这个消息插入消息表也是成功的，所以可以继续消费。这保证了消息不丢失。 事实上，阿里云ONS的EXACTLY-ONCE语义的实现上，就是类似这个方案基于数据库的事务特性实现的。更多详情可参考：https://help.aliyun.com/document_detail/102777.html 基于这种方式，的确这是有能力拓展到不同的应用场景，因为他的实现方案与具体业务本身无关——而是依赖一个消息表。 但是这里有它的局限性 1、消息的消费逻辑必须是依赖于关系型数据库事务。如果消费的消费过程中还涉及其他数据的修改，例如Redis这种不支持事务特性的数据源，则这些数据是不可回滚的。 2、数据库的数据必须是在一个库，跨库无法解决 注：业务上，消息表的设计不应该以消息ID作为标识，而应该以业务的业务主键作为标识更为合理，以应对生产者的重发。阿里云上的消息去重只是RocketMQ的messageId，在生产者因为某些原因手动重发（例如上游针对一个交易重复请求了）的场景下起不到去重/幂等的效果（因消息id不同）。 如上所述，这种方式Exactly Once语义的实现，实际上有很多局限性，这种局限性使得这个方案基本不具备广泛应用的价值。并且由于基于事务，可能导致锁表时间过长等性能问题。 例如我们以一个比较常见的一个订单申请的消息来举例，可能有以下几步（以下统称为步骤X）： 1、 检查库存（RPC） 2、 锁库存（RPC） 3、 开启事务，插入订单表（MySQL） 4、 调用某些其他下游服务（RPC） 5、 更新订单状态 6、 commit 事务（MySQL） 这种情况下，我们如果采取消息表+本地事务的实现方式，消息消费过程中很多子过程是不支持回滚的，也就是说就算我们加了事务，实际上这背后的操作并不是原子性的。怎么说呢，就是说有可能第一条小在经历了第二步锁库存的时候，服务重启了，这时候实际上库存是已经在另外的服务里被锁定了，这并不能被回滚。当然消息还会再次投递下来，要保证消息能至少消费一遍，换句话说，锁库存的这个RPC接口本身依旧要支持“幂等”。 再者，如果在这个比较耗时的长链条场景下加入事务的包裹，将大大的降低系统的并发。所以通常情况下，我们处理这种场景的消息去重的方法还是会使用一开始说的业务自己实现去重逻辑的方式，如前面加select for update，或者使用乐观锁。 那我们有没有方法抽取出一个公共的解决方案，能兼顾去重、通用、高性能呢？ 其中一个思路是把上面的几步，拆解成几个不同的子消息，例如： 1、库存系统消费A：检查库存并做锁库存，发送消息B给订单服务 2、订单系统消费消息B：插入订单表（MySQL），发送消息C给自己（下游系统）消费 3、下游系统消费消息C：处理部分逻辑，发送消息D给订单系统 4、订单系统消费消息D：更新订单状态 注：上述步骤需要保证本地事务和消息是一个事务的（至少是最终一致性的），这其中涉及到分布式事务消息相关的话题，不在本文论述。 可以看到这样的处理方法会使得每一步的操作都比较原子，而原子则意味着是小事务，小事务则意味着使用消息表+事务的方案显得可行。 然而，这太复杂了！这把一个本来连续的代码逻辑割裂成多个系统多次消息交互！那还不如业务代码层面上加锁实现呢。 上面消息表+本地事务的方案之所以有其局限性和并发的短板，究其根本是因为它依赖于关系型数据库的事务，且必须要把事务包裹于整个消息消费的环节。 如果我们能不依赖事务而实现消息的去重，那么方案就能推广到更复杂的场景例如：RPC、跨库等。 例如，我们依旧使用消息表，但是不依赖事务，而是针对消息表增加消费状态，是否可以解决问题呢？ 67_1.png 以上是去事务化后的消息幂等方案的流程，可以看到，此方案是无事务的，而是针对消息表本身做了状态的区分：消费中、消费完成。只有消费完成的消息才会被幂等处理掉。而对于已有消费中的消息，后面重复的消息会触发延迟消费（在RocketMQ的场景下即发送到RETRY TOPIC），之所以触发延迟消费是为了控制并发场景下，第二条消息在第一条消息没完成的过程中，去控制消息不丢（如果直接幂等，那么会丢失消息（同一个消息id的话），因为上一条消息如果没有消费完成的时候，第二条消息你已经告诉broker成功了，那么第一条消息这时候失败broker也不会重新投递了） 上面的流程不再细说，后文有github源码的地址，读者可以参考源码的实现，这里我们回头看看我们一开始想解决的问题是否解决了： 1、 消息已经消费成功了，第二条消息将被直接幂等处理掉（消费成功）。 2、 并发场景下的消息，依旧能满足不会出现消息重复，即穿透幂等挡板的问题。 3、 支持上游业务生产者重发的业务重复的消息幂等问题。 关于第一个问题已经很明显已经解决了，在此就不讨论了。 关于第二个问题是如何解决的？主要是依靠插入消息表的这个动作做控制的，假设我们用MySQL作为消息表的存储媒介（设置消息的唯一ID为主键），那么插入的动作只有一条消息会成功，后面的消息插入会由于主键冲突而失败，走向延迟消费的分支，然后后面延迟消费的时候就会变成上面第一个场景的问题。 关于第三个问题，只要我们设计去重的消息键让其支持业务的主键（例如订单号、请求流水号等），而不仅仅是messageId即可。所以也不是问题。 如果细心的读者可能会发现这里实际上是有逻辑漏洞的，问题出在上面聊到的个三问题中的第2个问题（并发场景），在并发场景下我们依赖于消息状态是做并发控制使得第2条消息重复的消息会不断延迟消费（重试）。但如果这时候第1条消息也由于一些异常原因（例如机器重启了、外部异常导致消费失败）没有成功消费成功呢？也就是说这时候延迟消费实际上每次下来看到的都是 消费中 的状态，最后消费就会被视为消费失败而被投递到死信Topic中（RocketMQ默认可以重复消费16次）。 有这种顾虑是正确的！对于此，我们解决的方法是，插入的消息表必须要带一个最长消费过期时间，例如10分钟，意思是如果一个消息处于 消费中 超过10分钟，就需要从消息表中删除（需要程序自行实现）。所以最后这个消息的流程会是这样的： 67_2.png 我们这个方案实际上没有事务的，只需要一个存储的中心媒介，那么自然我们可以选择更灵活的存储媒介，例如Redis。使用Redis有两个好处： 1、性能上损耗更低 2、上面我们讲到的超时时间可以直接利用Redis本身的ttl实现 当然Redis存储的数据可靠性、一致性等方面是不如MySQL的，需要用户自己取舍。 以上方案针对RocketMQ的Java实现已经开源放到Github中，具体的使用文档可以参考https://github.com/Jaskey/RocketMQDedupListener ， 以下仅贴一个Readme中利用Redis去重的使用样例，用以意业务中如果使用此工具加入消息去重幂等的是多么简单： 以上代码大部分是原始RocketMQ的必须代码，唯一需要修改的仅仅是创建一个 DedupConcurrentListener 示例，在这个示例中指明你的消费逻辑和去重的业务键（默认是messageId）。 更多使用详情请参考Github上的说明。 实现到这里，似乎方案挺完美的，所有的消息都能快速的接入去重，且与具体业务实现也完全解耦。那么这样是否就完美的完成去重的所有任务呢？ 很可惜，其实不是的。原因很简单：因为要保证消息至少被成功消费一遍，那么消息就有机会消费到一半的时候失败触发消息重试的可能。还是以上面的订单流程X： 1、 检查库存（RPC） 2、 锁库存（RPC） 3、 开启事务，插入订单表（MySQL） 4、 调用某些其他下游服务（RPC） 5、 更新订单状态 6、 commit 事务（MySQL） 当消息消费到步骤3的时候，我们假设MySQL异常导致失败了，触发消息重试。因为在重试前我们会删除幂等表的记录，所以消息重试的时候就会重新进入消费代码，那么步骤1和步骤2就会重新再执行一遍。如果步骤2本身不是幂等的，那么这个业务消息消费依旧没有做好完整的幂等处理。 那么既然这个并不能完整的完成消息幂等，还有什么价值呢？价值可就大了！虽然这不是解决消息幂等的银弹（事实上，软件工程领域里基本没有银弹），但是他能以便捷的手段解决： 1、各种由于Broker、负载均衡等原因导致的消息重投递的重复问题 2、各种上游生产者导致的业务级别消息重复问题 3、重复消息并发消费的控制窗口问题，就算重复，重复也不可能同一时间进入消费逻辑 也就是说，使用这个方法能保证正常的消费逻辑场景下（无异常，无异常退出），消息的幂等工作全部都能解决，无论是业务重复，还是rocketmq特性带来的重复。 事实上，这已经能解决99%的消息重复问题了，毕竟异常的场景肯定是少数的。那么如果希望异常场景下也能处理好幂等的问题，可以做以下工作降低问题率： 1、消息消费失败做好回滚处理。如果消息消费失败本身是带回滚机制的，那么消息重试自然就没有副作用了。 2、消费者做好优雅退出处理。这是为了尽可能避免消息消费到一半程序退出导致的消息重试。 3、一些无法做到幂等的操作，至少要做到终止消费并告警。例如锁库存的操作，如果统一的业务流水锁成功了一次库存，再触发锁库存，如果做不到幂等的处理，至少要做到消息消费触发异常（例如主键冲突导致消费异常等） 4、在#3做好的前提下，做好消息的消费监控，发现消息重试不断失败的时候，手动做好#1的回滚，使得下次重试消费成功

设n阶幂等A特征值为t,对应特征向量为x,秩R(A)=r Ax=tx A^2x=tAx=t^2x=tx t^2-t=0 t=1或0 若r=n A有n个不为零的特征值 t=1 矩阵的迹=所有特征值之和=n*1=n=r 若r

AB+BA=0 若此式左乘A再右乘A就有ABA=0;若此式左乘A再右乘B就有AB+ABAB=0综合两式有AB=0同理BA=0

充分性：若AB=BA=0,则（A+B）^2=A^2+AB+BA+B^2=A+B,从而A+B是幂等变换 必要性：若A+B是幂等变换,则（A+B）^2=A^2+AB+BA+B^2=A+AB+BA+B=A+B 从而AB+BA=0 两边左乘A,得A^2B+ABA=AB+ABA=0、右乘A,得ABA+BA^2=ABA+BA=0 联立上面三个等式,可得AB=BA=0

幂等性原本是数学中的含义，表达的是N次变换与1次变换的结果相同。 而RESTFul API中的幂等性是指调用某个接口1次或N次，对所访问的资源产生的影响结果都是相同的，需要特别注意的是：这里幂等性指的是对资源产生的影响结果，而非调用HTTP请求的返回结果。 举个例子，RESTFul API中的GET方法是查询资源信息，不会对资源产生影响，所以它是符合幂等性的，但是每次调用GET方法返回的结果有可能不同（可能资源的某个属性在调用GET方法之前已经被其他方法修改了，例如在多次访问期间，接口返回对象的update_time字段被别的请求更新，但GET本身是幂等性的）。 实际上，在分布式架构中的API幂等性不仅仅针对RESTFul接口，而是对所有类型的接口适用，目的是为了确保调用1次或N次接口时对资源的影响结果都是相同的。 接口的幂等性确保了无论调用1次还是N次对资源的影响都是相同的，这在某些场合下是非常有用的。 举个业务场景：用户下单，银行从用户账户扣款。 有这样一个接口方法：pay(long account, int money)，该方法用于银行卡扣款支付，参数account为账户ID，money为需要扣除的钱数。 当用户从网页上点击支付按钮时，在该方法的实现逻辑中需要从指定账户中扣除对应的商品价钱。如果支付操作已经成功执行，但是响应消息因为某种原因未能及时返回给客户端，这时候给用户的体验是可能是未支付成功，如果此时再次点击支付按钮，那么将再一次执行该方法，结果可能会导致用户只买了一件商品却扣减了双份的钱，这当然是不合理的。整个流程如下图所示： 当然，就上述例子的场景，为了避免用户重复支付，是可以通过别的方式解决的，比如：分布式事务；或者根据支付状态提示给予用户进行提示等等。 但是，如果引入了分布式事务，那么将带来实现上的复杂性，而且会影响到接口性能；而采取提示信息的方式并不能百分之百确保用户不会重复支付，存在一定的风险。 而如果接口符合幂等性，即：对同一个订单无论是执行一次支付还是多次支付，在服务端都确保只会扣一次款，那么既不需要引入分布式事务的复杂性，也能从根本上解决重复支付的问题，这也就是接口符合幂等性的价值所在。 总而言之，接口符合幂等性在可以降低系统实现的复杂性，并能保证资源状态的一致性。 RESTFul风格的接口设计本质上使用的是HTTP协议的请求方法，因此，RESTFul接口方法的幂等性指的就是HTTP方法的幂等性。 常用的HTTP方法有： 那么，这些HTTP方法的幂等性又是什么样的呢？除了幂等性之外，HTTP方法的安全性是指不对资源产生修改。 如下是常用HTTP方法的幂等性和安全性总结： 从上述表格中可以看出，HTTP方法的幂等性和安全性并不是同一个概念，如下是对个各个方法的幂等性和安全性解释： 设计幂等性接口的关键在于保证接口不论是被调用1次还是N次，它对资源所产生的影响都是相同的。 从上述HTTP方法的幂等性总结中可以得知，HTTP协议的POST和PATCH方法都不是幂等性的（但是我们却经常会在RESTFul接口中使用到它们），那是否就意味中无法将POST和PATCH方法设计为幂等性接口了呢？答案显然是否定的。在上述例子中，可以将订单ID也作为方法参数之一，如：pay(long account, int money, long order)，这样在服务端确保一个订单只会被支付一次（订单号是全局唯一的），那么无论该方法被调用1次还是N次结果都是一样的，也就保证了接口的幂等性。当然，在哪些没有订单号的场景，可以为接口操作生成一个全局唯一的处理号ID，并把该处理号ID作为方法参数之一，这样在服务端确保一个处理号ID只会被执行一次就保证了接口的幂等性。 符合幂等性的接口调用流程描述如下图所示： 虽然说设计符合幂等性的接口在某些场合可以降低系统的复杂性（如：可以不用引入分布式事务），但是并非在所有场合的问题都能通过幂等性接口解决，在必要的时候依然需要引入分布式事务处理这样的框架。我们不要也不能把接口幂等性作为万能的解决办法，但是，我们在设计接口时尽量考虑符合幂等性处理是非常有价值的。 【参考】

（1）A是n阶实对称幂等矩阵，故A的特征值只能是0和1 故存在正交矩阵Q，使得(Q-1)AQ=diag（1,1，……，1,0，……，0）（2）设特征值1是r重，0是n-r重， 则矩阵A-2I有r重特征值1-2=-1，n-r重特征值0-2=-2所以det(A-2I)=(-1)^n*2^(n-r)

     ElasticJob的幂等机制，是指作业分片执行的幂等，他需要做到以下两点： 1、如何保证同一个分片在当前作业实例上不会被重复执行？     分片任务执行一次没有执行完成，第二次又调度执行这种情况，导致分片数据会被重复执行。在ElasticJob中，通过开启misfire机制，任务执行前会在内存中设置任务为running状态，如果开启了monitor机制，同时会在zookeeper中创建/sharding/{item}/running临时节点，在下次任务调度到来时，会查看是否存在分片正在执行中running临时节点，如果前面有分片任务在执行，这个时候就会设置任务分片错过misfire，创建/sharding/{item}/misfire节点，待上次作业执行完成的时候，查看是否有错过执行的分片任务，重新补偿执行分片任务。 2、如何保证一个分片不会被下发给多个作业实例执行？     一个分片在执行的时候，突然宕机退出作业集群了，这个时候会导致重新分片，然后宕机的分片被重新指派给新机器，这个时候就会导致分片数据的重复执行。在ElasticJob中，重新分片的时候，需要等待这个作业实例的所有分片作业执行完成才行。所以正在执行的分片任务不会被重复分配给其他作业实例。但是/sharding/{item}/running节点是一个临时节点，在机器宕机的时候，这个节点就被删除了，重新分片等待所有分片任务完成的时候，是没法感知到对应的分片数据是否完成，这里是存在幂等问题的，还是需要靠业务自己去控制幂等。     可以看到ElasticJob的幂等控制其实做的还不是完善，依然会存在任务分片数据会被重复执行，在以下场景仍然会被重复执行：

A2=A 可以x2-x=0看做A的一个零化多项式，再由无重根就可得到该矩阵可对角化

取N阶对角阵，对角元全为0或1，则不管哪些是0哪些是1，一定得到幂等矩阵。所有和这种矩阵相似的矩阵也都是幂等矩阵，例如某一行全为1而其它行全为0的方阵；某一列全为1而其它列全为0的方阵；以不同幂等矩阵为对角块得到的准对角阵；等等事实上，由Jordan标准型易知所有幂等矩阵都相似于对角元全为0或1的对角阵

对分块矩阵A 00 A-E做初等变换即可自己动手算

你的问题是什么？按照定义的话若A为方阵，且A²=A，则A称为幂等矩阵显然其特征值只可能是0，1那么显然可逆的幂等矩阵只能为E

有。幂等律是1993年公布的数学名词，出自《数学名词》第一版，幂集代数（algebraofpowersets）一种特殊的布尔代数，有幂等律。

幂等定理是说一个四边形，对角线相连的话可以分为四个三角形，譬如说四边形ABCD对角线相交于点O，那么S△AOD*S△BOC=S△AOB*S△COD。在某二元运算下，幂等元素是指被自己重复运算(或对于函数是为复合)的结果等于它自己的元素。例如，乘法下唯一两个幂等实数为0和1。某一元运算为幂等的时，其作用在任一元素两次后会和其作用一次的结果相同。例如，高斯符号便是幂等的。扩展资料：幂等运算也可以在布林代数内找到。逻辑和与逻辑或便都是幂等运算。在线性代数里，投射是幂等的。亦即，每一将向量投射至一子空间V(不需正交)上的线性算子，都是幂等的。一幂等半环为其加法(非乘法)为幂等的半环。

楼上提供了几何上的圆幂定理，我来说一说集合论上的幂等定理：任给无限基数κ,都有κ·κ=κ.

幂等性是什么意思介绍如下：HTTP 幂等方法，是指无论调用多少次都不会有不同结果的 HTTP 方法。不管你调用一次，还是调用一百次，一千次，结果都是相同的。HTTP GET 方法，用于获取资源，不管调用多少次接口，结果都不会改变，所以是幂等的。只是查询数据，不会影响到资源的变化，因此我们认为它幂等。值得注意，幂等性指的是作用于结果而非资源本身。怎么理解呢？例如，这个 HTTP GET 方法可能会每次得到不同的返回内容，但并不影响资源。可能你会问有这种情况么？当然有咯。例如，我们有一个接口获取当前时间，我们就应该设计成它本身不会对资源本身产生影响，因此满足幂等性。HTTP POST 方法是一个非幂等方法，因为调用多次，都将产生新的资源。因为它会对资源本身产生影响，每次调用都会有新的资源产生，因此不满足幂等性。HTTP PUT 方法是不是幂等的呢？我们来看下因为它直接把实体部分的数据替换到服务器的资源，我们多次调用它，只会产生一次影响，但是有相同结果的 HTTP 方法，所以满足幂等性。HTTP PATCH 方法是非幂等的。HTTP POST 方法和 HTTP PUT 方法可能比较好理解，但是 HTTP PATCH 方法只是更新部分资源，怎么是非幂等的呢?因为，PATCH 提供的实体则需要根据程序或其它协议的定义，解析后在服务器上执行，以此来修改服务器上的资源。换句话说，PATCH 请求是会执行某个程序的，如果重复提交，程序可能执行多次，对服务器上的资源就可能造成额外的影响，这就可以解释它为什么是非幂等的了。

设A的特征值为t 有A^2X=t^2X=AX=tX 解得t=0或1，再证明A可对角化成diag(1 1..0 0..0)的形式 因为r(E)=n=r(E-A+A)≤r(E-A)+r(A)又因为(E-A)A=O 得r(E-A)+r(A)≤n 解得r(E-A)+r(A)=n特征值为1相应的特征向量基础解系维数为n-r(E-A)特征值为0相应的特征向量基础解系维数为n-r(-A)=n-r(A)故一切特征向量的极大线性无关组的向量数是2n-r(E-A)-r(A)=n因此可以对角化成上述对角阵有r个特征值为1就有A的秩为r 同时tr(A)等于特征值之和，也等于r*1=r

幂等矩阵的主要性质：1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1；2.幂等矩阵可对角化；3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr（A）=rank（A）；4.可逆的幂等矩阵为E；5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；6.幂等矩阵A满足：A（E-A)=（E-A）A=0；7.幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R（A）；8.A的核N（A）等于（E-A）的列空间R（E-A）,且N（E-A）=R（A）。　考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：1）设 A1，A2都是幂等矩阵，则(A1+A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1 = 0，且有：R(A1+A2) =R (A1) ⊕R (A2)；N(A1+A2) =N (A1)∩N(A2)；2）设 A1， A2都是幂等矩阵，则(A1-A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1=A2且有：R(A1-A2) =R(A1)∩N (A2 )；N (A1 - A2 ) =N (A1 )⊕R (A2 )；3）设 A1，A2都是幂等矩阵，若A1·A2 =A2·A1，则A1·A2 为幂等矩阵，且有：R (A1·A2 ) =R (A1 ) ∩R (A2 )；N (A1·A2 ) =N (A1 ) +N (A2 )。

如果有n阶矩阵A满足aij=aji（转置为其本身），则称A为对称矩阵。如果N阶矩阵A满足A^2=A,则称A是幂等矩阵对称幂等矩阵即同时满足上面两个条件的矩阵

设A是幂等矩阵,则 A^2 = A. 设λ是A的特征值,则 λ^2-λ 是A^2-A的特征值. 而A^2-A=0,零矩阵的特征值只有0 所以 λ^2-λ = 0. 所以 λ(λ-1) = 0. 所以λ=0或λ=1. 即A特征值是0或1. 即幂等矩阵的特征值是0或1.

如果P是幂等矩阵，则有P^2=P，即对于任意向量v，都有P(Pv)=P^2(v)=P(v)，即P作用两次等于一次。现在要证明的是如果P是幂等的，则Q=P+AP-PAP也是幂等的。首先，我们来证明Q是一个方阵。因为A、P是方阵，所以它们的乘积AP和PAP都是方阵。因此，Q=P+AP-PAP也是方阵。接下来，我们来证明Q是幂等的，即Q^2=Q。我们有：Q^2 = (P+AP-PAP)(P+AP-PAP)= P^2 + PAP - PPAP + APP + APA - APAP - PAPA - PAPPA + PAPAP= P + AP - PAP + AP + APA - APA - PA - PAPA + PAP= P + AP - PAP + AP - PAP - PA - PAPA + PAP= P + AP - PAP = Q最后一步利用了P是幂等矩阵的事实。因此，我们得出结论：如果P是幂等的，则Q=P+AP-PAP也是幂等的。

4的幂等是29的幂等是3

由A^2=E可知A的特征值为x^2=1的根且A必然可对角化（特征多项式无重根），由相似多项式秩相等，可设A相似于B=diag｛Er，0｝（r（A）=r），从而tr（A）=tr（B）=r（相似矩阵迹相等）

幂等矩阵一定相似于对角矩阵。事实上，A^2=A得A^2-A=0其最小多项式为x^-x无重根，故一定可以对角化。而幂零矩阵则未必可对角化。如矩阵A=0 10 0 为幂零矩阵，但不可对角化。

听到幂等性这个词时，是不是内心一阵恐慌？What？幂等性是个什么鬼？测过相关支付的业务，但没听过幂等性啊？别方，其实就是数据一致性和事务完整性。 什么是幂等 数学上的定义：f(f(x))=f(x)。x被函数f作用一次和作用无限次的结果是一样的。幂等性应用在软件系统中，可以把它简单定义为： 某个函数或者某个接口使用相同参数调用一次或者无限次****，其造成的后果是一致的****， 在实际应用中一般针对于接口进行幂等性设计。例如： 为什么要做幂等 如上文问题一中示例所述，可知，如果支付相关接口不保证幂等性。可能会造成很严重的后果，例如： 所以说保证接口的幂等性是非常重要的。 如何保证幂等性 幂等需要 通过唯一的业务单号 来保证。也就是说相同的业务单号，认为是同一笔业务。使用这个唯一的业务单号来确保，后面多次的相同的业务单号的处理逻辑和执行效果是一致的。 下面以支付为例，在不考虑并发的情况下，实现幂等很简单：①先查询一下订单是否已经支付过；②如果已经支付过，则返回支付成功；如果没有支付，进行支付流程，修改订单状态为‘已支付"。 防重复提交策略 上述的保证幂等方案是分成两步的，第②步依赖第①步的查询结果，无法保证原子性的。在高并发下就会出现下面的情况：第二次请求在第一次请求第②步订单状态还没有修改为‘已支付状态"的情况下到来。既然得出了这个结论，余下的问题也就变得简单：把查询和变更状态操作加锁，将并行操作改为串行操作。 乐观锁 如果只是更新已有的数据，没有必要对业务进行加锁，设计表结构时使用乐观锁，一般通过version来做乐观锁，这样既能保证执行效率，又能保证幂等。例如： UPDATE tab1 SET col1=1,version=version+1 WHERE version=#version# 。但是，乐观锁存在失效的情况，就是常说的ABA问题。如果version版本一直是自增的就不会出现ABA的情况。 防重表 使用订单号orderNo做为去重表的唯一索引，每次请求都根据订单号向去重表中插入一条数据。第一次请求查询订单支付状态，当然订单没有支付，进行支付操作，无论成功与否，执行完后更新订单状态为成功或失败，删除去重表中的数据。后续的订单因为表中唯一索引而插入失败，则返回操作失败，直到第一次的请求完成（成功或失败）。可以看出防重表作用是加锁的功能。 分布式锁 这里使用的防重表可以使用分布式锁代替，比如Redis。订单发起支付请求，支付系统会去Redis缓存中查询是否存在该订单号的Key，如果不存在，则向Redis增加Key为订单号。查询订单支付已经支付，如果没有则进行支付，支付完成后删除该订单号的Key。通过Redis做到了分布式锁，只有这次订单支付请求完成，下次请求才能进来。相比去重表，将并发做到了缓存中，较为高效。思路相同，同一时间只能完成一次支付请求。 token令牌 这种方式分成两个阶段：申请token阶段和支付阶段。 第一阶段，在进入到提交订单页面之前，需要订单系统根据用户信息向支付系统发起一次申请token的请求，支付系统将token保存到Redis缓存中，为第二阶段支付使用。 第二阶段，订单系统拿着申请到的token发起支付请求，支付系统会检查Redis中是否存在该token，如果存在，表示第一次发起支付请求，删除缓存中token后开始支付逻辑处理；如果缓存中不存在，表示非法请求。 实际上这里的token是一个信物，支付系统根据token确认操作权限。缺点是需要系统间交互两次，流程较上述方法复杂一些。 支付缓冲区 把订单的支付请求都快速地接下来，一个快速接单的缓冲管道。后续使用异步任务处理管道中的数据，过滤掉重复的待支付订单。优点是同步转异步，高吞吐量。缺点是不能及时地返回支付结果，需要后续监听支付结果的异步返回。