《九章算术》在我国数学教育史上的历史价值

《九章算术》包括方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九部分内容，奠定了中国古代数学的基本框架；提出了近百个一般性公式、算法，确立了以计算为中心的特点；含有246个应用题，体现了数学密切联系实际的风格；确定了中国古代数学著作算法统率应用问题的基本形式。它提出了完整的分数四则运算法则，比例和比例分配法则，开平方、开立方法则，盈不足术，方程术(即线性方程组解法)，正负数加减法则，若干面积、体积公式及解勾股形公式，除个别失误外，都是正确的，许多成就处于当时世界领先地位。

九章算术的内容是：《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。九章算术的后世影响《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显着特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。可以说，《九章算术》是中国为数学发展做出的又一杰出贡献。

《九章算术》是《算经十书》中内容最丰富和最重要的一部。几乎集中了过去和当时的全部数学知识，是中国最早的一部数学专著。《九章算术》经过了历代各家的修订和增补，逐渐成为定本。《九章算术》是用问题集的形式编写的。全书共收集了246个问题，分为九章，所以叫做《九章算术》。这九章分别是：第一章“方田”，主要讲述田亩面积的计算。第二章“粟米”，讲述各种比例问题，特别是各种粮谷之间的比例交换。第三章“衰分”，“衰”是按比例，“分”是分配，讲述按照比例分配的问题。第四章“少广”，“少”是多少，“广”是宽广。“少广”就是已知面积和体积，反过来求某一边的问题，其中讲解了开平方、开立方的问题。第五章“商功”，“商”是商量，“功”是工程。这是有关各种工程计算，主要是各种体积计算的问题。第六章“均输”，是计算如何按照人口多少、路程远近等条件，合理安排各地区运输赋粟和分派徭役等问题。第七章“盈不足”，是用假设的方法来解决某些难以解决的问题。第八章“方程”，讲述关于一次方程组的解法。其中还有正负数的概念以及正负数加减法的法则。第九章“勾股”，讲述了勾股定理，以及相似直角三角形的解法。还提出了一般二次方程的解法。

《九章算术》全书收有246个数学问题，分为九大类，就是“九章”。第一章“方田”，主要讲各种田亩面积的算法；第二章“粟米”，主要讲各种谷物按比例交换的算法；第三章“衰分”，主要讲按等级或比例进行分配的算法；第四章“少广”，主要讲已知面积和体积反求它一边的算法；第五章“商功”，主要讲有关土石方和用工量的各种工程的算法：第六章“均输”，主要讲按人口多少和路途远近等条件来摊派税收和分派劳力(徭役)的算法；第七章“盈不足”，主要讲两次假设来解决某些难解问题的算法；第八章“方程”，主要讲联立一次方程组的解法和正负数的加减法法则；第九章“勾股”，主要讲勾股定理的应用、直角相似三角形和一元二次方程的解法。

书中有各类实际应用的数学题246个,这些题按解题的方法和应用的范围分为9大类,所以称为 九章算数 .九章算术 的命题,都是从实际生活中提出的问题,包括田亩和土方计算 土地和距离测量 粟米交换 仓库体积 赋税摊派等.这些问题的解答,应用了分数计算方法 开平方 开立方 二次方程和联立一次方程的解法,这在当时居世界领先地位.九章算数 中提出的负数概念和正负数的加减运算,在世界数学史上是最早的. 具体内容如下: 第一章“方田”：田亩面积计算； 第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换； 第三章“衰分”：比例分配问题； 第四章“少广”：已知面积、体积、求其一边长和径长等； 第五章“商功”：土石工程、体积计算； 第六章“均输”：合理摊派赋税； 第七章“盈不足”：即双设法问题； 第八章“方程”：一次方程组问题； 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题． 它的历史意义是 九章算数系统地总结了春秋战国至东汉时期以来我国数学上的重大成就.

《九章算术》的九章的主要内容分别是： 第一章“方田”：田亩面积计算； 第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换； 第三章“衰分”：比例分配问题； 第四章“少广”：已知面积、体积、求其一边长和径长等； 第五章“商功”：土石工程、体积计算； 第六章“均输”：合理摊派赋税； 第七章“盈不足”：即双设法问题； 第八章“方程”：一次方程组问题； 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题．

《九章算术》的内容十分丰富,全书采用问题集的形式,收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题,、它们的主要内容分别是： 第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法.包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法.另外还系统地讲述了分数的四则运算法则,以及求分子分母最大公约数等方法. 第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法,称为今有术；衰分章提出比例分配法则,称为衰分术； 第三章“衰分”：比例分配问题；介绍了开平方、开立方的方法,其程序与现今程序基本一致.这是世界上最早的多位数和分数开方法则.它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础. 第四章“少广”：已知面积、体积,反求其一边长和径长等； 第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外,还有工程分配方法； 　　第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题.今有术、衰分术及其应用方法,构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论.西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法. 第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题,以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法.这也是处于世界领先地位的成果,传到西方后,影响极大. 第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组,相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法,与矩阵的初等变换一致.这是世界上最早的完整的线性方程组的解法.在西方,直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则.这一章还引进和使用了负数,并提出了正负术——正负数的加减法则,与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法.这是世界数学史上一项重大的成就,第一次突破了正数的范围,扩展了数系.外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数. 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题.其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的.提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦,则,m>n.在西方,毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况,直到3世纪的丢番图才取得相近的结果,这已比《九章算术》晚约3个世纪了.勾股章还有些内容,在西方却还是近代的事.例如勾股章最后一题给出的一组公式,在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出. 你可以看一下百度百科的词条,讲得很详细.

《九章算术》是在东汉出的书。《九章算术》是中国汉族学者在古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。现传本《九章算术》的成书年代大约是在公元1世纪的下半叶，九章算术将书中的所有数学问题分为九大类,就是“九章”。后世影响《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则。中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显着特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。

《九章算术》是《算经十书》中内容最丰富和最重要的一部。几乎集中了过去和当时的全部数学知识，是中国最早的一部数学专著。《九章算术》经过了历代各家的修订和增补，逐渐成为定本。《九章算术》是用问题集的形式编写的。全书共收集了246个问题，分为九章，所以叫做《九章算术》。这九章分别是：第一章“方田”，主要讲述田亩面积的计算。第二章“粟米”，讲述各种比例问题，特别是各种粮谷之间的比例交换。第三章“衰分”，“衰”是按比例，“分”是分配，讲述按照比例分配的问题。第四章“少广”，“少”是多少，“广”是宽广。“少广”就是已知面积和体积，反过来求某一边的问题，其中讲解了开平方、开立方的问题。第五章“商功”，“商”是商量，“功”是工程。这是有关各种工程计算，主要是各种体积计算的问题。第六章“均输”，是计算如何按照人口多少、路程远近等条件，合理安排各地区运输赋粟和分派徭役等问题。第七章“盈不足”，是用假设的方法来解决某些难以解决的问题。第八章“方程”，讲述关于一次方程组的解法。其中还有正负数的概念以及正负数加减法的法则。第九章“勾股”，讲述了勾股定理，以及相似直角三角形的解法。还提出了一般二次方程的解法。

《九章算术》的编著者是刘徽，他是中国汉族学者在古代第一部数学专著，是“算经十书”中最重要的一种，成于公元一世纪左右。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。要注意的是《九章算术》没有作者，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。《九章算术》中的数学成就是多方面的：(1)、在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，在第二、三、六章中有许多比例问题，在世界上也是比较早的。“盈不足”的算法需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法”，有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的．《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为假分数(我国古代称为通分内子，“内”读为纳)等等。其步骤与方法大体与现代的雷同。分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减。加法的步骤是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”这里“实”是分子。“法”是分母，“实如法而一”也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之”。就是分子小于分母时便以分数形式保留。其二是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进行加减，运算时不必通分，使分子直接加减即可。《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法。求最大公约数的方法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”这里所说的“等数”就是我们现在的最大公约数。可半者是指分子分母都是偶数，可以折半的先把它们折半，即可先约去2。不都是偶数了，则另外摆(即副置)分子分母算筹进行计算，从大数中减去小数，辗转相减，减到余数和减数相等，即得等数。在《九章算术》的第二、三、六等章内，广泛地使用了各种比例解应用问题。粟米章的开始就列举了各种粮食间互换的比率如下：“粟米之法：粟率五十，粝米三十，粺米二十七，糳米二十四，……”(图1－23)这是说：谷子五斗去皮可得糙米三斗，又可舂得九折米二斗七升，或八拆米二斗四升，……。例如，粟米章第一题：“今有粟米一斗，欲为粝米，问得几何”。它的解法是：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一”。《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法其中第一题：“今有(人)共买物，(每)人出八(钱)，盈(余)三钱；人出七(钱)，不足四(钱)，问人数、物价各几何”，“答曰：七人，物价53(钱)。”“盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘(即交错相乘)所出率，并以为实，并盈，不足为法，实如法而一……置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数”。盈不足术是中国数学史上解应用问题的一种别开生面的创造，它在我国古代算法中占有相当重要的地位。盈不足术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法”，后来又传入欧洲，中世纪时期“双设法”曾长期统治了他们的数学王国。(2)、《九章算术》总结了生产、生活实践中大量的几何知识，在方田、商功和勾股章中提出了很多面积、体积的计算公式和勾股定理的应用。《九章算术》方田章主要论述平面图形直线形和圆的面积计算方法。《九章算术》方田章第一题“今有田广十五步，从(音纵zong)十六步。问为田几何。”“答曰：一亩”。这里“广”就是宽，“从”即纵，指其长度，“方田术曰：广从步数相乘得积步，(得积步就是得到乘积的平方步数)以亩法二百四十步(实质应为积步)除之，即亩数。百亩为一顷。”当时称长方形为方田或直田。称三角形为圭田，面积公式为“术曰：半广以乘正从”。这里广是指三角形的底边，正从是指底边上的高，刘徽在注文中对这一计算公式实质上作了证明：“半广者，以盈补虚，为直田也。”“亦可以半正从以乘广”(图1－30)。盈是多余，虚乃不足。“以盈补虚”就是以多余部分填补不足的部分，这就是我国古代数学推导平面图形面积公式所用的传统的“出入相补”的方法，由上图“以盈补虚”变圭田为与之等积的直田，于是得到了圭田的面积计算公式。 　方田章第二十七、二十八题把直角梯形称为“邪田”(即斜田)它的面积公式是：“术曰：并两邪(即两斜，应理解为梯形两底)而半之，以乘正从……，又可半正从……以乘并。”刘徽在注中说明他的证法仍是“出入相补”法。在方田章第二十九、三十题把一般梯形称为“箕田”，上、下底分别称为“舌”、“踵”，面积公式是：“术曰：并踵舌而半之，以乘正从”。至于圆面积，在《九章算术》方田章第三十一、三十二题中，它的面积计算公式为：“半周半径相乘得积步”。这里“周”是圆周长，“径”是指直径。这个圆面积计算公式是正确的。只是当时取径一周三(即π≈3)。于是由此计算所得的圆面积就不够精密。《九章算术》商功章收集的都是一些有关体积计算的问题。但是商功章并没有论述长方体或正方体的体积算法。看来《九章算术》是在长方体或正方体体积计算公式：V=abc的基础上来计算其他立体图形体积的。《九章算术》商功章提到城、垣、堤、沟、堑、渠，因其功用不同因而名称各异，其实质都是正截面为等腰梯形的直棱柱，他们的体积计算方法：“术曰：并上、下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺”。这里上、下广指横截面的上、下底(a，b)高或深(h)，袤是指城垣……的长(l)。因此城、垣…的体积计算术公式V=1/2(a+b)h.刘徽在注释中把对于平面图形的出入相补原理推广应用到空间图形，成为“损广补狭”以证明几何体体堑堵积公式。刘徽还用棋验法来推导比较复杂的几何体体积计算公式。所谓棋验法，“棋”是指某些几何体模型即用几何体模型验证的方法，例如长方体本身就是“棋”[图1－32(1)]斜解一个长方体，得两个两底面为直角三角形的直三棱柱，我国古代称为“堑堵”（如图），所以堑堵的体积是长方体体积的二分之一。《九章算术》商功章还有圆锥、圆台(古代称“圆亭”)的体积计算公式。甚至对三个侧面是等腰梯形，其他两面为勾股形的五面体[图1－33(1)]，上、下底为矩形的拟柱体(古代称“刍童”)以及上底为一线段，下底为一矩形的拟柱体(古代称“刍甍”)(“甍”音“梦”)等都可以计算其体积。(3)、《九章算术》中的代数内容同样很丰富，具有当时世界的先进水平。1．开平方和开立方《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤基本一样。所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步。问为方几何”。“答曰：二百三十五步”。这里所说的步是我国古代的长度单位。“开方(是指开平方，由正方形面积求其一边之长。)术曰：置积为实(即指筹算中把被开方数放置于第二行，称为实)借一算(指借用一算筹放置于最后一行，如图1－25(1)所示用以定位)。步之(指所借的算筹一步一步移动)超一等(指所借的算筹由个位越过十位移至百位或由百位越过千位移至万位等等，这与现代笔算开平方中分节相当如图1－25(2)所示)。议所得(指议得初商，由于实的万位数字是5，而且22<5<32，议得初商为2，而借算在万位，因此应在第一行置初商2于百位，如图1－25(3)所示)。以一乘所借一算为法(指以初商2乘所借算一次为20000，置于“实”下为“法”，如图1－25(4)所示)而以除(指以初商2乘“法”20000得40000，由“实”减去得：55225-40000=15225，如图1－25(5)所示)除已，倍法为定法，其复除，折法而下(指将“法”加倍，向右移一位，得4000为“定法”因为要求平方根的十位数字，需要把“借算”移至百位，如图1－25(6)所示)。复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除(这一段是指：要求平方根的十位数字，需置借算于百位。因“实”的千位数字为15，且4×3<15<4×4，于是再议得次商为3。置3于商的十位。以次商3乘借算得3×100=300，与定法相加为4000+300=4300。再乘以次商，则得：3×4300=12900，由“实”减去得：15225－12900=2325。如图1－25(7)所示，以所得副从定法，复除折下如前(这一段是指演算如前，即再以300×1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到个位，如图1－25(8)所示；又议得三商应为5，再置5于商的个位如图1－25(9)所示，以5+460=465，再乘以三商5，得465×5=2325经计算恰尽如图1－25(10)所示，因此得平方根为235。)上述由图1－25(1)～(10)是按算筹进行演算的，看起来似乎很繁琐，实际上步骤十分清楚，易于操作。它的开平方原理与现代开平方原理相同。其中“借算”的右移、左移在现代的观点下可以理解为一次变换和代换。《九章算术》时代并没有理解到变换和代换，但是这对以后宋、元时期高次方程的解法是有深远影响的。《九章算术》方程章中的“方程”是专指多元一次方程组而言，与“方程”的含义并不相同。《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”(所以称之谓“方程”)。消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换。由于《九章算术》在用直除法解一次方程组过程中，不可避免地要出现正负数的问题，于是在方程章第三题中明确提出了正负术。刘徽在该术的注文里实质上给出了正、负数的定义：“两算得失相反，要令‘正"、‘负"以名之”。并在计算工具即算筹上加以区别“正算赤，负算黑，否则以邪正为异”。这就是规定正数用红色算筹，负数用黑色算筹。如果只有同色算筹的话，则遇到正数将筹正放，负数时邪(同斜)放。宋代以后出现笔算也相应地用红、黑色数码字以区别正、负数，或在个位数上记斜划以表示负数，如(即—1824)，后来这种包括负数写法在内的中国数码字还传到日本。关于正、负数的加减运算法则，“正负术曰：同名相益，异名相除，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”。这里所说的“同名”、“异名”分别相当于所说的同号、异号。“相益”、“相除”是指二数相加、相减。术文前四句是减法运算法则：(1)如果被减数绝对值大于减数绝对值，即a>b≥0，则同名相益：(±a)-(±b)=±(a-b)，异名相除：(±a)-(b)=±(a+b)。(2)如果被减数绝对值小于减数绝对值，即b>a≥0。①如果两数皆正则a-b=a-[a+(b-a)]=-(b-a)。中间一式的a和a对消，而(b-a)无可对消，则改“正”为“负”，即“正无入负之”。“无入”就是无对，也就是无可对消(或不够减或对方为零)。②如果两数皆负则(-a)-(-b)=－a-[(-a)-(b-a)]=+(b-a)。在中间的式子里(-a)和(-a)对消，而-(b-a)无可对消，则改“负”为“正”所以说“负无入正之”。③如果两数一正一负。则仍同(1)的异名相益。术文的后四句是指正负数加法运算法则。(1)同号两数相加，即同名相益，其和的绝对值等于两数绝对值和。如果a>0，b>0，则a+b=a+b，(-a)+(-b)=-(a+b)(2)异号两数相加，实为相减，即异名相除。如果正数的绝对值较大，其和为正，即“正无入正之”。如果负数的绝对值较大，其和为负，即“负无入负之”。用符号表示为①如果a>b≥0，则 a+(-b)=[b+(a-b)]+(-b)=a-b，或 (-a)+b=[(-b)－(a-b)]+b=-(a-b)。②如果b>a≥0，则 a+(-b)=a+[(-a)-(b-a)]=-(b-a)，或 (-a)+b=(-a)+[a+(b-a)]=b-a。关于正负数的乘除法则，在《九章算术》时代或许会遇到有关正负数的乘除运算。可惜书中并未论及，直到元代朱世杰于《算学启蒙》(1299年)中才有明确的记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，“同名相除所得为正，异名相除所得为负”，因此至迟于13世纪末我国对有理数四则运算法则已经全面作了总结。至于正负数概念的引入，正负数加减运算法则的形成的历史记录，我国更是遥遥领先。国外首先承认负数的是七世纪印度数学家婆罗门岌多(约598-？)欧洲到16世纪才承认负数。

《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著。是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本。

九章算术是西汉的。《九章算术》是中国西汉张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著。是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本。《九章算术》的后世影响：《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则。

《九章算术》的作者是张苍、耿寿昌。《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著。是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本。作品思想《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深，以致以后中国数学着作大体采取两种形式：或为之作注，或仿其体例着书。甚至西算传入中国之后，人们着书立说时还常常把包括西算在内的数学知识纳入九章的框架。然而，《九章算术》亦有其不容忽视的缺点：没有任何数学概念的定义，也没有给出任何推导和证明。魏景元四年（263年），刘徽给《九章算术》作注，才大大弥补了这个缺陷。

第一章“方田”： 主要讲述了平面几何图形面积的计算方法.包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法.另外还系统地讲述了分数的四则运算法则,以及求分子分母最大公约数等方法. 　　 第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法,称为今有术；衰分章提出比例分配法则,称为衰分术； 　　 第三章“衰分”：比例分配问题；介绍了开平方、开立方的方法,其程序与现今程序基本一致.这是世界上最早的多位数和分数开方法则.它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础. 　　 第四章“少广”：已知面积、体积,反求其一边长和径长等； 　　 第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外,还有工程分配方法； 　第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题.今有术、衰分术及其应用方法,构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论.西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法. 　　 第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题,以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法.这也是处于世界领先地位的成果,传到西方后,影响极大. 第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组, 勾股定理求解相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法,与矩阵的初等变换一致.这是世界上最早的完整的线性方程组的解法.在西方,直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则.这一章还引进和使用了负数,并提出了正负术——正负数的加减法则,与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法.这是世界数学史上一项重大的成就,第一次突破了正数的范围,扩展了数系.外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数. 　　 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题.其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的.提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦,则,m>n.在西方,毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况,直到3世纪的丢番图才取得相近的结果,这已比《九章算术》晚约3个世纪了.勾股章还有些内容,在西方却还是近代的事.例如勾股章最后一题给出的一组公式,在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出.

刘徽

《九章算术》成书以后，极大地影响了中国古代的数学研究工作．在中国古代数学史上，《九章算术》的形成，标志着中国古代数学的形成．《九章算术》为历代中算家提供了著作的样板和统一的语汇．中国古代数学著作大多数以分成章节的问题集形式出现；若干个同类的问题可由一个典型（往往是首问）来概括，这个典型的问题就是一个正规化的数学模型．因而与其说中国古代数学著作通常采用问题集的形式，不如说它们是各类数学模型的集成．就写作的细节而言，每一典型问题又都分为“问”、“答”、“术”、“注”等不同条目；“问”提出具体的问题；“答”给出具体答数；“术”一般来说是解一类问题的算法、公式或定理；“注”的核心是对造“术”原理的解释。《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。所以，《九章算术》是中国为数学发展做出的一杰出贡献。《九章算术》总结了自周朝以来的中国古代数学，它既包含了以前已经解决了的数学问题，又有汉朝时新发现的数学成就。一般认为，它在数学史上，标志着中国古代数学体系的形成，是中国古代数学体系的初期代表作。在九章算术中有许多数学问题都是世界上记载最早的。例如，关于比例算法的问题，它和后来在16世纪西欧出现的三分律的算法一样。关于双设法的问题，在阿拉伯曾称为契丹算法，13世纪以后的欧洲数学著作中也有如此称呼的，这也是中国古代数学知识向西方传播的一个证据。《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响，这种影响一直持续到了清朝中叶。《九章算术》的叙述方式以归纳为主，先给出若干例题，再给出解法，不同于西方以演绎为主的叙述方式，中国后来的数学著作也都是采用叙述方式为主。历代数学家有不少人曾经注释过这本书，其中以刘徽和李淳风的注释最有名。《九章算术》还流传到了日本和朝鲜，对其古代的数学发展也产生了很大的影响。

　　《九章算术》是中国古代数学专著,承先秦数学发展的源流,进入汉朝后又经许多学者的删补才最后成书,这大约是公元一世纪的下半叶.它的出现,标志着中国古代数学体系的形成.　　后世的数学家,大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的.唐宋两代都由国家明令规定为教科书.1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻,这是世界上最早的印刷本数学书.　　《九章算术》共收有 246个数学问题,分为九章.分别是：方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股.　　《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则.

第一章“方田”： 主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；第三章“衰分”：比例分配问题；介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组， 勾股定理求解相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。

《九章算术》是我国流传至今最古老的数学专著之一，它成书于西汉时期。这部书的完成经过了一段历史过程，书中所收集的各种数学问题，有些是秦以前流传的问题，长期以来经过多人删补、修订，最后由西汉时期的数学家整理完成。现今流传的定本的内容在东汉之前已经形成。《九章算术》是中国最重要的一部经典数学著作，它的完成奠定了中国古代数学发展的基础，在中国数学史上占有极为重要的地位。现传本《九章算术》共收集了246个应用问题和各种问题的解法，分别隶属于： 第一章，「方田」（38）：平面图形面积的量法及算法，如矩形、三角形、圆、弧形、环形等的田地的求积公式，及分数算法，包括加减乘除法、约分〔将分母，分子用辗转相除法求出它的最大公约数再作约分〕、分数大小的比较及求几个分数的算术平均数等。 第二章，「粟米」（46）：各种粮食交换之间的计算，讨论比例算法。 第三章，「衰分」（20）：比例分配问题。 第四章，「少广」（24）： 多位数开平方，开立方的法则。 第五章，「商功」（28）：立体形体积的计算。 第六章，「均输」（28）：处理行程和合理解决征税的问题，尤其是与人民从本地运送谷物到京城交税所需的时间有关的问题，还有一些与按人口征税有关的问题，其中还夹杂着衰分、比例及各种杂题。 第七章，「盈不足」（20）：算术中的盈亏问题的算法，实际上就是现在的线性插值法，它还有许多名称，如试位法、夹叉求零点、双假设法等。 第八章，「方程」（18）：有关一次方程组的内容，最后还有不定方程。将方程组的系数和常数项用算筹摆成「方程」，这是《九章算术》中解多一次方程组的方法，而整个消元过程则相当于代数中的线性变换。在方程章里提出了正负数的不同表示法和正负数的加减法则。 第九章，「勾股」（24）：专门讨论用勾股定理解决应用问题的方法。 《九章算术》的出现，标志着我国古代数学体系的正式确立，当中有以下的一些特点： 1、是一个应用数学体系，全书表述为应用问题集的形式； 2、以算法为主要内容，全书以问、答、术构成，“术”是主要需阐述的内容； 3、以算筹为工具。

《九章算术》是中国古代第一部数学专著,是算经十书中最重要的一种.该书内容十分丰富,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.同时,《九章算术》在数学上还有其独到的成就,不仅最早提到分数问题,也首先记录了盈不足等问题,“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则.要注意的是《九章算术》没有作者,它是一本综合性的历史著作,是当时世界上最先进的应用数学,它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系. 《九章算术》共收有246个数学问题,分为九章、它们的主要内容分别是： 第一章“方田”：田亩面积计算；提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式；分数的通分、约分和加减乘除四则运算的完整法则.后者比欧洲早1400多年. 第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法,称为今有术；衰分章提出比例分配法则,称为衰分术； 第三章“衰分”：比例分配问题；介绍了开平方、开立方的方法,其程序与现今程序基本一致.这是世界上最早的多位数和分数开方法则.它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础. 第四章“少广”：已知面积、体积,反求其一边长和径长等； 第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外,还有工程分配方法； 第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题.今有术、衰分术及其应用方法,构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论.西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法. 第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题,以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法.这也是处于世界领先地位的成果,传到西方后,影响极大. 第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组, 勾股定理求解相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法,与矩阵的初等变换一致.这是世界上最早的完整的线性方程组的解法.在西方,直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则.这一章还引进和使用了负数,并提出了正负术——正负数的加减法则,与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法.这是世界数学史上一项重大的成就,第一次突破了正数的范围,扩展了数系.外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数. 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题.其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的.提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦,则,m>n.在西方,毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况,直到3世纪的丢番图才取得相近的结果,这已比《九章算术》晚约3个世纪了.勾股章还有些内容,在西方却还是近代的事.例如勾股章最后一题给出的一组公式,在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出.

春秋时期，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已普遍使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展具有划时代的意义。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上也有相应的提高。战国时期，随着铁器的出现，生产力的提高，我国开始了由奴隶制向封建制的过渡。新的生产关系促进了科学技术的发展与进步。此时私学已经开始出现了。昀晚在春秋末期时，人们已经掌握了完备的十进位值制记数法，普遍使用了算筹这种先进的计算工具。秦汉时期，社会生产力得到恢复和发展，给数学和科学技术的发展带来新的活力，人们提出了若干算术难题，并创造了解勾股形、重差等新的数学方法。同时，人们注重先秦文化典籍的收集、整理。作为数学新发展及先秦典籍的抢救工作的结晶，便是《九章算术》的成书。它是西汉丞相张苍、天文学家耿寿昌收集秦火遗残，加以整理删补而成的。《九章算术》是由国家组织力量编纂的一部官方性数学教科书，集先秦至西汉数学知识之大成，是我国古代昀重要的数学经典，对两汉时期以及后来数学的发展产生了很大的影响。《九章算术》成书后，注家蜂起。《汉书·艺文志》所载《许商算术》、《杜忠算术》就是研究《九章算术》的作品。东汉时期马续、张衡、刘洪、郑玄、徐岳、王粲等通晓《九章算术》，也为之作注。这些著作的问世，推动了稍后的数学理论体系的建立。《九章算术》的出现，奠定了我国古代数学的基础，它的框架、形式、风格和特点深刻影响了我国和东方的数学。数学理论体系的建立《九章算术》问世之后，我国的数学著述基本上采取两种方式：一是为《九章算术》作注；二是以《九章算术》为楷模编纂新的著作。其中刘徽的《九章算术注》被认为是我国古代数学理论体系的开端。

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汉代数学成就除了《周髀算经》外，还有《九章算术》，它系统地总结了我国从先秦到西汉中期的数学成就。该书作者已无从查考，但西汉著名数学家张苍、耿寿昌等人曾经对它进行过增订删补。魏晋时刘徽为《九章算术》作注时说：“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣。”可知该书中理论成于周公之时。《九章算术》全书分作9章，一共搜集了246个数学问题，按解题的方法和应用的范围分为9大类，每一大类作为一章。它们的主要内容分别是：第一章“方田”：田亩面积计算；第二章“粟米”：谷物粮食的比例折换；第三章“衰分”：比例分配问题；第四章“少广”：已知面积、体积，求其一边长和径长等；第五章“商功”：土石工程、体积计算；第六章“均输”：合理摊派赋税；第七章“盈不足”：即双设法问题；第八章“方程”：一次方程组问题；第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。《九章算术》在数学上有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。《九章算术》是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着我国古代数学形成了完整的体系。唐宋两代，《九章算术》都由国家明令规定为教科书。到了北宋，《九章算术》还曾由政府进行过刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。

九章算术的作者是张苍、耿寿昌。《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本。《九章算术》后世影响《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。 

《九章算术》的九章的主要内容分别是：第一章“方田”：田亩面积计算； 第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；第三章“衰分”：比例分配问题； 第四章“少广”：已知面积、体积、求其一边长和径长等； 第五章“商...

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今本《九章算术》是从《永乐大典》中辑出的刘徽注本，共九卷，每卷一章，分列246个问题进行解答，类如一部习题集。书中记载了当时世界上最先进的分数四则运算和比例算法，解决各种面积和体积的算法，以及利用勾股定理进行测量的手段。其较高的成就还在于代数方面，如记载了开平方和开立方的方法，求解一般一元二次方程的解法，还有联立一次方程的解法，这些都比欧洲的同类算法早出1500多年。书中所提出的负数概念以及正负数的加减法运算法则，也是世界数学史上处于第一位的。《九章算术》

《九章算术》共收有246个数学问题，分为九大类，在一个或几个问题之后，列出这个问题的解法。1.方田：主要是田亩面积的计算和分数的计算，是世界上最早对分数进行系统叙述的著作。2.粟米：主要是粮食交易的计算方法，其中涉及许多比例问题。3.衰分：主要内容为分配比例的算法。4.少广：主要讲开平方和开立方的方法。5.商功：主要是土石方和用工量等工程数学问题，以体积的计算为主。6.均输：计算税收等更加复杂的比例问题。7.盈不足：双设法的问题。8.方程：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减法，在世界数学史上是第一次出现。9.勾股：勾股定理的应用。

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记录了春秋战国时期的数学成就，现在的初等数学中的代数，几何，也有记载

《九章算术》是中国古代数学专著，承先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经许多学者的删补才最后成书，这大约是公元一世纪的下半叶。它的出现，标志着中国古代数学体系的形成。 后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。《九章算术》共收有 246个数学问题，分为九章。分别是：方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。《九章算术注》中所蕴涵的科学思想可谓极其深邃。逻辑思想、重验思想、极限思想、求理思想、创新思想、对立统一思想和言意思想等均是其科学思想的真实体现。刘徽集各家优秀思想方法，并加以创新而用于数学研究，使以《九章算术》为代表的中国传统数学发生了根本性的变化，并上升到了一个新的阶段，他是遥遥领先于中国传统数学领域的杰出代表，也堪称是世界数学泰斗。

九章算术》是世界数学发展史上的宝贵遗产, 是中国古代数学发展史上的重要里程碑,它对中国古代数学发展的影响之大是任何其他数学书籍不能相比的。它几乎成了中国古代数学的代名词。中国历代数学家从中济取着丰富的营养, 不断地将中国数学推向前进。　　《九章算术》的成书年代，成书于何时，目前仍未能判定。但从现有史料所载，如东汉时马续、郑玄等都学习或研究过该书;东汉时期甚至把这部书规定为国家校核度量衡的依据等，可见该书在东汉时期已广为流传了。而《九章算术》的作者，我们认为这部书是在较长时期内，经多人之手，整理、修改，逐步充实而成的。比如刘徽就说过：“往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。”　　《九章算术》的内容十分丰富。它采用问题集的形式, 收有2 4 6 个与生产实践有联系的应用题,包括问题、答案和术三部分, 并配有插图。分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、赢不足、方程和勾股等九章，这些题目来源于实际, 又进行了改造、整理和虚构, 从而使其更具有一般意义。题目的答案简洁明了。其术则是用简练, 规范的语言将计算步骤编制成一个个程序, 构成了一些定理或公式。这种编写体例成为中国古代数学著作典范，16世纪之前的中国数学著作基本上都采用了这种体例。　　《九章算术》以计算为主, 体现了重实用的原则, 但又不乏理论基础, 如正负术、经率术、开立方术、勾股定理等。《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作;其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造;“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则;现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。尽管有个别问题的解答公式有误差或者仅提供了一种近似计算法, 但基本上体现了理论与实践相结合的原则。《九章算术》以解决问题为目的, 将代数与几何结合起来处理, 几何与代数交错贯穿, 相辅相成, 图文并茂, 体现了数形结合的思想。这成为后世中国数学发展的一种特点。望采纳

《九章算术》 是流传到现在 中国 古代最早的一部 数学 著作，是《算经十书》中最重要的一种。其作者已不可考。一般认为它是经多人增补修订而成。 根据研究， 西汉 的张苍、耿寿昌曾经做过增补。最后成书最迟在 东汉 前期，但是其基本内容在 东汉 后期已经基本定型。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是“九章”。 1984年 ，在 湖北 出土了《算数书》书简。据考证，它比《九章算术》要早一个半世纪以上，书中有些内容和《九章算术》非常相似，一些内容的文句也基本相同。有人推测两书具有某些继承关系，但也有不同的看法认为《九章算术》没有直接受到《算数书》影响。 《九章算术》共收有246个数学问题，分为九大类，在一个或几个问题之后，列出这个问题的解法。 方田：主要是田亩面积的计算和分数的计算，是世界上最早对分数进行系统叙述的著作。 粟米：组好事粮食交易的计算方法，其中涉及许多比例问题。 衰（读作“翠”）分：主要内容为分配比例的算法。 少广：主要讲开平方和开立方的方法。 商功：主要是土石方和用工量等工程数学问题，以体积的计算为主。 均输：计算税收等更加复杂的比例问题。 盈不足：双设法的问题。 方程：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减法，在世界数学史上是第一次出现。 勾股： 勾股定理 的应用。 《九章算术》总结了自 周朝 以来的中国古代数学，它既包含了以前已经解决了的数学问题，又有 汉朝 时新发现的数学成就。一般认为，它在数学史 上，标志着中国古代数学体系的形成，是中国古代数学体系的初期代表作。 在九章算术中有许多数学问题都是世界上记载最早的。例如，关于比例算法的问题，它和后来在 16世纪 西欧 出现的三分律的算法一样。关于双设法的问题，在阿拉伯曾称为契丹算法， 13世纪 以后的 欧洲 数学著作中也有如此称呼的，这也是中国古代数学知识向西方传播的一个证据。 《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响，这种影响一直持续到了 清朝 中叶。《九章算术》的叙述方式以归纳为主，先给出若干例题，在给出解法，不同于西方以演绎为主的叙述方式，中国后来的数学著作也都是采用叙述方式为主。历代数学家有不少人曾经注释过这本书，其中以刘徽和李淳风的注释最有名。 《九章算术》还流传到了 日本 和 朝鲜 ，对他们古代的数学发展也产生了很大的影响。

《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。要注意的是《九章算术》没有作者，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。《九章算术》是中国古代数学专着，是《算经十书》(汉唐之间出现的十部古 《九章算术》算书)中最重要的一种。魏晋时刘徽为《九章算术》作注时说:“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”，又说“汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论多近语也”。 根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补。最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在东汉后期已经基本定型。《汉书艺文志》(班固根据刘歆《七略》写成者)中着录的数学书仅有《许商算术》、《杜忠算术》两种，并无《九章算术》，可见《九章算术》的出现要晚于《七略》。《后汉书马援传》载其侄孙马续“博览群书，善《九章算术》”，马续是公元1世纪最后二、三十年时人。再根据《九章算术》中可供判定年代的官名、地名等来推断，现传本《九章算术》的成书年代大约是在公元1世纪的下半叶。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是“九章”。

九章算术》是中国古代数学专著，承先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经许多学者的删补才最后成书，这大约是公元一世纪的下半叶。它的出现，标志着中国古代数学体系的形成。 后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两。

《九章算术》的作者是张苍、耿寿昌。《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著。是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本。2020年4月，列入《教育部基础教育课程教材发展中心 中小学生阅读指导目录（2020年版）》初中段。后世影响：《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响，这种影响一直持续到了清朝中叶。《九章算术》的叙述方式以归纳为主，先给出若干例题，再给出解法，不同于西方以演绎为主的叙述方式，中国后来的数学著作也都是采用叙述方式为主。历代数学家有不少人曾经注释过这本书，其中以刘徽和李淳风的注释最有名。

分类: 资源共享 问题描述: 九章算术是谁推广的？ 解析: 《九章算术》是中国古代数学专著，是算经十书中最重要的一种．《九章算术》上承先秦数学发展之源流，入汉之后又经许多学者的整理、删补和修订，大约于东汉初年（公元一世纪）成书，是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．后世的古代数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学的，许多人曾为它作过注释，其中最著名的有刘徽（公元263年）、李淳风（公元656年）等人． 《九章算术》收有246个数学问题，分为九章．它们的主要内容分别是：第一章“方田”：田亩面积计算； 第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；第三章“衰分”：比例分配问题； 第四章“少广”：已知面积、体积、求其一边长和径长等； 第五章“商功”：土石工程、体积计算； 第六章“均输”：合理摊派赋税； 第七章“盈不足”：即双设法问题； 第八章“方程”：一次方程组问题； 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题． 《九章算术》中的数学成就是多方面的: (1)、在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法．九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，在第二、三、六章中有许多比例问题，在世界上也是比较早的．“盈不足”算法需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法”，有人认为它是由中国经中世纪 *** 国家传去的． (2)、在几何方面，主要是面积、体积计算． (3)、在代数方面，主要有一次方程组解法、开平方、开立方、一般二次方程解法等．“方程”一章还在世界数学史上首次引入了负数及其加减法运算法则．作为一部世界科学名著，《九章算术》在隋唐时期就已传入朝鲜、日本．现在它已被译成日、俄、德、英、法等多种文字． 《九章算术》共收有 246个数学问题，分为九章。分别是：方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。 《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。

《九章算术》九章算术的作者不是祖冲之，是张苍、耿寿昌。《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著。是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本。作品思想《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深，以致以后中国数学着作大体采取两种形式：或为之作注，或仿其体例着书；甚至西算传入中国之后，人们着书立说时还常常把包括西算在内的数学知识纳入九章的框架。以上内容参考：百度百科-九章算术

《九章算术》是西汉以来许多数学家研究的结晶，西汉前期的著名数学家张苍、耿寿昌等人曾经对他进行增减。全书一共分为9章，搜集了246个数学问题的解法，其中记载了当时世界上最先进的分数四则和比例算法。还有各种面积体积的算法和利用勾股定理进行测量的问题，以及开方、开立方的方法。特别是在世界数学史上的第一次记载了负数的概念和正负数的加减法运算法则。这部书对中国古代数学的发展所产生的影响是很大的。标志着我国古代数学的完整体系的形成。他不仅在中国数学史上占有重要的地位，而且影响到了朝鲜、日本，被翻译成许多种外文出版。

没作者的啊。。，至少没有记载啊

1、《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著。是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本。2、《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。

《九章算术》其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本。

《九章算术》中的数学成就是多方面的：（1）、在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，在第二、三、六章中有许多比例问题，在世界上也是比较早的。“盈不足”的算法需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法”，有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的。《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为假分数（我国古代称为通分内子，“内”读为纳）等等。其步骤与方法大体与现代的雷同。分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减。加法的步骤是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”这里“实”是分子。“法”是分母，“实如法而一”也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之”。就是分子小于分母时便以分数形式保留。其二是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进行加减，运算时不必通分，使分子直接加减即可。《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法。求最大公约数的方法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”这里所说的“等数”就是我们现在的最大公约数。可半者是指分子分母都是偶数，可以折半的先把它们折半，即可先约去2。不都是偶数了，则另外摆（即副置）分子分母算筹进行计算，从大数中减去小数，辗转相减，减到余数和减数相等，即得等数。在《九章算术》的第二、三、六等章内，广泛地使用了各种比例解应用问题。粟米章的开始就列举了各种粮食间互换的比率如下：“粟米之法：粟率五十，粝米三十，粺米二十七，糳米二十四，……”这是说：谷子五斗去皮可得糙米三斗，又可舂得九折米二斗七升，或八拆米二斗四升，……。例如，粟米章第一题：“今有粟米一斗，欲为粝米，问得几何”。它的解法是：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一”。《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法其中第一题：“今有（人）共买物，（每）人出八（钱），盈（余）三钱；人出七（钱），不足四（钱），问人数、物价各几何”，“答曰：七人，物价53（钱）。”“盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘（即交错相乘）所出率，并以为实，并盈，不足为法，实如法而一……置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数”。盈不足术是中国数学史上解应用问题的一种别开生面的创造，它在我国古代算法中占有相当重要的地位。盈不足术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法”，后来又传入欧洲，中世纪时期“双设法”曾长期统治了他们的数学王国。（2）、《九章算术》总结了生产、生活实践中大量的几何知识，在方田、商功和勾股章中提出了很多面积、体积的计算公式和勾股定理的应用。《九章算术》方田章主要论述平面图形直线形和圆的面积计算方法。《九章算术》方田章第一题“今有田广十五步，从（音纵zong）十六步。问为田几何。”“答曰：一亩”。这里“广”就是宽，“从”即纵，指其长度，“方田术曰：广从步数相乘得积步，（得积步就是得到乘积的平方步数）以亩法二百四十步（实质应为积步）除之，即亩数。百亩为一顷。”当时称长方形为方田或直田。称三角形为圭田，面积公式为“术曰：半广以乘正从”。这里广是指三角形的底边，正从是指底边上的高，刘徽在注文中对这一计算公式实质上作了证明：“半广者，以盈补虚，为直田也。”“亦可以半正从以乘广”（图1－30）。盈是多余，虚乃不足。“以盈补虚”就是以多余部分填补不足的部分，这就是我国古代数学推导平面图形面积公式所用的传统的“出入相补”的方法，由上图“以盈补虚”变圭田为与之等积的直田，于是得到了圭田的面积计算公式。 　方田章第二十七、二十八题把直角梯形称为“邪田”（即斜田）它的面积公式是：“术曰：并两邪（即两斜，应理解为梯形两底）而半之，以乘正从……，又可半正从……以乘并。”刘徽在注中说明他的证法仍是“出入相补”法。在方田章第二十九、三十题把一般梯形称为“箕田”，上、下底分别称为“舌”、“踵”，面积公式是：“术曰：并踵舌而半之，以乘正从”。至于圆面积，在《九章算术》方田章第三十一、三十二题中，它的面积计算公式为：“半周半径相乘得积步”。这里“周”是圆周长，“径”是指直径。这个圆面积计算公式是正确的。只是当时取径一周三（即π≈3）。于是由此计算所得的圆面积就不够精密。《九章算术》商功章收集的都是一些有关体积计算的问题。但是商功章并没有论述长方体或正方体的体积算法。看来《九章算术》是在长方体或正方体体积计算公式：V=abc的基础上来计算其他立体图形体积的。《九章算术》商功章提到城、垣、堤、沟、堑、渠，因其功用不同因而名称各异，其实质都是正截面为等腰梯形的直棱柱，他们的体积计算方法：“术曰：并上、下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺”。这里上、下广指横截面的上、下底（a，b）高或深（h），袤是指城垣……的长（l）。因此城、垣…的体积计算术公式V=1/2（a+b）h.刘徽在注释中把对于平面图形的出入相补原理推广应用到空间图形，成为“损广补狭”以证明几何体体积公式。刘徽还用棋验法来推导比较复杂的几何体体积计算公式。所谓棋验法，“棋”是指某些几何体模型即用几何体模型验证的方法，例如长方体本身就是“棋”[图1－32（1）]斜解一个长方体，得两个两底面为直角三角形的直三棱柱，我国古代称为“堑堵”（如图），所以堑堵的体积是长方体体积的二分之一。《九章算术》商功章还有圆锥、圆台（古代称“圆亭”）的体积计算公式。甚至对三个侧面是等腰梯形，其他两面为勾股形的五面体[图1－33（1）]，上、下底为矩形的拟柱体（古代称“刍童”）以及上底为一线段，下底为一矩形的拟柱体（古代称“刍甍”）（“甍”音“梦”）等都可以计算其体积。（3）、《九章算术》中的代数内容同样很丰富，具有当时世界的先进水平。1．开平方和开立方《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤基本一样。所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步。问为方几何”。“答曰：二百三十五步”。这里所说的步是我国古代的长度单位。“开方（是指开平方，由正方形面积求其一边之长。）术曰：置积为实（即指筹算中把被开方数放置于第二行，称为实）借一算（指借用一算筹放置于最后一行，如图1－25（1）所示用以定位）。步之（指所借的算筹一步一步移动）超一等（指所借的算筹由个位越过十位移至百位或由百位越过千位移至万位等等，这与现代笔算开平方中分节相当如图1－25（2）所示）。议所得（指议得初商，由于实的万位数字是5，而且22<5<32，议得初商为2，而借算在万位，因此应在第一行置初商2于百位，如图1－25（3）所示）。以一乘所借一算为法（指以初商2乘所借算一次为20000，置于“实”下为“法”，如图1－25（4）所示）而以除（指以初商2乘“法”20000得40000，由“实”减去得：55225-40000=15225，如图1－25（5）所示）除已，倍法为定法，其复除，折法而下（指将“法”加倍，向右移一位，得4000为“定法”因为要求平方根的十位数字，需要把“借算”移至百位，如图1－25（6）所示）。复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除（这一段是指：要求平方根的十位数字，需置借算于百位。因“实”的千位数字为15，且4×3<15<4×4，于是再议得次商为3。置3于商的十位。以次商3乘借算得3×100=300，与定法相加为4000+300=4300。再乘以次商，则得：3×4300=12900，由“实”减去得：15225－12900=2325。如图1－25（7）所示，以所得副从定法，复除折下如前（这一段是指演算如前，即再以300×1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到个位，如图1－25（8）所示；又议得三商应为5，再置5于商的个位如图1－25（9）所示，以5+460=465，再乘以三商5，得465×5=2325经计算恰尽如图1－25（10）所示，因此得平方根为235。）上述由图1－25（1）—（10）是按算筹进行演算的，看起来似乎很繁琐，实际上步骤十分清楚，易于操作。它的开平方原理与现代开平方原理相同。其中“借算”的右移、左移在现代的观点下可以理解为一次变换和代换。《九章算术》时代并没有理解到变换和代换，但是这对以后宋、元时期高次方程的解法是有深远影响的。《九章算术》方程章中的“方程”是专指多元一次方程组而言，与“方程”的含义并不相同。《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”（所以称之谓“方程”）。消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换。由于《九章算术》在用直除法解一次方程组过程中，不可避免地要出现正负数的问题，于是在方程章第三题中明确提出了正负术。刘徽在该术的注文里实质上给出了正、负数的定义：“两算得失相反，要令‘正"、‘负"以名之”。并在计算工具即算筹上加以区别“正算赤，负算黑，否则以邪正为异”。这就是规定正数用红色算筹，负数用黑色算筹。如果只有同色算筹的话，则遇到正数将筹正放，负数时邪（同斜）放。宋代以后出现笔算也相应地用红、黑色数码字以区别正、负数，或在个位数上记斜划以表示负数，如（即—1824），后来这种包括负数写法在内的中国数码字还传到日本。关于正、负数的加减运算法则，“正负术曰：同名相益，异名相除，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”。这里所说的“同名”、“异名”分别相当于所说的同号、异号。“相益”、“相除”是指二数相加、相减。术文前四句是减法运算法则：（1）如果被减数绝对值大于减数绝对值，即a>b≥0，则同名相益：（±a）-（±b）=±（a-b），异名相除：（±a）-（b）=±（a+b）。（2）如果被减数绝对值小于减数绝对值，即b>a≥0。①如果两数皆正则a-b=a-[a+（b-a）]=-（b-a）。中间一式的a和a对消，而（b-a）无可对消，则改“正”为“负”，即“正无入负之”。“无入”就是无对，也就是无可对消（或不够减或对方为零）。②如果两数皆负则（-a）-（-b）=－a-[（-a）-（b-a）]=+（b-a）。在中间的式子里（-a）和（-a）对消，而-（b-a）无可对消，则改“负”为“正”所以说“负无入正之”。③如果两数一正一负。则仍同（1）的异名相益。术文的后四句是指正负数加法运算法则。（1）同号两数相加，即同名相益，其和的绝对值等于两数绝对值和。如果a>0，b>0，则a+b=a+b，（-a）+（-b）=-（a+b）（2）异号两数相加，实为相减，即异名相除。如果正数的绝对值较大，其和为正，即“正无入正之”。如果负数的绝对值较大，其和为负，即“负无入负之”。用符号表示为①如果a>b≥0，则 a+（-b）=[b+（a-b）]+（-b）=a-b，或 （-a）+b=[（-b）－（a-b）]+b=-（a-b）。②如果b>a≥0，则 a+（-b）=a+[（-a）-（b-a）]=-（b-a），或 （-a）+b=（-a）+[a+（b-a）]=b-a。关于正负数的乘除法则，在《九章算术》时代或许会遇到有关正负数的乘除运算。可惜书中并未论及，直到元代朱世杰于《算学启蒙》（1299年）中才有明确的记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，“同名相除所得为正，异名相除所得为负”，因此至迟于13世纪末我国对有理数四则运算法则已经全面作了总结。至于正负数概念的引入，正负数加减运算法则的形成的历史记录，我国更是遥遥领先。国外首先承认负数的是七世纪印度数学家婆罗门岌多（约598-？）欧洲到16世纪才承认负数。

九章算术——勾股〔一〕今有句三尺，股四尺，问为弦几何？　　荅曰：五尺。〔二〕今有弦五尺，句三尺，问为股几何？　　荅曰：四尺。〔三〕今有股四尺，弦五尺，问为句几何？　　荅曰：三尺。　　句股术曰：句股各自乘，并，而开方除之，即弦。　　又股自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即句。　　又句自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即股。〔四〕今有圆材径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸。问广几何？　　荅曰：二尺四寸。　　术曰：令径二尺五寸自乘，以七寸自乘减之，其余开方除之，即广。　　〔五〕今有木长二丈，围之三尺。葛生其下，缠木七周，上与木齐。问葛长几何？　　荅曰：二丈九尺。　　术曰：以七周乘三尺为股，木长为句，为之求弦。弦者，葛之长。〔六〕今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？　　荅曰：　　水深一丈二尺；　　葭长一丈三尺。　　术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之，余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭长。〔七〕今有立木，系索其末，委地三尺。引索却行，去本八尺而索尽。问索长几何？　　荅曰：一丈二尺、六分尺之一。　　术曰：以去本自乘，令如委数而一，所得，加委地数而半之，即索长〔八〕今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐。引木却行一尺，其木至地。问木几何？　　荅曰：五丈五寸。　　术曰：以垣高十尺自乘，如却行尺数而一，所得，以加却行尺数而半之，即木长数。〔九〕今有圆材，埋在壁中，不知大小。以鐻鐻之，深一寸，鐻道长一尺。问径几何？　　荅曰：材径二尺六寸。　　术曰：半鐻道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径。〔一0〕今有开门去阃一尺，不合二寸。问门广几何？　　荅曰：一丈一寸。　　术曰：以去阃一尺自乘，所得，以不合二寸半之而一，所得，增不合之半，即得门广。〔一一〕今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈。问户高、广各几何？　　荅曰：　　广二尺八寸；　　高九尺六寸。　　术曰：令一丈自乘为实。半相多，令自乘，倍之，减实，半其余。以开方除之，所得，减相多之半，即户广。加相多之半，即户高。〔一二〕今有户不知高广，竿不知长短。横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出。问户高、广、袤各几何？　　荅曰：　　广六尺，　　高八尺，　　袤一丈。　　术曰：从、横不出相乘，倍，而开方除之。所得加从不出即户广，加横不出即户高，两不出加之，得户袤。〔一三〕今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何？　　荅曰：四尺、二十分尺之十一。　　术曰：以去本自乘，令如高而一，所得，以减竹高而半其余，即折者之高也。〔一四〕今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行。甲南行十步而邪东北与乙会。问甲乙行各几何？　　荅曰：　　乙东行一十步半；　　甲邪行一十四步半及之。　　术曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以为甲邪行率。邪行率减于七自乘，余为南行率。以三乘七为乙东行率。置南行十步，以甲邪行率乘之，副置十步，以乙东行率乘之，各自为实。实如南行率而一，各得行数。〔一五〕今有句五步，股十二步。问句中容方几何？　　荅曰：方三步、十七分步之九。　　术曰：并句、股为法，句股相乘为实，实如法而一，得方一步。〔一六〕今有句八步，股十五步。问句中容圆，径几何？　　荅曰：六步。　　术曰：八步为句，十五步为股，为之求弦。三位并之为法，以句乘股，倍之为实。实如法得径一步。〔一七〕今有邑方二百步，各中开门。出东门十五步有木。问出南门几何步而见木？　　荅曰：六百六十六步、太半步。　　术曰：出东门步数为法，半邑方自乘为实，实如法得一步。〔一八〕今有邑，东西七里，南北九里，各中开门。出东门十五里有木。问出南门几何步而见木？　　荅曰：三百一十五步。　　术曰：东门南至隅步数，以乘南门东至隅步数为实。以木去门步数为法。实如法而一。〔一九〕今有邑方不知大小，各中开门。出北门三十步有木，出西门七百五十步见木。问邑方几何？　　荅曰：一里。　　术曰：令两出门步数相乘，因而四之，为实。开方除之，即得邑方。〔二0〕今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木。出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何？　　荅曰：二百五十步。　　术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之，为实。并出南门步数为从法，开方除之，即邑方。〔二一〕今有邑方十里，各中开门。甲乙俱从邑中央而出。乙东出；甲南出，出门不知步数，邪向东北磨邑，适与乙会。率甲行五，乙行三。问甲、乙行各几何？　　荅曰：　　甲出南门八百步，邪东北行四千八百八十七步半，及乙。　　乙东行四千三百一十二步半。　　术曰：令五自乘，三亦自乘，并而半之，为邪行率。邪行率减于五自乘者，余，为南行率。以三乘五，为乙东行率。置邑方半之，以南行率乘之，如东行率而一，即得出南门步数。以增邑方半，即南行。置南行步求弦者，以邪行率乘之，求东者以东行率乘之，各自为实。实如南行率得一步。〔二二〕有木去人不知远近。立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直。从后右表望之，入前右表三寸。问木去人几何？　　荅曰：三十三丈三尺三寸、少半寸。　　术曰：令一丈自乘为实，以三寸为法，实如法而一。〔二三〕有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木东三里，望木末适与山峰斜平。人目高七尺。问山高几何？　　荅曰：一百六十四丈九尺六寸、太半寸。　　术曰：置木高减人目高七尺，余，以乘五十三里为实。以人去木三里为法。实如法而一，所得，加木高即山高。〔二四〕今有井径五尺，不知其深。立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸。问井深几何？　　荅曰：五丈七尺五寸。　　术曰：置井径五尺，以入径四寸减之，余，以乘立木五尺为实。以入径四寸为法。实如法得一寸。【 以上“句股”中的“句”字系繁体字 （liaowj加注） 】

1、《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著。是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本。 2、九章是指九章算术分为九个章节。 3、《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，在第二、三、六章中有许多比例问题，在世界上也是比较早的。“盈不足”的算法需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法”，有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的。 4、《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为假分数（我国古代称为通分内子，“内”读为纳）等等。其步骤与方法大体与现代的雷同。

成书于公元前一世纪的《九章算术》是我国最重要的数学经典，它集先秦到西汉数学知识之大成，集中体现了当时中国数学领域的最高发展水平。全书以计算为中心，基本上采取算法统率应用问题的形式。它的许多成就居世界领先地位，对中国后世的数学发展和数学教育产生了深远的影响，奠定了此后中国数学居世界前列千余年的基础。《九章算术》成书后，注家峰起，并有诸多创造。魏晋时期数学泰斗刘徽的《九章算术》注贡献最大，影响深远。《九章》及其历代注释者在数学教育领域，内有许多值得我们学习的重要内容和见解。一般地说，《九章》并非当时的一本数学启蒙教育著作，其内容远远超过了今天小学六年的教学要求，但随着社会的长足进步和数学科学的迅速发展，前期的高深内容，到后期也许会成为大众化的基本内容。《九章》中的一些算术内容，对照今天小学数学的教学大纲，就已经成为小学高年级教学的重要内容。《九章》中所体现一些数学思想和方法对小学生也具有重要启迪和借鉴作用。现对此进行归纳，以便于教师在教学中认识和理解： 1.十进位置值制记数法 我国是世界上最早产生并确立完善的十进位置值记数法的国家。早在四五千年前就有了数目字，商朝已掌握了3万以内十进数目，以位置制记录，这种记数法比古巴比伦的60进制、玛雅人的20 进制、罗马人的5 - 10进制以及古埃及和希腊的十进非位置制优越得多。中国的十进位置制记数法被马克思誉为人类文明进程中 "最美妙的发明之一"。刘徽在此基础上创造了十进小数，外国直到14、15 世纪才出现十进小数，小数点直至17世纪才开始使用。 2.计算工具的发明 算筹是中国古代数学的一种独特的计算工具，"算术" 的意义即是运用算筹的技术，这恰当概括了中国古代数学使用算器、以算为主的特点。《九章》是以算筹为算具的数学教科书，算筹作为当时世界最灵巧的计算工具，使用起来既方便又准确，成为在中国历史上延续了1500年以上的科学传统。元朝以后发展的珠算是筹算制的发展、改革和继续。教师应认识筹算和珠算在世界数学发展史中的地位和作用，并具体在教学中发挥其独特的教育功能。中国的筹算在没有形成完备的口诀之前，主要是操作和摆数，筹算的这一特点，决定了其传授过程中最简便、最直接的方法就是 "做中学"，这特别适合于儿童以演示、操作指导为主的教学方法，符合儿童动作思维的心理特点，加之中国的数学歌诀有着悠久的历史，利于兼用 "唱"、 "游" 式的教学方法。数学歌诀的流行和不断发展，对算法和算具的不断改进，不仅推动了小学数学教育的发展，而且也直接影响着珠算的产生和发展。作为中国文化宝库中 "货真价实" 的珍品 -- 珠算和算盘，既是一种优越的计算工具，又是一种好的教具和学具，相比于外国用计算板、计算块及小棒认识数和计算数，能够更好地起到从具体到抽象的中介作用，有助于学生形成数位须序及数位大小等清晰的表象，从而提高学生认识数的能力。正因为珠算的特殊价值和作用，在电子技术高度发达的现代商业圈中。在我国、日本及其他东南亚国家、珠算仍盛行不衰。此外，西方世界教育人士认为珠算在数学教育中有其不能偏废的特殊意义。 3.分数四则运算及其应用 《九章》中的分数知识 (包括约分、通分和加减乘除法则) 已是当时世界上最系统、最完备的分数理论。在方田章中已有明确的分数运算法则，其他各章还有很多分数应用题。 a)分数加减法 分数加法称为合分；分数减法称为减分。其法则为：以分数分子、分母交叉相乘，乘积相加减后的结果作为 " 实"，以分母相乘作为 "法"，"实如法而一"，用今天的符号表示就是 。 如方田章第8题 。这里用到了通分，但没有用到最小公分母，而是相加减后再约分，显得比较繁琐。少广章则进了一步，其程序可以求出较小的公倍数，有的甚至就是最小公倍数。 b)分数乘除法 分数乘法称为乘分，其法则是：以分母的乘积为分母，以分子的乘积为分子，同今天方法一样： 。分数除法称为经分，其法则是把实和法通分，然后让分子相除： ；后来刘徽又补充了一个更为简便的法则：将法的分母、分子颠倒，与实相乘： ，这就是今天小学数学教材中的颠倒相乘。 c)分数约分法则 先进行观察，若分子、分母都是偶数，则先除以2，否则将分子、分母 "以少减多，更相减损"，最后得到 " 等数"，此为原分子、分母的最大公约数。用等数约之，即把数化简了。这种求等数的方法与欧几里得求最大公约数的方法是一致的，现代算术教科书中的辗转相除法即由此而来。应该指出，古人的计算方式是筹算而不是上述的现代笔算，例如，方田章第6问约简 ，先用筹算求得 "等数" 7，以7除分子、分母，得最简分数 以上是世界上最早的分数运算法则。大约15世纪欧洲才通行分数算法，印度到七世纪才有与中国相同的分数四则运算法则。了解我国古代的分数理论及其成就，教师可以从中吸取营养，来丰富自己的教学是很有益的，特别是分数乘法和除法法则的理由对今天小学教学仍有重要的指导意义。历史上的分数概念及其运算的产生都先于小数，中外一理。而在教学顺序上则小数先于分数，这是由于小数运算接近整数，较分数方便。安排教学程序则以可接受性优先，教师应心中有数。 4.各种比例算法 《九章》粟米中的今有术，是完整的比例算法：已知所有数、所有率和所求率，则 所求数 = 所有数×所求率÷所有率这个方法传到印度和西方，叫做 "三率法" (rule of three)。在《九章》中，今有术所属例题都是粟米互换问题。比如，己知粟率50，糠米率30，"今有粟一斗，欲为糠米，问得几何？" 这里1斗是所有数， 50和30分别是所有率和所求率，按今有术，得糠米：10升×30÷50 = 6升。这个问题就是现在小学课本中的比例问题，按现在的解法是： 设所求的米为x升， 则有比例式 50：10 = 30：x 所以x = 即x = 6 此外，《九章》中还有一些复杂的比例问题，如复比例问题、连锁比例问题等等，但现在的小学数学课本中均已不再出现。对于各种比例问题，刘徽注以率为纲，结合齐同原理系统阐述，这些概念如果适当渗透到有关教材中去，将有利于教学。例如，刘徽提出 " 凡数相与者谓之率"，"相与" 即 "相关" 之意，成率关系的数量同时扩大或缩小同样的倍数，其率关系不变。若有甲、乙、丙三物之关系：甲：乙 = a：b1; ，乙：丙 = b2 ：c，已知甲为A，问丙几何？《九章》两次应用今有术甲A化为乙B = ，乙B化为丙C = 叫重今有术。刘徽认为可先把两个率关系中乙率变成相同的值b1b2，为保持率关系不变，则甲的率须变成ab2，丙的率须变为cb1，称为与乙相齐，即甲：乙：丙 = ab2 : b1b2 : cb1，对甲、丙直接应用今有术：C = 。刘徽将此变换称为齐同原理。它源于分数通分， 与 通分必须使分母相同：bd，然后使分子与分母相齐，即分别变为ad、 bc，两分数变为 ， 。这叫 "齐其子，同其母"。 5.几何初步知识 a)长方形面积概念：在《九章》方田章及其刘徽注中讲得很生动。"方田术曰，广从步数相乘得积步"。"方田" 即长方的田，"广" 指长方形的底，"从" (即纵) 指长形的高，"步" 是长度的单位，所以长方形的面积等于底乘高。教师可以参照现行教材，古今对比，借以进一步领会其所以然。 b)三角形面积计算："圭田术曰，半广以乘正从"。三角形的田，古称 "圭田"，"正从" 是指垂直于底的那个高，所以三角形的面积等于底乘高的一半。 c)梯形面积的计算：梯形的田称 "箕田"，同样给出其面积等于上、下底相加与高相乘的一半。 《九章》及其刘注中关于三角形、梯形面积公式借助于传统的出入相补原理作出的。所谓出入相补，刘徽称之为以盈补虚，按现代的说法，即：一个平面图形移动前后，面积不变；一个平面图形割成若干块，各块面积之和等于原图形面积 (立体也同样)。三角形和梯形面积的公式都可根据长方形面积公式，利用出入相补原理而得到如 三角形面积 = ×底×高 梯形面积 = ×(上底 +下底)×高 = 中广×高 出入相补原理是中国古代用于处理面积、体积问题以及可以化为面积和体积问题的一种传统方法，应用十分广泛，方法直观、巧妙，相当于给出证明，适应小学生的接受能力和心理特点，这对小学教学很有指导意义。 九章为算经之首，盖犹儒者之六经，医家之难素，兵法 之孙子欤。后事学者，有倚其门墙，瞻其步趋，或得一 二者，以能自成一家之书。 《九章算术》是中国的基本数学书，其中含有优秀的数 学方法。如与希腊数学比较，在几何学及数论方面，稍 见逊色，但在算术及代数方面，我确信凌驾于希腊数学之上的。 《九章算术》全书共有246道题，分别纳入方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股等九章。本质上，它是一本分门别类的官僚数学公式手册，史家认为「九章算术成于长安之官府，乃以秦汉之计籍为底稿，并非课吏之讲义。」应该是恰当的论断。至于其数学知识的背景，则可追溯到周秦和西汉时代;它的编纂过程与体例的形成，一方面配合了当时社会的需要，另一方面也反映了特定学术思想的旨趣。根据史学家的研究，孔门是继承周代城邦家臣传统而来。其「世传六艺之教:礼、乐、射、御、书、数，恐怕是结集历史经验的结果，也应乎当时需要。习礼乐以为相，练射御以治军，操书数便去当家臣。」因此，从封建时代的家臣到秦汉大一统以后的官吏，学习数学不过是他们干禄的途径之一吧!《颜氏家训》说得好:「算术亦见六艺要事，自古儒士论天道、定律历者皆通学之，然可以兼明，不可以专业。」 　尽管士人难得将数学视为安身立命之道，但《九章算术》毕竟是周秦西汉数学知识的总结，自有其可观的成绩。大致说来。在初等数学的范畴内，它所给出的方法都具备了现代意义，这也就是说，只须换个形式，它的内容就可立刻纳入现代数学的一部份了。在算术方面，《九章算术》已经确立分数四则运算，并指出约分、通分法则。此外，它也处理了各式各样的比例问题，并且正确地指出一次代数方程的算术解法一一「盈不足术」。在几何方面，《九章算术》列出很多与土地丈量有关的面积公式，以及和土木建筑有关的体积公式，除极少数给出不太精密的近似值外，其余完全正确。另外，也包括了利用勾股定理解决的应用问题(包括测量问题)。至于在代数方面，《九章算术》已有明确的「开平方法」及「开立方法」，并有由「开平方法」所自然延拓的「开带从平方」(相当于二次方程的数值解法)，以及多元一次方程组解法(「方程术」)和正负数加减法则(「正负术 」)。 　由上简述可知，在《九章算术》的成书过程中，从实用问题解法深入分析、具体总结的倾向是很浓厚的，不过，这并不太能突出它的发生、发展背景，如众所周知，古埃及、巴比伦的数学成就地无非如此形成的。要想知道中国古代学者如何通过《九章算术》知识去实践他们的数学主张:也就是说，他们首先提出了什么问题?为何提出的?按着他们又是为何解决的?以及最终他们为何看待自己的数学成就?那就不能把数学局限在本身来看了，臂如，如果切断了欧几里得 (Euclid)与柏拉图(Plato)、亚里斯多德的思想联系，那么「几何原本」就真地成为少数数学家的禁脔了，因此，在一定的学术思想背景中，深入探索《九章算术》知识的形成，不但可以帮助我们确认数学在人类文明进展中所扮演的重要角色，同时也可以提示我们:大约两千多年前的中国人是为何从事数学思考的? 2007-01-17 21:54:05 补充： 第一章，「方田」： 平面图形面积的量法及算法，如矩形、三角形、圆、弧形、环形等的田地的求积公式，及分数算法，包括加减乘除法、约分﹝将分母，分子用辗转相除法求出它的最大公约数再作约分﹞、分数大小的比较及求几个分数的算术平均数等。第二章，「粟米」： 各种粮食交换之间的计算，讨论比例算法。 第三章，「衰分」： 比例分配问题。 2007-01-17 21:54:20 补充： 第四章，「少广」： 多位数开平方，开立方的法则。 第五章，「商功」： 立体形体积的计算。 第六章，「均输」： 处理行程和合理解决征税的问题，尤其是与人民从本地运送谷物到京城交税所需的时间有关的问题，还有一些与按人口征税有关的问题，其中还夹杂着衰分、比例及各种杂题。 2007-01-17 21:54:28 补充： 第七章，「盈不足」： 算术中的盈亏问题的算法，实际上就是现在的线性插值法，它还有许多名称，如试位法、夹叉求零点、双假设法等。第八章，「方程」： 有关一次方程组的内容，最后还有不定方程。将方程组的系数和常数项用算筹摆成「方程」，这是《九章算术》中解多一次方程组的方法，而整个消元过程则相当于代数中的线性变换。在方程章里提出了正负数的不同表示法和正负数的加减法则。第九章，「勾股」： 专门讨论用勾股定理解决应用问题的方法。 参考: .knowledge.yahoo/question/?qid=7006042500859

《九章算术》是西汉以来许多数学家研究的结晶，西汉前期的著名数学家张苍、耿寿昌等人曾经对他进行增减。全书一共分为9章，搜集了246个数学问题的解法，其中记载了当时世界上最先进的分数四则和比例算法。还有各种面积体积的算法和利用勾股定理进行测量的问题，以及开方、开立方的方法。特别是在世界数学史上的第一次记载了负数的概念和正负数的加减法运算法则。这部书对中国古代数学的发展所产生的影响是很大的。标志着我国古代数学的完整体系的形成。他不仅在中国数学史上占有重要的地位，而且影响到了朝鲜、日本，被翻译成许多种外文出版。

　《九章算术》是中国古代数学专著,是算经十书中最重要的一种.该书内容十分丰富,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.同时,《九章算术》在数学上还有其独到的成就,不仅最早提到分数问题,也首先记录了盈不足等问题,“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则.该书经多次增补,成书时间已不可考,但据估算最迟在公元一世纪已有了现传本.许多人曾为它作过注释,其中不乏历史上的数学名人,最著名的有刘徽（公元263年）、李淳风（公元656年）等人. 《九章算术》的内容十分丰富,全书采用问题集的形式,收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题,其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤,但没有证明）,有的是一题一术,有的是多题一术或一题多术.这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音崔cui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下所示.原作有插图,今传本已只剩下正文了. 《九章算术》的九章的主要内容分别是： 第一章“方田”：田亩面积计算； 第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换； 第三章“衰分”：比例分配问题； 第四章“少广”：已知面积、体积、求其一边长和径长等； 第五章“商功”：土石工程、体积计算； 第六章“均输”：合理摊派赋税； 第七章“盈不足”：即双设法问题； 第八章“方程”：一次方程组问题； 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题． 现传本《九章算术》成书于何时,目前众说纷纭,多数认为在西汉末到东汉初之间,约公元一世纪前后,《九章算术》的作者不详.很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集体创作结晶.由于二千年来经过辗转手抄、刻印,难免会出现差错和遗漏,加上《九章算术》文字简略有些内容不易理解,因此历史上有过多次校正和注释. 　　关于对《九章算术》所做的注住要有:三国时曹魏刘徽注,唐朝李淳风注,南宋杨辉著《详解九章算法》选用《九章算术》中80道典型的题作过详解并分类,清李潢(?1811年)所著《九章算术细草图说》对《九章算术》进行了校订、列算草、补插图、加说明,尤其是图文并茂之作.现代钱宝琮(1892～1974年)曾对包括《九章算术》在内的《算经十书》进行了校点,用通俗语言、近代数学术语对《九章算术》及刘、李注文详加注释.80年代以来,今人白尚恕、郭书春、李继闵等都有校注本出版.

《九章算术》的作者是张苍、耿寿昌。《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著。是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右。其作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本。《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。