勾股数是什么意思？有哪些勾股数？

直角三角形勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。定理意义：勾股定理的证明是论证几何的发端。勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理。勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解。勾股定理是历史上第一个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理。以上内容参考：百度百科-勾股定理

直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,则a方+b方=c方

商高定理 商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作 《周髀 算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的勾股定理. 关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说："故禹之所以治天下者，此数之所由生也。""此数"指的是"勾三股四弦五"，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。 毕达哥拉斯定理 Pythagoras" theorem 在国外，相传勾股定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。因此又称此定理为“毕达哥拉斯定理”。法国和比利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为“埃及三角形”等。但他们发现的时间都比我国要迟得多。 赵爽与勾股定理 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。” 伽菲尔德与勾股定理 总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的； 在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种： 1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ... 这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如： n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如： n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65)勾股数 凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。 ①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。 ②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。 ③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。 设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整数解。 例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。 再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。 观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点： 1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。 2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与另两边的和。 掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。 例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？ 用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。 用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。 勾股数的通项公式： 题目：已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数，求a,b,c满足的条件. 解答： 结论1：从题目中可以看出,a+b>c （1）,联想到三角形的成立条件容易得出。 结论2：a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) （2） 从（2）中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质，令X=c+b,Y=c-b 所以：a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) （3） 首先将Y做分解，设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 （4） 又（3）式可知a^2=X*n*m^2 （5） 比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子，否则与（4）中的最大平方数矛盾。 同理可知a^2=Y*n"*m"^2 （6），X=n"*m"^2,且 n"为不相同素数的乘积 将（5）式与（6）式相乘得a^2=(m*m")^2*n"*n,（n,n"为不相同素数的乘积） （7） 根据（7）知n*n"仍然为平方数，又由于n",n均为不相同素数乘积知n=n"(自行证明，比较简单） 可知a=m"*m*n c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m"^2)/2=n*(m^2+m"^2)/2 b=(X-Y)/2=n*(m"^2-m^2)/2 a=m*n*m" 勾股数的常用套路 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种： 1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ... 这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如： n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如： n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65)

　勾股定理:　　在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（PythagorasTheorem）。是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

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中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：    周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”    商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩"得到的一条直角边‘勾"等于3，另一条直角边‘股"等于4的时候，那么它的斜边‘弦"就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”    从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图所示，我们图1 直角三角形 用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可得：勾2+股2=弦2 亦即：a2+b2=c2     勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。    在稍后一点的《九章算术一书》中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，即为：弦=（勾2+股2）(1/2) 亦即：c=（a2+b2）(1/2)     中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：4×（ab/2）+（b-a）2=c2 化简后便可得：a2+b2=c2 亦即：c=（a2+b2）(1/2)图2  勾股圆方图     赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。    中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”勾股定理证明评鉴作者：梁子杰勾股定理（又叫「毕氏定理」）说：「在一个直角三角形中，斜边边长的平方等於两条直角边边长平方之和。」据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！我觉得，证明多，固然是表示这个定理十分重要，因而有很多人对它作出研究；但证明多，同时令人眼花缭乱，亦未能够一针见血地反映出定理本身和证明中的数学意义。故此，我在这篇文章中，为大家选出了 7 个我认为重要的证明，和大家一起分析和欣赏这些证明的特色，与及认识它们的历史背境。证明一图一在图一中，D ABC 为一直角三角形，其中 Ð A 为直角。我们在边 AB、BC 和 AC 之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。过 A 点画一直线 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L，交 BC 於 M。不难证明，D FBC 全等於 D ABD（S.A.S.）。所以正方形 ABFG 的面积 = 2 ´ D FBC 的面积 = 2 ´ D ABD 的面积 = 长方形 BMLD 的面积。类似地，正方形 ACKH 的面积 = 长方形 MCEL 的面积。即正方形 BCED 的面积 = 正方形 ABFG 的面积 + 正方形 ACKH 的面积，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。由此证实了勾股定理。这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以 ML 将正方形分成 BMLD 和 MCEL 的两个部分！这个证明的另一个重要意义，是在於它的出处。这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。欧几里得（Euclid of Alexandria）约生於公元前 325 年，卒於约公元前 265 年。他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。而书中的第一卷命题 47，就记载著以上的一个对勾股定理的证明。证明二图二图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。设直角三角形的斜边长度为 c，其余两边的长度为 a 和 b，则由於大正方形的面积应该等於 4 个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有 (a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2 展开得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2 化简得 a2 + b2 = c2 由此得知勾股定理成立。证明二可以算是一个非常直接了当的证明。最有趣的是，如果我们将图中的直角三角形翻转，拼成以下的图三，我们依然可以利用相类似的手法去证明勾股定理，方法如下：图三由面积计算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b - a)2 展开得  = 2ab + b2 - 2ab + a2 化简得 c2 = a2 + b2（定理得证） 图三的另一个重要意义是，这证明最先是由一个中国人提出的！据记载，这是出自三国时代（即约公元 3 世纪的时候）吴国的赵爽。赵爽为《周髀算经》作注释时，在书中加入了一幅他称为「勾股圆方图」（或「弦图」）的插图，亦即是上面图三的图形了。证明三图四图四一共画出了两个绿色的全等的直角三角形和一个浅黄色的等腰直角三角形。不难看出，整个图就变成一个梯形。利用梯形面积公式，我们得到∶ 1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2 展开得 1/2 a2 + ab + 1/2 b2 = ab + 1/2 c2 化简得 a2 + b2 = c2（定理得证） 有一些书本对证明三十分推祟，这是由於这个证明是出自一位美国总统之手！在 1881 年，加菲（James A. Garfield； 1831 - 1881）当选成为美国第 20 任总统，可惜在当选后 5 个月，就遭行刺身亡。至於勾股定理的有关证明，是他在 1876 年提出的。我个人觉得证明三并没有甚麼优胜之处，它其实和证明二一样，只不过它将证明二中的图形切开一半罢了！更何况，我不觉得梯形面积公式比正方形面积公式简单！又，如果从一个老师的角度来看，证明二和证明三都有一个共同的缺点，它就是需要到恒等式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 了。虽然这个恒等式一般都包括在中二的课程之中，但有很多学生都未能完全掌握，由於以上两个证明都使用了它，往往在教学上会出现学生不明白和跟不上等问题。证明四   (a) (b) (c) 图五证明四是这样做的：如图五(a)，我们先画一个直角三角形，然后在最短的直角边旁向三角形那一边加上一个正方形，为了清楚起见，以红色表示。又在另一条直角边下面加上另一个正方形，以蓝色表示。接著，以斜边的长度画一个正方形，如图五(b)。我们打算证明红色和蓝色两个正方形面积之和，刚好等於以斜边画出来的正方形面积。留意在图五(b)中，当加入斜边的正方形后，红色和蓝色有部分的地方超出了斜边正方形的范围。现在我将超出范围的部分分别以黄色、紫色和绿色表示出来。同时，在斜边正方形内，却有一些部分未曾填上颜色。现在依照图五(c)的方法，将超出范围的三角形，移入未有填色的地方。我们发现，超出范围的部分刚好填满未曾填色的地方！由此我们发现，图五(a)中，红色和蓝色两部分面积之和，必定等於图五(c)中斜边正方形的面积。由此，我们就证实了勾股定理。这个证明是由三国时代魏国的数学家刘徽所提出的。在魏景元四年（即公元 263 年），刘徽为古籍《九章算术》作注释。在注释中，他画了一幅像图五(b)中的图形来证明勾股定理。由於他在图中以「青出」、「朱出」表示黄、紫、绿三个部分，又以「青入」、「朱入」解释如何将斜边正方形的空白部分填满，所以后世数学家都称这图为「青朱入出图」。亦有人用「出入相补」这一词来表示这个证明的原理。在历史上，以「出入相补」的原理证明勾股定理的，不只刘徽一人，例如在印度、在阿拉伯世界、甚至乎在欧洲，都有出现过类似的证明，只不过他们所绘的图，在外表上，或许会和刘徽的图有些少分别。下面的图六，就是将图五(b)和图五(c)两图结合出来的。留意我经已将小正方形重新画在三角形的外面。看一看图六，我们曾经见过类似的图形吗？图六其实图六不就是图一吗？它只不过是将图一从另一个角度画出罢了。当然，当中分割正方形的方法就有所不同。顺带一提，证明四比之前的证明有一个很明显的分别，证明四没有计算的部分，整个证明就是单靠移动几块图形而得出。我不知道大家是否接受这些没有任何计算步骤的「证明」，不过，我自己就非常喜欢这些「无字证明」了。图七在多种「无字证明」中，我最喜欢的有两个。图七是其中之一。做法是将一条垂直线和一条水平线，将较大直角边的正方形分成 4 分。之后依照图七中的颜色，将两个直角边的正方形填入斜边正方形之中，便可完成定理的证明。事实上，以类似的「拼图」方式所做的证明非常之多，但在这裏就未有打算将它们一一尽录了。另一个「无字证明」，可以算是最巧妙和最简单的，方法如下：证明五  (a) (b) 图八图八(a)和图二一样，都是在一个大正方形中，放置了4个直角三角形。留意图中浅黄色部分的面积等於 c2。现在我们将图八(a)中的 4 个直角三角形移位，成为图八(b)。明显，图八(b)中两个浅黄色正方形的面积之和应该是 a2 + b2。但由於(a)、(b)两图中的大正方形不变，4 个直角三角形亦相等，所以余下两个浅黄色部的面积亦应该相等，因此我们就得到 a2 + b2 = c2，亦即是证明了勾股定理。对於这个证明的出处，有很多说法：有人说是出自中国古代的数学书；有人相信当年毕达哥拉斯就是做出了这个证明，因而宰杀了一百头牛来庆祝。总之，我觉得这是众多证明之中，最简单和最快的一个证明了。不要看轻这个证明，它其实包含著另一个意义，并不是每一个人都容易察觉的。我现在将上面两个图「压扁」，成为图九：  (a) (b) 图九图九(a)中间的浅黄色部分是一个平行四边形，它的面积可以用以下算式求得：mn sin(a + b)，其中 m 和 n 分别是两个直角三角形斜边的长度。而图九(b)中的浅黄色部分是两个长方形，其面积之和是：(m cos a)(n sin b) + (m sin a)(n cos b)。正如上面一样，(a)、(b)两图浅黄色部分的面积是相等的，所以将两式结合并消去共有的倍数，我们得：sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a，这就是三角学中最重要的复角公式！原来勾股定理和这条复角公式是来自相同的证明的！在证明二中，当介绍完展开 (a + b)2 的方法之后，我提出了赵爽的「弦图」，这是一个展开 (a - b)2 的方法。而证明五亦有一个相似的情况，在这裏，我们除了一个类似 (a + b) 的「无字证明」外，我们亦有一个类似   (a - b) 的「无字证明」。这方法是由印度数学家婆什迦罗（Bhaskara; 1114 - 1185）提出的，见图十。  (a) (b) 图十证明六图十一图十一中， 我们将中间的直角三角形 ABC 以 CD 分成两部分，其中 Ð C 为直角，D 位於 AB 之上并且 CD ^ AB。设 a = CB，b = AC，c = AB，x = BD，y = AD。留意图中的三个三角形都是互相相似的，并且 D DBC ~ D CBA ~ D DCA，所以  =  和  =  由此得 a2 = cx 和 b2 = cy 将两式结合，得   a2 + b2 = cx + cy = c(x + y) =  c2。定理得证。证明六可以说是很特别的，因为它是本文所有证明中，唯一一个证明没有使用到面积的概念。我相信在一些旧版的教科书中，也曾使用过证明六作为勾股定理的证明。不过由於这个证明需要相似三角形的概念，而且又要将两个三角形翻来覆去，相当复杂，到今天已很少教科书采用，似乎已被人们日渐淡忘了！可是，如果大家细心地想想，又会发现这个证明其实和证明一（即欧几里得的证明）没有分别！虽然这个证明没有提及面积，但 a2 = cx 其实就是表示 BC 上正方形的面积等於由 AB 和 BD 两边所组成的长方形的面积，这亦即是图一中黄色的部分。类似地，b2 = cy 亦即是图一中深绿色的部分。由此看来，两个证明都是依据相同的原理做出来的！证明七   (a) (b) (c) 图十二在图十二(a)中，我们暂时未知道三个正方形面积之间有甚麼直接的关系，但由於两个相似图形面积之比等於它们对应边之比的平方，而任何正方形都相似，所以我们知道面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2。不过，细心地想想就会发现，上面的推论中，「正方形」的要求是多余的，其实只要是一个相似的图形，例如图十二(b)中的半圆，或者是图十二(c)中的古怪形状，只要它们互相相似，那麼面积 I : 面积 II : 面积 III 就必等於 a2 : b2 : c2了！在芸芸众多的相似图形中，最有用的，莫过於与原本三角形相似的直角三角形了。  (a) (b) 图十三在图十三(a)中，我在中间的直角三角形三边上分别画上三个和中间三角形相似的直角三角形。留意：第 III 部分其实和原本三角形一样大，所以面积亦相等；如果我们从三角形直角的顶点引一条垂直线至斜边，将中间的三角形分成两分，那麼我们会发现图十三(a)的面积 I 刚好等於中间三角形左边的面积，而面积 II 亦刚好等於右边的面积。由图十三(b)可以知道：面积 I + 面积 II = 面积 III。与此同时，由於面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2，所以 a2 + b2 = c2。七个证明之中，我认为这一个的布局最为巧妙，所用的数学技巧亦精彩。可惜对一个初中学生而言，这个证明就比较难掌握了。我不太清楚这个证明的出处。我第一次认识这个证明，是在大学时候，一位同学从图书馆看到这个证明后告诉我的。由於印象深刻，所以到了今天仍依然记忆犹新。欧几里得《几何原本》的第六卷命题 31 是这样写的：「在直角三角形中，对直角的边上所作的图形等於夹直角边上所作与前图相似且有相似位置的二图形之和。」我估计，相信想出证明七的人，应该曾经参考过这一个命题。2001 年 8 月 13 日2002 年 5 月 27 日（加添证明六的注释） 子吉注曰：2001 年 6 月，本人获教育署数学组之邀请，在一个就著新数学课程而举办的研讨会中，以「勾股定理证明评鉴」为题，发表了约半小时的演讲。本文就是依照当日的讲稿改写而成的。在演讲中，亦有使用演示软件辅助讲解，读者如对该简报档有兴趣，可按下面的连结下载。下载简报档：勾股定理证明评鉴（188 KB ppt 档）阅后回应

3 ，4 ， 55 ，12 ，137 ，24 ， 259 ，40 ，4111，60 ，61……2n+1，2n²+2n ，2n²+2n+1看一组数是否为勾股数，首先除去最大公约数，再看较大的两个数是否相差1，且较大的两数之和是最小数的平方。例如：39，252，255，首先除去最大公约数3，变成13，84，85，再看较大的两个数84，85相差1，且84，85之和是169恰好是最小数13的平方，因此39，252，255是一组勾股数。勾股数又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（a²+b²=c²）扩展资料：公式a=m，b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2 ①其中m ≥3⒈ 当m确定为任意一个 ≥3的奇数时，k={1，m^2的所有小于m的因子}⒉ 当m确定为任意一个 ≥4的偶数时，k={m^2 / 2的所有小于m的偶数因子}基本勾股数与派生勾股数可以由完全一并求出。例如，当m确定为偶数432时，因为k={432^2 / 2的所有小于432的偶数因子}= {2，4，6，8，12，16，18，24，32，36，48，54，64，72，96，108，128，144，162，192，216，288，324，384}。将m=432及24组不同k值分别代入b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2；即得直角边a=432时，具有24组不同的另一直角边b和斜边c，基本勾股数与派生勾股数一并求出。而勾股数的组数也有公式能直接得到。算术基本定理：一个大于1的正整数n，如果它的标准分解式为n=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，那么它的正因数个数为N=(m1+1)×(m2+1)×……×(mr+1)；依据定理，易得以下结论：当a给定时，不同勾股数组a，b，c的组数N等于①式中k的可取值个数。⒈ 取奇数a=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={1，a^2的所有小于a的因子}，则k的可取值个数：N=[(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2⒉ 取偶数a=2^m0×p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={a^2 / 2的所有小于a的偶数因子}，则k的可取值个数：N=[(2m0－1)×(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2其中，p1，p2，……，pr为互不相同的奇素数，m0，m1，……，mr为幂指数。参考资料：百度百科——勾股数

勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。《周髀算经》中，赵爽描述此图：“勾股各自乘，并之为玄实。开方除之，即玄。案玄图有可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实亦成玄实。以差实减玄实，半其余。以差为从法，开方除之，复得勾矣。加差于勾即股。凡并勾股之实，即成玄实。或矩于内，或方于外。

直角边短边为勾，长边为股下为勾和股的由来：《周髀算经》中勾股定理的公式与证明 《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。 首先，《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（《周髀算经》上卷二） 而勾股定理的证明呢，就在《周髀算经》上卷一[2] —— 昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？” 商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。” 周公对古代伏羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。 《周髀算经》证明步骤“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”：解释发展脉络——数之法出于圆（圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）。 “故折矩①，以为句广三，股修四，径隅五。”：开始做图——选择一个 勾三（圆周率三）、股四（四方） 的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。 “②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有 边长三勾方、边长四股方、边长五弦方 三个正方形。 “两矩共长③二十有五，是谓积矩。”：此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是 大正方形 减去 右上、左下两个长方形面积后为 勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出 四个三角形面积 等于 右上、左下两个长方形面积，所以 勾方+股方=弦方。

1、常用的勾股数有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41等等。 2、勾股数，又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股数的依据是勾股定理。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。 3、勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。

3 4 55 12 137 24 25 设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a^2+b^2=c^2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2，求出正整数解。 例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。 例二 再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。 观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点： 1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。 2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。

此图说明一切。

一个函数称为满射:如果每个可能的像至少有一个变量映射其上(即像集合B中的每个元素在A中都有一个或一个以上的原像)，或者说值域任何元素都有至少有一个变量与之对应。形式化的定义如下：若函数为满射，则对任意b，存在a满足f(a) = b。将一个满射的陪域中每个元素的原像集看作一个等价类，我们可以得到以该等价类组成的集合（原定义域的商集）为定义域的一个双射。换句话说，满射，意思就在满射里，X经过F到Y中时，Y正好都在X中有原像，Y中没有富余或者多出来的像。http://baike.baidu.com/link?url=yy--aA3tYEvNG9nCmCLsXrqMcY9vrrvE6hIDAA415MvYzTR4eow4x_uqGGyn1CPl

集合A={1,2,3,4},B={1,2,3}f:A-->B映射。满射：就是B中的每个元素都有原象 比如f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,f(4)=1这是满射，但不是单射，因为1有两个原象 1，4集合A={1,2,3},B={1,2,3，4}f:A-->B映射。单射： 就是B中元素若有原象，则只有一个原象,可以有元素没有原象。 比如f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,这是单射，但不是满射，显然，4没有原象既是单射又是满射，称为双射，要求B中的每个元素都有唯一的原象。此时A，B中元素基数（可理解为个数）相等集合A={1,2,3},B={1,2,3}f:A-->B映射 如f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3这是双射，既是单射又是满射

线性变换对应的矩阵满秩

正确的，函数是满射哦，y都有原像

f: A到B 是满射的证明只需要证，任取一个b属于B，都存在a属于A使得f(a)=b就可以了

满射，首先满足映射的定义。即对于一个对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一一个元素与之对应。则我们把这种对应关系称为映射。A中元素称为原象，B中元素称为象。满射是在映射的基础上多加了一个条件，即集合B中的每一个元素都有原象，也即B中的元素没有剩余。

该题结论不对,若g.f是满射的,则g是满射,不能得f是满射.如A={1,2},B={a,b,c},C={5,6}, f:A->B,f(1)=a,f(2)=b, g:B->C,g(a)=5,g(b)=6,g(c)=6, g.f(1)=g(a)=5,g.f(2)=g(b)=6,显然复合函数g.f是满射的,但f不是满射.

上面回答非常清楚从A到B的一个函数y=f(x)，则定义域一定是A，但值域只是B的子集

g*f是满射就是说，对任意的z属于C，存在x属于A，使得(g*f)x=g[f(x)]=z，由于f(x)=y属于B，因此有对任意的z属于C，存在y属于B使得g(y)=z，也就是g是满射。

问一下这个不是隐含着y为非负数么

不知道看不看得清，原链接在这证明有限集合到自身的一个满变换也是双射

设全集为A f是满射时f（A）=A 因为g[f（A）]=A所以g（A）=A,因此g是满射 f不是满射时设f（A）=B则BA 而g[f（A）]=A所以g（B）=A所以g（A）A 又因为A是全集所以g（A）A 所以g（A）=A即g是满射

排列组合问题，我不太确定答案我的理解是：因为是满射，所以集合A里必有两个元素对应集合B中某一个元素那么这样的组合有多少呢，显然是6种：即ab.ac.ad.bc.bd.cd这个是有组合公式计算的，不过没公式编辑器，不方便打。把两个组合在一起的东东视为一个元素，所以集合A可以表示为C=（x，y，z）集合C有六种可能集合C与集合B一一映射由排列公式可以得出六种一一映射方法所以，结果是6×6=36

映射比喻成配对吧满射就是一X一Y刚刚配好就是每个X的配唯一的Y，但那个Y可以对应很多个X

证明: 如果f是不是满射,考虑如下集合U,由三个元素组成(a1,a2,a3) 因为f是不是满射,存在a,使得,a不属于f象集． 则考虑,h1:T-->U, h1将f象集映射为a1,将a映射为a2．T中的其他元素的h1的象可以随便定义． h2:T-->U, h2将f象集映射为a1,将a映射为a3．T中的其他元素的h2的象可以随便定义． 则：h1不等于h2但h1·f等于h2·f,这与假设矛盾．原命题得证．

完整的写出来看看撒..感觉是"到上映射"，也就是“满射”，不很确定

不可以。满射：对于任意的b属于Z（值域），则存在x属于Z(定义域)，使得f(x)=b，通俗的说，值域的中的每个值都要被映射，不可以有剩余，如果每个可能的像至少有一个变量映射其上，或者说值域任何元素都有至少有一个变量与之对应，那这个映射就叫做满射。

射是映射的意思，满射就是对于集合a中的任意一元素，b中只有唯一的元素与之对应。单射是指a中的所有元素都只对应于b中的一个或几个元素。逆射是逆映射，反向映射的意思，满射反向就是逆射。反函数是逆射

如果每个可能的像至少有一个变量映射其上(即像集合B中的每个元素在A中都有一个或一个以上的原像)，或者说值域任何元素都有至少有一个变量与之对应，那这个映射就叫做满射。“数集”就是数字的集合，可以是整数、有理数、实数、复数或是它们的一部分等等。“映射”是比函数更广泛一些的数学概念，它就是一个集合到另一个集合的一种确定的对应关系。即，若f是集合A到集合B的一个映射，那么对A中的任何一个元素a，集合B中都存在唯一的元素b与a对应。称a是原像，b是像。写作f: A→B，元素关系就是b = f(a).简介一个映射f: A→B称作“满”的，就是说对B中所有的元素，都存在A中的原象。 在函数的定义中不要求是满射，就是说值域应该是B的子集。（这个定义来源于一般中学中的讲法，实际上许多数学书上并不一定定义函数是满射。）象集中每个元素都有原象的映射称为满射 ：即B中的任意一元素y都是A中的像，则称f为A到B上的满射，强调f(A)=B（B的原象可以多个）。原象集中不同元素的象不同的映射称为单射 ：若A中任意两个不同元素x1≠x2,它们的像f(x1)≠f(x2)，则称f为A到B的单射，强调f(A)是B的子集。

渗透数形结合思想，把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念建构主义认为学生学习活动的本质是：学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。数学意义所指的“意义”是人们一致公认的事物的性质、规律以及事物之间的内在联系，是比较抽象的概念。而“数形结合”能使比较抽象的概念转化为清晰、具体的事物，学生容易掌握和理解。

解绝对值不等式时，我们通常是将绝对值不等式转化成两个一般的不等式来求解集的，在转化时，我们就要用到绝对值的几何意义借助于数轴(这个“形”)来转化；在求得两个一般的不等式的解集后，最终求绝对值不等式的解集时，也要借助于数轴这个“形”来直观的得出其解集，这就是数学上经常用到的“数形结合”的思想；“数形结合”适合所有的绝对值不等式（组）求解集，也适合所有的不等式求解集，不仅如此，在我们所学过的数学知识中，又有多少不是通过“数”与“形”结合来展现获取的呢？

等比数列求和公式如下图，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。注：q=1 时，an为常数列。利用等比数列求和公式可以快速的计算出该数列的和。求和公式推导（1）Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)（2）q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+an+a(n+1)（3）Sn-q*Sn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)（4）a(n+1)=a1*q^n（5）Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1)性质①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq；等比数列的性质②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列；③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2；④ 若G是a、b的等比中项，则G^2=ab（G ≠ 0）；⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.⑥在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为q^k+1⑦数列{An}是等比数列，An=pn+q，则An+K=pn+K也是等比数列，在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 　注意：上述公式中A^n表示A的n次方。 ⑧当数列{an}使各项都为正数的等比数列，数列{lgan}是lgq的等差数列。

一、研究背景：数学是研究客观世界的空间形式与数量关系的科学，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。华罗庚先生指出，数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。数形结合在数学解题中有重要的指导意义，这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，即数量问题和图象性质是可以相互转化的，这不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可以大大开拓我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。长期以来，在教学中数学知识是一条明线，得到数学教师的重视；数学思想方法是一条暗线，容易被教师所忽视。在我们的小学数学教学中，如果教师能有意识地运用数形结合思想来设计教学，那将非常有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。“数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略，对学生来说是一种学习方法，如果长期渗透，运用恰当，则使学生形成良好的数学意识和思想，长期稳固地作用于学生的数学学习生涯中。作为一线教师，如何系统的运用数形结合思想进行数学教学，是我们面临的一个极富实践价值的重要课题。二、研究价值：1、通过组织、实施本课题的研究，提高教师对数形结合思想的理解，加深对教材中数形结合思想的分析能力。能在平时的教学中，时刻注意渗透数形结合思想，提升教师自身的专业素养。2、通过组织、实施本课题的研究，提升学生的思维水平，提高学生应用数形结合思想解决实际问题的能力，以适应未来社会发展的需要。三、研究目标： 1、教师有意识地运用数形结合思想进行教学设计，化抽象为形象，创造性地开发课程资源，有效地提高课堂教学质量。 2、研究“数形结合”在小学数学四至六年级领域中的应用，分阶段、有层次的渗透数形结合思想。 3、通过“数形结合”有效地提高学生学习数学的兴趣，使数形结合成为学生重要的学习方法，能运用数形结合创造性地解决抽象的数学问题。在不断地“探索”与“创造”中构建属于个人的数学思想。四、概念界定：1、数形结合：“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，“数”，属于数学抽象思维范畴，是人的左脑思维的产物；而“形”主要指几何图形，属于形象思维范畴，是人的右脑思维的产物。它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，化难为易，化抽象为直观．使人充分运用左、右脑的思维功能，相互依存、彼此激发，全面、协调、深入发展人的思维能力。2、数形结合思想：所谓数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。主要有以下几种解题思路：（1）以“数”变“形”；（2）以“形”变“数”；（3）“形”“数”互变。3.“渗透”指某种思想方法在某个实践过程中逐渐的渗入利用，这里主要指在小学数学课堂教学中逐步渗透数形结合思想方法。五、研究内容：1、数形结合思想在“数与代数”知识领域中的应用。2、数形结合思想在“空间与图形”知识领域中的应用。3、数形结合思想在“统计与概率”知识领域中的应用。4、数形结合思想在“实践与综合运用”知识领域中的应用。六、研究思路：1、学习查找相关理论资料；2、开始分年级教师进行具体研究；3、在具体的实践中进一步完善研究内容和研究措施；4、最后对研究效果进行提升，形成课题成果报告。七、研究方法：1.调查法：调查当前小学数学教师对数形结合思想在教学中渗透的认识，调查当前学生对数形结合思想来解题的认识状态。2、文献研究法：收集、学习、整理有关渗透数学思想方法以及数形结合思想的相关文献资料并加以分析，以供实验研究。3、案例研究法：选择不同领域的教学内容（数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合运用）中的素材，作为案例进行分析研究，寻求在不同数学学习领域中有效渗透数形结合思想的途径与模式。4、经验总结法：把实验过程中积累的经验加以总结、归纳并在实验过程中加以论证。

依题，点（2cosx,4sinx)都在轨迹方程为：x^2/4+y^2/16=1的椭圆上.（注：消元化参数式为标准方程.根据：sinx^2+cosx^2=1)而所求值域就是椭圆上的点和点（4，-1）连线的斜率。根据图像，很容易知道，两个相切地点就是值域极值点所在。设切线方程为：y+1=k(x-4)与椭圆联立，然后判别式为0.即为：4x^2+[k(x-4)-1]^2=16.<=>(4+k^2)x^2-(8k^2+2k)x+16k^2+8k-15=0.=>[-(8k^2+2k)]^2-4*(4+k^2)(16k^2+8k-15)=0.=>12k^2+8k-15=0.=>(2k+3)(6k-5)=0=>k=-3/2或k=5/6.=>取值范围为[-3/2,5/6].了解：遇到这类题目，通常采用的是数行结合的方法来解答.

1、教学中强调数学结合思想，引导学生体会数形结合作用　　 数形结合使数与形之间巧妙的互换，使看上去比较难的问题简单化、明朗化，因此，在数学教学中教师要有意识地利用数形之间的关系，帮助学生逐步树立起数形相结合的思想方法，培养主动运用数形结合的方法去解题的意识，长期的锻炼可以使得学生将数形结合思想内化为自己的认知结构中去，成为运用自如的思想观念和思维工具，从而提高学生数学修养与解题能力。　　 2、指导学生对数形结合学习方式的运用 　　 在教学过程中，数与形的结合是教师教学、学生学习数学都离不开的思想方法，数与形密切相关，在教学中要让学生寓知识于活动之中，根据图形思考数学语言，帮助记忆；通过数形对照，加深对知识的理解；在解题时，通过与图形的联系，解题往往更容易等等。总之，在教学过程中，合理引导学生运用数形结合来解决问题，把数形结合作为培养学生形象思维能力和逻辑思维能力的途径和方法。在教学中，可以让学生动手、动口，多种感官参加学习，突出形象的感觉、形象的储存、形象的判断、形象的描述和形象的体会，使操作、观察相结合以激发学生多向思维。同时教师应充分利用小学学生的形象思维特点，利用图形来解释、演示、帮助理解抽象的数。数学中的线段图、平面图、立体图等都是通过形来表示数量关系、表示数的含义，这样可以形象地揭示问题的内在关系，明确显示出已知与未知的内在联系，激发学生的解题思路，提高学生的数形转化能力，培养学生形象思维和抽象思维。 3、培养学生运用数形结合的习惯 　　 在小学数学教学中，例如在认识整数、分数、小数的意义以及数的加、减、乘、除的意义及计算时，利用图形线段表示出来进行解释，经过长期的培养和训练，学生可以培养起运用数形结合思想的习惯，从而提高学生的思维能力、分析能力和解决数学问题的能力，不断提高学生的逻辑思维能力和形象思维能力。　

选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数形结合思想，寻找快速思路的空间。但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理，“形”上的直观是不够严密的。趋势：数形结合应用广泛，不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果。高考中利用数形结合的思想在解决选、填题中十分方便，而在解答题中书写应以代数推理论证为主，几何方法可作为思考的方法。数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视。历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查，且占比例较大。数形结合思想：数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。

数学思想有：1 函数方程思想2 数形结合思想3 分类讨论思想4 方程思想5 整体思想6 化归思想7 隐含条件思想8 类比思想9 建模思想10 归纳推理思想11 极限思想

画出边长为a的正方形，再以其一个端点的两条边延长至b，得到边长为b的正方形，那么两个正方形不相交的部分就是b^2-a^2而显然其面积为两个长方形之和即(b-a)*a+(b-a)*b所以b^2-a^2=(b-a)*a+(b-a)*b合并即证明了b^2-a^2=(b-a)*(a+b)证明完全平方公式也是同样的道理

初中数学教师要有效树立起先进的教学理念，创新课堂教学模式，通过在课堂上利用数学结合思想方法进行教学，能够最大程度激发学生的学习兴趣和热情。教师可以充分发挥出学校已有多媒体资源的作用，将数学知识内容讲解与图形有效结合在一起，这样有利于学生对新知识的学习掌握，并将该方法实际运用到解题中，提高学生的数学方法应用能力。二、数形结合思想在三角形问题教学中的应用当初中数学教师在讲解到三角形的概念知识时，要想学生充分掌握了解到相关知识内容，能够正确判断出三角形的形状，教师就必须结合图形详细讲解三角形边与边以及边与角之间的不同关系。数学教师可以通过利用多媒体设备，将各种形状三角形图形投影到大屏幕上，然后引导学生实际应用教材中的概念知识，完成对问题的解决过程。例1已知三角形的三条边分别为a、b、c，同时存在方程b（x2-1）-2ax c（x2 1）=0没有实数根，那么请判断该三角形的具体形状？在解题过程中，数学教师要指导学生充分利用已知条件，根据给出的方程去对三角形的三条边关系进行判断分析，最终得出正确答案。具体解题过程为：简化题中方程可得（c b）x2-2ax （c-b）=0，因为方程不存在实数根，所以可得Δ=4a2-4（c b）（c-b）=4（a b-c）三、数形结合思想在代数问题教学中的应用在初中数学教学中，代数学习一直都是学生较为头疼的内容，数学教师为了避免部分学生出现对该类问题无从下手的尴尬局面，可以通过借用数形结合思想，提高学生对该类型题目的解题效率，清晰了解到代数问题中的几何意义。例2已知条件，x≥0，y≥0，x 2y=1，根据上述条件求出x2 y2的最大值与最小值。在问题解决中，教师要指导学生灵活运用自身掌握的解题方法。首先利用消元法，把x2 y2正确转换为一元二次函数进行求解。然而，在实际解题过程中，学生会遇到一定的麻烦，容易导致错误的发生。因此，学生要利用数形结合思想方法，基于直角坐标系的辅助下，完成对代数问题的解决。具体解题过程为，x 2y=1，x≥0，y≥0在直角坐标系上表示为一条线段AB，而x2 y2则表示为线段AB上点（x，y）到原点距离x2 y2的平方。根据图中条件，经过正确计算可知，线段AB上的点到原点最小为OQ=55，而距离最大值则是OA=1，那么就可以得出x2 y2的最小值是1/5，最大值是1。四、数形结合思想在函数问题教学中的应用函数作为初中数学的重要组成部分，教师有必要重视学生该部分知识内容的掌握理解。教师可以通过结合平面直角坐标系图，进行对函数概念、变量以及常量等知识的讲解，引导学生结合图形对不同类型函数问题进行解题。例3已知反比例函数y=6x和函数y=3x 3，求出这两个函数的交点在第几象限？在该问题解题过程中，首先数学教师要指导学生画出坐标系，并将函数图像正确画在坐标系中，如下图所示。根据图中显示可知，反比例函数y=6x和函数y=3x 3的交点所在位置分别位于坐标系中的第一象限和第三象限。初中数学教师通过在教学课堂上应用数形结合思想方法，能够让学生直观清晰的了解整个解题过程，并学以致用的将该方法运用到日常函数解题中，不断提高自身的解题质量和效率。五、结束语综上所述，初中数学教师要想有效培养学生良好的实际问题解决能力，散发学生的创新思维，就必须在课堂教学中高效应用数形结合思想方法，引导学生利用图形和掌握的概念知识进行解题，这样能够有效提高解题质量和效率

巧用数形结合解决代数问题学生在进行数学练习及考试时，时常会遇到十分复杂的代数问题，若学生花费大量的时间进行计算，会影响其他知识板块的学习。特别是填空、单选等问题，会一定程度上浪费学生的解题时间，影响着学生的解题效率。因此，教师应引导学生应用数形结合思想进行解题，正确地分配解题时间，调整学生的解题思路，使学生可以在短时间内正确回答问题，当遇到相关数学难题时，将其转化为几何图形，更加轻松得出问题的答案。例如：教学《反比例函数》这一内容时，其中有一道例题：P是反比例函数y＝5/x，在第一象限分支中的一个动点，PA垂直于x轴，并随着x不断变大，请问三角形APO的面积会发生怎样的变化？这是一道典型的例题，教师可以引导学生应用数形结合思想，将其转化为具体的几何形象进行解题。最终得知，三角形APO是直角三角形，并不会随P点的变化发生改变，接下来进行验证发现面积不变，从而得出答案。

1.利用形作为各种直观工具，帮助学生理解和掌握知识，解决问题 2.数轴及平面直角坐标系在小学的渗透3.统计图本身和几何概念模型都是数形结合思想的体现4.用代数算术方法解决几何问题

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数形结合思想在小学数学中的应用如下：（一） 运用到复杂小学应用题解题之中“鸡兔同笼”相关问题，教师可以有意识让学生用画图法进行解题，比如：用○表示头，用∣表示脚，然后再根据题目先画头，并在每个头下画出相应的脚，然后再数一数，就可能得到正确答案了。（二） 运用到基础数学概念教学之中教学“长方体的体积”概念的时候，用字母a表示长，b表示宽，h表示高，V表示体积，并以图画的形式呈现出来，学生只需要记住V=abh这一公式即可。即便有的时候忘记了公式，但只要画出图形，自然也就能掌握到“长方体体积”的基本属性，同时，公式运用起来也会变得更加得心应手。（三） 运用到数学理解运算解题之中在教学“分数乘分数”相关知识过程中，教师就可以尽力为学生创设数形结合的情境，以学校暑假期间教室粉刷情况为例，并提出这样的问题——装修工人每小时粉刷这面墙的1/5，那么，1/4小时可以粉刷这面墙的几分之几？教师还要进行有步骤地数形结合思想意识渗透。

一般是将一些特殊值带入函数求Y值，粗略地画出函数图像再求解。

所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力能才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。 1.函数思想： 把某一数学问题用函数表示出来，并且利用函数探究这个问题的一般规律。这是最基本、最常用的数学方法。 2.数形结合思想： “数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。例如求根号（(a-1)^2+(b-1)^2）+根号(a^2+(b-1)^2)+根号((a-1)^2+b^2)+根号(a^2+b^2)的最小值，就可以把它放在坐标系中，把它转化成一个点到(0,1)、(1,0)、(0,0)、(1,1)四点的距离，就可以求出它的最小值。 3.分类讨论思想： 当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。比如解不等式|a-1|>4的时候，就要讨论a的取值情况。 4.方程思想： 当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。例如证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。 5.整体思想： 从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。 6.转化思想： 在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。三角函数，几何变换，因式分解，解析几何，微积分，乃至古代数学的尺规作等数学理论无不渗透着转化的思想。常见的转化方式有：一般 特殊转化，等价转化，复杂 简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等。 7.隐含条件思想： 没有明文表述出来，但是根据已有的明文表述可以推断出来的条件，或者是没有明文表述，但是该条件是一个常规或者真理。 8.类比思想： 把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。 9.建模思想： 为了描述一个实际现象更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。 10.化归思想： 化归思想就是化未知为已知,化繁为简,化难为易.如将分式方程化为整式方程,将代数问题化为几何问题,将四边形问题转化为三角形问题等.实现这种转化的方法有:待定系数法,配方法,整体代人法以及化动为静,由抽象到具体等转化思想 11.归纳推理思想: 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理(简称归纳),简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理 另外，还有概率统计思想等数学思想，例如概率统计思想是指通过概率统计解决一些实际问题，如摸奖的中奖率、某次考试的综合分析等等。另外，还可以用概率方法解决一些面积问题。

中学数学重要数学思想一、 函数方程思想函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想；2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想；3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。二、 数形结合思想数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形），这种解决问题的方法称之为数形结合。1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。2.恩格斯是这样来定义数学的："数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学"。这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质。4.华罗庚先生曾指出："数缺性时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。"数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）。而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现。6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领：(1) 对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；(2) 对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点，顶点是关键点），作好知识的迁移与综合运用；(3) 对于以下类型的问题需要注意：可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的。三、 分类讨论的数学思想分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。2.分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏 ，包含各种情况，同时要有利于问题研究。四、 化归与转化思想所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题，将难解问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题。立体几何中常用的转化手段有1.通过辅助平面转化为平面问题，把已知元素和未知元素聚集在一个平面内，实现点线、线线、线面、面面位置关系的转化；2.平移和射影，通过平移或射影达到将立体几何问题转化为平面问题，化未知为已知的目的；3.等积与割补；4.类比和联想；5.曲与直的转化；6.体积比，面积比，长度比的转化；7.解析几何本身的创建过程就是"数"与"形"之间互相转化的过程。解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来，把代数与几何融合为一体。中学数学常用解题方法1. 配方法　　配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式，其基本形式是：ax2+bx+c=.高考中常见的基本配方形式有：（1）a2+b2= (a + b)2- 2a b = (a -b) 2+ 2 ab; （2） a2+ b2+ ab =; （3）a2+ b2+c2= (a＋b + c)2- 2 ab - 2 a c - 2 bc; (4) a2+ b2+ c2- a b - bc - a c = [ ( a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2]; 　（5） ;　　配方法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论，求解与证明及二次曲线的讨论。2.待定系数法一 待定系数法是把具有某种确定性时的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决。待定系数法的主要理论依据是：（1）多项式f(x)=g(x)的充要条件是：对于任意一个值a，都有f（a）＝g(a);（2）多项式f(x) ≡g(x)的充要条件是：两个多项式各同类项的系数对应相等；二 运用待定系数法的步骤是：（1）确定所给问题含待定系数的解析式（或曲线方程等）；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决；三 待定系数法主要适用于：求函数的解析式，求曲线的方程，因式分解等。3.换元法　　换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量（或代数式），对新的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题。其理论根据是等量代换。高中数学中换元法主要有以下两类：（1）整体换元：以"元"换"式"； （2）三角换元 ，以"式"换"元"；（3）此外，还有对称换元、均值换元、万能换元等；换元法应用比较广泛。如解方程，解不等式，证明不等式，求函数的值域，求数列的通项与和等，另外在解析几何中也有广泛的应用。运用换元法解题时要注意新元的约束条件和整体置换的策略。4.向量法　　向量法是运用向量知识解决问题的一种方法，解题常用下列知识：（1）向量的几何表示，两个向量共线的充要条件；（2）平面向量基本定理及其理论；（3）利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题；（4）两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式；5.分析法、综合法（1）分析法是从所求证的结果出发，逐步推出能使它成立的条件，直至已知的事实为止；分析法是一种"执果索因"的直接证法。（2）综合法是从已经证明的结论、公式出发，逐步推出所要求证的结论。综合法是一种"由因导果"，叙述流畅的直接证法。（3）分析法、 综合法是证明数学问题的两大最基本的方法。分析法"执果索因"的分析方法，思路清晰，容易找到解题路子，但书写格式要求较高，不容易叙述清楚，所以分析法、综合法常常交替使用。分析法、 综合法应用很广，几乎所有题都可以用这两个方法来解。6.反证法　　反证法是数学证明的一种重要方法，因为命题p与它的否定非p的真假相反，所以要证一个命题为真，只要证它的否定为假即可。这种从证明矛盾命题（即命题的否定）为假进而证明命题为真的证明方法叫做反证法。一 反证法证明的一般步骤是：（1）反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）归谬：从命题的条件和所作的结论出发,经过正确的推理论证,得出矛盾的结果；（3）结论：有矛盾判定假设不正确，从而肯定的结论正确；二 反证法的适用范围：（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少时的命题；（2）结论的反面是比原结论更具体、更简单的命题，特别是结论是否定形式（"不是"、"不可能"、"不可得"）等的命题；（3）涉及各种无限结论的命题；（4）以"最多（少）、若干个"为结论的命题；（5）存在性命题；（6）唯一性命题；（7）某些定理的逆定理；（8）一般关系不明确或难于直接证明的不等式等。三 反证法的逻辑依据是"矛盾律"和"排中律"。7.另外:还有数学归纳法、同一法、整体代换法等.

分类讨论，数形结合