数形结合数学思想方法

一般解析几何用的比较多下面是它的定义　数形结合:就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含以形助数和以数解形两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法。　　数形结合:"数"和"形"是数学中两个最基本的概念,它们既是对立的,又是统一的,每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状,大小,位置密切相关的数量关系;反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路;或者在研究图形时,利用代数的性质,解决几何的问题.实现抽象概念与具体形象的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.　　数形结合是培养和发展学生的空间观念和数感,进行形象思维与抽象思维的交叉运用,使多种思维互相促进,和谐发展的主要形式;数形结合教学又有助于培养学生灵活运用知识的能力。

“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

数形结合思想是一种数学思想方法。数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。基本思想是：我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。扩展资料数形结合应用要点1、 数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。2、 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合 。3、纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。4、数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。5、数形结合思想的论文：数形结合思想简而言之就是把数学中“数”和数学中“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想。数形结合具体地说就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。在中学数学的解题中，主要有三种类型：以“数”化“形”、以“形”变“数”和“数”“形”结合。

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。　　中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 　　作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等。　　数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：　　一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。　　二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。　　三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。　　四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。　　五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。　　六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。　　七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。　　八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。

1、数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.简而言之就是把数学中“数”和数学中“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想。 2、数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。 3、通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题.有三种类型：以“数”化“形”、以“形”变“数”和“数”“形”结合。

一般解析几何用的比较多下面是它的定义　数形结合:就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含以形助数和以数解形两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法。　　数形结合:"数"和"形"是数学中两个最基本的概念,它们既是对立的,又是统一的,每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状,大小,位置密切相关的数量关系;反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路;或者在研究图形时,利用代数的性质,解决几何的问题.实现抽象概念与具体形象的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.　　数形结合是培养和发展学生的空间观念和数感,进行形象思维与抽象思维的交叉运用,使多种思维互相促进,和谐发展的主要形式;数形结合教学又有助于培养学生灵活运用知识的能力。

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.●难点磁场�1.曲线y=1+ (–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时，实数r的取值范围 .2.设f(x)=x2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围.●案例探究�［例1］设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x²，且x∈A }，若C B，求实数a的取值范围.命题意图：本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目.属★★★★级题目.知识依托：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C.进而将C B用不等式这一数学语言加以转化.错解分析：考生在确定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能漏掉a＜–2这一种特殊情形.技巧与方法：解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.解：∵y=2x+3在［–2, a］上是增函数∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下：①当–2≤a≤0时，a2≤z≤4即C={z｜z²≤z≤4}要使C B,必须且只须2a+3≥4得a≥ 与–2≤a＜0矛盾.②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使C B，由图可知：必须且只需 解得 ≤a≤2③当a＞2时，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a²}，要使C B必须且只需解得2＜a≤3④当a＜–2时，A= 此时B=C= ，则C B成立.综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪［ ,3］.［例2］已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证：.命题意图：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属★★★★★级题目.知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ,sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.从而：｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2=2–2cos(α–β)又∵单位圆的圆心到直线l的距离 由平面几何知识知｜OA｜2–( ｜AB｜)2=d2即∴ .●锦囊妙计�应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.●歼灭难点训练�一、选择题1.（★★★★）方程sin(x– )= x的实数解的个数是( )A.2 B.3 C.4 D.以上均不对2.（★★★★★）已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b ，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β ，则实数a、b、α、β的大小关系为( )A.α＜a＜b＜β B.α＜a＜β＜bC.a＜α＜b＜β D.a＜α＜β＜b二、填空题3.（★★★★★）(4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2，(θ、t为参数)的最大值是 .4.（★★★★★）已知集合A={x｜5–x≥ },B={x｜x²–ax≤x–a}，当A B时，则a的取值范围是 .三、解答题5.（★★★★）设关于x的方程sinx+ cosx+a=0在（0,π）内有相异解α、β.（1）求a的取值范围；（2）求tan(α+β)的值.6.（★★★★）设A={(x,y)｜y= ,a＞0}，B={(x,y)｜(x–1)2+(y–3)2=a2,a＞0},且A∩B≠ ，求a的最大值与最小值.7.（★★★★）已知A（1，1）为椭圆 =1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点.求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值.8.（★★★★★）把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？ 参 考 答 案●难点磁场1.解析：方程y=1+ 的曲线为半圆，y=r(x–2)+4为过（2，4）的直线.答案：（ ］2.解法一：由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立 x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立.考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在［–1,+∞］时位于x轴上方.如图两种情况：不等式的成立条件是：(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0 a∈(–2,1)(2) a∈(–3,–2 ，综上所述a∈(–3,1).解法二：由f(x)＞a x2+2＞a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象.如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3，故直线l对应的a∈(–3,1).●歼灭难点训练一、1.解析：在同一坐标系内作出y1=sin(x– )与y2= x的图象如图.答案：B2.解析：a,b是方程g(x)=(x–a)(x–b)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示： 答案：A二、3.解析：联想到距离公式，两点坐标为A(4cosθ,3sinθ),B(2t–3,1–2t)点A的几何图形是椭圆，点B表示直线.考虑用点到直线的距离公式求解.答案： 4.解析：解得A={x｜x≥9或x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，画数轴可得.答案：a＞3三、5.解：①作出y=sin(x+ )(x∈(0,π))及y=– 的图象，知当｜– ｜＜1且– ≠时，曲线与直线有两个交点，故a∈(–2,– )∪(– ,2).②把sinα+ cosα=–a,sinβ+ cosβ=–a相减得tan ，故tan(α+β)=3.6.解：∵集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心， a为半径的半圆；集合B中的元素是以点O′(1, )为圆心，a为半径的圆.如图所示∵A∩B≠ ，∴半圆O和圆O′有公共点.显然当半圆O和圆O′外切时，a最小a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2 –2当半圆O与圆O′内切时，半圆O的半径最大，即 a最大.此时 a–a=｜OO′｜=2,∴amax=2 +2.7.解：由 可知a=3,b= ,c=2，左焦点F1(–2,0),右焦点F2(2,0).由椭圆定义，｜PF1｜=2a–｜PF2｜=6–｜PF2｜,∴｜PF1｜+｜PA｜=6–｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜–｜PF2｜如图：由｜｜PA｜–｜PF2｜｜≤｜AF2｜= 知– ≤｜PA｜–｜PF2｜≤ .当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号；当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号.即｜PA｜–｜PF2｜的最大、最小值分别为 ，– .于是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是6+ ,最小值是6– .8.解：本题实际上是求正方形窗口边长最小值.由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小.如图：设AE=x,BE=y,则有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y∴ ∴ .

所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,实现数形结合,常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系...

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

“数缺形时少直观，形少数时难入微。” “数”和“形”是数学的两个柱石，所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分利用这种结合，探索解决问题的思路，从而使问题得以解决的思想方法。 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 在运用数形结合思想分析和解决问题时，有几点需要注意：第一.要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二.恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三.正确确定参数的取值范围。 (附)1. 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。 2. 所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。 3. 分类原则：分类的对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。 4. 分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。 5. 含参数问题的分类讨论是常见题型。 6. 注意简化或避免分类讨论。

数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。小学 数学教学研究的对象概括而言就是数和形两个方面。数与形的 相互转化、结合既是数学的重要思想,更是解题的重要方法 把数学问题中的数量关系与空间形式结合,以形助数、以数辅 形,可以达到逻辑思维与形象思维的完美统一,使问题化难为 易、化繁为简。在小学数学教学中,如何有意识地利用数与形结合的策略 提高学生的思维素质,培养学生分析间题与解决问题的能力呢?策略一:以形助数,理解概念 数的产生源于计数,用来表示“数”的工具却是一系列的“形”。数概 的建立、数的运算,处处蕴涵着数形结合的思想方法。如我们在认识整 慧、分数、小数及其加法、减法、乘法、除法的运算时,教材都是借助直观 的几何图形帮助学生理解抽象的数概念。生动、形象的图形能将枯燥的数学 知识趣味化、直观化,让学生从中获得“学习有趣”的情感体验,进而引导 学生进行探索,将兴趣逐渐转化为动力,达到认识概念本质的目的。由于数学概念具有高度的抽象性和概括性,教学时应尽可能为 学生提供充分的感知材料,“形”的直观性往往决定了其对概念建 构的有效辅助作用。教学中常采用归纳、分类、比较的方法帮助学 生建立数学概念,也可采用数形结合的策略,运用图形的直观性帮 助学生理解抽象的数学概念的内和外延。策略二:以形助数,感悟算理 数形结合不仅是一种数学思想,也是一种很好的教学方法。对于学生 难以理解和掌握或容易引起混滑和产生错误的教学内容,教师可以充分利 用“形”,把抽象的概念、复余的运算变得形象、直观,丰富学生的表象 引发联想,探索规律,得到结论,不仅知其然,而且知其所以然。策略三:以形助数,解决问题 在数学教学中,可以通过数形结合的训练,使学生通过直观图，线段图等来帮助解决问题,强化数形对应,把复杂的问题简单化、明 朗化,抽象的问题形象化,以提高学生分析比较、综合运用知识解决 问题的能力。在这一过程中,形象化的图形表达了抽象化的数量关系 为学生在实际问题与算式、分析数量关系与解决问题之间架设了 座桥。

简述解析几何中的数形结合思想如下：创立解析几何学，是笛卡儿最杰出的成就。在笛卡儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学思维在数学家的头脑中，还占有统治地位，笛卡尔致力于研究代数和几何的联系，在创立了坐标系后，最终于1637年年成功地创立了解析几何学。解析几何学的诞生，为微积分的创立奠定了基础，直到现在仍是重要的数学方法之一。而且，笛卡儿不仅提出了解析几何学的主要思想方法，还指了它的发展方向。在《几何学》中，他将逻辑，几何和代数方法结合起来，通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的新方法，成功地把数和形结合到了一起，数轴就是数和形的第一次接触。解析几何的创立是数学史上一次划时代的转折， 而解析几何得以创立的基础就是平面直角坐标系的建立。直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，使得几何概念可以用代数形式来表示，几何图形也可以用代数形式来表示。基本内容：1、笛卡尔坐标系，取定两条相互垂直的，具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系X轴Y轴。利用X轴Y轴可以把平面内的点和一对实数建立起一一对应的关系。2、新数学概念，将变量引入数学，随后便出现了微分和积分。

小学数学的数形结合思想方法如下：数与形是小学数学教学内容中的两个主要部分，也是学生学习的重点和难点，但是将二者的内容有效的结合起来就能够简化学习的过程，将教材的内容与教师的实际教学融会贯通，将复杂的问题简单化。第一，以形助数——借助形的生动和直观来阐明数与数之间的联系。如“斐波那契问题”也就是常说的兔子数列。第二，以数助形——借助数的简洁性和概括性来提炼事物（图形）的本质。在教学中将“形象”放在支撑的地位，通过“数”来描述、诠释“形”的特征，使数学达到深化、严谨的效果。如在六年级教学“长方体的认识”中就可以借助“数”的概括性认识长方体的特征，让学生在头脑中形成长方体的空间概念。数形结合：数形结合其实质就是将数学知识中的数量关系和数学图形之间的量化关系相互转换，从而解决小学数学学习中的一些繁重过程和内容。而对于年纪较小的小学生来说，想让他们透彻的理解数学是有很大难度的，所以利用数形结合能够帮助小学生在学习数学的期间将数学知识直观化，引导学生将抽象的数学知识变得具体化。培养学生的思维转换的能力，提高学生的学习能力，加深学生对数学知识的理解能力。而在数学知识的学习过程中，数形结合的思想也是基础数学的一个重要思想。

数学是研究现实世界数量关系与空间形式的一门科学, 数与形的统一结合贯穿于数学学科研究与发展的始终。数和形 是数学研究的两大对象，数形结合法是一种重要的数学思想方法。数 是指数据与式子，主要表现在以下几方面：函数、方程、不等式、数列、复数、排列组合等。形 可以理解为几何图形。采用数形结合法去解数学题，就是对题目中的条件与结论，既分析其代数含义又分析其几何含义。力图将代数和几何统一起来去找出解题思路。 数形结合是数学中的一种重要思想与解题策略, 利用数形结合这一思想, 可以较直观地对问题进行分析, 解决许多比较抽象的数学问题。因此, 通过数形结合能很好地解决一些问题, 对培养学生的解题能力非常重要。 一、渗透数形结合思想，提高学生的数学素养 素质教育是通过科学有效的途径，开发受教育者的潜能，以完善和全面的提高学生素质为根本目的教育。数学素质在人的素质养成上具有不可替代的作用。这是因为数学的直观思维、逻辑推理、精确计算以及结论明确无误等特征是每个学生应该具备的科学文化素质。由此可见，对数学教师来说，要突出素质教育的数学教学关键是加强数学思想方法的教学，因为数学思想方法作为数学知识的精髓，它既是数学中的深层次的基础知识，又是解决问题和思维策略。数学思想方法掌握的深、浅度，直接关系到能否顺利或比较简捷地解决问题；关系到是否深刻地对数学知识本质认识，数学规律的理性认识；关系到是否能把某些数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点加以应用。而这些数学知识的掌握是以解题思维能力作为起点的。因此，在中学数学教学中，如何引导学生选择恰当的方法来提高解题速度和效率，应注重培养学生解题能力，掌握多种方法。尤其数形结合法的教学更是学生应该熟练掌握的重要思维方法。 数形结合是解决数学问题的重要思想，其实质是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，以直观辅助抽象的思考，以抽象的思考研究直观的细节。著名数学家华罗庚先生说过:数无形，少直观；形无数，难入微。发掘数与形互相依存的关系，把数式运算的周密性和图形的直观性巧妙结合起来，对解决数学问题非常有益，它常能有效突破解题障碍，顺利沟通已知和未知，使问题由繁化简，由难化易。数形结合思想方法是中学数学基础知识的精髓之一，是把许多知识转化为能力的桥。在中学数学教学中，许多抽象问题学生往往觉得难以理解，如果教师能灵活地引导学生进行数形结合，转化为直观、易感知的问题，学生就易理解，就能把问题解决，从而获得成功的体验，增强学生学习数学的信心。尤其是对于较难问题，学生若能独立解决或在老师的启发和引导下把问题解决，心情更是愉悦，这样，就容易激发学生学习数学的热情、兴趣和积极性。同时，学生一旦掌握了数形结合法，并不断进行尝试、运用，许多问题就能迎刃而解。 二、在数学教学中渗透数形结合思想 本文特从以下几个方面，对数形结合"解题进行例析研究。1几何图形与数量关系相结合　　几何中的计算与证明问题，常常根据几何图形的特点挖掘蕴涵的数量关系；一些数量关系的比较问题，常常构造出由数量关系反映出的几何图形，根据图形的直观性寻求解决。2函数图象与数量关系相结合　　数轴使实数与数轴上的点建立起一一对应的关系，平面直角坐标系使有序实数对与平面上的点建立起一一对应的关系，为数形结合创造了充分的条件函数图象在直角坐标系的位置及变化趋势，为研究函数的性质提供了直观、形象的依据，反过来，依据函数的性质又能推断函数图象在直角坐标系屮的位置及变化情况，数形结合成为研究解决函数问题的重要思想方法。3图形的运动变化与函数问题的结合　　函数建立起两个变量之间的关系，运动变化便进入了数学，运动改变了图形的位置、形状，其中蕴涵的 数量关系也会发生变化，研究图形运动变化体现出来的函数关系，使数形结合更具活力，更丰富多彩。 　　4 注重数学思想方法的教学 加深认识，让学生亲自参与知识发现的过程。恩格斯说：世界不是一成不变的事物的集合体，而是过程的集合体。对于数学而言，知的发生过程就是思维方法的产生过程，因此教师在平时的教学过程中，应切实加深学生对知识的认识，让学生亲自去参与知识发现的过程，揭示事物的本质特征。 数学学习贯穿着两条主线，即数学知识和数学思想方法，通性通法蕴涵着丰富的数学思想和方法，更　贴近学生的认知水平，符合常人的思维习惯，同样也有利于培养学生的数学能力。在初中数学中，常用的数学思想有函数和方程思想、数形结合思想分类讨论论思想、化归转化思想、整体处理思想等，上面教学片断的探究题，教者通过引导学生从数和形的角度来解决问题，很好地发展了学生的方程思想和数形结合思想，同时也渗透了数学分类的思想方法。在平时的教学中，我们应在解决问题的过程中，对这些数学思想加以揭示、运用和提炼，以提高学生的思维水平和解题能力。 人常说，数学是锻炼思维的体操，恐怕就是因为

高考的6道大题中：题型分别是：三角函数（或者解直角三角形）类概率统计类立体几何类数列类导函数与不等式类圆锥曲线类有时候也有模块：矩阵与线性代数类参数方程类圆的综合计算类；除了数列类，其他都要用到数形结合的方法

一、研究背景：数学是研究客观世界的空间形式与数量关系的科学,数是形的抽象概括,形是数的直观表现.华罗庚先生指出,数缺形时少直观,形少数时难入微.数形结合既是一个重要的数学思想,又是一种常用的数学方法.数形结合在数学解题中有重要的指导意义,这种“数”与“形”的信息转换,相互渗透,即数量问题和图象性质是可以相互转化的,这不仅可以使一些题目的解决简捷明快,同时还可以大大开拓我们的解题思路,为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径.长期以来,在教学中数学知识是一条明线,得到数学教师的重视；数学思想方法是一条暗线,容易被教师所忽视.在我们的小学数学教学中,如果教师能有意识地运用数形结合思想来设计教学,那将非常有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解,提供解决问题的方法,也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力.“数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略,对学生来说是一种学习方法,如果长期渗透,运用恰当,则使学生形成良好的数学意识和思想,长期稳固地作用于学生的数学学习生涯中.作为一线教师,如何系统的运用数形结合思想进行数学教学,是我们面临的一个极富实践价值的重要课题.二、研究价值：1、通过组织、实施本课题的研究,提高教师对数形结合思想的理解,加深对教材中数形结合思想的分析能力.能在平时的教学中,时刻注意渗透数形结合思想,提升教师自身的专业素养.2、通过组织、实施本课题的研究,提升学生的思维水平,提高学生应用数形结合思想解决实际问题的能力,以适应未来社会发展的需要.三、研究目标： 1、教师有意识地运用数形结合思想进行教学设计,化抽象为形象,创造性地开发课程资源,有效地提高课堂教学质量. 2、研究“数形结合”在小学数学四至六年级领域中的应用,分阶段、有层次的渗透数形结合思想. 3、通过“数形结合”有效地提高学生学习数学的兴趣,使数形结合成为学生重要的学习方法,能运用数形结合创造性地解决抽象的数学问题.在不断地“探索”与“创造”中构建属于个人的数学思想.四、概念界定：1、数形结合：“数”和“形”是数学中两个最基本的概念,“数”,属于数学抽象思维范畴,是人的左脑思维的产物；而“形”主要指几何图形,属于形象思维范畴,是人的右脑思维的产物.它们既是对立的,又是统一的,每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,化难为易,化抽象为直观．使人充分运用左、右脑的思维功能,相互依存、彼此激发,全面、协调、深入发展人的思维能力.2、数形结合思想：所谓数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法.主要有以下几种解题思路：（1）以“数”变“形”；（2）以“形”变“数”；（3）“形”“数”互变.3.“渗透”指某种思想方法在某个实践过程中逐渐的渗入利用,这里主要指在小学数学课堂教学中逐步渗透数形结合思想方法.五、研究内容：1、数形结合思想在“数与代数”知识领域中的应用.2、数形结合思想在“空间与图形”知识领域中的应用.3、数形结合思想在“统计与概率”知识领域中的应用.4、数形结合思想在“实践与综合运用”知识领域中的应用.六、研究思路：1、学习查找相关理论资料；2、开始分年级教师进行具体研究；3、在具体的实践中进一步完善研究内容和研究措施；4、最后对研究效果进行提升,形成课题成果报告.七、研究方法：1.调查法：调查当前小学数学教师对数形结合思想在教学中渗透的认识,调查当前学生对数形结合思想来解题的认识状态.2、文献研究法：收集、学习、整理有关渗透数学思想方法以及数形结合思想的相关文献资料并加以分析,以供实验研究.3、案例研究法：选择不同领域的教学内容（数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合运用）中的素材,作为案例进行分析研究,寻求在不同数学学习领域中有效渗透数形结合思想的途径与模式.4、经验总结法：把实验过程中积累的经验加以总结、归纳并在实验过程中加以论证.

洋鬼子根本不懂数学!

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式 。

数学八种思维方法：代数思想、数形结合、转化思想、对应思想方法、假设思想方法、比较思想方法、符号化思想方法、极限思想方法。 代数思想 这是基本的数学思想之一 ，小学阶段的设未知数x，初中阶段的一系列的用字母代表数，这都是代数思想，也是代数这门学科最基础的根！ 数形结合 是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括。初高中阶段有很多题都涉及到数形结合，比如说解题通过作几何图形标上数据，借助于函数图象等等都是数形给的体现。 转化思想 在整个初中数学中，转化(化归)思想一直贯穿其中。转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想,它是数学基本思想方法之一。 对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。 假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。 比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。 符号化思想方法 用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。 极限思想方法 事物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。在讲“圆的面积和周长”时，“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。

1、对函数进行特殊值赋值如令x=0，可得y=0，令x=1，y=1，令x=2，y=9，依次类推，得到若干点。2、在纸上画出xOy直角坐标轴并将第一步所得点在坐标轴上点出。3、将所得点连起来，并根据已知图像的形状和函数性质画出y=x^2的图像。

10张桌子并成一排可以坐42人。1张桌子坐6人，6=2+4；2张桌子坐10人，10=2+4+4；3张桌子坐14人，14=2+4+4+4，…所以n张桌子并起来坐（2+4n）人；据此可得：10张桌子并成一排可以坐的人数：2+4×10=2+40=42（人）扩展资料：此类问题属于数学中的数形集合规律问题。数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。参考资料来源：百度百科—数形结合法

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式 。 （2）、以“形”变“数” 　　虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂 的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。 　　解题的基本思路： 明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等。 　　（3）、“形”“数”互变 　　“形”“数”互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以“数”变“形”或以“形”变“数”而是需要“形”“数”互相变换，不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密还要由“数”的严密联系到“形”的直观。解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的“形”“数”互变。一般方法是看“形”思“数”、见“数”想“形”。实质就是以“数”化“形”、以“形”变“数”的结合。 　　数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。要想提高学生运用数形结合思想的能力，需要教师耐心细致的引导学生学会联系数形结合思想、理解数形结合思想、运用数形结合思想、掌握数形结合思想。

画出边长为a的正方形，再以其一个端点的两条边延长至b，得到边长为b的正方形，那么两个正方形不相交的部分就是b^2-a^2而显然其面积为两个长方形之和即(b-a)*a +(b-a)*b所以b^2-a^2=(b-a)*a +(b-a)*b合并即证明了b^2-a^2=(b-a)*(a+b)证明完全平方公式也是同样的道理

所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力能才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。 1.函数思想： 把某一数学问题用函数表示出来，并且利用函数探究这个问题的一般规律。这是最基本、最常用的数学方法。 2.数形结合思想： “数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。例如求根号（(a-1)^2+(b-1)^2）+根号(a^2+(b-1)^2)+根号((a-1)^2+b^2)+根号(a^2+b^2)的最小值，就可以把它放在坐标系中，把它转化成一个点到(0,1)、(1,0)、(0,0)、(1,1)四点的距离，就可以求出它的最小值。 3.分类讨论思想： 当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。比如解不等式|a-1|>4的时候，就要讨论a的取值情况。 4.方程思想： 当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。例如证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。 5.整体思想： 从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。 6.转化思想： 在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。三角函数，几何变换，因式分解，解析几何，微积分，乃至古代数学的尺规作等数学理论无不渗透着转化的思想。常见的转化方式有：一般 特殊转化，等价转化，复杂 简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等。 7.隐含条件思想： 没有明文表述出来，但是根据已有的明文表述可以推断出来的条件，或者是没有明文表述，但是该条件是一个常规或者真理。 8.类比思想： 把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。 9.建模思想： 为了描述一个实际现象更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。 10.化归思想： 化归思想就是化未知为已知,化繁为简,化难为易.如将分式方程化为整式方程,将代数问题化为几何问题,将四边形问题转化为三角形问题等.实现这种转化的方法有:待定系数法,配方法,整体代人法以及化动为静,由抽象到具体等转化思想 11.归纳推理思想: 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理(简称归纳),简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理 另外，还有概率统计思想等数学思想，例如概率统计思想是指通过概率统计解决一些实际问题，如摸奖的中奖率、某次考试的综合分析等等。另外，还可以用概率方法解决一些面积问题。

主要是公式的理解变形吧！

①组成平行四边形小圆圈的总个数为n×2n个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为n×n=n2．②可以组成一个边长为n的正方形，因此1+3+5+7+…+（2n-1）=n×n=n2．

数形结合的教学方法是一种用画图和举例来代替枯燥的知识点灌输一类的教学方法，可以提高教学效率！

数形结合。数形结合是我们在解决几何问题常用的方法，数形结合的是“数”字，指的是数字，像是线段AB的长度啊，角ABC的度数啊，这些都属于数字类。而数形结合的“形”字，指的是形状，状态这一类。比如一个平面图形内，三角形ABC的AB，BC，AC的中线交点为O，因为文字很复杂，所以我们需要采取数形结合，从而直观的画出图形以便我们作图和使用计算

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

　　数形结合，是指根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种思维方法。在解决有规律的计算问题时，通过数与形的结合，有助于把握问题的本质，找到规律。 　　数形结合可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观。华罗庚先生说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。小学生在探究有规律的计算过程中，通过数与形的结合，有助于把握计算的本质，找到规律。

数形结合思想在小学数学中的应用：数形结合思想在“数与代数”知识领域中的渗透、数形结合思想在“图形与几何”知识领域中的渗透、数形结合思想在“统计与概率”知识领域中的渗透、数形结合思想在“综合与实践”知识领域中的渗透。1、数形结合思想在“数与代数”知识领域中的渗透：数与代数是义务教育阶段数学课程的重要知识内容。而小学阶段是以数的运算为主，所以计算教学是小学数学教学中重要的组成部分。新的计算教学理念要求学生不仅会用笔算、口算等进行正确的计算。2、数形结合思想在“图形与几何”知识领域中的渗透：在小学中高年级的教学中，我们要注重运用直观图形，巧妙地把数和形结合起来，把抽象的数学知识直观化，帮助学生形成空间概念。3、数形结合思想在“统计与概率”知识领域中的渗透：在“统计与概率”方面，主要把统计表的数据转化成统计图，有条形统计图、折线统计图、扇形统计图，通过数与形的结合，让学生更好地分析数据的特点来解决问题。4、数形结合思想在“综合与实践”知识领域中的渗透：把从直观图形支持下得到的模型应用到现实生活中，沟通图形及具体数量之间的联系，强化对题意的理解。运用数形结合，借助于形象的图形来解题，对于学生来说，不仅学得有趣、简单，而且还能发展学生的思维能力。

把X分成三段x<0,0<x<60,x>60把Y分成两段y<0,y>01,x<0,y<0方程为60-x-y=-x/4——y=60-(3/4)x2,0<x<60,y<0.....60-x-y=x/4.....y=60-(5/4)x3,x>60,y<0......x-60-y=x/4......y=(3/4)x-604,x<0,y>0......60-x+y=-x/4......y=(3/4)x-605,0<x<60,y>0......60-x+y=x/4......y=(5/4)x-606,x>60,y>0......x-60+y=x/4......y=60-(3/4)x分别画出六段图像第一段不存在，第二段端点为A（48，0）和B（60，-15）第三段端点为B（60，-15）和C（80，0）第四段不存在第五段端点为A（48，0）和D（60，15）第六段端点为D（60，15）和C（80，0）面积为AC*BD/2=（80-48）*（15+15）/2=480

数学是抽象的，小学数学是数学专业的基础性知识，想要学生在以后的学习中都能够取得较好的成绩就需要对小学生的数学教学有一个正确的教学方式，减轻小学数学对于小学生来说的难度性，使得抽象的数学公式在学生学习过程中变得具体化、形象化。数与形是小学数学教学内容中的两个主要部分，也是学生学习的重点和难点，但是将二者的内容有效的结合起来就能够简化学习的过程，将教材的内容与教师的实际教学融会贯通，将复杂的问题简单化。此外，数形结合的学习方法还能够培养学生养成良好的思维能力，让学生能够通过一道数学题的知识点和公式理论来套用到同类题型中，做到举一反三。　　一、数形结合的概念 　　数形结合其实质就是将数学知识中的数量关系和数学图形之间的量化关系相互转换，从而解决小学数学学习中的一些繁重过程和内容。而对于年纪较小的小学生来说，想让他们透彻的理解数学是有很大难度的，所以利用数形结合能够帮助小学生在学习数学的期间将数学知识直观化，引导学生将抽象的数学知识变得具体化，培养学生的思维转换的能力，提高学生的学习能力，加深学生对数学知识的理解能力。而在数学知识的学习过程中，数形结合的思想也是基础数学的一个重要思想。 　　二、营造良好的教学情境，吸引学生的学习兴趣 　　对于小学生来讲，活泼好动，奇思异想是孩子们尚未消失的童真，而乐趣是吸引学生主动进行学习动作的有个有效方式。小学数学教师在对学生进行教学是也是一样的，只有找到学生的好奇点，抓住学生们的需要，就能够在学习中迎合学生的需要有效的将知识灌输到学生的意识中去。这个时候就需要教师学会在课堂上营造良好的学习氛围以及教学情境，利用教材将书本上的知识与现实生活有效的进行结合，在将一些具体的公式或是理论与图形进行搭配融合，不仅能够找到学生感兴趣的方面，还能够引导学生在求知心理的引导下主动进行学习。 　　以小学数学教材中三角、圆形、柱体等图形，以及平移、旋转、对称等知识的学习为例，引导学生认识坐标轴这个重要的数学知识，让学生能够凭借自己对数学的理解在坐标轴中找到每个图形的实际坐标，以及每个图形在坐标轴上的位置变换以及形态的转变。此外，在课堂上，教师还可以留出十分钟的时间来给学生进行一个趣味教学，通过一些有意思的数学谜底，或是让学生根据某个有多个几何图形组成的图案来让学生找出它是由那些简单的图形组成的，并且每个图形的数量是多少，以此来巩固学生对数形结合知识的掌握。

数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题： 1. 数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。2. 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式 。3. 纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。4. 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。5、数形结合思想的论文数形结合思想简而言之就是把数学中“数”和数学中“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想。数形结合具体地说就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。在中学数学的解题中，主要有三种类型：以“数”化“形”、以“形”变“数”和“数”“形”结合。 （1）以“数”化“形”由于“数”和“形”是一种对应，有些数量比较抽象，我们难以把握，而“形”具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维，起着解决问题的定性作用，因此我们可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形来解决问题。我们能够从所给问题的情境中辨认出符合问题目标的某个熟悉的“模式”，这种模式是指数与形的一种特定关系或结构。这种把数量问题转化为图形问题，并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题的方法，就是图形分析法。数量问题图形化是数量问题转化为图形问题的条件，将数量问题转化为图形问题一般有三种途径：应用平面几何知识，应用立体几何知识，应用解析几何知识将数量问题转化为图形问题。解一个数学问题，一般来讲都是首先对问题的结构进行分析，分解成已知是什么（条件），要求得到的是什么（目标），然后再把条件与目标相互比较，找出它们之间的内在联系。因此，对于“数”转化为“形”这类问题，解决问题的基本思路： 明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似（相同）于已学过的基本公式（定理）或图形的表达式，再作出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解（求证）的目标去解决问题。（2）以“形”变“数”虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂 的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。解题的基本思路： 明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等。（3）“形”“数”互变“形”“数”互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以“数”变“形”或以“形”变“数”而是需要“形”“数”互相变换，不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密还要由“数”的严密联系到“形”的直观。解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的“形”“数”互变。一般方法是看“形”思“数”、见“数”想“形”。实质就是以“数”化“形”、以“形”变“数”的结合。数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题具体化的常用的数学思想方法。要想提高学生运用数形结合思想的能力，需要教师耐心细致的引导学生学会联系数形结合思想、理解数形结合思想、运用数形结合思想、掌握数形结合思想。中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

10张桌子并排可以坐44个人，38个人则38减去2边的2个人处以4得到9

985位粉丝数形结合思想是一种数学思想方法。数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。基本思想是：我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。

数形结合思想在解题中的应用一、知识整合1.数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且解法简捷.所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过"以形助数,以数解形",使复杂问题简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合.2.实现数形结合,常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.3.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究"以形助数".4.数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域,最值问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野.

985位粉丝数形结合思想是一种数学思想方法。数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。基本思想是：我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。

985位粉丝数形结合思想是一种数学思想方法。数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。基本思想是：我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。

985位粉丝数形结合思想是一种数学思想方法。数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。基本思想是：我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。

中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

1、数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.简而言之就是把数学中“数”和数学中“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想。 2、数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。 3、通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题.有三种类型：以“数”化“形”、以“形”变“数”和“数”“形”结合。

1.华罗庚说的关于数与形的名言是什么 数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。 1、科学是实事求是的学问，来不得半点虚假。——华罗庚 2、独立思考能力，对于从事科学研究或其他任何工作，都是十分必要的。在历史上，任何科学上的重大发明创造，都是由于发明者充分发挥了这种独创精神。——华罗庚 3、凡是较有成就的科学工作者，毫无例外地都是利用时间的能手，也都是决心在大量时间中投入大量劳动的人——华罗庚 4、任何一个人，都要必须养成自学的习惯，即使是今天在学校的学生，也要养成自学的习惯，因为迟早总要离开学校的！自学，就是一种独立学习，独立思考的能力。行路，还是要靠行路人自己。——华罗庚 5、天才是不足恃的，聪明是不可靠的，要想顺手拣来的伟大科学发明是不可想象的。——华罗庚 6、我们最好把自己的生命看做前人生命的延续，是现在共同生命的一部分，同时也后人生命的开端。如此延续下去，科学就会一天比一天灿烂，社会就会一天比一天更美好。——华罗庚 7、聪明在于学习，天才在于积累。……所谓天才，实际上是依靠学习。——华罗庚 8、科学上没有平坦的大道，真理的长河中有无数礁石险滩。只有不畏攀登的采药者，只有不怕巨浪的弄潮儿，才能登上高峰采得仙草，深入水底觅得骊珠。——华罗庚 9、在寻求真理的长征中，惟有学习，不断地学习，勤奋地学习，有创造性地学习，才能越重山，跨峻岭。——华罗庚 10、我想，人有两个肩膀，应该同时发挥作用，我要用一个肩挑着送货上门的担子，把科学知识和科学工具送到工人师傅手里；另一个肩膀可以作人梯，让青年们踏着攀登科学的更高一层山峰。——华罗庚 11、时间是由分秒积成的，善于利用零星时间的人，才会做出更大的成绩来——华罗庚 12、日累月积见功勋，山穷水尽惜寸阴。——华罗庚 13、自学，不怕起点低，就怕不到底。——华罗庚 14、抓住自己最有兴趣的东西，由浅入深，循序渐进地学……——华罗庚 15、学习和研究好比爬梯子，要一步一步地往上爬，企图一脚跨上四五步，平地登天，那就必须会摔跤了。——华罗庚 2.关于数学的名言警句四字 数学是各式各样的证明技巧。英国哲学家 维特根斯坦 第一是数学，第二是数学，第三是数学。 数学名言德国实验物理学家 伦琴 数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。 努瓦列斯 数学主要的目标是公众的利益和自然现象的解释。法国数学家、物理学家 傅立叶 在数学中最令我欣喜的，是那些能够被证明的东西。英国哲学家，历史学家 罗素 在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。 关于数学的名言法国数学家、天文学家 拉普拉斯 新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。中国数学家 华罗庚 没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性。 Carus,Paul 数学中最牢固的三角形状，在感情上恰恰是最脆弱的关系。当代作家，本名王晓迪 笔名九夜茴 九夜茴 《匆匆那年》 不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上。 数学名言俄罗斯数学家 罗巴切夫斯基 假如别人和一样深刻和持续地思考数学真理，他们会作出同样的发现的。美国神学家 琼·爱德华兹 数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。美国普林斯顿匈牙利数学天才冯纽曼 冯纽曼 宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。中国数学家 华罗庚 3.我国著名数学家华罗庚曾经说过这样一句话：“数形结合百般好,隔裂 有许多：1.我国著名数学家华罗庚曾经说过这样一句话：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”. 如下图，在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为 12, 14, 18, 116，…， 1210的小长方形纸片，请你写出最后余下未贴部分的面积的表达式： 12101210 .考点：规律型：图形的变化类；有理数的加减混合运算.分析：根据题意，每次贴上的长方形纸片与贴后剩下的面积相等，所以最后剩下的就是最后贴的长方形纸片的面积.解：∵第一次剩下：1-12=12, 第二次剩下：12-14=14, 第三次剩下：14-18=18, ∴第n次剩下：12n, 2.1. 由图形可以得到：1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/16 = 1 于是 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/16 = 1 - 1/16 = 15/16 2. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 。 + 1/2^n = 1 - 1/2^n 3.1/2的10次方希望你能喜欢！ 4.谈谈“数形结合” 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。批注：本答案摘自 ，有哪里不明白的地方，可以去看看学习学习。 5.运用了虚实结合手法的古诗 这个有很多，“实”即眼前所见之景，“虚”即想象、联想产物，主客易位（想象对方），写梦等等都是“虚”的表现.这里稍微举个例子：很熟悉的一首诗：独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲.遥知兄弟登高处，遍插茱萸少一人. 这里作者想象家里兄弟对自己的思念，与现实中“在异乡”，“为异客”作对比，从两个方面展现思家之情.再如： 邯郸驿里逢冬至， 抱膝灯前影伴身.想得家中夜深坐， 还应说着远行人. 三、四两句，正面写“思家”.其感人之处是：他在思家之时想象出来的那幅情景，却是家里人如何想念自己.这个冬至佳节，由于自己离家远行，所以家里人一定也过得很不愉快.当自己抱膝灯前，想念家人，直想到深夜的时候，家里人大约同样还没有睡，坐在灯前，“说着远行人”吧！“说”了些什么呢？这就给读者留下了驰骋想象的广阔天地.每一个享过天伦之乐的人，有过类似经历的人，都可以根据自己的生活体验，想得很多. 这种手法（主客易位），叫做“代为之思”，使情感抒发地更含蓄，曲折，动人.再如王昌龄的送魏二：醉别江楼橘柚香，江风引雨入舟凉.忆君遥在潇湘月，愁听清猿梦里长.[这是高考中的一题，就是问后两句有什么好处.作者想象友人孤身一人在湘水之上辗转反侧，愁听猿啼的情境，使自己对友人离去的不舍与关切更为深远，动人.。 6.谁能提供几个比较经典的数形结合的例子 如1.均值定理与其几何意义，半径不小于半弦（此图在网上找得到） 2.如y=|x|+|x-1|的值域，可借助几何图形来研究，其几何意义是，数轴上的某点x到0的距离+数轴上的某点x到1的距离和，恒大于等于1.所以至值域为y>=1. 3.线性规划问题，它也是很经典的数形结合问题. 4.楼上说的勾股定理也不错，正方形里又是正方形的那个经典图形. 5.多数函数问题，研究他们的图象，就可得到函数的性质 先说这么多，再有再补充咯

数形结合究竟如何运用一、数形结合可使复杂问题简单化华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形少数时难入微。形象说明了数形结合的重要性，指出数学问题应从数形相联系入手。数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助教”或“以数解形”，可使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。义务教育《数学课程标准》将培养学生用数学解决问题的能力作为重要目标。这给教师在小学数学教学中解决如何从具体事物中抽象出数学问题，如何从感性思维上升到理性思维提出了具体要求。而数形结合思想正是实现该类问题教学的有效例证之一。长期以来，在教学中数学知识是一条明线，得到数学教师的重视，数学思想方法是一条暗线，容易被教师所忽视。在小学数学教学中，如果教师能有意识地运用数形结合思想来设计教学，将非常有利于学生从不同侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。在教学三年级下册第8单元《连乘法解决问题》时发现部分学生，特别是年龄较小的学生理解数量关系还存在一定困难。为此，作者经过思考研究，数学课堂趣乐性与思辩性，运用数形结合思想，在生活图片和抽象数学问题中间设置过渡用数学几何图形（抽象图形），既减小学生思维跨度，便于数学问题的进一步理解，又使学生感受学习数学的乐趣。二、数形结合思想的实践应用片段一：用连乘法解决问题是人教版义务教育实验课程三年级下册8单元内容，教材采用了学生排队做操的图案作为引导新知识的开始。如图1，由于图中没有给出更多的数学信息，呈现的三个方阵不完整，所以当教师问学生们从图中可以发现哪些数学信息以及能提出什么数学问题时，学生的回答千奇百怪，并且对方阵的数量产生了歧义。为什么会出现这些现象呢？设想只花两三分钟的主题切入却花费了将近十分钟时间，并且同学们出现争论，在这里纠缠不清。向左转|向右转图1片段二：学生们终于弄清楚主题图的含义，提出合理的数学问题后，用三种方法解决了该问题。 方法一： 10×8×3=240（人）方法二：10×3×8=240（人）方法三：10×（3×8）=240（人）在理解三种方法的意思时，部分学生出现困难，方法二和方法三先求的是什么，后求的是什么？看着抽象的数量，孩子们眉头紧锁，睁着茫然的眼睛看着黑板。怎样才能让孩子们真正理解数量之间的关系呢？主题图出示的生活图片为什么不能解决孩子们出现的问题？于是与同教研组的老师们研究，改进，第二次又走进课堂。首先，将教材中不完整的主题图修改，呈现了三个完整的方阵（见图2），并将文字信息（三个方阵，每个方阵的行列人数等信息）渗透于图中。这个时候孩子们发现信息和收集信息的速度和准确率非常高，很快切入教师预设的主题。向左转|向右转图2其次，教学中教师把主题图用点子图的形式（图3、图4）发给每个孩子，孩子可以根据自己的要求摆放每张点子图。通过点子图的摆放，孩子化静为动，通过摆放点子图的位置，理解不同方法的含义。再通过对比寻找到三种方法的相同与不同，让孩子们更深刻理解每种方法，提升了孩子们的思维。在孩子们的脸上，看见了喜悦的笑容。向左转|向右转图3向左转|向右转图4三、数形结合对学生思维提升的表现课堂结束，我的脑海里不断交互出现上课的情景。为什么同样是生活图片还是让孩子们理解数量关系出现困难？返回到班上问学生，方阵图片和点子图片谁更能让你理解这三种方法。学生都纷纷表示点子图好理解一些，缘由是点子图通过不同的摆放更能感受到数量之间的关系。诚然，根据三年级孩子的年龄特点和思维特点，生活图片到抽象数学问题的跨度太大，学生兴趣和思辨能力跨越该跨度存在不同程度困难。借助几何图形，以形助教，使抽象的问题直观化，有利于学生的思维的提升。1.引入图形辅助教学，将数学学习融入生活在数学教学中，无论是数与代数、图形与几何，还是统计与概率等知识处处蕴涵着数形结合的思想。教材借助几何图形的直观来帮助学生理解抽象的概念。生动形象的图形使得抽象的知识变得趣味化、直观化,让学生在学习时,不再感到枯燥乏味,反而能够使学生从中获得有趣的情感体验,让学生主动去探索,把握概念本质。2.抽象图形辅助教学，使数学学习高于生活本课中，学生借助点子图，数形结合，化解了数学信息之间的不易理解的困难，通过点子图的拼摆，让抽象的思维形象的呈现，隐藏的数量关系通过“形”的表象就显露出来，学生理解了三种方法之间区别和联系，加深了对每种方法思路的理解，体会数形结合思想在解决问题中的作用。用数形结合策略表示题中量与量之关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。“数形结合”可以借助简单的图形（如统计图）、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。3.凝练图形辅助教学，形成问题解决教学模式恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”在教学中，根据不同教学内容充分利用数形结合思想，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。（1）“以形助数”在直观中理解数在“数与代数”教学中借助图形的直观性将抽象的数学概念、运算等形象化、简单化，给学生以直观感，让学生以多种感官充分感知，在形成表象的基础上理解数学的本质，解决数学问题。（2）“以数想形”帮助理解各种公式在教学有关的数学公式时，如果只是让学生死记公式，这样只会将知识学死。借助图形充分理解公式的含义，使学生知其然，而知所以然。（3）“数形结合”借助表象发展空间观念儿童的认知规律，一般来说是从直接感知到表象，再到形成概念的过程，表象介于感知和形成概念之间，抓住这中间环节，促使学生多角度灵活思考，大胆想象，对知识的理解逐步深化，发展学生的空间观念，具有十分重要的意义。总之，通过引入生活实例，利用数形结合，合理设置数形跨度，即可提高学生们学习数学的兴趣，也让学生在不断的训练中感悟数学思想，丰富学生的思维活动，以提高学生的数学学习能力，又可实现数学教学中的趣乐性与思辨性的实践探索。

数形结合思想在解题中的应用 　　一、知识整合 　　1.数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且解法简捷.所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过"以形助数,以数解形",使复杂问题简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合. 　　2.实现数形结合,常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义. 　　3.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究"以形助数". 　　4.数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域,最值问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野.

1]数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.简而言之就是把数学中“数”和数学中“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想. 2]数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”,而第二种情形是“以形助数”. 3]通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题.有三种类型：以“数”化“形”、以“形”变“数”和“数”“形”结合.

数形结合思想的例子如图所示：数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。 2. 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式 。 3. 纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 4. 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。 【例题分析】 例1. 若关于 的方程 的两根都在 之间，求 的取值范围。 分析：令 ，其图象与 轴交点的横坐标就是方程 的解，由 的图象可知，要使二根都在 之间，只需 同时成立，解得 ，故 例2. 解不等式 常规解法：原不等式等价于（I） 或（II） 解（I）得 ；解（II）得 综上可知，原不等式的解集为 数形结合解法：令 ，则不等式 的解就是使 的图象在 的上方的那段对应的横坐标。 如下图，不等式的解集为 ，而 可由 解得 ，故不等式的解集为 例3. 已知 ，则方程 的实根个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个 分析：判断方程的根的个数就是判断图象 的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选B。 例4. 如果实数 满足 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 分析：等式 有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，圆心为 ，半径 ，（如图），而 则表示圆上的点 与坐标原点（0，0）的连线的斜率，如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点 在以（2，0）为圆心，以 为半径的圆上移动，求直线 的斜率的最大值，由下图可见，当点 在第一象限，且与圆相切时， 的斜率最大，经简单计算，得最大值为 例5. 已知 满足 的最大值与最小值。 分析：对于二元函数 在限定条件 下求最值问题，常采用构造直线的截距的方法来求之。 令 ，原问题转化为：在椭圆 上求一点，使过该点的直线斜率为3，且在 轴上的截距最大或最小，由图形知，当直线 与椭圆 相切时，有最大截距与最小截距。 由 ，得 ，故 的最大值为13，最小值为 。 例6. 若集合 ，集合 ，且 ，则 的取值范围为__。 分析： ，显然， 表示以（0，0）为圆心，以3为半径的圆在 轴上方的部分，（如图），而 则表示一条直线，其斜率 ，纵截距为 ，由图形易知，欲使 ，即是使直线 与半圆有公共点，显然 的最小逼近值为 ，最大值为 ，即 例7. 点 是椭圆 上一点，它到其中一个焦点 的距离为2， 为 的中点， 表示原点，则 （ ） A. B. C. 4 D. 8 分析：（1）设椭圆另一焦点为 ，（如下图），则 而 又注意到 各为 的中点 是 的中位线 （2）若联想到第二定义，可以确定点 的坐标，进而求 中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出 ，但这样就增加了计算量，方法较之（1）显得有些复杂。 例8. 已知复数 满足 ，求 的模与辐角主值的范围。 分析：由于 有明显的几何意义，它表示复数 对应的点到复数 对应的点之间的距离，因此满足 的复数 对应的点 在以（2，2）为圆心，半径为 的圆上，（如下图），而 表示复数 对应的点 到原点 的距离，显然，当点 ，圆心 ，点 三点共线时， 取得最值， 的取值范围为 同理，当点 在圆上运动变化时，当且仅当直线 与该圆相切时，在切点处的点 的辐角主值取得最值，利用直线与圆相切，计算，得 ，即 即 例9. 求函数 的值域。 解法一（代数法）：由 得 ， ，解不等式得 函数的值域为 解法二（几何法）： 的形式类似于斜率公式 ， 表示过两点 的直线的斜率。 由于点 在单位圆 上（见下图） 显然， 设过 的圆的切线方程为 ，则有 ，解得 即 函数值域为 例10. 求函数 的最值。 分析：由于等号右端根号内 同为 的一次式，故作简单换元 ，无法转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。 解：设 ，则 且 所给函数化为以 为参数的直线族 ，它与椭圆 在第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。 中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等。 数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题： 一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。 二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。 三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。 四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。 五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。 六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。 七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。 八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。