拉格朗日定理的数论

约瑟夫·拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange，1736~1813)全名为约瑟夫·路易斯·拉格朗日，法国著名数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。 人物生平 拉格朗日父亲是法国陆军骑兵里的一名军官，后由于经商破产，家道中落。据拉格朗日本人回忆，如果幼年时家境富裕，他也就不会作数学研究了，因为父亲一心想把他培养成为一名律师。拉格朗日个人却对法律毫无兴趣。 拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具。 拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世纪的数学研究开辟了道路，堪称法国最杰出的数学大师。同时，他的关于月球运动(三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果，在使天文学力学化、力学分析化上，也起到了历史性的作用，促进了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究。 在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动一代数学的发展。他提交给柏林科学院两篇著名的论文：《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》 。把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，即把方程化为低一次的方程(称辅助方程或预解式)以求解。 拉格朗日也是分析力学的创立者。拉格朗日在其名著《分析力学》中，在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展达朗贝尔、欧拉等人研究成果，引入了势和等势面的概念，进一步把数学分析应用于质点和刚体力学，提出了运用于静力学和动力学的普遍方程，引进广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析力学形式，奠定了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。 他还给出刚体在重力作用下，绕旋转对称轴上的定点转动(拉格朗日陀螺)的欧拉动力学方程的解，对三体问题的求解方法有重要贡献，解决了限制性三体运动的定型问题。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。 拉格朗日的研究工作中，约有一半同天体力学有关。他用自己在分析力学中的原理和公式，建立起各类天体的运动方程。在天体运动方程的解法中，拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。此外，他还研究了彗星和小行星的摄动问题，提出了彗星起源假说等。 近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。 出身 拉格朗日父姓拉格朗日亚(Lagrangia)。拉格朗日在都灵出生受洗记录上的正式名字为约瑟普·洛德维科·拉格朗日亚(Giuseppe Lodovi，Lagrangia)。父名弗朗切斯科·洛德维科·拉格朗日亚(Frances Lodovi， Lagrangia);母名泰雷萨·格罗索(Teresa Grosso)。他曾用过的姓有德·拉·格朗日(De la Grange)，拉·格朗日(La Grange)等。去世后，法兰西研究院给他写的颂词中，正式用约瑟夫·拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange )。父系为法国后裔。曾祖是法国骑兵上校，到意大利后与罗马家族的人结婚定居;祖父任都灵的公共事务和防务局会计，又同当地人结婚。父亲也在都灵同一单位工作，共有11个子女，但大多数夭折，拉格朗日最大。 青年时代 到了青年时代，在数学家雷维里的教导下，拉格朗日喜爱上了几何学。17岁时，他读了英国天文学家哈雷的介绍牛顿微积分成就的短文《论分析方法的优点》后，感觉到“分析才是自己最热爱的学科”，从此他迷上了数学分析，开始专攻当时迅速发展的数学分析。 18岁时，拉格朗日用意大利语写了第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商，他又将论文用拉丁语写出寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧拉。不久后，他获知这一成果早在半个世纪前就被莱布尼兹取得了。这个并不幸运的开端并未使拉格朗日灰心，相反，更坚定了他投身数学分析领域的信心。 游历时代 1755年拉格朗日19岁时，在探讨数学难题“等周问题”的过程中，他以欧拉的思路和结果为依据，用纯分析的方法求变分极值。第一篇论文“极大和极小的方法研究”，发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。变分法的创立，使拉格朗日在都灵声名大振，并使他在19岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授，成为当时欧洲公认的第一流数学家。1756年，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。 1764年，法国科学院悬赏征文，要求用万有引力解释月球天平动问题，他的研究获奖。接着又成功地运用微分方程理论和近似解法研究了科学院提出的一个复杂的六体问题(木星的四个卫星的运动问题)，为此又一次于1766年获奖。 1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请时说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀前往柏林，任普鲁士科学院数学部主任，居住达20年之久，开始了他一生科学研究的鼎盛时期。在此期间，他完成了《分析力学》一书，这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作。书中运用变分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化了。他在序言中宣称：力学已经成为分析的一个分支。 1783年，拉格朗日的故乡建立了"都灵科学院"，他被任命为名誉院长。1786年腓特烈大帝去世以后，他接受了法王路易十六的邀请，离开柏林，定居巴黎，直至去世。 这期间他参加了巴黎科学院成立的研究法国度量衡统一问题的委员会，并出任法国米制委员会主任。1799年，法国完成统一度量衡工作，制定了被世界公认的长度、面积、体积、质量的单位，拉格朗日为此做出了巨大的努力。 1791年，拉格朗日被选为英国皇家学会会员，又先后在巴黎高等师范学院和巴黎综合工科学校任数学教授。1795年建立了法国最高学术机构——法兰西研究院后，拉格朗日被选为科学院数理委员会主席。此后，他才重新进行研究工作，编写了一批重要著作：《论任意阶数值方程的解法》、《解析函数论》和《函数计算讲义》，总结了那一时期的特别是他自己的一系列研究工作。 与世长辞 1813年4月3日，拿破仑授予他帝国大十字勋章，但此时的拉格朗日已卧床不起，4月11日早晨，拉格朗日逝世。

拉格朗日定理公式：若函数f(x)在区间[a，b]满足以下条件：(1)在[a，b]连续。(2)在(a，b)可导。则在(a，b)中至少存在一点f"(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)a<c<b，使或f(b)-f(a)=f"(c)(b-a)成立，其中a<c<b。拉格朗日定理存在于多个学科领域中，分别为：微积分中的拉格朗日中值定理；数论中的四平方和定理；群论中的拉格朗日定理 (群论)。主要贡献：拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性贡献，但他主要是数学家，研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力。全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过500篇。拉格朗日的学术生涯主要在18世纪后半期。当对数学、物理学和天文学是自然科学主体。数学的主流是由微积分发展起来的数学分析，以欧洲大陆为中心；物理学的主流是力学；天文学的主流是天体力学。

拉格朗日定理的推论是如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，则f(x)在区间I上是一个常数。辅助函数法证明：已知f(x) 在[a,b]上连续，在开区间，(a,b)内可导，构造辅助函数。可得g(a)=g(b)又因为g(x)。在[a,b]上连续，在开区间(a,b) 内可导。所以根据罗尔定理可得必有一点。夹逼定理：x0≤ξ≤x。x-->x0,ξ-->x0。x,x0,ξ-->同一个值x，或x0，或ξ。应用：1、设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a。若存在N，使得当n>N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为a。2、夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。定义：如果函数f(x)在[a,b]上处处可导，则必有一ξ∈[a,b]使得f"(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)f(x)为y，所以该公式可写成△y=f"(x+θ△x)*△x (0<1) 上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式。拉格朗日中值定理的几何意义：如果连续曲线y＝f(x)的弧AB上除端点外处处具有不垂直于X轴的切线，那么这弧上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于弦AB。拉格朗日介绍：法国数学家。1754年开始研究数学，1766年接替了欧拉在柏林皇家科学院的职位，在那里工作达20年。1786年去法国，先后担任巴黎高等师范学校和多科工艺学校教授。他是18世纪仅次于欧拉的大数学家，工作涉及数论、代数方程论、微积分、微分方程、变分法、力学、天文学等许多领域。著名的拉格朗日中值定理、拉格朗日余项、拉格朗日方程，对黎卡提方程的重要研究，对线性微分方程组的研究，对奇解与通解的联系的系统研究，都是这一时期的工作。他也是最先试图为微积分提供严格基础的数学家之一，这使他成为实变函数论的先驱。他还以在数学上追求简明与严格而被誉为第1个真正的分析学家。拿破仑曾评价说：“拉格朗日是数学科学方面高耸的金字塔。”

拉格朗日定理是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。定理的现代形式如下：如果函数f（x）在闭区间上[a，b]连续，在开区间（a，b）上可导，那么在开区间（a，b）内至少存在一点ξ使得f"（ξ）=（f（b-f（a））/（b-a）。1797年，拉格朗日中值定理被法国数学家拉格朗日在《解析函数论》中首先给出，并提供了最初的证明，现代形式的拉格朗日中值定理是由法国数学家O博内给出的。定理应用拉格朗日中值定理的应用比罗尔定理和柯西中值定理的应用更加广泛，因为它对函数的要求更低，且该定理建立了函数增量、自变量增量及导数之间的联系，这为利用导数解决函数的相关问题提供了重要支撑。在研究函数的单调性、凹凸性以及求极限、恒等式、不等式的证明、判别函数方程根的存在性、判断级数的敛散性以及计算未定式极限等方面，都可能会用到。拉格朗日中值定理的几何意义也有较为广泛的应用。此外，拉格朗日中值定理的变形公式指出了函数与导数的一种关系，因此，可以利用这种关系研究函数的性质。在化学、物理等其他专业领域，也可以利用拉格朗日中值定理来进行计算和研究，例如在化学中计算相对于时间的反应级数，在物理中研究航空重力异常向下延拓方法等。以上内容参考百度百科-拉格朗日定理

拉格朗日点是指宇宙中两大天体之间形成的引力稳定点，也可以说是两大天体的引力特殊作用点，在这个地方放置空间飞行器就能省很多的燃料。拉格朗日点是一个小物体在两个大物体的引力作用下在空间中的一点，在该点处，小物体相对于两大物体基本保持静止。这些点的存在由法国数学家拉格朗日于1772年推导证明的。1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，但只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角。在天体力学中，拉格朗日点是限制性三体问题的5个特解。例如，两个天体环绕运行，在空间中有5个位置可以放入第三个物体（质量忽略不计），并使其保持在两个天体的相应位置上。理想状态下，两个同轨道物体以相同的周期旋转，两个天体的万有引力与离心力在拉格朗日点平衡，使得第三个物体与前两个物体相对静止。

拉格朗日力学，是分析力学中的一种，由拉格朗日在1788年建立，是对经典力学的一种的新的数学表述。 经典力学，最初的表述形式由牛顿建立，它着重分析位移，速度，加速度，力等矢量间的关系，又称为矢量力学。拉格朗日引入了广义坐标的概念，运用达朗贝尔原理，得到和牛顿第二定律等价的拉格朗日方程。但拉格朗日方程具有更普遍的意义，适用范围更广泛。并且，选取恰当的广义坐标，可以使拉格朗日方程的求解大大简化。

拉格朗日动力学方程描述了质点或系统的运动，它是由拉格朗日方程导出的。拉格朗日方程描述了系统在特定坐标系下的动力学行为，它基于能量最小化原理，可以通过应用拉格朗日量和广义坐标来推导。拉格朗日动力学方程的一般形式为：这个方程描述了系统在广义坐标系中的运动，并且它等价于牛顿第二定律。通常情况下，拉格朗日量可以表示为系统的动能 T 和势能 V的差值，即L=T-V。这个方程描述了系统在广义坐标系下的运动，它可以通过求解来得到系统的运动方程。

约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）全名为约瑟夫·路易斯·拉格朗日，法国著名数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性贡献，但他主要是数学家，研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力。全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过500篇。拉格朗日的学术生涯主要在18世纪后半期。当对数学、物理学和天文学是自然科学主体。数学的主流是由微积分发展起来的数学分析，以欧洲大陆为中心；物理学的主流是力学；天文学的主流是天体力学。数学分析的发展使力学和天体力学深化，而力学和天体力学的课题又成为数学分析发展的动力。当时的自然科学代表人物都在此三个学科做出了历史性重大贡献。下面就拉格朗日的主要贡献分别评述。数学数学分析的开拓者牛顿和莱布尼兹以后的欧洲数学分裂为两派。英国仍坚持牛顿在《自然哲学中的数学原理》中的几何方法，进展缓慢；欧洲大陆则按莱布尼兹创立的分析方法（当时包括代数方法），进展很快，当时叫分析学（analysis）。拉格朗日是仅次于欧拉的最大开拓者，在18世纪创立的主要分支中都有开拓性贡献。变分法这是拉格朗日最早研究的领域，以欧拉的思路和结果为依据，但从纯分析方法出发，得到更完善的结果。他的第一篇论文“极大和极小的方法研究”（Recherches sur la méthode demaximis et minimies）[2]是他研究变分法的序幕； 1760年发表的“关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法”（Essai d"unenouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima desformules integrales indéfinies）[3]是用分析方法建立变分法的代表作。发表前写信给欧拉时，称此文中的方法为“变分方法”（themethod of variation）。欧拉肯定了，并在他自己的论文中正式将此方法命名为“变分法”（the calculus of variation）。变分法这个分支才真正建立起来。拉格朗日方法是对积分进行极值化，函数y=y(x)待定。他不像欧拉和前人用改变极大或极小化曲线的个别坐标的办法，而是引进通过端点(x1，y1)，(x2，y2)的新曲线y(x)+δy(x)，δy(x)叫曲线y(x)的变分。J相应的增量△J按δy，δy′展开的一、二阶项叫一次变分δJ和二次变分δ2J。他用分析方法证明了δJ为零的必要条件就是欧拉方程他达继续讨论了端点变动时的情况以及两个自变量的重积分的情况，使这个分支继续发展。1770年以后，拉格朗日达研究了被积函数f包含高阶导数的单重和多重积分时的情况，已发展成为变分法的标准内容。微分方程早在都灵时期，拉格朗日就对变系数常微分方程研究做出重大成果。他在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程，并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程的伴随方程，就是原方程的齐次方程。他还把欧拉关于常系数齐次方程的结果推广到变系数情况，证明了变系数齐次方程的通解可用一些独立特解乘上任意常数相加而成；而且在知道方程的m个特解后，可以把方程降低m价。在柏林时期，他对常微分方程的奇解和特解做出历史性贡献，在1774年完成的“关于微分方程特解的研究”（Sur les intégralesparticulieres des equations différentielles）[22]中系统地研究了奇解和通解的关系，明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法；还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线。当然，他的奇解理论还不完善，现代奇解理论的形式是由G.达布（Darboux）等人完成的。常微分方程组的研究在当时结合天体力学中的课题进行。拉格朗日在1772年完成的“论三体问题”（Essai sur le problémedes trois corps）[8]中，找出了三体运动的常微分方程组的五个特解：三个是三体共线情况；两个是三体保持等边三角形；在天体力学中称为拉格朗日平动解。他同拉普拉斯一起完善的任意常数变异法，对多体问题方程组的近似解有重大作用，促进了摄动理论的建立。拉格朗日是一阶偏微分方程理论的建立者，他在1772年完成的。“关于一阶偏微分方程的积分”（Sur l"integration des équationau differences partielles du premier order）[21]和1785年完成的“一阶线性偏微分方程的一般积分方法”（Méthode génèrale pourintégrer les equations partielles du premier order lorsque cesdifferences ne sont que linèaires）[23]中，系统地完成了一阶偏微分方程的理论和解法。他首先提出了一阶非线性偏微分方程的解分类为完全解、奇解、通积分等，并给出它们之间的关系。后来又进一步证明了解线性方程Pp+Qq=R(P，Q，R为x，y，z的函数)(5)与解等价，而解(6)式又与解常微分方程组等价。(5)式至今仍称为拉格朗日方程。有趣的是，由上面已可看出，一阶非线性偏微分方程，可以化为解常微分方程组。但拉格朗日自己却不明确，他在1785年解一个特殊的一阶偏微分方程时，还说不能用这种方法，可能他忘记了自己在1772年的结果。现代也有时称此方法为拉格朗日方法，又称为柯西(Cauchy)的特征方法。因拉格朗日只讨论两个自变量情况，在推广到n个自变量时遇到困难，而后来由柯西在1819年克服。方程论18世纪的代数学从属于分析，方程论是其中的活跃领域。拉格朗日在柏林的前十年，大量时间花在代数方程和超越方程的解法上。他在代数方程解法中有历史性贡献。在长篇论文“关于方程的代数解法的思考”（Réflexions sur le resolution algébrique desequations，《全集》Ⅲ， pp 205—421）中，把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，而且还分析出一般三、四次方程能用代数方法解出的原因。三次方程有一个二次辅助方程，其解为三次方程根的函数，在根的置换下只有两个值；四次方程的辅助方程的解则在根的置换下只有三个不同值，因而辅助方程为三次方程。拉格朗日称辅助方程的解为原方程根的预解函数（是有理函数）。他继续寻找5次方程的预解函数，希望这个函数是低于5次的方程的解，但没有成功。尽管如此，拉格朗日的想法已蕴含着置换群概念，而且使预解（有理）函数值不变的置换构成子群，子群的阶是原置换群阶的因子。因而拉格朗日是群论的先驱。他的思想为后来的N.H.阿贝尔（Abel）和E.伽罗瓦（Galois）采用并发展，终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题。拉格朗日在1770年还提出一种超越方程的级数解法。设p为方程，这就是后来在天体力学中常用的拉格朗日级数。他自己没有讨论收敛性，后来由柯西求出此级数的收敛范围。数论拉格朗日到柏林初期就开始研究数论，第一篇论文“二阶不定问题的解”（Sur la solution des problémès in détèrminésdu seconde degrés）[14]和送交都灵《论丛》的“一个算术问题的解”（Solution d"un problème d"arithmetique）[15]中，讨论了欧拉多年从事的费马(Fermat)方程x2-Ay2=1(x，y，A为整数)，(9)不定问题解的新方法”(Nouvelle méthode pour resoudveles problèmes indéteminés en nombres entiers)[16]中得到更一般的费马方程 (B也为整数)(10)的解。还讨论了更广泛的二元二次整系数方程 ，(11)并解决了整数解问题。拉格朗日还在1772年的“一个算术定理的证明”（De monstration d"un théorème d"arthmétique，《文集》Ⅲ，pp.189—201）中，把欧拉40多年没有解决的费马另一猜想“一个正整数能表示为最多四个平方数的和”证明出来。在1773年发表的“质数的一个新定理的证明”（Démonstation d"un theorem nouveau concernant les nombres premiers）[17]中，证明了著名的定理：n是质数的充要条件为(n-1)！+1能被n整除。拉格朗日不仅有大量成果，还在方法上有创新。如在证明(9)式研究”（Recherches d"arithmétiques，《文集》Ⅲ，pp.695—795）中，研究(11)式解时采用的方法和结果，是二次型理论的基本文献。函数和无穷级数同18世纪的其他数学家一样，拉格朗日也认为函数可以展开为无穷级数，而无穷级数则是多项式的推广。他还试图用代数建立微积分的基础。在他的《解析函数论……》（《文集》Ⅸ）中，书名上加的小标题“含有微分学的主要定理，不用无穷小，或正在消失的量，或极限与流数等概念，而归结为代数分析艺术”，表明了他的观点。由于回避了极限和级数收敛性问题，当然就不可能建立真正的级数理论和函数论，但是他们的一些处理方法和结果仍然有用，他们的观点也在发展。拉格朗日就在《解析函数论……》中，第一次得到微分中值定理（书中第六章）f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)(a≤c≤b)，(12)后面并用它推导出泰勒（Taylor）级数，还给出余项Rn的具体表达式（第二十章）Rn就是著名的拉格朗日余项形式。他还着重指出，泰勒级数不考虑余项是不能用的。虽然他还没有考虑收敛性，甚至各阶导数的存在性，但他强调Rn要趋于零。表明他已注意到收敛问题。他同欧拉、达朗贝尔等在任意函数能否表为三角级数的长期争论，虽未解决，但为以后三角级数理论的建立打下了基础。拉格朗日内插公式最后要提一下他在《师范学校数学基础教程》中，提出了著名的拉格朗日内插公式。直到现在计算机计算大量中点内插时仍在使用。另外在求多元函数相对极大极小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法，至今也在用。其他除了对数学分析在18世纪建立的主要分支有开拓性贡献外，他对严格化问题也开始注意。尽管回避了极限概念，但他仍承认可以在极限基础上建立微积分（《文集》Ⅰ，p.325）。但正是对严格化重视不够，所建立的分支到一定阶段就很难深入。这可能是他晚年研究工作少的原因。他在1781年9月21日给达朗贝尔的信中说：“在我看来，似乎（数学）矿井已挖掘很深了，除非发现新矿脉，否则势必放弃它……”（《文集》XⅢ368）这说出了他和其他同事们的心情。事实表明，19世纪在建立数学分析严格基础后，数学更迅速地发展。分析力学分析力学的创立者他在所著《分析力学》(1788)中，吸收并发展了欧拉、达朗贝尔等人的研究成果，应用数学分析解决质点和质点系(包括刚体、流体)的力学问题。他在总结静力学的各种原理，包括他1764年建立的虚速度原理的基础上提出分析静力学的一般原理，即虚功原理，并同达朗伯原理结合而得到动力学普遍方程。对于有约束的力学系统，他采用适当的变换，引入广义坐标，得到一般的运动方程，即第一类和第二类拉格朗日方程。全书用数学分析形式写成，没有一幅图，故名《分析力学》。书中还给出多自由度系统平衡位置附近微振动的基本理论，但对振动特征方程有重根情况说得不确切，这个错误直到19世纪中叶才分别由K．维尔斯特拉斯(1858)和O．H．索莫夫(1859)作了改正。拉格朗日继欧拉之后研究过理想流体运动方程，并最先提出速度势和流函数的慨念，成为流体无旋运动理论的基础。他在《分析力学》中从动力学普遍方程导出的流体运动方程，着眼于流体质点，描述每个流体质点自始至终的运动过程。这种方法现在称为拉格朗日方法，以区别着眼于空间点的欧拉方法，但实际上这种方法欧拉也应用过。拉格朗日研究过重刚体定点转动并对刚体的惯性椭球是旋转椭球且重心在对称轴上的情况作过详细的分析。这种情况称为重刚体的拉格朗日情况。这一研究在他生前未发表，后经J．比奈整理，收在《分折力学》第二版(1818)的附录中。在此以前，泊松在1811年曾独立得到同样的结果。拉格朗日在1811年还导得弹性薄板的平衡方程。[2] 天体力学天体力学的奠基者天体力学是在牛顿发表万有引力定律（1687）时诞生的，很快成为天文学的主流。它的学科内容和基本理论是在18世纪后期建立的。主要奠基者为欧拉，A.C.克莱罗（Clairaut）、达朗贝尔、拉格朗日和拉普拉斯。最后由拉普拉斯集大成而正式建立经典天体力学。拉格朗日一生的研究工作中，约有一半同天体力学有关，但他主要是数学家，他要把力学作为数学分析的一个分支，而又把天体力学作为力学的一个分支对待。虽然如此，他在天体力学的奠基过程中，仍有重大历史性贡献。首先在建立天体运动方程上，拉格朗日用他在分析力学中的原理和(16)，(17)式，建立起各类天体的运动方程。其中特别是根据他在微分方程解法的任意常数变异法，建立了以天体椭圆轨道根数为基本变量的运动方程，仍称作拉格朗日行星运动方程，并在广泛应用，此方程对摄动理论的建立和完善起了重大作用，方程在1780年获巴黎科学院奖的论文“彗星在行星作用下的摄动理论研究”（Recherches sur la théorie des perturbations queles comètes peuvent éprouver par l"action des planètes）[13]中给出，得到达朗贝尔和拉普拉斯的高度评价。另外在一篇有关三体问题的获奖文章中[8]，把三体问题的运动方程组第一次降到七阶。在天体运动方程解法中，拉格朗日的重大历史性贡献是发现三体问题运动方程的五个特解[8]，即拉格朗日平动解。其中两个解是三体围绕质量中心作椭圆运动过程中，永远保持等边三角形。他的这个理论结果在100多年后得到证实。1907年2月22日，德国海德堡天文台发现了一颗小行星[后来命名为希腊神话中的大力士阿基里斯（Achilles），编号588]，它的位置正好与太阳和木星形成等边三角形。到1970年前，已发现15颗这样的小行星，都以希腊神话中特洛伊(Troy)战争中将帅们的名字命名。有9 颗位于木星轨道上前面60°处的拉格朗日特解附近，名为希腊人(Greek)群；有6颗位于木星轨道上后面60°处的解附近，名为脱罗央（Trojan）群。1970年以后又继续发现40多颗小行星位于此两群内，其中我国紫金山天文台发现四颗，但尚未命名。至于为什么在特解附近仍有小行星，是因为这两个特解是稳定的。1961年又在月球轨道前后发现与地月组成等边三角形解处聚集的流星物质，是拉格朗日特解的又一证明。至今尚未找到肯定在三个拉格朗日共线群（三体共线情况）处附近的天体，因为这三个特解不稳定。另外，拉格朗日在一阶摄动理论中也有重要贡献，提出了计算长期摄动方法（《文集》Ⅴ，pp.125—414），并与拉普拉斯一起提出了在一阶摄动下的太阳系稳定性定理（参见《世界著名科学家传记·天文学家Ⅰ》中“拉普拉斯”条）。此外，拉格朗日级数(8)式在摄动理论中有广泛应用。在具体天体的运动研究中，拉格朗日也有大量重要贡献，其中大部分是参加巴黎科学院征奖的课题。他的月球运动理论研究论文多次获奖。1763年完成的“月球天平动研究”（Recherches sur laLibration de la lune）[6]获1764年度奖，此文较好地解释了月球自转和公转的角速度差异，但对月球赤道和轨道面的转动规律解释得不够好。后来在1780年完成的论文解决得更好（参见《文集》Ⅴ，pp.5—123）。获1772年度奖的就是著名的三体问题论文[8]，也是针对月球运动研究写出的。获1774年度奖的论文为“关于月球运动的长期差”（Sur l"equation séculaire de la lune）[9]，其中第一次讨论了地球形状和所有大行星对月球的摄动。关于行星和彗星运动的论文也有两次获奖。1776年度获奖的是他在1775年完成的三篇论文[10，11，12，]其中讨论了行星轨道交点和倾角的长期变化对彗星运动的影响。1780年度的获奖论文就是提出著名的拉格朗日行星运动方程的那篇[13]。获1766年度奖的论文是“木星的卫星运动的偏差研究……”（Recherches sur les inégualités des satellites de Jupiter…）[7]，其中第一次讨论了太阳引力对木星的四个卫星运动的影响，结果比达朗贝尔的更好。拉格朗日从事的天体力学课题还有很多，如在柏林时期的前半部分，还研究了用三个时刻的观测资料计算彗星轨道的方法（《文集》Ⅳ，pp.439—532），所得结果成为轨道计算的基础。另外他还得到了一种力学模型——两个不动中心问题的解，这是欧拉已讨论过的，又称为欧拉问题。是拉格朗日推广到存在离心力的情况，故后来又称为拉格朗日问题（《文集》Ⅱ，pp.67—121）。这些模型仍在应用。有人用作人造卫星运动的近似力学模型。此外，他在《分析力学》中给出的流体静力学的结果，后来成为讨论天体形状理论的基础。总的看来，拉格朗日在天体力学的五个奠基者中，所做的历史性贡献仅次于拉普拉斯。他创立的“分析力学”对以后天体力学的发展有深远的影响。

定理内容若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:(1)在[a,b]连续(2)在(a,b)可导则在(a,b)中至少存在一点c使f"(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)证明:把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a). 易证明此函数在该区间满足条件: 1.G(a)=G(b);2.G(x)在[a,b]连续;3.G(x)在(a,b)可导.此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证几何意义若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直与x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行.

主要指的是定义描述上的不同。具体解释如下：一、定义1、拉格朗日法是随体法，跟随某个流体质点一起运动，了解该质点的各项参数随时间的变化情况，然后综合流场中的所有流体质点得到整个流场的流动情况。①、用流体质点在T=t0时流体质点的坐标是（a，b，c），其中a，b，c可以是直角坐标的（x0、y0，z0），也可以是曲线坐标（q1.q2，q3），不同的a，b，c代表不同的质点。②、流体质点的运动规律数学上可表为下式：F=F（a，b，c，t），其中（a，b，c，t）称为拉格朗日变数。2、欧拉分析法是局部法，研究流场中某一固定点的各项参数随时间的变化情况，然后综合流场中的所有的固定点得到整个流场的流动情况。二、速度和空间坐标的关系不同1、用拉格朗日法研究速度和空间坐标的关系，得到的是迹线；2、用欧拉法研究速度和空间坐标的关系，得到的是流线。三、性质不同在拉格朗日法中，描述的是质点的位置坐标，进而得到速度；而的欧拉法中则是直接描述空间点上流体质点的速度向量。扩展资料：拉格朗日法和欧拉法各自的优缺点：1、拉格朗日方法虽然很自然，也很直观，但实现起来却非常困难，无法对成干上万的流体质点进行跟踪。实际所关心的往往是空间固定区域内的物体与流体的作用，实验测量的也往往是空间固定点的参数。2、欧拉法中某时刻位于一个空间点上的流体质点的密度、压力、温度就是流场对应点、对应时刻的密度场、压强场、温度场上的对应值。在流场中，一点上流体质点的性质与该点的流场性质是相同的。3、欧拉法中的变元是空间坐标和时间变量，通常在气象观测中广泛使用欧拉法。在世界各地（间点）设立星罗棋布的气象站。根据统一时间各气象站把同一时间观测到的气象要素迅速报到规定的通讯中心，然后发至世界各地，绘制成同一时刻的气象图，据此做出天气预报。参考资料来源：百度百科—拉格朗日法百度百科—欧拉法

拉格朗日插值公式如下：拉格朗日插值公式线性插值也叫两点插值，已知函数y = f (x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f (x0)，y1=f (x1)线性插值就是构造一个一次多项式P1(x) = ax + b使它满足条件P1 (x0) = y0 P1 (x1) = y1其几何解释就是一条直线，通过已知点A (x0, y0)，B(x1, y1)。拉格朗日插值证明过程：证明:先用归纳法证明存在性，再证明唯一性。当n=1n=1时，常函数(0次)P1(x)=y1P1(x)=y1即符合要求。假设当n−1n−1时存在一个次数≤n−2≤n−2的多项式Pn−1Pn−1,使得Pn−1(xi)=yi,i=1,2,...,n−1.Pn−1(xi)=yi,i=1,2,...,n−1。则令Pn(x)=Pn−1(x)+c(x−x1)(x−x2)...(x−xn−1)(x−xn)Pn(x)=Pn−1(x)+c(x−x1)(x−x2)...(x−xn−1)(x−xn)，其中cc为待定系数，利用Pn(xn)=ynPn(xn)=yn即可求出待定系数cc。此时，Pn(xi)=yi,i=1,2,...,n,Pn(xi)=yi,i=1,2,...,n,且Pn(x)Pn(x)的次数≤n−1≤n−1.这样就证明了存在性。其次证明唯一性。假设存在两个这样的多项式，设为P(x)P(x)和Q(x)Q(x)，它们次数≤n−1≤n−1且都插值经过nn个点，即P(xi)=Q(xi)=yi,i=1,2,...,n.P(xi)=Q(xi)=yi,i=1,2,...,n。令H(x)=P(x)−Q(x)H(x)=P(x)−Q(x),HH的次数也≤n−1≤n−1，且有nn个不同的根x1,x2,...,xnx1,x2,...,xn。因此，由多项式基本定理可知，H(x)H(x)为0多项式，即恒等于0，故有P(x)=Q(x)P(x)=Q(x).这样就证明了存在性。插值余项：在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。插值：用来填充图像变换时像素之间的空隙。

第一，数论中的拉格朗日定理。 1、拉格朗日四平方和定理，即费马多边形数定理特例。 每个自然数均可表示成4个平方数之和。3个平方数之和不能表示形式。 若在一个正整数的因数分解式中，没有一个数有形式如4k加3的质数次方，该正整数可以表示成两个平方数之和。 2、设p是一个素数，fx是整系数多项式，模p的次数为n，则同余方程fx恒等于0，即modp至多有n个互不相同的解。 第二，流体力学中的拉格朗日定理。 正压理想流体在质量力有势的情况下，若初始时刻某部分流体内无涡，则在此之前或以后的任何时刻中这部分流体皆为无涡。反之，若初始时刻该部分流体有涡，则在此之前或以后的任何时刻中这部分流体皆为有涡。

步骤如下：1、首先列出使用“拉格朗日求极值”的已知条件。2、然后列出拉格朗日辅助函数 。3、求出拉格朗日辅助函数对的偏导数，并使之为零。4、然后依据所有偏导数构成的方程组，解出唯一的驻点。5、最后即可完成拉格朗日求极值的过程，得出函数的极大值。在“拉格朗日求极值”的已知条件中设置附加条件，寻找附加条件下的可能极值点；由附加条件下的可能极值点推算出极值点的偏导数；联立偏导数构成的方程组，解出驻点即可。“拉格朗日求极值”也叫“拉格朗日乘数法”，它是一个变量的方程组的求极值方法。技巧是死的，人是活的，在解题中要灵活的运用技巧。选择合适的技巧和方法尤为重要，而如何合适选择，则要根据自己的经验来确定。因此如果这块比较薄弱，那么建议多做这块的题，然后结合本篇文章再进行归纳和总结，生成自己的经验与技巧。解题时，有可能会出现增解的情况，例如技巧一中的情况。所以平时解出极值点之后，建议再带点到每个方程中演算一下。这样也能检查自己的结果是否正确，是一个比较好的习惯。暑假接近尾声。后半程的复习，就不光是要求速度，还要要求质量，做好针对基础和题目的查漏补缺工作，才是解题能力提升的最坚实阶梯。

拉格朗日是法国着名数学家、物理学家，被称作分析力学的创立者、天体力学的奠基者，且在天体力学的贡献中仅次于拉普拉斯。他还提出了拉格朗日中值定理等理论，被誉为数学分析的开拓者。而网络上的“拉格朗日”就是一句俏皮话而已，没有特别的意思，与吓了我一跳意思差不多。更多关于拉格朗日是什么梗，进入：https://m.abcgonglue.com/ask/3e07851615832397.html?zd查看更多内容

利用拉格朗日中定值求极限具体如下：拉格朗日中值定理求极限的公式为：lim［ln（1+tanx）-ln（1+sinx）］/x³ （x→0）。根据拉格朗日中值定理，每一个在0附近邻域的x，tanx~sinx是一个考虑的区间，设f（x）＝ln（1+x），那么有：ln（1+tanx）-ln（1+sinx）。＝f"（ξ）·（tanx-sinx），f"（ξ）＝1/（1+ξ），且ξ在tanx与sinx之间。可以把ξ看成是x的一个函数即ξ（x），那有极限＝lim［（tanx-sinx）/（1+ξ（x））］/x³。x→0时，sinx和tanx都→0，所以ξ（x）→0。故＝lim（tanx-sinx）/x³，根据洛必达法则就可得出极限为1/2。拉格朗日中值定理的运动学意义以及案例：一、拉格朗日中值定理的运动学意义：拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。二、求解案例：对于无约束条件的函数求极值，主要利用导数求解法。比如求解函数f(x，y)=x3-4×2+2xy-y2+1的极值。步骤如下：（1）求出f(x，y)的一阶偏导函数f"x(x，y)，f"y(x，y)。f"x(x，y) = 3×2-8x+2yf"y(x，y) = 2x-2y（2）令f"x(x，y)=0，f"y(x，y)=0，解方程组。3×2-8x+2y = 02x-2y = 0得到解为(0，0)，(2，2)。这两个解是f(x，y)的极值点。

[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函数f(x)满足条件：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理当f(a)=f(b)时的特殊情形，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。扩展资料推论1：如果函数f(x)在区间(a,b)内任意一点的导数f"(x)都等于零，那么函数f(x)在(a,b)内是一个常数。证：设x1,x2是区间(a,b)内的任意两点，且x1＜x2，则函数f(x)在区间[x1,x2]上满足拉格朗日终值定理的条件，所以在(x1,x2)内至少存在一点ξ，使得f(x2)-f(x1)=f"(ξ)(x2-x1).由假设知f"(ξ)=0，所以f(x1)=f(x2).由于x1,x2是(a,b)内的任意两点，所以函数f(x)在(a,b)内的函数值总是相等的，即函数f(x)在(a,b)内是一个常数。由此可知，函数f(x)在(a,b)内是一个常数的充分必要条件是在(a,b)内f"(x)=0.推论2：如果函数f(x)与g(x)在区间(a,b)内每一点的导数f"(x)与g"(x)都相等，则这两个函数在区间(a,b)内至多相差一个常数，即f(x)=g(x)+C,x∈(a,b).这里C是一个确定的常数。参考资料来源：百度百科-拉格朗日中值定理

约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）全名为约瑟夫·路易斯·拉格朗日，法国著名数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。 主要贡献如下： 变分法变分法的创立者 微分方程证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程的伴随方程，就是原方程的齐次方程 一阶偏微分方程理论的建立者 方程论群论的先驱高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题提出一种超越方程的级数解法 数论二元二次整系数方程ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0的整数解问题证明了 n是质数的充要条件为(n-1)！+1能被n整除。证明了 一个正整数能表示为最多四个平方数的和函数和无穷级数试图用代数建立微积分的基础微分中值定理f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)(a≤c≤b)泰勒（Taylor）级数余项Rn的具体表达式拉格朗日内插公式：多元函数相对极大极小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法 力学分析力学的创立者发现三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解

刚体在重力作用下，绕旋转对称轴上的定点转动（拉格朗日陀螺）的欧拉动力学方程的解，对三体问题的求解方法有重要贡献，解决了限制性三体运动的定型问题。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。

拉格朗日是法国着名数学家、物理学家，被称作分析力学的创立者、天体力学的奠基者，且在天体力学的贡献中仅次于拉普拉斯。他还提出了拉格朗日中值定理等理论，被誉为数学分析的开拓者。而网络上的“拉格朗日”就是一句俏皮话而已，没有特别的意思，与吓了我一跳意思差不多。更多关于拉格朗日是什么梗，进入：https://m.abcgonglue.com/ask/3e07851615832397.html?zd查看更多内容

拉格朗日方程：因约瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名，是拉格朗日力学的主要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。简介：拉格朗日方程：对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程,是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。式中T为系统用各广义坐标qj和各广义速度q"j所表示的动能；Qj为对应于qj的广义力;N(=3n-k)为这完整系统的自由度；n为系统的质点数；k为完整约束方程个数。从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。如果要想求约束力，可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。通常，我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学)，将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动，它适合于研究受约束质点系的运动。拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。

先说用法吧，拉格朗日乘子法是用来求有限制的下最优解的，这里限制条件就是制约函数，求得就是在满足g（X）=b时f(X)的最值。下面说具体内容，举个栗子比较容易讲：假设f(X)是效用函数，g（X）=b是成本约束，为了简便X=x好了（只有一个约束），另外假设x的价格为p，后面会用到。那等式L=f(x)+λ[b-g(x)]的意义就是如何在花光b那么多预算的时候让f(x)最大，答案显而易见就是当b=g(x)时所有预算花光，剁手剁得很欢快。这时λ就是收入的边际效用，也就是b每增加1各单位，效用就会增加λ那么多。证明如下：对L求x和λ的一阶偏导，得到：1. dL/dx=f"(x)+λg"(x)=02. dL/dλ=b-g(x)=0第2个等式就是制约条件，意思就是预算被花光（因为完整的拉格朗日乘子法是允许不花光的）。等式1变形得3. λ=f"(x)/g"(x)λ的定义就出来了，也就是当b每增加1个单位，g"(x)=1/p，就是花在x上的钱多了1，同时买了1/p那么多的x，这时λ=f"(x)/p，就是1单位收入带来的额外效用。这时因为X是一元的所以最值不用另外求，就是当x=g^(-1)[b]时f(x)最大。现在变成二元的，X=(x,y)，g（.）依旧是成本，f（.）还是效用，但这时λ还是一样的意义，只不过一阶偏导变成了3个:dL/dx=0dL/dy=0dL/dλ=0三元一次方程组解出唯一解的话就是最优了。当X上升为n元时，也就意味着要同时考虑n个条件，就像是同时用b购买有n种商品，要求效用的最优解。这时唯一的不同只是方程组的未知数变多了，解法还是一样的。至于b的元数...你遇到更高元的限制条件再问吧...

定义又称拉氏定理。如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f"(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)令f(x)为y，所以该公式可写成△y=f"(x+θ△x)*△x(0

1、含义上的区别拉格朗日法，又称随体法，跟随流体质点运动，记录该质点在运动过程中物理量随时间变化规律。欧拉法，又称流场法，是以流体质点流经流场中各空间点的运动即以流场作为描述对象研究流动的方法。2、特性上的区别拉格朗日法基本特点是追踪流体质点，以某一起始时刻每个质点的坐标位置，作为该质点的标志。欧拉法的特点是单步，显式，一阶求导精度，截断误差为二阶。基本思想是迭代，逐次替代，最后求出所要求的解，并达到一定的精度。3、作用上的区别拉格朗日法可直接运用固体力学中质点动力学进行分析，综合所有质点的运动，构成整个流体的运动。欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。采用区间两端的函数值的平均值作为直线方程的斜率，改进欧拉法的精度。参考资料来源：百度百科-拉格朗日法参考资料来源：百度百科-欧拉法

原函数F（x）=f（x）-f（a）-（（f（b）-f（a））/（b-a））（x-a）,满足罗尔定理.导数值有0,求导后就是拉格朗日.追问：不太明白啊 说的详细一点追答：设原函数F（x）=f（x）-f（a）-（（f（b）-f（a））/（b-a））x，满足罗尔定理。导数值有0，求导后就是拉格朗日。追答：我把函数改了一下。追答：还是第一次的对。有点晕了。你把我最先回答你的那个函数抄下来，把x分别用a和b代入，发现F（x）值相同所以用罗尔定理，对F（x）求导，就是拉格朗日的表达式了。我因为在外面，没法写字给你

约瑟夫·拉格朗日，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日公式包括拉格朗日方程、拉格朗日插值公式、拉格朗日中值定理等。 拉格朗日公式 拉格朗日方程 对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程,是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。通常可写成： 式中T为系统用各广义坐标qj和各广义速度q"j所表示的动能；Qj为对应于qj的广义力;N(=3n-k)为这完整系统的自由度；n为系统的质点数；k为完整约束方程个数。 插值公式 线性插值也叫两点插值，已知函数y = f(x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f(x0)，y1= f(x1)线性插值就是构造一个一次多项式 P1(x) = ax + b 使它满足条件 P1(x0) = y0P1(x1) = y1 其几何解释就是一条直线，通过已知点A (x0, y0)，B(x1, y1)。 中值定理 定理表述 如果函数f(x)满足： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； 上式称为有限增量公式。 拉格朗日定理 在微积分中，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。 四平方和定理说明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是费马多边形数定理和华林问题的特例。注意有些整数不可表示为3个整数的平方和，例如7。 拉格朗日定理是群论的定理，利用陪集证明了子群的阶一定是有限群的阶的约数值。

，拉格朗日的定义就是，有多少个约束，每个约束乘以拉格朗日乘子再加上原目标，所以是累加。其实，构造这个公式的意义本身，是要求构造出的无约束问题L(w, b, alpha)与原问题等价。Hard-margin SVM:拉格朗日：在求解L(w, b, alpha)过程中，我们首先将b，w固定，然后在该固定的b，w下，调整alpha，对alpha求导，得到在该b，w下最大的L_max，那么在所有的L_max中选择一个最小的，其对应的b，w则是该拉格朗日问题的最优的b，w。并且与原Hard-margin SVM求得的b,w相同。该过程也就是而这两个问题为什么等价，也就是为什么上述两种方法求得的b，w相同呢？下面给一个简单的说明。假设由拉格朗日问题求得的b, w不满足原SVM的条件，即又因为alpha>=0,因此的最大值为正无穷。2. 假设求得的b, w满足原SVM的条件，即则要想取得最大值，上式中，只需要alpha_n=0,得到的最大值为即刚好与原问题等价。

这也是拉格的老师方程来进行描述的，我记得那个还行

大约1.49亿公里。

拉格朗日（Lagrange）余项，其中θ∈（0，1）。拉格朗日余项实际是泰勒公式展开式与原式之间的一个误差值，如果其值为无穷小，则表明公式展开足够准确。证明：根据柯西中值定理：其中θ1在x和x0之间；继续使用柯西中值定理得到：其中θ2在θ1和x0之间；连续使用n+1次后得到：其中θ在x和x0之间。

微积分中的拉格朗日定理即（拉格朗日中值定理）设函数f(x)满足条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）可导；则至少存在一点ε∈（a，b），使得f(b) - f(a)=f"(ε)(b-a)或者f(b)=f(a) + f "(ε)(b - a)[证明:把定理里面的c换成x在不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.做辅助函数G(x)=f(x)-{f(b)-f (a)]/(b-a)}x易证明此函数在该区间满足条件:1,G(a)=G(b);2.G(x)在[a,b]连续;3.G(x)在(a,b)可导.此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证]

取特值。a取1，b取e。

拉格朗日方程：这里的L指代拉格朗日函数，即在一个物理系统中能量的计量，例如弹簧、杠杆或基本粒子。解这个方程会告诉你该物理系统将如何随着时间演化。这种思考物理的方式经受住了物理学上的几次重大革命，例如量子力学及相对论等。在主动力全是保守力的情况下，每种主动力会对应着一种势能，在此种情况下，拉格朗日方程可写为利用L=T-V，（T为动能，V为势能，且势能仅为位置的函数）我们可将此方程改写为由于势能与速度无关，受力等于负的势能对位置求导现在可以将原方程改写为：

定理内容：若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件: 　　(1)在[a,b]连续 　　(2)在(a,b)可导 　　则在(a,b)中至少存在一点f"(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a<c<b，使或f(b)-f(a)=f"(c)(b-a) 成立，其中a<c<b证明: 把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 　　做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}x. 　　易证明此函数在该区间满足条件: 　　1.G(a)=G(b); 　　2.G(x)在[a,b]连续; 　　3.G(x)在(a,b)可导. 　　此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证扩展资料：定理表述如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；那么在开区间(a,b)内至少有一点  使等式  成立。其他形式记  ,令  ,则有上式称为有限增量公式。我们知道函数的微分  是函数的增量Δy的近似表达式，一般情况下只有当|Δx|很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高；而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）时，函数增量Δy的准确表达式，这就是该公式的价值所在。辅助函数法：已知  在  上连续，在开区间  内可导，构造辅助函数 可得  又因为  在  上连续，在开区间  内可导，所以根据罗尔定理可得必有一点  使得 由此可得 变形得 定理证毕。参考资料：百度百科-拉格朗日中值定理

是一个人名。约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）全名为约瑟夫·路易斯·拉格朗日，法国著名数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。人物生平拉格朗日父亲是法国陆军骑兵里的一名军官，后由于经商破产，家道中落。据拉格朗日本人回忆，如果幼年时家境富裕，他也就不会作数学研究了，因为父亲一心想把他培养成为一名律师。拉格朗日个人却对法律毫无兴趣。拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具。拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世纪的数学研究开辟了道路，堪称法国最杰出的数学大师。同时，他的关于月球运动（三体问题）、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果，在使天文学力学化、力学分析化上，也起到了历史性的作用，促进了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究。

约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）全名为约瑟夫·路易斯·拉格朗日，法国著名数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。 主要贡献如下： 变分法变分法的创立者 微分方程证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程的伴随方程，就是原方程的齐次方程 一阶偏微分方程理论的建立者 方程论群论的先驱高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题提出一种超越方程的级数解法 数论二元二次整系数方程ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0的整数解问题证明了 n是质数的充要条件为(n-1)！+1能被n整除。证明了 一个正整数能表示为最多四个平方数的和函数和无穷级数试图用代数建立微积分的基础微分中值定理f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)(a≤c≤b)泰勒（Taylor）级数余项Rn的具体表达式拉格朗日内插公式：多元函数相对极大极小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法 力学分析力学的创立者发现三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解

1、拉格朗日点又称平动点，在天体力学中是限制性三体问题的五个特解。一个小物体在两个大物体的引力作用下在空间中的一点，在该点处，小物体相对于两大物体基本保持静止。2、这些点的存在由瑞士数学家欧拉于1767年推算出前三个，法国数学家拉格朗日于1772年推导证明剩下两个。1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见特洛依群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，但只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角形。

　　拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式。 　　法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。

[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函数f(x)满足条件：（1）在闭区间[a,b]上连续。（2）在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点ξ。显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理当f(a)=f(b)时的特殊情形，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。推论：如果函数f(x)在区间(a,b)内任意一点的导数f"(x)都等于零，那么函数f(x)在(a,b)内是一个常数。证：设x1,x2是区间(a,b)内的任意两点，且x1＜x2，则函数f(x)在区间[x1,x2]上满足拉格朗日终值定理的条件，所以在(x1,x2)内至少存在一点ξ，使得f(x2)-f(x1)=f"(ξ)(x2-x1)。由假设知f"(ξ)=0，所以f(x1)=f(x2)。由于x1,x2是(a,b)内的任意两点，所以函数f(x)在(a,b)内的函数值总是相等的，即函数f(x)在(a,b)内是一个常数。由此可知，函数f(x)在(a,b)内是一个常数的充分必要条件是在(a,b)内f"(x)=0。推论：如果函数f(x)与g(x)在区间(a,b)内每一点的导数f"(x)与g"(x)都相等，则这两个函数在区间(a,b)内至多相差一个常数，即f(x)=g(x)+C,x∈(a,b)。这里C是一个确定的常数。

拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都灵。父亲是法国陆军骑兵里的一名军官，后由于经商破产，家道中落。据拉格朗日本人回忆，如果幼年是家境富裕，他也就不会作数学研究了，因为父亲一心想把他培养成为一名律师。拉格朗日个人却对法律毫无兴趣。 到了青年时代，在数学家雷维里的教导下，拉格朗日喜爱上了几何学。17岁时，他读了英国天文学家哈雷的介绍牛顿微积分成就的短文《论分析方法的优点》后，感觉到“分析才是自己最热爱的学科”，从此他迷上了数学分析，开始专攻当时迅速发展的数学分析。 18岁时，拉格朗日用意大利语写了第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商，他又将论文用拉丁语写出寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧拉。不久后，他获知这一成果早在半个世纪前就被莱布尼兹取得了。这个并不幸运的开端并未使拉格朗日灰心，相反，更坚定了他投身数学分析领域的信心。 1755年拉格朗日19岁时，在探讨数学难题“等周问题”的过程中，他以欧拉的思路和结果为依据，用纯分析的方法求变分极值。第一篇论文“极大和极小的方法研究”，发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。变分法的创立，使拉格朗日在都灵声名大震，并使他在19岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授，成为当时欧洲公认的第一流数学家。1756年，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。 1764年，法国科学院悬赏征文，要求用万有引力解释月球天平动问题，他的研究获奖。接着又成功地运用微分方程理论和近似解法研究了科学院提出的一个复杂的六体问题(木星的四个卫星的运动问题)，为此又一次于1766年获奖。 1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请时说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀前往柏林，任普鲁士科学院数学部主任，居住达20年之久，开始了他一生科学研究的鼎盛时期。在此期间，他完成了《分析力学》一书，这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作。书中运用变分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化了。他在序言中宣称：力学已经成为分析的一个分支。 1783年，拉格朗日的故乡建立了"都灵科学院"，他被任命为名誉院长。1786年腓特烈大帝去世以后，他接受了法王路易十六的邀请，离开柏林，定居巴黎，直至去世。 这期间他参加了巴黎科学院成立的研究法国度量衡统一问题的委员会，并出任法国米制委员会主任。1799年，法国完成统一度量衡工作，制定了被世界公认的长度、面积、体积、质量的单位，拉格朗日为此做出了巨大的努力。 1791年，拉格朗日被选为英国皇家学会会员，又先后在巴黎高等师范学院和巴黎综合工科学校任数学教授。1795年建立了法国最高学术机构——法兰西研究院后，拉格朗日被选为科学院数理委员会主席。此后，他才重新进行研究工作，编写了一批重要著作：《论任意阶数值方程的解法》、《解析函数论》和《函数计算讲义》，总结了那一时期的特别是他自己的一系列研究工作。 1813年4月3日，拿破仑授予他帝国大十字勋章，但此时的拉格朗日已卧床不起，4月11日早晨，拉格朗日逝世。[编辑本段]拉格朗日的科学成就 拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具。 拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世纪的数学研究开辟了道路，堪称法国最杰出的数学大师。同时，他的关于月球运动(三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果，在使天文学力学化、力学分析化上，也起到了历史性的作用，促进了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究。 在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动了代数学的发展。他提交给柏林科学院两篇著名的论文：《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》 。把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，即把方程化为低一次的方程(称辅助方程或预解式)以求解。 他试图寻找五次方程的预解函数，希望这个函数是低于五次的方程的解，但未获得成功。然而，他的思想已蕴含着置换群概念，对后来阿贝尔和伽罗华起到启发性作用，最终解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题。因而也可以说拉格朗日是群论的先驱。 在数论方面，拉格朗日也显示出非凡的才能。他对费马提出的许多问题作出了解答。如，一个正整数是不多于4个平方数的和的问题等等，他还证明了圆周率的无理性。这些研究成果丰富了数论的内容。 在《解析函数论》以及他早在1772年的一篇论文中，在为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试，他企图把微分运算归结为代数运算，从而抛弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量，并想由此出发建立全部分析学。但是由于他没有考虑到无穷级数的收敛性问题，他自以为摆脱了极限概念，其实只是回避了极限概念，并没有能达到他想使微积分代数化、严密化的目的。不过，他用幂级数表示函数的处理方法对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起点。 拉格朗日也是分析力学的创立者。拉格朗日在其名著《分析力学》中，在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展达朗贝尔、欧拉等人研究成果，引入了势和等势面的概念，进一步把数学分析应用于质点和刚体力学，提出了运用于静力学和动力学的普遍方程，引进广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析力学形式，奠定了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。 他还给出刚体在重力作用下，绕旋转对称轴上的定点转动(拉格朗日陀螺)的欧拉动力学方程的解，对三体问题的求解方法有重要贡献，解决了限制性三体运动的定型问题。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。 拉格朗日的研究工作中，约有一半同天体力学有关。他用自己在分析力学中的原理和公式，建立起各类天体的运动方程。在天体运动方程的解法中，拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。此外，他还研究了彗星和小行星的摄动问题，提出了彗星起源假说等。 近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。被誉为“欧洲最大的数学家”。

在《高等数学》的学习中，拉格朗日中值定理是比较令人头痛的。下面。就和我看一下拉格朗日中值定理到底是什吧。 什么是拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。 法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。 拉格朗日中值定理的意义 拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。 几何意义：若连续曲线在两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线，则曲线在A，B间至少存在1点，使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。 运动学意义：对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明，并研究泰勒公式的余项。从柯西起，微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。 拉格朗日中值定理的学习步骤 1、学习拉格朗日中值定理； 2、拉格朗日中值定理的证明； 3、例题讲解； 4、拉格朗日中值定理推论； 5、拉格朗日中值定理的几点说明； 6、概括总结；

拉格朗日定理存在于多个学科领域中，分别为：流体力学中的拉格朗日定理；微积分中的拉格朗日定理；数论中的拉格朗日定理；群论中的拉格朗日定理。

拉格朗日点又称平动点，在天体力学中是限制性三体问题的五个特解。 一个小物体在两个大物体的引力作用下，在空间中的一点，在该点处，小物体相对于两大物体基本保持静止。这些点的存在由瑞士数学家欧拉于1767年推算出前三个，法国数学家拉格朗日于1772年推导证明剩下两个。1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见特洛依群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，但只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的干扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角形。

拉格朗日定理存在于多个学科领域中，分别为:流体力学中的拉格朗日定理;微积分中的拉格朗日定理;数论中的拉格朗日定理;群论中的拉格朗日定理。正压理想流体在质量力有势的情况下，如果初始时刻某部分流体内无涡,则在此之前或以后的任何时刻中这部分流体皆为无涡。反之，若初始时刻该部分流体有涡，则在此之前或以后的任何时刻中这部分流体皆为有涡。描述流体运动的两种方法之一:拉格朗日法拉格朗日法是以研究单个流体质点运动过程作为基础，综合所有质点的运动，构成整个流体的运动。数论中的拉格朗日定理1、拉格朗日四平方和定理(费马多边形数定理特例)每个自然数均可表示成4个平方数之和。3个平方数之和不能表示形式如4^k(8n+ 7)的数。 如果在一个正整数的因数分解式中，没有一个数有形式如4k+3的质数次方，该正整数可以表示成两个平方数之和。2、设p是一个素数，f(x)是整系数多项式，模p的次数为n，则同余方程f(x)≡0(modp)至多有n个互不相同(即模p互不同余)的解。群论折叠编辑本段群论中的拉格朗日定理设 G 是有限群， H 是 G 的子群， [G:H]是 H 在 G 中的指数--即陪集个数。那么我们有 [G:H] |H|=|G|即H的阶整除G的阶。这里|G|是群的阶数， 即元素个数。证明:设G和H的元数分别为n和r，设H有s个右

拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世纪的数学研究开辟了道路，堪称法国最杰出的数学大师。同时，他的关于月球运动(三体问题)、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果，在使天文学力学化、力学分析化上，也起到了历史性的作用，促进了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究。

从第3个方程得到2z(λ+1)=0, 即z=0或者λ=-1然后分两类讨论z=0，第4个方程变成xy+x-y+4=0前两个方程消去λ可以得到x(x-1)=y(y+1)，整理成(x+y)(x-y-1)=0再分两种情况1.1) x=-y，代入xy+x-y+4=0得到一元二次方程，解出x=1±5^{1/2}，相应的y=-x, z=01.2) x=y+1，同样解一个一元二次方程，此时没有实数解λ=-1，此时前两个方程是线性方程，很容易解出x=-1, y=1, 代入第4个方程得到z=±1，图里z解错了把这些情况综合一下就得到(-1,1,±1)是离远点最近的点，没错，就这样

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。拉格朗日中值定理如果函数f(x)在（a，b）上du可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]使得f"(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)f(x)为y，所以该公zhuan式可写成△y=f"(x+θ△x)*△x (0<θ<1)上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式。扩展资料：解析：该定理给出了导函数连续的一个充分条件。（注意：必要性不成立，即函数在某点可导，不能推出导函数在该点连续，因为该点还可能是导函数的振荡间断点。）函数在某一点的极限不一定等于该点处的函数值；但如果这个函数是某个函数的导函数，则只要这个函数在某点有极限，那么这个极限就等于函数在该点的取值。参考资料来源：百度百科-拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理公式是f(b)-f(a)=f"(ξ)(b-a)(a<ξ<b）。如果函数y=f(x)在闭区间a≤x≤b上连续且在开区间a≤x≤b上可微，那么在此区间内部至少存在一个中间值u，使得F(b)-f(a)/b-a=f(u).其中a＜u＜b2、多元函数中值定理不成立。但存在拟微分平均值定理设D是一凸域，多元函数f(D)=Y。拉格朗日中值定理的几何意义拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广，它是微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。其几何意义是若连续曲线在两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线，则曲线在A，B间至少存在1点，使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。