假设检验的应用

假设检验在工艺改进中的应用

1 问题提出
钢筋混凝土用钢筋作为工程结构材料之一，广泛应用于建筑、铁路、桥梁、公路、水电等作业，其质量的优劣直接影响着工程结构的正常和安全。我国建筑用钢筋普遍用HRB335带肋钢筋，近年来，HRB400带肋钢筋以其优良性能和节省材料用量等特点渐渐被市场认同，但是HRB400带肋钢筋对产品屈服点和抗拉强度等指标有较高的要求，目前生产过程中主要采用钒氮合金化生产工艺来提高性能，而这些钒氮合金价格高、资源少，大大增加了钢筋成本，因此，青岛钢铁有限公司组织技术攻关研究通过控制成份和改进冷却工艺来代替采用钒氮合金来提高钢筋性能，在改进过程中，我们利用假设检验、回归分析等统计技术来验证预测两种工艺状态下性能指标的变化，为工艺改进提供有效的理论依据，减少了试验炉次，取得了理想的效果。下面介绍如何利用假设检验这一数理统计工具对抗拉强度数据进行处理。
2 假设检验的基本思想
假设检验是根据样本的信息来判断总体分布是否具有指定的特征。为了对总体的分布类型或分布中的未知参数作出推断，首先给出一个具有肯定意义的原假设 ,然后用统计方法对 做出拒绝或接受的检验，即在假设 为真的前提下，通过对总体进行抽样来构造一个小概率事件，若在一次试验中，小概率事件居然发生了，就完全有理由拒绝 ，接受 ，否则就没有充分的理由拒绝 ，从而接受 。
3 假设检验的基本步骤
（1）根据实际问题的要求提出一个关于质量特性值的论断，称为原假设，用H0表示，同时根据实际问题提出原假设的对立面，称为备择假设，用H1表示；
（2）确定检验用的统计量和拒绝域的形式；
（3）选取适当的显著性水平α，通常α取0.10，0.05，0.01等数值；
（4）给出临界值，确定拒绝域；
（5）根据样本观察值确定接受还是拒绝原假设H0。
4 假设检验公式的选定
单个正态总体均值、方差的显著性水平为α的检验如表1，两个正态总体均值、方差的显著性水平为α的检验如表2。
表1 单个正态总体均值、方差的显著性水平为α的检验表
检验法 条件 H0 H1 检验统计量 拒绝域
检验
σ已知 μ≤μ0
μ≥μ0
μ＝μ0 μ＞μ0
μ＜μ0
μ≠μ0

{ u≥u1-α }
{ u≤uα }
{∣u∣≥u1-α/2 }
检验

σ未知
μ≤μ0
μ≥μ0
μ＝μ0 μ＞μ0
μ＜μ0
μ≠μ0
{ t≥t1-α(n-1) }
{ t≤tα(n-1) }
{∣t∣≤t1-α/2 (n-1) }
检验
μ未知 σ2≤σ02
σ2≥σ02
σ2＝σ02 σ2＞σ02
σ2＜σ02
σ2≠σ02
{ χ2≥χ21-α(n-1) }
{ χ2≤χ2α(n-1) }
χ2≤χ2α/2(n-1)或
χ2≥χ21-α/2(n-1)
注：μ为总体均值，σ2为总体方差，σ为总体标准差； 为样本均值，n为样本量， 为样本方差，s为样本标准差。
表2 两个正态总体均值、方差的显著性水平为α的检验表
检验法 条件 H0 H1 检验统计量 拒绝域
检验
σ1，σ2
已知 μ1≤μ2
μ1≥μ2
μ1＝μ2 μ1＞μ2
μ1＜μ2
μ1≠μ2
{ u≥u1-α }
{ u≤uα }
{∣u∣≥u1-α/2 }
检验
σ1=σ2
未知
μ1≤μ2
μ1≥μ2
μ1＝μ2 μ1＞μ2
μ1＜μ2
μ1≠μ2

{ t≥t1-α(n+m-2) }
{ t≤tα(n+m-2) }
{∣t∣≥t1-α/2(n+m-2) }
近似
检验 σ1，σ2
未知，样本量充分大 μ1≤μ2
μ1≥μ2
μ1＝μ2 μ1＞μ2
μ1＜μ2
μ1≠μ2

{ u≥u1-α }
{ u≤uα }
{∣u∣≥u1-α/2 }
检验
μ1，μ2
未知 σ12≤σ22
σ12≥σ22
σ12＝σ22 σ12＞σ22
σ12＜σ22
σ12≠σ22
{F≥F1-α（n-1，m-1）}
{F≤Fα（n-1，m-1）}
F≤Fα/2（n-1，m-1）或
F≥F1-α/2（n-1，m-1）

其中sw =
注：μ为总体均值，σ2为总体方差，σ为总体标准差； 、 为样本均值，n、m为样本量， 、 为样本方差。
正态总体中有两个参数，正态均值μ与正态方差σ2。以正态均值作为检验对象时，适用正态均值的假设检验，若正态方差已知，可选用 检验；若正态方差未知，可选用 检验；并且两个正态总体均值检验时，σ1，σ2未知，样本量充分大时，可选用近似 检验。若以正态方差作为检验对象时，单个正态方差的假设检验，选用 检验；两个正态方差的假设检验，选用 检验。
5 假设检验应用实例
5.1 采集数据
设采用钒氮合金时的抗拉强度值x～N（μ1，σ12），改进工艺后不加钒氮合金时的抗拉强度值y～N（μ2，σ22）。
从采用钒氮合金化的钢筋中随机取n=121批，测得的抗拉强度数据（单位Mpa）为：
抗拉强度（Mpa) 抗拉强度（Mpa) 抗拉强度（Mpa) 抗拉强度（Mpa) 抗拉强度（Mpa) 抗拉强度（Mpa)
460 480 475 470 460 440
495 460 460 480 490 465
470 485 460 540 470 465
530 480 470 465 505 465
450 495 485 470 470 480
460 445 460 450 485 485
450 485 480 470 485 490
460 470 480 485 470 495
470 450 475 470 480 480
465 485 450 460 485 450
470 500 440 470 495 490
475 480 460 485 495 490
480 485 465 450 470 480
450 495 485 470 475 470
485 490 455 470 470 485
460 470 510 510 460 470
520 470 450 470 475 490
495 480 450 470 475 470
450 480 485 450 490 465
505 470 445 470 470 460

改进工艺后不加钒氮合金的钢筋中随机取n=121批，测得的抗拉强度数据（单位Mpa）为：
抗拉强度（Mpa) 抗拉强度（Mpa) 抗拉强度（Mpa) 抗拉强度（Mpa) 抗拉强度（Mpa) 抗拉强度（Mpa)
470 485 465 435 470 480
460 470 480 485 470 495
445 495 485 470 470 480
440 480 475 470 460 430
460 450 475 470 420 460
445 485 460 540 470 465
445 460 460 480 490 465
470 445 460 450 485 485
485 485 450 470 485 490
495 470 445 470 470 460
485 480 420 470 475 470
465 480 440 485 495 445
485 470 450 470 475 490
490 480 450 465 505 465
485 500 440 470 495 490
495 495 485 470 475 470
465 480 485 450 490 465
495 490 455 470 470 485
470 485 450 460 485 450
470 470 510 510 460 470
根据上面的数据算出断面收缩率的样本均值和样本方差分别为：
=474.42， =308.9
=471.74， =348.63
首先检验工艺改变前后抗拉强度的方差是否相等，如果可以认为相等，再进一步检验工艺改变前后抗拉强度的均值是否相等。这是两个正态总体均值、方差的假设检验问题。
5.2 检验方差是否一致
（1）建立假设 H0：σ12＝σ22 H1：σ12≠σ22
（2）因为是方差的检验且μ1，μ2未知，所以选用F检验。
（3）由备择假设知此检验的拒绝域为：
（4）选取显著性水平α=0.05，查F分布表可得：
=1.43
= = =0.7
则拒绝域为：
(5)由样本观测值求得检验统计量：
由于F统计量未落在拒绝域中，所以接受原假设H0，即在显著性水平0.05下认为两总体方差相等。
5.3 检验均值是否一致
（1）建立假设 H0：μ1＝μ2 H1：μ1≠μ2
（2）由于σ1、σ2未知，但样本量n，m充分大，所以选用近似u检验。
（3）由备择假设知此检验的拒绝域为：
（4）选取显著性水平α=0.05，查标准正态分布表可得：
则拒绝域为：
(5) 由样本观测值求得检验统计量：
由于u统计量未落在拒绝域中，所以接受原假设H0，即在显著性水平0.05下认为两总体均值相等。
7 结语
根据所抽取样本，由假设检验得知HRB400带肋钢筋在工艺改进前后的抗拉强度没有显著差异。这一结论已由此后生产该产品的大量数据所证实，所以，理论和事实依据证明工艺改进达到了预期目的。