解不等式的解法步骤

【教学目标】　　1．知识与技能：使学生了解不等式的性质，能根据不等式的性质将简单的一元一次不等式转化为“”或“”的形式；　　2．过程与方法：通过等式的性质类比不等式的性质，使学生经历探索不等式性质的过程，初步体会不完全归纳法是探索数学规律的一种方法，体会类比的思想方法，体会数形结合思想和转化思想；感受分类讨论的思想方法．　　3．情感态度与价值观：使学生在操作、交流的数学活动中，感受数学学习的乐趣，增强学好数学的自信心．　　【教学重点】探索不等式的性质，理解不等式的性质．　　【教学难点】初步理解不等式性质3；不等式性质的符号表示．　　【教学方式】启发式、探究式　　【教学手段】多媒体　　【教学过程】教学环节 教学内容 设计意图问题情境 师：叶落知秋，意思是看见树叶飘落，就知道秋天来了．告诉我们可以从已知的事物通过合理的推断，来认识新事物．师：任意两个有理数存在大小关系，两个表示数的式子也有相等或不等关系．我们这节课来探索不等式的性质．（引出课题：8．2．2.不等式的性质）一、回顾 等式的性质（学生口述，教师板书．并注意符号语言）在等式两端加（减）同一个数或式，结果仍是等式．若则（若则）在等式两端同乘以一个数或式（除以一个不为零的数或式），结果仍是等式．若则（若则）二、了解新事物（一）、观察思考表示80与60的大小 甲乙两人体重分别为80㎏和60㎏，两人体重的大小关系为①若两人通过减肥，体重都减少了5㎏两人体重的大小关系为②若两人不注意健康的饮食，体重都增加了2㎏两人体重的大小关系为教师归纳：上述关系可记为： 让学生了解本节课要研究的对象及其意义，为类比等式的性质探索不等式的性质作准备．探索不等式的性质让学生类比等式的性质1归纳不等式的性质1： （师订正板书：）不等式的性质1：在不等式两端加（减）同一个数或式，不等号方向不变．试着用符号语言描述你得到的结论．能否用数轴理解不等式性质1试着用符号语言描述你得到的结论．教师板书： 性质1．如果，那么．（二）、探索发现填写下列表格你发现了什么？不等式 两边同乘以（除以）一个数 比较大小同乘以2同除以3同乘以同乘以0学生讨论、总结、表述．（师订正板书：）性质2．在不等式的两端同乘以一个正数，不等号方向不变．如果，那么．性质3．在不等式的两端同乘以一个负数，不等号方向改变．如果，那么．比较：不等式3个性质的异同不等式性质与等式性质的异同强调：等号不具有方向，不等号有方向！（三）、巧记口诀加减都用性质1，不等号方向不改变；乘除正数性质2，不等号方向还不变；乘除负数性质3，不等号方向必改变．类比等式的性质，探索不等式的性质．让学生初步体会不完全归纳法是探索数学规律的一种方法，体会数形结合思想和转化思想；培养学生发现数学规律的能力．知识巩固阅读活动阅读教材第124页“不等式的性质”三、小试牛刀 例1．设，用“>”或“<”填空：（1）；（2） ；（3）；（4）．例2将不等式化成或的形式，并在数轴上表示解．解：在原不等式两端同减得，两边同除以2得与解方程一样，解不等式的过程，就是要将不等式变形成“”或“”的形式．练习：利用不等式的性质解下列不等式，并说出利用不等式的哪条性质？（1）；（2）； （3）；（4）．四、勇攀高峰（升华）（一）判断正误1、2、3、4、5、6、概念辨析、字母的身份辨析，分类讨论．让学生感受数学中文字语言表述的准确性及符号语言的简洁性、概括性．利用自己探究的知识，解决存在疑惑的问题，体会成功．通过例题引导学生再次体会：解不等式就是利用不等式的性质，将不等式进行变形，逐步转化成“”或“”的形式．并进一步巩固、检验学生对不等式性质的理解．关注学生的易错点：方向、符号．课堂小结 教师引导学生作课堂小结（总结知识上、思想方法上以及自己在探究性质的过程中的一些思考或值得借鉴、关注的地方）1、不等式3个性质2、类比思想3、数形结合思想4、分类讨论的思想方法．反思、回顾学习过程，利于学生养成经常反思、总结的良好的学习品质．布置作业一．习题8.21．解不等式：（1）x－5<0 （2）3x≥2x－6（3）2x<－3 （4）－2x>2．写出下图所表示的不等式的解集3．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．（1）3x≥－3； （2）－3x＋3<0（3）2x＋2≤3x＋3 （4）5x－1>8x＋34．取什么值时，代数式的值：（1）大于1？ （2）等于1？ （3）小于1？二．个性作业 1、你能比较和的大小吗？和谁大呢？2、已知∣5x-3∣＝3－5x，求x的取值范围．3、判断下列不等式的变形是否正确：

必须等 ！

对于第一种情况：只需要b+c>a，就可以构成三角形。对于第二种情况：可以这样判断：一、两边之和大于第三边并且两边之差小于第三边。即a+b>c和|a-b|<c。二、同时满足以下三个条件：a+b>c,a+c>b,b+c>a拓展资料：三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾"顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。分类：按角分判定法一：1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度。判定法二：1、锐角三角形：三角形的三个内角中最大角小于90度。2、直角三角形：三角形的三个内角中最大角等于90度。3、钝角三角形：三角形的三个内角中最大角大于90度，小于180度。其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。按边分1、不等边三角形；不等边三角形，数学定义，指的是三条边都不相等的三角形叫不等边三角形。2、等腰三角形；等腰三角形（isosceles triangle），指两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。3、等边三角形。等边三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种。等边三角形也是最稳定的结构。等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。

如果女孩子叫你不要等，可能是她想要安排你立即做出行动。最好的回复可能是：”好的，我会立即行动。“ 或者 ”别担心，我正在尽快处理！“

违章者罚款100元，并停岗。机动车在遇有前方机动车停车排队等候或者缓慢行驶时，应当依次排队，不得从前方车辆两侧穿插或者超越行驶，不得在人行横道、网状线区域内停车等候。公安机关交通管理部门及其交通警察应当依据事实和本法的有关规定对道路交通安全违法。

不少于是大于等于。大于或等于的数学符号为≥。当一个数值比另一个数值大或两数相等时使用大于等于号"≥"，又被称为“不小于”。大于可以用数学符号表示为>，当一个数值比另一个数值大时使用大于号（>）来表示之间的关系。当一个数值比另一个数值小时使用小于号（<）来表示之间的关系。不等式计算的基本性质：1、不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变。2、不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变。3、不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。以上内容参考：百度百科-大于等于

你既然问这个问题，很大程度说明，对于等他的决心是不够的。也是很能够理解的，尤其是在日常相处过程中对方没有让你有足够的安全感时。等还是不等，旁观者尤其是我们这些不了解你们相处情况的网友更不能帮你做决定。所以我换个方式回答，可能会给你有些参考。如果我的男朋友读博（好希望这是真的，但实际上我都不知道我男朋友在哪儿，长什么样子），我会从以下几个角度去决定是否要等：1.对方是否值得我等作为一个单身狗亲身体验而言，能找到对象比较难，找到个世界观、价值观、人生观一致的对象，更是难于上青天。所以对方如果三观和你一致，值得珍惜。除了三观一致，对方在日常相处里对你怎么样？你最好能够非常清楚地列出个12345678出来，然后再问问自己，他的这种好是否满足你的情感需求。2.对于你们的未来，你们有没有主动商量过，这个也是对你们感情的负责任表现。作为虽只有一段超长期情感经验，但是无数幸与不幸的情感见证者，我觉得情感在经历初期刺激和亲密磨合后，能够让情感持续就是双方的责任心了。因为有了责任心，才会在激情褪去，情感归于平淡后依然能够珍惜对方。实践经验比较少，先写到这儿了。其实等还是不等，都是有代价的，只是你现在不知道代价是多大，你与其自己琢磨，还不如主动和他平和沟通下，把你的担忧和想法告诉他，问问读博期间不想结婚的根本原因是什么。面对感情问题，成熟的做法不是回避问题，也不是立马终止感情，而是两人一起去找解决问题的方法。实在不行，那也是尽力后的分开。这样的分开才不会有遗憾。不过我有疑问，如果双方愿意，读博和婚恋不冲突的哇，我身边有博士结婚的结婚，生娃的生娃，安排挺好的。不过他们都是根据自己的物质基础和实际情况去安排的，比如结婚，我有朋友是直接去领了证，然后两人吃个大餐就回实验室的，也有特地去旅游蜜月的。

我问对象要不要等他们过来？他跟我说随便你这什么意思？我也觉得这种答复很讨厌，总而言之，就是很敷衍，很有意义

不超过既是不大于，也是小于等于，这两个是一个意思。用符号来表示就是：≤。比如：一个数字不超过8，这个数字可以是8，也可以是7，但不可以是9。小于等于是一种判断方式，在各种数学，或编程中会出现。命题中，小于等于是小于或者等于，只要满足一个条件即可成立。小于等于有时也称为“不大于”。相关内容：为了寻求一套表示“大于”或“小于”的符号，数学家们绞尽了脑汁。1629年，法国数学家日腊尔，在他的《代数教程》中，用象征的符号“ff”表示“大于”，用符号“§”表示“小于”。例如，A大于B记作：“AffB”，A小于B记作“A§B”。1631年，英国数学家哈里奥特，首先创用符号“>”表示“大于”，“<”表示“小于”，但并未为当时数学界所接受，直至百多年后才渐成标准之应用符号。1634年，法国数学家厄里贡在他写的《数学教程》里，引用了很不简便的符号，表示不等关系，例如：a>b用符号“a3|2b”表示；b<a用符号“b2|3a”表示。因为这些不等号书写起来十分繁琐，很快就被淘汰了。据哥德巴赫于1734年1月写给欧拉的一封信所述，现今通用之“≧”和“≦”符号为一法国人P⋅布盖（1698-1758）所首先采用，然后逐渐流行。庞加莱与波莱尔于1901年引入符号“<<”（远小于）和“>>”（远大于），很快为数学界所接受，沿用至今。

就是不徘徊，不等待，立即去做。努力进取！

对方的意思是不要等了。也许是怕你等的时间太长，如果是夜班的话建议等下一块回去。

我的看法是这个人之所以说出这样的话，说明他对你失望过很多次，可能这是想要放弃你的意思。

应该不等1.等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”）　　2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）　　3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）　　4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。　　5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半　　6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)　　7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴

俗话说得好，日有所思夜有所梦，根本没有任何意义去理会了，一笑而过，顺其自然吧！高科技时代了。

绝对值不等式即||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|如果说其推导的来源当然就是来自三角形里两边之和大于第三边而两边之差小于第三边

一分价钱一分货，服务器的稳定和速度，程序的安全稳定性，美工和交互体验，还有日后的运营优化等都是建站需要考虑的问题，这些都是变动的成本，所以有的报价高有的报价低。并不是贵的就一定好，看建站团队是不是尽心负责，是不是用心给你做了。很多时候小团队的建站技术也并不比大公司差。所以找一个尽心负责的建站团队才是重要的。

1家。通过全国店铺企业注册信息得知，周姑娘不等味不是连锁店，也没有重名的，因此全国就一家店。周姑娘不等味餐饮管理有限公司成立于2018年11月27日，注册地位于扬州市邗江区康乐路，经营范围包括餐饮管理、食品研发等。

不代表前后之间的关系，是有方位的，你觉的对不对？他们两个是完全不同的意思。

偏偏二字体现出事情发展的不可逆，天空火烧云变化多端，不会为喜爱他的孩子而停歇。原文：忽然又来了一条大狗。那条狗十分凶猛，它在前面跑着，后边似乎还跟着好几条小狗。跑着跑着，小狗不知跑哪里去了，大狗也不见了。接着又来了一头大狮子，跟庙门前的大石头狮子一模一样，也是那么大，也是那么蹲着，很威武很镇静地蹲着。可是一转眼就变了，想要再看到那头大狮子，怎么也看不到了。一时恍恍惚惚的，天空里又像这个，又像那个，其实什么也不像，什么也看不清了。必须低下头，揉一揉眼睛，沉静一会儿再看。可是天空偏偏不等待那些爱好它的孩子。一会儿工夫，火烧云下去了。此文出自现代·萧红《呼兰河传·火烧云》扩展资料写作背景：《呼兰河传》中的一段文字。摘入沪教版五年级课文，以及人教版三年级课文。充满童心、诗趣和灵感的“回忆式”长篇小说。全书七章：一、二章写小城风情，三、四章谈家中亲疏人物，五、六、七章摹绘独立旁枝人物。作者用舒展自如的巡视式艺术手法，以情感的起伏为脉络，为“生于斯、长于斯的呼兰河畔的乡镇作传，为这个乡镇的风土人情，为各种各样人的生与死、欢乐与悲哀作传”。全书七章可各自独立又浑然一体，尾声余响不绝。萧红以娴熟的写作技巧，抒情诗的意境，浑重而又轻盈的文笔，造就了她的巅峰之作，为中国文学奉献了一部不朽的经典。

看题目是问什么吧，你这个问题问的有些笼统，不太好回答，可以找个不确定的题目，这样会便于回答。

偏偏二字体现出事情发展的不可逆，天空火烧云变化多端，不会为喜爱他的孩子而停歇。原文：忽然又来了一条大狗。那条狗十分凶猛，它在前面跑着，后边似乎还跟着好几条小狗。跑着跑着，小狗不知跑哪里去了，大狗也不见了。接着又来了一头大狮子，跟庙门前的大石头狮子一模一样，也是那么大，也是那么蹲着，很威武很镇静地蹲着。可是一转眼就变了，想要再看到那头大狮子，怎么也看不到了。一时恍恍惚惚的，天空里又像这个，又像那个，其实什么也不像，什么也看不清了。必须低下头，揉一揉眼睛，沉静一会儿再看。可是天空偏偏不等待那些爱好它的孩子。一会儿工夫，火烧云下去了。此文出自现代·萧红《呼兰河传·火烧云》扩展资料写作背景：《呼兰河传》中的一段文字。摘入沪教版五年级课文，以及人教版三年级课文。充满童心、诗趣和灵感的“回忆式”长篇小说。全书七章：一、二章写小城风情，三、四章谈家中亲疏人物，五、六、七章摹绘独立旁枝人物。作者用舒展自如的巡视式艺术手法，以情感的起伏为脉络，为“生于斯、长于斯的呼兰河畔的乡镇作传，为这个乡镇的风土人情，为各种各样人的生与死、欢乐与悲哀作传”。全书七章可各自独立又浑然一体，尾声余响不绝。萧红以娴熟的写作技巧，抒情诗的意境，浑重而又轻盈的文笔，造就了她的巅峰之作，为中国文学奉献了一部不朽的经典。

感谢你的好意，站位不同，观点不同。

1、梦见姝讳汉杩芥垜的吉凶指数 成功运佳，希望目的及财富名誉均可达成，唯因基础运劣，而招致家庭内之苦恼或不幸，且身心过劳，可能导致生病，其下属多争妒，使用此之人会因下属而苦不堪言。 【吉多于凶】 吉凶指数：82（仅供参考） 2、梦见姝讳汉杩芥垜的宜忌 「宜」宜给朋友打电话，宜运动，宜读古书。 「忌」忌慢跑，忌登记结婚，忌自言自语。 3、梦见姝讳汉杩芥垜的预兆 怀孕的人梦见姝讳汉杩芥垜，预示生男，秋占生女、慎防流产。 本命年的人梦见姝讳汉杩芥垜，意味着慎防损报伤之灾，南方少去，诸事不顺利。 做生意的人梦见姝讳汉杩芥垜，代表开始不稳定，过一段时间顺利得财。 梦见姝讳汉杩芥垜 ，赌欲颇旺的一天呢！今天什么都想博一把的心态，感染到你身边的一事一物。做计划，事先摸底调查，还不如到时候去碰碰运气呢！这种侥幸的想法，让意外频频地发生在你身上，也让你的生活带有了某种戏剧的意味。而你自己，还蛮乐在其中呢！ 恋爱中的人梦见姝讳汉杩芥垜，说明需要互相沟通，有希望成婚，不要错过机会。 梦见姝讳汉杩芥垜，按周易五行分析，幸运数字是 0 ，桃花位在 正东方向 ，财位在 东南方向 ，吉祥色彩是 白色 ，开运食物是 柿子 。 怀孕的人梦见鐚村瓙杩芥垜，预示生男，春占生女。慎防流产。 梦见姝讳汉楠备汉 ，今天的你较有可能接管他人的东西，如职位、项目或财物等等，在这种状况中，机会和责任往往并存，不过就总体来说，直觉会帮助你做出较佳的选择。此外，财运方面有暗涨的机会，或许是某个不公开的投资项目出现分红，也有可能是接受贿赂。 做生意的人梦见濂充汉杩芥垜，代表未能顺利，三思而行，宜守不宜进。 做生意的人梦见姝讳汉，要经过一段阻碍、困难然后才有盈利。 梦见姝讳汉楠烽珔，按周易五行分析，吉祥色彩是 黑色 ，幸运数字是 9 ，桃花位在 西北方向 ，财位在 东南方向 ，开运食物是 山药 。 梦见姝讳简镄勪汉，按周易五行分析，幸运数字是 4 ，财位在 东南方向 ，桃花位在 正东方向 ，吉祥色彩是 白色 ，开运食物是 苦瓜 。 梦见姝讳汉缁欐垜阃佺硸，按周易五行分析，吉祥色彩是 橙色 ，财位在 正东方向 ，桃花位在 西北方向 ，幸运数字是 4 ，开运食物是 芹菜 。 做生意的人梦见姝讳汉杩旂敓，代表开始顺利，中途得财利，最后是非多而失利。 梦见镐绘槸链変汉杩芥垜 ，整理、收拾拿手的一天，最适合将周围环境清理一下。或是将电脑里乱七八糟的档案分门归类，一边做一边有些好点子产生喔。另一方面却也容易受周围的气氛影响，为了迎合别人而勉强做些辛苦又吃力不讨好的事，或者是被指派责任重大的工作，肩上顿时像是压了大石般的重担。集体行动较一个人单打独斗时要幸运多了，找其他人来一起分担吧。 梦见涓変釜杩芥垜，按周易五行分析，吉祥色彩是 橙色 ，幸运数字是 7 ，桃花位在 正西方向 ，财位在 正东方向 ，开运食物是 葱 。 梦见姝讳汉缁欐垜阃佺硸 ，回归传统的一天。一些具有历史意义、古老气息的物件，能够让你的心灵产生归属的感觉。工作/学业上，重新考虑传统的办法，也是相当有效的呢！恋情方面，你容易遇到新的恋爱机缘的冲击，现时的恋情关系也变得不那么稳定。有伴侣的你，往往在处理感情方面，麻烦更大。 怀孕的人梦见姝讳简镄勪汉，预示生男，忌动土动胎气流产。 本命年的人梦见娲讳汉姝讳简，意味着诸事不顺，亲近善知识，好好修心养性最稳当。 恋爱中的人梦见娲讳汉姝讳简，说明只要互相信任，婚姻可成。秋季有喜庆。

用几何画板打开,任意拖动点P（可在圆内、外），都有PA乘PB=PC乘PD，PA乘PB=PC乘PD就是幂等定理。包括相交弦定理(点P在圆内),割线定理(点P在圆外)、切线长定理(点P在圆外A、B重合,C、D重合)、切割线定理(点P在圆外A、B重合或C、D重合)。相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。割线定理从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B。C、D，则有PA乘PB=PC乘PD。怎么学好数学学好数学兴趣是前提和基础，学数学提前做预习是个好习惯，在预习过程中尽量把问题解决掉，再做一些相关练习巩固。遇到不理解的地方标注出来等老师上课讲解，反思自己看书为什么没看懂。做课后练习题时，围绕公式去举一反三，读每一个已知条件都要给出数学思维反馈，用画图、试值等多种方法去求解，不要拘泥于唯一解法。数学成绩好的学生都不是光听课就能学会的，只有自己多琢磨、多反思，才能学好数学。学好数学还要善于总结错题，因为我们做错的很多题目都属于同一类型，把这些题目归纳一下，其实只要掌握几个数学知识点就够了，就能解决掉大部分错题。

？？？？？

在数学里，幂等有两种主要的定义。在某二元运算下，幂等元素是指被自己重复运算(或对于函数是为复合)的结果等于它自己的元素。例如，乘法下唯一两个幂等实数为0和1。某一元运算为幂等的时，其作用在任一元素两次后会和其作用一次的结果相同。例如，高斯符号便是幂等的。一元运算的定义是二元运算定义的特例 设S为一具有作用于其自身的二元运算的集合，则S的元素s称为幂等的(相对于*)当s *s = s.特别的是，任一单位元都是幂等的。若S的所有元素都是幂等的话，则其二元运算*被称做是幂等的。例如，联集和交集的运算便都是幂等的。 设f为一由X映射至X的一元运算，则f为幂等的，当对于所有在X内的x，f(f(x)) = f(x).特别的是，恒等函数一定是幂等的，且任一常数函数也都是幂等的。注意当考虑一由X至X的所有函数所组成的集合S时。在f在一元运算下为幂等的若且唯若在二元运算下，f相对于其复合运算(标记为o)会是幂等的。这可以写成f o f = f。

幂等（idempotent、idempotence）是一个数学与计算机学概念，常见于抽象代数中。在编程中.一个幂等操作的特点是其任意多次执行所产生的影响均与一次执行的影响相同。幂等函数，或幂等方法，是指可以使用相同参数重复执行，并能获得相同结果的函数。这些函数不会影响系统状态，也不用担心重复执行会对系统造成改变。例如，“getUsername()和setTrue()”函数就是一个幂等函数.更复杂的操作幂等保证是利用唯一交易号(流水号)实现.

一次和多次请求某一个资源对于资源本身应该具有同样的结果（网络超时等问题除外）。 也就是说，其任意多次执行对资源本身所产生的影响均与一次执行的影响相同。换种说法，就是用户对于同一操作发起的一次请求或者多次请求的结果是一致的，不会因为多次点击而产生了副作用。 举个最简单的例子，那就是支付，用户购买商品使用支付，此时多次触发支付，只会支付一次，而不会多扣钱。 1. 幂等需要关注的几个重点: （1）幂等不仅仅只是一次（或多次）请求对资源没有副作用。 （2）幂等还包括第一次请求的时候对资源产生了副作用，但是以后的多次请求都不会再对资源产生副作用。 （3）幂等关注的是以后的多次请求是否对资源产生的副作用，而不关注结果。 （4）网络超时等问题，不是幂等的讨论范围。 幂等性是系统服务对外一种承诺（而不是实现），承诺只要调用接口成功，外部多次调用对系统的影响是一致的。声明为幂等的服务会认为外部调用失败是常态，并且失败之后必然会有重试。 2. 幂等与防重的区别： （1）重复提交是在 第一次请求已经成功的情况下 ，人为的进行多次操作，导致不满足幂等要求的服务多次改变状态。 （2）幂等更多使用的情况是 第一次请求不知道结果（比如超时）或者失败的异常情况下 ，发起多次请求，目的是多次确认第一次请求成功，却不会因多次请求而出现多次的状态变化。（ 重点重点重点！！！ ） 业务开发中，经常会遇到重复提交的情况，无论是由于网络问题无法收到请求结果而重新发起请求，或是前端的操作抖动而造成重复提交情况。 在交易系统，支付系统这种重复提交造成的问题有尤其明显，比如： （1）用户在APP上连续点击了多次提交订单，后台应该只产生一个订单 （2）向支付宝发起支付请求，由于网络问题或系统BUG重发，支付宝应该只扣一次钱。 很显然，声明幂等的服务认为，外部调用者会存在多次调用的情况，为了防止外部多次调用对系统数据状态的发生多次改变，将服务设计成幂等。 以SQL为例，有下面三种场景，只有第三种场景需要开发人员使用其他策略保证幂等性： 幂等可以使得客户端逻辑处理变得简单，但是却以服务逻辑变得复杂为代价。 满足幂等服务的需要在逻辑中至少包含两点： （1）首先去查询上一次的执行状态，如果没有则认为是第一次请求。 （2）在服务改变状态的业务逻辑前，保证防重复提交的逻辑。 幂等是为了简化客户端逻辑处理，却增加了服务提供者的逻辑和成本，是否有必要，需要根据具体场景具体分析，因此除了业务上的特殊要求外，尽量不提供幂等的接口。 （1）增加了额外控制幂等的业务逻辑，复杂化了业务功能； （2）把并行执行的功能改为串行执行，降低了执行效率。 幂等需要通过唯一的业务单号来保证。也就是说相同的业务单号，认为是同一笔业务。使用这个唯一的业务单号来确保，后面多次的相同的业务单号的处理逻辑和执行效果是一致的。 下面以支付为例， 在不考虑并发的情况下，实现幂等很简单： ① 先查询一下订单是否已经支付过； ② 如果已经支付过，则返回支付成功；如果没有支付，进行支付流程，修改订单状态为‘已支付"。 上述的保证幂等方案是分成两步的，第②步依赖第①步的查询结果，无法保证原子性的。在高并发下就会出现下面的情况：第二次请求在第一次请求第②步订单状态还没有修改为‘已支付状态"的情况下到来。 既然得出了这个结论，余下的问题也就变得简单： 把查询和变更状态操作加锁，将并行操作改为串行操作。 （1）乐观锁 如果只是更新已有的数据，没有必要对业务进行加锁，设计表结构时使用乐观锁，一般通过version来做乐观锁，这样既能保证执行效率，又能保证幂等。 例如： UPDATE tab1 SET col1=1,version=version+1 WHERE version=#version# 不过，乐观锁存在失效的情况，就是常说的ABA问题，不过如果version版本一直是自增的就不会出现ABA的情况。 （2）悲观锁 select * from xx for update; 悲观锁和乐观锁的区别: 使用订单号orderNo做为去重表的唯一索引，每次请求都根据订单号向去重表中插入一条数据。 第一次请求查询订单支付状态，当然订单没有支付，进行支付操作，无论成功与否，执行完后更新订单状态为成功或失败，删除去重表中的数据。 后续的订单因为表中唯一索引而插入失败，则返回操作失败，直到第一次的请求完成（成功或失败）。可以看出防重表作用是加锁的功能。 订单发起支付请求，支付系统会去Redis缓存中查询是否存在该订单号的Key，如果不存在，则向Redis增加Key为订单号。 查询订单支付已经支付，如果没有则进行支付，支付完成后删除该订单号的Key。通过Redis做到了分布式锁，只有这次订单订单支付请求完成，下次请求才能进来。 相比去重表，将放并发做到了缓存中，较为高效。思路相同，同一时间只能完成一次支付请求。 这种方式分成两个阶段：申请token阶段和支付阶段。 第一阶段，在进入到提交订单页面之前，需要订单系统根据用户信息向支付系统发起一次申请token的请求，支付系统将token保存到Redis缓存中，为第二阶段支付使用。 第二阶段，订单系统拿着申请到的token发起支付请求，支付系统会检查Redis中是否存在该token，如果存在，表示第一次发起支付请求，删除缓存中token后开始支付逻辑处理；如果缓存中不存在，表示非法请求。 实际上这里的token是一个信物，支付系统根据token确认是否是非法请求。不足是需要系统间交互两次，流程较上述方法复杂。 把订单的支付请求都快速地接下来，一个快速接单的缓冲管道。后续使用异步任务处理管道中的数据，过滤掉重复的待支付订单。优点是同步转异步，高吞吐。不足是不能及时地返回支付结果，需要后续监听支付结果的异步返回。

没有这一说！

HTTP 幂等方法，是指无论调用多少次都不会有不同结果的 HTTP 方法。不管你调用一次，还是调用一百次，一千次，结果都是相同的。 HTTP GET 方法，用于获取资源，不管调用多少次接口，结果都不会改变，所以是幂等的。 只是查询数据，不会影响到资源的变化，因此我们认为它幂等。 值得注意，幂等性指的是作用于结果而非资源本身。怎么理解呢？例如，这个 HTTP GET 方法可能会每次得到不同的返回内容，但并不影响资源。 可能你会问有这种情况么？当然有咯。例如，我们有一个接口获取当前时间，我们就应该设计成 它本身不会对资源本身产生影响，因此满足幂等性。 HTTP POST 方法是一个非幂等方法，因为调用多次，都将产生新的资源。 因为它会对资源本身产生影响，每次调用都会有新的资源产生，因此不满足幂等性。 HTTP PUT 方法是不是幂等的呢？我们来看下 因为它直接把实体部分的数据替换到服务器的资源，我们多次调用它，只会产生一次影响，但是有相同结果的 HTTP 方法，所以满足幂等性。 HTTP PATCH 方法是非幂等的。HTTP POST 方法和 HTTP PUT 方法可能比较好理解，但是 HTTP PATCH 方法只是更新部分资源，怎么是非幂等的呢? 因为，PATCH 提供的实体则需要根据程序或其它协议的定义，解析后在服务器上执行，以此来修改服务器上的资源。换句话说，PATCH 请求是会执行某个程序的，如果重复提交，程序可能执行多次，对服务器上的资源就可能造成额外的影响，这就可以解释它为什么是非幂等的了。 可能你还不能理解这点。我们举个例子 此时，我们服务端对方法的处理是，当调用一次方法，更新部分字段，将这条 ticket 记录的操作记录加一，这次，每次调用的资源是不是变了呢，所以它是有可能是非幂等的操作。 HTTP DELETE 方法用于删除资源，会将资源删除。 调用一次和多次对资源产生影响是相同的，所以也满足幂等性。 也许，你会想起一个面试题。 HTTP 请求的 GET 与 POST 方式有什么区别？ 你可能会回答到：GET 方式通过 URL 提交数据，数据在 URL 中可以看到；POST 方式，数据放置在 HTML HEADER 内提交。但是，我们现在从 RESTful 的资源角度来看待问题，HTTP GET 方法是幂等的，所以它适合作为查询操作，HTTP POST 方法是非幂等的，所以用来表示新增操作。 但是，也有例外，我们有的时候可能需要把查询方法改造成 HTTP POST 方法。比如，超长（1k）的 GET URL 使用 POST 方法来替代，因为 GET 受到 URL 长度的限制。虽然，它不符合幂等性，但是它是一种折中的方案。 对于 HTTP POST 方法和 HTTP PUT 方法，我们一般的理解是 POST 表示创建资源，PUT 表示更新资源。当然，这个是正确的理解。 但是，实际上，两个方法都用于创建资源，更为本质的差别是在幂等性。HTTP POST 方法是非幂等，所以用来表示创建资源，HTTP PUT 方法是幂等的，因此表示更新资源更加贴切。 此时，你看会有另外一个问题。HTTP PUT 方法和 HTTP PATCH 方法，都是用来表述更新资源，它们之间有什么区别呢？我们一般的理解是 PUT 表示更新全部资源，PATCH 表示更新部分资源。首先，这个是我们遵守的第一准则。根据上面的描述，PATCH 方法是非幂等的，因此我们在设计我们服务端的 RESTful API 的时候，也需要考虑。如果，我们想要明确的告诉调用者我们的资源是幂等的，我的设计更倾向于使用 HTTP PUT 方法。

这里有这么一段：GET与POST你可能想了解GET和POST之间有什么区别，并想知道什么时候使用它们。从理论上讲，如果请求是幂等的就可以使用GET，所谓幂等是指多个请求返回相同的结果。实际上，相应的服务器方法可能会以某种方式修改状态，所以一般情况下这是不成立的。这只是一种标准。更实际的区别在于净荷的大小，在许多情况下，浏览器和服务器会限制URL的长度URL用于向服务器发送数据。一般来讲，可以使用GET从服务器获取数据；换句话说，要避免使用GET调用改变服务器上的状态。一般地，当改变服务器上的状态时应当使用POST方法。不同于GET，需要设置XML- HttpRequest对象的Content-Type首部，如下所示：xmlHttp.setRequestHeader("Content-Type", "application/x-www-form-urlencoded");与GET不同，POST不会限制发送给服务器的净荷的大小，而且POST请求不能保证是幂等的。你做的大多数请求可能都是GET请求，不过，如果需要，也完全可以使用POST。

定义：对同一个系统，使用同样的条件，一次请求和重复的多次请求对系统资源的影响是一致的 例子：对一个资源发送多次读请求，返回的结果肯定相同（只要别的用户不修改，即使资源被修改也不是因为读请求产生的） 假设有一个从账户取钱的远程 API 如下所示。 存在这么一种情况：用户发送该请求时，服务器成功扣除 amount 数额的钱，然后返回 ok 时由于网络等原因该返回值丢失。用户会认为请求失败，又发送一次请求，此时账户实际上扣除了两次钱。如下图所示 基于幂等性的解决方案中一个完整的取钱流程被分解成了两个步骤： 虽然 create_ticket 不是幂等的，但在这种设计下，它对系统状态的影响可以忽略，加上 idempotent_withdraw 是幂等的，所以任何一步由于网络等原因失败或超时，客户端都可以重试，直到获得结果。如图2所示： POST 不具有幂等性，PUT 具有幂等性

在HTTP/1.1规范中幂等性的定义是： 从定义上看，HTTP方法的幂等性是指一次和多次请求某一个资源应该具有同样的副作用。幂等性属于语义范畴，正如编译器只能帮助检查语法错误一样，HTTP规范也没有办法通过消息格式等语法手段来定义它，这可能是它不太受到重视的原因之一。但实际上，幂等性是分布式系统设计中十分重要的概念，而HTTP的分布式本质也决定了它在HTTP中具有重要地位。

幂等矩阵的主要性质：1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1；2.幂等矩阵可对角化；3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr（A）=rank（A）；4.可逆的幂等矩阵为E；5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；6.幂等矩阵A满足：A（E-A)=（E-A）A=0；7.幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R（A）；8.A的核N（A）等于（E-A）的列空间R（E-A）,且N（E-A）=R（A）。　考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：1）设 A1，A2都是幂等矩阵，则(A1+A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1 = 0，且有：R(A1+A2) =R (A1) ⊕R (A2)；N(A1+A2) =N (A1)∩N(A2)；2）设 A1， A2都是幂等矩阵，则(A1-A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1=A2且有：R(A1-A2) =R(A1)∩N (A2 )；N (A1 - A2 ) =N (A1 )⊕R (A2 )；3）设 A1，A2都是幂等矩阵，若A1·A2 =A2·A1，则A1·A2 为幂等矩阵，且有：R (A1·A2 ) =R (A1 ) ∩R (A2 )；N (A1·A2 ) =N (A1 ) +N (A2 )。

设A是幂等矩阵, 则 A^2 = A.设λ是A的特征值, 则 λ^2-λ 是A^2-A的特征值.而A^2-A=0, 零矩阵的特征值只有0所以 λ^2-λ = 0.所以 λ(λ-1) = 0.所以λ=0或λ=1.即A特征值是0或1.即幂等矩阵的特征值是0或1.满意请采纳^_^

表示一个数自乘若干次的形式,如a自乘n次的幂为an，或称an为a的n次幂。【英语power】a称为幂的底数，n称为幂的指数。在扩充的意义下，指数n也可以是分数、负数，也可以是任意实数或复数。在数学中形如a^x的数叫做a的x次幂，简称幂。

　　在word中输入大括号方法一： 　　步骤一：利用公式插入，一些数学公式经常用到大括号，所以word文档也有这个功能。首先在菜单栏选择插入。 　　步骤二：选择插入后，下面快捷菜单会现实有“公式”，在这里点击公式。 　　步骤三：选择大括号，然后下拉框里面选择自己要的图形，如图所示。 　　(word2003版本的是插入——对象) 　　步骤四：然后大括号就打出来了，还能在大括号里面输入文字，大括号自动换行适应大小。 　　在word中输入大括号方法二： 　　步骤一：首先打开一个空白的word文档，点击上方菜单栏中的插入。 　　步骤二：接下来在菜单栏的右侧点击公式。 　　步骤三：这时会出现许多特殊符号，选择括号。 　　步骤四：这时我们可以看到各种形状的括号符号。 　　步骤五：挑选一种括号，点击插入word文档中。 　　步骤六：现在就是插入大括号的效果。插入括号后，再输入文字。 　　扩展：Word页码设置方法 　　一、页码从第二页开始 　　1、选择“插入-页码”，打开“页码”对话框。 　　2、取消“首页显示页码”复选框中的对钩，然后单击“格式”按钮，打开“页码格式”对话框。 　　3、“起始页码”后的框中键入数字“0” 。 　　4、按“确定”退出。 　　二、页码从任意页开始 　　1、将光标定位于需要开始编页码的页首位置。 　　3、选择“视图-页眉和页脚”，并将光标定位于页脚处。 　　4、在“页眉和页脚”工具栏中依次进行以下操作： 　　①单击“链接到前一个”按钮，断开同前一节的链接。（这样去掉了右上角的“与上一节相同”几个字，使这一节可以单独设置页码） 　　②单击“插入页码”按钮，再单击“页码格式”按钮，打开“页码格式”对话框。 　　③在“起始页码”后的框中键入相应起始数字。 　　④单击“关闭”按钮。 　　三、页码不连续 　　如“目录”与“正文”的"页码均需单独排，可按以下步骤操作： 　　1、将光标定位于需要开始重新编页码的页首位置。 　　3、选择“插入—页码”，打开“页码”对话框。单击“格式”按钮，打开“页码格式”对话框。 　　4、“起始页码”后的框中键入数字“1” 　　5、按“确定”退出。 　　四、页码每栏显示 　　文档分栏后，按常规插入页码，只能实现一页一个页码。如何实现每个分栏一个单独的页码呢？可以利用域的功能实现： 　　1、选择“视图-页眉和页脚”，并将光标定位于页脚处的左栏放页码的位置。 　　2、同时按下Ctrl+F9功能键，光标位置会出现一个带有阴影的“{ }”，这就是域的标志。 　　3、在“{ }”内输入“=”后，再同时按下Ctrl+F9功能键，在这次出现的花括号内输入word“page”（表示插入“当前页”域代码）。 　　4、将光标移到内部一对花括号之后，输入“*2-1”,此时，在页脚处得到这样一行域代码：“{={page}*2-1}}”。 　　5、将光标停留在这个域代码上，按右键选择“更新域”，即可看到当前页左栏的页码。 　　6、选中刚刚输入的域代码，进行复制，并粘贴在页脚处右栏放页码的位置。 　　7、选中刚刚粘贴上去的域，按右键选择“切换域代码”，将域代码“{={page}*2-1}}”改为“{={page}*2}}”, 按右键选择“更新域”即可。

问题一：电脑键盘上大括号怎么打？ shift+你数字键的9和0就有小括号了，中括号在，和。 大括号在字母P的右边。 问题二：花括号在电脑上怎么打？ 请在键盘上找到P键,在它的右侧有两个按键.(按键上有大括号和花括号) 按住shift ,打出了{} 请确认在输入花括号的时候输入法是圆角还是是半角. 如果不会调圆角半角,请按住Ctrl+空格键,恢复到英文键盘在进行输入符号. 问题三：电脑上括号怎么打 你的是笔记本电脑还是台式机啊，有些笔记本电脑的符号键可能和台式机不一样，台式机基本上是用shift加大键盘区的9和0，又或者打开输入法后用软键盘来输入括号。 问题四：在电脑上打二元一次方程组时，大括号怎么打 如果您用WORD，就在“自选图形”-“基本形状”里有，点这个后，再在文章空白位置框出这个大括号，再右击点取此大括号，选添加文字，就可以了。 如果您的WORD没见到“自选图形”，请打开“视图”-“工具栏”-“绘图”，在这就有“自选图形”。 答案补充： 您按下“视图”-“工具栏”-“绘图”，这时就会有一个工具条多出来啊，里面就有“自选图形”，如果真没有，就是您的WORD有问题了。 问题五：怎样在电脑上打出大括号？ { } 是这个么？ 按住shift和括号键就可以打出来 或者要是这个的话 { } 【 】 直接复制我的回答就可以了 问题六：在电脑上怎么打大括号自己太笨了，打不出来 1、笔记本电脑上的括号可以使用组合键shift+括号键就可以打出来的。2、打出括号符号，使用shift+9输出的是“（”；使用shift+0输出的是“）”。3、在英文状态下，使用shift+括号按键，打出来的的是英文括号，而在中文状态下输出的则是中文括号，两者还是有区别的，主要是占用的字符不一样。 问题七：电脑上大括号怎么打 ？ 字母P后的键，先按shift，再按那个键就行了 问题八：这种大括号在电脑上怎么打出来，电脑上只有小的 这个符号是文字处理软件里的，电脑键盘上无法打印出，你可以下载word文档软件，里面就有这种大括号。

一、作用不同1、大括号：这个符号表示在一个广大的范围内通过指令、公式来表示目的。2、小括号：小学数学里的小括号的作用是规定运算次序。二、运算规律不同1、大括号：运算规律是先小括号，后大括号。2、小括号：运算的顺序是先括号内，后括号外，如需要计算2×（2+4）。三、特点不同1、大括号：在数学中可为集合的表示符号，如：A= {x|x>1}；在数学中，当大括号内只有一个数时，可表示该数的小数部分。例如：{5.1}表示0.1。2、小括号：如果有括号，先算括号里面的，同一级运算一样，按照从左到右的顺序依次进行。

1、打开Word，点击菜单中的“插入”》>菜单栏>“公式”。 2、在公式中点击“括号”。在弹出的样式窗口中选择大括号样式就可以打出大括号。 3、大括号，1593年由法国数学家弗朗索瓦·韦达（Fran?ois Viète，1540—1603）引入，18世纪以后在世界通用。这个符号表示在一个广大的范围内通过指令、公式来表示目的。

大括号：一种记号，用来连接需要一起考虑的、相等的或成对的单词或项目更多，或者围起从中只选取一个的那些项目；数学中作为集合的一对符号之一。2、中括号“[ ]”中括号又称方括号，符号“[ ]”，常成对使用。中括号是一种记号，用以连接需一起考虑的、相等的或成对的单词或项目，或者围起从中只选取一个的那些项目。3、小括号“（ ）”小括号，符号为 （）。是数学运算符号，也是标点符号等。作用是：对前边的话加以解释；对有关内容补充说明；括出序次语。

　　1、键盘上同时按下：shift键+大括号键。 　　2、在word中点击：插入→符号，选择大括号。

没有区别，只是先算后算的。

括号主要分为四类，包括大括号“{ }”、中括号“[ ]”、小括号“（ ）”以及比较少用的括线“─”。此外，还有六角括号“〔〕”、尖括号“<>”和方头括号“【】”等形式。圆括号一、对前边的话加以解释解释有多种多样的方式，可以就问题的任何一个方面加以分析阐明。例如：(1)鱼儿只能在海（即水）里游，鸟儿只能在天（即大气）上飞。（张炳元《鸟飞鱼跃的联想》）(2)江姐叫江竹筠（yún）。（小学语文《江姐》）(3)戏曲注明折数和出（齿句）名，章回小说注明回数。（《汉语大字典·凡例》）(4)辛寨村（音）村长王正贵（音）说，自南昆铁路建成以来，该村年人均收入增长了50﹪，达到1200元人民币。（《参考消息》1998.7.25）(5)他（林将军）嚼着馒头，倚着沙滩，向大坝看去。（叶圣陶《〈普通劳动者〉是一篇很好的小说》）(6)《四库全书》于乾隆三十七年（1772）开始修纂，十年之后，于乾隆四十七年（1782）年完成。（中国历史文献研究会《古籍整理论文集》）(7)据《史记·匈奴传》所载，赵国的长城东起于代（今河北宣化境内），中间经过山西北部，西北折入阴山，至高阙（今乌拉山与狼山之间的缺口）为止。（翦伯赞《内蒙访古》）(8)在调查研究的基础上，我们草拟了《关于职高语文教材编写的思考与设想》（以下简称《思考与设想》）。（职高《语文》出版说明）(9)亚太经合组织（APEC）是我国积极参加的最重要区域经济合作论坛之一。（《光明日报》1999.1.20）例(1)用“即水”和“即大气”解释“海”和“天”在句中的含义。例(2)用拼音“y"n”注释“筠”字的读音。例(3)用“出”注出“齿句”字的繁体。例(4)“音”表示前面的村名和村长名是音译。例(5)“林将军”注释“他”指什么人。例(6)用公元纪年注释帝王纪年。例(7)用今地名解释古地名的位置。例(8)在括号内交待篇名的简称。例(9)在括号内写出“亚太经合组织”的英语缩写名称。二、对有关内容补充说明(1)正在紧张施工的京广铁路武（汉）广（州）段……也取得了新的进展。（《光明日报》1999.1.5）(2)弈秋，通国之善弈者也。【译文】弈秋是（当时）全国围棋下得最好的。（小学语文《学弈》）(3)南方古猿的……脑量（450—650毫升）高于一般化石猿类和现代类人猿。（李四光《人类的出现》）(4)这一带在古代就是一个“少草木，多大沙”（《汉书·匈奴传》）的地方。（翦伯赞《内蒙访古》）(5)哀的美顿（书） 最后通牒（刘正琰等编《汉语外来语词典》）(6)齐仰之 （看表）还有两分半钟了。（齐仰之请陈毅坐下。）（沙叶新《陈毅市长》）(7)我们有力量打破这个黑暗，争到光明！我们的光明，就是反动派的末日！（热烈的鼓掌）（闻一多《最后一次讲演》）(8)……（下转第23页）（上接第30页）……例(1)括号内的字补足前面地名的简称。例(2)用括号标明“当时”二字是译文加上去的，原文在字面上没有。例(3)在括号内的补充说明南方古猿的脑量。例(4)在括号内交待引文出处。例(5)表示括号内的“书”字可以补充到前面的标目中去。例(6)剧本对话在括号内提示人物的动作情态。例(7)“热烈的鼓掌”作为插入语表示听众对讲话的反应。例(8)在括号内交待文章转接的页码，还有分期连载的文章在文末加“（待续）”等都属于正文之外的补充说明的话。三、括出序次语用圆括号括出序次语有（一）（二）（三）、（甲）（乙）（丙）、（1）（2）（3）、1）2）3）等多种形式，通常成对使用，有时只用后括号。例如：(1)思想有三个条件：（一）事理，（二）心理，（三）伦理；言语也有三个条件：（一）声音，（二）声音的记号——文字，（三）声音和声音连接关系——文法。（《陈望道语文论集》）(2)回答下列问题：(1)铍是属于下列元素中哪一类元素？1）卤族元素，2）碱金属元素，3）惰性元素，4）碱土金属元素，5）稀土元素。(2)在下列元素中，哪种元素的气态氢化物溶于水显酸性？1）S， 2）C， 3）Si， 4) N， 5) P 。（《化学复习与题解》）四、数学用法括号（bracket）是用来规定运算次序的符号。最早出现的括号是小括号“（ ）”，于1544年出现。直至17世纪，中括号“[ ]”才出现于英国瓦里斯﹝1616─1703﹞的著作中，至于括线则由1591年韦达﹝1540─1603﹞首先采用，而大括号“{ }”则约在1593年由韦达首先引入，主要用来表示一个数的集合；至1629年，荷兰的基拉德采用了全部括号，18世纪后开始在世界通用。随着数学学习的深入，所有的括号都可以用“（ ）”代替，这样看起来方便，又可以避免造成括号样式过少的情况。在初等数论中，用来表示最大公约数，如（111,148）=37方括号方括号“[]”，又可称正方括号。用来标示行文中的补缺或订误、国际音标、参考文献等。一、用于补缺或订误(1)茬子，味辛辣，无[毒]。（《草药方书》盛唐抄本）(2)所举的例证有司马迁“成《史记》百三十篇，并自抄正副两册，一藏京师，一藏名山，以待传播于世，他所做的虽[显？]然不仅是写作”（《出版发行研究》1995年3期45页）。（《编辑学刊》1995/6）(3)词语缺漏、意思不完整的例子还有：“249人达国家二级以上运动员[的标准]”“连然建筑公司负责的建筑工程全部达到优良[的标准]”。“于是发生了本文开头的那封信[所反映的问题]”。（中国出版科学研究所编《书报刊文字差错评析》）*(4)此外，《简牍概述》一书还对该简和汉代的庸贾作了如下的推算：“如库卒之奉，当时每月最多三百钱，每年则仅有三千六百钱，须（需）要八年，方有二万九千钱。本简一次雇价，就有此数。爵位与赵勤（勋）同为大夫的武便（哽）何以有此巨资？……”例(1)抄本整理者用方括号补出原件所缺的“毒”字。例(2)引者在方括号内注明引文的“虽”字疑是“显”字之误。例(3)方括号内的文字是评论者认为不完整的句子缺漏的词语。例(4)圆括号内的字看来是引者所加，用来订正前面的引文错字，改用方括号更符合常规用法。现代作品的原著也可能有作者用圆括号加的注释，夹在文中的引者注或编者注要设法区别于原作者著。《汉语大词典》在《凡例》中说该书的做法是：“校订引证原著的脱误，用方括号标明。”二、用于标注国际音标国际音标多采用拉丁字母印刷体小写形式，有的在形体上略加变通或带附加符号，一律外加方括号以表示它是音标，不是字母。例如：(1)北京话能做介音的因素有[i]、[u]、[y]三个……（罗常培、王均《普通语音学纲要》）(2)舌面元音在各种语言中使用得很广泛，其中八个是基本元音，又称标准元音，它们是：[ i ] [ e ] [ε] [a] [α] [ C] [o] [u](张志公主编《现代汉语》)三、在辞书中用于字头后的注音(1)佩[pèi]《广韵》蒲味切，去队，并](2)夯[hāng]《字汇》呼朗切]以上两例摘自《汉语大词典》。按照该书的体例，字头后用方括号依次标注现代音与古音，古音用反切标注。四、在辞书中用来注明词源(1)[佛陀]佛教徒称释迦牟尼。简称佛。[梵buddha]（《现代汉语词典》）(2)tea…1.【植】茶2.茶叶……[《Chin.闽南语茶》（《英汉大词典》）六角括号一、在引文内增补词语，使前后文义贯通(1)又如“信”，古代只指送信的人，现代的信古代叫“书”，《世说新语》：“俄而谢玄淮上信至，〔谢安〕看书竟，默默无言”，“信”和“书”的分别是很清楚的。（吕叔湘《语言的演变》）(2)《论语·公冶长》：“〔子贡〕对曰：‘赐（子贡）夜，何敢望回（颜回）？回也，闻一以知十；赐也，闻一以知二"。”（《汉语大词典》第1卷第1页）例(1)“谢安”是引者补出的人名，否则读者不清楚引文中所讲的看书认识谁。从例(2)可以看出《汉语大词典》的处理办法是：补出的词语用六角括号，如“〔子贡〕”；解释性的词语用圆括号，如“（子贡）”和“（颜回）”。二、用于公文字号国 务 院 办 公 厅 文 件国办发〔1993〕81号——————————————国务院办公厅关于发布《国家行政机关公文处理办法》的通知…………括号前是发文机关，括号内的“1993”是发文年份，其后是发文的顺序号。标示年份除用六角括号外，有时也用方括号。三、在脚注中表明被注解的词语(1)﹝寻﹞古代八尺为寻。（王安石《登飞来峰》注释）(2)﹝不畏浮云遮望眼，自缘身在最高层﹞古人常用浮云遮日比喻奸邪进谗言蒙蔽皇帝，陷害贤臣。这里表示自己站得高，看得远，不怕阻挠。（同上）四、标明作者的国籍或所属的朝代(1)《世界史纲》﹝英﹞赫·乔·韦尔斯著《林肯传》﹝美﹞卡尔·桑德堡著(2)忆秦娥﹝唐﹞李白渔家傲﹝宋﹞范仲淹（初中课本《语文》）例(1)在原书封面和扉页上用六角括号标明作者的国籍。例(2)在课本标题下用六角括号标明作者所属朝代。五、用于注释的序号[2] 在群众组织上，忽视军队士兵会的组织和对地方工农群众的组织。注 释〔1〕见本卷《井冈山的斗争》注﹝5﹞（《毛泽东选集》第2版第1卷第86、95页）其他方头括号“【】”常用来标示工具书的条目。

      1、双击电脑桌面的WPS软件打开。      2、左上角点击“文件”——“新建”一份文档。      3、在“插入”工具栏找到“形状”命令并点击。      4、找到大括号并点击。      5、在新建文档中绘制大括号形状。      6、选中大括号找到工具栏的“旋转”。      7、点击“向右旋转90度”即可。      8、效果如图。

1、P键右面的就是【】按shift键打出来是这个大括号{ }。 2、在“工具/自动更正选项/自动更正/替换/输入任意字符如111/替换为/用CTRL+V方法将〔〕粘贴过来/添加/确定”，即把111定义为〔〕。 3、在Word行文需要处，输入111,回车或点空挡键，即可输入〔〕。 4、在键盘点Caps Lock键，再点中括弧键就是[],而不是【】。

大于的关系。小括号在左为大于，在右则为小于。以（1，2】为例，意思为：大于1，小于等于2。括号分为大括号、中括号和小括号。1、大括号：一种记号，用来连接需要一起考虑的、相等的或成对的单词或项目更多，或者围起从中只选取一个的那些项目；数学中作为集合的一对符号之一。2、中括号又称方括号，常成对使用。中括号是一种记号，用以连接需一起考虑的、相等的或成对的单词或项目，或者围起从中只选取一个的那些项目。3、小括号，是数学运算符号，也是标点符号等。作用是：对前边的话加以解释；对有关内容补充说明；括出序次语。

工具/材料：Microsoft Office Word2016版，Word文档。1、首先选中Word文档，双击打开。2、然后在该界面中，点击工具栏里的“插入”选项。3、其次在该界面中，点击工具栏里的“公式”按钮。4、然后在该界面中，点击工具栏里的“括号”按钮。5、其次在该界面中，点击“方括号”里的“大括号”选项。 6、最后在该界面中，成功显示结果。

　　一、普通输入大括号 　　1.Shift+中/大括号键(一般都在字母P键的右边)如果是英文大括号{}就选择英文输入法，中文的大括号{｝就切换成中文输入法。 　　2.智能输入法 　　现在的只能输入法，只要你输入拼音 “dakuohao”，就会出现左大括号和右大括号。 　　二.word中输入大大括号 　　如果大括号里要包含的内容非常多，上面所提到的普通大括号已经不能满足您的要求，那么就需要其他方法了。 　　1.word插入图形 　　下面是利用普通输入方法和word插入大括号的对比哦。 　　另外word插入的大括号还可以调整大小哦，所以有这方面需要的同学可以利用这种方法哦! 　　拓展：word应用快捷方法 　　在Word中快速输入带圈数字 　　Word2000/2002中提供的带圈数字，其实就是一种域，利用更新域的方法快速输入带圈数字时，先单击菜单中的“插入/数字”项，在弹出的“数字”项下输入要插入的数字(如“1”)，在“数字类型”中选择带圈数字样式，单击确定即可。随后选中该带圈数字，按下Ctrl键，同时拖动鼠标至需要插入下一个带圈数字的地方，这时此处又被复制了一个“①”，选中该带圈数字，单击右键选择“切换代码”命令，这时我们看到该“①”被变成了“{=1*GB3}”代码(此代码手工输入无效)。随后将代码中的1改为2，选中该代码，单击右键菜单中的“更新域”命令，这时我们看到该代码己经变成②，按照此方法我们可以插入其他的带圈数字。 　　让Word文档“原文重现” 　　如果你在Word2000/2002中使用了特殊字体，在转寄给别人时，如果对方的电脑中未安装该字体，则根本看不到文件内的特殊字体或者出现错误提示。此时最好的解决方式就是使用字体嵌入功能：选择“工具”菜单下的“选项”命令，切换到“保存”标签，勾选“嵌入TrueType字体”，单击“确定”，即可让Word文档在对方的电脑里“原文重现”。 　　用F4键重复输入字符和图形 　　在Word2000/2002中刚输完一个字后，只要按下F4键即可重复输入这个字，继续按下F4键又可重复输入这个字，按多少次就重复输入多少次。如果刚输入一个词组，现在又要再输入这个词组时，同样按下F4键就行了。对于插入的特殊符号也是一样，在刚插入的特殊符号后，接着按下F4键，又一个同样的特殊符号就插入进来了。要补充说明的是：重复输入也不一定是紧接着这个字或词组的后面，用鼠标在文本中选择不同的插入点后再按F4键，就会在新的"插入点处重复输入这些字符了。不仅对字符输入是这样，对于图形输入同样有效。例如我们在Word中用绘图工具栏画一个椭圆，如果要继续画一个同样的椭圆，也只要接着按一下F4键，又一个同样的椭圆就画出来了。对插入“自选图形”也同样都可以实现。 　　在多个Word文档中自由切换 　　以Word2002为例，在“工具”菜单下选择“自定义”，在弹出的对话框中选择“命令”，然后在左边的“类别”中选择“所有命令”。接下来我们从右边的命令列中找到“WindowList”，选中它，用鼠标按住不放拖出来放到任意一个工具栏上，然后关闭对话框。这时候你就会发现多了一个“其他窗口”的按钮，现在你按一下按钮激活它，看看弹出的小窗口里是否包含了你所有打开的文档名。双击你想要切换的文件，再也不用一个一个按顺序找了，方便多了吧？ 　　在Word中创建自动翻页功能 　　Word2002有自动翻页功能，可根据需要调整翻页速度，设定该功能后，只需点击一下鼠标，便可对文本自动翻页。方法是：在菜单栏中选择“工具/自定义”，弹出自定义对话框后，选择“命令”选项，在“类别”栏中选择“所有命令”，然后在“命令”框中用鼠标点击“AutoScroll”，并拖到工具栏上，于是工具栏上就多了一个“自动滚动”按钮。使用它时只需打开一个文本，然后点击“自动滚动”按钮，此时鼠标在文本的右侧滚动条区域会变成一个倒立的黑三角，将黑三角移动到滚动条的上部则文本自动向上滚动，移动到下半部文本则自动向下滚动，放到中部则暂停翻页。“黑三角”越靠近滚动条的两端，文本滚动的速度越快。另外，在滚动条上有一个随文本一起移动的“方框”，随时告知你文本显示的进度。点击鼠标左键，便自动返回到编辑状态；再次点击“自动滚动”按钮，则继续浏览文本。 　　快速将网页中的图片插入到Word文档中 　　在编辑Word文档时，需要将一张网页中正在显示的图片插入到文档中，一般的方法是把网页另存为“Web页，全部(*.htm；*.html)”格式，然后通过Word的“插入/图片/来自文件..”菜单把图片插入到文档中，这种方法虽然可行，但操作有些麻烦。现在告诉你一种简易可行的方法。将Word的窗口调小一点，使Word窗口和网页窗口并列在屏幕上，然后用鼠标在网页中点击你需要插入到Word文档中的那幅图片不放，直接把它拖曳至Word文档中，松开鼠标按键，此时可见图片已经插入到Word文档中了。需要注意的是，此方法只适合没有链接的JPG、GIF格式图片。

品牌型号：Dell optiplex 7050,MacBook Pro 系统版本：Windows 10,MacOS Monterey 12.4 软件版本：WPS Office11.1.0.11744 Windows电脑、mac电脑都可以使用快捷键“shift+{}”或借助WPS中的符号打出大括号。本文共分享三个方法，以下为使用Windows电脑快捷键打出大括号的方法步骤： 方法一：使用Windows电脑快捷键 1 打开空白文档 首先在Windows电脑中打开一份空白文档。 2 按下shift+{} 然后按下电脑键盘“shift+{}”。 3 在电脑中打出大括号 这样即可在电脑中打出大括号。 END 方法二：使用mac电脑快捷键 1 打开空白文档 首先在mac电脑中打开一份空白文档。 2 按下shift+{} 然后按下电脑键盘“shift+{}”。 3 在电脑中打出大括号 这样即可在电脑中打出大括号。 END 方法三：借助WPS 1 打开文档点击符号 在WPS中打开文档，点击“插入”下的符号。 2 点击大括号 在符号下级菜单中，选中并点击大括号。 3 在电脑中打出大括号 这样即可在电脑中打出大括号。 END